131052855 Ejercicios de Inecuaciones

1

INECUACIONES

1) Inecuaciones de primer grado

a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8

b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8

c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x – 5

d) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12

e) 1 - x - 5 < 9 + x 9

f) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15

g) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5+x

ii) 6

2+x

iii) 112

−−

xx

2) Inecuaciones de segundo grado a) x2 ≥ 16 b) 9x2 < 25 c) 36 > ( x - 1) 2 d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) f) x2 - 3x > 3x - 9 g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) j) 3 > x ( 2x + 1) k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) l) ( x - 2 ) 2 > 0 m) ( x - 2)2 ≥ 0 n) ( x - 2)2 < 0 o) ( x - 2)2 ≤ 0 3) Inecuaciones fraccionarias

a) 01>

−xx

b) 03

6<

−+

xx

c) 025

≥−−xx

2

d) 2512>

+−

xx

e) 251>

+−

xx

f) 03

1≤

−x

g) 011≥

+−

xx

h) 21>

−x

i) 13 +

≤− x

xx

x

j) xxx

>++

322

k) 13

2

+≥−

xxx

l) 0642

≥+−

xx

m) 0)3)(6)(1(

)7)(1(>

+−−−+

xxxxx

3

SOLUCIONES EJERCICIOS DE INECUACIONES

1) Inecuaciones de primer grado a) ( x - 2 )2 > (x + 2)⋅ ( x - 2) + 8 R. ] - ∞ , 0 [ b) ( x - 1 )2 < x ( x - 4) + 8 R. ] - ∞ , 7/2 [ c) 3 - ( x - 6) ≤ 4x - 5 R. [ 14/5 , + ∞ [ e) 3x - 5 - x - 6 < 1 4 12

R. ] - ∞ , 21/8 [

e) 1 - x - 5 < 9 + x 9

R. ] -67/10 , + ∞ [

f) x + 6 - x + 6 ≤ x . 3 15

R. [ 120/11 , +∞ [

h) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada

expresión represente un número real.

i) 5+x R. [ -5 , +∞ [

iv) 6

2+x

R. ] - 6 , +∞ [

v) 112

−−

xx

R. [ - 1 , 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [

2) Inecuaciones de segundo grado

a) x2 ≥ 16 R. IR - ] -4 , 4[ b) 9x2 < 25 R. ] - 5/3 , 5/3 [ c) 36 > ( x - 1) 2 R. ] - 5 , 7 [ d) (x + 5)2 ≤ ( x + 4 ) 2 + ( x - 3 )2 R. IR - ] 0 , 8 [ e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6) R. ] - 2 , 6 [ f) x2 - 3x > 3x - 9 R. IR - 3 g) 4 ( x - 1) > x2 + 9 R. ∅ h) 2x2 + 25 ≤ x ( x + 10 ) R. 5 i) 1 - 2x ≤ (x + 5)2 - 2(x + 1) R. IR j) 3 > x ( 2x + 1) R. ] -3/2 , 1 [ k) x ( x + 1) ≥ 15(1 - x2 ) R. IR - ] -1 , 15/16 [ l) ( x - 2 ) 2 > 0 R. IR - 2 m) ( x - 2)2 ≥ 0 R. IR n) ( x - 2)2 < 0 R. ∅ o) ( x - 2)2 ≤ 0 R. 2

3) Inecuaciones fraccionarias

a) 01>

−xx

R. IR - [ 0 , 1 ]

b) 03

6<

−+

xx

R. IR - [ -6 , 3 ]

c) 025

≥−−xx

R. [ 5 , 10 ]

d) 2512>

+−

xx R. ] - ∞ , -5 [

e) 251>

+−

xx

R. ] -11 , -5 [

f) 03

1≤

−x R. ] - ∞ , 3 [

4

g) 011≥

+−

xx

R. IR - [ -1 , 1 [

h) 21>

−x

R. ] - 1/2 , 0 [

i) 13 +

≤− x

xx

x R. ] - ∞ , -1 [ ∪ [ 0. 5[

j) xxx

>++

322

R. IR - [ - 2/3 , 3 ]

k) 13

2

+≥−

xxx

R. IR - ]-3/2 , 3 ]

l) 0642

≥+−

xx

R. ] - 6, -2 ] ∪ [ 2 , +∞ [

Ecuaciones e Inecuaciones. 83 Ejercicios para practicar con soluciones

1 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:a) 03613xx 24 =+−b) 02526xx 24 =+−

Solución:a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación: z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5

2 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 01x2 =−b) 06xx2 =−+c) 0209xx2 =+−d) 076xx2 =−−

Solución:a) x = 1 y x = -1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 4 y x = 5 d) x = -1 y x = 7

3 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:a) 2x + 4 = x + 6b)x + 2x + 3x = 5x + 1c) x + 51 = 15x + 9d) -x + 1 = 2x + 4

Solución:a) x = 2; b) x = 1; c) x = 3; d) x = -1

4 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:a) 5x + 10 = 12x - 4b) 4x + 2 - 2x = 8xc) 6x - 9x = 18 - 27d) 2 + 4x - 15 = - 13x + 4

Solución:a) x = 2; b) x = 1/3; c) x = 3; d) x = 1

5 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:a) 2(x - 3) + 3(x - 1) = 1b) 4x + 2(x - 1) - 3(x - 2) = 13c) (1 - x) + 2(2x + 3) = 4d) x + 2x + 3x = 5(1 - x) + 6

1

Solución:a) x = 2; b) x = 3; c) x = -1; d) x = 1.

6 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 106x2 =+

b) 167x4 =+

Solución:a) Se aísla el radical: 4x2 =

Se simplifica: 2x =Se eleva al cuadrado: x = 2b) Se simplifica: 47x =+Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16Se opera: x = 9

7 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 16105x22x =++

b) 6xx =−

Solución:a) Simplificando: x810x5 −=+Elevando al cuadrado: 5x + 10 = 64 - 16x + x2

Operando: x2 - 21x + 54 = 0; ⇒ x = 3 y x = 18; Solución válida: x = 3b) Aislando el radical: x6x −=−Elevando al cuadrado: x = 36 - 12x + x2

Operando: x2 - 13x + 36 = 0 ⇒ x = 9 y x = 4; Solución válida. x = 9

8 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 045xx2 =++

b) 065xx2 =++

c) 065xx2 =+−

d) 076xx2 =−+

Solución:a) x = -1 y x = -4; b) x = -2 y x = -3; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1

9 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:a) 045xx 24 =+−

b) 014425xx 24 =+−

Solución:a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 5z + 4 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 4.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = 1; x = - 1; x = - 2 y x = 2b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 25z + 144 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 16.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = - 3; x = 3; x = - 4 y x = 4

2

10 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 02410xx2 =+−

b) 09x2 =−

c) 04x2 =−

d) 023xx2 =+−

Solución:a) x = 4 y x = 6; b) x = -3 y x = 3; c) x = -2 y x = 2; d) x = 1 y x = 2

11 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:a) 03613xx 24 =+−

b) 02526xx 24 =+−

c) 0209xx 24 =+−

Solución:a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación: z2 - 13z + 36 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 9.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -3 y x = 3b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 26z + 25 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 25.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = - 5 y x = 5c) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 9z + 20 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 5.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = - 5 y x = 5

12 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 106x2 =+

b) 167x4 =+

c) xx5x −=−

Solución:a) Se aísla el radical: 4x2 =

Se simplifica: 2x =Se eleva al cuadrado: x = 2b) Se simplifica: 47x =+Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16Se opera: x = 9c) Se opera: xx4 −=−Se eleva al cuadrado: 16x = x2

Se opera: x2 - 16x = 0 ⇒ x = 0 y x = 16

3

13 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 34x

64x

32x

=+−

b) 20

53x54x

253x +

=−−

c) 21

1210x6

142x14

210x3

226x −−

−=

−−

−

d) 53

x)2(14

1)2(x=

−−−

−

Solución:a) Multiplicando por 12 queda: 8x - 8x + 3x = 36; x = 12b) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5c) Multiplicando por 42 queda: 84x - 308 - 30x + 6 = 14x - 98 - 20x + 24; x = 19/5d) Multiplicando por 12 queda: 6x - 6 + 8 - 8x = 60; x = - 29

14 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:a) 10(20 - x) = 8(2x - 1)

b) 76

5x4

3x321

2x

=+−−

c) 20

53x54x

253x +

=−−

d) 5

155x3

2x114x40 +−=

−−+

Solución:a) x = 8b) Multiplicando por 12 queda: 6x - 84 - 9x + 10x = 84; x = 24c) Multiplicando por 20 queda: 30x - 50 - 16x = 3x - 5; x = 5d) Multiplicando por 15 queda: 200 + 70x - 5 - 10x = - 15x + 45; x = - 2

15 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 24x4x2482x72 −=+−++

b) 167x4 =+

c) 128xx212 −=−

Solución:a) Se simplifica: 41x4x12 −=+−Se eleva al cuadrado: 144(x + 4) = x2 - 82x + 1681Operando: x2 - 226x + 1105 = 0 ⇒ x = 5 y x = 221; Solución válida, x = 5b) Se simplifica: 47x =+Se eleva al cuadrado: x + 7 = 16Se opera: x = 9c) Se simplifica: 192xx16 −=−Se eleva al cuadrado: 256x = x2 + 36864 - 384xOperando: x2 - 640x + 36864 = 0; ⇒ x = 64 y x = 576; Solución válida, x = 64

4

16 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 01617xx 24 =+−b) 022534xx 24 =+−c) 024x10xx 234 =+−

Solución:a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 17z + 16 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 16.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -4 y x = 4b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 34z + 225 = 0; cuyas soluciones son: z = 9 y z = 25.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -3; x = 3; x = -5 y x = 5c) Sacando factor común, queda la ecuación:x2 ·(x2 - 10x + 24) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 0, x = 4 y x = 6.

17 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 109x10x2 +=+b) 01412x2x2 =+−c) 125xx125x2x 22 −+=+−d) 6x32x 22 −=−

Solución:a) x = 4 y x = 5; b) x = -1 y x = 7; c) x = 4 y x = 6; d) x = -3 y x = 3

18 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 0910xx 24 =+−b) 010029xx 24 =+−c) 048x20x2x 23 =+−

Solución:a) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 - 10z + 9 = 0; cuyas soluciones son: z = 1 y z = 9.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -1; x = 1; x = -3 y x = 3b) Realizando el cambio de variable: x2 = z queda la ecuación:z2 -29z + 100 = 0; cuyas soluciones son: z = 4 y z = 25.Calculando las raíces cuadradas de las soluciones obtenidas queda: x = -2; x = 2; x = -5 y x = 5c) Sacando factor común, queda la ecuación:x·(2x2 -20x + 48) = 0; cuyas soluciones son: x = 0, x = 4 y x = 6.

19 Preguntado un padre por la edad de su hijo contesta: “el producto de su edad hace 6 años por el de suedad hace 4 años es mi edad actual que son 48 años. Calcula la edad del hijo.

Solución:Se plantea la ecuación, “x” es la edad del hijo: (x - 6) · (x - 4) = 48Operando: x2 - 10x - 24 = 0Soluciones: x = 12 y x = -1. La solución válida es 12 años.

20 Preguntado un padre por la edad de sus tres hijos contesta: mis hijos se llevan cada uno un año con elsiguiente, si sumamos sus edades se obtienen 9 años más que si sumamos las edades de los dos máspequeños.

5

Solución:Se plantea la ecuación: edad del más pequeño “x” entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 9 + x + (x + 1)Operando: x = 7 años, x + 1 = 8 años y x + 2 = 9 años.

21 La raíz cuadrada de un número al que hemos añadido 6 unidades es igual a ese mismo número si lerestamos 6 unidades. Averigua de que número se trata.

