Mtodo metacomponencial para la mediacin de la representacin de problemas aritmticos

Proyecto didctico Presentado por: Aleida Yepes y Uldarico Mosquera

Noviembre de 2004

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INDICE

1. PREGUNTA PROBLEMA............................................................................5 2. 1 OBJETIVOS GENERALES...................................................................6 2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS...................................................................6 5.1 MARCO CONCEPTUAL......................................................................12 5.1.1 MENTEFACTOS............................................................................12 5.2 CONCEPTOS BSICOS.......................................................................19 5.2.1 Qu es un problema?.......................................................................19 5.2.2 Qu clases de problemas hay?.......................................................24 5.2.3 Qu es un problema matemtico?.................................................26 5.2.4 Qu es la solucin de problemas matemticos?..............................27 5.2.5 Etapas de la resolucin de problemas.............................................28 Anlisis.....................................................................................................30 Exploracin..............................................................................................30 Comprobacin de la solucin obtenida..................................................30 5.2.6 Elementos de la solucin de problemas..........................................30 5.2.6.1 Representacin en la resolucin de problemas........................31 5.2.7 Las estrategias de resolucin de problemas...................................31 5.2.7.1 Los mtodos heursticos .........................................................32 5.2.7.2 Los procesos de pensamiento divergente ................................33 5.2.7.3 Los algoritmos..........................................................................34 5.3 Mtodo Metacomponencial ...................................................................34 5.3.1 Mtodos heursticos .......................................................................34 5.3.1.2.1 Metacomponentes................................................................38 Componentes de realizacin ...............................................................38 5.3.2 Mtodo metacomponencial y Representacin ...............................40 6.1 METODOLOGIA .................................................................................43 6.1.2 Clasificacin de la investigacin ....................................................43 Grupos......................................................................................................44 PRE TEST 1.....................................................................................................44 6.2 PRUEBAS..............................................................................................45 Esta prueba tiene dos reaplicaciones una con fines diagnsticos y de proceso con el fin de evaluar resultados intermedios a partir de la mediacin y una final (Y4) con el fin de verificar el nivel al que llegan los estudiantes luego del tratamiento. ..................................................................................47 6.4 DESCRIPCIN DE LOS GRUPOS ....................................................48 6.5 Seleccin de los tipos de conocimiento a mediar ..................................50 6.6 TRATAMIENTO ..................................................................................51 GENERALES..................................................................................................51 2

FASE I..............................................................................................................51 FASE II............................................................................................................51 PROPSITOS .................................................................................................51 Representacin simblica.............................................................................51 6.6.1 DESARROLLO..................................................................................52 6.6.1.1 CONTENIDOS .......................................................................52 6.6.1.2 EVALUACIN........................................................................56 6.6.2 ANLISIS DE RESULTADOS ....................................................57 ..........................................................................................................................65 ..........................................................................................................................65 CONCLUSIONES ........................................................................................66 1. DIFERENTE A LO QUE PUEDE CREERSE EN LO QUE TOCA AL MANEJO DE CONCEPTOS, ESTE NO ES EL TIPO DE CONOCIMIENTO QUE MS DETERMINE EL XITO O FRACASO EN LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS, EN ESTE SENTIDO LOS TIPOS DE CONOCIMIENTO QUE MS IMPACTAN EN ESTA HABILIDAD SON EL CONOCIMIENTO LINGSTICO Y EL ESTRATGICO.........................66 2. LA MEDIACIN DEL TIPO DE CONOCIMIENTO LINGSTICO IMPACTA DE MANERA MUY POSITIVA EN EL DESEMPEO EN LA SOLUCIN DE PROBLEMAS. ....................................................................66 3. ES COMPLETAMENTE RECOMENDABLE CREAR ESPACIOS EN LOS QUE SE TRABAJE SISTEMTICAMENTE EN LA SOLUCIN DE PROBLEMAS YA QUE ESTA SISTEMATICIDAD GENERA UN IMPACTO POSITIVO EN LAS HABILIDADES PARA LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS...........................................................................................66 4. EL MTODO METACOMPONENCIAL ES UNA ESTRATEGIA MUY TIL EN LA MEDIACIN DEL TIPO DE CONOCIMIENTO LINGSTICO, PUES CON SU ENFOQUE DE MANEJO DE LOS PROCESO DIRECTIVOS FAVORECE LA ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN A RELACIONAR Y PERMITE IDENTIFICAR CON CLARIDAD LAS RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE LOS COMPONENTES DEL PROBLEMA, FACILITANDO AS EL PASO A LO SIMBLICO....................................................................................................66 5. SE CONFIRMA LA TESIS PLANTEADA POR POGGIOLI Y CARRETERO, QUE PLANTEA QUE LA DIFERENCIA ENTRE SOLUCIONADORES EXITOSOS Y NO EXITOSOS RADICA EN LA POSIBILIDAD DE CONTAR CON UNA ESTRUCTURA COGNITIVA BIEN ORGANIZADA Y BIEN JERARQUIZADA (RELACIONES)..........66 6. EL MTODO METACOMPONENCIAL GENERA HABILIDADES METACOGNITIVAS EN TANTO ES UN MTODO QUE EXPLICITA 3

PROCESOS COGNITIVOS IMPLICADOS EN UNA ACTIVIDAD MENTAL. .......................................................................................................66 7. EL TRABAJO EN METACOGNICIN A NIVEL DE LA SOLUCIN DE PROBLEMAS POSIBILITA LA CUALIFICACIN DE LA ESTRUCTURA COGNITIVA...................................................................................................66 ............................................................................................................67 ......................................................................................................................68 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS.............................................................68 ANEXOS.........................................................................................................71 ANEXO 2: PRUEBA TIPOS DE CONOCIMIENTO (Y2).......................71 INSTITUTO ALBERTO MERANI.................................................................71 PRUEBA PRETEST.......................................................................................71 ANEXO 3 : PRUEBA DE REPRESENTACIN (Y3)...............................77 ANEXO 4 : PRUEBA DE REPRESENTACIN (Y4)...............................78 ANEXO 5: TALLER MEDIACIN DE PROCESOS DIRECTIVOS.......79 REPRESENTACIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS ........................79 ANEXO 6: TALLER MEDIACIN DE PROCESOS DIRECTIVOS.......81 REPRESENTACIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS ........................81 ULDARICO MOSQUERA..............................................................................84 PRESENTACIN............................................................................................85 INTRODUCCIN.......................................................................................87 UNIDAD 1.......................................................................................................88 ES UN VERDADERO PROBLEMA, EL PROBLEMA............................88 INTRODUCCIN...................................................................................88 EL PROBLEMA......................................................................................89 TODOS TENEMOS PROBLEMAS....................................................89 LA FUENTE DE LOS PROBLEMAS................................................90 EL SABOR DE LA VIDA...................................................................93 ESTO NO ES UN PROBLEMA..........................................................97 CLASES DE PROBLEMAS..............................................................101 LA FORMULACIN Y RESOLUCIN DE PROBLEMAS MATEMTICOS..................................................................................119 19. En la formulacin y resolucin un problema matemtico intervienen factores: Cognitivos, afectivos y motivacionales. De estos tres factores cuales son los que para ti son ms importantes a la hora de formular y resolver un problema matemtico y por qu: ........................................120 Las estrategias de resolucin de problemas...........................................120 A. Los mtodos heursticos ...............................................................121 Paso............................................................................................................122 Ejemplos.....................................................................................................122 4

Etapa 1: Construccin de un texto base.............................................130 Etapa 2: Construccin de una representacin matemtica.................131

1. PREGUNTA PROBLEMA La mediacin de el tipo de conocimiento lingstico, en los nios de Conceptual a, impacta positivamente en su desempeo en la resolucin de problemas?

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2. OBJETIVOS

2. 1 OBJETIVOS GENERALES Cualificar el desempeo de los nios de conceptual en cuanto a la resolucin de problemas matemticos. 2.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

- Implementar el mtodo Metacomponencial en la mediacin de la representacin de los problemas aritmticos.

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- Evaluar el impacto de este mtodo heurstico especfico en los niveles de representacin de los nios de Conceptual A. - Evaluar el impacto de la mediacin de la representacin en la efectividad de la resolucin de problemas de los nios de Conceptual A.

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Disear una tabla de indicadores del conocimiento lingstico en los alumnos de conceptual A. Disear un instrumento para diagnosticar las debilidades y fortalezas en el tipo de conocimiento lingstico en el curso de conceptual A. Disear estrategias didcticas para la mediacin del tipo de conocimiento lingstico Implementar las estrategias para la cualificacin en la resolucin de problemas matemticos (en cuanto al conocimiento lingstico) en el curso de conceptual a. Disear un instrumento de evaluacin de impacto de las estrategias implementadas.

