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TECSUP PFR Matemtica Aplicada

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Unidad I

DDEERRIIVVAADDAASS:: AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS MMEECCNNIICCAASS 1. CINEMTICA

La cinemtica es el estudio del movimiento sin considerar las fuerzas u otros factores que influyen sobre el mismo. 1.1. MOVIMIENTO RECTILINEO

Es el realizado por un punto P a la largo de una lnea recta, que, por conveniencia, escogeremos como eje x. Los smbolos vectoriales se omitirn en esta parta. POSICIN La posicin del punto P en un instante cualquiera t se expresa en funcin de su distancia x a un origen fijo sobre el eje x. La distancia x ser negativa o positiva de acuerdo con el convenio normal de notacin.

1.2. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media vm del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + t, durante el cual su posicin vara de x a t + t, es el cociente v/t. Matemticamente, se escribe:

tx v m

= (1)

1.3. VELOCIDAD INSTANTNEA

La velocidad instantnea v del punto P en el instante t es el lmite de la velocidad media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo tiende a cero como lmite. Matemticamente, se escribe:

dtdx

tx v lim

0t=

=

(2)

Matemtica Aplicada TECSUP PFR

2

1.4. ACELERACIN MEDIA

La aceleracin meda am del punto P durante el intervalo de tiempo entre t y t + t, durante el cual su velocidad vara de v a v +v , es el conciente v/t. Matemticamente, se escribe

tv am

= (3)

1.5. ACELERACIN INSTANTNEA

La aceleracin instantnea a del punto P en el instante t es el lmite de la aceleracin media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo tiende a cero como lmite. Matemticamente, se escribe.

2

2

0t dtxd

dtdv

tv a lim ==

=

(4)

En el caso de aceleracin constante a = K son vlidas las siguientes frmulas.

at vv o += (5)

as 2 v v 2o2 +=

(6)

2

o at21 t vs +=

(7)

t ) vv (21 s o+=

(8) En donde: vo = velocidad inicial. v = velocidad final. a = aceleracin constante. t = tiempo. s = desplazamiento.


3

1.6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Movimiento armnico simple es un movimiento rectilneo en el que la aceleracin es proporcional al desplazamiento con signo negativo. Matemticamente, se escribe.

x -ka 2= (9)

Como ejemplo, veamos que la ecuacin (9) la satisface un punto que vibra de modo que su desplazamiento x viene dado por la ecuacin.

t A senx = (10)

En donde: A = Amplitud medida linealmente. w = frecuencia circular o angular constante en radiantes por segundo. t = tiempo en segundo. As:

tASenx = tCosA

dtdxv ==

xtASendt

xda 2222

===

EJEMPLO 1 Un punto P se mueve a lo largo de una lnea recta de acuerdo con la

ecuacin 5t2t4x 3 ++= en donde x est en metros y t en s. Determinar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin cuando s 3t = Solucin:

2

2 2

3 3

m/s72 ) 3 (24 t 24 dv/dt a m/s110 2 ) 3 (12 2 t12 dx/dt v

m119 5 ) 3 (2 )3(4 5 t 2 t4 x

=====+=+===++=++=


4

EJEMPLO 2 Un punto se mueve a lo largo de una lnea recta de modo que su desplazamiento es: s = 8t2 + 2t, en donde s esta en m y t en s. Representar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo. Solucin:

t2 t8 s 2 += 2 t 16 ds/st v +==

16 s/dt d dv/dt a 22 === As se ve que la aceleracin es constante, 16 m/seg2. Para obtener las graficas tabularemos t, s, v, y a.

t t2t8s 2 += 2t16v += 16a = 0 0 2 16 2 36 34 16 5 210 82 16 10 820 162 16


5

s (cm )

400

200

0

600

800

2 3 4 5 6 7 8 9 101t (s)

v

0 t (s)

0 t (s)

a

t2 t8 s 2 +=

a

t

==v

0v0

t

0tvvd va d t

==s

0s0

t

0tssdvvdt

t

De las ecuaciones:

2 t 16 ds/st v +== 16 s/dt d dv/dt a 22 ===

La integracin entre los lmites adecuados:

==v

0v0

t

0tvvdvadt

==s

0s0

t

0tssdvvdt

En donde:

==v

0v0

t

0tvvdvadt = rea bajo el diagrama a-t en el intervalo de

tiempo comprendido entre t y to , por lo tanto representa la variacin de la velocidad.


