14433223 13 Sistemas de Ecuaciones Lineales

FatelaPreuniversitarios

MATEMTICA GUA 13 SISTEMAS DE ECUACIO ES LI EALES"En esta gua se tratar sobre: Sistemas de Ecuaciones, Mtodos de Resolucin: Forma Grfica. Sustitucin. Igualacin. De Reduccin por Sumas y Restas. Determinantes (Para 2 y 3 ecuaciones). Tipos de Soluciones de Sistemas de Ecuaciones. Sistema Compatible Determinado. Sistema Compatible Indeterminado. Sistema Incompatible. Problemas con Sistemas de Ecuaciones. Inecuaciones con dos incgnitas: Solucin Grfica. Sistemas de Inecuaciones. Problemas con Sistemas de Inecuaciones. SISTEMAS DE ECUACIO ES LI EALES Genricamente un Sistema de Ecuaciones Lineales se presenta como: a1 x + b 1 y = c1 a2 x + b 2 y = c2 Un Sistema de Ecuaciones Lineales consiste en dos ecuaciones lineales con dos incgnitas "x" e "y" que estn relacionadas entre s

Las ecuaciones son "lineales" puesto que tanto la "x" como la "y" slo aparecen elevadas a la primera potencia. Los coeficientes a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son nmerosnstantes. Resolver un sistema de ecuaciones implica encontrar los valores de "x" y de "y" que satisfagan a las dos ecuaciones al mismo tiempo. Para lograr esto, existen diversos mtodos que veremos a continuacin:Matemtica - Sistemas de Ecuaciones Lineales - 1 -29


MTODO GRFICO Cada ecuacin con dos incgnitas, es una funcin lineal que se halla implcita. El mtodo grfico consiste en despejar las funciones implcitas "y" de ambas ecuaciones, para luego graficarlas (usando el concepto pendiente y ordenada al origen, por ejemplo). Si se tienen dos rectas que no son paralelas, entonces las mismas se cortarn en un punto P(x;y) cuyas coordenadas son la solucin "x" e "y" del sistema. O sea que todos los puntos de una recta, representan los pares ordenados (x;y) que satisfacen a una sola ecuacin; y habra slo un punto del plano P(x;y) que al pertenecer a las dos rectas a la vez (es su interseccin) satisface al mismo tiempo a las dos ecuaciones. Por eso las coordenadas de este punto "P" son la solucin del sistema. x+2y=4 3x2y=4y= y= 4x 2 4 3x 2 1 y= x+2 2 3 y= x2 2

y

Solucin Grfica

P(x;y)

y=1 x=2

x

La solucin grfica puede no ser muy precisa, por ello existen mtodos analticos que permiten conocer la solucin exacta. MTODO DE SUSTITUCI Es un mtodo analtico que consiste en despejar una incgnita ("x" o "y") de una ecuacin (la primera o la segunda) y reemplazarla en la otra ecuacin. Con ello se obtiene una ecuacin de primer grado con una sola incgnita ("y" o "x", respectivamente). Se resuelve la misma y una vez hallada dicha incgnita seMatemtica Sistemas de Ecuaciones Lineales 2 29


reemplaza en la expresin despejada al comienzo a fin de hallar la otra incgnita, obtenindose as la solucin del sistema de ecuaciones. x+2y=4 3x2y=4 Solucin = {(2; 1)} 3 x 2 4 x = 4 2

y=

4x 42 2 = = 2 2 2

y=1

3x4+x=4 4x=8 x=2

El Mtodo de Sustitucin tambin sirve para resolver Sistemas de Ecuaciones no Lineales

MTODO DE IGUALACI En el mtodo analtico de "igualacin" se despeja la misma incgnita ("x" o "y") de ambas ecuaciones y se igualan los dos segundos miembros de las expresiones obtenidas. De esta forma se tiene una ecuacin con una sola incgnita ("y" o "x", respectivamente), la cual se resuelve para hallar dicha incgnita. Por ltimo se reemplaza la incgnita obtenida en cualquiera de las dos expresiones despejadas inicialmente, y se logra as hallar la segunda incgnita. x+2y=4 3x2y=4y= y= 4x 2 4 3x 2

y=y4 x 4 3x = 2 2 2 ( 4 x ) = 2 ( 4 3x )

8 + 2 x = 8 6 xy= 4x 42 2 = = 2 2 2

y=1

6 x+ 2 x = 8 + 8 8 x = 16 x=2

El Mtodo de Igualacin tambin sirve para resolver Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Solucin = {(2; 1)}