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3. JUSTIFICACIN

Entre los objetivos fundamentales de las instituciones educativas, desde el nivel de preescolar hasta el universitario, es desarrollar habilidades de diferente naturaleza que permitan a los estudiantes adquirir herramientas para aprender, siendo una de las ms importantes, la capacidad para resolver problemas matemticos. En este sentido el I.A.M tiene como compromiso, desde los postulados de la pedagoga conceptual, atender a la formacin de habilidades de sus estudiantes. Precisamente atendiendo a este compromiso consideramos que encontrar un modelo, que brinde las caractersticas de sistematicidad y de adelanto a los procesos del desarrollo cognitivo frente a las destrezas y habilidades que se requieren para generar individuos ms competentes en la resolucin de problemas, es de vital importancia y claramente consistente con el espritu y postulados pedaggicos de la institucin. Adems en el anlisis sobre los resultados de las pruebas de Competencias de MEN en el rea de matemticas en el grado 5 de los alumnos del instituto nos muestran que la desviacin Standard en la prueba es de 6.63, lo cual podra reflejar un bajo impacto institucional. Lo que nuevamente nos lleva a la importancia de indagar por rutas que puedan lograr la cualificacin de estas habilidades y en general que puedan generar un mayor y mejor impacto institucional en su desarrollo. Otro argumento que consideramos importante para justificar la investigacin en esta ruta es la tendencia mundial a abordar el tema de la enseanza de las matemticas desde una perspectiva de la solucin de problemas. Precisamente uno de los propsitos del currculo de matemticas del instituto es hacer uso del pensamiento matemtico en situaciones de resolucin de problemas. Y aunque se han hecho algunos trabajos institucionales que abordan el tema, como las tesis de grado de Sonia Roa entre otros, o el proyecto de investigacin propuesto en 2002 para seminario de profesores por uno de los autores, no se ha logrado que estos irradien el trabajo del aula orientando la mediacin. Por lo que nos dimos a la tarea de analizar y revisar los marcos tericos de los trabajos que se mencionan y nos encontramos con una constante y es que en todos los casos el modelo que usan como parte del marco terico es el trabajo de Polya, que evidente mente ha sido rector de muchas investigaciones en torno a la solucin de problemas y que es Bibliografa obligada para casi todas las investigaciones en esta lnea. Sin embargo este modelo por

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trabajar con mtodos heursticos generales no da luces sobre los procesos cognoscitivos involucrados en esta actividad Entonces, en el presente trabajo pretendemos vincular mtodos heursticos de diferente naturaleza, buscando integrar a travs del uso de mtodos ms especficos los procesos de solucin de problemas y la metacognicin.

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4. INTRODUCCIN Histricamente, el estudio de la resolucin de problemas ha recibido una atencin ocasional por parte de los educadores y psiclogos educativos. Este estudio tiene sus orgenes en el desarrollo de la psicologa cientfica a finales de 1800. Que si bien no arroj, segn Humprey1, en los primeros 50 aos mayores avances, es en la actualidad fundamento de muchas investigaciones sobre el pensamiento. De estas, se dedujeron una serie de procesos cognitivos de distintas naturalezas: sensacin y percepcin, aprendizaje, memoria y pensamiento. Y en la medida en que cada uno de estos procesos tiene una relacin muy especfica con la informacin se dice que implican al pensamiento. De la observacin de las relaciones de los procesos cognitivos con la informacin se integra el estudio de la resolucin de problemas. Un ejemplo bastante destacado de estos estudios es el de Barttlet, para quien la resolucin de problemas tiene una directa vinculacin con la memoria y el aprendizaje, pues esta actividad mental requiere de la reflexin alrededor de los significados. Otro ejemplo son los estudios de Bruner quien sostiene que esta vinculacin radica en el manejo metasemntico de la informacin. Estas perspectivas frente a la resolucin de problemas trajeron como resultado que a partir de los 60 y 70 se fijara la atencin en este estudio, particularmente desde la aparicin del enfoque del procesamiento de la informacin. La investigacin realizada en esta rea evidencia dos aspectos importantes: En primer lugar, que ha habido un progreso en la formulacin de una nueva conceptualizacin de las relaciones entre la resolucin de problemas y el conocimiento y, en segundo lugar, que se ha propiciado el desarrollo de una comprensin diferenciada de los procesos cognoscitivos involucrados en esta actividad, de naturaleza tan compleja. La reconceptualizacin de la que hablamos, va desde el nfasis que se puso inicialmente en las conductas de quien resuelve un problema y en cmo la resolucin de problemas est constituida por una cadena de elementos asociados los unos con los otros 2; pasando luego por el nfasis en la comprensin de los elementos que constituyen la estructura del problema y la posibilidad de reorganizacin de la misma para llegar a diferentes soluciones3. En la actualidad se han empezado a integrar tanto la investigacin de procesos de tipo general que plantean la solucin de problemas como la aplicacin de una serie de habilidades mentales que se organizan en esquemas invariables, o las que caracterizan la solucin de problemas como sub especie de la inteligencia, o sencillamente las que

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HUMPHREY,G. :Thinking: an introduction ton its experimental psycology, New York, 1963 Esta tendencia corresponde al asociacionismo. Esta por su parte corresponde a la Gestalt.

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consideran que el razonamiento y la solucin de problemas son algunas de las formas en las que se muestra la inteligencia4. En lo que toca al trabajo que sigue, se retomar la nocin de solucin de problemas desde la perspectiva de Sternberg, es decir como interfaz de la inteligencia. Y pesar de que esta rea est relacionada con varias disciplinas (fsica, qumica, matemtica), el trabajo que se presenta a continuacin est referido a algunos aspectos tericos relativos al rea de la resolucin de problemas en matemtica y a una propuesta didctica que pretende comprender, e impactar en el desempeo de un grupo de estudiantes del Merani. En tal sentido, se tiene como propsitos familiarizar a los docentes del rea de matemticas con la naturaleza y componentes de esta actividad, as como proponer una estrategia que integre estos aspectos y logre ser un factor que se perfile como herramienta de cualificacin de las habilidades para la resolucin de problemas.

Para cumplir con los propsitos, se trabajar en dos rutas, una se centrar en la conceptualizacin de la solucin de problemas. La otra fijar su atencin en la propuesta didctica que se propondr como estrategia para cualificar la solucin de problemas.

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Visin trabajada por Sternberg.

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5. MARCO TERICO

5.1 MARCO CONCEPTUAL 5.1.1 MENTEFACTOS

-Liga dos o ms tesis p2. -aparece la forma de pregunta de manera implcita o explcita p3. -No es una realidad fsica sino una de orden psicolgico p4. -tiene tres fases: Lgica intuitiva crtica p5 - componentes: metas, datos, las restricciones y los mtodos p6.

SITUACIN PROBLEMICA p1

Duda p7

PROBLEMA razonamiento

Incertidumbre p8 Dilema p9

Deductivos p10

Inductivos p11

definidos

tarea

Mal Bien Definidos p12 Definidos p13 PROPOSICIONES

Productivos p14

Reproductivos p15

1. Un problema es una situacin problmica pues es una situacin que explcitamente exige un cambio de estado, dicho cambio se da con la exigencia de la solucin. 2. Los problemas pueden ligar dos o ms tesis en la elaboracin de la solucin vincula por lo tanto dos o ms razonamientos que pueden convertirse en estrategias de solucin. 3. En un problema la pregunta puede encontrarse de manera implcita o explcita sin cambiar su condicin de situacin problmica.

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4. los problemas establecen diferencias entre expertos y novatos lo que lo hace una realidad de orden psicolgico. 5. Es una situacin problmica que en su resolucin tiene tres fases caractersticas: lgica, intuitiva y crtica. 6. En el problema se han identificado tres componentes fundamentales: metas, datos y restricciones. 7. La duda es una situacin problmica que se caracteriza porque su resolucin puede no ser posible. 8. La incertidumbre se caracteriza porque la vinculacin de distintas tesis no es un hecho que pueda determinar su solucin puesto que las vas de solucin no son del todo claras. 9. El dilema nicamente vincula dos tesis contradictorias. 10. los problemas pueden ser deductivos si implican un tipo de razonamiento de este tipo. Particularizacin a partir de reglas. 11. los problemas pueden ser inductivos si el logro del objetivo implica que busque el establecimiento de reglas generales 12. un problema se dice que est bien definido si cuenta con todos sus componentes de manera explcita. 13. Estar mal definido si uno o ms de sus componentes no ha sido explicitado y esto dificulta la elaboracin del plan de solucin. 14. segn el tipo de tarea un problema puede ser productivo, si la meta se consigue a travs de procesos que no necesariamente siguen un esquema predeterminado. 15. Mientras que si se sigue un esquema predeterminado se dice que son reproductivos.

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-Vinculacin del lenguaje matemtico en el texto p4. -Utilizacin de categoras y relaciones matemticas en su anlisis p5

PROBLEMA p1

PROBLEMA MATEMTICOmetas

- SOCIALES p2 CIENCIAS p3 NATURALES

Cuantitativos p6

Cualitativos p7

contexto

Matemtica aplicada

p8

Matemtica pura p9

PROPOSICIONES 1. un problema matemtico es un problema, pues en general pues es una situacin problmica que se da en el ambiente de las matemticas que debe su cambio de estado a la vinculacin de dos o mas tesis; que observa tambin las fases de solucin y que est compuesto por los tres componentes caractersticos de un problema, adems establece diferencias entre expertos y novatos constituyndose como realidad de tipo psicolgico. 2. la principal diferencia con problemas de las ciencias sociales es que los objetos de observacin son entidades de naturalezas distintas, as mismo los componentes de los problemas matemticos responden consecuentemente a esas naturalezas distintas.

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3. Los problemas en las ciencias naturales tambin se diferencian de los problemas matemticos en que los objetos de observacin son entidades de naturalezas distintas, as mismo los componentes de los problemas matemticos responden consecuentemente a esas naturalezas distintas. 4. la vinculacin del lenguaje matemtico en el texto de un problema limita la observacin a objetos de naturaleza matemtica. 5. La solucin del problema matemtico implica el uso y el conocimiento de categoras matemticas y relaciones entre los objetos matemticos implicados en el testo del problema 6. las metas caracterizan los problemas matemticos en Cuantitativos, pues en este tipo se busca encontrar un nmero que responda a las relaciones establecidas entre los datos del problema. 7. Cuando el problema matemtico es de carcter cualitativo la meta es lograr generalizaciones sobre objetos y sus relaciones o sencillamente cualidades de ciertos objetos de naturaleza matemtica. 8. Los problemas matemticos se pueden encontrar en diferentes contextos y en este sentido cuando el contexto es diferente al contexto de las matemticas se dice que es un problema de matemtica aplicada, que por supuesto es un problema matemtico. 9. Los problemas de matemtica pura se desarrollan y formulan en un ambiente exclusivamente matemtico.

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- Requiere de: La traduccin al lenguaje matemtico p2. - Hace uso de Algoritmos matemticos p3. - Usa destrezas, hechos y tcnicas dentro del contexto matemtico p4.

