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Quince minutos en la vida del electrn: Una mirada en detalle

GUA DIDCTICA Luis M. Ses Snchez Departamento de Ciencias y Tcnicas Fisicoqumicas Facultad de Ciencias, UNED

Depsito Legal: M 26352 2009 ISBN: 978 84 362 5635 2

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PRLOGO

La presente Gua Didctica acompaa al proyecto educativo multimedia titulado

QUINCE MINUTOS EN LA VIDA DEL ELECTRN: UNA MIRADA EN DETALLE,

editado por la Universidad Nacional de Educacin a Distancia. Este nuevo Proyecto se

ha construido sobre la base de un primero, de ttulo ms corto QUINCE MINUTOS EN

LA VIDA DEL ELECTRN (2001, 2003). Los autores de este primer Proyecto, el

realizador del video, Jos A. Tarazaga, y el guionista abajo firmante, nunca imaginamos

la favorable acogida que tanto el alumnado como diversas Instituciones han venido

dispensado a aquel trabajo. El video ha recibido dos premios en sendos festivales

Internacionales de Cine Cientfico (Zaragoza, 2001, Ronda 2002) y uno ms concedido

por la Real Sociedad Espaola de Fsica (La Corua, 2002). Tambin ha sido film

invitado a participar en la exhibicin internacional de Cine Cientfico Vedere la

Scienza (Miln, 2003, 2004), as como ha sido invitado para tomar parte en el Proyecto

de Cine Cientfico CISCI (Miln-Viena), patrocinado por la Comisin Europea (2005).

El presente Proyecto intenta responder a las expectativas generadas en tan amplia

audiencia ampliando los contenidos en varias formas, documentos escritos, visuales, y

radiofnicos.

En esta Gua se desarrollan, dentro de unos lmites estimados como razonables,

muchos de los conceptos que de manera visual y/o hablada se introducen en las distintas

secciones, ligados a los detalles centrales relativos al descubrimiento que marc una

parte importante del rumbo cientfico y tecnolgico del siglo XX: el electrn, sus

propiedades, y la creacin de la Mecnica Cuntica. No es por casualidad que al siglo

XX se le denomina el siglo del electrn. Todos los documentos contenidos en esta

obra forman un complemento a un libro de texto y al trabajo en el laboratorio, que son

donde uno, armado de perseverancia y dispuesto a trabajar duro, debe dirigirse cuando

quiere aprender de verdad una materia. La intencin es que todos ellos puedan ser

utilizados como instrumentos didcticos de ayuda, motivadores del estudio, en la

bsqueda de que la (cada da ms creciente) energa de activacin del estudiante para

emprender esta tarea sea menor. Consecuentemente, en esta Gua se presenta una

seleccin bibliogrfica en la que el lector podr encontrar todas las discusiones

pertinentes con mayor profundidad.

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Por otra parte, al final de esta Gua se incluye una serie de actividades

recomendadas La realizacin de estas actividades es obligada si se pretende un

aprendizaje ms eficaz. Por otra parte, es primordial hacer llegar al estudiante la idea de

que no todo lo que se ve y oye hay que creerlo sin ms. Siempre hay que comprobar la

informacin recibida (la consulta de otros documentos debe ser siempre saludada y

buscada!). En lo que respecta a las imgenes el espectador debe mantener siempre alerta

su espritu crtico y su capacidad de reflexin. De este modo podr captar con claridad

los hechos conceptuales sobre el objeto fundamental de esta obra: el electrn y sus

propiedades ms fundamentales.

En este sentido, debo de hacer algunas precisiones en cuanto a las imgenes y

recreaciones de experimentos en el video. Al ver el video debe tenerse en cuenta el

poder de la imagen y su capacidad para sugerir ideas que se desarrollan con ms

profundidad en los documentos escritos que le acompaan. Ha sido pues objetivo

principal ilustrar los conceptos haciendo nfasis en la parte pedaggica, lo que ha

forzado a exagerar determinados elementos visuales (como el tamao de las aberturas

en el experimento ideal de Feynman y otros), de modo que la idea bsica resalte.

Igualmente, tambin se ha procurado ilustrar el concepto presentado con la imagen ms

llamativa en trminos estticos o ms fcilmente identificable (anillos de difraccin en

vez de las habituales lneas o franjas en el mismo ejemplo de las aberturas), intentando

mantener un equilibrio razonable entre el rido rigor cientfico y la comunicacin

accesible de conceptos difciles. Las recreaciones de los experimentos no se

corresponden, en general, con los diseos experimentales originales, son de nuevo

elementos de apoyo pedaggico. Tambin, en cuanto a algunos smbolos matemticos

que aparecen se ha optado por el uso de la simplificacin razonable, al objeto de no

hacer excesivamente pesada la presentacin para el posible espectador no iniciado en

estas materias. As, se ha usado el mismo smbolo (~) tanto para describir las

situaciones de proporcionalidad entre variables, como para aqullas que hacen

referencia al orden de magnitud de estas en algn caso concreto. En las entrevistas de

A Hombros de Hombres la informacin adicional que se introduce superpuesta a las

imgenes de los interlocutores es responsabilidad ma, y se presenta una notacin

decimal internacional, acorde con la habitual en calculadoras y computadores: el punto

marca el inicio de los decimales, en lugar de utilizar la coma espaola que aparece en

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el resto de los documentos. Dado que este material audiovisual se podr encontrar en

internet, creo que este formato lo har ms accesible para amplias audiencias. Todos

estos y otros detalles pueden ser convenientemente tratados y ampliados por un Profesor

Tutor que, en su caso, dirigiera una sesin educativa (o varias, dada la densidad de

contenidos) sobre el video. En el caso del estudiante que no pueda disponer de tal ayuda

o que prefiera el auto-estudio, encontrar las notaciones y expresiones rigurosas dentro

de esta Gua.

No puedo terminar este prlogo sin expresar mis agradecimientos. Al realizador

Jos Antonio Tarazaga por su paciencia y empeo en ensearme lo que es un programa

de corte televisivo. Tengo que alabar su versatilidad, imaginacin y curiosidad (ya

quisiramos todas estas cualidades muchos cientficos) en la bsqueda de imgenes de

todo tipo atractivas para ilustrar los conceptos. Por lo que respecta a la Primera Edicin

tengo que hacer referencia a las siguientes personas. Rosa Mara Gmez (TVE), que se

ocup del montaje y la postproduccin del video (2001), llevando su impecable trabajo

mucho ms all de lo que el deber exiga. Sin su dedicacin, el video, me atrevo a

asegurar, no sera lo que es. A Jos Tenorio, ayudante de realizacin, por su trabajo de

bsqueda. A Victor Dorado Sauco por la brillante labor de infografa llevada a cabo. A

Miguel ngel Tallante, el compositor de la banda sonora original que realza de modo

soberbio cada concepto vertido en el video, y a Isabel Arribas (TVE) por su fino trabajo

de sonorizacin. A TVE por las facilidades dadas para la postproduccin completa del

video. Al Excmo. Ayuntamiento de Santa Mara la Real de Nieva (Segovia) por su

amabilidad al dejarnos utilizar el Claustro del Monasterio all sito para las grabaciones

de las secuencias en las que me veo directamente implicado. A Paco Chacn, Director

de Fotografa, Pedro Mordt, ayudante de cmara, Miguel ngel Walther, tcnico de

sonido, y al equipo de iluminacin (ENFOCO), todos ellos responsables de que mi

aparicin en tales secuencias resulte llevadera. A Produccin de la Universidad, en las

personas de Antonio Fernndez-Abelln, Txomin Calvo y Luis Baides, por hacer

posible el desplazamiento al lugar de grabacin y por la agradable estancia

proporcionada en Segovia. Debo mencionar a Gloria Cmara que puso su sugerente voz

a las locuciones originales de la primera edicin. Con respecto a la reimpresin que tuvo

lugar en 2003 mis ms sinceras gracias van a Jos M. Ruprez (la voz del monje), J. I.

Pedroviejo (montaje UNED), Raquel Ortiz (Postproduccin UNED), y al

Vicerrectorado de Medios por su inestimable ayuda en la tarea de mejorar este producto.

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Por ltimo, pero no menos importantes, mis compaeros del Departamento de Ciencias

y Tcnicas Fisicoqumicas de UNED, en especial al Director del Departamento Prof.

Arturo Horta, y a los profesores Ins F. Pirola, Lorna Bailey, M. Criado-Sancho, y

Fernando Peral.

Por lo que respecta al presente Proyecto multimedia ste comprende las

siguientes partes. El video original, la presente Gua Didctica en versin ampliada de la

primitiva, seis programas de radio con la serie titulada Parque Cuntico, y la serie de

cinco charlas en formato televisivo A Hombros de Hombres. Estas nuevas adiciones

de material han sido posibles gracias a la colaboracin de otro buen nmero de

personas. En primer lugar, es un inmenso placer para m reconocer el trabajo de mis

colegas, invitados para la seccin a Hombros de Hombres, la Profesora Amalia

Williart (UNED), al Doctor Carlos P. Herrero (CSIC-ICMM), al Profesor Fernando

Peral (UNED), al Doctor Rafael Ramrez (CSIC-ICMM), y al Profesor Carlos Vega

(UCM). Su inestimable colaboracin, suministrando los perfiles biogrficos en

directo de personajes centrales, realizada de forma completamente desinteresada,

revela un encomiable espritu de servicio a la tarea de divulgacin cientfica. Como es

lgico, toda la responsabilidad del presente material es del autor abajo firmante. No

puedo finalizar sin agradecer a los locutores presentadores (UNED) de radio su tarea en

la serie Parque Cuntico, Jos Mara Ruprez y Juan Ramn Andrs Cabero, y, por

supuesto, a mi amigo y realizador favorito, Jos Antonio Tarazaga, tan alma de este

Proyecto como yo mismo. Mil gracias a todos y cada uno de ellos.

Madrid, Septiembre de 2009 Luis M. Ses

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NDICE A MODO DE INTRODUCCIN

A. EVIDENCIAS PRELIMINARES

1. Tubos de descarga y experimentos de Crookes (1878). 2. Los primeros espectros atmicos de Bunsen y Kirchhoff (1859-1863).

B. DESCUBRIMIENTOS EXPERIMENTALES

3. La medida de la relacin masa/carga del electrn por Thomson (1897). 4. El efecto fotoelctrico y la explicacin de Einstein (1905). 5. La medida de la carga del electrn por Millikan (1909-1913). 6. El modelo atmico de Rutherford (1911). 7. El espectro del tomo de hidrgeno.