6

0 t (s)

a

t

==v

0v0

t

0tvvdvadt

==s

0s0

t

0tssdvvdt = rea bajo el diagrama tv en el intervalo de

tiempo comprendido entre t y to , por lo tanto representa la variacin del espacio recorrido.

v

0 t (s)

==s

0s0

t

0tssdvvdt

EJEMPLO 3 Un tren vara su velocidad uniformemente de 60 km/h a 30 km/h en una distancia de 500 m. Cul es su aceleracin? Solucin: Datos:

m/s.7,16 km/h 60 vo == m/s3,8 km/h 30 v ==

m500 s = La aceleracin a es constante porque la velocidad vara uniformemente en una lnea recta.

as 2 vv 2o2 +=


7

2222

o2

m/s21,0 - m)500(2

m/s)7,16 - ( m/s)3,8( s2

- vv a === Que a veces se expresa diciendo que existe una deceleracin de 0,209 m/s2. EJEMPLO 4 La aceleracin de un punto en un movimiento rectilneo viene dada por la ecuacin:

a = -9,8. Se sabe que la velocidad v es cero y el desplazamiento x es +25 cuando t es igual a cero. Determinar la ecuacin del desplazamiento. Solucin Como sucede con frecuencia en los problemas fsicos, la aceleracin puede obtenerse por observacin y sustituirse en la ecuacin diferencial de segundo orden. La resolucin es sencilla puesto que las variables x y t pueden separarse. Escribamos la ecuacin dada del modo siguiente:

8,9- dv/dt a == Luego:

dt.8,9 -dv = dt8,9dvv0v

t

0t =

0o tt8,9 -vv = 0v0 = cuando 0to =

La ecuacin para la velocidad es:

.t8,9dt/dxv == Luego:

tdt8,9dx = tdt8,9dxx0x

t

0t =

)tt(28,9xx 20

20 =


8

25x += cuando 0t0 = La ecuacin para el desplazamiento es:

.25t9,4x 2 += EJEMPLO 5

Una partcula se mueve sobre una lnea recta horizontal con

una aceleracin de 3 .s6a = Cuando s2t = , su desplazamiento es m27s += y su velocidad s/m27v += . Calcular la velocidad y la aceleracin de la partcula cuando s4t = . Solucin: Como la aceleracin viene dada en funcin del desplazamiento, utilizaremos las ecuaciones:

adtdvdtdva ==

(a)

vdtdsdtdsv ==

(b) Al combinar a y b:

adsvdv = dss6vdv 3=

dss6vdv 3 = 1

3/42

C3/4

s62v += Luego: 13/42 Cs9v += Cuando 27v += 27s += , 0C1 =

Luego: 323/4 s3s9v ==

s (cm)

72

360

108

144

t (s)

3)1t( s +=180

v (m/s)

36

180

54

72

t (s)

2)1t(3 v +=

90

a (m/s )

12

60

18

24

1 2 3 4 5

t (s)

)1t(6 a +=302


9

Utilicemos ahora:

dt/dsv = Reemplazando:

dtdss3 3/2 =

dt3s/ds 32 = = dt3dss 3/2

2

3/1

Ct33/1

s += 2

31 Ct3s3 += . Cuando 27s += 2t = , 3C2 =

Luego: 3)1t(s += . Por consiguiente, las ecuaciones son

3)1t(s += 2)1t(3v +=

)1t(6a +=

Cuando s4t = : m125s = , s/m75v = 2s/m30a = Se ha dibujado una representacin de estas magnitudes en funcin del tiempo. EJEMPLO 6 En el mecanismo de vaivn o biela triangular de la figura la manivela OA est girando con una velocidad angular constante rad/s. Deducir la expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin del elemento deslizante.


10

x

B

A

O

l

Solucin B representa la posicin del extremo izquierdo del elemento cuando = 0. El desplazamiento x puede escribirse = OACoslOBx . Adems:

OAlOB += , por tanto: )Cos1(OAOACoslOAlx =+=

Sea: OA = R, adems como la manivela est girando con velocidad angular constante , la expresin t puede sustituir a . Luego:

)tCos1(Rx = tSenR

dtdxv == y

tCosRdtdva 2 ==


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PROBLEMAS PROPUESTOS 1

1. Una partida tiene un movimiento en lnea recta de acuerdo con la ecuacin 5 - t3 - tx 23= estando x en m y t en s . Cul es el desplazamiento en el lapso en que la velocidad vara de m/s8 a

m/s40 ? Sol: 121,35m x =

2. Un cuerpo se mueve a lo largo de una lnea recta de modo que su

desplazamiento medido desde un punto fijo sobre dicha lnea viene

dado por t2 t3 s 2 += . Hallar el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin al final de los s.3 Sol: m33 , s/m 20 , 2 m/s6