SOLUCION DE PROBLEMAS p1 SOCIALES p5 CIENCIAS p6 NATURALES

SOLUCION DE PROBLEMAS MATEMTICOS

CUANTITATIVOS p7

CUALITATIVOS p8

contexto

Matemtica aplicada p9

Matemtica pura p10

Mtodo Heurstico

General p11

especfico p12

PROPOSICIONES 1. la solucin de problemas matemticos son un tipo de solucin de problemas, pues atienden al cambio de estado de una situacin problmica. 2. En la solucin de problemas matemticos se realiza una traduccin al lenguaje matemtico de lo que ha sido expresado en otro lenguaje. 3. las relaciones operacionales que se establecen entre las variables (algoritmos) son de naturaleza matemtica. 4. la resolucin de problemas matemticos implica el uso de hechos, estrategias y destrezas particulares del contexto de las matemticas; pues teniendo en cuenta el tipo de relaciones que se establecen entre las variables que intervienen en el problema, el contexto que limita los campos de solucin es el de las matemticas.

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5. la resolucin de problemas matemticos se diferencia de la solucin de problemas en las ciencias sociales porque estos ltimos requieren del manejo de un tipo muy especfico de relacin de variables, limitada por el contexto de las ciencias sociales. 6. la resolucin de problemas matemticos se diferencia de la solucin de problemas en las ciencias naturales porque estos ltimos requieren del manejo de un tipo muy especfico de relacin de variables, limitada por el contexto de las ciencias naturales. 7. La solucin de problemas matemticos de tipo cuantitativo son aquellas soluciones que se consideran completas con la obtencin, a travs de algoritmos matemticos, de una cantidad especfica. 8. La solucin de problemas matemticos de tipo cualitativo giran en torno a establecer reglas y/o generalizaciones a partir de un conjunto de situaciones que presentan una cierta regularidad y se considera completa cuando se da esta generalizacin o esta explicacin. 9. Teniendo en cuenta el contexto en el que se presente el problema matemtico, puede decirse que la solucin de esta se da para responder a situaciones de la matemtica aplicada, en tanto el problema se enuncie desde otras reas, pero en general se requiere de la modelizacin o representacin en trminos matemticos. 10. En el contexto de la matemtica pura se dice que se soluciona un problema cuyo planteamiento toca nicamente el contexto de las matemticas. 11. Mtodos heursticos generales plantean una serie de rutas de solucin del problema basados en un conjunto de experiencias previas que han permitido encontrar esquemas de solucin efectivos. 12. Mtodos heursticos especficos dan cuenta de los procesos cognitivos implicados en la solucin de problemas , por lo que se basan en el uso de estrategias metacognitivas.

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- Se evidencia el uso de los metacomponentes p5. - Hace uso conciente de Los tipos de conocimiento Lingstico, semntico, Declarativo, Procedimental, Estratgico y esquemtico p6.

MTODOS HEURSTICOS ESPECFICOS p1 CONSTRUCTIVOS p2 DESCOMPOSICIN p3 REDUCCIN p4

MTODO METACOMPONENCIAL

C. SOCIALES p7

C. NATURALES p8

C. MATEMTICOS

p9

1. El mtodo meta componencial es una clase de mtodo heurstico especfico, en tanto que da cuenta de los procesos cognitivos presentes en la resolucin de problemas y est relacionado con el conocimiento especfico del rea en cuestin. 2. se diferencia del mtodo heurstico especfico constructivo porque este se caracteriza por que la solucin se va construyendo a travs del proceso bsqueda aprendizaje. 3. Se diferencia del mtodo heurstico especfico por descomposicin porque este se caracteriza por que se separan los elementos constitutivos del problema con miras a una mayor comprensin y a la elaboracin del plan de accin. 4. Se diferencia del mtodo heurstico especfico por reduccin en tanto este mtodo convierte el problema en problemas ms pequeos y de ms sencilla resolucin. 5. Evidencia el uso de los metacomponentes de planificacin supervisin y ejecucin, como proceso metacognitivo. 6. Como producto del uso de los metacomponentes se hace evidente tambin el uso consciente de los diferentes tipos de conocimiento que se requieren en la solucin de problemas. 7. En tanto que se relaciona con el conocimiento especfico de un rea le mtodo heurstico metacomponencial puede ser de diferentes tipos segn el rea del conocimiento que se est usando como contexto, una de ellas son las ciencias naturales. 8. El mtodo metacomponencial en el contexto de las ciencias sociales hace uso de los diferentes tipos de conocimiento propios de este contexto. 9. El mtodo metacomponencial en el contexto de las matemticas hace uso de los diferentes tipos de conocimiento propios de este contexto.

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5.2 CONCEPTOS BSICOS

5.2.1 Qu es un problema? Frecuentemente uno se encuentra ante una situacin que exige contestar una serie de preguntas a partir de unos datos especficos. A esto se le llama un problema. Slo con este proceso puede confrontarse lo aprendido y durante l se despiertan inquietudes y se logra sembrar semillas que sern fuente de trabajos posteriores. Diferentes profesiones requieren de los procesos para resolver problemas. Si estos problemas involucran cantidades numricas o figuras, por lo regular lo clasifican como un problema matemtico. Muchos autores que han emprendido la investigacin en este campo se han dado a la tarea de proponer y especificar lo que para su teora van a considerar como un problema, a continuacin presentaremos algunas de estas definiciones. Segn Gilberto Garca Pulgarn (1996), profesor de ciencias exactas de la Universidad de Antioquia en el lenguaje comn problema es una cuestin en la que hay que averiguar o que provoca preocupacin. Para la matemtica es un asunto matemtico que debe resolverse a partir de ciertos datos y que no es de respuesta inmediata pero s es de respuesta posible. Este mismo autor enuncia que en un problema deben distinguirse tres componentes a saber: Los datos, la incgnita y la condicin. Los datos estn conformados por aquella parte del problema que es dada o conocida, la incgnita la conforma la parte del problema que debe determinarse, lo que hay que averiguar; finalmente la condicin establece la manera en que se relacionan los datos y la incgnita siendo esta la parte esencial del problema. Desde el punto de vista de Jos Joaqun Garca, en su trabajo Didctica de las ciencias, resolucin y solucin de problemas y desarrollo de la creatividad, se define el concepto de problema como: Una situacin que presenta una oportunidad de poner en juego los esquemas de conocimiento, que exige una solucin que an no se tiene y en la cual se deben hallar interrelaciones expresas y tcitas entre un grupo de factores y variables, bsqueda que implica la reflexin cualitativa, el cuestionamiento de propias ideas, la construccin de nuevas relaciones, esquemas y modelos mentales, es decir, y en suma, la elaboracin de nuevas explicaciones que constituyen la solucin al problema. Sobre el mismo concepto de problema, Jos Joaqun Garca cita a otros autores como: -Garret, quien dice: que una situacin puede convertirse en problema, solamente cuando ha sido reconocido como tal, es decir, cuando corresponden a una duda carente de respuesta. -Gil, que define un problema como: Una situacin estimulante para la cual el individuo no tiene respuestas.

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-Lpez y Costa, quienes afirman que: El proceso de aprendizaje humano desde el nio hasta el adulto, es esencialmente una actividad de resolucin de problemas mediante la cual el individuo se adapta al medio, y que este proceso de resolucin de problemas se lleva a cabo simultneamente en los campos cognitivo, afectivo y psicomotor. Para George Polya (1887 1985) padre de las estrategias para la solucin de problemas, el problema es: Encontrar un camino all donde no se conoca previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad, encontrar la forma de sortear un obstculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata utilizando los medios adecuados (MEN, 1998). Desde la neuropsicologa, Aleksandre Romanovich Luria, eminente investigador Sovitico, en estrecha colaboracin con Tsvetkova en 1945, aborda la definicin de problema en su obra La resolucin de problemas y sus trastornos en la cual se desarrolla la implicacin de los procesos mentales dentro de la resolucin de problemas aritmticos simples. Este autor determina el problema como una actividad intelectual de modo organizado que se apoya en un programa lgico de operaciones relacionadas entre s, donde dichas operaciones estn determinadas por un cierto objetivo, una cierta pregunta a la que es imposible dar una respuesta inmediata. Incluye el anlisis de la informacin obtenida, el poner de manifiesto los datos esenciales (ya conocidos o desconocidos) y su confrontacin; adems implica la aparicin de un esquema general (o estrategia) de la resolucin, poniendo de manifiesto unas operaciones (o tcticas) que conducirn de la mxima fidelidad al objetivo buscado, a la resolucin de un problema. De la misma manera, Luria en su texto Lenguaje y pensamiento afirma que un problema plantea siempre ante el sujeto el objeto del mismo, formulando la pregunta con que suele terminar todo problema, dicho interrogante no contiene en s mismo la respuesta. Este autor expone en otra de sus obras El cerebro en accin que un problema consiste siempre en una meta (establecer un problema en forma de pregunta para la que no hay una respuesta ya hecha que sea vlida), y las condiciones a partir de las cuales puede prepararse un esquema para la solucin, y de esta manera puede formularse una estrategia que conduzca a la solucin requerida. Continua diciendo: Es de vital importancia mencionar que el enunciado de un problema tiene siempre una estructura psicolgica tpica: apartando una serie de datos concretos que constituyen el contenido material del enunciado, un problema termina siempre con cierta pregunta; esta, constituye el eslabn predicativo del problema, establece ciertas relaciones entre los datos del enunciado, forma un todo con estos, da un sentido al problema. Otros autores plantean su definicin de problema desde un espacio pedaggico, as tenemos que: El profesor Orlando Mesa Betancur (1998), investigador en didctica de las matemticas en la Universidad de Antioquia, ha hecho un trabajo de intervencin para la