C. PRIMERAS TEORAS PARA NUEVAS REALIDADES

8. La estabilidad de la materia y el modelo atmico de Bohr (1913). 9. Confirmaciones, mejoras e inadecuacin del modelo de Bohr (1914-1916). 10. La luz, una vez ms corpsculo: efecto Compton (1921-1923) 11. La hiptesis de de Broglie (1923) y su confirmacin experimental para el electrn

(1927). 12. El experimento de las dos rendijas con electrones.

D. LA MECNICA CUNTICA

13. El nacimiento de la Mecnica Cuntica (1925-1927). 14. Algunos conceptos avanzados: el espn y sus consecuencias.

E. APNDICE I. La difusa barrera clsico-cuntica: Interferometra con molculas complejas.

APNDICE II. Premios Nobel citados.

F. BIBLIOGRAFA

G. CONSTANTES FSICAS FUNDAMENTALES Y FACTORES DE CONVERSIN

H. ACTIVIDADES RECOMENDADAS

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A MODO DE INTRODUCCIN

Posiblemente, uno de los conceptos clave para el desarrollo, primero cientfico y

posteriormente tecnolgico, alcanzado en el siglo XX es el de electrn. Esto est

relacionado tanto con el hecho de que el electrn fue la primera partcula elemental

descubierta, abriendo as el camino a la bsqueda de otras posibles partculas

elementales constituyentes de la materia y a la comprensin de sta, como con la

mirada de aplicaciones de ndole tcnica que nos rodean y que han llegado a formar

parte de nuestra vida cotidiana hasta el punto de hacerse indispensables. Pinsese, en

este respecto, en la energa elctrica y su utilizacin a travs de un buen nmero de

aparatos, desde los omnipresentes telfonos mviles, pasando por la televisin, hasta la

batera que nos permite poner en marcha el automvil en una dura noche de invierno.

Pero an ms. Los electrones, componentes bsicos de tomos y molculas, son el

cemento que mantiene ligados a los ncleos dentro de las molculas y juegan pues

una parte esencial en la produccin de reacciones qumicas y, por ende, bioqumicas.

As el electrn es obviamente una partcula fundamental de los cuerpos orgnicos

dotados de esa cualidad que denominamos vida. En este sentido, la comprensin de la

naturaleza del electrn no es solamente la comprensin de una parte del cmo del

mundo que nos rodea, sino adems, aunque a un nivel por el momento muy

indeterminado, es entendernos a nosotros mismos. No deja de ser asombroso el hecho

de que, aparentemente, los seres humanos estemos dotados de la capacidad para

estudiarnos a nosotros mismos, a veces hasta grados insospechados de profundidad.

Aunque no se pueda realizar el clculo dinmico exacto, es fcil imaginar la

trayectoria que, por ejemplo, un mvil clsico (un vehculo, una pelota de ftbol, etc.)

seguir dadas unas ciertas condiciones iniciales. El clculo matemtico aproximado de

la trayectoria resulta ser, en la mayor parte de los casos, extraordinariamente prximo a

lo que puede observarse. Este determinismo forma el ncleo de la concepcin clsica

Newtoniana del Universo, que pudo ser disfrutada hasta finales del siglo XIX y que

impregn de una forma substancial las ideas filosficas imperantes en la poca. La

potencia de este planteamiento llev incluso a pensar que nada fundamental en Fsica

quedaba por ser descubierto, que la actividad cientfica era algo prximo a la frontera de

aportar una cifra decimal ms al resultado ya conocido, eran momentos en los que la

mera mencin de cualquier concepto no directamente perceptible por los sentidos, como

el de tomo, reciba la ms severa y sangrienta crtica por parte de los consagrados

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entendidos en la materia (es aqu obligado mencionar el triste fin de L. Boltzmann

que, enfrentado con los positivistas vieneses, se suicid en un ataque de depresin). En

definitiva, para determinado establishment el ideal de la sublime recapitulacin

imperaba. Pero haba muchos motivos para que los recalcitrantes conservadores se

preocupasen. La fatua estabilidad de su mundo clsico estaba a punto de desmoronarse

y, lo peor de todo, sin su permiso!

A finales del siglo XIX la evidencia a favor de la existencia de los tomos y

molculas era abrumadora. Toda la experiencia de la Qumica acumulada y depurada

sistemticamente durante varios siglos, las mediciones electroqumicas, los elementos

qumicos sistematizados en los primeros intentos de Tabla Peridica, los experimentos

con los tubos de descarga conteniendo gases enrarecidos, los espectros atmicos, el

descubrimiento de nuevos elementos que resultaron ser substancias radiactivas, y otras

muchas ms pruebas, estaban preparando el camino de una nueva revolucin cientfica

destinada a entender los fundamentos de la constitucin de la materia. La mecnica

Newtoniana, pilar del determinismo clsico, iba a dejar de ser aplicable en la escala de

dimensiones de los sistemas atmico-moleculares dejando paso a la Mecnica Cuntica

como el marco en el que estos sistemas y sus transformaciones deben ser descritos (por

otra parte, la Teora de la Relatividad iba igualmente a conmover los cimientos de la

mecnica Newtoniana en otro mbito, pero esa es otra historia).1 No podemos pasar por

alto que el punto de partida de la Teora Cuntica vino marcado por el pionero y

atrevido trabajo de M. Planck sobre el problema de la radiacin del cuerpo negro (1900)

y la conclusin de que la energa de la radiacin deba necesariamente estar cuantificada

(o cuantizada). Esto implicaba que la energa no poda ser una magnitud continua, como

1 Hay que decir, no obstante, que la Teora de la Relatividad Especial jug un papel muy importante en la comprensin de la realidad cuntica como veremos someramente en algunos lugares de esta Gua.

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en la descripcin clsica, sino que deba ir en paquetes o cuantos discretos. La extensin

de esta idea de cuantizacin de la energa de la radiacin del cuerpo negro a la luz

(efecto fotoelctrico, A. Einstein, 1905) y a los calores especficos (A. Einstein 1907, y

P. Debye, 1912) suministr un nuevo marco en el que interpretar los fenmenos

atmicos. Dentro de este nuevo contexto fue el electrn la partcula elemental estrella,

la primera descubierta y estudiada exhaustivamente por medio de mtodos clsicos, que

se mostraba esquiva en determinados experimentos e indicaba la no validez de todas las

argumentaciones clsicas y la necesidad de un esquema de pensamiento ms amplio que

la mecnica de Newton.

Los inicios de la Mecnica Cuntica estn as ntimamente ligados a la

descripcin de la naturaleza del electrn. La descripcin del resto de las partculas

elementales puede hacerse utilizando los conceptos que el estudio del electrn ayud a

crear. El camino seguido por los hombres de ciencia para crear esta teora resulta

apasionante y pleno de situaciones y fenmenos extraos a nuestra experiencia diaria.

El lenguaje que habitualmente utilizamos para describir los fenmenos convencionales

no resulta adecuado para describir la realidad cuntica. De forma obligatoria tenemos

que renunciar a parte del conocimiento o de los conceptos que clsicamente

consideramos vlidos cuando nos movemos en este nuevo territorio. Por ejemplo, para

los primeros estudiosos clsicos del electrn ste era similar a una bola de billar pero

muchsimo ms pequeo que sta. Por tanto, dadas unas condiciones iniciales su

posicin e impulso (el estado clsico) se supona que podan ser conocidos en todo

momento. Sin embargo, y hablando sin mucha precisin para fijar la idea, el estado

cuntico del electrn slo puede ser formulado bien con su posicin, bien con su

impulso, pero nunca con los dos simultneamente. Afinemos ms: no se pueden medir

simultneamente con toda precisin la posicin y la velocidad (ambas con la misma

etiqueta de coordenada x, y z) de un electrn, de acuerdo con lo establecido por el

Principio de Indeterminacin.

Ahora bien, desde los primeros estudios se sabe que el electrn posee carga

negativa y masa. Por otra parte, es una partcula que se resiste a ser localizada en el

espacio, pues todos los intentos de medir su posicin llevan asociados un aumento de su

energa cintica, por lo que se escapa de la regin en la que se encuentra. En el caso

de que se le localizara instantneamente, nada sabramos sobre su posicin e impulso en

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el instante siguiente. Adems, esta partcula posee una propiedad extra como es el espn

que, aunque coloquialmente se asimila a un giro del electrn sobre s mismo, no es tal

cosa. Qu es pues el electrn? Cmo describirlo?

En las primeras versiones de la Mecnica Cuntica un electrn se describa

formalmente como una representacin proyectiva irreducible, sobre un espacio de

Hilbert, del grupo de Galileo con parmetros caractersticos (de masa y de espn)

dados. Esta es una definicin nada transparente y destinada a los iniciados. Una

definicin igualmente poco asequible, pero paradjicamente muy sugestiva es la del

electrn como una torsin negativa de la nada.2 Como se deca arriba, las

dificultades del lenguaje convencional para describir esta realidad a escala subatmica

son evidentes en estas dos definiciones. A pesar de ello, la manipulacin formal con las

herramientas de la Mecnica Cuntica (funciones de onda, matrices densidad,

operadores, etc.) ha conducido a una capacidad de prediccin de los fenmenos

cunticos en general (no slo los relativos a los electrones) que hasta la fecha no ha

encontrado ninguna contradiccin experimental. Las aplicaciones de la Mecnica

Cuntica estn en la calle y en los laboratorios (chips para computadores, diseo de

frmacos, etc.) y todos nos beneficiamos de ellas.

Como de costumbre, todo el entramado que hay detrs de esta gran construccin

en el mundo de las ideas no se ve. Este entramado es muy complejo y vasto y para

aproximarnos a l vamos a analizar con algn detalle la historia del descubrimiento del

electrn, as como algunas de las propiedades de ste, lo que finalmente llev al

descubrimiento de la Mecnica Cuntica (1925-1926). Dado que por su propia

naturaleza esta presentacin no puede ser exhaustiva, se va a cubrir la etapa histrica

que va desde mediados del siglo XIX hasta aproximadamente 1930, centrando la

2 Esta definicin se atribuye a L. Brillouin, pero posiblemente se hizo popular desde que W.M. Miller la incorpor a su fantstica novela de ciencia-ficcin A Canticle for Leibowitz (1959).