Solución:Se plantea el problema: 6x6x −=+Elevando al cuadrado: x + 6 = x2 + 36 - 12xOperando: x2 - 13x + 30 = 0; ⇒ x = 10 y x = 3; Solución válida, x = 10

22 Un alumno pregunta al profesor: “¡Profe!, ¿cuántos alumnos se presentan a la recuperación dematemáticas?” A lo que el profesor responde: “Si restamos 72 al producto del número de alumnos que sepresentan menos 6 por el numero de alumnos que se presentan menos 7, obtendríamos el número dealumnos que se debería presentar que es cero”.

Solución:Se plantea el problema, “x” es el número de alumnos que se presenta a la recuperación: (x - 6) · (x - 7) - 72 = 0Operando: x2 - 13x - 30 = 0Las soluciones son: x = -2 y x = 15. La solución válida es 15 alumnos.

23 Resuelve las siguientes ecuaciones:a) 4x32x 22 +=+b) 33xx2 =−+c) 32xx33x2x 22 −+=+−d) 3x73xx2 −=−+

Solución:a) x = -1 y x = 1; b) x = -3 y x = 2; c) x = 2 y x = 3; d) x = -7 y x = 1

24 Irene pregunta a Enrique: ¿cuántos litros de combustible caben en el depósito de tu coche? A lo queEnrique contesta: Si a la mitad del contenido de mi depósito le echas 25 litros queda igual de lleno que si ala quinta parte del depósito le echas 40 litros.

Solución:

Se plantea la ecuación: 405x25

2x

+=+

Operando: x = 50 litros.

25 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, aplicando el método que quieras.

a) ⎭⎬⎫

=+=+

142y4x104y2x

b) ⎭⎬⎫

−=−−=+

1yx53y2x

Solución:a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3

6

26 En una frutería se venden peras de 1ª a 1,9 Euros/kg y de 2ª a 1,2 Euros/kg. Si en el transcurso del día sehan vendido 140 kg de peras con una recaudación total de 227,5 Euros. ¿Cuántos kilogramos de cada clasese han vendido?

Solución:Planteamos el problema: x= kg de primera; y = kg de segunda

⎭⎬⎫

=+=+

227,5y1,2x1,9140yx

Soluciones x = 85; y = 55


a) ⎭⎬⎫

=+−=+

24y2x52yx

b) ⎭⎬⎫

=+−−=−

82yx122y3x

Solución:a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3


a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=−

32y3x

24y2x b)

⎭⎬⎫

=+=+1yx13y4x

Solución:a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3


a) ⎭⎬⎫

=+=+

7y2x104y2x

b) ⎭⎬⎫

=+=+1yx13y4x

Solución:a) x = 3; y = 1 b) x = -2; y = 3

30 En una tienda se venden pantalones originales de la marca Jorge's a 85 Euros y los de imitación a 32Euros. En el transcurso de la semana se han vendido 43 pantalones, recaudando 2860 Euros. ¿Cuántospantalones de cada clase se vendieron?

Solución:Planteamos el problema: x = pantalones auténticos; y = pantalones de imitación

⎭⎬⎫

=+=+

2860y32x8543yx

Soluciones x = 28; y = 15


a) ⎭⎬⎫

=+=+

7y2x104y2x

b) ⎭⎬⎫

−=−=+−

4y4x7yx

Solución:a) x = 3; y = 1 b) x = 1; y = 8

7

32 El doble de la edad de Ana es igual al triple de la de su hermana pequeña. Hace cuatro años la edad de Anaera el doble de la de su hermana. ¿Cuántos años tiene cada una?

Solución:Planteamos el problema: x = edad de Ana; y = edad de la hermana

⎭⎬⎫

−==

⎭⎬⎫

−=−=

4y2x-0y3x-2

4)2(y4x

y3x2Soluciones: x = 12; y = 8

33 Resuelve los siguientes sistemas no lineales:

a) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−

+=

0yx

x1

2xy b)

( )( )⎭⎬⎫

=−=−+

04y3x7yxyx

Solución:a) x = -1, y = 1; x = 2, y = 4 b) x = -4, y = -3; x = 4, y = 3


a) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=+

5yx

1xy-yx b)

⎪⎭

⎪⎬⎫

=−

=−

72yx305y3x

22

22

Solución:a) x = 1, y = 4 b) x = -5, y = -3; x = -5, y = 3; x = 5, y = -3; x = 5, y = 3

35 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.

a) ⎭⎬⎫

=+=+

7y2x52yx

b) ⎭⎬⎫

=+=+

9y10x18yx

Solución:a) Igualación:

3 x1; y y;y4710

;2

y7y25 2

y7x

y25x

==⇒−=−

−=−

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−=

Reducción:( )

3 x1; y 3- y 3-

7yx2-10y4x-2-

7yx2

5y2x2

==⇒=

=+=

⎭⎬⎫

=+=+⋅−

b) Igualación:

19 y-1; x 18;-9 xx-10

x10-9x-18 x109y

x18y

==⇒=

=⎭⎬⎫

−=−=

Reducción:( )

19 y-1; x -9x 9

9yx1018yx

9yx10

18yx

==⇒=

=+−=−−

⎭⎬⎫

=+=+−

8

36 Enrique invierte sus 30000 Euros en 2 bancos. En el banco del Teide le dan el 7% de beneficios y en CajaEuropa el 3%.Teniendo en cuenta que recibió por su dinero 1780 Euros de beneficios. ¿Cuánto dinerocolocó en cada banco?

Solución:Plantemos el problema: x = dinero en Banco del Teide, y = dinero en Caja Europa

⎭⎬⎫

=+=+

1780y0,03x0,0730000yx

Soluciones, x = 22000; y = 8000

37 Resuelve los siguientes sistemas por igualación y reducción.

a) ⎭⎬⎫

=+=+

9y10x18yx

b)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=−

=+

65y4x352y2x

Solución:a) Igualación:

19 y-1; x 18;-9 xx-10

x10-9x-18 x109y

x18y

==⇒=

=⎭⎬⎫

−=−=

Reducción:( )

19 y -1 x-9;x 9

9yx10-18yx--

9yx10

18yx

=⇒==

=+=

⎭⎬⎫

=+=+−

b) Igualación:

21 y;

31 x10;x30

6x245

6x6-5

x465y

2

x235

y

===

+−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+−=

−=

Reducción:

21 y ;

31

6020 x;

620x 10

610y2x-86

10y2x2

65yx42

35y2x2

====

=

=+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−⋅

=+

38 Una calculadora y un reloj cuestan 115 Euros. En las calculadoras se está haciendo un descuento del 20%y en los relojes del 10%. Pagando de este modo solo101,5 Euros. ¿Cuál es el precio de cada objeto?

9

Solución:Planteamos el problema: x = precio de la calculadora; y = precio del reloj

101,5y0,9x0,8

115yx

⎭⎬⎫

=+=+

Soluciones: x = 20; y = 95


a) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+

−=

4yx

x3

2xy b)

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

35

yx

15xy

Solución:

a) x = 3, y = 1; x = 32 , y =

34

− b) x = -5, y = -3; x = 5, y = 3

40 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución y reducción.

a) ⎭⎬⎫

=+=+

7y2x52yx

b) ⎭⎬⎫

=+=+

7y2x104y2x

Solución:a) Sustitución:

3x 1 y-3;y3- 7;yy4107yy)2-2(5

y2-5x

7yx25y2x

=⇒===+−

=+=

⎭⎬⎫

=+=+

Reducción( )

3 x1; y 3- y 3-

7yx2-10y4x-2-

7yx2

5y2x2

==⇒=

=+=

⎭⎬⎫

=+=+⋅−

b) Sustitución

1 y 3 x-18;x6- 10;x828x210x)2-4(7x2

x2-7y

7yx210y4x2

=⇒===−+

=+=

⎭⎬⎫

=+=+

Reducción:( )

3 x1; y -3y3-

7yx2-10y4x-2-

7yx210y4x2

==⇒=

=+=

⎭⎬⎫

=+=+−

41 Resuelve el siguiente sistema no lineal:

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−

=++

++−

y1y2xx

31y3y

1x12x

Solución:

133 y,

132 x1; y2,x −====

10

42 Resuelve el siguiente sistema no lineal:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=−−

=++

41xyyx

43xyyx

22

22

Solución:

21 y,

21 x1; y,

21 x1; y,

21 x;

21 y,

21x ==−===−=−=−=

43 Resuelve los siguientes sistemas por sustitución e igualación.

a) ⎭⎬⎫

=+=+

142y4x104y2x

b) ⎭⎬⎫

=+=+1yx13y4x

Solución:a) Sustitución:

3 x 1 y-6;y6- 14;y2y820

14y22

y4-104

2y4-10x

14y2x410y4x2

=⇒===+−

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅

=

⎭⎬⎫

=+=+

Igualación:

3 x 1 y-6;y6- y;214y820

4y214

2y410

4y214x

2y410x

=⇒==−=−

−=

−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=

b) Sustitución:

-2 x 3 y-3;y- 1;y3y441y3y)-4(1

y-1 x

1yx1y3x4

=⇒===+−

=+=

⎭⎬⎫

=+=+

Igualación:

-23-1 x 3 yy;44y31

y14

y3-1 y1x

4y31x

==⇒=−=−

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

−=

44 Con dos clases de café de 9 Euros/kg y 12 Euros/kg se quiere obtener una mezcla de 10 Euros/kg. Halla lacantidad que hay que mezclar de cada clase para obtener 30 kg de mezcla.

Solución:Planteamos el problema: x = kilo de la clase más barata; y = kg de la clase más cara.

30yx

300y12x9

⎭⎬⎫

=+=+

Soluciones: x = 20; y = 10

11

45 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 2x + 4 > x +6b) - x + 1 < 2x + 4c) x + 51 > 15x + 9

Solución:a) x < 2 b) x > -1 c) x < 4

46 Encuentra los números cuyo cuádruplo no sobrepasa a su triple más 40.

Solución:Se plantea la inecuación:4x < 3x + 40; x < 40

47 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 2x + 4 > x +6b) - x + 1 > 2x + 4c) 5x + 10 < 12x - 4

Solución:a) x > 2 b) x < - 1 c) x > 2

48 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 44x3x2 +−< b) ( )( ) 03x84x <+−

Solución:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−322, b) ( )3,2−

49 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 22x4x2 <− b) 016x5x2 ≥+−

Solución:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− ,121 b) [ )+∞∪⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛ ∞− 1,51,

50 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) ( )( ) 012x1x ≥++ b) 03xx2 <+−−

Solución:

a) ( ] ⎟⎠

⎞⎢⎣

⎡ +∞−∪−∞− ,211, b) ( ) ( )+∞∪−∞− 1,2,

51 Encuentra los números cuyo triple menos 20 unidades es menor que su doble más 40.

Solución:Se plantea la inecuación:3x - 20 < 2x + 40; x < 60

12

52 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x + 2x + 3x < 5x + 1b) 5x + 10 > 12x - 4c) 4x + 2 - 2x < 8x

Solución:a) x < 1 b) x < 2 c) x > 1/3

53 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) x + 2x + 3x > 5x + 1b) 5x + 10 < 12x - 4c) 4x + 2 - 2x > 8x

Solución:a) x > 1 b) x > 2 c) x < 1/3

54 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 2x + 4 < x +6b) - x + 1 > 2x + 4c) x + 51 < 15x + 9

Solución:a) x > 2 b) x < -1 c) x > 4

55 Una empresa de mantenimiento de ascensores cobra 100 Euros al trimestre más 15 Euros por visita. Otraempresa del sector cobra 400 Euros fijos al trimestre y no cobra las visitas. ¿En que condiciones convieneelegir una u otra empresa?

Solución:Se plantea la inecuación: “x” es el número de visitas100 + 15x < 400; x < 20Para menos de 20 visitas al trimestre es más barata la tarifa de la empresa que cobra 100 fijo + 15 visita.