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enseanza de las matemticas, rastreando a Pierre Olern el cual caracteriza el problema bajo dos condiciones que por lo general no dejan de tener posibilidades interpretativas inmensas. La primera condicin de un problema es la de cuando frente a una pregunta o una situacin se puede responder sin esfuerzos de pensamiento; la segunda condicin se refiere a la posibilidad de responder. Otra puede referirse a la indagacin por el sujeto; otras pueden vincularse a los marcos de referencia conceptuales o espacios de las preguntas. De la misma manera este autor aborda el concepto de problema desde las implicaciones de situacin problema la cual define como: ...Un espacio de interrogantes frente a los cuales el sujeto est convocado a responder. En el campo de las matemticas, una situacin problema se interpreta como un espacio pedaggico que posibilita tanto la conceptualizacin como la simbolizacin y la aplicacin comprensiva de algoritmos, para plantear y resolver problemas de tipo matemtico... ...Lo importante es que los problemas planteados al nio sean problemas reales para l. Esto es, que como acto intelectual exista una posibilidad de respuestas y l quiera encontrarla... As mismo Miguel de Guzmn, catedrtico de anlisis matemtico de la Universidad Complutense de Madrid, expresa que se tiene un verdadero problema cuando se encuentra en una situacin desde la que quiere llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfiladas, y no se conoce el camino que puede llevar de una a otra. De acuerdo con este autor, un problema es una situacin que cumple con ciertas condiciones para diferenciarse de un ejercicio; en el problema una de las condiciones es, que quien se enfrenta al problema no conoce el camino, ni medios para llegar a su resolucin, est ltima se dara por medio de un proceso que inicia con la motivacin, y posteriormente con la reflexin, la creacin de estrategias posibles, aplicacin y verificacin. Guzmn no profundiza en el concepto de problema, pero esta definicin influencia claramente los fundamentos bsicos del mtodo de enseanza a travs de la resolucin de problemas que el autor desarrolla ampliamente en algunos de sus textos afirmando que este mtodo pone en prctica el principio de aprendizaje activo, y es muy eficaz ya que el alumno a travs de su actividad y con la orientacin del profesor, logra apropiarse de los objetos matemticos. Otros autores definen problema como: situacin en la cual un individuo desea hacer algo, pero desconoce el curso de la accin necesaria para lograr lo que quiere (Newell y Simon, 1972), o como una situacin en la cual un individuo acta con el propsito de alcanzar una meta utilizando para ello alguna estrategia en particular (Chi y Glaser, 1983). En general nosotros entenderemos problema como una situacin problmica, que tiene unas ciertas condiciones iniciales que requieren ser modificadas. Entendiendo que se dice que hay una situacin problema cuando se dispone de algunos elementos o condiciones conocidos y otros elementos o condiciones o elementos desconocidos, y la situacin depende de descubrir cmo tratar los factores desconocidos de la situacin.

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En palabras de Raaheim5, una situacin problmica es un miembro desviante de una serie de situaciones anteriores del mismo gnero. Lo que introduce la posibilidad de recurrir a informacin o conocimientos previos para resolver la situacin, pero estos no son suficientes para dar una respuesta inmediata. Ejemplos de situaciones problmicas pueden ser : La duda, la incertidumbre, el dilema y el problema. La duda es una situacin problmica que se caracteriza porque su resolucin puede no ser posible. Este trmino se ha definido como vacilacin, irresolucin, perplejidad; identificndose como origen el vocablo latino dubitatis, que indica que existen dos ideas, tesis entre las cuales la mente se debate, por esta razn no puede identificarse la duda con la falta de creencia si no con la falta de decisin, probablemente originada en la negacin de cualquier intento por demostrar una verdad absoluta. La incertidumbre se caracteriza por la vinculacin de distintas tesis, de tal forma que no es un hecho que se pueda determinar su solucin puesto que las vas de solucin no son del todo claras. La incertidumbre ha sido caracterizada en trminos de la indeterminabilidad de una situacin, como la dificultad para establecer con el mismo grado de precisin el estado de dos o ms variables que intervienen en la situacin. El dilema nicamente vincula dos tesis, generalmente contradictorias. As que si una es verdadera la otra, por leyes lgicas, es falsa, y viceversa. La solucin de este tipo de situacin problmica se basa entonces en el logro de falsacin de una de las tesis en cuestin. En el caso del problema podemos encontrarnos con que el problema es una situacin en la que aparece una pregunta de manera implcita o explcita que requiere ser resuelta. Esta solucin a su vez requiere de la integracin de una o ms variables, a travs de un cierto conjunto de relaciones propias del contexto en el que se da el problema. Sin embargo el curso de accin para poner en accin las relaciones y las variables y lograr la modificacin de las condiciones iniciales no es completamente claro, aunque posible, para la persona que lo enfrenta; lo que nos lleva considerar que el problema no es una realidad de orden fsico si no psicolgico, en la que se ponen en juego ciertas habilidades propias del solucionador, de tal suerte que una situacin puede constituirse como un problema pero para otro sencillamente es un ejercicio. Esto es lo que Pozo llama diferencia entre expertos y novatos. Por otro lado, la bsqueda de la modificacin de las condiciones iniciales, est dada en general en tres fases que segn Koestler (citado por Mauro Daz) son propias de todo proceso innovador:

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Citado por Sternberg (1987)

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Fase Lgica Formulacin Recopilacin de datos Bsqueda de soluciones Fase intuitiva medida maduracin y aclaracin iluminacin Fase crtica Examen del descubrimiento Verificacin

El problema a su vez est compuesto por una serie de componentes que se han organizado en 4 categoras cada una con sus especificidades: Metas datos restricciones operaciones

La siguiente grfica plantea dichas especificidades:

Las metas constituyen lo que se desea lograr en una situacin determinada. En un problema puede haber una o varias metas, las cuales pueden estar bien o mal definidas. Los datos consisten en la informacin numrica o verbal disponible con que cuenta el aprendiz para comenzar a analizar la situacin problema. Al igual que las metas, los datos pueden ser pocos o muchos, pueden estar bien o mal definidos o estar explcitos o implcitos en el enunciado del problema. Las restricciones son los factores que limitan la va para llegar a la solucin. De igual manera, pueden estar bien o mal definidos y ser explcitos o implcitos. Los mtodos u operaciones se refieren a los procedimientos utilizados para resolver el problema.

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Los problemas se han clasificado teniendo en cuenta o bien el tipo de razonamiento que se requiere para ser solucionado, su espacio de definicin o el tipo de tarea que plantean. Y si bien existe otro grupo bastante amplio de clasificacin no entraremos a profundizar en este aspecto. 5.2.2 Qu clases de problemas hay? Segn el tipo de razonamiento que se requiere para su solucin. Esta clasificacin obedece fundamentalmente al tipo de razonamiento que se ve involucrado en la solucin del problema, de tal manera que los problemas pueden clasificarse en deductivos o inductivos. Los primeros, se caracterizan por requerir razonamientos deductivos, es decir operaciones del tipo formal que se caracterizan por recurrir a la combinacin de premisas para obtener una conclusin final, en otras palabras la deduccin es un proceso que va de lo general y ms abstracto a lo especfico y concreto; de este tambin se afirma que con la deduccin se derivan enunciados de otros enunciados de un modo puramente formal, lo que indica que se establecen relaciones del tipo lgico, llamadas tambin leyes de inferencia. Este tipo de problema se encuentra de manera ms generalizada un la lgica formal, en las matemticas, la fsica terica y en aquellas ciencias cuya estructura est total o parcialmente formalizada. En los problemas de tipo inductivo se procede de manera inversa que en el anterior, se dice que estos, van de un conjunto de proposiciones de tipo no tan general a una de un nivel de generalidad mayor; es decir no se opera basndose en la visin directa de la conexin racional (formal) entre los trminos empleados, si no ms bien, de la revisin de un conjunto de casos particulares de los cuales se conduce una afirmacin general a partir de sus propiedades o caractersticas comunes. Los contextos ms comunes en los que se dan este tipo de problemas son las ciencias sociales y las ciencias naturales en las que se valida la induccin a travs de la aceptacin de la ley de uniformidad de la naturaleza, que sostiene que si dos casos concuerdan en la totalidad de sus aspectos todos los casos que concuerden lo harn de la misma manera. Segn los espacios de definicin: La diferencia6 que caracteriza a estos tipos de problema est dada por la explicitacin de sus componentes. Esto quiere decir, que los espacios de problema pueden ser bien definidos o mal definidos.

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entendiendo diferencia como caracterstica que divide a una clase en subclases.

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Los problemas bien definidos son aquellos en los que todos sus componentes aparecen de forma explcita, por lo tanto se puede especificar claramente la secuencia que llevar al solucionador a obtener la meta del problema. Casi en todos los casos de este tipo se requiere de la manipulacin, o variacin de la entrada del problema con el fin de lograr su salida. Por lo que la dificultad no est en la identificacin de los pasos sino en la ejecucin coordinada de los mismos. Los problemas mal definidos se caracterizan por que uno o ms de sus componentes no aparecen de manera explcita en el problema. De lo que se deriva la imposibilidad de especificar un conjunto de pasos que lleve a la obtencin de la meta. Bajo esta lgica, se requiere ya no de manipulacin de los elementos de entrada del problema, sino, de intuiciones alternativas y por lo tanto tcitas frente a estos elementos; estas intuiciones se introducen al sistema para tratar de definir mejor el espacio del problema. Por esta razn la dificultad radica esencialmente en la obtencin de estas intuiciones. Segn la tarea: La clasificacin de problemas a travs del criterio del tipo de tarea establece esencialmente dos subclases, que se diferencian por el enfoque de los procesos por los que se llega a la meta, estos pueden ser productivos o reproductivos. Aquellos problemas en los que se ven involucrados elementos de creatividad y flexibilidad de pensamiento para encontrar la solucin se llaman productivos. En este tipo de problema el logro de la meta requiere la construccin de rutas de solucin que no ha sido especificadas con anterioridad, por lo tanto la ruta es producida por el solucionador. Mientras que en los problemas reproductivos el tipo de tarea se caracteriza por que la va de solucin est dada por esquemas predeterminados. Por lo tanto la tarea es ms de ejercitracin de habilidades adquiridas que de construccin de rutas de solucin; en general este tipo de problemas tiende a confundirse con los ejercicios, sin embargo se diferencian por el grado de dificultad. Segn el contexto: La clasificacin en trminos del contexto en el que se formulan los problemas plantea la divisin de tres clases, por lo menos, los problemas de las ciencias sociales, los problemas de las ciencias naturales y los problemas matemticos. Esta ltima clasificacin vinculada a los propsitos del presente trabajo nos lleva a la precisin de otro concepto bsico: Problema matemtico.