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atencin en los hechos experimentales ms relevantes, en las teoras pre-cunticas y

apuntando las primeras formulaciones cunticas. Por razones de completitud se dan

igualmente algunas pinceladas sobre los tratamientos y/o problemas planteados dentro

de la Mecnica Cuntica que van ms all de los aos 1930. Tambin hay que tener en

cuenta que el problema de la constitucin de los ncleos atmicos no qued resuelto

hasta el descubrimiento del neutrn en 1932 por J. Chadwick, por lo que toda posible

discusin en detalle sobre las masas atmicas queda diferida a futuras ocasiones. Hay,

no obstante, dentro de la Galera de Personajes contenidos que, relacionados con este y

otros problemas (el cuerpo negro y Planck, por ejemplo), permiten captar buena parte de

su desarrollo y de su resolucin. Finalmente, en el Apndice I, se toma contacto con

algunos resultados recientes de la Interferometra de molculas complejas, por su

relacin con la de electrones, como herramienta que puede ayudar a decidir dnde se

encuentra la difusa lnea divisoria entre el mundo clsico y el mundo cuntico.

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A. EVIDENCIAS PRELIMINARES 1. Tubos de descarga y experimentos de Crookes (1878)

Las experiencias destinadas a observar el comportamiento de los gases

enrarecidos (a baja presin), encerrados en recipientes de vidrio a los que se les aplicaba

una diferencia de potencial elctrico (tubos de descarga), eran bastante comunes hacia

1820 y suscitaban un gran inters. Esto se deba a que se observaba conduccin de

electricidad (un fenmeno ya conocido hacia 1800, por ejemplo, por las pilas voltaicas)

por el medio gaseoso al aplicar grandes voltajes, del orden de miles de voltios. La

manifestacin visible de esta conduccin era la aparicin de un haz coloreado, segn

fuera el gas encerrado (amarillo para el sodio, azulado para el mercurio), que pareca

viajar del electrodo negativo (ctodo) al positivo (nodo), acompaado adems de una

fluorescencia en el vidrio. Todas estas experiencias haban producido hacia 1860 una

cantidad muy grande de informacin como, por ejemplo, el hecho de que la trayectoria

del haz se vea afectada por la presencia de imanes, o que cuanta menor densidad tena

el gas encerrado aumentaba la conductividad. Sin embargo, al no existir una explicacin

convincente para estos fenmenos, su sentido fsico-qumico permaneca obscuro para

los investigadores de entonces. De hecho, una idea en boga en la escuela alemana era la

de que el ctodo emita un cierto tipo de radiacin de naturaleza ondulatoria. El

fundamento de esta idea se basaba en los experimentos de J. W. Hittorf (1869) y en

otros posteriores realizados por otros investigadores que mostraban la formacin de

sombras en los tubos al interponer obstculos entre el ctodo y las paredes de vidrio.

Esta radiacin catdica su supona pues que era parecida a la luz y fue as bautizada por

E. Goldstein como rayos catdicos (1876).

William Crookes (1832 1919)

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Es en 1878 cuando W. Crookes informa de su meticulosa serie de experimentos,

en los que verifica los hallazgos de investigadores anteriores y los extiende. Su estudio

de los haces (rayos catdicos) implic el diseo de unos tubos mucho mejores que los

utilizados por sus predecesores. Con ellos comprob que efectivamente los rayos

catdicos se producan en el ctodo y expuso la hiptesis de que la desviacin que estos

rayos sufran por el efecto de campos magnticos externos indicaba que posean una

carga elctrica negativa. Tambin descubri el hecho de que los rayos catdicos

provocaban fluorescencia al incidir sobre determinados materiales, como el sulfuro de

zinc, identificando tambin la fatiga de estos materiales (cada de intensidad

fluorescente) con el tiempo de exposicin. El mismo fenmeno de fatiga fue analizado

con detalle por Crookes en las paredes de vidrio de los tubos que sometidos a los rayos

catdicos emitan una fluorescencia verde.

Algunos ensayos adicionales llevaron a Crookes a creer que los rayos catdicos

posean, no slo carga elctrica, sino tambin una masa definida, pero su demostracin

experimental no resisti un anlisis concienzudo como aos despus prob J. J.

Thomson. Es muy posible que esta afortunada idea de Crookes, basada en la

interpretacin errnea de un experimento, condujera a Thomson a realizar su brillante

trabajo sobre la relacin masa/carga del electrn (ver ms adelante).

Hay que insistir en la controvertida naturaleza de los rayos catdicos. Como se

ha indicado arriba la escuela alemana los atribua a procesos ondulatorios en el ter, una

substancia imponderable que se pensaba era el medio de propagacin de las ondas

luminosas y de la que se demostr su inexistencia con los experimentos de A.

Michelson y E. Morley (1881- 1887). Por otra parte, las evidencias obtenidas por

Crookes y otros investigadores, como J. P. Perrin (con sus experimentos de bombardeo

con rayos catdicos de conductores aislados en los que stos se cargaban

negativamente), apuntaban hacia la naturaleza corpuscular. Tal controversia es, de

muchas formas, el eje central del tema objeto de esta pequea obra.

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2. Los primeros espectros atmicos de Bunsen y Kirchhoff (1859-1863)

Entre el cmulo de informacin obtenida hasta finales del siglo XIX del estudio

de los tubos de descarga merece la pena destacar por su trascendencia el anlisis del haz

coloreado conseguido al hacer pasar la luz que desprenda a travs de un prisma de

refraccin. Esta luz una vez descompuesta se haca incidir sobre una placa fotogrfica.

Lo que se observaba sobre la placa no era su velado total sino la impresin de una serie

de lneas bien definidas (a longitudes de onda frecuencias fijas). Esta serie es

caracterstica de cada elemento qumico; por decirlo grficamente, es su huella

dactilar. Al registro (fotogrfico) se le denomina espectro y es fcil de imaginar la

gran utilidad analtica de esta tcnica, ya que permite reconocer la presencia de un

elemento qumico determinado en una muestra arbitraria (por ejemplo, en el anlisis

bromatolgico de alimentos).

Robert Bunsen (1811 1899)

Gustav Kirchhoff (1824 1887)

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Hoy da la sofisticacin espectroscpica es muy alta, pero con los rudimentarios

medios de primeros del siglo XIX, J. Fraunhoffer identific (1814-1817) las

regularidades existentes en el espectro de la luz solar como algo propio de este astro.

Aos despus, R. Bunsen y G. Kirchhoff interpretaron correctamente la naturaleza de

estas lneas comparndolas con las que se obtenan quemando a la llama elementos

qumicos y estudiando los espectros de la luz que emitan. Estos cientficos

descubrieron un buen nmero de elementos qumicos mediante esta espectroscopia de

llama, por ejemplo: el cesio, con su color predominantemente azul (1860), o el rubidio,

con su color rojo oscuro (1861). Otros investigadores tomaron buena nota de este

importante avance y tambin descubrieron nuevos elementos qumicos: W. Crookes el

talio (1861), F. Reich y H. Richter el indio (1863), etc.

Es muy importante recordar que la naturaleza ondulatoria de la luz era ya un

hecho aceptado, de modo que la controversia durante el siglo XVII entre las ideas

sobre la luz, de I. Newton como un ente corpuscular y de C. Huygens como un

fenmeno ondulatorio, haca tiempo que haba terminado. Incluso la elegante Teora

Electromagntica de Maxwell, que fue desarrollada entre los aos 1866 y primeros de

los 1870 (publicada en 1873), permita predecir la existencia de ondas

electromagnticas, cuya confirmacin experimental fue obtenida por H. R. Hertz en

1897. De modo que la luz era una onda, o eso se pensaba entonces...

En este momento histrico poco ms poda hacerse para comprender la

naturaleza de todos los fenmenos que se han comentado. Todos ellos estn

directamente relacionados con la estructura ntima de la materia y ni los medios

experimentales ni las concepciones tericas estaban en el estadio de desarrollo necesario

para acometer esta empresa. Sin embargo, y apoyndose en todo este conocimiento

adquirido, los trabajadores de la Ciencia estaban a punto de cambiar la situacin.

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B. DESCUBRIMIENTOS EXPERIMENTALES

3. La medida de la relacin masa/carga del electrn por Thomson (1897)

En 1897 J. J. Thomson lleva a cabo una serie de experimentos en el laboratorio

Cavendish (Cambridge, Inglaterra) destinados a investigar la naturaleza de los

controvertidos rayos catdicos. Para ello utiliz un aparato, modelo tubo de descarga,

de la forma indicada en la figuras 1 (a y b). Manteniendo una diferencia de potencial

elevada entre los electrodos y dejando el tubo con un alto vaco (aire muy enrarecido)

observ algo que otros investigadores, como H. R. Hertz (el descubridor de las ondas de

radio), haban pasado por alto: la desviacin que los rayos catdicos sufran por el

efecto de campos elctricos externos (200 voltios y menores). En esta deteccin fue

decisivo el alto vaco logrado, ya que la conductividad del aire contribua a enmascarar

el efecto. Ms all de toda duda esta prueba defina a los rayos catdicos como

partculas cargadas negativamente.

La produccin del fenmeno es como sigue. Los iones positivos siempre

existentes en el aire enrarecido (debidos a la accin de la radiacin csmica u otras

causas) se ven acelerados hacia el ctodo cuando se establece el campo elctrico. Al

golpear al ctodo liberan partculas (electrones) del material que se ven aceleradas en

sentido contrario, hacia el nodo. De los choques de estas partculas con las molculas

del gas surgen nuevos iones positivos que mantienen el experimento en funcionamiento.

Joseph Thomson (1856 1940)

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Para evitar que todas las partculas emitidas desde el ctodo se vean detenidas

por el nodo se le practica a ste una rendija central y a continuacin se coloca una

pieza metlica con otra rendija, de modo que se disponga de un haz de partculas no

detenidas (colimacin) que pueda incidir sobre el extremo opuesto del tubo, recubierto

de una substancia fosforescente. La zona de impacto sobre este recubrimiento aparece

como una seal luminosa brillante (esto es, en esencia, una pantalla de televisin).

Experimento de Thomson. a) Efecto de un campo elctrico.

Experimento de Thomson. b) efecto de un campo magntico dirigido perpendicularmente al plano de la

figura.