Cuando hay sistemas de ecuaciones no lineales, puede ser una ecuacin cuadrtica (parbola) con una lineal (recta), o dos cuadrticas; los mtodos vistos de Sustitucin y de Igualacin tambin permiten la resolucin, llegndose en este caso a obtener las coordenadas de dos puntos de interseccin en general.Matemtica

Sistemas de Ecuaciones Lineales

3

29


MTODO DE REDUCCI

POR SUMAS Y RESTAS

En este mtodo se trata de multiplicar los dos miembros de cada ecuacin por un mismo nmero. Este nmero se elige de tal forma que al sumar o restar miembro a miembro las dos ecuaciones se cancelen los trminos de una de las incgnitas, quedando una expresin sencilla con la otra incgnita solamente. La restante incgnita puede obtenerse reemplazando la incgnita hallada en alguna de las ecuaciones y despejndola. O tambin puede volverse a aplicar una reduccin por suma y resta para hallar la misma (como haremos ahora). x+2y=4 3x2y=4 Como est el sistema inicialmente puede procederse a reducir mediante una suma miembro a miembro de las dos ecuaciones. x+2y=4

+Se aplica la suma cuando los trminos a cancelar tienen signos opuestos

3x2y=4 4x

=8 8 x= x=2 4 Ahora hallaremos la otra incgnita haciendo una nueva reduccin por suma o resta. Para calcular "y" deben eliminarse los trminos con "x". Para ello multiplicamos a la primera ecuacin miembro a miembro por 3. x+2y=4 3x2y=4Se aplica la resta cuando los trminos a cancelar tienen igual signo El Mtodo de Reduccin por Sumas y Restas slo sirve para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales 3 (x + 2 y) = 3 . 4 3 x + 6 y = 12 3x2y=4 6 y ( 2 y) = 8 8y=8

y=1 Solucin = {(2; 1)}

Mediante otro ejemplo veremos cmo se elige el nmero por el cual hay que multiplicar a ambas ecuaciones a fin de "acomodar" las mismas para la reduccin. Cuando la incgnita a eliminar tiene coeficientes distintos en las dos ecuaciones, se debe sacar el mnimo comn mltiplo de los mismos, con el objeto de saber el coeficiente al que hay que llegar en las dos ecuaciones para esa incgnita, de modo de que luego se puedan cancelar. Cada ecuacin deber multiplicarse entonces, miembro a miembro, por el nmero necesario para que los coeficientes de la incgnita a eliminar se hagan iguales al mnimo comn mltiplo determinado.Matemtica Sistemas de Ecuaciones Lineales 4 29


Para calcular la "y" hay que eliminar la "x". Para ello tomamos el M.C.M. de sus coeficientes: 8 12 2 12 x + 13 y = 63 3 M.C.M.(8;12) = 2 .3 = 24 4 6 2 2 3 2 Tenemos pues que llegar a un coeficiente 24 para la "x" 1 3 3 en las dos ecuaciones: 1 1 8x 3y=7 8x 3y=7 12 x + 13 y = 63 3 (8 x 3 y) = 3 . 7 2 (12 x + 13 y) = 2 . 63 24 x 9 y = 21 24 x + 26 y = 126

9 y 26 y = 105Para calcular la "x" hay que eliminar la "y". Para ello tomamos el M.C.M. entre sus coeficientes: (en este caso hay que hacer el producto de los mismos, pues son nmeros primos) M.C.M.(3;13) = 3 . 13 = 39

y=3

35 y = 105 105 y= 35

Tenemos pues que llegar a un coeficiente 39 para la "y" en las dos ecuaciones: 8x 3y=712 x + 13 y = 63 13 (8 x 3 y) = 13 . 7 3 (12 x + 13 y) = 3 . 63 104 x 39 y = 91

+

36 x + 39 y = 189 140 x = 280 280 x= 140

Solucin = {(2; 3)}

x=2

MTODO DE DETERMI A TESAntes de exponer este mtodo definiremos qu es un "Determinante":Un Determinante es un arreglo de nmeros distribuidos en "n" filas y "n" columnas, que arroja un resultado numrico En este caso el nmero "n" de filas y columnas de este arreglo "cuadrado" es "2"

Por definicin:

a b = a.d b.c c dDiagonal principalMatemtica


5

29


Por ejemplo el determinante:

2 1 = 2. ( 3) ( 1) .5 = 6 + 5 = 1 5 3

Ahora aplicaremos esta breve teora de determinantes a la resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales: a1 x + b 1 y = c1 a2 x + b 2 y = c2 Para aplicar el mtodo de determinantes debe estar ordenado exactamente de esta manera

Para obtener el valor de las incgnitas "x" e "y" debemos plantear y resolver tres determinantes: 1) El Determinante Principal del Sistema: ()

a = 1 a2

b1 b2

Es el que toma los coeficientes de "x" e "y" de ambas ecuaciones en el orden que aparece en el Sistema de Ecuaciones

