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Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08- 1 Importante: SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN 1.6. Axiomas de Orden de los Reales R (R * + ) x R x R * + (-x) R * + x =0 x x (x, y R * + ) (x + y) R * + x · y R * + R * + 1.7. Relaciones de orden R * + <, >, , x, y R < > ≤≥ x<y ⇐⇒ (y - x) R * + x>y ⇐⇒ y<x ⇐⇒ (x - y) R * + x y ⇐⇒ (x<y) (x = y) x y ⇐⇒ (x>y) (x = y)

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Ingeniería MatemáticaFACULTAD DE CIENCIASFÍSICAS Y MATEMÁTICASUNIVERSIDAD DE CHILEIntroducción al Cálculo 08- 1

Importante: !"!#$ %&'()$%*&+#& !!"#$$%%%&'()&*+ (,-&+,$.+/,+*,0,-./ &+01+#%$%2" )$" '(/$" 3& &4&%0!0!1"5 6%17)&*$"8 $3&*2" 3& !+91%*$0!:+$0&%0$ 3& 0(2) "&%2 )$ 3!+2*!0$ 3&) 0(%"1,SEMANA 2: AXIOMAS DE ORDEN

1.6. Axiomas de Orden de los Reales;$%$ !+#%13(0!% )$ !3&$ 3& 1%3&+ &+ )1" %&$)&" 5 613&% #%$7$4$% 01+ 3&"<!'($)3$3&"8 &=!"#&+ 3!>&%"$" 91%*$" 6$%$ 01*&+?$%, @+ &"#& $6(+#& .&*1"&"01'!31 )$ >&%"!:+ A(& 01*!&+?$ 61% )$ 3&B+!0!:+ 3&) 01+4(+#1 3& )1" %&$)&"&"#%!0#$*&+#& 61"!#!>1" 5 &+ 7$"& $ &))1" "& 17#!&+&+ )$" 3&B+!0!1+&" 3& )$"3&"!'($)3$3&" 5 #13$" )$" 6%16!&3$3&",@+ R &=!"#& (+ "(701+4(+#1 ))$*$31 01+4(+#1 3& %&$)&" C&"#%!0#$*&+#&D61"!#!>1" (R∗+)8 &) 0($) "$#!"9$0& )1" "!'(!&+#&" $=!1*$" 1 %&')$", 782 92 :)1,&$&(;"45$6*' 78 90# 3' )%$,6)6*&':∀x ∈ R8 (+$ 5 "1)1 (+$ 3& )$" "!'(!&+#&" 6%161"!0!1+&" &" >&%3$3&%$E!D x ∈ R

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(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}[a, +∞) = {x ∈ R/a ≤ x}(a, +∞) = {x ∈ R : a < x}>;)',$6! !"#" $%&'("# )& *&(%#+",' "-*%#(' (a, b) (".-*/& 0% 1)%$% '2)1"# ,'0 1"#%&3(%0*0 ]a, b[ .?@/#%.',$;!#/45 6* a = b %&('&2%0 (a, a) = (a, a] = [a, a) = ∅ 7 [a, a] = {a}585 6% 1)%$% "&'("# ", 2'&9)&(' R 2'.' %, *&(%#+",' &' "2'("$' (−∞, +∞).:5 6%" I )& *&(%#+",' 7 x1, x2 ∈ I; (",%0 <)% x1 ≤ x2; %&('&2%0 [x1, x2] ⊆

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3#1.10. Inecuaciones

1.10.1. Introducción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necuaciones de primer gradoC/! )$ +" 9/.-" ax + b < 0 )/!)$ a < b (/! !,-$./( .$"+$( %/!(1"!1$( <a 6= 06 :/!)$ $+ (#*!/ < 8&$)$ ($. 1"-@#5! >= ≤ / ≥ .8436,$7!