3. El movimiento de un partcula est definido por la relacin

8 - t2 t3 - ts 234 += , estando s en m y t en s . Determinar la velocidad

s y la aceleracin

s cuando

s 2 t = Sol: m/s4 s += 2 m/s16 s +=

4. La curva velocidad-tiempo de un punto que se mueve sobre una lnea

recta est dibujada en la figura. Qu distancia recorre el punto en s2 ?

v (m/s)

01 2

t (s)

t41Cos4 v =

Sol: m09,5 x = 5. Un objeto se mueve en lnea recta con una aceleracin constante de m/s.2 Cunto tiempo tardar en variar su velocidad de 5 a 8 m/s? Qu variacin de desplazamiento tendr lugar en este intervalo de tiempo? Sol: s 5,1 t = m95,9 s =


12

5. El movimiento de una partcula viene dado por la aceleracin 7 t2 - ta 23 += estando a en 2s/m y t en s . La velocidad es

de 3,58 m/s cuando s1 t = y el desplazamiento vale +3,39 m cuanto s1 t = . Calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin cuando

s2 t = . Sol: m9,15 s = m/s67,9 v = 2 m/s7 a =

6. Se deja caer una piedra desde un globo que se est elevando con

velocidad constante de 9 m/s. Si la piedra tarda 10 s en alcanzar el suelo, a qu altura estaba el globo en el momento de dejar caer la piedra? Sol: m 400s =

7. Un globo se est elevando con una velocidad de 1 m/s cuando se

arroja un saco de lastre. Si su altura en el instante en que se suelta el saco es 84 m, cunto tiempo (s) tardar este lastre en llegar al suelo? Sol: s23,4t =

8. Una partcula se mueve sobre una lnea vertical con una aceleracin

v2a = . Cuando s2t = , su desplazamiento es m3/64s = y su velocidad s/m16v = . Determinar las ecuaciones del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin y evaluar el valor para cada una de estos parmetros cuando s3t = Sol: 3)2t(

31s += )2(tv 2+= )2(t2a +=

Cuando s 3t = : m7,41s = m/s 25 v = 2 m/s10a =

9. La aceleracin de un punto que se mueve sobre una lnea vertical viene dada por la ecuacin 20t12a = . Se sabe que su desplazamiento es m10s = en el tiempo 0t = y que su desplazamiento es m10s += en el tiempo s5t = . Deducir la ecuacin de su movimiento.

Sol: 10t -4 t10 - t2 s 23 +=

10. Completar los diagramas de velocidad vs. Tiempo y aceleracin vs tiempo del movimiento lineal de un pistn hidrulico el cual se mueve controlado por tecnologa proporcional.


13

L

a1

a2

a3

t

VSALIDA

a +

VENTRADA

PARABOLA

a4

v1

v3

v2

v4

v5

(cm)

(s)

-a2

-a1

RECTA

a = Aceleracinv = Velocidad

a -

t (s)

t (s)

(cm/s)

(cm/s )2

L = Posicin

11. Determinar el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleracin de la cruceta C en el mecanismo biela-manivela para una posicin cualquiera de la manivela R, que est girando con una velocidad angular constante de rad/s. Determinar la velocidad del pistn cuando 4l = cm, 10R = cm,

o30= . RPM200n =


14

l

A

R

D

hC

X

Sol: += 22

Senl2

R)Cos1(Rx

)2Senl2

RSen(Rv +=

)2Cosl

RCos(Ra 2 += 2. RAZN INSTANTNEA

2.1. RAZN

abscisasCambio de ordenadasCambio de

xx)x(f()x(f

0

0 =

Razn Instantnea al lmite:

0

0

0xx xx)x(f)x(f

lim

Existen muchas aplicaciones de estos dos conceptos. Por ejemplo, la cantidad de agua Q (en litros) que hay en un recipiente es funcin del

tiempo t . Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad Q de un tiempo t a un tiempo .tt + La razn promedio de cambio de Q con respecto a t es:

min)/l(tQ


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2.2. RAZN INSTANTNEA

(l/min)tQ

limdtdQ

0t= .