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5.2.3 Qu es un problema matemtico? En la gran mayora de la literatura consultada la definicin de problema y la de problema matemtico se tratan de manera indiferenciada, sin embargo la precisin en este trmino determinarn algunos aspectos en lo que toca con la resolucin. Como se dijo arriba los problemas pueden clasificarse, segn el contexto en el que se formulan, en problemas de las ciencias sociales, de ciencias naturales y matemticos. La diferencia es la naturaleza de los objetos de estudio que generan los problemas. En los problemas de ciencias sociales los objetos son, en el caso de la sociologa, la sociedad, las formas de socializacin, los hechos humanos que se encaminan a los fines ideales, los hechos humanos encaminados a fines reales. Para la antropologa los problemas tratan sobre las caractersticas fsicas del hombre; de las formas y condiciones de las culturas humanas; las relaciones familiares; estructuras de poder , costumbres, tradiciones, lenguajes etc. Los problemas de la historia tratan de los hechos y su narracin de manera organizada, dicha organizacin es en general de manera cronolgica. Estos hechos pueden ser de diferentes naturalezas: hechos de la humanidad, de la naturaleza, o de hechos que tienen que ver con los acontecimientos que enmarcan una religin. Los problemas para las ciencias naturales tratan por su parte, en el caso de la fsica de la estructura, leyes, relaciones y movimientos de la naturaleza. En qumica los problemas tratan de la composicin de la materia y las leyes que rigen esta composicin. En la biologa los problemas tratan sobre los fenmenos orgnicos, sus leyes y su estructura. Los problemas matemticos tratan por su parte de los entes matemticos (p.e. nmeros, figuras geomtricas, la continuidad, las transformaciones,...), las relaciones que se establecen entre ellos y las leyes que los rigen. Para la aritmtica, por ejemplo, los problemas giran en torno a los nmeros las relaciones que se establecen entre ellos y las propiedades de stas; para la geometra euclidiana los problemas tratan de las figuras, los cuerpos su composicin y sus relaciones mtricas; para la trigonometra tratan del estudio de los tringulos y las relaciones y funciones que se originan en la relaciones que se establecen entre sus componentes, etc. En general se tratan de objetos cuya naturaleza (segn la posicin filosfica que se tenga: realista, conceptualista, nominalista, apriorista, empirista, objetivista o existencialista) puede caracterizarse por su preexistencia frente a las cosas, por lo que puede considerarse que su realidad es ontolgica y son intermediarios entre la realidad sensible y la inteligible; pueden verse tambin como objetos cuyo origen est en la realidad y esta los precede en existencia, por lo tanto son conceptos que no pertenecen a la categora de constructos meramente mentales; es posible considerarlos tambin como nombres que se adoptan en virtud de las necesidades de modelacin de la realidad, gracias a su carencia de contenido.

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Otras visiones sobre los objetos matemticos afirman que son concepciones innatas, que si bien no tienen origen en la realidad son completamente aplicables a ella; o que son abstracciones de nuestras percepciones sensibles. En el contexto de otras posturas filosficas pueden ser observados entes que carecen de existencia pero que subsisten (como objetos ideales). Bajo estas condiciones, lo nico que vincula a todas las posturas sobre la naturaleza es el carcter de constructo que se rige por leyes y relaciones dadas por la matemtica, que se constituye como una ciencia que erige su propio lenguaje, de cual se sirven otras ciencias para formalizar sus observaciones. En este sentido surge una clasificacin de los problemas matemticos: A este respecto se puede decir que dada la naturaleza de los objetos matemticos (un poco desde el apriorismo), su aplicabilidad abre dos contextos en los que se generan los problemas matemticos: las matemticas aplicadas y las matemticas puras. De manera que la aplicacin y el uso del lenguaje matemtico para generar modelos en otras ciencias no sacan al problema del espacio matemtico, pues si bien el fenmeno que dio origen al problema y estableci los elementos para la representacin matemtica tiene origen en observaciones de naturaleza no matemtica, son el lenguaje matemtico y sus gramtica las que dan el contexto de solucin al problema y este es el de las matemticas. El otro contexto que se abre es el de las matemticas puras, en las que las observaciones, los objetos, las relaciones y el lenguaje no se encuentran en un espacio diferente al de las matemticas. Otra clasificacin ya no fundada en la naturaleza de los objetos, si no en las metas de los problemas, es la que abre la posiblilidad de encontrar problemas cuyas soluciones sean nmeros o observaciones cualitativas (sobre un fenmeno matemtico o no). As que dependiendo del tipo de resultado que se espere los problemas pueden ser cuantitativos o cualitativos. 5.2.4 Qu es la solucin de problemas matemticos? Segn Dijkstra (1991), la resolucin de problemas es un proceso cognoscitivo complejo que involucra conocimiento almacenado en la memoria a corto y a largo plazo. La resolucin de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez, que implica factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centmetros, esta actividad sera de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cun seguros estamos que nuestra solucin al problema sea correcta, tal actividad sera de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lpiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solucin, podra servir para ilustrar una actividad de tipo conductual. A pesar de que estos tres tipos de factores estn involucrados en la actividad de resolucin de

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problemas, la investigacin realizada en el rea ha centrado su atencin, bsicamente, en los factores cognoscitivos involucrados en la resolucin. Segn Andre (1986), el proceso de resolucin de problemas puede describirse a partir de los elementos considerados a continuacin: 1. Una situacin en la cual se quiere hacer algo, pero se desconocen los pasos precisos para alcanzar lo que se desea. 2. Un conjunto de elementos que representan el conocimiento relacionado con el problema. 3. El solucionador de problemas o sujeto que analiza el problema, sus metas y datos y se forma una representacin del problema en su sistema de memoria. 4. El solucionador de problemas que opera sobre la representacin para reducir la discrepancia entre los datos y las metas. La solucin de un problema est constituida por la secuencia de operaciones que pueden transformar los datos en metas. 5. Al operar sobre los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o puede utilizar los siguientes tipos de informacin: o Informacin almacenada en su memoria de largo plazo en forma de esquemas o producciones. o Procedimientos heursticos. o Algoritmos. o Relaciones con otras representaciones. 6. El proceso de operar sobre una representacin inicial con el fin de encontrar una solucin al problema, se denomina bsqueda. Como parte del proceso de bsqueda de la solucin, la representacin puede transformarse en otras representaciones. 7. La bsqueda contina hasta que se encuentra una solucin o el solucionador de problemas se da por vencido. 5.2.5 Etapas de la resolucin de problemas Varios investigadores han analizado la actividad de resolucin de problemas y sealan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de etapas. Desde principios de siglo se viene investigando sobre las fases en la resolucin de problemas. Es as como Wallas (1926) seala que stas incluyen las siguientes: 1. La preparacin, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e informacin relevante al problema. 2. La incubacin, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente. 3. La inspiracin, es la fase en la cual la solucin al problema surge de manera inesperada. 4. La verificacin, es la fase que involucra la revisin de la solucin. Otros autores (Andre, 1986; Hayes, 1981) sealan que las etapas en la resolucin de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para aproximarse analticamente a la solucin, as como tambin para ofrecer una descripcin de las

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actividades mentales de la persona que resuelve el problema. En tal sentido, Andre (1986) propone que las etapas en la resolucin de problemas son las especificadas en el cuadro 1: Cuadro Etapas en la resolucin de problemas 1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene. 2. Especificacin del problema, se trabaja una descripcin ms precisa del problema. 3. Anlisis del problema, se analizan las partes del problema y se aisla la informacin relevante. 4. Generacin de la solucin, se consideran varias alternativas posibles. 5. Revisin de la solucin, se evalan las posibles soluciones. 6. Seleccin de la solucin, se escoge aqulla que tenga mayor probabilidad de xito. 7. Instrumentacin de la solucin, se implementa la solucin. 8. Nueva revisin de la solucin, de ser necesario. 1

Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritmticos y algebraicos, pero tambin pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente relacionados con disciplinas acadmicas. Por su parte, Polya (1965) seala que un problema puede resolverse correctamente si se siguen los siguientes pasos:

Comprender el problema. Concebir un plan para llegar a la solucin. Ejecutar el plan. Verificar el procedimiento. Comprobar los resultados.

Schoenfeld (1985), a partir de los planteamientos de Polya (1965), se ha dedicado a proponer actividades de resolucin de problemas que se pueden llevar a cabo en el aula, con el fin de propiciar situaciones semejantes a las condiciones que los matemticos experimentan en el proceso de desarrollo de resolucin de problemas. Su modelo de

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resolucin abarca los siguientes pasos: Anlisis, Exploracin y Comprobacin de la solucin y puede aplicarse a problemas matemticos y algebraicos. Aunque estos pasos no necesariamente tienen que ser aplicados en su totalidad, en el Anexo 1 se incluye un ejemplo de resolucin de un problema matemtico siguiendo este modelo. Anlisis 1. Trazar un diagrama, si es posible. 2. Examinar casos particulares 3. Probar a simplificar el problema Exploracin 1. Examinar problemas esencialmente equivalentes: sustituir las condiciones por otras equivalentes, recombinar los elementos del problema de modo diferente, replantear el problema. 2. Examinar problemas ligeramente modificados: establecer submetas, descomponer el problema en casos y analizar caso por caso. Examinar problemas ampliamente modificados: construir problemas anlogos con menos variables, mantener fijas todas las variables menos una para determinar qu efectos tiene esa variable, tratar de sacar partido de problemas afines que tengan parecido en su forma, en sus datos o en sus conclusiones. Comprobacin de la solucin obtenida 1. Verificar la solucin obtenida siguiendo criterios especficos: utilizacin de todos los datos pertinentes, uso de estimaciones o predicciones. 2. Verificar la solucin obtenida siguiendo criterios generales: examinar la posibilidad de obtener la solucin por otro mtodo, reducir la solucin a resultados conocidos. En sntesis, como puede observarse, desde principios de este siglo, diferentes autores han propuesto pasos, fases o etapas a cumplir para poder resolver problemas con xito. Este aspecto es importante ya que permite, de antemano, planificar los pasos a seguir en la resolucin de un problema, ejecutar esos pasos y, posteriormente, supervisar el proceso de resolucin y comprobar la solucin o resultado. 5.2.6 Elementos de la solucin de problemas Muchos autores coinciden en que la resolucin de problemas matemticos es un proceso complejo que implica el uso de procesos cognitivos de orden superior y para muchos de ellos incluso es una expresin de la inteligencia. Por lo que sera un error considerar que un problema ha sido solucionado cuando se ha dado una respuesta, realmente se considera que la solucin de un problema es una situacin final que surge de la confluencia tres elementos fundamentales: la representacin, la seleccin de estrategia y los algoritmos.

