15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos

Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

15 Integrais Mltiplas

Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

15.1 Integrais Duplas sobre Retngulos

3 3

Reviso da Integral Definida

4 4


Antes de tudo, vamos relembrar os fatos bsicos relativos

integral definida de funes de uma varivel real. Se f (x)

definida em a x b, comeamos subdividindo o

intervalo [a, b] em n subintervalos [xi 1, xi] de comprimento

igual x = (b a)/n e escolhemos pontos de amostragem em cada um desses subintervalos. Assim, formamos a

soma de Riemann

e tomamos o limite dessa soma quando n para obter

a integral definida de a at b da funo f:

5 5


No caso especial em que f (x) 0, a soma de Riemann

pode ser interpretada como a soma das reas dos

retngulos aproximadores da Figura 1 e

representa a rea sob a curva y = f (x) de a at b.

Figura 1

6 6

Volumes e Integrais Duplas

7 7

De modo semelhante, vamos considerar uma funo f de

duas variveis definida em um retngulo fechado

R = [a, b] [c, d ] = {(x, y) | a x b, c y d }

e vamos inicialmente supor que f (x, y) 0. O grfico f a

superfcie com equao z = f (x, y).

Seja S o slido que est acima

da regio R e abaixo do grfico

de f, isto ,

S = {(x, y, z) | 0 z f (x, y), (x, y) R}

(Veja a Figura 2.)


Figura 2

8 8


Nosso objetivo determinar o volume de S.

O primeiro passo consiste em dividir o retngulo R em sub-

retngulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a, b] em m

subintervalos [xi 1, xi] de mesmo comprimento

x = (b a)/m e dividnido o intervalo [c, d ] em n

subintervalos [yj 1, yj] de mesmo comprimento

y = (d c)/n.

9 9


Traando retas paralelas aos eixos coordenados,

passando pelas extremidades dos subintervalos, como na

Figura 3, formamos os sub-retngulos

Rij = [xi 1, xi] [yj 1, yj] = {(x, y) | xi 1 x xi , yj 1 y yj }

cada um dos quais com rea A = x y.

Figura 3

Dividindo R em sub-retngulos

10 10


Se escolhermos um ponto arbitrrio, que chamaremos

ponto de amostragem, , em cada Rij, poderemos

aproximar a parte de S que est acima de cada Rij por uma

caixa retangular fina (ou coluna) com base Rij e altura , como mostrado na Figura 4. O volume dessa

caixa dado pela sua altura vezes a rea do retngulo da

base:

Figura 4

11 11


Se seguirmos com esse procedimento para todos os

retngulos e somarmos os volumes das caixas

correspondentes, obteremos uma aproximao do volume

total de S:

(Veja Figura 5). Essa soma dupla

significa que, para cada

sub-retngulo, calculamos o valor

de f no ponto escolhido,

multiplicamos esse valor pela

rea do sub-retngulo e ento

adicionamos os resultados. Figura 5

12 12


Nossa intuio diz que a aproximao dada em

melhora quando aumentamos os valores de m e n e,

portanto, devemos esperar que

Usamos a expresso da Equao 4 para definir o volume

do slido S que corresponde regio que est abaixo do

grfico de f e acima do retngulo R. (Pode-se mostrar que

essa definio coerente com nossa frmula de volume

da Seo 6.2, no Volume I.)

13 13


Limites do tipo que aparecem na Equao 4 ocorrem muito

frequentemente, no somente quando estamos

determinando volumes, mas tambm em diversas outras

situaes mesmo f no sendo uma funo positiva. Assim, faremos a seguinte definio:

14 14


O significado preciso do limite da Definio 5 que para

todo > existe um inteiro N tal que

para todos os inteiros m e n maiores que N para qualquer

escolha de Rij.

Uma funo f dita integrvel se o limite na Definio 5

existir. mostrado em cursos de clculo avanado que

todas as funes contnuas so integrveis. Na realidade,

a integral dupla de f existe contanto que f no seja descontnua demais.

15 15


Em particular, se f limitada [isto , existe uma constante

M tal que | f (x, y) | M para todos (x, y) em R], e se f for

contnua ali, exceto em um nmero finito de curvas suaves,

ento f integrvel em R.

16 16


O ponto de amostragem pode ser tomado como

qualquer ponto no sub-retngulo Rij, porm, se o

escolhermos como o) canto superior direito de Rij [ou seja,

(xi, yj), veja a Figura 3], a expresso da soma dupla ficar

mais simples:

Figura 3

Dividindo R em sub-retngulos

17 17


Comparando as Definies 4 e 5, vemos que o volume

pode ser escrito como uma integral dupla:

A soma na Definio 5,

chamada soma dupla de Riemann e usada como uma

aproximao do valor da integral dupla. [Observe a

semelhana dessa soma com a de Riemann em para

funes de uma nica varivel.]

18 18


Se f for uma funo positiva, ento a soma dupla de

Riemann representa a soma dos volumes das colunas,

como na Figura 5, e uma aproximao do volume abaixo

do grfico de f.

