13 Clara Neira

G -espaciosTipos de acciones

Algunas propiedades de los G -espaciosAlgunas consideraciones desde la topologa fibrada

Topicos en topologa equivariante

Clara M. Neira U.

Enero de 2013

Clara M. Neira U. Topicos en topologa equivariante



G -espacios

Tipos de acciones

Algunas propiedades de los G -espacios

Algunas consideraciones desde la topologa fibrada




Accion de un grupo sobre un conjunto

G un grupo topologico, X un espacio topologico. Una accion de Gsobre X es una funcion

: G X Xtal que:

1. (e, x) = x , para cada x X .2. (g1g2, x) = (g1, (g2, x)), para cada g1, g2 G y cada

x X .

(g , x) = gx

1. ex = x , para cada x X .2. g1g2x = g1(g2x), para cada g1, g2 G y cada x X .




Si es una accion continua del grupo topologico G sobre elespacio topologico X , (X , ), o simplemente X es un G -espacio.

Sean (X , ) un G -espacio y x X .

Ox = {gx : g G}orbita de x .X/ el espacio de todas las orbitas de elementos de X con latopologa cociente, (X , pi,X/) es un espacio topologico fibrado.




Ejemplos

En cada uno de los siguientes ejemplos Z tiene topologa discreta.

1. X = R, G = Z

: Z R R(n, x) 7 n + x

(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo a S1.




2. X = R2, G = Z Z

: (Z Z) R2 R2((n,m), (x , y)) 7 (n + x ,m + y)

(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo al toro S1S1.




3. Sean X = Sn, G = Z/2Z = {1}

: Z/2Z Sn Sn(1, x) 7 x

(X , ) es un G -espacio y X/ = Pn(R) es el espacioproyectivo real de dimension n.




4. X =

{(x , y) R2 : 1

2 y 1

2

}, G = Z

: G X X(n, (x , y)) 7 (n + x , (1)ny)

(X , ) es un G -espacio y X/ es homeomorfo a la banda deMobius.




Tipos de acciones

Una accion de un grupo topologico G sobre un espacio topologicoX es:

transitiva si para cada x , y X existe g G tal que y = gx .efectiva o fiel si para cada g1, g2 G , con g1 6= g2, existe x X tal

que g1x 6= g2x .Una accion es efectiva si y solo si para cada g G , cong 6= e, existe x X tal que gx 6= x .

libre si para cada x X se tiene que g1x = g2x si y solo si g1 = g2.Una accion es libre si y solo si para todo x X , gx = ximplica que g = e.

regular si es transitiva y libre.Una accion es regular si y solo si para cada x , y X existe ununico g G , tal que y = gx .




discontinua si cada x X tiene una vecindad abierta V tal que si y y zson puntos distintos de V , entonces gy 6= z , para todo g G .

Sean G un grupo topologico, X un espacio topologico y : G X X una accion de G sobre X .(X , pi,X/) es un haz de conjuntos si y solo si esdiscontinua.




gV =(g1

)1V




Sean G un grupo topologico y : G X X una accioncontinua. El espacio topologico fibrado (X , pi,X/) es propio si laaplicacion

: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)

es propia.

es cerrada y 1(x , y) es compacto, para cada(x , y) X X/ X .




Sean G un grupo topologico, X un espacio topologico y : G X X una accion continua y libre de G sobre X .Si (X , pi,X/) es propio, la funcion

d : X X/ X G(x , y) 7 g

donde gx = y , es continua.




: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)

homeomorfismo.

X X/ X G X

G

QQQsd

-1

+ pi1




Algunas propiedades de los G -espacios

Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua.

1. Cada fibra de (X , pi,X/) es compacta.

pi1 (x) = Ox = (G {x}) .

2. pi : X X/ es cerrada.




g G (Wg V(g), Vg V(x)) : hy O, (h, y) WgVg .

gV =(g1

)1V .




Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua. Si X es de Hausdorff, o regular, o normal, olocalmente compacto, entonces X/ tiene la misma propiedad (cf.[4]).




Hausdorff




Regular, localmente compacto




Normal




Algunas consideraciones desde la topologa fibrada

Un espacio topologico fibrado (E , p,T ) es de Hausdorff fibra afibra si para cada t T , y cada par de puntos x , y Et existenvecindades disyuntas Vx y Vy de x y y en E .




1. El espacio topologico fibrado (E , p,T ) es de Hausdorff fibra afibra si y solo si la inmersion diagonal : E E T Edefinida por (x) = (x , x), es cerrada.

2. Sean (E , p,T ) y (E , p,T ) espacios topologicos fibrados y : E E una funcion fibrada continua. Si (E , p,T ) es deHausdorff fibra a fibra, entonces el grafo : E E T E ,definido por (x) = (x , (x)), es una inmersion cerrada.




Sean G un grupo topologico compacto y : G X X unaaccion continua. Si (X , pi,X/G ) es de Hausdorff fibra a fibra,tambien es propio.




: G X X X/ X(g , x) 7 (x , gx)

1(x , gx) = 1G{x} (gx)

: G X G X X/ X(g , x) 7 (g , x , gx)

G X G X X/ X

X X/ X

HHHHHj

-

pi2




Si G es un grupo topologico de Hausdorff y (X , pi,X/G ) es unespacio topologico fibrado propio, entonces (X , pi,X/G ) es deHausdorff fibra a fibra.

(x) = (e, x)

X G X

X X/ X

QQQQs

-

+




Si G es un grupo topologico compacto y de Hausdorff y si X es unG -espacio, entonces (X , pi,X/) es propio si y solo si(X , pi,X/) es de Hausdorff fibra a fibra.




Un espacio topologico fibrado (E , p,T ) es regular fibra a fibra sipara cada t T , cada x Et y cada vecindad V de x en E ,existen una vecindad W de t en T y una vecindad U de x en EW ,de tal manera que la adherencia U EW de U en EWesta contenida en V .




G = Z, topologa discreta, X = Z, topologa complementos finitos.

: G X X(n,m) 7 n + m

X/ = {O0}(X , pi,X/) no es regular fibra a fibra.




Si G es un grupo topologico y (X , pi,X/G ) es un espaciotopologico fibrado propio, entonces (X , pi,X/G ) es regular fibra afibra.




Referencias

D. Buhagiar, The category MAP, Mem. Fac. Sci. Eng.Shimane Univ. Series B: Mathematical Science, Vol. 34(2001), pp. 119.

B. Guo, Y. Han, A Brief Introduction to Fibrewise TopologicalSpaces Theory, Journal of Mathematical Research withApplications, Vol. 32, No. 5, (2012), pp. 626-630.

I. M. James, Fibrewise Topology, Cambridge University press,1989.

J. R. Munkres, Topology a first course, Prentice-Hall, Inc.,Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

J. Wu, Lecture Notes on Algebraic Topology, URL:www.math.nus.edu.sg/ matwujie


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