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5.2.6.1 Representacin en la resolucin de problemas Un aspecto importante a considerar en el proceso de resolucin de problemas es la representacin. Esta consiste en la transformacin de la informacin presentada a una forma ms fcil de almacenar en el sistema de la memoria, e incluye la identificacin de las metas y los datos. La representacin tambin ha sido denominada espacio del problema para referirse a las representaciones mentales de los individuos acerca de su estructura y de los hechos, conceptos y relaciones del mismo.

A continuacin se presenta un ejemplo para ilustrar cmo se puede representar un problema en la memoria.La tendencia ms comn es que la mayora de los estudiantes puedan decir cuntas personas llegan a la parada final, cuntas subieron o cuntas bajaron, pero muy pocos estn en capacidad de indicar cuntas paradas hay en la ruta del autobs debido a que seleccionaron la informacin numrica como datos importantes y la representaron internamente en la forma de operaciones aritmticas. En trminos de los procesos involucrados en la resolucin de problemas, esto sucede porque la meta del problema no estaba bien definida a pesar de que haba datos numricos explcitos precisos. El nfasis sobre el nmero de personas que suben y bajan del autobs hace posible que los estudiantes piensen que tienen que hacer algo con esos datos y, en tal sentido, construyen una meta la cual se representa como el logro de una cantidad total. Esta decisin conduce a los estudiantes a seleccionar cierta informacin como relevante (nmero de personas que suben y bajan del autobs) e ignorar otra (nmero de paradas del autobs). Kintsch y Greeno (1985) sealan que una estrategia adecuada para resolver problemas consiste en traducir cada oracin del enunciado del problema a una representacin mental interna y, luego, organizar la informacin relevante en una representacin mental coherente de la situacin descrita en dicho enunciado. En este sentido, se puede sealar que las representaciones mentales, adecuadas o inadecuadas, utilizadas por los individuos para resolver problemas, pueden facilitar o inhibir la solucin.

5.2.7 Las estrategias de resolucin de problemas Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar sobre la representacin de las metas y los datos, con el fin de transformarlos en metas y obtener una solucin. Las estrategias para la resolucin de problemas incluyen los mtodos heursticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.

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5.2.7.1 Los mtodos heursticos Los mtodos heursticos son estrategias generales de resolucin y reglas de decisin utilizadas por los solucionadores de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican las vas o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solucin. De acuerdo con Monero y otros (1995) los procedimientos heursticos son acciones que comportan un cierto grado de variabilidad y su ejecucin no garantiza la consecucin de un resultado ptimo como, por ejemplo, reducir el espacio de un problema complejo a la identificacin de sus principales elementos (p. 20). Mientras que Duhalde y Gonzlez (1997) sealan que un heurstico es un procedimiento que ofrece la posibilidad de seleccionar estrategias que nos acercan a una solucin (p. 106). Los mtodos heursticos pueden variar en el grado de generalidad. Algunos son muy generales y se pueden aplicar a una gran variedad de dominios, otros pueden ser ms especficos y se limitan a un rea particular del conocimiento. La mayora de los programas de entrenamiento en solucin de problemas enfatizan procesos heursticos generales como los planteados por Polya (1965) o Hayes (1981). Los mtodos heursticos especficos estn relacionados con el conocimiento de un rea en particular. Este incluye estructuras cognoscitivas ms amplias para reconocer los problemas, algoritmos ms complejos y una gran variedad de procesos heursticos especficos. Chi y colaboradores (1981, 1982), sealan que entre el conocimiento que tienen los expertos solucionadores de problemas estn los esquemas de problemas. Estos consisten en conocimiento estrechamente relacionado con un tipo de problema en particular y que contiene:

Conocimiento declarativo: principios, frmulas y conceptos. Conocimiento procedimental: conocimiento acerca de las acciones necesarias para resolver un tipo de problema en particular. Conocimiento estratgico: conocimiento que permite, al individuo solucionador del problema, decidir sobre las etapas o fases que debe seguir en el proceso de solucin.

Diversos investigadores han estudiado el tipo de conocimiento involucrado en la resolucin de un problema, encontrndose que los resultados apoyan la nocin de que la eficiencia en la resolucin de problemas est relacionada con el conocimiento especfico del rea en cuestin (Mayer, 1992; Sternberg, 1987). En este sentido, estos autores coinciden en sealar que los tipos de conocimiento necesarios para resolver problemas incluyen:

Conocimiento declarativo: por ejemplo, saber que un kilmetro tiene mil metros.

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Conocimiento lingstico: conocimiento de palabras, frases, oraciones. Conocimiento semntico: dominio del rea relevante al problema, por ejemplo, saber que si Alvaro tiene 5 bolvares ms que Javier, sto implica que Javier tiene menos bolvares que Alvaro. Conocimiento esquemtico: conocimiento de los tipos de problema. Conocimiento procedimental: conocimiento del o de los algoritmos necesarios para resolver el problema.

Conocimiento estratgico: conocimiento de los tipos de conocimiento y de los procedimientos heursticos.

Trabajar en sentido inverso (working backwards). Este procedimiento implica comenzar a resolver el problema a partir de la meta o metas y tratar de transformarlas en datos, yendo de la meta al principio. El procedimiento heurstico es utilizado en geometra para probar algunos teoremas; se parte del teorema y se trabaja hacia los postulados. Es til cuando el estado-meta del problema est claro y el inicial no. Subir la cuesta (hill climbing). Este procedimiento consiste en avanzar desde el estado actual a otro que est ms cerca del objetivo, de modo que la persona que resuelve el problema, al encontrarse en un estado determinado, evala el nuevo estado en el que estar despus de cada posible movimiento, pudiendo elegir aquel que lo acerque ms al objetivo. Este tipo de procedimiento es muy utilizado por los jugadores de ajedrez. Anlisis medios-fin (means-ends analysis). Este procedimiento permite al que resuelve el problema trabajar en un objetivo a la vez. Consiste en descomponer el problema en submetas, escoger una para trabajar, y solucionarlas una a una hasta completar la tarea eliminando los obstculos que le impiden llegar al estado final. Segn Mayer (1983), el que resuelve el problema debe hacerse las siguientes preguntas: cul es mi meta?, qu obstculos tengo en mi camino?, de qu dispongo para superar estos obstculos? En el estudio de Larkin, McDermott, Simon y Simon (1980), se encontr que los estudiantes de un curso introductorio de fsica utilizaban el anlisis medios-fin para resolver problemas, mientras que los fsicos ms expertos utilizaban otro procedimiento que evitaba la creacin de muchas metas.

5.2.7.2 Los procesos de pensamiento divergente Los procesos de pensamiento divergente permiten la generacin de enfoques alternativos a la solucin de un problema y estn relacionados, principalmente, con la fase de inspiracin y con la creatividad. La adquisicin de habilidades para resolver problemas ha sido considerada como el aprendizaje de sistemas de produccin que involucran tanto el conocimiento declarativo como el procedimental. Existen diversos procedimientos que pueden facilitar o inhibir la adquisicin de habilidades para resolver problemas, entre los cuales se pueden mencionar:

Ofrecer a los estudiantes representaciones metafricas.

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Permitir la verbalizacin durante la solucin del problema. Hacer preguntas. Ofrecer ejemplos. Ofrecer descripciones verbales. Trabajar en grupo. Utilizar auto-explicaciones.

5.2.7.3 Los algoritmos Los algoritmos son procedimientos especficos que sealan paso a paso la solucin de un problema y que garantizan el logro de una solucin siempre y cuando sean relevantes al problema. Monereo y otros (1995) sealan que un procedimiento algortmico es una sucesin de acciones que hay que realizar, completamente prefijada y su correcta ejecucin lleva a una solucin segura del problema como, por ejemplo, realizar una raz cuadrada o coser un botn (p. 20). Por otra parte, Duhalde y Gonzlez (1997) sealan que un algoritmo es una prescripcin efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. El algoritmo garantiza la obtencin de lo que nos proponemos (p. 106). De esta manera, el algoritmo se diferencia del heurstico en que este ltimo constituye slo una buena apuesta, ya que ofrece una probabilidad razonable de acercarnos a una solucin. Por lo tanto, es aceptable que se utilicen los procedimientos heursticos en vez de los algortmicos cuando no conocemos la solucin de un problema.

5.3 Mtodo Metacomponencial En el apartado anterior nos hemos centrado en hacer un recorrido a travs de la conceptualizacin de problema, problema matemtico, solucin de problemas y solucin de problemas matemticos; se sealaba tambin que la solucin de un problema era una situacin compuesta en la que participaban varios elementos. En este captulo nos concentraremos en la representacin y la eleccin de mtodos heursticos.

5.3.1 Mtodos heursticos La gran mayora de las investigaciones y de los planes de entrenamiento en resolucin de problemas parten de dos tipos de premisas: que existen diferencias sensibles entre los expertos y los novatos y que existen diferencias entre solucionadores eficientes y no eficientes. Estas diferenciaciones llevan casi invariable mente a la pregunta por aquellos factores que determinan estas diferencias.