56 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 2(x - 3) > 1 - 3(x - 1)b) 10(20 - x) < 8(2x - 1)c) 2(1 - x) - 4 > 2(x + 3)

Solución:a) x > 2 b) x > 8 c) x > -2

57 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:

25x

33x

41x −

−+

<−

13

Solución:Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:3(x - 1) < 4(x + 3) - 6(x - 5)Se quitan los paréntesis:3x - 3 < 4x + 12 - 6x + 30Se trasponen términos:3x - 4x + 6x < 3 + 12 + 30Se opera en cada miembro:5x < 45Se divide por cinco:x < 9

58 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 09x2 <− b) ( )( ) 06x2x ≤−+−

Solución:a) ( )3,3− b) [ ]2,6−

59 A un vendedor de coches le ofrecen en un concesionario 1000 Euros de sueldo fijo más 200 Euros porcoche vendido. En otro concesionario le ofrecen 1800 Euros de fijo más 110 Euros por coche vendido. Sivende una media de 132 coches al año, ¿Qué oferta debe coger?

Solución:

Calculamos el número de coches que vende al mes: 1112

132=

Se plantea la inecuación calculando cuando es menor el ingreso en uno de los concesionarios, en este caso en elprimero: “x” es el número de coches1000 + 200x < 1800 +110x; x < 8,9 ≈ 9cochesEl segundo concesionario (1800 de fijo más 110 de comisión) es mejor oferta si se venden menos de 9 coches,como el vendedor tiene una media de 11 coches debe coger la oferta del primer concesionario.

60 Un vendedor de seguros tiene dos opciones de sueldo, debe elegir entre un fijo de 800 Euros más 80 Eurospor póliza o cobrar 150 Euros de comisión pura (sin fijo) por póliza. ¿A partir de que cantidad de pólizas esmás rentable la opción de comisión pura?

Solución:Se plantea la inecuación: “x” es el número de pólizas800 + 80x < 150x; x >11,4A partir de 12 pólizas es más rentable la comisión pura.

61 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 2(x - 3) < 1 - 3(x - 1)b) 10(20 - x) > 8(2x - 1)c) 2(1 - x) - 4 < 2(x + 3)

Solución:a) x < 2 b) x < 8 c) x < -2

62 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 132xx2 −≤++ b) ( )( ) 04x5x ≥−+

14

Solución:a) R b) ( ] [ )+∞∪−∞− 4,5,

63 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 034x4x2 <++ b) ( )( ) 06x1x ≤−−

Solución:a) R b) [ ]1,6

64 Resuelve las siguientes inecuaciones:a) ( ) 2x23x x −>+ b) ( )( ) 01x1x ≥−+

Solución:

a) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞∪−∞− ,212, b) ( ] [ )+∞∪−∞− 1,1,

65 Un padre y su hijo se llevan 25 años. Encuentra el periodo de sus vidas en que la edad del padre excede enmás de 5 años al doble de la edad del hijo.

Solución:Se plantea la ecuación: “x” edad del hijo, “25 + x” edad del padre.25 + x > 5 + 2x; x < 20Mientras la edad del hijo sea menor de 20 años.

66 Resuelve la siguiente inecuación ordenadamente, explicando todos los pasos que realizas:

1237

33x1

42x34x −

−>

−+−

Solución:Multiplicamos por 12 que es el m.c.m. de los denominadores para que desaparezcan:-48x + 9 - 6x > 4 - 12x - 37

Se trasponen términos:-48x - 6x +12x > 4 - 37 - 9

Se opera en cada miembro-42x > - 42

Se divide por -42 cada miembro y se cambia el sentido de la desigualdad: x < 1

67 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) ( ) 01x32x

>+−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + b) 032xx2 ≥−−

Solución:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− ,123 b) ( ] [ )+∞∪−∞− 3,1,

15

68 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) ⎩⎨⎧

−≥−<+

713x622x

b) ⎩⎨⎧

≤≥−

102x02x

Solución:a) [ )2,2− b) [ ]2,5


a) ⎩⎨⎧

<++>+3x-25x

9x13x b)

⎩⎨⎧

−>−<−

54x062x

Solución:a) Ø b) ( )1,3−

70 Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones:

a) ⎩⎨⎧

<>+

0y-x0yx

b) ⎩⎨⎧

≤+≤+

0yx-4yx

Solución:a) b)


a) ⎩⎨⎧

≤+≥−

2yx3yx

b) ⎩⎨⎧

<+≥−1yx52yx

16

Solución:a) b)


a) ⎩⎨⎧

<<

3-3x2x-16-12x-5

b) ⎩⎨⎧

<−>−

1x-5723x

Solución:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ,175

19 b) ( )+∞4,


a) ⎩⎨⎧

>+<26x13-4x

b) ⎩⎨⎧

<+>−

015x032x

c) ⎩⎨⎧

−<++<−

54x32x-14x43x

Solución:

a) ( )4,1− b) Ø c) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +∞,34


a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>+

3x-11-2x23-x12x b)

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

−<

5x-25-4x

1x23

31-x

Solución:

a) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−52,

25 b) Ø


a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−>−

−≤+

5213x

25x56x b)

⎩⎨⎧

−>−<+

21x21x

17



a) ⎩⎨⎧

−≥+−≥+

1yx-1y2x

b) ⎩⎨⎧

>+>+

1y2x-0yx

Solución:a) b)


⎩⎨⎧

<+>+

015-6y3x03-2yx

Solución:


a) ⎩⎨⎧

−≥+≤

13yx-4y-2x

b) ⎩⎨⎧

≤+≥+1yx22yx

18

Solución:a) b)


a) ⎩⎨⎧

≥≤

-32x-15-4xx-6

b) ⎩⎨⎧

−>−<−

54x062x


80 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>−

−>−

385x54x

29x1578x

Solución:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛37,

2529

81 Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+<+

+>+

212x3

38x

34x525x

Solución:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ,305

13


a) ⎩⎨⎧

>+≤+

03-yx3yx-

b) ⎩⎨⎧

<+>

010-5y3x6y-2x

19

Solución:a) b)


a) ⎩⎨⎧

≥+−≤

612x5-x15-2x

b) ⎩⎨⎧

−>−+−>−

3x4x102x102x

Solución:a) ( ],6∞− b) ( )4,10

20

EJERCICIOS DE INECUACIONES

REPASO DE DESIGUALDADES :

1. Dadas las siguientes desigualdades, indicar si son V o F utilizando la recta real. Caso de ser inecuaciones, indicar además la solución mediante la recta IR y mediante intervalos:

a) 4>-3

b) 5<-6

c) 4≥6

d) 3<3

e) 3≤3

f) x>0

g) x≤-3

h) 2x<8

2. Razonar, operando, que la desigualdad 4

1

12

5

9

1−≥− es falsa. Comprobarlo con la calculadora.

3. Dada la inecuación 2x>5, estudiar si los siguientes números pueden ser solución: x=-1, x=0, x=1, x=2, x= 3, x=4, x=5/2. Indicar, a continuación, su solución general.

INECUACIONES DE 1er GRADO:

4. Dada la inecuación 3x+1>x+5 se pide, por este orden:

a) Comprobar si son posibles las soluciones x=5, x=0, x=-1

b) Resolverla y dibujar en la recta real la solución.

5. Resolver las siguientes inecuaciones simples:

a) 7x≤14

b) -2x>6

c) 3x≤-9

d) -5x≥-15

e) 10≤5x

f) -14≥7x

g) 20≤-20x (Sol: x≤-1)

h) -11<-11x (Sol: x<1)

i) -5x≥5 (Sol: x≤-1)

j) 3x<-3 (Sol: x≤-1)

k) -2<-2x (Sol: x≤1)

l) -7x≤-7 (Sol: x≥1)

6. Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real:

a) 2x+6≤14 (Sol: x≤4)

b) 3x-4≥8 (Sol: x≥4)

c) 4x+7≤35 (Sol: x≤7)

d) 3x+5<x+13 (Sol: x<4)

e) 5-3x≥-3 (Sol: x≤8/3)

f) 4-2x≥x-5 (Sol: x≤3)

g) 5+3x<4-x (Sol: x<-1/4)

h) 2x-3>4-2x (Sol: x>7/4)

i) 6x-3<4x+7 (Sol: x<5)

j) 3x-1<-2x+4 (Sol: x<1)

k) 2x+9>3x+5 (Sol: x<4)

l) 2(x-3)+5(x-1)≥-4 (Sol: x≥1)

m) 12(x+2)+5<3(4x+1)+3 (Sol: ∃/ soluc.)

n) 5(x-2)-4(2x+1)<-3x+3 (Sol: ∀x∈IR)

o) x(x-1)>x2+3x+1 (Sol: x<-1/4)

p) (x+2)(x+3)<(x-1)(x+5) (Sol: x<-11)

q) 2(x+3)+3(x-1)>2(x+2) (Sol: x>1/3)

� Ejercicios libro: pág. 70: 1a,b; pág. 78: 8, 10, 12

7. Resolver las siguientes inecuaciones, quitando previamente los denominadores:

a) 13

4x

2

1-x <−− (Sol: x<1)

b) 6x

52x

3x −>+ (Sol: x>5)

c) 12

5x23

1x33

4-2x −<++ (Sol: x<7/18)

d) 2x7

1x2x −>++ (Sol: x<6)

e) 2214x

48x

32-5x −+>−− (Sol: x>4)

ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS

f) 15

1x32

54x

34x −+>−−+ (Sol: x<3)

g) x34x

28x4

53x3 −<+−− (Sol: x<92/27)

h) 34

x1x

21x −−<−− (Sol: x>9)

i) 045

x1088

1x23x >−−+− (Sol: x>109/110)

j) 02x7

1x2x <+−++ (Sol: x>6)

k) 1237

31x3

4x23

x4 +−<−− (Sol: x<1)

l) 32

1x4

3x2 ++>+ (Sol: ∃/ soluc.)

m) 14

36x52

x123

2-x −−>−− (Sol: x<8)

n) 24

x4212

1x218x −≥+− (Sol: x≥3)

o) 3

1x15

45x5

73x1

−−+>−− (Sol: x<3)

� Ejercicios libro: pág. 70: 1c,d,e,f; pág. 78: 9

INECUACIONES DE 2º GRADO:

8. Resolver las siguientes inecuaciones y representar la solución en la recta real:

a) x2-6x+8≥0 [Sol: x∈(-∞,2]U[4,∞)]

b) x2-2x-3<0 [Sol: x∈(-1,3)]

c) x2-5x+6>0 [Sol: x∈(-∞,2)U(3,∞)]

d) x2-3x-10≤0 [Sol: x∈[-2,5]]

e) 3x2-10x+7≥0 [Sol: x∈(-∞,1]U[7/3,∞)]

f) 2x2-16x+24<0 [Sol: x∈(2,6)]

g) x2-4x+21≥0 [Sol:∀x∈IR]

h) x2-3x>0 [Sol: x∈(-∞,0)U(3,∞)]

i) x2-4≥0 [Sol: x∈(-∞,-2]U[2,∞)]

j) x2-4x+4>0 [Sol: x∈IR-{2}]

k) x2+6x+9≥0 [Sol: ∀x∈IR]

l) x2-2x+1<0 [Sol: ∃/ soluc.]

m) x2-4x+4≤0 [Sol: x=2]

n) 6x2-5x-6<0 [Sol: x∈(-2/3,3/2)]

o) x2-9x+18<0 [Sol: x∈(3,6)]

p) x2-4x+7<0 [Sol: ∃/ soluc.]

q) x2-2x+6≤0 [Sol: ∃/ soluc.]

r) 2x2+8x+6<0 [Sol: x∈(-3,-1)]

s) 2x2+10x+12≤0 [Sol: x∈[-3,-2]]

t) -x2+5x-4≥0 [Sol: x∈[1,4]]

u) x2≥4 [Sol: x∈(-∞,-2]U[2,∞)]

v) (x+2)(x-5)>0 [Sol: x∈(-∞,-2)U(5,∞)]

w) (x-3)(x-1)<0 [Sol: x∈(1,3)]

x) (4x-8)(x+1)>0 [Sol: x∈(-∞,-1)U(2,∞)]

y) (2x-4)3x>0 [Sol: x∈(-∞,0)U(2,∞)]

z) x2<9 [Sol: x∈(-3,3)]

α) 9x2-16>0 [Sol: x∈(-∞,-4/3)U(4/3,∞)]

ββββ) 3x2+15x+21<0 [ ∃/ soluc.]