2) El Determinante Sustituto de "x": (x)

c x = 1 c2

b1 b2

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "x" de ambas ecuaciones en su posicin por los trminos independientes de las mismas

3) El Determinante Sustituto de "y": (y)

a y = 1 a2

c1 c2

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "y" de ambas ecuaciones en su posicin por los trminos independientes de las mismas

Una vez obtenido el valor de estos tres determinantes se hallan las incgnitas:

x= x

y=

y

El Mtodo de Determinantes slo sirve para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

Matemtica


6

29


En el presente curso preuniversitario no se realizar una demostracin analtica de este mtodo, la cual se encontrar durante el estudio universitario en la materia "Algebra Lineal". Resolveremos por determinantes el sistema de ecuaciones inicial: x+2y=4 3x2y=4 El determinante principal del sistema () ser:

=

a1 a2

b1 1 2 = = 1. ( 2 ) 2.3 = 2 6 = 8 = b2 3 2

Los determinantes sustitutos del sistema (x y y) sern:

x =

c1 c2 a1 a2

b1 4 2 = = 4. ( 2 ) 2.4 = 8 8 = 16 = x b2 4 2 c1 1 4 = = 1.4 4.3 = 4 12 = 8 = 4

y =

Ahora calcularemos las incgnitas "x" e "y":

x=

x 16 = =2 8

x=2

y=

y

=

8 =1 8

y=1

Solucin = {(2; 1)} Para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas, generalmente se emplea el mtodo de determinantes, si bien tambin se puede realizar haciendo sustituciones apropiadas sobre las ecuaciones. En esta situacin se trabaja con determinantes de 3 filas y 3 columnas. Para resolver estos determinantes de (3x3) se puede emplear la Regla de Sarrus:

a a d b c d

b c e f

Regla de Sarrus

e f = g h i = a.e.i + d.h.c + g.b.f c.e.g f.h.a i.b.d g h i a b c d e f

Dado el determinante de 3x3, se reescribe el mismo agregndole las dos primeras filas debajo de la ltima.

Los productos que descienden hacia la derecha (en azul) van precedidos del signo "+" y los que descienden hacia la izquierda (en rojo) van precedidos del signo "".

Matemtica Sistemas de Ecuaciones Lineales 7 29


Un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se puede escribir, genricamente: a1 x + b 1 y + c1 z = d 1 a2 x + b 2 y + c2 z = d 2 a3 x + b 3 y + c3 z = d 3 Para resolver este sistema, deberemos calcular 4 determinantes: uno principal y tres sustitutos.

1) El Determinante Principal del Sistema: ()

a1 = a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Anlogamente a la visto en determinantes de (2x2), el determinante principal contiene los coeficientes de las incgnitas. (Las ecuaciones deben estar ordenadas en un orden estricto).

2) El Determinante Sustituto de "x": (x)

d1 x = d2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "x" de las tres ecuaciones en su posicin por los trminos independientes de las mismas.

3) El Determinante Sustituto de "y": (y)

a1 y = a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 c3

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "y" de las tres ecuaciones en su posicin por los trminos independientes de las mismas.

4) El Determinante Sustituto de "z": (z)

a1 z = a2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "z" de las tres ecuaciones en su posicin por los trminos independientes de las mismas.

Finalmente se obtienen las tres incgnitas:

x=

x

y=

y

z=

z



Con un ejemplo expondremos este tema: Se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas, ordenadas en el orden correspondiente: Calcularemos el determinante principal: x+ y+ z= 6 = 1

2 x + 3 y 3 z = 1 5x+3y

1 1 = 2 1 1 2

1

1 0 = 1.3.0 + 2.3.1 + ( 5).1.( 3) 11.3.( 5) ( 3).3.1 0.1.2= 6 + 15 + 15 + 9 = 45 =

3 3

3 3 = 5 3 5 3 0 1 1 2

3 3

y los determinantes sustitutos:

6 6 1 1 x = 1 3 3 = 1 1 3 0 6

1 3 1

1 0 = 6.3.0 + ( 1).3.1 + 1.1.( 3) 11.3.1 ( 3).3.6 0.1.( 1)= 3 3 3 + 54 = 45 = x

1 3 3

1 3 3 1 1 y = 2 6 1 2 1 3 = 5 5 1 0 1 2 1 1 z = 2 1 6 2 1 6 1 6 1

1 3 0 = 1.( 1).0 + 2.1.1 + ( 5).6.( 3) 11.( 1).( 5) ( 3).1.1 0.6.2= 2 + 90 5 + 3 = 90 = y

1 3 6

3 1 1 = 1.3.1 + 2.3.6 + ( 5).1.( 1) 6.3.( 5) ( 1).3.1 1.1.2 6= 3 + 36 + 5 + 90 + 3 2 = 135 = zMatemtica


9

29

3 1 = 5 3 5 3 1 1 1 2

3 1


Finalmente, las incgnitas sern:

x=

x 45 = =1 45 y = 90 =2 45

x=1Solucin = {(1; 2; 3)}

y= z=

y=2

z 135 = = 3 45

z=3

La solucin es una terna ordenada. Grficamente correspondera a un punto en un espacio tridimensional.