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Si ahora se establece un campo elctrico externo vertical dirigido hacia abajo

(situando el polo positivo arriba y el negativo abajo) entre dos placas metlicas, se

observa cmo el punto de impacto se desplaza verticalmente de acuerdo con una

curvatura hacia el polo elctrico positivo. Este efecto puede deshacerse haciendo actuar

un campo magntico perpendicular al campo elctrico de modo que el polo norte salga

hacia fuera del plano del esquema y el polo sur quede detrs (figura 1). Recurdese que

las partculas cargadas describen trayectorias circulares en presencia de campos

magnticos. Un ajuste de las intensidades de ambos campos permite conseguir la

situacin de impacto sobre la pantalla que se obtena en ausencia de estos dos campos.

De ah un sencillo clculo electromagntico conduce a estimar la relacin masa/carga

para las partculas catdicas. Veamos cmo.

En la situacin de impacto equilibrado la fuerza elctrica sobre la partcula

catdica coincide con la fuerza magntica experimentada por sta:

BqEq v = (1)

en donde q- es la carga elctrica (negativa) de la partcula, v su velocidad y E y B son,

respectivamente, las intensidades de los campos elctrico y magntico externos

aplicados. El radio de la trayectoria circular seguida por la partcula bajo el efecto del

campo magntico viene dado por

= Bqmr /v (2)

Por tanto, la relacin masa/carga de las partculas catdicas es

2/ /m q rB E = (3) La magnitud r puede deducirse del sencillo clculo geomtrico que liga la cuerda, el

radio y la altura de un segmento de un crculo (figura 2)

bbar += )/(2 2 (4)

la cual claramente es una cantidad que debe determinarse del experimento.

19

El resultado obtenido por Thomson para la relacin que nos ocupa fue de un

orden de 710 uem (unidades electromagnticas). Este valor equivale a 810 g/C y en

su determinacin Thomson comprob que era independiente del gas contenido en el

tubo de experimentos: aire, hidrgeno, y dixido de carbono (C= coulombio)

El siguiente problema que abord Thomson (junto con H. Wilson) en 1903 fue

el de la determinacin independiente de la carga de las partculas catdicas. Su intento

(basado en experimentos previos de J.S Townsend) aunque ingenioso no tuvo xito,

pues estaba basado en la velocidad de cada de gotas de vapor de agua ionizada y stas

se evaporaban antes de obtener medidas fiables. De nuevo una buena idea que, aunque

de realizacin fallida, fue recogida por Millikan aos ms tarde para su brillante

determinacin de la carga de estas partculas. Hay que decir, finalmente, que las

partculas catdicas emitidas desde la superficie de diferentes materiales metlicos

mostraron todas la misma relacin masa/carga, por lo que se pens acertadamente que

estas partculas eran todas del mismo tipo. Esto llev a reforzar la especulacin, que G.

Stoney haba mantenido aos antes (1881-1891), sobre la posible existencia de una

unidad elemental de carga elctrica

Trayectoria circular que siguen los rayos catdicos (electrones).

20

4. El efecto fotoelctrico y la explicacin de Einstein (1905)

Un hecho descubierto en 1887 por H. R. Hertz fue el que una descarga elctrica

entre dos electrodos se produce con mayor facilidad cuando se hace incidir luz

ultravioleta sobre uno de ellos. Esta observacin fue completada por P. Lenard en 1902

cuando ste averigu que en el electrodo iluminado se liberaban partculas que posean

una relacin masa/carga idntica a la fijada por Thomson, denominndose a este efecto

efecto fotoelctrico. Estas partculas, catdicas o fotoelctricas, pasaron a denominarse

electrones recuperndose el nombre acuado por G. Stoney en 1891 para la hipottica

unidad natural de carga elctrica.

En la explicacin de este efecto result crucial el trabajo de M. Planck sobre la

cuantificacin (coloquialmente cuantizacin) de la energa en el interior de un cuerpo

negro (una cavidad radiante a una cierta temperatura en la que la radiacin alcanza un

estado de equilibrio trmico). En este trabajo (1900) Planck introdujo la hoy

denominada constante de Planck h, que posee dimensiones de accin (energatiempo)

Heinrich Hertz (1857 1894)

Max Planck (1858 1947)

21

y que estaba llamada a jugar un papel fundamental en la comprensin de la estructura

ntima de la materia. Su valor aceptado hoy es h=6.626075510-27erg.s y es de resaltar su pequeez.

Un esquema del aparato utilizado para poner de manifiesto este efecto es el

mostrado en la figura 3. Consta de un recinto de vidrio en la que se ha hecho el vaco y

que contiene dos piezas metlicas (electrodos), una de ellas en forma de campana con

una abertura en su vrtice. Atravesando la ventana de cuarzo que cierra la estructura de

vidrio y pasando a travs de la abertura en la campana, se hace incidir una luz

monocromtica (con longitud de onda o frecuencia fijas) sobre la pieza metlica opuesta. Al establecer una diferencia de potencial entre ambos elementos, cuando se

utiliza luz ultravioleta (grosso modo con

22

alcanzar un valor lmite (saturacin), que representa la situacin en la que todos los

electrones emitidos son captados por la campana positiva.

Cambiando instantneamente el signo de la diferencia de potencial, es decir

introduciendo una fuerza opuesta al movimiento de los electrones, se ve que la

intensidad de la corriente fotoelctrica no se hace cero inmediatamente. Esto significa

que, a pesar de la fuerza opuesta, parte de los electrones emitidos siguen la trayectoria

original hacia la campana por estar dotados de energa cintica suficiente. Ahora bien,

existe un valor (mnimo) ms elevado de la diferencia de potencial para el que el

frenado de los electrones es completamente efectivo y que hace nula la intensidad de la

corriente fotoelctrica: el potencial de frenado V0. Este valor multiplicado por la carga

del electrn es justamente la energa cintica de los electrones ms veloces y resulta

adems ser independiente de la intensidad de la luz incidente.

La teora ondulatoria clsica de la luz no da cuenta de este fenmeno por varias

razones. Una razn es que al aumentar la intensidad del haz luminoso, la energa

cintica de los electrones tambin debera aumentar y esto est en contradiccin con el

valor lmite constante (para cada material) V0 . Otra razn es que el fenmeno no ocurre

para todas las frecuencias de la luz incidente, sino que existe una frecuencia umbral 0 por debajo de la cul la emisin fotoelctrica no se produce, algo que es independiente,

de nuevo, de la intensidad de iluminacin empleada. Ntese que, a partir de tal

frecuencia umbral, los aumentos de intensidad en la luz incidente llevan a una mayor

emisin de electrones. Adems, la teora clsica no puede explicar la no deteccin de un

perodo de tiempo necesario para que los electrones acumulen la energa incidente hasta

alcanzar un valor que les permita escapar de la superficie metlica (esto debera

observarse utilizando luz incidente suficientemente dbil).

Consecuentemente y a modo de resumen:

- Existe una frecuencia umbral a partir de la cul ( 0 > ) se observa el efecto. - La cantidad de electrones emitidos es directamente proporcional a la intensidad de la

radiacin incidente. - La energa cintica mxima de los electrones emitidos es directamente proporcional a

0 , pero no depende de la intensidad de la luz incidente. - Los electrones se emiten instantneamente en cuanto la luz adecuada incide sobre el metal,

y dejan de ser emitidos en cuanto sta deja de actuar.

23

La explicacin de A. Einstein dada en 1905 se basa en utilizar la hiptesis

cuntica de Planck suponiendo que la luz monocromtica incidente de frecuencia est compuesta por un conjunto finito de paquetes o cuantos de energa (posteriormente

llamados fotones) localizados, independientes e indivisibles. Esta idea de

discontinuidad de la energa en la radiacin electromagntica se expresa

/E h hc = = (5)

en donde c es la velocidad de la luz de valor 2.997924581010cm.s-1, y la frecuencia tiene unidades de tiempo-1 (la longitud de onda tiene unidades de longitud). Ntese que la frecuencia puede tambin expresarse en unidades de (distancia)-1 utilizando la

velocidad de la luz como factor de conversin, por ejemplo

).()()( 1

11

=scmc

scm (6) La Ec. (6) expresa la frecuencia en nmero de ondas. Al consultar la bibliografa el

lector debe estar atento al convenio de smbolos utilizado para denotar las frecuencias.

Con la idea anterior la explicacin del efecto fotoelctrico es simple. Los

electrones se encuentran atrapados en el metal por determinadas energas, de modo que

los habr ms ligados y menos ligados. Sea la energa de ligazn de los menos ligados

0 (funcin de trabajo), que es una magnitud tpica de cada material (del orden de algunos electronvoltios). Si un electrn absorbe un cuanto h , esta energa se utiliza en liberar al electrn y en comunicarle energa cintica. Existe por tanto un umbral de

Albert Einstein (1879 1955)

24

energa 0h para arrancar electrones y la energa cintica mxima comunicada a un electrn de los menos ligados ser

,max 0cinE h = (7) El resto de los electrones recibir una energa cintica menor acorde con la mayor

ligazn que tenan en el metal.

La confirmacin experimental de esta idea de Einstein fue dada por R. Millikan

en 1916 al medir mediante el efecto fotoelctrico la constante de Planck y hallarla

coincidente con el primer valor obtenido por ste ltimo. Ntese que la explicacin de

Einstein vuelve hacia la idea de Newton de la luz como corpsculo. Qu es la luz pues,

onda o corpsculo?

5. La medida de la carga del electrn por Millikan (1909-1913)

Recordemos que Thomson haba determinado la relacin masa/carga de los

electrones, pero que no pudo fijar la carga por separado. Aunque Thomson y Wilson

obtuvieron estimaciones para la carga, el vapor de agua ionizado que utilizaron para ello

se evaporaba antes de poder obtener mediciones suficientemente precisas para esta

magnitud. En este punto, el lector puede argumentar por qu no disear un

experimento para fijar nicamente la masa? La cuestin es que esta tarea no puede

realizarse debido a la naturaleza elctrica del electrn, que tiene que acelerarse usando

campos elctricos y/o magnticos, de modo que sus propiedades inerciales se ven

entremezcladas con las elctricas. La carga, sin embargo, s puede ser fijada de un modo

independiente, sin ms que suponer que existe un valor mnimo, idntico para todos los

electrones.

R.A. Millikan siguiendo una lnea similar a la de sus predecesores, pero

introduciendo un mtodo de seguimiento individual detallado de las gotas de agua bajo

la accin de campos elctricos y el campo gravitatorio, tropez con los mismos

problemas de evaporacin. En estas circunstancias decidi utilizar gotas de aceite y

someterlas al mismo tratamiento. Este experimento, comunicado en 1911, se conoce

como el experimento de la gota de aceite y en el se estableci claramente que existe una

25

unidad fundamental de carga elctrica, ayudando as de modo decisivo al incipiente

establecimiento de la teora atmica de la materia.

