13 Calculo Plastico

5/11/2018 13 Calculo Plastico - slidepdf.com

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19.- NOCIONES DE CALCULO PLÁSTICO

19.1.- Concepto de deformación plástica.

Cuando estudiamos el diagrama tensión deformación de un acero vimos que aparecían

tres zonas claramente diferenciadas: (fig. 19.1).

* Zona elástica. Tensiones proporcionales a las deformaciones siendo estas

recuperables.

* Zona elasto-plástica. Comienzan a producirse deformaciones residuales permanentes.

* Zona plástica. Las deformaciones aumentan sin apenas aumento de tensión.

Este diagrama, salvo la zona recta, es difícil de manejar matemáticamente, por lo que se

define un diagrama ideal tal que a partir de la tensión de fluencia no aumenten las tensiones

pero si las deformaciones hasta que se llegue a la rotura como se indica en la fig. 19.2

CÁLCULO PLÁSTICO Res Cap . XIX

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FIG. 19.1

FIG. 19.2



Al material que sigue este diagrama con suficiente aproximación se le denomina dúctil

y a las deformaciones que se producen sin aumento de tensión se las denomina deformaciones

plásticas. Muchos de los aceros que se utilizan en la practica pueden considerarse como

materiales dúctiles ya que tienen elevadas deformaciones plásticas.

En la zona plástica de los materiales supondremos que se verifican las siguientes

hipótesis:

- A partir de las deformaciones se producen a tensión constante. f

- Se cumple la hipótesis de Bernouilli (las secciones se conservan planas).

- No se verifica la ley de Hooke.

19.2.- Criterio de cálculo plástico.

Cuando se dimensionaba una sección en Resistencia de materiales siguiendo un criterioelástico no permitíamos que la tensión máxima superase al límite elástico del material en

ningún punto, de forma que la sección se consideraba agotada cuando en algún punto de ella

se llegaba al limite elástico.

No obstante, en la mayoría de los casos, cuando esto ocurre el resto de los puntos de la

sección tienen tensión inferior al limite elástico por lo que en ellos podría seguir aumentando

la tensión.

Basandose en esto se establece como criterio de calculo plástico el siguiente:

Una sección se considera agotada cuando todos sus puntos trabajan a una tensión

igual a la tensión de fluencia . f

Siendo la tensión de fluencia, que en aceros prácticamente coincide con el limite f

elástico.

La utilización de este criterio para dimensionar piezas permite, como veremos, un mejor

aprovechamiento de los materiales y en ocasiones cálculos mas sencillos que con el criterio

elástico, aunque por contra solo es aplicable a materiales dúctiles y el nivel de seguridad de

las piezas es menor.

19.3.- Aplicaciones del calculo plástico a algunas solicitaciones simples.

19.3.1.- Tracción o compresión simples.

En este caso la tensión, como sabemos, es la misma en todos los puntos de la sección y

vale:

=N A

El agotamiento se producirá para una carga NP tal que:

(19.1) f =N P A d N P = f $ A

Como se ve la tensión es la misma en todos los puntos en el momento de producirse la

fluencia con lo que el agotamiento se produce en todos los puntos de la sección al mismo

tiempo.


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Si se supone que, como es corriente, , el calculo elástico coincide con el plástico e l f

por lo que en sistemas isostáticos sometidos a tracción o compresión simples no tiene mucho

sentido hablar de cálculo plástico.

En cambio en sistemas hiperestáticos que trabajan a tracción simple, el considerar el

agotamiento total plástico del sistema puede suponer un incremento apreciable de la carga

total máxima que es capaz de resistir. Como ejemplo consideremos el siguiente caso, que

constituye un sistema hiperestático de grado 1, cuya forma de resolución suponemos

conocida.