Para Practicar

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por todos los mtodos analticos y verificar grficamente.x=2 y=4 2 x 3 y = 11 x = 1 y=3

3 x + 5 y = 26

a)2 x + y = 0

b)x + 5 y = 14

2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por determinantes:x+2y =5 x = 3 y = 1 z=2

2x3y+z=1 x+ y +z= 4

TIPOS DE SOLUCIO ES DE SISTEMAS DE ECUACIO ESHasta ahora slo hemos visto sistemas de ecuaciones que tienen una solucin nica: Un par ordenado (x; y) que corresponde a un punto del plano. Una terna ordenada (x; y; z) que corresponde a un punto del espacio. Pero no siempre un sistema de ecuaciones tiene una solucin nica; a veces puede tener infinitas soluciones o no tener ninguna solucin. Volviendo a los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incgnitas, ya sabemos por el mtodo grfico que se pueden representar como dos rectas en el plano. Y las posiciones relativas que pueden adoptar dos rectas en el plano son: Secantes: Se cortan en un punto Paralelas y coincidentes: Comparten todos sus puntos Paralelas y disjuntas: No tienen puntos en comn.Matemtica


10

29


Estas tres posibilidades llevan directamente a los tres tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. a1 x + b 1 y = c1 Dado el sistema: a2 x + b 2 y = c2 y = m2 x + n2 y = m1 x + n1

Determinado (Solucin nica)y

a1 b1 a 2 b2 m1 m2

yx

Sistemas Compatibles (Admiten al menos una solucin)

x Indeterminado (Infinitas soluciones)y

0

a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2 m1 = m2x

n1 = n2

= x = y = 0

(No tiene solucin)y

a1 b1 c1 = a 2 b2 c 2 m1 = m2 n1 n2 y 0

Sistema Incompatiblex

=0

x 0

El tipo de solucin del sistema, se pueden determinar: Analizando los coeficientes del sistema ordenados Por las pendientes y ordenadas al origen de las rectas del sistema Por los determinantes del sistemaMatemtica


11

29


Como vemos en el cuadro precedente, existen tres criterios que podemos emplear a fin de determinar el tipo de solucin que tiene el sistema de ecuaciones: A travs del anlisis de los coeficientes del sistema: (Recuadros en rojo). Es la forma ms prctica de operar, y nos permite saber el tipo de soluciones de un sistema sin siquiera intentar la resolucin del mismo. Por la comparacin entre las pendientes y ordenadas al origen de las dos rectas: En este caso hay que despejar la "y" de las dos ecuaciones y comparar pendientes y ordenadas al origen. As sabremos si las rectas se cortan o son paralelas coincidentes o disjuntas. Hallando los tres determinantes del sistema: Se obtienen los valores de los determinantes y segn sean iguales o distintos de cero, se puede saber el tipo de solucin que tiene el sistema. A continuacin justificaremos las frmulas del cuadro anterior.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMI ADOEl sistema compatible determinado tiene solucin nica. Para que esto sea posible, las dos rectas que representan a las ecuaciones deben ser secantes y cortarse en un solo punto. El nico requisito para ello es que las rectas tengan distintas pendientes. a1 x + b 1 y = c1 Dado el sistema: a2 x + b 2 y = c2 Hallaremos la forma explcita de las dos rectas: a1 x + b 1 y = c1 b 1 y = c1 a1 x y= a1 c x+ 1 b1 b1 m1 a2 x + b 2 y = c2 b 2 y = c2 a2 x y= a2 c x+ 2 b2 b2 m2 nica condicin para que el sistema sea Compatible Determinado y = m2 x + n2 y = m1 x + n1

m1 m2

a1 a 2 b1 b2

a1 b1 a 2 b2

Matemtica


12

29


Si se hace el anlisis por determinantes, Sabemos que, para que el sistema tenga solucin nica debe cumplirse: el determinante principal es: a1 b1 a1 b2 b1 a 2 a1 b1 a 2 b2 = = a1 b2 b1 a 2 = a 2 b2 a1 b2 b1 a 2 0Para que el sistema sea Compatible Determinado, el determinante principal debe ser distinto de cero 0