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x(x−1) (−) (+) (−) (+)A$ *!-) 4#$ %&'() *"+(,*) x = 2 $! #6%"#-,7' 8!$# 0< %)" $) (!'() *&:%$#$! 4#-,5&!$4!4< :;- >,#' $! ,5&!$4!4< %)" $) (!'() 4#>#:)- !5"#5!"$!! '&#-(") *)'B&'() -)$&*,7'. A$ *!-) 4# $)- %&'()- x = 0 2 x = 1 #-4,-(,'()< 4#>#:)- @&,(!"$)- 4#$ *)'B&'() -)$&*,7' %&#- #$ 4#'):,'!4)"-# !'&$! )>(#',#'4) 4,8,-,7' %)" 0< $) *&!$ ') %&#4# -#". )" ()4) #-() #$ *)'B&'() -)$&*,7' -#";C(−∞, 0)

(1, 2] .

1.10.4. Factorización de términos cuadráticosD, $! ,'#*&!*,7' ') !%!"#*# 9!*()",/!4! %)" 9!*()"#- 4# %",:#" 5"!4)< -#%&#4# ,'(#'(!" 9!*()",/!" $! #6%"#-,7'< ) >,#' ,'(#'(!" *)')*#" E-,' 9!*()",=/!"1 $)- %&'()- 4)'4# #-()- 9!*()"#- *!:>,!' 4# -,5'). A' #-(# F$(,:) *!-)<-# %&#4# "#-)$8#" $! ,'#*&!*,7' *)' #$ :?()4) ,'4,*!4) !'(#",)":#'(#. )" #B#:%$) %!"! $)- 9!*()"#- 4# -#5&'4) 5"!4) -# (,#'#Cax2 + bx + c = a[x2 +

b

ax +

c

a]

= a[(x +b

2a)2 − b2

4a2+

c

a]

= a[(x +b

2a)2 − b2 − 4ac

4a2].G$!:#:)- ∆ !$ 9!*()" b2 − 4ac. H#%#'4,#'4) 4#$ -,5') 4# ∆ -# (,#'#' ("#-%)-,>,$,4!4#-CI. D, ∆ > 0 #'()'*#- $! #6%"#-,7' #- 9!*()",/!>$# -#5F' 9!*()"#- 4# %",=:#" 5"!4) 4# $! -,5&,#'(# 9)":!C0J

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3#ax2 + bx + c = a

[

(x +b

2a)2 − b2 − 4ac

4a2

]

= a

(x +b

2a)2 −

(√∆

2a

)2

. !"#$%&'( "% )%$*(+#,%$#-& ./0% !(+ ./ '#)1+1&$#% (2*1&'+10(. "% 134!+1.#-& 1& )%$*(+1. '1 !+#01+ 5+%'(6ax2 + bx + c = a(x +

b +√

2a)(x +

b−√

2a).7(. !/&*(. $+8*#$(. '1 "% 9"*#0% 13!+1.#-& .(& x1 = −b−

√∆

2a: x2 = −b+

√∆

2a:$(& "( $/%" ;(";10(. %" $%.( <% 1.*/'#%'(= >. '1$#+6

ax2 + bx + c *#1&1 1" .#5&( '1 a .# x ∈ (−∞, x1) ∪ (x2,∞)=ax2 + bx + c *#1&1 1" .#5&( '1 −a .# x ∈ (x1, x2)=45 ?# ∆ = 0 1&*(&$1. .("( @%< /& !/&*( $+8*#$( A/1 1. x∗ = − b

2a< .1*#1&1 A/16

ax2 + bx + c *#1&1 1" .#5&( '1 a .# x ∈ (−∞, x∗) ∪ (x∗,∞).65 ?# ∆ < 0 1&*(&$1. &( @%< !/&*(. $+8*#$(. < 1& 1.*1 $%.(ax2 + bx + c *#1&1 1" .#5&( '1 a ∀x ∈ R.7/15( 1" )%$*(+ ax2+bx+c !/1'1 .1+ .#0!"#B$%'( 1& "% #&1$/%$#-&: $/#'%&'(1" 1)1$*( A/1 1" .#5&( '1 1.*1 )%$*(+ !+('/$1 1& 1" .1&*#'( '1 "% '1.#5/%"'%'=?# 1& "% #&1$/%$#-& %!%+1$1& )%$*(+1. '1 0%<(+ 5+%'(: ./ +1.("/$#-& 1.*%+C$(&'#$#(&%'% %" @1$@( '1 .# !/1'1 ( &( )%$*(+#,%+ @%.*% )%$*(+1. '1 !+#01+< .15/&'( 5+%'( ( .# .1 $(&($1& ./. $%02#(. '1 .#5&(=78#%,$,$9/ :54; D= E1.(";1+ "%. .#5/#1&*1. #&1$/%$#(&1.6#F 2x2 + 3x + 1 < 0##F 4x− 5− x2 > 0###F x3 < x#;F 22