El sistema está formado por tres barras de acero iguales, de área 2 cm2 , articuladas en

sus extremos y que soportan una carga P que se va haciendo aumentar progresivamente hasta

que se produzca el agotamiento plástico total de la estruc-

tura. El acero tiene una tensión de fluencia de 2000 kp/cm2,

y el ángulo α = 30º.

La resolución analítica del sistema nos permite

obtener los valores de N1 y N2 , que son:

(19.2) N 1 = 0∏326 $P ; N 2 = 0∏435 $P

Al ir aumentando P y todavía dentro del régimen

elástico, llegará un momento en que la barra central que es

la que toma mayor carga se plastifique para una carga N P2

tal que:

N P2 = f $ A = 2000 $ 2 = 4000 kp / cm2

El valor de P que plastifica la barra central será:4000 = 0∏435 $P1 d P1 = 9195 kp

Y entre tanto las otras dos barras al tener menos carga no han llegado aún a la carga de

agotamiento por fluencia.

Si utilizásemos criterio elástico de cálculo el valor

máximo de P sería el que ha producido la plastificación de

la barra central (P1 ), y P no podría seguir aumentando. Al

utilizar criterio plástico, como las barras laterales aun no

están plastificadas al ser , se puede seguir aumen- N 2 > N 1tando la carga P hasta que se alcance la plastificación de

las barras laterales.

Debe observarse que, de acuerdo con el diagrama de

la fig. 19.2, a partir del momento en que se plastifica la

barra central, la carga absorbida por ella es constante y

conocida ( ) por lo que el sistema se trans- f $ A = 4000 kpforma a partir de ese momento en isostático, como se

indica en la fig. 19.4.

La ecuación de equilibrio en dirección vertical nos da:

P = 4000+ 2 N 1 $ cos = 4000+ 1∏732 $ N 1


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FIG 19.3

FIG. 19.4



En esta fase, P solo puede llegar a aumentar hasta que se plastifiquen las barras laterales

es decir hasta que N1 = 4000 kp, con lo que el valor máximo de P (P2 ), ahora deberá cumplir:

P2= 4000 + 1∏732 $ 4000 = 10928 kp

La ventaja de utilizar criterio plástico es evidente puesto que hemos podido aumentar la

carga P por encima del valor que produce la plastificación en la primera barra. Puede compro-

barse que el aumento es de un 19'8 %.

19.3.2.- Flexión pura.

Otro de los casos donde el criterio plástico presenta ventajas es en secciones sometidas

a flexión simple. Aunque lo que sigue sería válido para cualquier sección, lo haremos para

una sección rectangular por sencillez.

Sea una sección rectangular como la de la figura 19.5 de dimensiones b x h y sometida a

un momento flector MF que se va aumentando desde cero hasta que se produzca el agota-

miento plástico de la sección, en el proceso se pasa por las fases a, b y c indicadas en la

misma figura.

La fase a es el instante en el que la tensión máxima en la sección llega la valor de la

tensión de fluencia, y que como sabemos por la ley de Navier se produce en los puntos mas

alejados de la linea neutra. Aquí pararíamos el aumento del momento flector si estuviésemos

en cálculo elástico, y es por lo que al momento que actúa en este instante se le denomina

momento elástico ( M e ).

Utilizando cálculo plástico podemos seguir aumentando el momento, puesto que hay

fibras que aún no se ha agotado al tener una tensión por debajo de la de fluencia. Al aumentarel momento las fibras plastificadas se deforman sin aumento de tensión de acuerdo con el

diagrama de la figura 19.2 y las no plastificadas van aumentando su tensión para compensar

el aumento de momento, plastificándose progresivamente de fuera hacia dentro. A la dimen-

sión 'd' se le denomina profundidad de plastificación e indica hasta donde se ha plastificado la

sección. Esta seria la fase b que corresponde a un estado de plastificación intermedio, donde

el momento flector es M' > Me.

