Analisis Fourier

Analisis Fourier

Las ondas armnicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios estn limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el anlisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas ms complejas como las que producen los instrumentos musicales.

El anlisis de Fourier surgi a partir del intento de ste matemtico francs por hallar la solucin a un problema prctico, la conduccin del calor en un anillo de hierro. Demostr que se puede obtener una funcin discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motiv severas objeciones de los matemticos ms importantes de su poca como Lagrange, Laplace, etc.

Descripcin

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es peridica, se puede representar con una precisin arbitraria, mediante la superposicin de un nmero suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armnica.

Toda funcin f(t) peridica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armnicas, es decir,

donde el periodo P=2/, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Conocida la funcin peridica f(t), calculamos los coeficientes ai y bi del siguiente modo

Las integrales tienen como lmite inferior -P/2 y como lmite superior P/2.

En el programa interactivo, transformamos la funcin peridica de periodo P, en otra funcin peridica de periodo 2, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x= t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2 de x, y la funcin f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de - a +. La serie se expresa en la forma ms simple

donde

Si la funcin g(x) tiene simetra, algunos de los coeficientes resultan nulos.

Si g(x) es una funcin par, g(x)=g(-x), los trminos bi son nulos

Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos

Por ejemplo, para el pulso rectangular simtrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

ordenab0

1

1

0.6366

0

2

0

0

3

-0.2122

0

4

0

0

5

0.1273

0

6

0

0

7

-0.09097

0

8

0

0

9

0.07078

0

Actividades

El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos peridicos.

Rectangular

Doble escaln

Diente de sierra simtrico

Diente de sierra antisimtrico

Una vez elegido la funcin, introducimos los parmetros requeridos en los controles de edicin y pulsamos el botn cuyo ttulo da nombre a la funcin.

Rectangular Doble escaln Diente de sierra 1 Diente de sierra 2Pulsando sucesivamente en el botn titulado Siguiente >> se representa:

1. En la parte superior, la funcin f(t) elegida y las sucesivas aproximaciones de dicha funcin.

2. En la parte central, el armnico actual, en color azul aicos(ix) y en color rojo bi sin(ix).3. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes ai, y a la derecha en color rojo los coeficientes bi.

Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribucin del armnico a la sntesis de la funcin peridica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armnico menor es su contribucin.

La separacin entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la funcin, por tanto, para una funcin aperidica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier.

Pulsando en el botn titulado Anterior