SISTEMA COMPATIBLE I DETERMI ADOEl sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones. Para que se presente esta situacin las dos rectas que representan a las ecuaciones deben ser paralelas y coincidentes. Ello ocurrir cuando las rectas tengan iguales pendientes y ordenadas al origen. a1 x + b 1 y = c1 Dado el sistema: a2 x + b 2 y = c2 La forma explcita de las dos rectas es: n1 = n2 y= m1 = m2 m1 = m2 a1 a = 2 b1 b2 a1 b1 = a 2 b2 n1 = n2 c1 c2 = b1 b2 c1 b1 = c2 b2 Condicin para que el sistema sea Compatible IndeterminadoMatemtica


13

29

y = m1 x + n1 y = m2 x + n2

y=

a1 c x+ 1 b1 b1

a2 c x+ 2 b2 b2

a1 b1 c1 = = a 2 b2 c 2


Si se hace el anlisis por determinantes, los determinantes del sistema son:

=

a1 a2

b1 = a1 b2 b1 a 2 = b2 b1 = c1 b2 b1 c2 = x b2 c1 = a1 c 2 c1 a 2 = y c2

Para que el sistema tenga infinitas soluciones debe cumplirse: a1 b1 = a1 b2 = b1 a 2 a 2 b2 a1 b2 b1 a 2 = 0 c1 b1 = c1 b 2 = b1 c2 c2 b2 c1 b 2 b1 c 2 = 0 a1 c1 = a1 c 2 = c1 a 2 a 2 c2 a1 c 2 c1 a 2 = 0

c x = 1 c2 y = a1 a2

= x = y = 0

Para que el sistema sea Compatible Indeterminado, todos los determinantes deben ser iguales a cero.

SISTEMA I COMPATIBLEUn sistema es incompatible cuando no tiene solucin. Grficamente las dos rectas que representan al sistema son paralelas y disjuntas, y no tienen puntos de contacto. Para ello las rectas deben tener igual pendiente y distinta ordenada al origen. a1 x + b 1 y = c1 Dado el sistema: a2 x + b 2 y = c2 La forma explcita de las dos rectas es: n1 n2 a1 c x+ 1 b1 b1 m1 = m2 Condicin para que el sistema sea Incompatible a1 b1 c1 = a 2 b2 c 2 a2 c x+ 2 b2 b2 n1 n2 c1 c2 b1 b2 c1 b1 c1 b2 y = m2 x + n2 y = m1 x + n1

y= m1 = m2 a1 a = 2 b1 b2 a1 b1 = a 2 b2

y=



Si se hace el anlisis por determinantes, los determinantes del sistema son:

=

a1 a2

b1 = a1 b2 b1 a 2 = b2 b1 = c1 b2 b1 c2 = x b2 c1 = a1 c 2 c1 a 2 = y c2

Para que el sistema no tenga solucion debe cumplirse: a1 b1 = a1 b2 = b1 a 2 a 2 b2 a1 b2 b1 a 2 = 0 c1 b1 c1 b 2 b1 c2 c2 b2 c1 b 2 b1 c 2 0 a1 c1 a1 c 2 c2 a 2 c2 a1 c2 c1 a 2 0

c x = 1 c2 y = a1 a2

=0 x 0 y 0

Para que el sistema sea Incompatible el determinante principal debe ser cero y los determinantes sustitutos distintos de cero.

Al darse esta situacin, cuando se quieren calcular las incgnitas, se encuentra que hay una divisin por cero de nmeros distintos de cero (los determinantes sustitutos) lo cual es irresoluble e indica incompatibilidad. En el caso anterior de sistemas compatibles indeterminados, todos los determinantes son cero; con lo cual en el clculo de las incgnitas aparecen fracciones cero sobre cero, que es considerada una indeterminacin y no un error matemtico. El sistema es compatible pero indeterminado. Para Practicar

1) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema tenga solucin nica. 2kx6y=7 (k 3) 3x+ky=0

2) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones.3mx4y=1 12 x + 8 y = m (m = 2)

3) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea incompatible.3x 9y=2k 4 x + 12 y = 7Matemtica


15

29

(k 21/8)


4) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solucin a S = {(3; 2)}.3ax2y=b 5 x + 2 b y = 5 a (a = 1) (b = 5)

PROBLEMAS CO

SISTEMAS DE ECUACIO ES

Dado un problema en forma coloquial o hablada, se debe saber expresarlo en forma simblica, a travs de ecuaciones que representen a dicho problema. Si bien no hay una receta que se pueda aplicar a todos los problemas, en forma general se debe proceder as:

1) Buscar la pregunta del problema e identificar bien claramente cuales sern las incgnitas del sistema. De lo contrario, si no estn bien identificadas las incgnitas pueden cometerse errores al escribir las ecuaciones. 2) Luego proceder a escribir cada ecuacin relacionando dichas incgnitas. Prestar atencin a los signos de puntuacin, como el punto y seguido o punto y coma que pueden servir para separar dos frases y con ello separar las dos ecuaciones. 3) En cada ecuacin debe existir el signo igual (=), de lo contrario es una simple expresin en lugar de una ecuacin. Las expresiones coloquiales que sealan la presencia del igual pueden ser: "se obtiene", "da como resultado", "da", "es", "resulta", etc. 4) A veces las dos ecuaciones son de distinta naturaleza. Por ejemplo en la primera ecuacin se cuentan unidades de dos tipos de productos dando por resultado el nmero total de los mismos; y en la segunda ecuacin se toman en cuenta los precios de dichos productos dando por resultado el costo total de la mercadera. En ese caso en la primera ecuacin se suman artculos ms artculos, resultando unidades y en la segunda ecuacin se suman pesos ms pesos dando por resultado pesos totales. 5) Por ltimo se procede a resolver el sistema de ecuaciones hallado por cualquiera de los mtodos ya vistos. Por ejemplo:Una empresa de venta de DVD's ofrece cada pelcula de su catlogo a $ 20 y adems como promocin especial 2 pelculas por $ 32. Al terminar el primer mes de la promocin ha recaudado $ 5 120. Si en total despach 288 filmes. Cuntas pelculas vendi "solas" y cuntos fueron los pares promocionados?



Definimos las incgnitas: x = nmero de pelculas "solas" que se vendieron durante el mes. y = nmero de "pares" de pelculas que se vendieron por la promocin. Observamos que hay una informacin que hace referencia a los precios de la oferta y otra que trata directamente sobre las cantidades de pelculas vendidas. Esto permite armar dos ecuaciones: una con los valores econmicos y otra con las cantidades. $ 20 x + $ 32 y = $ 5 120 x+ 2y= 288

"pesos + pesos = pesos"

"cantidades + cantidades = cantidades "x = 128 y = 80

Resolviendo por cualquier mtodo llegamos a:

Se vendieron 128 pelculas "solas" y 80 paquetes promocionales de 2 pelculas cada uno.

Otro ejemplo: Hace seis aos Lus tena la tercera parte de la edad de su padre. Cules son las edades actuales de ambos, si dentro de nueve aos Lus tendr la mitad de la edad de su padre?Definimos las incgnitas: x = Edad actual de Lus. y = Edad actual del padre. Hace seis aos la edad de ambos era, respectivamente: x6 y6 x+9 y+9

Dentro de nueve aos la edad de ambos ser, respectivamente: 1 x 6 = (y 6) 3 1 x + 9 = (y + 9) 2 Ecuacin de tiempo pasado Ecuacin de tiempo futuro

x = 21 Se opera para ordenar las ecuaciones y se resuelve dando: y = 51 La edad actual de Lus es 21 aos y la de su padre 51 aos.Matemtica


17

29


Para Practicar

1) En un garaje de estacionamiento hay 19 rodados entre automviles y motocicletas. Si en total se contabilizan 62 ruedas: Cuntos automviles y motocicletas hay estacionados? (12 automviles y 7 motocicletas) 2) Una compaa de turismo ofrece un viaje a cierto destino, a razn de $ 240 por persona sola y $ 400 por pareja. Si en total vende 79 boletos y recauda un total de $ 16 400. Cuntas personas solas y parejas realizarn el viaje? (15 personas solas y 32 3) Una empresa que elabora aceite comestible "mezcla", utiliza para el mismo aceite de girasol con un costo de $ 4 el litro y aceite de soja con un costo de $ 2 por litro. Si el costo por litro del aceite mezcla debe ser de $ 3,25 y se producirn 320 litros de dicho aceite. Cules sern las cantidades de aceite de girasol y de soja utilizados? (girasol: 200 litros, soja: 120 litros) 4) Dos nmeros son entre s como 5 es a 3. Si su suma es 32. Cules son dichos nmeros? (x = 20; y = 12) 5) La cifra de las decenas de un nmero de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho nmero le restamos 27 se obtiene el nmero que resulta de invertir el orden de sus cifras. Cul es dicho nmero? (63) I ECUACIO ES CO DOS I CG ITAS