Si sigue aumentando el momento llegará un instante en que todas las fibras de la

sección estén plastificadas (todas trabajan a ), esta es la fase c que corresponde al instante f

de agotamiento plástico de la sección. Por este motivo al momento que actúa en ese instante

se le denomina momento plástico ( M

P).


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FIG. 19.5



La profundidad de plastificación es igual a media sección y tiene el valor máximo.

Calculemos los valores de Me y MP .

Este calculo se efectúa estableciendo la condición de que el momento resultante de lastensiones que actúan en la sección respecto a línea neutra sea igual al momento que actúa en

la sección , es decir tendremos:

(19.3) M e =12 f $

h2$

23

h2$ b $ 2 =

h2b6

$ f

(19.4) M P = f $h2$ b $

h4

$ 2 =h2b4

$ f

De las expresiones anteriores se deduce que MP > Me y de ahí las ventaja de utilizar el

cálculo plástico. Si de las expresiones anteriores despejamos en ambas se obtiene: f

(19.5) f =

M e

bh26

=M e

W ed W e =

bh2

6

(19.6) f =M Pbh2

4

=M PW P

d W P =bh2

4

El parámetro We es lo que se había definido al estudiar la flexión pura como momento

resistente de la sección y que es un parámetro que solo depende de la geometría de la sección.

Por analogía se define de la misma manera el momento resistente plástico, según se indica en

las expresiones anteriores.

Para ver la relación entre el momento plástico y el elástico bastará calcular el cociente

entre ambos.

(19.7) M P M e

=

h2b $ f

4h2b $ f

6

=64= 1∏5

Como vemos el cociente no depende del tipo de material solo dependerá de la forma de

la sección y es por lo que se le denomina factor de forma, se le representa por la letra y es

siempre mayor que 1, de manera que:

(19.8) M P M e

=W PW e

= > 1 d M P = M e $

19.3.3.- Viga isostática sometida a carga puntual. Concepto de rótula plástica.

Consideremos una viga simplemente apoyada y sometida a una carga puntual P en su

centro que va aumentando progresivamente hasta producir el agotamiento plástico por flexión

en la sección mas solicitada según el proceso descrito en el apartado anterior. Analicemos que

es lo que ocurre en esta sección y como evoluciona la profundidad de plastificación, el

proceso se indica en la fig. 19. 6.

En la figura se representan a la derecha de la viga los tres esquemas de plastificación de

la sección central, correspondientes al instante de producirse el momento elástico, una situa-

ción intermedia y cuando se produce el momento plástico; y en la parte inferior los diagramas


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de momentos flectores correspondientes a cada una de estas tres situaciones cuyos valores

máximos son Me , M' y MP respectivamente.

En la figura la recta nos marca, proyectando sus puntos verticalmente, las seccionesaa ∏

donde se produce un momento igual al momento elástico Me .

Cuando el momento es M' las secciones 1 y 3 son las tienen un momento igual a Me

siendo mayor hacia adentro y menor hacia afuera. La sección central en ese instante tiene una

profundidad de plastificación dada por el esquema correspondiente a M' por lo que el punto 2

da la posición de la profundidad de plastificación en la sección central. De esta forma cuando

el momento es M' las zonas 1-2-3 de la viga son zonas plastificadas y en ellas el material sedeforma a tensión constante es decir en esas zonas y a partir de ese instante, el material se

comportaría "como si fuese de goma" no contribuyendo ya, a absorber posteriores incremen-

tos del momento flector.

Cuando el momento en la sección central vale Mp la plastificación es total en ella y la

profundidad de plastificación va disminuyendo hacia fuera hasta hacerse cero en las secciones

4 y 6 en las que el momento vale Me. Quedan definidas así las zonas 4-5-6 totalmente plastifi-

cadas y que se comportan igual que lo dicho para las 1-2-3.

Al no quedar ya en la sección central mas material para plastificarse, los posteriores

incrementos de momento no pueden absorberse, por lo que a partir de ese instante las dos

partes de la viga situadas mas afuera de las secciones 4 y 6 giran libremente alrededor delpunto 5 aunque no haya incremento de momento flector. Se ha formado lo que se conoce

como "rotula plástica".

