Resolucin de Circuitos Trifsicos

Introduccin

En la actualidad la mayora (o todos) los SistemasElctricos de Potencia (S.E.P) Generacin de Energa,Transmisin, Distribucin y Consumos son trifsicos.

Por qu?

Esta modalidad presenta ventajas Tcnico-Econmicas (v/s monofsicas)

1) Habamos visto que para un sistema monofsico de C.A. laexpresin para la potencia instantnea

Es pulsante y depende del tiempo y oscila alrededor delvalor medio de la potencia con una frecuencia igual al doblede la frecuencia

Demostraremos que en un sistema trifsico (balanceado) lapotencia instantnea es constante e igual a la potenciamedia.

)2cos()cos()( tIVIVtpefefefef

3)cos(3)( PIVtp efef

2) Los circuitos trifsicos requieren menor seccin de losconductores que para circuitos monofsicos que el peso totaldel sistema 3 es menor que el del sistema 1

En efecto, considerando, igual potencia transmitida, igual tensin de fase y factor de potencia

)cos9

(33

cos3

)(

22

2'2'

1

ef

ef

efef

V

PRIRprdidas

IVP

oequilibradTrifsico

RRRR

V

PR

V

PR

prdidasigualando

efef

66

)cos9

(3)cos

(2

''

22

2'

22

2

22

2

22

cos

2

)cos

(22

cos

ef

ef

ef

efef

V

RPprdidas

V

PRRIprdidas

IVP

Monofsico

Por otro lado para la misma resistividad y longitud dela lnea

S: Seccin Transversal del conductor del sistemamonofsico

S: Seccin Transversal del conductor del sistematrifsico

'

' 66 S

S

S

L

S

L

Es posible demostrar que el peso total de los conductores delsistema trifsico es aproximadamente la cuarta parte del pesototal de los conductores del sistema monofsico menorescostos montaje (construccin) y mantenimiento (Estructurasmenos voluminosas, mas espaciadas , menos cobre , etc)

3) Para una misma potencia, un generador o motor trifsico esmas pequeo (menor costo) que su correspondientemonofsico. Respecto del rendimiento 1(65%), 3(85%).

Una fuente que puede ser representada por 3fuentes de tensin monofsicas conectadasformando una estrella o un tringulo como enla figura:

Definicin de Fuente 3 Equilibrada

Constituye una fuente trifsica Equilibrada siempreque se den las relaciones siguientes:

Para que la suma de las tensiones sea nula debecumplirse que las 3 tensiones tengan el mismomodulo(magnitud) y diferencias de fase de 120exactamente.

00)2

)1

...

3

.

2

.

1

.

321

cbannn

cbannn

VVVenVVVYen

VVVenVVVYen

Si elegimos arbitrariamente para la conexin elfasor V1 como referencia, podemos tener dossituaciones

en que:

240120

120

0

3

2

1

VVV

VV

VV

240120

120

0

)sec(

''

'

'

VVV

VV

VV

cbaen

c

b

a

La otra posibilidad:

en que

Secuencia de fase: Es el orden en que las 3 tensiones alcanzan sus mximos.

240120

120

0

3

2

1

VVV

VV

VV

En efecto para una secuencia de fases 1-2-3(secuencia positiva) se tiene

240)240cos()(

120)120cos()(

0cos)(

3

2

1

tenmximosutienetVtv

tenmximosutienetVtv

tenmximosutienetVtv

En un grfico:

Observacin

rotacionaloperador

tj

principalfasor

jtj eeettv

inicialfasorVSea

50)50( 3030)50cos(30)(

5030

Tensiones de Lnea y de Fase

Cada una de las 3 fuentes 1 empleadas para formaruna fuente 3 se llama generador de fase.

Equivalente entre fuente 3 (-)equilibrado

La tensin asociada con cada generador defase se denomina tensin de fase de lafuente trifsica.

La tensin entre dos de los tres terminales delnea se llama tensin entre lnea osimplemente tensin de lnea.

Ambas fuentes son equivalentes si lastensiones entre cada pareja de terminalescorresponden exactamente a las que se dan acontinuacin:

Luego:

13''

32''

21''

VVV

VVV

VVV

ac

cb

ba

cac

bcb

aba

VV

VV

VV

''

''

''

Supongamos en lo que sigue sec(+) y veamos larelacin que existe entre ambas fuentes.

Realizando el mismo anlisis se obtiene entonces

3032

3

2

3

2

3

2

111201011200

120

120

0

)sec( ''

3

2

1

VjVjVVVVVV

VV

VV

VV

aba

15032

3

2

3

9033

3032

3

2

3

''

''

''

VjVVV

VjVVV

VjVVV

cac

bcb

aba

En una grfica

VV

VV

VV

VV

a

b

a

3'

150'

90'

30'

)sec(

Suponiendo ahora como referencia Vab (rotando elsistema anterior)

1203

1203

03

''

''

''

VVV

VVV

VVV

cac

bcb

aba

90

150

30

3

2

1

VV

VV

VV

De las relaciones anteriores se puedeconcluir que la amplitud de la tensinde lnea es 3 veces la tensin de fase

fLL VV 3

Resolucin de Circuitos 3 Equilibrados

Definiciones:

Carga Equilibrada : Tres impedancias igualesconectadas en estrella o delta forman una cargatrifsica equilibrada.