Un esquema del experimento diseado por Millikan se muestra en la figura 4.

Mediante un atomizador (pulverizador comercial) se introduce una nube de finas

gotas de aceite dentro de una cmara libre de motas de polvo. En el proceso de

pulverizacin, las gotas adquieren una carga elctrica por efecto del rozamiento. En esta

cmara hay dos pesadas placas metlicas (circulares) y paralelas, situadas a 16 mm una

de otra y estando ambas conectadas a un generador elctrico, que inicialmente se

mantiene desconectado. La placa superior, conectada al polo positivo, posee una

pequea abertura que algunas gotas de aceite pueden atravesar al caer por efecto de la

gravedad, introducindose as en ele espacio entre placas. La cmara tambin posee dos

ventanas de vidrio opuestas a travs de las cules se hace pasar un estrecho haz de luz

procedente de una lmpara elctrica externa (denominada en el artculo original

lmpara de arco) de modo que quede entre las dos placas. En una direccin situada a

165o con respecto al haz luminoso incidente la cmara tiene otra ventana, en cuyo

exterior se sita un anteojo (de foco corto).

El procedimiento es como sigue:

1.- Cuando una gota de aceite cae por la abertura y se sita en una posicin de observacin se la puede ver como una estrella brillante sobre un fondo negro. Esta gota iluminada cae por efecto de la gravedad hacia la placa inferior (conectada al polo negativo), pero antes de que la alcance se procede a conectar el generador (intensidades de campo elctrico E entre 3000-8000 volt/cm). 2.- Si la carga adquirida por la gota bajo observacin es negativa, se ver desplazada hacia arriba en contra de la gravedad. Entonces, y antes de que esta gota se estrelle contra la placa

Robert MIllikan (1868 1953)

26

positiva, se desconecta el generador de modo que la gota vuelve a caer y se mide por el anteojo el tiempo (t1) que tarda en recorrer una distancia fijada, bajo el nico efecto de la gravedad.

3.- Se conecta de nuevo el campo elctrico y se determina la velocidad de subida de la gota, midiendo el tiempo (t2) empleado en recorrer la misma distancia. Las dos velocidades, de bajada (v1) y de subida (v2), son constantes debido a la resistencia del aire y al pequeo tamao de la gota.

4.- Admitiendo que las gotas son esfricas y de radio a, su peso menos el empuje del aire viene dado por

Peso-empuje del aire= ( )gagM '34 3 = (8)

en donde es la densidad del aceite y la densidad del aire. Ntese que M no es la masa real de la gota, sino una masa efectiva para sta. 5.- Puesto que la velocidad de la gota en un medio viscoso es proporcional a la fuerza que acta sobre ella, se puede escribir:

gMEqgM

=21

vv

(9)

donde v1 es la velocidad de cada bajo la accin solamente de la gravedad (aceleracin= g), v2 es la velocidad bajo la influencia conjunta del campo elctrico y de la gravedad, y q es la carga adquirida por la gota en la pulverizacin.

Fuerzas que actan sobre la gota de aceite cargada negativamente en el experimento de Millikan.

27

6.- Los radios de las gotas son del orden de 10-5cm, por lo que su determinacin directa en aquellos tiempos resultaba imposible. As, Millikan recurri a un ingenioso argumento. Se sabe que los cuerpos que caen en un medio viscoso aumentan su velocidad hasta alcanzar un valor lmite (v1). Este comportamiento viene regulado por la ley de Stokes que en el caso que nos ocupa, en ausencia de campo elctrico, se expresa:

( ) 13 6'34 vaga = (10)

siendo el coeficiente de viscosidad del medio. De esta ecuacin puede determinarse el radio a de la gota estudiada. 7.- Con las ecuaciones (8)-(9)-(10) se obtiene la carga adquirida por la gota:

( ) ( )3 / 2 1 / 2 1 / 21 2 14 9 ( ')3 2q gE = + v v (11)

Todas estas mediciones se realizaron sobre la gota seleccionada un gran nmero

de veces, o bien hasta que tal gota capturaba algn in presente en el aire, lo que se

manifestaba por un cambio abrupto en su velocidad (la masa de la gota no se altera

apreciablemente por esta captura, pero la carga s). Todo el experimento anterior se

repiti con muchas ms gotas y se observ que la carga adquirida por cada una de las

gotas era siempre un mltiplo entero de una determinada cantidad de carga negativa,

que pas a denotarse con la letra e.

La percepcin de que esta cantidad mnima e era la unidad de carga fundamental

en la naturaleza era pues muy atrayente (este concepto exclua la existencia de

fracciones de esta carga elemental e). El valor encontrado por Millikan en su trabajo de

1911 fue e=4.9310-10 uee=1.64510-19 C (uee =unidades electrostticas), resultado que posteriormente se refin introduciendo pequeas correcciones en la viscosidad del aire.

Asociando este valor a las partculas catdicas (electrones) de Thomson se poda

obtener un valor para su masa m. Toda la evidencia experimental posterior confirm

esta suposicin y los valores ms precisos para estas dos magnitudes fundamentales y

para la relacin masa/carga aceptados hoy son los siguientes:

1910602177.1 =e C (carga negativa) gm 2710910953.0 =

Cgem /10568572.0/ 8= (12)

28

Es interesante hacer notar aqu que con los valores de la carga y masa que

pudieron deducirse de las mediciones de Thomson y Millikan, aplicando la teora

electromagntica, se realiz una estimacin del radio del electrn (supuesto esfrico)

que result ser 13109,1 cm.

6. El modelo atmico de Rutherford (1911)

Los cientficos ms osados de la primera dcada del siglo XX tenan la casi

certeza de que los electrones formaban parte de los tomos. Saban que estos tomos

eran entes elctricamente neutros, tenan un radio del orden de 10-8 cm y su masa era de

un orden de unas miles de veces mayor que la de un electrn. Por lo tanto, los tomos

deban poseer una carga positiva en su interior que compensara la negativa de los

electrones. El problema de la distribucin de las cargas y las masas dentro del tomo

estaba pues servido.

Consecuentemente, un buen nmero de intentos de modelos atmicos fueron

propuestos. J. J. Perrin (1901) propuso un modelo planetario en el que los electrones

giraban alrededor de una carga positiva. Thomson (1903) sugiri que el tomo era una

distribucin esfrica continua de carga positiva en la que se encontraban incrustados

los electrones (el famoso modelo del pastel de pasas). Lenard (1903) elabor su

modelo de las dinamidas, entes formados por una carga positiva y otra negativa cuyo

nmero era proporcional al peso atmico del elemento, y que adems formaban un

ncleo impenetrable en el centro del tomo. Otro modelo debido a H. Nagaoka (1904)

Ernest Rutherford (1871 1937)

29

abundaba en la idea planetaria suponiendo que los electrones giraban alrededor de un

ncleo central todos a la misma distancia y con la misma velocidad angular.

Es en 1911 cuando E. Rutherford, antiguo estudiante de Thomson, emprende su

serie de experimentos de bombardeo con partculas sobre delgadas lminas de oro y de plata. Rutherford ya haba descubierto anteriormente que las partculas eran tomos de helio doblemente ionizados (sin electrones) que se emitan espontneamente

y con gran velocidad ( 000.14 Km.s-1) en la desintegracin de substancias radiactivas (la radiactividad natural haba sido ya descubierta en 1896 por H. Becquerel). Por esta

identificacin de las partculas alfa se le concedi el Premio Nobel en 1908. El

dispositivo experimental de bombardeo que utiliz se esquematiza en la figura 5.

Parte de las partculas procedentes de la desintegracin del radio se coliman en un haz para hacerlas incidir sobre las lminas metlicas. Las partculas , al atravesar las lminas, se ven sometidas a las fuerzas de Coulomb ejercidas por las distribuciones de

carga atmicas all presentes, por lo que al salir de la lmina las partculas se ven desviadas de su trayectoria inicial. El haz incidente inicial se dispersa y se recoge sobre

una pantalla recubierta de sulfuro de zinc cristalino, sustancia que al recibir un impacto

desprende un destello luminoso. Un microscopio permite contar los destellos por

Diagrama simplificado del experimento de Rutherford.

30

unidad de ngulo slido y con ellos se puede obtener la funcin de distribucin de

partculas dispersadas. Este tipo de anlisis por bombardeo fue utilizado por Rutherford en varias ocasiones y es muy interesante leer en sus artculos el cuidado

experimental relativo a la visin de sus colaboradores en estas agotadoras operaciones

de conteo. Por otra parte, la formacin matemtica de Rutherford no era, en absoluto,

muy sofisticada y en opinin de muchos autores sta no pasaba de la de un estudiante de

lo que hoy llamamos secundaria. Sin embargo, no cabe ninguna duda de que los

conocimientos que tena le resultaron suficientes para poder dar forma a lo que su

poderosa intuicin le dictaba sobre la esencia de los fenmenos a los que se enfrent.

Los resultados obtenidos en estos experimentos de bombardeo se resumen a

continuacin:

a) Ms del 99% de las partculas atravesaban las lminas sin sufrir una desviacin

notable (ngulos90. c) Algunas partculas se dispersaban con ngulos cercanos a 180, es decir rebotaban

al alcanzar la lmina y volvan prcticamente en la direccin de incidencia.

Estos resultados no concordaban con los modelos atmicos propuestos hasta

entonces, en particular con el de Thomson para el que un ngulo de dispersin menor de

90o era natural, pero de 180 resultaba imposible.

Del anlisis anterior surgi la funcin de distribucin experimental de impactos. Este

resultado tuvo que ponerse de acuerdo con algn modelo terico de lo que all estaba

ocurriendo. Para ello y basndose en la evidencia experimental que haba obtenido, Rutherford

supuso que:

1) Toda la carga positiva (y su masa asociada) del tomo se encontraba concentrada en una regin que denomin ncleo.

2) Estos ncleos estaran fijos en las posiciones de la red, no vindose sus posiciones alteradas por los impactos.

3) La dispersin se deba a las interacciones repulsivas de Coulomb entre la partcula y los ncleos (el papel de los electrones se consider despreciable).

4) Tanto las partculas como los ncleos se comportaban como cargas puntuales, excluyndose as efectos de penetracin en el ncleo por las partculas .