Hemos visto anteriormente las inecuaciones con una sola incgnita (x), cmo se resuelven y se halla el conjunto solucin, que es un intervalo de la recta real en ese caso. Pero ahora veremos qu es una inecuacin con dos incgnitas (x e y) y cmo resolverla hallando el conjunto solucin en forma grfica. El signo desigual puede ser cualquiera de los ya conocidos: >,


y 2 y x +1 3 Conjunto Solucin 5 Recta borde y= 2 x +1 3

P(x1; y1) 1 3

Punto de prueba: No satisface

Para representar grficamente al conjunto solucin, se comienza con la grfica de la recta borde, que es la que surge al convertir la inecuacin explcita hallada en en ecuacin, colocando el signo igual en vez del desigual, . Si en la inecuacin inicial se permite el igual (hay o ) la recta borde se dibuja con trazo continuo, lo cual significa que todos sus puntos tambin estarn incluidos en el conjunto solucin de la inecuacin. Si en la inecuacin inicial no se permite el igual (hay > o f(x) se sombrea el semiplano superior a la recta borde; y si la desigualdad es y < f(x) se hace lo propio con el semiplano inferior a dicha recta. 2) Si la recta borde es una recta vertical (de ecuacin x = k), entonces si la desigualdad es x > k, se sombrea el semiplano de la derecha que corresponde, como es obvio, a valores de "x" mayores que "k". Si la desigualdad es x < k, se sombrea el semiplano de la izquierda donde los valores de "x" son menores que "k". Otro mtodo, que permite saber cul semiplano debe sombrearse, es a travs de un punto de prueba. Se toma un punto cualquiera del plano que no pertenezca a la recta borde, de coordenadas P(x1; y1).Matemtica Sistemas de Ecuaciones Lineales 19 29


Se reemplazan "x" e "y" de la inecuacin dada (en su forma inicial o la explcita) por estos valores "x1" e "y1" (coordenadas del punto de prueba): Si se satisface la desigualdad, se procede a sombrear todo el semiplano que incluye al punto de prueba. Si no se satisface la desigualdad, se procede a sombrear todo el semiplano que no incluye al punto de prueba. Otro ejemplo: y Recta borde x=3 Conjunto Solucin 2 Punto de prueba: satisface 5 3 P(x1; y1)

x>3

x

En este caso la recta borde es vertical, y se sombrea el semiplano hacia la derecha, pues es de la forma x > k. Pero la recta borde no est incluida en el conjunto solucin, dado que x es estrictamente mayor que k, por lo que se grafica en lnea de trazos discontinuos.

SISTEMAS DE I ECUACIO ES CO

DOS I CG ITAS

Tambin existen sistemas de inecuaciones con dos incgnitas. Pueden ser sistemas de dos inecuaciones o an ms de dos. El conjunto solucin se halla grficamente; cada inecuacin con dos incgnitas se resuelve en forma grfica como hemos visto anteriormente, en un mismo grfico. La solucin del sistema es la interseccin de los dos semiplanos, o sea la zona que tiene un doble sombreado. Tambin hay que analizar si la rectas bordes del sector de plano que se obtiene estn incluidas en el conjunto solucin o no, indicndose como hemos visto a travs de lneas continuas o de trazos discontinuos. Por ltimo, el punto donde se cortan estas dos lneas tambin podra estar incluido en la solucin o no. El conjunto solucin podra ser una zona de rea infinita o una figura plana de superficie limitada.Matemtica


20

29


Por ejemplo: y y Conjunto Solucin 3 2 x +1 3

x+2y


2


La zona sombreada representa las situaciones que se pueden dar en un ao determinado. Se llega a esta zona despejando la "y" de las dos inecuaciones, e interceptando los semiplanos. Se toman valores slo del primer cuadrante pues no tendra un significado prctico que algn nmero de alumnos sea negativo. Adems quiere conocerse cul sera el nmero mximo de alumnos que podran ser becados: Para ello encontramos la interseccin de las rectas bordes, cuya ordenada es el mayor valor que puede tomar "y":

x + y = 250 1 y= x 3 3y=x x+3y=0

+

x + y = 250 x+3y=0 4 y = 250 y=250 = 62,5 4

Mximo de alumnos a becar

y = 62 alumnos

Para Practicar

1) Resolver grficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:yx

c)

y0 x1 x


Trabajo Prctico 13 : "Sistemas de Ecuaciones" 13.1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por todos los mtodos analticos y verificar grficamente. 5 x + 3 y = 9 a) 4 x + 2 y = 16 3 x 5 y = 23 c) x+2y=7 d) 3 x + 4 y = 22 b) 3 x 7 y = 35 5x+ y =6 x + 2 y = 10

13.2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes: 2x+ y5z = 0 a) x2y+z =5 3 x y + 6 z = 1 b) x + 3 z = 10