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Clsicamente, se ha considerado que las caractersticas de los individuos tienen un papel importante en el xito o fracaso en la resolucin de problemas. Algunos factores son el conocimiento y la experiencia previa, la habilidad en la lectura, la perseverancia, las habilidades de tipo espacial, la edad y el sexo. Los individuos expertos poseen mayor informacin que los novatos, lo cual facilita la representacin del problema en trminos de esquemas, estructuras, procedimientos y mtodos heursticos. Las representaciones abstractas habilitan a los expertos para enfrentar con mayor eficiencia los problemas. En este sentido en Pozo (1994) se afirma que en general los expertos y los novatos se diferencian en el conocimiento de estrategias especficas, que les permiten tener acceso a los instrumentos que conforman la estructura cognitiva de manera ms efectiva; igual mente ubican la diferencia en la prctica que les permite generar un conjunto efectivo de esquemas de solucin. Lizette Poggioli insiste que la habilidad para resolver problemas tiene que ver ms que con el conocimiento especfico del rea con el tipo de relaciones que se establecen entre los recursos conceptuales, en tanto el experto posee una estructura cognitiva ms organizada y mejor jerarquizada que le permite tener acceso a contenidos conceptuales de manera ms rpida y efectiva, que el dominio relacional de dichos contenidos hace que sus representaciones sean ms abstractas y ms eficientes y que el experto se basa en principios mientras el novato lo hace en objetos. Estas dos posturas presentan que el conocimiento en general no est directamente correlacionado con el xito en la solucin de problemas, pero resaltan la importancia de la calidad de la estructura cognitiva del solucionador del problemas. Otras posturas un poco ms generales como las de Hayes, Polya, entre otros plantean que la diferencia radica en la organizacin de la informacin del problema y la habilidad en la aplicacin de programas de solucin de problemas (mtodos Heursticos generales). La riqueza de la primera postura se encuentra en rescatar los procesos cognitivos intervinientes en la solucin de problemas, mientras que la riqueza de la segunda, se da justamente en la amplitud de su planteamiento, que permite extrapolar mecanismos de solucin efectivos de un rea a otra. Los productos de estas dos visiones son por lo tanto mtodos heursticos de diferente naturaleza la primera plantea mtodos heursticos especficos que tienen que ver con el rea especfica y con los procesos cognitivos propios de sta y la segunda mtodos heursticos generales aplicables a cualquier rea del conocimiento.

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5.3.1.1 Mtodos Heursticos especficos Ya resaltbamos que la riqueza de los mtodos heursticos especficos resida en que trabajan fundamentalmente sobre los procesos cognitivos que implican la solucin de problemas. Por lo que podemos afirmar que son estrategias metacognitivas que permiten identificar las fortalezas y debilidades de los procesos que esta en juego en esta actividad mental, as como actuar en consecuencia. Estos mtodos tienden a centrarse en un grupo especfico de procesos y en consonancia con eso desarrollan un conjunto de elementos heursticos. Por ejemplo los mtodos constructivos fijan su atencin en los procesos de recuperacin y adquisicin conceptual, de tal suerte que la construccin de la solucin del problema se da a travs de un conjunto de estrategias de Bsqueda-aprendizaje. Por otro lado los mtodos por descomposicin se centran en procesos de decodificacin, por lo que ce centran en la descomposicin del problema en partes constitutivas con miras a lograr una mayor comprensin del mismo; se parte entonces de una estructura inicial y se va transformando a travs de distintos procesos de reconfiguracin hasta convertirse en una estructura relacional. Los mtodos por reduccin buscan reconocer en el texto un conjunto de subproblemas de ms fcil resolucin, estos tiene en comn con los procesos por descomposicin que se fijan esencialmente en procesos de decodificacin y reconfiguracin pero el producto es un sistema de situaciones problmicas que se unen a travs de un eje, el texto original. El mtodo Metacomponencial, por su parte, tiene como eje los metacomponentes particularmente los de planificacin, supervisin y evaluacin. Pero tambin hace uso de los diferentes tipos de conocimiento planteados, como lo comentamos antes, por Chi y sus colaboradores. 5.3.1.2 Mtodo metacomponencial Este mtodo heurstico tiene como marco general la Teora trirquica de Robert Sternberg, y parte de la premisa que los metacomponentes son procesos directivos que coordinan la seleccin de los componentes adecuados para enfrentar cada situacin. Por lo tanto son los primeros procesos a los que se ve sometido un problema. Entonces, los metacomponentes determinan el curso de accin y elaboran la estrategia, se seleccionan luego los componentes de realizacin que ejecutan la estrategia, posteriormente los componentes de adquisicin sistematizan en un conjunto de tipos de conocimientos especficos aquellos aprendizajes obtenidos durante la solucin del problema para convertir el anterior proceso en un esquema de solucin. Esta sistematizacin, o esquematizacin sirve como materia prima para la toma de decisiones cuando el solucionador se enfrenta a otra situacin problmica.

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PROBLEMA

TIPOS DE CONOCIMIENTO LINGSTICODECLARATIVO

METACOMPONENTES

COMPONENTES REALIZACIN

SEMNTICO

PROCEDIMENTAL COMPONENTES ADQUISICIN

ESTRATGICO

ESQUEMTICO

Activa a Producto del metacomponente Producto del componente de realizacin Producto de componente de adquisicin

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5.3.1.2.1 Metacomponentes La accin de los metacomponentes se da en cada uno de los elementos del problema: en la representacin, estrategia y en los algoritmos. Cada proceso directivo tiene entonces una funcin distinta para cada uno de estos elementos, pero en general su funcin es: Planificacin: identifica los elementos a relacionar, el propsito en cada momento de la solucin, el tipo de conocimiento requerido para obtener el elemento deseado, y el tipo de conocimiento que ser sistematizado. Supervisin: comparar resultados con respecto al plan. Evaluacin: verificar si el resultado est de acuerdo con el producto esperado en cada fase de la solucin, que la representacin no contenga datos irrelevantes o no est incompleta, que la estrategia concuerde con las posibilidades de relacin que se establecen entre datos y que los algoritmos estn de acuerdo a lo planteado en la estrategia. Su principal producto es el tipo de conocimiento estratgico, que consiste en saber cmo utilizar los diversos tipos de conocimiento disponible para resolver un problema dado y los diferentes mtodos heursticos. Permitiendo la seleccin de los componentes cuyos productos sean pertinentes segn la fase.

Componentes de realizacin Estos procesos, tambin llamados ejecutivos, se encargan de operacionalizar los productos de la accin de los metacomponentes. Actan con respecto a lo que fue identificado en el plan como relevante para la obtencin ya de la representacin, de la estrategia, o delos algoritmos. Estos resultados son los supervisados y evaluados por los procesos directivos. Estos procesos son de naturaleza diversa, pues se encargan de dotar al individuo de instrumentos necesarios para enfrentarse a diferentes tipos de tareas y ejecutarlas. Algunos ejemplos de estos componentes son: codificacin, inferencia, funcionalizacin y aplicacin. Cada componente permite al individuo llevar a cabo procesos distintos as la codificacin se encarga de reconfigurar un estmulo para lograr una representacin, o un nuevo estado; la inferencia es el componente que establece las relaciones entre dos eventos, vincula conceptos a travs de sus significados; el papel de la funcionalizacin es permitir establecer relaciones de orden superior, lo que indica que se establecen relaciones entre conceptos, y relaciones entre relaciones; mientras que la aplicacin permite utilizar una relacin inferida previamente. Sus productos, en este marco son: Producto de Codificacin: El conocimiento Lingstico, que es el conocimiento de la lengua en que est redactado el problema, adems es el conocimiento que nos permite

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llevar a diferentes representaciones el enunciado de un problema, es el encargado de la decodificacin y codificacin del problema. Producto de la inferencia: El conocimiento semntico es el conocimiento de los hechos del mundo tales como 120 minutos son dos horas o que los ros tienen corrientes que van arriba o ro abajo. Contextualiza los significados, de los conceptos bsicos en tanto se relaciona con el conocimiento del rea relevante al problema. Producto de la funcionalizacin: El Conocimiento declarativo en el que se establecen: principios, frmulas y conceptos. Es decir es el conocimiento de objetos y hechos. Tambin nombrada como memoria declarativa, la cual incluye el conocimiento sensorial. El conocimiento declarativo es esencial tanto para interpretar al mundo externo como tambin para ubicar su propio yo en contexto. Producto de la aplicacin: Conocimiento procedimental que es el conocimiento de los algoritmos necesarios para resolver el problema. Es el conocimiento acerca de las operaciones o acciones necesarias para resolver un tipo de problema en particular. Conocimiento de procedimientos consiste en conocimiento de cmo se deben hacer las cosas. Este es un trozo de nuestra memoria donde por ejemplo se guardan los movimientos reptantes y los de tocar las teclas del piano, junto con todo otro movimiento muscular voluntario y tiene que ver con la sistematizacin de procesos tanto fsicos como mentales. Componentes de adquisicin La accin de estos procesos consiste en la sistematizacin, en forma de tipos de conocimiento, de los resultados obtenidos son entonces los encargados de reconfigurar la estructura cognitiva luego de la resolucin de un problema. Estos componentes en general se encargan de seleccionar la informacin identificando lo ms general de lo puramente anecdtico e incidental, establece relaciones significativas entre los elementos de una estructura y relaciona los conocimientos nuevos con los que se encontraban previamente en la estructura del individuo. Estos procesos se llaman Codificacin, combinacin y comparacin selectivas. En el marco del mtodo heurstico Metacomponencial los productos son todos los tipos de conocimiento reconfigurados, luego de la exposicin a la situacin problmica. Pero el producto agregado de esta exposicin es el tipo de conocimiento esquemtico. El conocimiento esquemtico es el conocimiento sobre los tipos de problema y sus esquemas de solucin, este conocimiento permite al individuo establecer programas de solucin que podr aplicar cuando se enfrente a una situacin problmica similar. Siguiendo en la ruta del planteamiento de Poggioli y de Carretero y Pozzo en lo que toca a las diferencias entre solucionadores eficientes y no eficientes, o expertos y novatos, efectuar el anterior proceso de manera conciente facilita la jerarquizacin de los conceptos que constituyen la estructura cognitiva hacindola mucho ms eficiente y organizada.