Con las hiptesis anteriores y resolviendo la siguiente ecuacin de movimiento

clsica

=

2

2

2

2

2

dtdr

dtrdM

reZz N

(13)

31

Rutherford mostr que la trayectoria seguida por una partcula dispersada debera ser una hiprbola (figura 6). En (13) las cargas nuclear y de la partcula (en unidades de e) se denotan por NZ y z , habindose utilizado el sistema de unidades electrostticas

para evaluar la fuerza de Coulomb que, a la distancia r, acta sobre el sistema de cargas

puntuales N- (constante de proporcionalidad k=1). La ecuacin de la trayectoria hiperblica de en coordenadas polares (r, ) con el origen de coordenadas en el ncleo es

)1(cos2

sen11 2 += bD

br (14)

en donde D es la distancia de mximo acercamiento al ncleo en una colisin frontal

(b=0), siendo por tanto este el punto en el que la energa cintica de la partcula coincide con la repulsin electrosttica (punto de retroceso), y b es el parmetro de

impacto de la colisin. En la figura 6 es el ngulo de dispersin (ngulo entre la direccin de incidencia y la direccin de salida =2R) y se corresponde con el ngulo polar comprendido entre 0 en coordenadas polares esfricas. Se supone simetra de revolucin alrededor del eje que contiene al ncleo, por lo que la

intervencin del segundo ngulo polar 20

32

El parmetro D viene dado por la relacin

2

22v

M

eZzD N= (15) y est relacionado con el ngulo de dispersin por

bD 2/)2/tg( = (16) Esta ltima relacin pone de manifiesto que la determinacin de la funcin de

distribucin angular para las partculas dispersadas es equivalente a la de obtener la funcin de distribucin de partculas que inciden con parmetro de impacto dado. Esto

significa que el nmero de partculas dispersadas entre y d+ es igual al de las que inciden con parmetros de impacto entre b y dbb +

... y entre partculas de nmero)()( =+== dbbbdbbTfdn (17) en donde T representa al total de partculas incidentes y )(bf es la funcin de distribucin de probabilidades del fenmeno. Notemos las diferentes normalizaciones:

Tdn = )(0

(18)

1)(0

= dbbf (19) Para una lmina de espesor l y densidad atmica la probabilidad de que una partcula incida dentro del intervalo ),( dbbb + es haciendo uso de (16)

( ))2/(sen

sen8/2)( 42

dDlbdbldbbf == (20)

Por tanto, la magnitud experimental a medir se obtiene de este modelo como

dbbfTdn )()( = (21) habindose introducido un signo menos para dar cuenta de que a mayores parmetros de

impacto b los ngulos de dispersin decrecen.

33

Las ecuaciones bsicas de Rutherford (20)-(21) fueron comparadas con el

experimento de varias formas y se encontr una buena concordancia. De hecho, salvo

para el caso de dispersin por tomos ligeros, las suposiciones del modelo de dispersin

de Rutherford son satisfactorias. En las comparaciones que involucran tomos ligeros

deben introducirse factores de correccin que tengan en cuenta el valor finito de la masa

de los ncleos, frente a la hiptesis de masa infinita hecha para los ncleos de

elementos pesados. De este modelo se pudo tambin obtener una estimacin del tamao

de los ncleos analizando las distancias de mximo acercamiento (relacionadas con D)

junto con las estimaciones tericas del modelo y las observaciones experimentales. Una

de las hiptesis del modelo era la no penetrabilidad de las partculas en los ncleos

(fenmeno que estar relacionado con la energa cintica que aqullas traigan), de modo

que las discrepancias con las predicciones del modelo de Rutherford, corregido con

masa de ncleos finita, podran llevar a una estimacin del tamao de los ncleos. Para

obtenerla se utilizaron partculas incidentes con distintas energas y se represent el

cociente tericonobservadon )(/)( frente a la distancia de mxima aproximacin, fijando un valor grande del ngulo de dispersin. La aparicin de valores

del cociente anterior diferentes de la unidad defina el tamao lmite buscado

cm1210 . El resultado de Rutherford se expresa modernamente en trminos de una

cantidad denominada seccin transversal diferencial de dispersin (o seccin eficaz)

= dTsdddn ; ( )

22 142 ( / 2)2

Nd z Z e send M

= v (22) en donde d es el elemento de ngulo slido )sen2( d= y s es la densidad superficial atmica de la lmina.

En resumen, el modelo atmico de Rutherford consisti en proponer que el

tomo estaba constituido por un ncleo, portador de la carga positiva eZN y de la

prctica totalidad de la masa, rodeado por un nmero NZ de electrones que orbitaban a

su alrededor, al modo de los planetas alrededor del Sol. Comparando los rdenes de

34

magnitud del tamao del tomo ( )cm810 y del tamao del ncleo ( )cm1210 la conclusin obvia fue que los tomos tenan un gran espacio vaco en su interior.

Por razones de completitud, y dando un salto en el tiempo, conviene sealar que

no acabaron aqu los experimentos de Rutherford bombardeando tomos con partculas

procedentes de la desintegracin de elementos radiactivos. Estudiando el efecto del

bombardeo con partculas sobre diferentes gases, Rutherford estableci que los ncleos tambin tenan una estructura interna (1919) al producir la primera

transmutacin artificial de elementos (nitrgeno oxgeno). Unos aos despus junto con J. Chadwick estableci definitivamente que del bombardeo con partculas sobre diferentes elementos qumicos (como el boro, el potasio, y otros) se producan protones,

actividad que condujo finalmente a la elucidacin de la estructura de los ncleos

atmicos.

7. El espectro del tomo de hidrgeno.

Por razones que van a quedar claras en la seccin siguiente, conviene en este

punto considerar con ms detalle los hallazgos experimentales en el terreno de la

espectroscopa atmica, concretamente los relacionados con el tomo de hidrgeno. La

produccin de este elemento se realizaba en los consabidos tubos de descarga

introduciendo gas de hidrgeno molecular H2 (ver la sec. 9 para la explicacin de la

disociacin molecular). Una vez rotas las molculas, los tomos de hidrgeno libres

sufran el bombardeo de los rayos catdicos y de ah se determinaba su espectro

atmico.

Ya en 1885 J. Balmer encontr una relacin matemtica emprica para las

longitudes de onda del espectro de emisin del hidrgeno atmico en la regin visible-ultravioleta cercano (figura 7):

= 422

nnb ; ,...5,4,3=n (23)

35

siendo la constante emprica b=3645,6 . Igualmente, Balmer seal en su artculo una

moderada sorpresa por el hecho de que en el espectro conocido entonces no aparecieran

lneas a las longitudes de onda que se determinaran con su frmula reemplazando 4

(=22) por 1, 32, 42, etc. Con el paso del tiempo fueron descubrindose ms lneas que

rellenaban estas ausencias anticipadas por Balmer y en 1890 una relacin ms completa

que daba cuenta de todas ellas, agrupadas en series, fue propuesta por Rydberg:

2 2

1 1 1H

f i

Rn n

= (24) en donde fn es un valor entero fijo para cada serie, in es otro nmero entero que indica el orden de cada lnea en la serie in( empieza en )1+fn , y HR es la denominada constante de Rydberg para el tomo de hidrgeno, cuyo valor aceptado hoy es

1581,109677 = cmRH (25)

Todas estas series tienen el nombre del descubridor (o descubridores) de sus lneas: - Lyman (1916): fn =1; in =2,3,4,5,.... (ultravioleta lejano de vaco-) - Balmer (1885): fn =2; in =3,4,5,6,.... (visible-ultravioleta cercano) - Paschen-Ritz (1908): fn =3 ; in =4,5,6,7,.... (infrarrojo prximo)

Espectro de emisin del hidrgeno atmico. Las lneas subrayadas son las primeras de cada serie.

36

- Brackett (1922): fn =4; in =5,6,7,8,.... (infrarrojo medio) - Pfund (1927): fn =5; in =6,7,8,9,.... (infrarrojo medio) - Humphreys (1952): fn =6; in =7,8,9,10,.. (infrarrojo medio)

Es interesante notar que:

i) Todas las series tienen un lmite ( in ) y a medida que se tiende a ste un nmero infinito de lneas ms y ms prximas se presentan.

ii) Una lnea dada es una diferencia entre dos trminos espectrales, cada uno de ellos definido por una expresin del tipo ./ 2nRH En virtud de las relaciones (5) y (6), estos trminos pueden interpretarse como trminos energticos.

iii) Las series sealadas son de emisin, pero si se invierte el orden de los nmeros fn y

in se obtienen series de absorcin. iv) Con las anteriores convenciones, una lnea de emisin in fn puede interpretarse

como una transicin (o salto) que el tomo realiza desde un nivel energtico superior in hasta el nivel energtico inferior fn y lo anlogo, pero al inverso, puede decirse

para una lnea de absorcin. Al igual que una lnea espectral puede representarse por la diferencia entre dos

trminos espectrales, en el hidrgeno la diferencia entre dos trminos espectrales

(series de Balmer y Lyman conocidas) tena su representacin en una lnea del espectro.

Para elementos diferentes del hidrgeno W. Ritz observ que relaciones anlogas a (21),

aunque ms complicadas, tambin eran posibles. Esto llev a la formulacin del

principio de combinacin de Rydberg-Ritz (1908) que supona la validez general de las

dos condiciones anteriores: una lnea espectral se corresponde con la diferencia entre

dos trminos espectrales y, adems, la diferencia entre dos trminos cualesquiera da una

lnea del espectro. No obstante, as como la primera parte del principio es siempre cierta

para cualquier tomo, la segunda parte presenta excepciones al existir lneas

prohibidas. En el estudio moderno de la espectroscopa estas prohibiciones estn

recogidas en las denominadas reglas de seleccin que, basadas en argumentos de

simetra, determinan las lneas permitidas y prohibidas (=con muy pequea

probabilidad) en un espectro.

Este principio de combinacin dio una perspectiva muy amplia en el estudio de

los espectros atmicos y sirvi como una referencia fundamental para el desarrollo de la

Mecnica Cuntica. Ms concretamente, como la evidencia experimental apuntaba a

que los responsables de las lneas espectrales eran los electrones del tomo

(experimentos con gases parcialmente ionizados, etc.), la idea de que los trminos

37

espectrales, aunque describan niveles energticos del tomo, estaban asociados a los

posibles niveles energticos de los electrones fue gradualmente imponindose,

facilitando la formulacin del modelo atmico de Bohr.