γγγγ) 2x2-5x+2<0

δδδδ) -2x2+5x+3>0

εεεε) x2-9x+20≤0

ζζζζ) -2x2+2x+15<0

ηηηη) x2-5x+4>0 [Sol: x∈(-∞,1)U(4,∞)]

θθθθ) 3x2-4x<0 [Sol: x∈(0,4/3)]

ιιιι) x2+16≥0

κκκκ) 2x2-8>0

λλλλ) x2+x+1≥0

µµµµ) -4x2+12x-9≤0 [Sol: ∀x∈IR]

� Ejercicios libro: pág. 72: 3; pág. 79: 18 y 19

9. Resolver las siguientes inecuaciones de 2º grado reduciéndolas previamente a la forma general:

a) x(x+3)-2x>4x+4 [Sol: x∈(-∞,-1)U(4,∞)]

b) (x-1)2-(x+2)2+3x2≤-7x+1 [Sol: x∈[-4/3,1]]


c) x(x2+x)-(x+1)(x2-2)>-4 [Sol: x>-3]

d) (2x-3)2≤1 [Sol: x∈[1,2]]

e) 4x(x+39)+9<0 [ 39 39

: x - - 3 42,- + 3 422 2

Sol ∈

]

f) -x(x+2)+3≥0 [Sol: x∈[-3,1]]

g) (3x-2)2+5x2≥(3x+2)(3x-2) [Sol: ∀x∈IR]

h) 4x (x+3)+(x+2)(x-2)>(2x+3)2+x-1 [Sol: x∈(-∞,-3)U(4,∞)]

i) (2x+3)(2x-3)+5x>2(x+1)-1 [Sol: x∈(-∞,-2)U(5/4,∞)]

j) (2x+2)(2x-2)≤(x+1)2+2(x+1)(x-1) [Sol: x∈[-1,3]]

k) (2x+3)(2x-3)≤(2x-3)2+30x [Sol: x≥-1]

l) (2x-3)2+x2>(3x+1)(3x-1)-6 [Sol: x∈(-4,1)]

m) 5)x(x62)(x3)3)(x(x 2 −+<−−−+ [ 9 - 5 9 + 5: x - , U ,

2 2Sol

∈ ∞ ∞

]

n) (2x+1)(x+1)≤(x+2)(x-2)+3 [Sol: x∈[-2,-1]]

o) 18

1-8)-x(7x

9

1)(x

6

1)1)(2x(2x 2

≤+

−−+ [Sol: x∈[-2,2/3]]

p) 6

31x194x3

1)-1)(x(x23)-(x 22 +−<++ [Sol: x∈(-3,2)]

q) 36

11)1x(3

6

)2x(56

18

1x2

12

)2x)(2x( 2 +−≤

−−−

++

−+ [Sol: x≤3]

r) 6

x)x(1133)(x

42)2)(x(x 2 −≥−−−+ [Sol: x∈(-∞,-8]U[6,∞)]

s) 63

3)3)(x(x

6

65x

2

2)-(x 2

+−+

<+

+ [Sol: x∈(0,7)]

t) ( )2x

6

2x

2

4)2)(x-(x 2

−≥−−+ [Sol: x∈(-∞,-4]U[2,∞)]

u) 12

7x1

42x1)-(x

33)1x)(1x( 2 +−≤+−+−+ [Sol: x∈[-1,0]]

v) 611

2)2x)(2x(

5x46

)1x3)(1x3( +−+≥−+−+ [Sol: x∈(-∞,-5]U[1,∞)]

w) 2

)1x)(1x(1

61x2

3)1x( 2 −+−≥+−− [Sol: x∈(-∞,-4/5]U[2,∞)]

x) 31

6)3x)(3x(

2)1x)(1x( 22

=−+−−+ [Sol: x∈(-∞,-1)U(4,∞)]

� Ejercicios libro: pág. 72: 4; pág. 79: 17, 20 y 21 (sin denominadores); pág. 79: 22 (más elaborados)

10. ¿Por qué no se puede hacer lo siguiente: 2?x42x ≥⇒≥ ¿Cuál sería la forma correcta de proceder?


INECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO >2 :

11. Resolver las siguientes inecuaciones aplicando el método más apropiado en cada caso:

a) x3-5x2+2x+8≥0 [Sol: x∈[-1,2]U[4,∞)]

b) x3-x2-6x<0 [Sol: x∈(-∞,-2)U(0,3)]

c) x3-2x2-5x+6≥0 [Sol: x∈[-2,1]U[3,∞)]

d) x4-1>0 [Sol: x∈(-∞,-1)U(1,∞)]

e) 24

2x)2x)(x-(x2x

42)2)(x(x 222

−+<−−+ [Sol: x∈(-∞,-2)U(2,∞)]

f) x3-6x2+32≤0 [Sol: x∈(-∞,-2]]

g) x3-7x-6≥0 [Sol: x∈[-2,-1]U[3,∞)]

� Ejercicios libro: pág. 73: 5b; pág. 79: 24, 25 y 28 INECUACIONES FACTORIZADAS :

12. Resolver las siguientes inecuaciones aplicando el método más apropiado en cada caso:

a) (x2-x-2) (x2+9)>0 [Sol: x∈(-∞,-1)U(2,∞)]

b) (x2+2x-15) (x+1)<0 [Sol: x∈(-∞,-5)U(-1,3)]

c) (2x+8) (x3-4x) (x2-4x+4)≤0 [Sol: x∈[-4,-2]U[0,2]]

d) x2 (x-2)≤0 [Sol: x∈(-∞,2]]

e) x2 (x-2)≤0 [Sol: x∈(-∞,0)U(0,2)]

f) (x+1)2 (x-3)<0 [Sol: x∈(-∞,-1)U(-1,3)]

g) x2 (2x-5) (x+2)≥0 [Sol: x∈[-∞,-2]U[5/2,∞)]

h) (x-3) (x+5) (x2+1)>0 [Sol: x∈(-∞,-5)U(3,∞)]

i) (x+2)2 (x-3)2>0

j) (x-5) (x2+4)≤0

� Ejercicios libro: pág. 79: 26 y 27

SISTEMAS DE INECUACIONES DE 1 er GRADO:

13. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de 1er grado con una incógnita, indicando la solución de dos formas distintas: mediante intervalos, y representando en la recta real:

a)

≤+≤−−

03x3

06x2 [Sol: x∈[-3,-1]]

b)

+<+−<−

x52x3

x32x1 [Sol: x∈ (1/4,1/2)]

c)

≤+−≤+

01x

06x2 [ ∃/ soluc.]

d)

≥

<

2

1x

9x3 [Sol: x∈[1/2,3)]

e)

<+−<+

48x

x35x2 [Sol: x∈(5,∞)]

f)

≤>

4x2

8x2 [ ∃/ soluc.]

g)

−<−−≥

1x64x5

2x4x2 [Sol: x∈(-3,1]]

h)

+<+−≥−

7x21x4

6x25x3 [Sol: x∈[-1,3)]

i)

+≤−+>+

3x31x5

5x42x7 [Sol: x∈(1,2]]

j)

+≥−<−

12xx

5x51x3 [ ∃/ soluc.]

k)

+≤++≤+

1x33x2

3x1x2 [Sol: x=2]

l)

+<−+≥+3x7x3

5x42x5 [Sol: x∈[3,5)]

m)

−≥−−≥+2x5

4x2x3 [Sol: x∈[-3,7]]

n)

+−+≤+≥+−

7x223x5x

x26)3x(2 [Sol: ∀x∈IR]

o)

+−+≤+>+−

7x223x5x

x26)3x(2 [ ∃/ soluc.]

p)

−<++<+

x258x

9x21x4 [Sol: x∈(-∞,-1)]

q)

≥−≤−

-32x-1

4x4x5 [Sol: x∈[9/5,2]]

r)

<+−≥+−−11]x-5)-2[3(x

3)x25()1x2(3 [Sol: x∈[5/4,29/4)]


s)

+>+

≤−+−−

12x2)-(x-2)(x

3x1)1)(x(x3)(2x22

22 [Sol: x∈[5/6,∞)]

t)

+≥++>

+−>−

)6x(22)3(x

2-3x4x-21

2x10x2 [Sol: x∈(6,10)]

u)

<+−−

−−≤+

1)1x2(21x22

1x49

4x

x2 [Sol: x∈(-2,1]]

v)

+−≤+−

>+−−

32x

x2

1x32

x)x42()1x3(2 [Sol: x∈[1,∞)]

w)

≤+

>−−−

28x

45-x

63

1x2

3x2

[ ∃/ soluc.]

x)

−≥+

>−

−−

1x2

1)-3(x2x

12

)2x(3

3

)5x3(2

[Sol: x∈(8/3,∞)]

y)

+<++−+≥++

x-1)3(x2-1)2(2x

3)(x13x2x1)2(x [Sol: x∈[-2,3/2)]

z)

−≤−

−

+>++

2

x1

4

3x2

53

10x2

3

4x5x

[ ∃/ soluc.]

αααα)

−−−≥−−

+<−−

23x

51x

1015x

3

1x4

x62x

[Sol: x∈(-10,9]]

ββββ)

<−+

−≥+

+−

26

x

4

13x

15

1)2(x

2

1x [Sol: x∈[-1,3)]

� Ejercicios libro: pág. 78: 13 y 14 (sin denominadores); pág. 71: 2; pág. 78: 15 (con denominadores)

(*) γγγγ)

+>++

≤−

1)-2)(x(x2)-)(x2(x x

6)1x(x2

[Sol: x∈[5/6,∞)]

(*) δδδδ)

+≥+<−

2-2)4(x1)5(x

2)1x(x [Sol: x∈[1,2)]

� Ejercicios libro: pág. 75: 7 (no lineales

14. Considerar el sistema 6 x 3x 2

2x 8 5 x

− − < − + + < −

¿Cómo podemos saber, sin resolverlo, si x=-2 y x=3 son solución?

[Sol: SÍ; NO]

15. Resolver las siguientes inecuaciones con cocientes :

a) 04x

1x >−− [Sol: x∈(-∞,1)U(4,∞)]

b) 11x

3x2 ≥+− [Sol: x∈(-∞,-1)U[4,∞)]

c) 43x

8x5 ≤−−

[Sol: x∈[-4,3)]

d) 26x2

3 ≥−

[Sol: x∈(3,15/4]]

e) x 62

x 2+<−

[Sol: x∈(2,10)]

f) 03x

5 <+

[Sol: x∈(-∞,-3)]

g) 30

2x 6− ≥−

[Sol: x∈(-∞,3)]

h) x 3 12x 1 2

+ >−−

[Sol: x∈(-∞,-5/4)U(1/2,∞)]

i) x 3

2x 7

+ ≤−

[Sol: x∈(-∞,7)U[17,∞)]

j) 21

7x3x ≤

−+

[Sol: x∈[-13,7)]

k) x5x

x >+

[Sol: x∈(-∞,-5)U(-4,0)]

l) 2x 31

x 1+≤−

[Sol: x∈(-∞,-4]U(1,∞)]

� Ejercicios libro: pág. 74: 6a,b,c; pág. 80: 29 y 31 (sencillos); pág. 74: 6d,e,f; pág. 80: 30

16. ¿Por qué no se puede hacer 01x04x1x >−⇒>

−− ? ¿Cómo se resuelve correctamente?

NOTA: Las inecuaciones de 1 er grado con dos incógnitas y los sistemas de inecuac iones de 1 er grado con dos incógnitas los resolveremos gráficame nte al final del curso, cuando veamos el tema de rectas.

I N E C U A C I O N E S DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Forma general: · 0a x b+ > · 0a x b+ ≥ · 0a x b+ < · 0a x b+ ≤

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado con una incógnita:

1. Quitar paréntesis.

2. Quitar denominadores.

3. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.

4. Despejar la incógnita.

En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambia el sentido de la misma”.