La rotula plástica permite el giro de las dos partes de la viga lo mismo que una rotula

normal pero a diferencia de aquella la rotula plástica es capaz de tomar un momento flector

igual al momento plástico de la sección, y que se mantiene constante , mientras que en la

rotula normal el momento era nulo. La rotula plástica es capaz también de transmitir esfuer-

zos cortantes lo mismo que las rotulas convencionales.

La formación de una rotula plástica convierte una viga isostática en un mecanismo,

puesto que se produce el libre giro de las dos partes sin aumento del momento. En un sistema


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FIG. 19.6



hiperestático la formación de una rotula plástica rebaja en un grado la hiperestaticidad, al

permitir en un punto del mismo, un grado mas de libertad, que antes no había.

19.3.4.- Cálculo de M p en secciones con un eje de simetría.

Para poder saber en que momento se forma una rotula plástica en un elemento resistente

y que momento flector es el que la produce necesitamos disponer de un método para determi-

nar el momento que plastifica la sección del elemento resistente.

El estudio es complicado para una sección de forma cualquiera, pero dado que la gran

mayoría de las secciones que se emplean en la practica son secciones simétricas al menos

respecto a un eje, analizaremos solo este caso que ademas es bastante simple.

Consideremos una sección simétrica respecto al

eje 'z' de altura 'h' y hecha de un material del que se

conoce su tensión de fluencia ( ) como se indica en f

la fig. 19.7.

Cuando la sección está totalmente plastificada

el diagrama de tensiones es el que se indica y el

momento que actúa en ese instante lo obtendremos

sumando los momentos elementales de las fuerzas

que actúan sobre todos los elementos de área d

respecto del eje z y para toda la sección, es decir será:

; (19.9) M P = 2 ¶0

h /2

f $ d $ y = 2 f $ ¶0

h /2

y $ d $= 2 f $ Se∏ M P = 2 f $ Se

∏

Donde la ultima integral representa el momento estático de media sección respecto al

eje z y que se le denomina .S e ∏

De la expresión (19.9) se obtiene:

(19.10) f =M P

2 $ Se∏

y con (19.6) se obtiene: W P = 2 $ Se∏

Recordando la definición del factor de forma de una sección tenemos:

(19.11) =W PW e

=2 $ Se

∏

W e

La expresión (19.11) nos permite calcular el factor de forma de una sección que tiene un

eje de simetría. Para los perfiles laminados corrientes el parámetro S'e está dado en las tablas

lo mismo que el We por lo que para estos perfiles es fácil determinar el factor de forma. Como

ejemplo determinemos el del perfil IPE-100.

De las tablas de perfiles laminados se obtiene para este perfil:

W e = 34∏2 cm3 ; Se∏ = 19∏7 cm3 d =

2 $ 19∏734∏2

= 1∏152 > 1

19.3.5.- Agotamiento plástico de secciones circulares en torsión.

Al igual que para las tensiones normales la tensión de fluencia se definía como la que

produce aumento de deformaciones longitudinales sin incremento de tensión, la tensión


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FIG. 19.7



cortante de fluencia se define como aquella para la que se producen aumento de las deforma-

ciones angulares sin aumento de tensión. Sea esta tensión cortante( ) un valor conocidof

para un material dado.

Consideremos ahora una barra de sección circular, de radio 'R', cuya tensión cortante de

fluencia es conocida, y sometida a un momento torsor dado M T que se va aumentando desde

cero hasta el agotamiento plástico de la sección. Las fases tensionales por las que pasa la

sección se indican en la fig. 19.8, en donde se ve que M Te es el momento torsor elástico y que

corresponde al valor del momento torsor en el instante en que se produce la fluencia en el

primer punto de la sección; M' es un estado cualquiera intermedio, en el que parte de la

sección está plastificada; y M Tp es el valor del momento torsor que produce el agotamiento

plástico total de la sección.