Es interesante notar aqu que en el caso del tomo de hidrgeno, en ausencia de

campos externos, debera cumplirse el principio de combinacin completo. Sin

embargo, la observacin de los espectros de absorcin presenta algunos problemas

derivados de la poblacin atmica de los niveles energticos (trminos en el lenguaje

espectroscpico). Para evitar la mezcla indeseada con la emisin concomitante, la

situacin normal consiste en tener a los tomos en el trmino de energa ms bajo

posible 1=n (fundamental), despus excitar la muestra y registrar las longitudes de onda absorbidas. Notemos que un nico tomo dara una contribucin despreciable a la

intensidad de la lnea espectral, por lo que para que la seal se pueda observar con

facilidad la muestra gaseosa debe contener muchos tomos. Todo ello se cuantifica con

la intensidad de cada lnea, que resulta ser tanto mayor cuantos ms tomos estn

implicados en su produccin. En el caso del tomo de hidrgeno se ha detectado en

ciertos espectros estelares la serie de Balmer de absorcin, cuyo origen est en la

elevada poblacin atmica del primer trmino excitado 2=n forzada por la elevada temperatura de la atmsfera estelar.

Por lo que respecta a los espectros del tomo de hidrgeno no podemos dejar de

mencionar el efecto Stark. Este efecto fue por primera vez descubierto por J. Stark en

1913 utilizando los tomos de hidrgeno producidos en un tubo de descarga y consiste

en el desdoblamiento de las lneas espectrales por efecto de un campo elctrico. Para

ello Stark tuvo que emplear campos elctricos muy intensos (100.000 volt./cm.) que

actuasen sobre distancias muy pequeas (del orden del mm.), una gran dificultad

experimental contra la que haban fracasado otros investigadores del momento. Sus

observaciones se concentraron en la serie de Balmer. Naturalmente este tipo de efecto

no es privativo del hidrgeno, sino que puede observarse en los dems tomos. Un

efecto similar, aunque muy diferente cuantitativamente, es el denominado efecto

Zeeman, en el que se hace uso de campos magnticos y que ser tratado ms adelante.

38

39

C. PRIMERAS TEORAS PARA NUEVAS REALIDADES 8. La estabilidad de la materia y el modelo atmico de Bohr (1913)

La descripcin planetaria de Rutherford para los tomos, aunque filosficamente

atractiva, distaba mucho de responder a toda la realidad experimental conocida. Si bien

la identificacin del ncleo central positivo era acertada, la distribucin planetaria de los

electrones planteaba una serie de problemas insolubles dentro del marco de la

Electrodinmica Clsica. Si los electrones estaban orbitando alrededor del ncleo,

cmo eran sus trayectorias? Por otra parte, siendo los electrones cargas en movimiento

acelerado (las trayectorias circulares o elpticas implican al menos aceleracin central),

la teora clsica, ya desarrollada por J. C. Maxwell (1873), exiga que stos emitieran

radiacin, con la consiguiente prdida de energa que hara que los electrones se

precipitaran hacia el ncleo. El resultado es un modelo inestable del tomo y por tanto

de la materia. Para concretar, considrese el caso del tomo de hidrgeno que se

discutir a continuacin.

El tomo de hidrgeno slo posee un electrn que para estar ligado y describir

una trayectoria elptica clsica con un foco en el ncleo debe tener una energa negativa

E. La frecuencia del movimiento de este electrn depende de las caractersticas del

sistema electrn-ncleo y viene dada por:

2/1

42

32

=

eE

(26) en donde es la masa reducida de las dos partculas

James Maxwell (1831 1879)

40

.

.

mMncl Hm Mncl H

= + (27)

Al estar en movimiento acelerado el electrn emitira, segn la teora clsica,

radiacin monocromtica de frecuencia (o a uno de sus armnicos). Adems, al disminuir el tamao de la rbita la frecuencia debera ir decreciendo constantemente. De

esta manera, el electrn al perder energa caera hacia el ncleo en un tiempo inferior a

s1010 , originndose una emisin continua de radiacin. Sin embargo, tras excitar al

tomo de hidrgeno (arco elctrico, iluminacin con radiacin electromagntica, etc.)

no se observa un espectro continuo, sino una serie de lneas a frecuencias (o longitudes

de onda) definidas: el espectro del tomo de hidrgeno que, en parte, ya haba sido

obtenido anteriormente al modelo de Rutherford y que responda a la frmula de

Rydberg.

Es N. Bohr en 1913 quien, utilizando la hiptesis cuntica de Planck pero

aplicada al momento angular del electrn, da una explicacin del espectro conocido

por entonces del hidrgeno y del principio de combinacin. Este modelo atmico para

la estructura electrnica se resuma en las siguientes hiptesis:

i) Un tomo posee un conjunto discreto de estados estacionarios con

energas nE (n=1,2,3,...). ii) La emisin o absorcin de radiacin slo ocurren cuando el tomo pasa

de un estado estacionario a otro 21 EE (emisin 21 EE > ; absorcin 21 EE < ), de modo que la frecuencia ( 1s ) de emisin o absorcin

viene dada por

Niels Bohr (1885 1962)

41

1 21( )E E

sh

= (28)

iii) Un electrn en un estado estacionario sigue una trayectoria circular clsica en la que no pierde (ni absorbe) energa como resultado de su movimiento.

iv) Estas rbitas estacionarias se caracterizan por tener cuantificado el mdulo L del momento angular orbital L del electrn, de modo que sea un mltiplo entero de la constante de Planck dividida por 2

2hL m r n n= = = =v n=1,2,3,4,... (29)

en donde m es la masa del electrn, v su velocidad orbital, r el radio de la rbita y n el denominado nmero cuntico principal.

La condicin iv) era suficiente para definir el tamao, la velocidad y la energa

asociadas con las rbitas circulares. Para el electrn del tomo de hidrgeno estas

rbitas deberan cumplir la condicin de equilibrio entre la atraccin elctrica por el

ncleo y la fuerza centrfuga:

rm

re 2

2

2 v= (30)

siendo la energa total del tomo la suma de la energa cintica ms la energa potencial

del electrn en la rbita:

remE

22

21 = v (31)

Utilizando (29) es inmediato obtener los posibles valores discretos para las magnitudes

relativas al electrn dentro de este modelo (n=1,2,3,4,...):

2 4

2 2

2 1n

meEh n

= (32)

222

2

4n

mehrn = (33)

42

nhe

n

22=v (34)

Como se ve, slo son posibles determinados valores para la energa, tamao y velocidad

del electrn en las rbitas estacionarias de Bohr, en contra de la imagen clsica en la

que todos los valores eran posibles (continuo clsico). Es interesante resaltar la

diferente proporcionalidad de la energa y el radio de las rbitas con el cuadrado del

nmero cuntico, resultando que las rbitas ms alejadas y con mayor radio poseen

mayor energa (menos negativa). La rbita n=1 es la ms estable (energa negativa ms

baja) y la ms prxima al ncleo (figura 8) y es una representacin del estado

electrnico fundamental del tomo. Las rbitas con n>1 representan a los estados

electrnicos excitados. El paso siguiente es justificar la frmula de Rydberg (24)

utilizando (32) y la hiptesis ii):

2 4

12 1 3 2 2

1 2

2 1 1'( ) ( ) / mecm E E hch c n n = = (35)

de donde la identificacin de la constante de Rydberg para el tomo de hidrgeno es

inmediata:

tomo de Bohr

43

= RchmeRH 3

422 (36)

Este clculo terico de la constante HR estaba en muy buen acuerdo con las

medidas experimentales obtenidas a partir de la serie de Balmer, dentro de la precisin

con que se conocan las diferentes magnitudes en aquella poca. La frmula (35)

permiti explicar no slo la serie de Balmer, sino predecir otras series del hidrgeno an

no descubiertas. Adems con la generalizacin inmediata al caso de tomos con un

nico electrn (hidrogenoides: He+, Li2+, etc.) introduciendo la carga nuclear como

eZN , en lugar de e , en las relaciones anteriores se pudieron explicar tambin los

espectros de estos tomos ionizados (la energa ahora es proporcional a 2NZ ). En

particular conviene mencionar que esta generalizacin de (35), incluyendo el factor 2NZ ,

permiti aclarar el hecho de que determinadas lneas observadas primeramente en el

espectro de la estrella (Zeta) Puppis y que se haban atribuido al hidrgeno (serie de Pickering, 1896-1897) eran en realidad debidas al He+. En esta identificacin final de

lneas espectrales, que Bohr discuti en su artculo de 1913, fueron de ayuda tambin

los experimentos en tubos de descarga realizados por A. Fowler en 1912 con mezclas de

hidrgeno y helio. Finalmente, el modelo de Bohr condujo a una visualizacin clara del

fenmeno de la ionizacin (figura 8) que corresponde a arrancar un electrn del tomo

y que se obtiene para n (energa nula), siendo el lmite matemtico para el radio de esta rbita nr la representacin de la separacin completa entre el tomo ionizado y el electrn. Los niveles atmicos con energa positiva por encima del valor

cero anterior no estn discretizados y hay un continuo de estados (estados de

colisin).

Un detalle histrico no muy divulgado es el hecho de que Bohr no fue el primero

en aplicar las ideas cunticas de Planck al problema de la estructura atmica, aunque s

fue el que consigui dar una primera respuesta satisfactoria al espectro del tomo de

hidrgeno y supo ver las implicaciones ocultas detrs de esta nueva frontera del

conocimiento. Un ao antes del artculo de Bohr, el matemtico J. W. Nicholson (1912)

avanz la idea de que la energa total del sistema atmico debera ser un mltiplo entero

positivo de la constante de Planck dividida por 2 . Esta hiptesis le llev a obtener muy buenos resultados cuantitativos para las razones entre las frecuencias observadas

44

en el espectro de la corona solar. No obstante, su hiptesis no explicaba la serie de

Balmer ni el principio de Rydberg-Ritz. Entre las entonces especulaciones finales de

Nicholson se encontraba la idea de que el objeto a cuantificar podra ser el momento

angular de los electrones, . De estos estudios previos da referencia Bohr en su artculo

On the constitution of atoms and molecules (1913), en el que Bohr comunica la

formulacin de la primera teora cuntica de la estructura atmica y gana as por la

mano a Nicholson en esta empresa. A pesar del xito de Bohr, todava quedaron

defensores de extraamente complicados y obsoletos modelos atmicos basados en

ideas previas a la decisiva aportacin de Rutherford, como fue el caso de J. Stark que

public estas ideas pre-cunticas en sus Principia der Atomdynamik (1915).

