13.4Ejercicios resueltos distribucin normal

Ejercicios resueltos distribucin normal. Una distribucin normal que no tiene de media 0 y desviacin tpica 1 debemostipificar la variable xpara poder leer en la tabla normal N(0,1).

Tipificacin de la variable x

Ejercicios resueltos tipificar la variable x

Pasar una variable x N (8, 3) a una variable tipificada z N(1,0)

Porcentaje de poblacin en los diferentes intervalos simtricos

Para hallar el porcentaje %, hallamos la probabilidad y multiplicamos por 100. Ver ejercicio 1

Ejercicios resueltos distribucin normal

Ejemplo 3.-Elconsumo medio bimestral de energa elctrica en una ciudad es de 59 Kwh., con una desviacin tpica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal.a)Cuntos Kwh. tendra que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la poblacin que ms consume?.b) Si usted consume 45 Kwh. qu % de la poblacin consume menos que usted?a)Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estara el 5% restante.Este valor corresponde a t = 1,645.Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:1,645 = (X -59)/6X =67,87Por lo tanto, tendra usted que consumir ms de 67,87 Kwh. bimestralmente para perteneceral 5% de la poblacin que ms consumeb)Vamos a ver en que nivel de la poblacin se situara usted en funcin de los 45 Kwh. consumidos.Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45Kwh.t = (45 -59)/9 = -2.333P (X45) = P (t -2,333) = P (t > 2,333) = 1 - P (t 2,333) = 1 - 0,9901 = 0,0099Luego, tan slo un 1,39% de la poblacin consume menos que usted.Ejemplo 4.Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminacin. La duracin de una bombilla sigue una distribucin normal con media 302 das y desviacin tpica 40 das.Calcular. a)Cuntas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 das? Cuntas durarn ms de 400 das? Explica razonadamentelas respuestas.a)Tipificamos el valor 365 t = (365 -302)/40 = 1,575P (X365) = P (t1,575) = 0,9418Luego el 94,18% de las lmparas, es decir 20.000 0.9418 = 18.836 bombillas se fundirn antes de 365 dasb)Tipificamos el valor400 t = (400-302)/40 = 2,45P (X>400) = P (t>2,45) = 1- P (t2,45) = 1 - 0,9929 = 0,0071Entonces el 0,71% de las lmparas, es decir 20.000 0.0071 = 142 bombillas durarn ms de 400 dasEjemplo 5.El tiempo medio de los electricistas de una empresa en realizar el montaje de un determinado cuadro elctrico es de4 das, con una desviacin tpica de 1 da. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal. Calcular:a)Porcentaje de electricistas que tardan menos de 3 das. b) Tiempo a partir del cual del cual se sita el 10% de los electricistas que ms tiempo emplean en realizar el cuadro. c) Tiempos mnimo y mximo que engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio.a)t = (3 -4)/1 = -1P (X 3) = P (t -1)P (t -1) = P (t > 1)P (t > 1) = 1 - P (t 1) = 1 - 0,8413 = 0,1587Luego, el 15,87 % de los electricistas emplean un tiempo inferior a 3 dasb) Buscamos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sita el 10% superior.Este valor corresponde a t = 1,282. Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:1,282 = (X -4)/1X =5,282Despejando X, su valor es 5,282. Por lo tanto, el 10% de los electricistas que ms tardan en realizar un cuadro lo hacen en5.28 dasc)Buscamos en la tabla el valor de t cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor hay un 30% de probabilidad. Por otra parte, al ser la distribucin normal simtrica, entre -t y la media hay otro 30% de probabilidad. Por lo tanto, el segmento (-t, +t) engloba al 60% de los electricistas con tiempo medio.El valor de t que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842, por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de t.-0,842 = (X -4)/1X =3,1580,842 = (X -4)/1X =4,158Los valores de X son 3,158 y 4,158. Por lo tanto, los electricistas con tiempos comprendidos entre 3,158 das y 4,158 das constituyen el 60% de la poblacin con un tiempo medio de realizacin del cuadro.