Por la teoría elemental de la torsión, sabemos que, en secciones circulares:

=

M T

I p $ r

Y por tanto la tensión máxima será: f =M Te

I p$ R siendo I p =

R4

2

De la ecuación anterior se obtiene:

(19.12) M Te = f $ I p

R= f $

R3

2

Cuando la sección está totalmente plastificada, considerando una corona circular

(fig. 19.9) de radio 'r' , espesor 'dr' y área dΩ el momento torsor que actúa en ese instante se

calcula sumando los momentos elementales, respecto alcentro, de las tensiones que actúan en todas las coronas

semejantes a la representada es decir:

M Tp = ¶0

R

f $ d $ r

Dado que estamos suponiendo una corona de espesor

muy pequeño podemos escribir aproximadamente:

d = 2r $ dr

Con lo que:


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FIG 19.9

FIG. 19.8



(19.13) M Tp = ¶0

R

2r 2 f dr = 2 $ f $R3

3

Al igual que hicimos en flexión podemos definir como factor de forma en torsión alcociente entre el momento plástico y el elástico es decir de las expresiones (19.12) y (19.13)

se tiene:

(19.14) = M Tp

M Te=

2 R3

3 R3

2

=43= 1∏333

3

3

La expresión (19.14) nos indica que el factor de forma en torsión de secciones circula-

res también es independiente del material y es constante para todas las secciones de forma

circular. La misma expresión nos dice que al utilizar calculo plástico podemos aumentar el

momento torsor un 33 % respecto al que utilizaríamos en el cálculo elástico.

19.4.- Ejemplos de aplicación.

19.4.1.- Determinar el factor de forma para una sección rómbica de diagonales D y d

para flexión respecto al eje z.

Según (19.11) será: Hemos de determinar pues los parámetros que intervie- =2Se

∏

W znen en esta expresión, es decir el momento estático de media sección

(S'e ) y el momento resistente de toda la sección (Wz ).

Suponiendo que conocemos el centro de gravedad y el momento

de inercia de un triángulo respecto al eje z', utilizando Steiner

tendremos:

W z =2 I z D

; I z = 2 $ I z∏ +12$ d $

D2 $

13

D2

2

; I z ∏ =d 36

$D2

3

Sustituyendo y operando, se obtiene:

I z =D3d 48

d W z =D2d 24

Por otro lado:

Se∏=

12$ d $

D2

$13$

D2=

D2d 24

Y finalmente:

=24 D2 d 12 d 2 d

= 2

Por tanto, para esta sección tendríamos, al utilizar cálculo plástico: M p = 2 $ M e


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19.4.2.- En la viga de la figura construida con una barra de sección rómbica de

diagonales 'D' y 'd' , determinar la relación entre la carga Pe que produce el agotamiento

elástico de la viga, y la que produce el agotamiento plástico, P p .

Como es un problema hiperestá-

tico de grado 1 primeramente habrá

que resolver la hiperestaticidad y

determinar el diagrama de momentos

flectores.

Supongamos resuelto el

problema y determinado el diagrama de momentos que es el indicado en la figura.

En el diagrama se observa que y por tanto la sección mas solicitada será la del M A > M C

empotramiento mientras estemos en régimenelástico, y será en la que se forma la primera

rotula plástica. Una vez formada la primera

rotula plástica la viga pasa a ser isostática y el

agotamiento se produce cuando en la sección

C se produce una nueva rotula plástica.