La solución de una inecuación de este tipo puede ser:

1. Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.

2. Cualquier número real.

3. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.

EJERCICIOS RESUELTOS 1º) Resuelve:

a) 3x 12 0+ >

b) 8x 16 0− ≥

c) 5x 10 0− <

d) 9x 27 0+ ≤

SOLUCIÓN:

a) 3x 12> −

12x3−

>

x 4> − ⇒ Solución: ( )4,+∞

b) 8x 16≥

16x8

≥

x 2≥ ⇒ Solución: [ )2,+∞

c) 5x 10<

10x5

<

x<2 ⇒ Solución: ( ),2−∞

d) 9x 27≤ −

27x9−

≤

x 3≤ − ⇒ Solución: ( ], 3−∞ −

2º) Resuelve:

a) 6x 2 0− + ≥

b) 10 5x 0− >

c) 18 6x 0− ≤

d) 7x 28 0− + <

SOLUCIÓN:

a) 6x 2− ≥ −

RECUERDA: En los casos en los que el coeficiente de la x sea negativo, se multiplican los dos miembros por (−1) y por lo tanto, cambia el sentido de la desigualdad.

6x 2≤

2x6

≤

1x3

≤ ⇒ Solución: 1,3

⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

b) 5x 10− > −

5x 10<

10x5

<

x 2< ⇒ Solución: ( ),2−∞

c) 6x 18− ≤ −

6x 18≥

18x6

≥

x 3≥ ⇒ Solución: [ )3,+∞

d) 7x 28− < −

7x 28>

28x7

>

x 4> ⇒ Solución: [ )4,+∞

3º) Resuelve:

a) 3x 7 5 2x 4+ > − −

3x 2x 5 4 7+ > − +

5x 8>

8x5

> ⇒ Solución: 8 ,5

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 12 8x 9 x 6 4x− − ≥ − −

8x x 4x 6 12 9− − + ≥ − − +

x 9− ≥ −

x 9≤ ⇒ Solución: ( ],9−∞

c) 2x 7 5x 3 x− − < −

2x 5x x 3 7− + < +

2x 10− >

2x 10< −

10x2

< −

x 5< − ⇒ Solución: ( ), 5−∞ −

d) 10x 6 8x 4 5 3x 12x+ − − ≤ − +

10x 8x 3x 12x 5 6 4− + − ≤ − +

7x 3− ≤

7x 3≥ −

3x7

≥ − ⇒ Solución: 3 ,7

⎡ ⎞− +∞⎟⎢⎣ ⎠

4º) Resuelve las siguientes inecuaciones con paréntesis:

a) ( ) ( )2· 1 x 9 3 2x 5− + < − +

2 2x 9 3 2x 5− + < − −

2x 2x 3 5 2 9− + < − − −

0 13< −

Como esta última desigualdad es falsa, la inecuación planteada no tiene solución.

b) ( )4x x 2 3x 6− + ≤ +

4x x 2 3x 6− − ≤ +

4x x 3x 6 2− − ≤ +

0 8≤

La última desigualdad es cierta sin importar el valor de x. Por tanto, la solución de la inecuación planteada es cualquier número real. Se escribe: .

c) ( ) ( )5x 3 2x 8 9 3 2x 4− − + > + −

5x 3 2x 8 9 6x 12− + + > + −

5x 2x 6x 9 12 3 8+ − > − + −

x 8> − ⇒ Solución: ( )8,− +∞

d) ( ) ( )3x 2· 4 2x 5x 7x 9− − ≥ − +

3x 8 4x 5x 7x 9− + ≥ − −

3x 4x 5x 7x 9 8+ − + ≥ − +

9x 1≤ −

1x9

≤ − ⇒ Solución: 1,9

⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

5º) Halla la solución de las siguientes inecuaciones con denominadores:

a) x x 1 2x 5 12 3 6

+ −+ < −

( ) ( )4· x 1 2· 2x 56x 1212 12 12 12

+ −+ < −

( ) ( )4· x 1 2· 2x 56x 1212·12 12 12 12⎡ ⎤+ −

+ < −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )6x 4· x 1 2· 2x 5 12+ + < − −

6x 4x 4 4x 20 12+ + < − −

6x 4x 4x 20 12 4+ − < − − −

6x 36< −

36x6

< −

x 6< − ⇒ Solución: ( ), 6−∞ −

b) 2 x 4x 1 x 5x5 3 15− + −

− ≤ −

( ) ( )3· 2 x 5· 4x 115x x 515 15 15 15

− + −− ≤ −

( ) ( )3· 2 x 5· 4x 115x x 515·15 15 15 15

⎡ ⎤− + −− ≤ −⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )15x 3· 2 x 5· 4x 1 x 5− − ≤ + − −

15x 6 3x 20x 5 x 5− + ≤ + − +

15x 3x 20x x 5 5 6+ − + ≤ + +

2x 16− ≤

2x 16≥ −

16x2

≥ −

x 8≥ − ⇒ Solución: [ )8,− +∞

c) 5x 4 x 2 3x3 2x8 2 4− −

− − > −

( ) ( )8· 3 2x 3· 2 3x5x 4 4x8 8 8 8− −−

− > −

( ) ( )8· 3 2x 3· 2 3x5x 4 4x8·8 8 8 8

⎡ ⎤− −−− > −⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )8· 3 2x 5x 4 4x 3· 2 3x− − − > − −

24 16x 5x 4 4x 6 9x− − + > − +

16x 5x 4x 9x 6 24 4− − − − > − − −

34x 34− > −

34x 34<

34x34

<

x 1< ⇒ Solución: ( ),1−∞

d) 2 7x 3 x 2x 1x 64 2 5− − +

− + ≤ −

2 7x 3 x 2x 120· x 64 2 5− − +⎡ ⎤− + ≤ −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )5· 2 7x 10· 3 x 20x 10·6 4· 2x 1− − − + ≤ − +

10 35x 30 10x 20x 120 8x 4− − + + ≤ − −

35x 10x 20x 8x 120 4 10 30− + + + ≤ − − +

3x 136≤

136x3

≤ ⇒ Solución: 136,3

⎛ ⎤−∞⎜ ⎥⎝ ⎦

6º) Resuelve las inecuaciones:

a) ( ) ( )1 2x x 13· x 5 5 x4 2− +

− + > − +

1 2x x 13x 15 5 x4 2− +

− + > − −

1 2x x 14· 3x 15 5 x4 2− +⎡ ⎤− + > − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )12x 60 1 2x 2· x 1 20 4x− + − > + − −

12x 2x 2x 4x 2 20 60 1− − + > − + −

12x 41>

41x12

> ⇒ Solución: 41,12⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( ) ( )1 7· 2 5x 2x 3x 23 4

− + ≥ − +

2 5x 72x 3x 23 4−

+ ≥ − −

2 5x 712· 2x 3x 23 4−⎡ ⎤+ ≥ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )4· 2 5x 12·2x 3·7 12·3x 12·2− + ≥ − −

8 20x 24x 21 36x 24− + ≥ − −

20x 24x 36x 21 24 8− + + ≥ − −

40x 11≥ −

11x40

≥ − ⇒ Solución: 11 ,40

⎡ ⎞− +∞⎟⎢⎣ ⎠

c) ( )−− + < − +

3x 15 2x 2· 4 2x 69

−− + < − +

3x 15 2x 8 4x 69

− + − < − +45 18x 3x 1 72 36x 54

− + + < + − +18x 3x 36x 72 54 45 1

<21x 82

<82x21

⇒ Solución: ⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

82,21

d) ( ) + +− − ≤ −

3 x 1 3 2x· 5 x x4 3 6

− + +− ≤ −

15 3x x 1 3 2x x4 3 6

− + +− ≤ −

45 9x 4x 4 6 4x 12x12 12 12 12

( )− − + ≤ + −45 9x 4x 4 6 4x 12x

− − − ≤ + −45 9x 4x 4 6 4x 12x

− − − + ≤ − +9x 4x 4x 12x 6 45 4

− ≤ −11x 35

≥11x 35

≥35x11

⇒ Solución: ⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠

35 ,11

EJERCICIO 1º) Resuelve las siguientes inecuaciones:

1. 2x 4 0+ > 2. 3x 7 5− < 3. 2 x 3− > 4. 7 8x 5> − 5. 1 5x 8− < − 6. 3 3x x− < − 7. 3x 5 4x-1 + ≥ 8. 2x 5>6x+4 + 9. 3x 7 2x-3 + ≥ 10. 4x 9 x 1− + < − 11. 3x 1 x-3 − ≥ 12. 3x 1 2x+1 − ≤

13. ( )2 x-1 6 x< − 14. ( )5 x+1 2x 6> + 15. ( ) ( )1- 4-x 2 x 1< + 16. ( ) ( )5 2 3 2 6x x− ≥ + 17. ( )2x-1 x 3 x 1≤ − − 18. ( )x-2 x-3 2< − 19. ( )3 2 10 3 2x x+ < + − 20. ( ) ( )3 2x 5 4 x 1 0+ − − > 21. ( )6x-3 x 5 7x 4+ > + 22. ( )6 5 3 2 3x x+ ≥ − + 23. ( ) ( )2 3x 6 3 5x 4− < + 24. ( ) ( ) ( )2 3x 1 5 x 2 3 x 22− − − < + 25. ( ) ( )-6 x 2 4 3x x 5− − − > − 26. ( ) ( )3x+2 5 3 x 1 4− + ≥

27. x 2 3x 5 4+

≤ −

28. 23 22

xx −+ >

29. x x 12 3− > −

30. x 1 x 12−

> +

31. 15 7 22

x x− ≤ +

32. 3x 4 1 2x2- 4x5 3+ +

≥ −

33. x x 3 12 3

−− ≥

34. x 4 x 414 8− +

+ <

35. 2x+3 3 x 15 2 5

−− ≥

36. x2x 7 32

− + ≥ −

37. 3x+1 1 xx3 2

+< −

38. x x x 18 10 12− > −

39. x+3 x 3x 114 3 2

−− ≥ −

40. 2x+13 4x 17

< +

41. 7 3x x 12−

< +

42. x 2x24 5

+ ≤

43. x 1 x 3x3 2− +

≥ −

44. 1 x 4x 2x3 4− −

≥ −

45. 3x-1 x 1 x 2x6 4 3

− +≤ + −

46. ( )2 x 2

2x3+

<

47. ( )3 2-x 16 x 1x2 3 5

+− < −

48. ( ) x2 3x 4 5x 12

− + < +

49. ( ) x x 12 1 x 3x2 2

−− + ≤ +

50. ( ) ( )4 1-x3x 1 1 2- x 34 3 15 3+

≤ + +

2º) En una fiesta, Olga, Begoña y Salvador hablan de la edad que tienen. Sabemos que la suma de las edades de los tres es inferior a 85 años, que Begoña tiene el doble de años que Olga y que Salvador tiene 15 años más que Begoña. ¿Podrías decir si la persona más joven es ya mayor de edad?

3º) La familia Sánchez quiere ir de viaje. Por eso se han puesto en contacto con dos agencias de viaje. La agencia Salimos cobra 75 euros más 0,50 euros por kilómetro y la agencia Marchamos cobra 95 euros más 0,40 euros por kilómetro.

a) ¿A partir de cuántos kilómetros resulta más barata la agencia Salimos?

b) Para hacer un viaje de 350 km, ¿qué agencia es la más rentable? ¿Y para hacer un viaje de 480 km?

4º) El lado desigual de un triángulo isósceles tien 8 cm. Determina la medida de uno de los otros dos lados si el perímetro tiene que ser mayor de 20 cm.

5º) Si al triple de un número le restamos diez unidades, resulta mayor que si al doble de este número le sumamos cuatro. ¿Qué números verifican este enunciado?

6º) El doble de la suma de un número más tres unidades es más grande que el triple de este número más seis unidades. ¿De qué número se trata?

7º) La suma de la mitad y la cuarta parte de un número es más pequeña o igual que el triple de este número menos seis unidades. Encuentra la solución de esta inecuación.