2x−3 + 23x+264x2−9 > 51

2x+3;F 6x6 − x3 < x4;#F 4x−36x

≤ 8x−65x;##F x9+x

x2−3x+2<0 GD

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3# ! "#$#%&'()% *+, ,'-.'#($#, ,./0+(1.($+, 2# R3'4 {x ∈ R/x8+2x7−8x6

x2−4x+3 > 0}''4 {x ∈ R/x3 − 11x2 + 10x < 10x3 − 12x2 + 82x > 0}'''4 {x ∈ R/ 40x2+x−12 < −4}

1.10.5. Algunas soluciones'4 2x2 + 3x + 1 < 0

∆ = b2 − 4ac = 9− 4 · 2 · 1 = 1 > 0

x1,2 = −b±√

∆2a

= −3±14 ⇒

{

x1 = −1x2 = − 1

25.#-+2x2 + 3x + 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1,−1/2).''4 4x− 5− x2 > 0 ⇐⇒ −x2 + 4x− 5 > 0

∆ = b2 − 4ac = 16− (4 · −1 · −5) = 16− 20 = −4 < 05.#-+ #* ,'-(+ 2#* 6)0$+% #, 0+(,$)($# # '-.)* )* ,'-(+ 2# a = −17 #,2#0'% ,'#&8%# (#-)$'9+!5.#-+ *) ,+*.0':( 2# *) '(#0.)0':( #,34x− 5− x2 > 0 ⇐⇒ x ∈ Φ.'''4 x3 < x ⇐⇒ x3 − x < 0

⇐⇒ x(x2 − 1) < 0⇐⇒ x(x − 1)(x + 1) < 05.#-+ *+, 8.($+, 0%;$'0+, ,+( 07 1 < −1!=+( #,$+, 8.($+, 0%;$'0+, 0+(6#00'+()&+, *) ,'-.'#($# $)/*)3

(−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1, +∞)

x (−) (−) (+) (+)x− 1 (−) (−) (−) (+)x + 1 (−) (+) (+) (+)

x3 − x (−) (+) (−) (+)5.#-+ *) ,+*.0':( #,x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, 1).9'4 4x−3

6x≤ 8x−6

5x⇐⇒ 4x−3

6x− 8x−6

5x≤ 0

⇐⇒ (20x−15)−(48x−36)30x

≤ 0⇐⇒ −28x+21

30x≤ 0

⇐⇒ (−730 )(4x−3

x) ≤ 0

⇐⇒ 4x−3x

≥ 0>

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3# !"#$ %$& '!()$& *+,)-*$& &$( 0 . 34 / 0$( "&)$ *$(1"**-$(23$& %2 )24%2 &-5#!-"()"6

(−∞, 0) (0, 34 ) (3

4 , +∞)

4x− 3 (−) (−) (+)x (−) (+) (+)

4x−3x

(+) (−) (+)78"39& "% '!()$ *+,)-*$ x = 34 2(!%2 "% (!3"+28$+ 8" %2 1+2**-:(; %!"#$ "&)234-<( &$%!*-:( 8" %2 -("*!2*-:(/ !"#$ %2 &$%!*-:( 8" %2 -("*!2*-:( "&6

x ∈ (−∞, 0) ∪ [3

4,∞).