9. Confirmaciones, mejoras e inadecuacin del modelo de Bohr (1914-1916)

La explicacin ad hoc de Bohr para los espectros atmicos era una prueba

indirecta de la existencia en los tomos de los niveles de energa electrnicos que su

modelo postulaba. Pero adems, una prueba directa de la existencia de estos niveles fue

obtenida en 1914 por J. Franck y G. Hertz (no confundir con H. R. Hertz). Estos

cientficos observaron, en una serie cuidadosa de experimentos, que las colisiones

inelsticas entre electrones y tomos (es decir, con alteracin del estado interno tomo)

sucedan nicamente cuando la energa cintica del electrn incidente era mayor que la

que poda calcularse con la diferencia de trminos (35) para una transicin desde el

estado fundamental hasta un estado excitado. La cantidad de energa perdida por el

electrn incidente se determin que era igual a la necesaria para producir una

excitacin, segn poda deducirse de los datos espectrales. Ms an, tras dicha colisin

James Franck (1882 1964)

45

tambin se poda observar una lnea espectral correspondiente a la emisin desde el

estado excitado alcanzado hasta el estado fundamental. Es interesante mencionar aqu,

de pasada, que de los choques entre electrones suficientemente energticos y molculas

puede resultar la disociacin de stas, cual era el caso de la produccin de hidrgeno

atmico a partir de molculas de hidrgeno (H2) en los tubos de descarga mencionado

anteriormente.

Consecuentemente, la existencia supuesta por Bohr de los niveles de energa

electrnicos en los tomos tena ya pruebas indirectas (espectros) y directas

(experimentos de Franck-Hertz). Sin embargo, aunque el lector puede ahora justificar

cualitativamente la aparicin de los haces coloreados que se obtenan en los tubos de

descarga, el modelo de Bohr no pudo explicar los espectros de los tomos con dos o

ms electrones. Algo estaba fallando en esa descripcin de las rbitas cuasi-clsicas que

se escapaban artificialmente del colapso del electrn en el ncleo en virtud del

postulado iii). Era necesaria una descripcin radicalmente diferente.

Es durante los aos 1915 y 1916 cuando tres cientficos, W. Wilson, J. Ishiwara

y A. Sommerfeld, independientemente unos de otros, introducen una generalizacin al

modelo de Bohr a travs de las hoy llamadas reglas de cuantificacin de Sommerfeld-

Wilson-Ishiwara. La matemtica involucrada en este intento de mejora estaba basada en

la descripcin hamiltoniana de sistemas multiperidicos que evolucionan en el espacio

fsico. Este espacio est tomado de la mecnica estadstica clsica y se define mediante

un conjunto de ejes ortogonales correspondientes a todas las posiciones e impulsos de

todas y cada una de las N partculas, que supuestas puntuales implicaran un espacio de

Gustav Hertz (1887 1975)

46

dimensin 6N. El lector interesado puede consultar la bibliografa sobre Mecnica

Estadstica citada en esta Gua para ms detalles. En este modelo mejorado aparecen

varios nmeros cunticos que definen los valores discretos posibles para las

magnitudes caractersticas de las nuevas rbitas estacionarias: energa E, mdulo del

momento angular L y una de las componentes de esta magnitud vectorial,

convencionalmente zL .

Para el caso del electrn en los tomos hidrogenoides, el nmero cuntico

principal n est relacionado con E en la forma:

2

22 121

neZE Nn

= = ; 2

h== (37) en donde es la masa reducida (27) y NZ la carga del ncleo en unidades de e . El mdulo del momento angular est relacionado con el nmero cuntico azimutal n

mediante

== nL (38)

mientras que su componente z lo est con el nmero cuntico magntico zm como

Modelo Sommerfeld-Wilson-Ishiwara

47

=zz mL = (39)

Con la ayuda de otros nmeros cunticos auxiliares, rn (radial), n y n

(angulares), los tres enteros no negativos, los nmeros cunticos mostrados en (38)-

(39) estn relacionados entre s como sigue:

nnnn r ++= ; nnn += ; nnmz =

,...3,2,1=n ; nn (40) Ntese que, aunque formalmente idntica a la primitiva frmula de Bohr, la

generalizacin (37) contiene algunas diferencias importantes con aqulla.

La primera es la introduccin de la masa reducida para estudiar el problema de

los dos cuerpos electrn-ncleo, con lo que la constante de Rydberg no toma el mismo

valor para todos los tomos hidrogenoides como se consideraba en el primitivo modelo

de Bohr. La constante de Rydberg para un ncleo de masa MN viene dada por

1M

N

RR mM

=+ (41)

que corresponde a poner en vez de m en (36). Al aumentar la masa del ncleo MN (41) tiende a (36), pero para masas nucleares pequeas (hidrgeno, helio, etc.) hay

desviaciones que pudieron apreciarse experimentalmente con espectrgrafos de

creciente poder de resolucin. Concretamente, este efecto de la masa nuclear sobre las

lneas espectrales fue la causa del descubrimiento del deuterio (istopo del hidrgeno

con un neutrn en el ncleo) en 1932 por H. Urey, F. Brickwedde y G. Murphy. Estos

investigadores encontraron que cada una de las lneas de la serie de Balmer presentaba

una compaera ms dbil a longitudes de onda menores, lneas que se explicaban

utilizando como constante de Rydberg la resultante de tomar una masa nuclear doble de

la del hidrgeno. Adems este efecto isotpico permiti explicar con toda precisin los

espectros del He+ y de los tomos hidrogenoides del segundo perodo hasta el O7+

inclusive.

48

La segunda es que un nmero principal dado n es compatible con varias

descomposiciones en nmeros cunticos auxiliares: cada una de estas descomposiciones

representa un posible estado estacionario y todos ellos comparten un mismo valor de la

energa. A este resultado se le denomina degeneracin. Por ejemplo, al nivel energtico

asociado con el nmero cuntico principal n, le corresponden n rbitas dadas por n =1,

2, 3,...,n, y adems para cada uno de estos valores la rbita admite )12( +n orientaciones en el espacio, segn =zm n , 1+ n , 2+ n ,..., 2n , 1n , n . As, para el nivel energtico n=3 aparecen dentro de este modelo los siguientes 15

estados estacionarios degenerados caracterizados por los nmeros cunticos:

- n=3 n =1 zm = -1 - n=3 n =1 zm = 0 - n=3 n =1 zm =+1 - n=3 n =2 zm = -2 - n=3 n =2 zm = -1 - n=3 n =2 zm = 0 - n=3 n =2 zm = +1 - n=3 n =2 zm = +2 - n=3 n =3 zm = -3 - n=3 n =3 zm = -2 - n=3 n =3 zm = -1 - n=3 n =3 zm = 0 - n=3 n =3 zm = +1 - n=3 n =3 zm = +2 - n=3 n =3 zm = +3 (42) El nmero de estados estacionarios degenerados asociados con un nivel energtico n

dentro del modelo de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara es )2( +nn , como puede comprobarse fcilmente (una progresin aritmtica, en definitiva). Las rbitas de este

modelo no se restringen slo a formas circulares, sino que tambin incorpora rbitas

elpticas.

El papel de estos nuevos estados result crucial en la explicacin de

Sommerfeld de la denominada estructura fina del espectro del tomo de hidrgeno (ya

49

observada por Michelson en 1891-1892) utilizando espectrgrafos de gran poder de

resolucin. Esta estructura fina consiste en que cada una de las lneas primitivamente

observadas es, en realidad, una pareja de lneas muy prximas (dobletes). Dado que la

energa en este modelo slo depende de un nmero cuntico n, Sommerfeld introdujo

correcciones relativistas (relatividad especial) que le permitieron justificar

cuantitativamente el desdoblamiento de las lneas espectrales a travs de una mejorada

dependencia de la energa con dos nmeros cunticos: principal n y azimutal n . Este

xito result sorprendente, sobre todo teniendo en cuenta que la coincidencia resultante

era completamente fortuita, como se demostrara aos despus con la ecuacin obtenida

por P. Dirac. Que este modelo de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara, sin embargo, era

incorrecto estaba claro por su incapacidad para explicar los espectros de los tomos con

dos o ms electrones.

Por otra parte, en 1897 P. Zeeman ya haba puesto de manifiesto que las lneas

espectrales de emisin atmicas sufran un desdoblamiento por efecto de campos

magnticos externos: la lnea azul del cadmio a 4800 daba un triplete equiespaciado

sobre la lnea central, cuya posicin segua estando a 4800 . Este efecto se observ en

otros casos, con la particularidad de que el espaciado pareca ser independiente del

tomo y slo funcin del campo magntico externo aplicado. Este efecto de

desdoblamiento equiespaciado (efecto Zeeman normal) pudo ser explicado por H.

Lorentz en 1897 sin ms que hacer uso de la teora electromagntica clsica. No

obstante, tambin en 1897, T. Preston descubri que los patrones de desdoblamiento

bajo campos magnticos distaban mucho de ser tan regulares como sugeran los

experimentos de Zeeman: los desdoblamientos daban multiplicidades diversas

dependiendo de la lnea espectral considerada y, aunque el espaciado entre lneas de un

multiplete dado era siempre el mismo, ste dependa del campo magntico y de la lnea

original considerada (efecto Zeeman anmalo). Ejemplos de efecto Zeeman anmalo se

observan en los desdoblamientos de: a) la lnea del zinc a 4722,16 ; y b) el par de

lneas del sodio a 5889,96 y a 5895,93 . En resumen, lo que se observaba era que

para todas las lneas sencillas (singletes) pareca existir el efecto normal, en tanto que

para lneas muy prximas (no singletes) se manifestaba el anmalo. El modelo

Sommerfeld-Wilson-Ishiwara pudo explicar el efecto Zeeman normal a partir de la

50

cuantizacin espacial de las rbitas, pero no pudo dar una explicacin del efecto

anmalo.

A pesar de sus defectos, el modelo de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara tuvo la

virtud de introducir nuevos conceptos que seran importantes en los desarrollos

cunticos posteriores: ms de un nmero cuntico, la existencia de degeneracin

(ntese la diferencia entre un nivel de energa y sus posibles estados degenerados) y el

principio de correspondencia (para nmeros cunticos altos se recupera la mecnica

clsica como lmite). Un interes