8º) Mónica ha ido a la papelería y ha comprado un cuaderno con espiral para la clase de matemáticas, un bolígrafo que vale la cuarta parte del precio del cuaderno y una escuadra para dibujar que cuesta 1,50 euros. En casa le dan una paga de 12 euros. Sabemos que ha gastado

menos de las 32 partes. ¿Qué podrías decir del precio del cuaderno de Matemáticas?

9º) El lado de un rectángulo tiene 20 cm y el otro x cm. Determina la medida de x para que el área del rectángulo sea inferior a 104 cm2.

10º) Un club de tenis cobra a sus socios una cuota mensual de 36 euros, la cual les da derecho a disfrutar de las instalaciones y jugar al tenis tantas horas al mes como deseen. Un jugador que no sea socio tiene que pagar 4,50 €/h por utilizar las instalaciones. ¿Cuántas horas mensuales tendrá que jugar una persona para que le salga más rentable hacerse socia del club?

11º) La encargada de una tienda mezcla café de Colombia de 3,60 €/kg con café de Brasil de 4,30 €/kg. Pretende conseguir un café de calidad intermedia que no supere los 4 €/kg. Si necesita

producir 60 kg de mezcla, ¿qué condiciones tienen que cumplir los pesos de las dos clases de café que mezcla?

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes formas:

0cbxax2 >++

0cbxax2 ≥++

0cbxax2 <++

0cbxax2 ≤++

siendo a, b y c números reales.

Para resolverlas, lo primero que hay que hacer es calcular las raíces de los polinomios de segundo grado que aparecen en el primer miembro y a partir de ahí se pueden seguir dos procesos diferentes:

MÉTODO 1 Supongamos que las raíces obtenidas son r y s siendo r < s.

Si las situamos sobre la recta real, ésta queda dividida en intervalos: (-∞, r), (r, s) y (s, +∞). Se observa mejor en el gráfico,

En cada uno de esos intervalos, el polinomio cbxax2 ++ tendrá signo positivo o negativo. De modo que dependiendo del signo de la desigualdad, así elegiremos el (los) intervalo(s) solución.

También son importantes las raíces puesto que son los valores en los que el polinomio se anula y por tanto pertenecerán a la solución de la inecuación cuando la desigualdad sea del tipo ≥ o ≤

EJERCICIOS RESUELTOS

1º) 02x7x3 2 >++

1. Se hallan las raíces del polinomio 2x7x3 2 ++ .

Para ello se iguala a cero y se resuelve la ecuación que resulta:

02x7x3 2 =++

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=−−

=

−=−

=+−

==

±−=

±−=

−±−=

2612

657x

31

62

657x

657

6257

3·22·3·477x

2

12

Las raíces son 31

− y −2.

2. Al situar las raíces obtenidas en la recta real, esta queda dividida en tres intervalos:

Esos intervalos son (de izquierda a derecha) )2,( −−∞ , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

31,2 y ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+∞− ,

31

3. En cada uno de los intervalos se estudia el signo del polinomio 2x7x3 2 ++ .

Para ello, se elige un número cualquiera de cada intervalo y se halla el valor numérico del polinomio en ese número, observando si es positivo o negativo.

)2,( −−∞ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

31,2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞− ,

31

2x7x3 2 ++ ( ) ( ) 0823733 2 >=+−+− ( ) ( ) 0221·71·3 2 <−=+−+− 0220·70·3 2 >=++

4. Se escribe la solución de la inecuación.

Como la inecuación que hay que resolver es 02x7x3 2 >++ , se escogen los intervalos en los que al sustituir resultaban valores positivos (mayores que 0).

Los valores de las raíces no sirven puesto que para ellos, el polinomio 2x7x3 2 ++ se anula y el signo de la inecuación es estrictamente mayor que cero.

Solución: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞−∪−−∞ ,

31)2,(

2º) 06xx2 ≤−+

1. Se hallan las raíces del polinomio 6xx2 −+ , resolviendo la ecuación 06xx2 =−+

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=−−

=

==+−

==

±−=

±−=

−−±−=

326

251x

224

251x

251

2251

1·26·1·411

x2

12

Las raíces son −3 y 2.

2. Al situar las raíces obtenidas en la recta real, esta queda dividida en tres intervalos:

Esos intervalos son (de izquierda a derecha): )3,( −−∞ , ( )2,3− y ( )+∞,2

3. En cada uno de los intervalos se estudia el signo del polinomio 6xx2 −+ .

)3,( −−∞ ( )2,3− ( )+∞,2

6xx2 −+ ( ) ( ) 06644 2 >=−−+− 066002 <−=−+ 066332 >=−+

4. Se escribe la solución de la inecuación.

Como la inecuación que hay que resolver es 06xx2 ≤−+ , se escogen los intervalos en los que al sustituir resultaban valores negativos (menores que 0). En este caso los del intervalo central.

Los extremos del intervalo son los valores de x donde se anula el polinomio. Como la desigualdad que hay que resolver es del tipo 0≤ , también son solución de la inecuación.

Solución: [ ]2,3−

3º) 09x2 ≤+

1. Se hallan las raíces del polinomio 9x2 + , resolviendo la ecuación 09x2 =+

9X2 −= ⇒ 9x −= .

No tiene solución real. Por tanto, el polinomio 9x2 + no tiene raíces reales.

2. Al no tener raíces, la recta real no se divide en intervalos. Se estudia entonces el signo del polinomio en ℜ , tomando un valor real cualquiera y hallando el valor numérico del polinomio en él.

El más sencillo para operar es 0. Se obtiene: 09902 >=+

Por tanto, para cualquier valor real el polinomio 9x2 + es positivo.

3. Se halla la solución.

Teniendo que cuenta la inecuación a resolver, 09x2 ≤+ y el resultado obtenido en el paso anterior, se puede concluir que la inecuación no tiene solución porque no existe ningún valor real que haga que 9x2 + sea negativo o cero.

MÉTODO 2

Siendo r y s las raíces del polinomio con r < s, se puede descomponer el polinomio cbxax2 ++ de la siguiente forma: )sx)·(rx·(acbxax2 −−=++ .

De modo que la suma se ha convertido en el producto de números.

Según la inecuación, ese producto ha de ser positivo o negativo. Teniendo en cuenta la regla de los signos de la multiplicación, se descompone la inecuación de segundo grado en dos sistemas de inecuaciones de primer grado.

EJERCICIOS RESUELTOS

1º) 01xx2 2 ≥−−

1. Se hallan las raíces del polinomio 1xx2 2 −− , resolviendo la ecuación 01xx2 2 =−−

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

=−

=

==+

==

±=

±=

−−−±=

21

42

431x

144

431x

431

491

2·21·2·411

x2

12

Las raíces son −21 y 1.

2. Se descompone el polinomio en producto de factores:

( ) ( )( )1x·1x21x·21x·21xx2 2 −+=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−−

3. Se escribe de nuevo la inecuación sustituyendo el polinomio por su descomposición factorial.

01xx2 2 ≥−− ⇒ ( )( ) 01x·1x2 ≥−+

Se obtiene así que el producto de dos números, (2x+1) y (x−1), ha de ser positivo o cero.

4. Planteamos dos sistemas de inecuaciones de primer grado a partir del resultado anterior.

Para que el producto de esos dos números sea mayor o igual que cero, los dos han de ser positivos o negativos a la vez. Con este planteamiento se obtiene

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

≤

−≤

⎪⎭

⎪⎬⎫

≥

−≥

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎭⎬⎫

≤−≤+

⎭⎬⎫

≥−≥+

⇒≥−+

1x21x

1x21x

01x01x2

01x01x2

01x·1x2

Representando gráficamente los resultados del primer sistema se observa la solución de este:

Por tanto su solución es: [ )1,+∞

Representando gráficamente los resultados del segundo sistema se ve su solución:

La solución de este sistema es: 1,2

⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

5. La solución de la inecuación es la unión de las solución de los sistemas

[ )+∞∪⎥⎦⎤

⎜⎝⎛ −∞− ,1

21,

2º) 04x8x3 2 <+−

1. Se hallan las raíces del polinomio 4x8x3 2 +− , resolviendo la ecuación 04x8x3 2 =+−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−

=

==+

==

±=

±=

−±=

32

64

648x

26

126

48x

648

6168

3·24·3·488x

2

12

Las raíces son 32 y 2.


( ) ( )( )2x·2x32x·32x·34x8x3 2 −−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−


04x8x3 2 <+− ⇒ ( )( ) 02x·2x3 <−−

Se obtiene así que el producto de dos números, (3x+2) y (x−2), ha de ser negativo.

4. Planteamos dos sistemas de inecuaciones de primer grado a partir del resultado anterior.

Para que el producto de esos dos números sea menor que cero, uno de ellos ha de ser positivo y el otro negativo. Con este planteamiento se obtiene

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

>

>

⎪⎭

⎪⎬⎫

<

>

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎭⎬⎫

>−<−

⎭⎬⎫

>−>−

⇒<−−

2x32x

2x32x

02x02x302x02x3

02x·2x3

Representando gráficamente los resultados del primer sistema se observa la solución de este:

Por tanto su solución es: 23

,2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Representando gráficamente los resultados del segundo sistema se ve su solución:

Este sistema no tiene solución

5. La solución de la inecuación es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

32

3º) 04x4x2 >+−

1. Se hallan las raíces del polinomio 4x4x2 +− , resolviendo la ecuación 04x4x2 =+−

224

204

204

1·24·1·444x

2

==±

=±

=−±

=

El polinomio tiene una raíz, 2, que es doble.


( )( ) ( )22 2x2x·2x4x4x −=−−=+−


04x4x2 >+− ⇒ ( ) 02x 2 >−

4. En lugar de plantear los sistemas de inecuaciones a los que da lugar, se puede estudiar la inecuación obtenida mediante un razonamiento lógico:

En el miembro de la izquierda aparece el cuadrado de un número, ( )22x − , que siempre es positivo sea cual sea el valor de la incógnita x.

Y eso es precisamente lo que se plantea en la inecuación, ( ) 02x 2 >− . Por tanto, en principio la solución son todos los números reales. Pero como la desigualdad es estrictamente mayor que cero, no son solución los valores que x que anulan ( )22x − , esto es, las raíces del polinomio, que en este caso ha sido solo una, 2.

5. Solución: { }2−ℜ

NOTA: Una inecuación de segundo grado no se puede empezar a resolver utilizando los métodos anteriores si antes no está expresada en la forma general.

Por eso, si la inecuación tiene paréntesis o denominadores, primero se hay que quitarlos y después pasar todos los términos a un miembro.

EJERCICIO Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado por el método que prefieras:

1. 021x10x2 ≥+−

2. 04x5x2 ≥+−

3. 016x12x2 2 >+−

4. 04x3x2 <−−

5. 07x2 >+

6. 05x6x2 ≤++

7. x12x2 ≥−

8. 6x5x6 2 +<

9. 0xx2 <−

10. 01x3 2 ≤+

11. 06xx2 >−−

12. 04x3x2 ≤−+

13. 03x7x2 2 ≤+−

14. 06x6x2 ≥+−

15. 025x10x2 <+−

16. 018x2 ≤−

17. ( ) 2x25xx >+

18. x54x2 <

19. ( ) x32x1x ≥+−

20. ( ) ( )2x11x2x3 −≥+−

21. ( ) x12x21xx3 −<+−

22. 02x3x2 ≥−+−

23. 05x4x2 ≤−−

24. 05x9x2 >−+

25. 0x4x2 <+−

26. 1x3x2x2 +>+−

27. 2x6x3x2 −−<−+−

28. 3x25xx2 −−≥−+−

29. ( )( ) 03x1x >+−

30. ( ) 04xx <−

31. ( )( ) 02x5x ≤+−

32. ( )( ) 0x31x ≤−+

33. ( )( )3

x2115

2x2x4

9x2 −<

−+−

−

34. 3

xx3x31

21x 2−

+>−−

35. 3x2x4x2 −>+−

36. 0x5x2 <+

37. 04x9 2 >−

38. 08x6x2 ≥++

39. 015x2x2 ≤−−

40. x12x2 ≥−

41. 6x5x6 2 +<

42. 09x2 ≤−

43. 4x2 <

44. 01x3 2 ≤+

45. 02x2x2 ≥+−

46. ( ) 02xx <−

47. ( ) 01x 2 >−

48. ( )( ) 05x2x >−+

49. 0x48x4 2 ≤+

50. ( ) 0161x2 2 >−−

51. ( ) 31xx −<+

52. 010x7x2 ≥+−

53. ( )( ) 6005x5x ≥+−

54. 367

60x·25

11x·322

≤−

−−

SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son los formados por dos inecuaciones de primer grado con una incógnita. Por ejemplo:

( )4x 2 3 2x 5x 3x 1 6 x4 2

⎫− > +⎪⎬−

− ≥ − ⎪⎭

La solución del sistema es el conjunto de números reales que es a la vez solución de las dos inecuaciones que lo forman. Es decir, la intersección de las soluciones de las inecuaciones.