1.11. Módulo o valor absoluto4#5!$,$6! 789 :(60;3< < .'3<% '=/<3;)<>8 !" x ∈ R# $$"%"&!%'( %)*+,$' +! x "$ &!"$ +!-./+' 0'&1|x| =

{

x, (/ x ≥ 0−x, (/ x < 0?@#*A3</B-= |2| = 2--= | − 2| = −(−2) = 2---= |1 − x2| =

{

1− x2, &- 1− x2 ≥ 0x2 − 1, &- 1− x2 < 0'"+$

1− x2 ≥ 0 ⇐⇒ (1− x)(1 + x) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ [−1, 1] !"#$|1− x2| =

{

1− x2 &- x ∈ [−1, 1]x2 − 1 &- x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞)C%<A$#0'0#/ 78 23 |x| ≥ 0 ∀x ∈ R43 |x| = 0 ⇐⇒ x = 053 |x| = | − x| >>

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3# ! |x2| = |x|2 = x2"! −|x| ≤ x ≤ |x|#! |xy| = |x| · |y|$! |xy| = |x|

|y|%! |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a] ! |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ∨ a ≤ x ⇐⇒ x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,∞)"#! |x− x0| ≤ a ⇐⇒ x0 − a ≤ x ≤ x0 + a ⇐⇒ x ∈ [x0 − a, x0 + a]""! |x− x0| ≥ a ⇐⇒ x ≤ x0 − a ∨ x ≥ x0 + a ⇐⇒ x ∈ (−∞, x0 − a] ∪[x0 + a,∞)"$! (∀x, y ∈ R) |x + y| ≤ |x|+ |y| %&'()*+,-.,. /0),1*+-,02 !"#$%&'()*+ !" #$%&'()*(+ ,-+ .) /+$&"(')0#1* /+ .)" 2.(#$)" %'&%#+3/)/+"4 +" .&5')' +*(+*/+'.)" + #*(+'*).#6)'.)" ) 0)7).#/)/4 8) ,-+ "+'!* -*)9+'')$#+*() $-8 #$%&'()*(+ %)') .) '+"&.-0#1* /+ #*+0-)0#&*+" ,-+ 0&*3(+*5)* +:%'+"#&*+" 0&* $1/-.&; <*+0-)0#&*+" ,-+ %&' 0#+'(& "+'!* $-09&$!" #*(+'+")*(+" 8 0&$%#0)/)" ) .) =+6 ,-+ .)" =#"()" ). 0&$#+*6&;

1.11.1. Demostración de algunas propiedades del módulo>; ?+7+$&" /+$&"(')' ,-+ (∀x ∈ R) |x| ≥ 0

x ∈ R =⇒ x ≥ 0 ∨ x < 0=⇒ |x| = x ≥ 0 ∨ |x| = −x > 0=⇒ |x| ≥ 0 ∨ |x| > 0=⇒ |x| ≥ 0.@; ?+7+$&" %)'(#' /+. 9+09& |x| = 0 8 %'&7)' ,-+ x = 04 8 .-+5& %)'(#' /+

x = 0 8 ) %)'(#' /+ +"(+ 9+09& %'&7)' ,-+ |x| = 0; A&* +"(& 9)7'+$&"%'&7)/& .) +,-#=).+*0#);3x = 0 ⇒ |x| = x = 0 ⇒ |x| = 03|x| = 0 ⇒ x = 0 ∨ −x = 0 ⇒ x = 0;B; ?+7+$&" /+$&"(')'C (∀x ∈ R)− |x| ≤ x ≤ |x|x ∈ R =⇒ x ≥ 0 ∨ x < 0

=⇒ x = |x| ∨ −x = |x|=⇒ −|x| ≤ x = |x| ∨ −|x| = x < |x|=⇒ −|x| ≤ x ≤ |x| ∨ −|x| ≤ x ≤ |x|=⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.