EJEMPLO 1 Un recipiente cilndrico de 10 cm de radio es llenado con un caudal de aceite de 4 l/min. Determine la velocidad (cm/s) con que sube la superficie del aceite. Solucin

El volumen de un cilindro es:

h4

2dV = Derivando el volumen y la altura con respecto al tiempo (d = cte)

dh4

2ddV =

dtdh

4

2ddtdV =

V

v

Q = 4 l/min

d

h

v4

2dQ = Reemplazando el valor de: Q = 4 l/min = 4000 cm3/min; d = 20 cm. v = 12,7 cm/min = 0,21 cm/s

EJEMPLO 2 Dos barcos salen simultneamente de un puesto: uno viaja hacia el Sur a una velocidad de 20 km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de 30 km por hora. Al final de 3 horas, cul es la velocidad de separacin de los dos barcos?


16

Solucin Sea: z La distancia entre los dos barcos.

t20 La distancia hacia el Sur recorrida por el primer barco. t30 La distancia hacia el Este recorrida por el segundo barco.

t El tiempo transcurrido en horas desde que dejaron el puerto. Entonces:

zt20

t30

t1300zt1300z;)t30()t20(z 22222 ==+= 1300

dtdz = = 36.06 km por hora aproximadamente.

EJEMPLO 3 A un cono recto circular invertido le entra agua a razn de 2 cm3 por minuto. La altura del cono es dos veces su dimetro. A qu rapidez sube la superficie del agua (cm/minuto) cuando la misma alcanza una profundidad de 10 cm en el cono? Solucin V Volumen del agua en el cono, h Profundidad (cm) r Radio superior (cm) t tiempo (minutos)

=dtdV Caudal

=dtdh Rapidez con que sube la superficie de agua.

Entonces: hr31V 2= con r4h =


17

32 h48

h)4h(

31V ==

dtdh)

48h(

dhd

dtdV 3=

dtdhh

16dtdV 2=

2r

h = 4r

10 cm

Al remplazar las cantidades conocidas por sus valores se tiene:

dtdh10

162 2=

utomincm102.032.0

dtdh == EJEMPLO 4 Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la onda generada aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando el radio es de 10 pies. A que velocidad aumenta el rea del crculo de agua perturbada? Solucin:

2rA = .


18

dtdrr2

dtdr)r(

drd

dtdA 2 ==

r = 10 pies

v

EJEMPLO 5 Un hombre de 1,80 m de estatura se aleja a una velocidad de 3 Km/h de una luz que est a 4,5 m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es de 3,6 m: 1. A qu velocidad crece su sombra (Km/h)? 2. A qu velocidad se mueve la parte ms alejada de la sombra con

respecto a la luz (Km/h)?

Solucin 1. Sea x la distancia horizontal que separa al hombre de la luz y la

longitud de su sombra:

4,50 m

1,80 m

x = 3,6 m y

z

sombra

s/pie 33,251 804.10.2 ==


19

Se pide =dtdy

velocidad con que crece la sombra

En la figura, por semejanza de tringulos se tiene:

y7,2x8,18,1y

5,4yx ==+

dtdy7,2

dtdx8,1 =

Remplazando los valores:

h/km 2dtdy

dtdy7,2)3( 8,1 ==

2. Se pide =dtdz

Rapidez con la que se mueve la sombra con respecta a

la luz.

4,50 m

1,80 m

x = 3,6 m y

z

sombra

dtdy

dtdx

dtdz

Sea: 2222 u)5.4()yx()5.4(z +=++=

( ) dtdu

u5.4

udtdz

22 +=

Donde: uyx =+ Luego:

( ) )dtdy

dtdx(

u5.4

udtdz

22+

+=


20

Cuando:

4,2y6.3x == 6u = Tambin:

3dtdx = (Dato); 2

dtdy = (Caso a)

Luego reemplazando estos valores:

hkm4)23(

65.46

dtdz

22=++=

EJEMPLO 6 Un baln esfrico pierde aire a razn constante de 2 cm3/s. Con que razn decrece el radio del baln (cm/s) cuando su dimetro es de 1 m. Solucin Sea: R = Radio del baln V = Volumen del baln. Luego.

3R34V =

Derivando con respecto al tiempo se tiene:

dtdRR4

dtdV 2=

Q = 2 cm /s 3

vR


21

Donde:

dtdV

R41

dtdR

2=

Donde: s

cm2dtdV 3=

Luego:

scm00006.0)2(

5041

dtdR

2 == EJEMPLO 7 En una fbrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma una pila cnica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base. 1. Con qu rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es

de 90 cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por minuto?