5 x + 2 y z = 20 2 x y + 5 z = 27

13.3) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea compatible determinado. kx9y=7 4x+ky=0 13.4) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado. 3 x + 5 m y = 9/2 2 x + 10 y = m 13.5) Hallar el (o los) valores de "n" para que el siguiente sistema no tenga solucin. 2x+5ny=1 6x+3y=n 13.6) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema tenga solucin nica. 2 k x + 7 y = 7 3x4y=k



13.7) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea incompatible. 6x3y=7k 4x+2y=5 13.8) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. 3m x + 4 y = m 6x2my=3 13.9) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solucin a S = {(3; 1)}. 3x2ay= 2b7 5 b x 2 y = a + 35 13.10) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solucin a S = {(1; 2)}. a x + 3 y = 5 a 7 b + 41 2 b x 2 a y = 3 b 13 13.11) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. Cuntas habitaciones tiene de cada tipo? 13.12) En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, cuntos candelabros hay de cada tipo? 13.13) Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da $ 70 le sobran $ 20, pero si le da a cada uno $ 80, le faltan $ 20. Cunto dinero lleva en el bolsillo y cuntos hijos tiene? 13.14) Hoy la edad de un hijo es 1 ao menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 aos, la edad de la madre ser 10 aos mayor que el doble de la de su hijo, qu edades tienen? 13.15) Una evaluacin consta de 16 ejercicios. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada ejercicio no contestado o mal contestado. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en la evaluacin, Cuntos ejercicios ha contestado correctamente?



13.16) Un comerciante compr dos relojes distintos por $ 300 y los vendi por $ 348. Cunto pag por cada reloj si en la venta del primero gan un 30 % y en la del segundo perdi un 5 %? 13.17) Dos lquidos de densidades 0,7 kg/l y 1,3 kg/l se mezclan obtenindose un lquido de densidad 0,9 kg/l. Halla la cantidad de lquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 litros. 13.18) Se desea realizar una mezcla entre dos tipos de caf. Para ello se emplean 15 kg de la variedad "A" y 10 kg de la variedad "B", obtenindose una mezcla que vale $ 10,20 el kilogramo. Se sabe adems que el precio de la calidad "A" es tres cuartas partes del de la calidad "B". Cules son dichos precios unitarios? 13.19) La razn entre dos nmeros es 2/3. Si se aaden 20 unidades al ms pequeo y 5 al ms grande la razn se invierte. De qu neros se trata? 13.20) Se disponen de bolillas blancas y bolillas negras. Todas las bolillas de un mismo color pesan lo mismo. Inicialmente en el platillo de la izquierda de una balanza hay 3 bolillas blancas y dos negras que se equilibran con tres bolillas negras en el platillo de la derecha. Si se sacan dos bolillas blancas del platillo de la izquierda y se depositan en el de la derecha, hay que agregar una pesa de 200 g en el platillo de la izquierda para restablecer el equilibrio. Cul es el peso de cada bolilla blanca y de cada bolilla negra? 13.21) Resolver grficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales: x+y


13.23) Dado el siguiente conjunto solucin, hallar el sistema de inecuaciones del cual proviene.



Respuestas del trabajo Prctico 13 "Sistemas de Ecuaciones" 13.1) a) S = {(3; 2)} b) S = {(0; 5)} c) S = {(1; 4)} d) S = {(2; 4)} 13.2) a) S = {(1; 2; 0)} b) S = {(2; 3; 4)} 13.3) 13.4) 13.5) 13.6) 13.7) 13.8) 13.9) 13.10) 13.11) 13.12) 13.13) 13.14) 13.15) 13.16) 13.17) 13.18) 13.19) k6 m=3 n = 1/5 k 21/8 k 15/14 m= (a = 3; b = 2) (a = 2; b = 5) 37 habitaciones dobles y 13 habitaciones sencillas. 5 candelabros de 2 brazos y 7 candelabros de 3 brazos. $ 300 y 4 hijos. Edad del hijo: 12 aos; Edad de la madre: 39 aos contestados correctamente: 10 ejercicios. Por el primero pag $ 180 y por el segundo pag $ 120. 20 litros del primer lquido y 10 litros del segundo. Precio calidad "A": 9 $/kg ; Precio calidad "B": 12 $/kg. 10 y 15. 13.21) a)

13.20) Peso de cada bolilla blanca: 50 g. Peso de cada bolilla negra: 150 g.



13.21) b)

13.21) c)

13.22)

13.23) 1yx


14433223 13 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Documents

Transcript of 14433223 13 Sistemas de Ecuaciones Lineales