DE

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3# ! "#$#%&' (#%&')*+*, |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a]-. a < 0 /+ #01.2+/#34.+ #' #2.(#3)# 51#'|x| ≤ a ⇐⇒ x ∈ Φ ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a-. a ≥ 06 #3)&34#' '# ).#3# 01#,

|x| ≤ a ⇐⇒ [x ≥ 0 ∨ x < 0] ∧ |x| ≤ a⇐⇒ 0 ≤ x = |x| ≤ a ∨ −a ≤ −|x| = x < 0⇐⇒ 0 ≤ x ≤ a ∨ −a ≤ x < 0⇐⇒ [0 ≤ x ∧ −a ≤ x ≤ a] ∨ [x < 0 ∧ −a ≤ x ≤ a]⇐⇒ [0 ≤ x ∨ x < 0] ∧ −a ≤ x ≤ a⇐⇒ −a ≤ x ≤ a45#*637 89:97#'&/2+%&'

2|x| < |x− 1|8+*+ *#'&/2#* #')# ).5& (# .3#41+4.&3#'6 '# 51#(#3 1'+* (&' %9)&(&' +/)#*:3+).2&'! ;/ 5*.%#*&6 1'+ /+' 5*&5.#(+(#' (#/ %<(1/& #3 =&*%+ *#.)#*+(+!;/ '#>13(& %9)&(& 4&3'.')# #3 '#5+*+* /+ .3#4+14.<3 4&3 %<(1/& #3 134&3?13)& (# .3#41+4.&3#' =@4./#' '.3 %&(1/&! A#+%&' #3 =&*%+ (#)+//+(+4&%& 1'+* #')+' (&' )943.4+' #3 #')# #?#*4.4.&!;<,!$,' 8 =>/7 0# 3'/ 6%76$#0'0#/ 0#3 *?0>37@;')+ )943.4+ '# 1'+ (#/ %&(& '.>1.#3)#,2|x| < |x− 1| ⇐⇒ −|x− 1| < 2x < |x− 1|

⇐⇒ |x− 1| > −2x ∧ |x− 1| > 2x

⇐⇒ [x− 1 < 2x ∨ x− 1 > −2x] ∧ [x− 1 < −2x ∨ x− 1 > 2x]

⇐⇒ [x > −1 ∨ 3x > 1] ∧ [3x < 1 ∨ x < −1]

⇐⇒ [x > −1] ∧ [x <1

3]

⇐⇒ x ∈ (−1,1

3).45#*637 89A9;<,!$,' B =>/7 0# 37/ 6>!)7/ ,%&)$,7/B;')+ )943.4+ 4&%.#3C+ $1'4+3(& )&(&' /&' 513)&' #3 /&' 41+/#' /&' =+4:)&*#' $+?& /&' %<(1/&' 4+%$.+3 (# '.>3&!-. %.*+%&' /+ #D5*#'.<3

2|x| < |x− 1|,2#%&' 4/+*+%#3)# 01# /&' 513)&' 4*E).4&' '&3 #/ 0 5+*+ #/ 5*.%#* %<(1/&F #/ 1 5+*+ #/ '#>13(&! ;')&' 513)&' 4*E).4&' '# &*(#3+3 (# %#3&* +%+F&* F 4&3 #//&' '# =&*%+3 /&' .3)#*2+/&' (−∞, 0], (0, 1] F 6(1, +∞).GH

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3# !" #$%!$ &"%#'()*!$ $# +,#-# -#.&' /,# *) &"#.,).&0" #$ #/,&()*#"%# ) *)$1')$#$ *02&.)$ $&2,&#"%#$34)5 /,# #".!"%')' %!-!$ *!$ '#)*#$ /,# .,6+*)" 2|x| < |x− 1|.4)5 /,# #".!"%')' %!-!$ *!$ '#)*#$ #" (−∞, 0] ∪ (0, 1] ∪ (1, +∞)/,# .,6+*)" 2|x| < |x− 1|74)5 /,# #".!"%')' %!-!$ *!$ '#)*#$ #" (−∞, 0] /,# .,6+*)" 2|x| <|x − 1|8 6)$ %!-!$ *!$ '#)*#$ #" (0, 1] /,# .,6+*)" 2|x| < |x − 1|86)$ %!-!$ *!$ '#)*#$ #" (1, +∞) /,# .,6+*)" 2|x| < |x− 1|79" *) :*%&6) 1')$# *02&.) )"%#'&!' #$%; *) .*)(# -#* +'!<*#6)7 9" #1#.%! *!/,# -#<# =).#'$# #$ '#$!*(#' *) &"#.,).&0" #" .)-) ,"! -# *!$ &"%#'()*!$.!"$&-#')-!$ 5 )* >")* '#,"&'$# %!-)$ *)$ $!*,.&!"#$7 ?! &"%#'#$)"%# #$ /,##" .)-) &"%#'()*!8 *!$ 60-,*!$ +,#-#" #*&6&")'$#8 5) /,# *!$ )'2,6#"%!$/,# #**!$ #".&#'')" %&#"#" $&2"!$ .!"$%)"%#$7@#)6!$ .!6! !+#') #$%# 6A%!-! #" .)-) &"%#'()*!7B7 9" #* &"%#'()*! (−∞, 0] *!$ 1).%!'#$ x 5 x−1 $!" )6<!$ 6#"!'#$ !&2,)*#$ ) .#'!8 +!' *! %)"%! #" #$%# &"%#'()*! *) &"#.,).&0" $# #$.'&<#