Para hallar la solución de un sistema, como el del ejemplo:

1. Se resuelve cada inecuación de forma independiente.

Primera inecuación: ( )4x 2 3 2x 5− > +

4x 2 6x 15− > +

4x 6x 15 2− > +

2x 17− >

2x 17< −

17x2

−< ⇒ Solución: 17,

2−⎛ ⎞−∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

Segunda inecuación: x 3x 1 6 x4 2

−− ≥ −

x 6x 2 24 4x4 4 4

− −− ≥

x 6x 2 24 4x4·4 4 4

− −⎡ ⎤− ≥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )x 6x 2 24 4x− − ≥ −

x 6x 2 24 4x− + ≥ −

x 6x 4x 24 2− + ≥ −

x 22− ≥

x 22≤ − ⇒ Solución: ( ], 22−∞ −

2. Se halla la intersección de las soluciones obtenidas para cada inecuación. Representando las soluciones en la recta real, se puede ver donde coinciden:

NOTA: Observa que se ha dibujado con línea discontinua el segmento que une el punto 172

−

con el vector. Con ello se quiere indicar que ese punto no pertenece a la solución de la ecuación. En adelante se seguirá utilizando.

Las soluciones coinciden en el intervalo: ( ], 22−∞ − .

Por tanto la solución del sistema es: ( ], 22−∞ −

CASO PARTICULAR: Algunas inecuaciones con fracciones algebraicas dan lugar a sistemas de inecuaciones del tipo

anterior. En general, si P(x) y Q(x) son polinomios, se puede escribir en la forma: ( )( )

P x0

Q x≥ ,

( )( )

P x0

Q x> ,

( )( )

P x0

Q x≤ y

( )( )

P x0

Q x< .

Para resolverlos, se tiene en cuenta la regla de los signos de la división y que el denominador de una fracción no puede ser igual a 0. Se obtienen las siguientes situaciones:

CASO 1

( )( )

P x0

Q x≥ y

( )( )

P x0

Q x> . Para que el cociente sea positivo, P(x) y Q(x) deben tener el mismo

signo, es decir:

( )( )

P x 0Q x 0

⎫≥ ⎪⎬> ⎪⎭

o ( )( )

P x 0Q x 0

⎫≤ ⎪⎬< ⎪⎭

cuando la inecuación es ( )( )

P x0

Q x≥

( )( )

P x 0Q x 0

⎫> ⎪⎬> ⎪⎭

o ( )( )

P x 0Q x 0

⎫< ⎪⎬< ⎪⎭


P x0

Q x>

CASO 2

( )( )

P x0

Q x≤ y

( )( )

P x0

Q x< . Para que el cociente sea negativo, P(x) y Q(x) deben tener distinto

signo, es decir:

( )( )

P x 0Q x 0

⎫≥ ⎪⎬< ⎪⎭

o ( )( )

P x 0Q x 0

⎫≤ ⎪⎬> ⎪⎭


P x0

Q x≤

( )( )

P x 0Q x 0

⎫> ⎪⎬> ⎪⎭

o ( )( )

P x 0Q x 0

⎫< ⎪⎬< ⎪⎭


P x0

Q x<

EJERCICIOS RESUELTOS 1º) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a) ( )

( )

4 2x 79 5x3 6

2 3x 4 9x 10 4x

+ ⎫− − < ⎪⎬⎪− − ≥ − ⎭

Primera inecuación: ( )4 2x 71 x3 6

+− − <

4 2x 71 x3 6

+− + <

8 6 6x 2x 76 6 6 6

+− + <

8 6 6x 2x 7− + < +

6x 2x 7 8 6− < − +

4x 5<

5x4

< ⇒ Solución: 5,4

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

Segunda inecuación: ( )2 3x 4 9x 10 4x− − ≥ −

6x 8 9x 10 4x− − ≥ −

6x 9x 4x 10 8− + ≥ +

x 18≥ ⇒ Solución: [ )18,+∞

Representando las soluciones en la recta real:

Se observa que las soluciones no tienen elementos comunes.

Por tanto, el sistema no tiene solución.

b) ( )

x 2 3 3 2xx5 4 10

2 4 9x 6 5x

+ − ⎫− ≤ − ⎪⎬⎪− − < + ⎭

Primera inecuación: x 2 3 3 2xx5 4 10+ −

− ≤ −

4x 8 15 20x 6 4x20 20 20 20+ −

− ≤ −

( )4x 8 15 20x 6 4x+ − ≤ − −

4x 8 15 20x 6 4x+ − ≤ − +

4x 20x 4x 6 8 15− − ≤ − − +

20x 1− ≤

20x 1≥ −

1x20−

≥ ⇒ Solución: 1,20−⎡ ⎞+∞⎟⎢⎣ ⎠

Segunda inecuación: ( )2 4 9x 6 5x− − < +

2 4 9x 6 5x− + < +

9x 5x 6 2 4− < − +

4x 8<

8x4

<

x 2< ⇒ Solución: ( ),2−∞


La intersección de las soluciones es el intervalo: 1,220−⎛ ⎤

⎜ ⎥⎝ ⎦

Por tanto, la solución del sistema es: 1,220−⎛ ⎤

⎜ ⎥⎝ ⎦

c) ( )3 1 2x 7 5x2x 14 2 x

⎫− ≥ −⎬

+ ≥ − ⎭

Primera inecuación: ( )3 1 2x 7 5x− ≥ −

3 6x 7 5x− ≥ −

6x 5x 7 3− + ≥ −

x 4− ≥

x 4≤ − ⇒ Solución: ( ], 4−∞ −

Segunda inecuación: 2x 14 2 x+ ≥ −

2x x 2 14+ ≥ − 3x 12≥ −

12x3−

≥

x 4≥ − ⇒ Solución: [ )4,− +∞


La intersección de las soluciones es el punto −4.

Por tanto, la solución del sistema es: −4.

d) x 1 0

2x 3−

≥+

Como la fracción ha se ser positiva o cero, el numerador y el denominador han de tener el mismo signo. Además, el denominador no puede ser igual a 0. Se obtiene que:

x 1 02x 3 0

− ≥ ⎫⎬+ > ⎭

o x 1 0

2x 3 0− ≤ ⎫

⎬+ < ⎭.

Dos sistemas de inecuaciones que se resuelven:

x 1x 1 0 -32x 3 0 x>

2

≥ ⎫− ≥ ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬+ > ⎭ ⎪⎭

⇒ Solución: [ )1,+∞

x 1x 1 0

-32x 3 0 x<2

≤ ⎫− ≤ ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬+ < ⎭ ⎪⎭

⇒ Solución: 3,2−⎛ ⎞−∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

La solución de la inecuación inicial es la unión de las soluciones obtenidas de cada

sistema: [ )3, 1,2−⎛ ⎞−∞ ∪ +∞⎜ ⎟

⎝ ⎠

e) 3 6x 0

x−

<

Como la fracción ha se ser negativa, el numerador y el denominador han de tener distinto signo. Se obtiene que:

3 6x 0x 0

− > ⎫⎬< ⎭

o 3 6x 0

x 0− < ⎫

⎬> ⎭.

Dos sistemas de inecuaciones que se resuelven:

13 6x 0 x< 2

x 0 x<0

⎫− > ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬< ⎭ ⎪⎭

⇒ Su solución es: ( ),0−∞

13 6x 0 x> 2

x 0 x>0

⎫− < ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬> ⎭ ⎪⎭

⇒ Su solución es: 1,2

⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

La solución de la inecuación planteada es: ( ) 1,0 ,2

⎛ ⎞−∞ ∪ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 4 x 21 2x+

≤−

En este caso, hay que conseguir primero que uno de los dos miembros de la inecuación

sean cero: 4 x 2 01 2x+

− ≤−

. Y después, que el otro miembro esté formado por una única

fracción: ( )2 1 2x4 x 0

1 2x 1 2x−+

− ≤− −

⇒ 4 x 2 4x 0

1 2x+ − +

≤−

⇒ 5x 2 01 2x

+≤

−.

Esta última inecuación se resuelve como las dos anteriores:

1x5x 1 0 5 1 2x 0 1x>

2

⎫≥ − ⎪+ ≥ ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬− < ⎭ ⎪⎪⎭


⎛ ⎞+∞⎜ ⎟⎝ ⎠

1x5x 1 0 5 1 2x 0 1x<

2

⎫≤ − ⎪+ ≤ ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬− > ⎭ ⎪⎪⎭


⎛ ⎤−∞ −⎜ ⎥⎝ ⎦

La solución de la inecuación inicial es la unión de los dos intervalos: 1 1, ,5 2

⎛ ⎤ ⎛ ⎞−∞ − ∪ +∞⎜ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎦ ⎝ ⎠

EJERCICIO Resuelve los siguientes sistemas de dos inecuaciones lineales con una incógnita:

1. 3x 2 10

x 5 1+ ≤ ⎫

⎬− > ⎭

2. 2x 5 63x 1 15

− ≥ ⎫⎬

+ ≤ ⎭

3. ⎭⎬⎫

>+<−

26x13x4

4. ⎭⎬⎫

<−−>−1x5

72x3

5. ⎭⎬⎫

−<−−<−

3x3x21012x5

6. ⎭⎬⎫

<+>−

01x503x2

7. 2x 4 1 5x 3

4 x x− < + − ⎫

⎬+ ≤ − ⎭

8. ( ) ( )4 x 1 2 x 1 3x 610

⎫+ − − > + −⎬

− ⎭

9. ( )( )

2 x 1 7 9x3 5x 4 x 2 3x

⎫+ − < ⎪⎬+ > − + ⎪⎭

10. ( )( )

2 5x 4 1 x 6 2x7x 2 1 x 3x 9

⎫− + − ≥ − ⎪⎬+ − + > + ⎪⎭

11. 03x

2>

−

12. 02x3x<

+−

13. x 0x 1

≤+

14. x 1 0x 2−

≥+

15. 2x 1 1x 2

−≥

+

16. 2 x 2x 3−

<+

17. −≥

+2 x

3x 1

18. −> −

−1 2x

52 x

19. +− <

−4 6x

2 11 x

20. +≤

−3 x

02 6x

21. −<

2 4x1

x

22. + >−x

4 0x 2

23. +− >

−2x 4

6 03x 1

24. +≤ −

−1 5x

4x 2

25. +≥

−3x 1

23x 1

26. −≥

+2 x

11 4x

27. 04x

x2

<+

28. 01x5x3

2 ≥++

29. ( ) ( )

3x 2 x 1 1 x5 2

x 2 3 1 2x 6 x 1 2x

+ − ⎫− ≥ − ⎪⎬⎪+ − − > + − ⎭

30. ( )( )

x 3 2 4x 1 02 x 5 x 6

⎫+ − − + ≥ ⎪⎬− ≥ + ⎪⎭

31. ( ) ( )( )

2 x 1 3 x 4 01 6 x x 2

⎫− + − < ⎪⎬− − > + ⎪⎭

32. ( ) ⎫+ − + ≥

⎪⎬+ −

− > ⎪⎭

3x 1 2 x 5 42x 1 3 x

25 10

33. ( ) ( ) ⎫+ + + ≤

⎪⎬

+ − + ≤ + ⎪⎭

4 x 1 2 x 2 6x

2x 5 1 3 x4

34. ( ) ( )

− + ⎫− < ⎪⎬⎪− + + > ⎭

2x 1 5x 21

3 43 x 2 4 x 3 0

35.