Emplearemos la siguiente notación:

Momento y carga que producen en A el agotamiento elástico (tensión de fluen- M e ; Pe

cia en un punto).Momento y carga que producen en A la primera rotula plástica. M P1 ; PP1

Momento y carga que producen el agotamiento plástico de la viga. M P ; PP

Obsérvese que al ser la sección constante en toda la barra, será: , pero en M P1 = M Pcambio : P p1 ! P p

En régimen elástico los momentos son proporcionales a las cargas y por tanto hasta la

aparición de la primera rotula plástica, y teniendo en cuenta que el factor de forma es 2 para

una sección rómbica, como acabamos de ver, podemos poner:

(19.15) =M P1

M e=

PP1

Ped P

P1= P

e$ = 2 $ P

e

La primera rotula plástica se producirá cuando:

(19.16) M A = M P1 = M P d M P =3PP1 $ L

16d PP1 =

16 M P3 L

A partir de este instante la viga pasa a comportarse isostaticamente como se indica en la

figura.

La reacción en el apoyo B es:

R B =P2−

M P L


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El momento máximo positivo se

produce exactamente en la sección central

de la viga por lo que podemos considerar

esta como sección critica.

Calculemos pues el momento en la

sección central.

M C =P2−

M P L

$L2

Para que se produzca el fallo plástico este momento se hará igual a MP cuando se

alcance la carga PP , es decir:

(19.17)PP

2−

M P L

$L2= M P d PP =

6 M P L

Y teniendo en cuenta (19.16) tendremos:

PP

PP1=

6 M P L

16 M P3 L

=1816

= 1∏125 d PP = PP1 $ 1∏125

Teniendo en cuenta ahora (19.15) tendremos la relación pedida, es decir:

PP = 2 Pe $ 1∏125 = 2∏25 $ Pe d PP

Pe= 2∏25

Como vemos en este ejemplo, al considerar calculo plástico hemos podido aumentar la

carga que actúa sobre la viga en un 225 % respecto a la que producía el agotamiento elástico.

19.4.3.- En la barra ABC de sección circular de radio 'R' de la figura, y para un material en el que se conocen las tensiones de fluencia ( ), determinar la f ; f =

f

3 carga 'P' y el tipo de esfuerzo que produce el agotamiento plástico, suponiendo desprecia-

ble el efecto del esfuerzo cortante.

La barra está sometida a flexión y a torsión

como esfuerzos principales ya que el cortante nos

dicen que se desprecie.

La parte BC está sometida a flexión siendo

'P.a' el momento máximo, que se produce en el

punto B. La parte AB esta sometida a momentotorsor de valor 'P.a' en toda su longitud y a flexión

siendo 'P.a' el momento flector máximo en el

empotramiento. Por tanto:

Momento flector máximo: M F = P $ a

Momento torsor máximo: M T = P $ a

Calculemos los momentos torsor y flector que producen el agotamiento plástico de la

sección:

M F P= f $ W P = f $ $ W e

Para sección circular se tiene:


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W e = $ R3

4; =

2 $ Se∏

W e=

2 $R3

3 R3

4

=163

= 1∏7

Y por tanto sustituyendo en la expresión anterior:

M F P= f $

83

$ R3

4=

2 $ f $ R3

3

Para torsión según la expresión (19.13) y teniendo en cuenta que se tiene: f = f

3

M T P=

2 R3

3$ f

3

La condición que debemos imponer es que, el máximo momento tanto torsor como

flector, producido por la carga, sea igual a los momentos que producen el agotamiento

plástico es decir:

M F P=

2 R3 f

3= P $ a d PF

P=

2 R3 f

3a

M T P=

2 R3 f

3 3= P $ a d PT

P=

2 R3 f

3a 3

A la vista de las ecuaciones anteriores se comprueba que:

PF P= PT

P$

3 = 0∏55 PT

P d PF P< PT

P

Como la carga que produce el agotamiento plástico por torsión es mayor que la que lo

produce por flexión, cuando la carga aumenta desde cero hasta el agotamiento plástico laprimera que se alcanza es la de flexión, y por tanto el agotamiento se produce por flexión en

cualquier sección del tramo AB y para un valor de la carga dado por:

PT P=

2 R3 f

3a


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