2|x| < |x− 1| ⇐⇒ −2x < −(x− 1)

⇐⇒ 2x > x− 1

⇐⇒ x > −1.C!' *! %)"%! #" #$%# &"%#'()*! *) $!*,.&0" #$ #* .!"D,"%! (−1, 0]7E7 9" #* &"%#'()*! (0, 1] #* 1).%!' x #$ +!$&%&(! +#'! #* 1).%!' x − 1 #$"#2)%&(!8 +!' *! %)"%! #" #$%# &"%#'()*! *) &"#.,).&0" $# #$.'&<#2|x| < |x− 1| ⇐⇒ 2x < −(x− 1)

⇐⇒ 3x < 1

⇐⇒ x <1

3.?,#2! #" #$%# &"%#'()*! *) $!*,.&0" #$ (0, 1

3 )7F7 G&")*6#"%#8 #" #* &"%#'()*! (1,∞) *!$ 1).%!'#$ x 5 x− 1 $!" )6<!$+!$&%&(!$8 +!' *! %)"%! #" #$%# &"%#'()*! *) &"#.,).&0" $# #$.'&<#2|x| < |x− 1| ⇐⇒ 2x < (x − 1)

⇐⇒ x < −1.9$%) &"#.,).&0" %&#"# $!*,.&0" (−∞,−1) #" R8 +#'! .!6! *) #$%)H6!$ '#$!*(&#"-! #" #* &"%#'()*! (1,∞)8 $# -#-,.# /,# *) $!*,.&0"#$ ∅.9" .!"$#.,#".&) *) $!*,.&0" >")* -# #$%) &"#.,).&0" #$(−1, 0] ∪ (0,

1

3) ∪ Φ =

(

−1,1

3

)FI

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!"#!$#%&' (')#*+)$,'-!$.#%/$0'0 0# 12$3#45#*637 89:9|x2 − |3 + 2x|| < 4;73<,$=! 8 !"#$%& '#" ()&(*+%#%+" %+ ,-%.'&/0

|x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ −4 < x2 − |3 + 2x| < 4

⇐⇒ |3 + 2x| < x2 + 4 ∧ |3 + 2x| > x2 − 4

⇐⇒ [−x2 − 4 < 3 + 2x ∧ 3 + 2x < x2 + 4] ∧ [3 + 2x < −x2 + 4 ∨ 3 + 2x > x2 − 4]

⇐⇒ x2 + 2x + 7 > 0 ∧ x2 − 2x + 1 > 0 ∧ [x2 + 2x− 1 < 0 ∨ x2 − 2x− 7 < 0].1$ 2#%# *$+2.#2*-$ %+ "+3.$%& 3)#%& "+ 4*+$+0∆ = −24 < 0 =⇒ ax2 + bx + c = x2 + 2x + 7 4*+$+ +' "*3$& %+ a ∀x ∈ R5+$ +"4+ 2#"& a = 15 '& 6.+ *,('*2# 6.+ '# "&'.2*-$ +" 4&%& R7∆ = 0 =⇒ '# "&'.2*-$ $& *$2'.*)8 x = 19# 6.+ '# +:()+"*-$ x2 − 2x + 1"+ #$.'# 9 +"4& $& (.+%+ "+)7 ;%+,8" +' "*3$& %+ x2−2x+1 $.+<#,+$4+"+)8 +' "*3$& %+ a = 15 +' 2.#' +" (&"*4*<&5 (&) '& 4#$4& '# "&'.2*-$ "+)8R \ {1}7∆ = 8 =⇒ '# "&'.2*-$ +" (−1−