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5.3.2 Mtodo metacomponencial y Representacin Sobre la representacin Con frecuencia la palabra representacin se liga con palabras como modelo, cdigo, esquema, mapa, entre otros; sin embargo muchos autores como Angel River consideran que esta impresicin es causante de la dificultad para establecer modelos de anlisis de los diferentes tipos de representacin y sus implicaciones. Ferrater Mora por ejemplo define representacin como un vocablo que se refiere a diferentes tipos de aprehensin de un objeto, indica tambin que el trmino es en varios sentidos ambiguo, en el sentido psicolgico, en tanto las representaciones pueden ser percepciones, recuerdos, alucinaciones, reproducciones mentales de la experiencia, entre otras; en el sentido epistemolgico puede entenderse como el producto del acto de representar o como un acto subjetivo. El mismo River presenta tres planos en los que el concepto de representacin vara su significado, uno fenomnico que concibe las representaciones como experiencias de la conciencia, uno cognitivo que las identifica como unidades funcionales del conocimiento, finalmente uno denominado mquina que la considera como una proyeccin de la estructura de la realidad en las estructuras del sistema nervioso y en sus funciones cognitivas. El plano fenomnico parte de la premisa que las imgenes se forman a partir de la experiencia fenomnica de la conciencia, es decir que se aprehende la realidad y se traduce en imgenes mentales cuya expresin son las representaciones. Lo que pone a la percepcin en un plano bastante privilegiado en la formacin de representaciones, sin embargo es claro que las imgenes producidas exclusivamente por la percepcin adolecen de elementos relacionales que son los que permiten que se efecten procesos superiores como el aprendizaje, son en este sentido imgenes incidentales y unidimensionales. Por su parte en el plano cognitivo identifica las imgenes como unidades relacionales propias del conocimiento, estas han sido consideradas tradicionalmente por el anlisis cognitivo, sus representaciones son las proposiciones. Esta posicin sin embargo plantea una dificultad, es que al plantear las representaciones desde el punto de vista simblico hace que en s todo lenguaje sea una representacin, hecho que dificulta an ms la limitacin del espacio de investigacin sobre las representaciones. El plano mquina propone una definicin en el sentido biolgico, ubica entonces las representaciones como respuestas de las estructuras neurales a los estmulos externos. En este sentido muestra tambin un campo que no colabora en nada a la limitacin conceptual de representacin, particularmente en la diferenciacin del tipo de representaciones que se dan en cada uno de los hemisferios cerebrales.

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Este mismo autor plantea que en trminos de los niveles de profundidad pueden identificarse niveles de representacin: Representacin verbal superficial, representacin verbal del significado, representacin profunda del significado, representacin verbal profunda de la estructura relacional. Sobre este punto regresaremos ms adelante, Por ahora nos referiremos a la nocin que manejaremos para efectos de nuestro trabajo. Pese a estas dificultades conceptuales, lo que queda claro es que cada postura vincula la representacin con un acto del pensamiento que redefine la realidad, en este sentido la representacin toma un carcter profundamente subjetivo, que vincula elementos de tipo cognitivo y no cognitivo. Consecuentemente, consideraremos que la representacin de un problema es la construccin de un modelo mental de sus componentes. Es entonces el producto del tipo de conocimiento lingstico que se refiere a la traduccin, a diferentes lenguajes, de las partes constitutivas del problema. As, como sealbamos anteriormente, diremos que este elemento consiste en la adaptacin de la informacin del problema a una forma ms sencilla de manejar, este ajuste implica el manejo de diferentes lenguajes en los que se puedan abstraer de manera eficiente los datos, las relaciones y las metas de un problema. Igualmente en lo que toca con la naturaleza multifactorial de la representacin, se integrar un basto conjunto de factores que tienen que ver con la estructura Cognitiva del individuo, con su conocimiento de otro tipo de formas de expresin.

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6. PROPUESTA DIDCTICA Como comentamos en otro apartado, la propuesta que se va a realizar tiene como objetivos impactar en la resolucin de problemas a travs de la medicacin de uno de los tipos de conocimiento requeridos en la solucin de problemas. Este trabajo surge de la preocupacin de los docentes del rea por los resultados obtenidos por nuestros nios en las pruebas de competencias del ao 2002. El tipo de conocimiento que se va a mediar es el lingstico, teniendo en cuenta que es el que se encarga de la decodificacin del problema. En este sentido coincidimos con Pozo, Sternberg y Poggioli en que una representacin efectiva aumenta la probabilidad de xito en la solucin de problemas o en trminos de Sternberg aumenta la latencia de la respuesta. Consecuente con el marco general que hemos planteado, hemos seleccionado el mtodo heurstico metacomponencial, en lo que se refiere a la representacin, los componentes que producen la traduccin y la reconfiguracin del texto del problema. A este respecto Sternberg plantea una reflexin alrededor de algunas posturas sobre modelos de representacin a la que acuden los sujetos cuando se enfrentan a problemas. La psicologa cognitiva ha identificado por lo menos tres modelos uno que se refiere al uso de proposiciones, otro que se refiere al uso de imgenes y otro que combina los dos tipos anteriores. Sternberg (1987) hace tambin este seguimiento a las distintas posturas que estudian la efectividad de los tipos de representacin, nombrndolas lingstica, espacial y lingstico-espacial. Revisa cmo estas posturas han tratado de probar el grado de efectividad de cada una de ellas. En cuanto a la representacin lingstica, el comenta que los sujetos buscan trabajar el problema a travs de la identificacin de proposiciones que condensen la informacin. La representacin espacial consiste en ubicar un trmino en el espacio conceptual multidimensional para cada trmino lo que correspondera a un diagrama relacional en el que se jerarquizan las categoras vinculadas en el problema. En el enfoque mixto, que considera el ms cercano a la realidad 7 sin demeritar las bondades de los otros modelos, plantea una combinacin de los dos tipos de representacin. La postura que ms se adecua a los objetivos de nuestra investigacin el la lingstico-espacial. En cuanto a los niveles de representacin adoptaremos los planteados por River: Representacin verbal superficial, representacin verbal del significado, representacin profunda del significado, representacin verbal profunda de la estructura relacional.

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Porque los coeficientes de correlacin que encontr para el uso de los modelos de representacin dieron significativamente ms altos que los de los otros modelos.

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6.1 METODOLOGIA La metodologa de la propuesta tiene como elementos:

1. Aplicacin de pruebas Competencias Secretara de educacin (Ye1 y Yc1 ). 2. Construccin y aplicacin de pruebas diagnsticas (tipos de conocimiento y una deltipo de conocimiento seleccionado para la investigacin , Ye2 , Yc2 , Ye3 y Yc3 ) 3. Construccin y desarrollo en clase de una gua pedaggica y talleres. 4. Mediacin pedaggica en a. Procesos directivos b. Contenidos Bsicos c. Representacin de problemas matemticos

5. Reaplicacin de pruebas (Ye4 , Yc4 , Ye5 y Yc5 )6. Anlisis estadstico de las pruebas 7. Discusin de Resultados 8. Conclusiones

6.1.2 Clasificacin de la investigacin El tipo de investigacin de la didctica es aplicada porque tiene como finalidad primordial la resolucin de problemas prcticos inmediatos en orden a transformar las condiciones del acto didctico y a mejorar la calidad educativa. Es una Investigacin experimental, pues tratar de estudiar las relaciones de causalidad utilizando la metodologa experimental con la finalidad de control de los fenmenos. Se fundamenta en la manipulacin activa y el control sistemtico. Adems es experimental porque introduciremos cambios deliberados con el fin de observar los efectos que producen. Dado que media un tiempo entre los cambios introducidos y los efectos observados se considera orientada al futuro. Es una Investigacin cuantitativa pues trata fundamentalmente en los aspectos observables y susceptibles de cuantificacin de los fenmenos educativos, utiliza la metodologa emprico-analtica y se sirve de pruebas estadsticas para el anlisis de datos. Es una Investigacin nomottica porque pretende establecer las leyes generales por las que se rigen los fenmenos educativos, orientndose hacia explicaciones generales. Utiliza la metodologa emprico-analtica y se apoya bsicamente en la experimentacin.

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De Variable independiente (VI). Es la caracterstica que el investigador observa o manipula deliberadamente para conocer su relacin con la variable dependiente. La VI es la situacin antecedente de un efecto; responde a la idea de causa, si bien en educacin resulta ms propio hablar de relacin. A veces se te denomina con los nombres de estmulo, experimental o tratamiento. La didctica emplear un Diseo de grupo control no equivalente, es decir para la construccin del diseo se utilizan dos grupos a los que se les aplica la variable independiente (la intervencin o tratamiento) y de uno o varios grupos de control (que no reciben la intervencin o tratamiento). En unos u otros grupos se realizan medidas pre y postratamiento. Grupos Asignacin Secuencia de registro

Pre t e s t 1 Experimental A Conceptual a Ye1

Pretest 2

Pre test 3

Tratamiento

Post test 2

Postest 3

Ye2

Ye3

Implementacin Ye4 del mtodo metacomponencial, para la mediacin de la representacin de problemas matemticos

Ye5

Control Conceptual alfa

A

Yc1

Yc2

Yc3

---

Yc4

Yc5

1. El nmero de grupos: 2. Grupo experimental (GE) Conceptual A y grupo control (GC) conceptual Alfa. 2. La variable de asignacin: variable aleatoria (A). 3. Secuencia de tratamiento seguida, donde (Y) representa las observaciones o medidas tomadas antes (pre) o despus (post) del tratamiento. El subndice de (Y) indica el orden de registro y el grupo al que pertenecen. Las (--) representan ausencia de tratamiento.

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6.2 PRUEBAS Solucin de problemas La prueba que usamos para este fin fue la prueba de