2. Con qu rapidez aumenta el radio cuando tiene 1,80 m y su volumen aumenta a una razn de 3 m3 por minuto?

Solucin

1. Sea: =r radio de la base y =h altura de la pila en el tiempo t .

Sabemos que el volumen de la pila cnica es: hr31V 2= Donde:

r34h =

Luego:

32 r94)r

34(r

31V ==

dtdrr

34

dtdV 2= Reemplazando los datos:

90r = 81

dtdr =

mincm1350

8190

34

dtdV 32 ==


22

h = 4/3r

r = 90s

cm81

dtdr =

EJEMPLO 8

Un punto se mueve sobre la parte superior de la parbola semicbica 32 xy = de tal manera que su abscisa aumente 5 unidades por segundo

cuando 4x = . Con qu rapidez cambia la ordenada?

Solucin:

Datos:

5dtdx =

Incognitadtdy = Derivando 32 xy = con respecto a t se obtiene:

dtdxx3

dtdyy2 2= .

Cuando ,4x = 8y = . Al remplazar estos valores se obtiene:

sunidades15

dtdy5).4(3

dtdy)8(2 2 ==

32 xy =

X

Y


23

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

1. Un hombre camina a 7 km/h hacia la base de una torre que tiene 18 m de altura. Con qu rapidez se acerca a la cima de la torre cuando su distancia de la base es 24 m? Resp.: Se acerca a 6 km/n

2. Un punto se mueve sobre la parbola x12y2 = , de manera que la abscisa aumenta uniformemente 2 cm/s. En qu punto aumentan la abscisa y la ordenada a la misma razn? Resp.: (3,6)

3. Halle los valores de x para los que la rapidez de variacin de la

funcin 13x15x12x 23 + es cero. Resp.:3 y 5

4. Un buque navegaba hacia el Sur a una velocidad de 6 millas por

hora; otro navegaba hacia el Este a una velocidad de 8 millas por hora. A las cuatro de la tarde el segundo cruz la ruta del primero en el punto por el que ste haba pasado dos horas antes. Cmo variaba la distancia entre los buques a las tres de la tarde? Cmo a las cinco de la tarde? Cundo no variaba la distancia entre ellos? Resp.: Disminua 2,8 millas por hora; Aumenta 8,73 millas por hora; A las 3 h 17 min de la tarde.

5. Las aristas de un tetraedro regular miden 10 cm; si aumentan 0,1cm

por minuto, calcule la rapidez de aumento del volumen.

6. El dimetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto instante, 10 y 20 cm, respectivamente. Si el dimetro aumenta a razn de 1 cm por minuto qu alteracin de la altura mantendr el volumen constante? Resp.: Una disminucin de 4 cm/min.

7. El radio de la base de cierto con aumenta a razn de 3 cm por hora y

la altura disminuye a razn de 4 cm por hora. Calcule cmo varia el rea total del cono cuando el radio mide 7 cm y la altura 24 cm. Resp.: Aumenta 26 cm2/h


24

8. Un gasmetro contiene 1000 m3 de gas a la presin de 300 gf por cm2 . Si la presin disminuye a razn de 3 gf por cm2 por hora, con que rapidez aumentar el volumen? (Dse por sentada la ley de Boyle: .cpv = ) Resp.:10 m3/h

9. La ley adiabtica para la expansin del aire es .cPV 4,1 = Si en un tiempo dado se observa que el volumen es de 10 m3 y la presin es de 50 kgf por centmetro cuadrado, cul es la alteracin de la presin si el volumen disminuyen un metro cbico por segundo? Resp.: Aumenta 7 kgf/cm2 por segundo

10. Se echa agua en un recipiente hemisfrico de 35 cm de dimetro a razn de 16 cm3 po segundo.Con qu rapidez sube el agua: Cuando ha llegado a media profundidad; En el momento de rebosar? (El volumen de un segmento esfrico de una base es 32 h3

1rh , siendo h la altura del segmento.)

11. El gas de un globo esfrico se escapa a razn de 1000 cm3 por

minuto. En el instante en que el radio es 25 cm: a) con qu rapidez disminuye el radio?, b) con qu rapidez disminuye el rea de la superficie? Resp.: b) 80 cm2/min

12. Una va de ferrocarril cruza una carretera bajo un ngulo de 60. Una

locomotora dista 160 m del cruce y se aleja de l a la velocidad de 100 km por hora. Un automvil dista del cruce 160 m y se acerca a l a la velocidad de 50 km por hora A qu razn se altera la distancia entre los dos? Resp.: 25 km/h o

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