⎫− < − ⎪⎪⎬

− ⎪≤ −⎪⎭

x 2x x1

5 4 22x 3

3 x6

36. ( ) ⎫+ − − ≤ − ⎪⎪

⎬− ⎪+ <

⎪⎭

xx 9 2 x 3

2x 1

4 02

37. ( )( ) ( )

⎫+ − ≤ − + ⎪⎬− − > − + ⎪⎭

4 x 1 3 1 2x5 2 1 4x 6 5 2x 1

38.

+ − ⎫− < − ⎪⎪⎬

+ + ⎪<⎪⎭

x 6 x 12 x

3 96 2x 3x 14 8

39. ( )

+ ⎫− ≤ − ⎪⎬⎪− + − < ⎭

8x 9 3x1 x

6 22· 1 5x 9x 6 0

40. ( )

− − ⎫+ > − ⎪⎪⎬

+ ⎪− − < −⎪⎭

7 x 3x 22x 1

5 31 x x

9 x 24 2

41.

+ − ⎫− ≥ ⎪⎪⎬

+ − ⎪− ≥⎪⎭

2x 1 x 20

8 43 x 1 x 210 5 2

42. ( ) ( ) ( )( ) ( )

⎫− + − ≤ + − + ⎪⎬− + ≥ − + + ⎪⎭

6 1 x 2 x 5 9 x 1 3x2 x 4 5 2 x 6x 4

43.

+ ⎫− > ⎪⎪⎬

− − ⎪< −⎪⎭

x 1 x 43 2 65 3x x 7

12 8

44. ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

−−<−

+−≤

+−

3x35x7x21036

x214

1x7

45. ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+−+<

−−

≥+

−−

21xx1

8x326

03

1x59

2x3

46. ( )

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+>++−

−−+

≤−

−

62x43x2

316x

21

x26

4x3

x1x5

47. ( )( )⎪⎭

⎪⎬⎫

+−>−+

−−≥+−−

x34x56x422

2xx9x5x32

48. ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+<

+−

−−<

+−

−

15x68

30x53x2

83x

65

4x23

2x7

49. ( ) ( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+−

>+−

+−>++−

7x

14x54x

23x

72

21x

10x33x

52x1

43

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS La forma general de una inecuación de primer grado con dos incógnitas es:

cbyax >+

cbyax ≥+

cbyax >+

cbyax ≤+

siendo a, b y c números reales cualesquiera.

La solución de una inecuación de este tipo es un semiplano delimitado por la recta ax + by = c.

Para resolverlas se realizan los siguientes pasos:

1. Se representa la recta ax + by = c

2. Se elige un punto de uno de los dos semiplanos que determina esa recta y se sustituye en la inecuación que hay que resolver.

3. Si el punto verifica la desigualdad, entonces el semiplano que lo contiene es la solución y si no la verifica el semiplano solución es el que no contiene al punto.

4. Si en la inecuación aparece una desigualdad estricta, la recta no es solución de esa inecuación. En caso contrario, sí lo es.

NOTA: La solución de estas inecuaciones se expresa gráficamente.

EJERCICIOS RESUELTOS 1º) 3x + 2y < 6

1. Se representa la recta 3x + 2y = 6.

Para ello se hace una tabla de valores (con dos valores es suficiente).

x 0 2

y 3 0

2. Se elige un punto de uno de los dos semiplanos que determina la recta y se sustituye en la

inecuación a resolver. Como el más sencillo es (0,0) que está en el semiplano inferior será ese el elegido.

3x + 2y < 6 ⇒ 3 · 0 + 2 · 0 < 6 ⇒ 0 < 6

3. Como la desigualdad obtenida, 0 < 6, es cierta, la solución de la inecuación es el semiplano inferior.

Y como además, la desigualdad es estricta, los puntos de la recta no pertenecen a la solución.

Por tanto la solución es:

2º) 5x − 3y ≥ 15

1. Se representa la recta 5x − 3y = 15.


x 0 3

y −5 0


inecuación a resolver. Como el más sencillo es (0,0) que está en el semiplano derecho será ese el elegido.

5x − 3y ≥ 15 ⇒ 5 · 0 − 3 · 0 ≥ 15 ⇒ 0 ≥ 15

3. Como la desigualdad obtenida, 0 ≥ 15, es falsa, la solución de la inecuación es el semiplano de la izquierda.

Y como además, la desigualdad no es estricta, los puntos de la recta también son solución.


3º) x + 4y ≤ 0

1. Se representa la recta x + 4y = 0.


x 0 1

y 0 -4


inecuación a resolver. Como (0,0) está en la recta, hay que elegir otro punto. Por ejemplo, (2,3) que está en el semiplano de la derecha.

x + 4y ≤ 0 ⇒ 2 + 4 · 3 ≤ 0 ⇒ 14 ≤ 0

3. Como la desigualdad obtenida, 14 ≤ 0, no es cierta, la solución de la inecuación es el semiplano en el que no se encuentra ese punto, el de la izquierda.

Los puntos de la recta son solución de la inecuación porque la desigualdad no es estricta


4º) -2x + 3y > 0

1. Se representa la recta -2x + 3y = 0.


x 0 3

y 0 2


inecuación a resolver. Como (0,0) está en la recta, hay que elegir otro punto. Por ejemplo, (-2,0) que está en el semiplano superior.

-2x + 3y > 0 ⇒ -2 · (-2) + 3 · 0 > 0 ⇒ -4 > 0

Como la desigualdad obtenida, -4 > 0, es cierta, la solución de la inecuación es el semiplano en el que contiene ese punto.

Los puntos de la recta no son solución de la inecuación porque la desigualdad es estricta.


EJERCICIO Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

1. x 2y 5− <

2. x 2y 5− ≤

3. 3x 2y 5 0+ + ≤

4. x y>

5. x y≤

6. x y 0+ ≥

7. 5x 4y 8− ≤

8. x 2y 0− >

9. 5x 6y 4+ ≤

10. 4x 3y 1− > −

11. 3x 9y 0+ ≥

12. 5 x y 1− + >

13. 2x 3y 7≤ −

14. x y 2− + ≥ −

15. 3x 6y 8 0+ − <

16. 3x 8y 4 0+ − ≥

17. x y 14 2+ > −

18. 3x 2y 9 0+ − >

19. 6x y 4 2+ + < −

20. 5y 10≥

21. 3x 12< −

22. x 0≥

23. y x 1≤ +

24. x y 4≥ −

25. 3x y 0− ≥

26. y 0<

27. 6x 2y 3− + ≥

28. x 2y 29 12− > −

29. x 1 y 5 7− + + ≥

30. 7x 5y 4< −

31. 2x 12≥ −

32. 6y 15≤

33. 3x 2y 1 0− + >

34. 5x 2y 9 2− + < −

35. x 1 3+ ≥ −

36. 3y 6 9− + ≤ −

37. y 5x>

38. x y 2≤ − +

39. y 9 2x+ ≥

40. 5y 4x 3− ≥ −

INECUACIONES LINEALES Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Ejemplos: Resolver a) 3 x – 2 < 1

Despejando 3x – 2 < 1

3 x < 1 + 2 3 x < 3

x < 3 : 3 x < 1

Aplicando propiedades

3 x – 2 < 1 3 x – 2 + 2 < 1 + 2

31 3 x <

31 3

x < 1

Solución: S = ( - ∞ , 1 ) Representación gráfica:

3x – 2 < 1

2

1+x > 4

x + y ≥ 24 -2x + 1 ≤ x – 3

3x – 2 = 1

2

1+x = 4

x + y = 24 -2x + 1 = x – 3

Ecuaciones Inecuaciones

Igualdades ( = ) Desigualdades ( < , ≤ ; > , ≥ )

De primer grado

Curso de Apoyo en Matemática

Página 66

b) 42

1>

+x

Despejando

2

1+x > 4

x + 1 > 4 . 2 x + 1 > 8 x > 8 - 1 x > 7

Aplicando propiedades

2

1+x > 4

2

1+x. 2 > 4 . 2

x + 1 > 8 x + 1 + (- 1) > 8 + (- 1) x > 7

Solución: S = ( 7 , + ∞ ) Representación gráfica:

c) x + y ≥ 24

Es una ecuación lineal con dos incógnitas que se verifica para infinitas parejas de números. Por ejemplo:

x = 0 ; y = 24 x = 2 ; y = 23 x = -3 ; y = 30

x = 21 ; y = ....

x = .... y = 2 x = 1 ; y = 10

¿ verifican la ecuación ?

d) -2 x + 1 ≤ x – 3

Despejando - 2 x + 1 ≤ x - 3 - 2 x - x ≤ - 3 - 1 - 3 x ≤ - 4 x ≥ - 4 : (- 3)

Aplicando propiedades -2 x + 1 ≤ x - 3 -2 x + 1 + (-x ) ≤ x - 3 + (- x ) [-2 x + (-x ) ] + 1 ≤ [ x + (- x ) ] - 3 -3 x + [ 1 + (-1 ) ] ≤ - 3 + (-1 ) -3 x ≤ - 4

Inecuaciones Lineales

Página 67

x ≥ 34

- 31 . (-3) x ≥ -

31 .(-4)

x ≥ 34

Solución: S = [ 34 , + ∞ )

Representación gráfica:

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?. En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4 . x ≥ 415 Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4 . x ≥ 415 - 875

Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4 . x ≥ - 460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -41

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x ≤ ( )46041

−⋅

−

Hacemos el cálculo x ≤ 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.


Página 68

Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio 1 : Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x ≤ 4 - x c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8 ≤ 3 x + 1

e) 2 .

21 - x > 3 x

f) 3

1 4

2 −≤

+ aa

g) 3 x - 12 ≤ 4

6 - 5 x

h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5

i) 6

- 5 2

3

xxx>+

j) 61 -

3 5 4 -

4 xx

≥−

k) 2 - 214

48 -

325 +

>−− xxx

l) 0 2 - 7

1 2

<++

+ xxx

m) ( ) 0 47

21 -. 4 3 -

31 - 2 >

++

xx

n) x - 2 > 0 Ejercicio 2 : Indicar si la siguiente resolución es V o F justificando la respuesta:

x3 < 2

x3 x < 2 x

Inecuaciones Lineales

Página 69

3 < 2 x

21 3 <

21 2 x

23 < x

Ejercicio 3 : ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?. Ejercicio 4 : ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación:

x + 2 < 3 x + 1 ?. Ejercicio 5 : Si el lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. ¿Qué se puede decir de su perímetro p ?. Ejercicio 6 : El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado ?.

Ejercicio 7 : Un padre y su hijo se llevan 22 años. Determinar en qué período de sus vidas, la edad del padre excede en más de 6 años al doble de la edad del hijo. Ejercicio 8 : Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?. Ejercicio 9 : Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500.Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo y $300 fijas. ¿Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.

Ejercicio 10 : Sean A = {x/x ∈ R ∧ x + 1 < 4 } y B = (- ∞ , 23 ] ∪ [3 , + ∞) . Determinar

A ∩ B Ejercicio 11 : Determinar:

{x / x ∈ R ∧ 2 x - 4 > 0 } ∩ {x / x ∈ R ∧ 3 - x ≥ 0 }


Página 70

Ejercicio 12 : Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:

a) x - 4 > 2 b) x + 2 ≤ 3 c) 4 - x > 0 d) 0 < x + 3 < 1

e) 0 < x - 3 < 41

f) 12 - 4 x > 3 g) 4 x - 3 ≤ 5 h) - 3 x + 6 < 2

i) 1 + 2 x ≥ 21

j) 3 - x - 5 ≥ 0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0

131052855 Ejercicios de Inecuaciones

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