1) Cuntos nmeros de tres lugares se pueden formar con las cifras 1, 2, 3 si cada cifra bsica debe aparecer exactamente una vez? Cules son? R/ Estamos en presencia de una permutacin de las tres cifras por lo que se pueden formar 3! = 6 nmeros de tres lugares. Ellos son 123, 132, 213, 231, 312, 321.2. De cuntos modos se pueden escoger tres pinturas diferentes de las cinco que existen? R/ Para escoger tres pinturas de las cinco existentes, debemos tener en cuenta que no se pueden repetir y que cada eleccin se diferencia de otra si al menos una de ellas es diferente sin importar el orden en que se tomen entonces estamos en presencia de una combinacin C5,3 = 2!3! 5! =10 y se pueden escoger de 10 formas diferentes. De la teora combinatoria se conocen tambin las permutaciones, variaciones y combinaciones con repeticin de las cuales solamente nos referiremos a sus ecuaciones y un ejemplo de cmo utilizarlas en la solucin de problemas. Permutaciones con repeticin: Si algunos de los objetos permutados son iguales se obtendrn menos permutaciones, pues algunas de ellas sern iguales entre s. PRn,a,b,,m = ! !... ! ! a b m n Variaciones con repeticin: Es el caso donde cada objeto puede repetirse p veces. VRn,p =np Combinaciones con repeticin: Se deben distribuir los elementos segn los tipos, hay que numerar todos los elementos de la combinacin, pero a los nmeros de los del segundo tipo debe agregrsele 1, a los del tercero 2 y as sucesivamente. CRn,p =Cn+p-1, p = !( 1)! ( 1)!3) Diga cuntos rectngulos hay en la siguiente figura. R/ La propiedad esencial de este conjunto es ser rectngulos (solo se hace referencia a la forma, y no a las dimensiones), por lo que para determinar cuntos elementos tiene el conjunto debemos precisar cuntos rectngulos hay, sin importar sus dimensiones. Es evidente que las paralelas medias determinan 4 rectngulos; adems, tomando la paralela media horizontal como lado comn, quedan determinados otros 2; de igual forma, la media vertical determina 2 ms; y por ltimo, el rectngulo mayor que contiene a los anteriores. Despus de este anlisis podemos concluir que la figura est formada por 9 rectngulos.4) Diga qu cantidad de cuadrados hay en la figura dada. R/ Procediendo de forma anloga a la anterior, se determina fcilmente que hay 12 cuadrados pequeos; el prximo paso estara en reconocer que cada 4 de estos cuadraditos, forman un nuevo cuadrado, con estas caractersticas puede encontrar 5 ms (teniendo en cuenta que 2 cuadrados son diferentes si tienen al menos un cuadradito no comn), por lo que llegamos a la conclusin que en la figura hay 17 cuadrados. 5)Diga 5.cuntos tringulos hay en la siguiente figura. R/ En este caso no es tan evidente determinar la cantidad de elementos que tiene el conjunto. Aqu, debemos tener en cuenta que 3 puntos cualesquiera no alineados determinan un tringulo, y que 2 de ellos son diferentes si al menos no coinciden en uno de sus vrtices. Para determinar la cantidad de tringulos sugerimos partir de un vrtice y contar todos los que se forman teniendo en cuenta las condiciones anteriores, luego tomamos otro vrtice y procedemos de la misma forma pero excluyendo los que se forman con el vrtice anterior. As sucesivamente hasta encontrar todos los elementos del conjunto. De esta forma llegamos a que en la figura hay 25 tringulos.6. Un avin cubri la distancia que separa a Ciudad Habana y Las Tunas en una hora y 20 minutos, sin embargo al volar de regreso recorri esta distancia en 80 minutos. Cmo se explica esto? R/ Aqu no es necesario aclarar nada, darse cuenta que las dos situaciones representan el mismo tiempo, solo que una est expresada en horas y minutos y la otra en minutos, o sea, una hora y veinte minutos es lo mismo que ochenta minutos. 7) Si en la Habana est lloviendo a las 12 de la noche Es posible que en Santiago de Cuba halla un da soleado 50 horas despus? R/ Debemos precisar que 50 horas despus significa exactamente dos das de 24 horas y dos horas ms, lo que quiere decir que seran las 2 de la madrugada y es imposible que a esa hora tengamos un da soleado. 8) Un buque que se encuentra anclado en un atracadero tiene fija a unos de sus costados una escalera en la que la diferencia de altura entre cada peldao es de 30 cm. Si el agua est a nivel del segundo escaln y la marea empieza a subir a razn de 30 cm por hora. Al nivel de que escaln se encontrara el agua cinco horas despus? R/ Todo pareca indicar que al transcurrir cada hora el agua tapara un peldao ms, pero hay que tener en cuenta que el buque flota y a medida que la marea sube l lo hace tambin y se mantendr al nivel del segundo peldao.9. Ms bajo10. 1 = 9, 2 = 19, 3 = 29, 4 = 39, 5 = 49, 6 = 59, 7 = 69, 8 = 79, 9 = 89, 10 = 90, 11 = 91, 12 = 92, 13 = 93, 14 = 94, 15 = 95, 16 = 96, 17 = 97, 18 = 98, 19 y 20 = 9911. Generalmente se comete el error de tratar de calcular el volumen del ortoedro descrito con lasDimensiones que se dan sin razonar correctamente que si es un hoyo no puede tener tierra.12. Muy fcil, la escalera estaba tirada sobre el suelo, o si estaba parada se cay desde los primerosPeldaos.13. Se plantea un orden horizontal de los atletas a la derecha es la meta c ha llegado inmediatamente detrs de b Analizando c ha llegado inmediatamente detrs de b Cb D ha llegado en medio de a y c : adcFinalmente el orden seria adcb14. El Podenco come ms que el Galgo.EL Alano come ms que el Galgo.El Dogo come ms que el Alano.El Alano come ms que el Podenco.

Entonces el orden (del ms caro de mantener, al ms barato es el siguiente:

1. DOGO2. ALANO3. PODENCO4. GALGO