Figura 5

19 19

Exemplo 1

Estime o volume do slido que est acima do quadrado

R = [0, 2] [0, 2] e abaixo do paraboloide elptico

z = 16 x2 2y2. Divida R em quatro quadrados iguais e

escolha o ponto de amostragem como o canto superior

direito de cada quadrado Rij. Faa um esboo do slido e

das caixas retangulares aproximadoras.

20 20

Exemplo 1 Soluo

Os quadrados esto ilustrados na Figura 6.

O paraboloide elptico o grfico de f (x, y) = 16 x2 2y2 e a rea de cada quadrado A = 1.

Figura 6

21 21

Exemplo 1 Soluo

Aproximando o volume pela soma de Riemann com

m = n = 2, temos

= f (1, 1) A + f (1, 2) A + f (2, 1) A + f (2, 2) A

= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34

continuao

22 22

Exemplo 1 Soluo

Esse o volume das caixas aproximadoras mostradas na

Figura 7.

Figura 7

continuao

23 23

A Regra do Ponto Mdio

24 24


Os mtodos usados para aproximar as integrais de

funes de uma varivel real (a Regra do Ponto Mdio, a

Regra dos Trapzios, a Regra de Simpson) tm seus

correspondentes para integrais duplas. Consideraremos

aqui somente a Regra do Ponto Mdio para integrais

duplas. Isso significa que usaremos a soma dupla de

Riemann para aproximar a integral dupla, na qual o ponto

de amostragem em Rij tomado como o ponto

central Rijj. Em outras palavras, o ponto mdio

de [xi 1, xi] e o ponto mdio de [yj 1, yj].

25 25


26 26

Exemplo 3

Use a Regra do Ponto Mdio com m = n = 2 para estimar o

valor da integral R(x 3y2) dA, onde

R = {(x, y) | 0 x 2 , 1 y 2}.

SOLUO: Usando a Regra do Ponto Mdio com

m = n = 2, calcularemos f (x, y) = x 3y2 no centro dos

quatro sub-retngulos mostrados na Figura 10.

Figura 10

27 27

Exemplo 3 Soluo

Logo, e A rea de cada

sub-retngulo Assim,

Portanto, temos

continuao

28 28

Valor Mdio

29 29

Valores Mdios

Na Seo 6.5, no Volume I, mostramos que o valor mdio

de uma funo f de uma varivel definida em um intervalo

[a, b]

De modo semelhante, definimos o valor mdio de uma

funo f de duas variveis em um retngulo R contido em

seu domnio como

onde A(R) a rea de R.

30 30

Valores Mdios

Se f (x, y) 0, a equao

A(R) fmed = f (x, y) dA

diz que a caixa com base R e altura fmed tem o mesmo

volume que o slido que est sob o grfico de f. [Se

z = f (x, y) descreve uma

regio montanhosa e voc

corta os topos dos

morros na altura fmed, ento

pode us-los para encher os

vales de forma a tornar a

regio completamente plana.

Veja a Figura 11.] Figura 11

31 31

Exemplo 4

O mapa de contorno na Figura 2 mostra a precipitao de

neve, em polegadas, no estado de Colorado em 20 e 21 de

dezembro de 2006. (O Estado tem a forma de um

retngulo que mede 388 milhas de Oeste a Leste e 276

milhas do Sul ao Norte). Use o mapa de contorno para

estimar a queda de neve em todo o Estado do Colorado

naqueles dias.

Figura 12

32 32

Exemplo 4 Soluo

Vamos colocar a origem no canto sudoeste do estado.

Ento, 0 x 388, 0 y 276 e f (x, y) a queda de neve,

em polegadas, no local x milhas para leste e y milhas para

norte da origem. Se R o retngulo que representa o

estado do Colorado, ento a precipitao mdia de neve

no Colorado em 20 e 21 de dezembro foi

onde A(R) = 388 276.

33 33

Exemplo 4 Soluo

Para estimarmos o valor dessa integral dupla, vamos usar

a Regra do Ponto Mdio com m = n = 4. Em outras

palavras, dividimos R em 16 sub-retngulos de tamanhos

iguais, como na Figura 13.

Figura 13

continuao

34 34

Exemplo 4 Soluo

A rea de cada sub-retngulo

Usando o mapa de contorno para estimar o valor de f no ponto central de cada sub-retngulo, obtemos

A[0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 25 + 18,5 + 11

+ 4,5 + 28 + 17 + 13,5 + 12 + 15 + 17,5 + 13]

= (6 693)(207)

= 6 693 mi2

continuao

35 35

Exemplo 4 Soluo

Logo,

Em 20 e 21 de dezembro de 2006, o Colorado recebeu

uma mdia de aproximadamente 13 polegadas de neve.

continuao

36 36

Propriedades das Integrais Duplas

37 37

Propriedades das Integrais Duplas

Listaremos aqui as trs propriedades das integrais duplas.

Admitiremos que todas as integrais existam. As

Propriedades 7 e 8 so conhecidas como linearidade da

integral.

[f (x, y) + g(x, y)] dA = f (x, y) dA + g(x, y) dA

c f (x, y) dA = c f (x, y) dA, onde c uma constante

Se f (x, y) g(x, y) para todo (x, y) em R, ento

f (x, y) dA g(x, y) dA

15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos

Documents

Transcript of 15.1 Integrais Duplas sobre Retângulos