√2,−1+

√2)5 *$4+)<#'& %&$%+ +' "*3$& %+

x2 + 2x− 1 +" +' "*3$& %+ −a %&$%+ a = 15 (&) '& 4#$4& "+)8 +' *$4+)<#'&%&$%+ x2 + 2x− 1 < 07∆ = 32 =⇒ '# "&'.2*-$ +"(1− 2

√2, 1 + 2

√2)7=.+3& '# "&'.2*-$ >$#' %+ '# *$+2.#2*-$ +"0

R ∩ R \ {1} ∩ [(−1−√

2,−1 +√

2) ∪ (1 − 2√

2, 1 + 2√

2)

= (−1−√

2, 1) ∪ (1, 1 + 2√

2)45#*637 89>9;73<,$=! ? !"#$%& (.$4&" 2)?4*2&"/0=& ()*,+)& +" <+) +' (.$4& 2)?4*2& 3 + 2x, +' 2.#' +" − 32 5 '.+3& +' "*3$&%+ 3 + 2x (#)# x < − 3

2 "+)8 $+3#4*<&5 (&) '& 4#$4& %+@+,&" #$4+(&$+).$ "*3$& (−) # '# +:()+"*-$ 9 "#2#) +' ,-%.'&7 A* x > − 32 5 '# +:()+"*-$"+)8 (&"*4*<# 9 "-'& %+@+,&" )+4*)#) +' ,-%.'&7 B&$ +"4& 4+$%)+,&" '&"*3.*+$4+0

|x2 − |3 + 2x|| < 4 ⇐⇒ [x < −3

2∧ |x2 + 3 + 2x| < 4] ∨ [x ≥ −3

2∧ |x2 − 3− 2x| < 4].;C&)# 2&,('+4#)+,&" 2.#%)#%& +$ '#" +:()+"*&$+" 6.+ 4*+$+$ ,-%.'&0

⇐⇒ [x < −3

2∧ |(x + 1)2 + 2| < 4] ∨ [x ≥ −3

2∧ |(x− 1)2 − 4| < 4].DE

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2∧ (x + 1)2 < 2] ∨ [x ∈ [−3

2,−1) ∧ (x− 1)2 − 4 < 4]

∨[x ∈ [−1, 3] ∧−(x− 1)2 + 4 < 4] ∨ [x ∈ (3,∞) ∧ (x− 1)2 − 4 < 4].:$, "&-$ ?*-0)$ 2( ,$ -",")$& ,0,#!,( "5+."&06, '$, )61!*$@ (;$.(&6*$ A(*-(.7 %!&'(. "* 0,-".8(*$ &$*!'06, '$)$ &" ",&"B6 ", !, '$)0",=$⇐⇒ [x < −3

2∧ x ∈ (−1−

√2,−1 +

√2)] ∨ [x ∈ [−3

2,−1) ∧ x ∈ (1 − 2

√2, 1 + 2

√2)]

∨[x ∈ [−1, 3] ∧ x 6= 1] ∨ [x ∈ (3,∞) ∧ x ∈ (1− 2√

2, 1 + 2√

2)],(.."#*(,1$ !, +$'$ *$& 0,-".8(*$& 1" &$*!'06, $%-",1.")$&⇐⇒ [x ∈ (−1−

√2,−3

2)] ∨ [x ∈ [−3

2,−1)] ∨ [x ∈ [−1, 3] \ {1}] ∨ [x ∈ (3, 1 + 2

√2)]

⇐⇒ x ∈ (−1−√

2, 1 + 2√

2) \ {1}.

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