Terminales de Lnea: Son los terminales de la carga (a,b,c)

Corrientes de Lnea: Son las corrientes que circulan por losterminales de lnea (Ia,Ib, Ic)

Impedancia de fase: Se le llama as a cada una de lasimpedancias de la carga (Z o Z)

Corriente de fase: Son las corrientes que circulan por cadaimpedancia de fase

Tensiones de fase: Son las tensiones en cada impedancia defase

Circuito Equilibrado: Si una carga equilibrada esta alimentadapor una fuente trifsica equilibrada el conjunto recibe el nombrede Circuito trifsico Equilibrado

Circuitos con Carga en Conexin Equilibrada

Supongamos sec(+)

1201200 321

VVVVVV

n y n elctricamente son el mismo punto, dicho deotra manera estn al mismo potencial, Vnn=0. Enefecto utilizando el Teorema de Millman:

01

3

)(1

'

'''

''''

1

1

Z

VVVZV

YYY

VYVYVYV

Y

VY

V

cnbnan

nn

cnbnan

cncnbnbnanannn

n

k

pk

n

k

krpk

pr

Conclusin: En un circuito 3 equilibrado latensin entre el punto neutro de la fuente yel punto neutro de la carga es cero.

Como la tensin entre los puntos n y n essiempre cero no circular corriente entreestos puntos si se conectan a travs de unaimpedancia o se cortocircuitan. Si suponemosque la impedancia de la carga es:

ZZ

El clculo de las corrientes ser directo, esto es:

Observe que es suficiente conocer una corriente, las dems se desfasan en 120 (conocida naturalmente la secuencia de fase)

1201203

'2

'1

'Z

V

Z

VI

Z

V

Z

VI

Z

V

Z

VI cba

12011201 ''''''

acabaa IIIIII

Observando las relaciones, estos nos dan 3 circuitosequivalentes monofsicos (por ser equilibrado). El que, slopara no perder configuracin, podemos dibujar:

Si el circuito es equilibrado se puede trabajar con lo que sedenomina su Equivalente por fase. (Observe que si la fuente3 de tensin esta en conexin , esta se transforma a unafuente de tensin 3 en estrella.

Circuito Equilibrado con Carga en

Sea el circuito

Las corrientes de fase (aplicando Ley de Ohm)

.

''

''

''

120 120 :entoncesescribir puede se

120 120

abcaabbc

caca

bcbc

abab

IIII

Z

V

Z

VI

Z

V

Z

VI

Z

V

Z

VI

''

120 120 0

ZZ

VVVVVVVVV cacbcbaba

Las corrientes de lnea:

Observe que si la fuente estuviera en se transforma a unafuente equivalente o bien se transforma la carga en a unacarga en equivalente, lo que permite obtener fcilmente lascorrientes de lnea. Recuerde que

90312011201

150311201

30312011

ababbccac

abababbcb

ababcaaba

IIIII

IIIII

IIIII

ZZY3

1

Magnitudes de Lnea y de Fase

Sean:

)(

)(

)(

)(

magnitudfasedecorrienteIcIII

magnitudfasedetensionVVVV

magnitudlineadecorrienteIIII

magnitudlineadetensionVVVV

cababf

cnbnanf

cbaL

cabcabL

Caso

Caso

Caso Relacin entre la tensin de lnea y la tensin de fase,considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidas lascorrientes de lnea:

Si suponemos adicionalmente que la fuente esta en :

fL II

fL VV

1201200

IfIIfIIfI cba

bnanab VVV

entonces:

f

V

fabL

fab

fab

baab

baab

VIZVV

IZV

IZV

IIZV

IZIZV

f

33

303

120101

fL VV 3

Caso Relacin entre la corriente de lnea y la corriente defase, considerando secuencia positiva, y suponiendo conocidaslas tensiones de fase: 1201200

VVVVVV cabcab

120101'

''

Z

VI

Z

V

Z

VI

III

a

caaba

caaba

reemplazando:

fL II 3

303

'

fI

aL

Z

VII

Circuitos Desequilibrados (Fuente Equilibrada)

Carga en desequilibrada

ca

caca

bc

bcbc

ab

abab

Z

VI

Z

VI

Z

VI

bccac

abbcb

caaba

III

III

III

Carga en abierta

Carga en desequilibrada

Carga en con Neutro encadenado

Aplicando la Ley de corrientes de Kirchhoff en elnudo n.

Suponiendo conocida la fuente se tiene que:

c

cnc

b

bnb

a

ana

Z

VI

Z

VI

Z

VI

'''

ncba IIII

nncn

nnbn

nnan

VVV

VVV

VVV

'3'

'2'

'1'

Debemos entonces determinar el valor de Vnn.Aplicando Teorema de Millman

1

1

' ' ' ''

' ' ' '

0

1 2 3

'

1 1 1 1

01 1 1 1

n

pk kr

kpr n

pk

k

n a an n b bn n c cn n n nnn n

n a n b n c n n

nn

a b c nn n

a b c n

Y V

V

Y

Y V Y V Y V Y VV

Y Y Y Y

V V V V

Z Z Z ZV

Z Z Z Z

Carga en con Neutro slido (Z=0)

c

c

b

b

a

a

Z

VI

Z

VI

Z

VI

321

ncba IIII

Carga en con Neutro flotante

0

cba III

0321

'

cba

cbann

YYY

VYVYVYV nncn

nnbn

nnan

VVV

VVV

VVV

'3'

'2'

'1'

c

cnc

b

bnb

a

ana

Z

VI

Z

VI

Z

VI

'''