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En los ejercicios 21 a 28, examinar la función para localizar los

extremos relativos y los puntos silla. cm En los ejercicios 29 y 30, buscar los extremos de la func

21. hi); y) = 80x + 80y - x2 - y2 utilizar los criterios de la derivada. Utilizar un sistem_ 2 _ 2 _ _ braico por computadora y representar gráficamente la

22. g(x, y) - x y x y cie. (S ugerencia : Por observación, determinar si es posib23. g(x, y) =xy sea negativo. ¿Cuándo z es igual a O?)

24. h(x , y) =x2 - 3xy - y2

25 . f(x,y) = x2 o xy - y2 - 3x - y

960 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

Ejerc ic ios

En los ejercicios 1a 6, identificar los extremos de la funciónreconociendo su forma dada o su forma después de completarcuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas par-ciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos

relativos.

1. g(x, y) = (x - 1)2 + (y - 3)22. g(x, y) = 5 - (x - 3)2 - (y + 2)2

3. f(x,y) = .J x2 + y2 + 1

4. f(x, y) = .J 25 - (x - 2)2 - y2

5. f(x, y) = x2 + y2 + 2x - 6y + 6

6. f(x,y) = -x 2 - y2 + IO x + 12y - 64

En los ejercicios 7 a 16, examinar la función para localizar losextremos relativos.

7. f( x, y) = 3x2 + 2y2 - 6x - 4y + 16

8. f(x,y ) = -3 x2 - 2y2 + 3x - 4y + 59. f(x,y) = -x2 - 5y2 + IO x - lO y - 28

10. f(x,y) = 2X2 + 2xy + y2 + 2x - 3

11 . z = x2 + xy + b2 - 2x + Y

12. z = - 5x2 + 4xy - y2 + 16x + 10

13. f( x, y) = ..jx 2 + y2

14 . h (x , y ) = (x 2 + y2)1/3 + 2

15. g (x, y) = 4 - Ix l - Iyl 16. f( x, y) = Ix + y l - 2

cm En los ejercicios 17 a 20, utilizar un i tema algebraico por compu-tadora y representar la superficie y localizar los extremos rela-

tivos y los puntos silla.

-4x17. z = 2 2 1

x + y +18. f( x, y) = y3 - 3yx2 - 3y2 - 3x2 + 1

19. z = (X2 + 4y2 )el -x2-y2

20. z = e»

y

x

26. f( x , y) = 2xy - ~(X 4 + y4 ) + 1

y

x

27. z = e-X seny

28. z = ( k - x2 + y2 )el-x'-r

z

2

x

(x - y) 429. z = -2--2

X + Y

(X 2 - y2 )230. z = 2 2

X + Y

Para pensar En los ejercicios 31 a 34, determinar simáximo relativo, un mínimo relativo, un punto silla, o simación es insuficiente para determinar la naturaleza de

ción ¡(x,y) en el punto crítico (xo,Yo)'

31. fxx (x o , Yo ) = 9, fyy(xo, Yo) = 4, fxy (x o , Yo ) = 6

32. fxx (x o ,yo) = -3, fyy(x o,yo) = -8, fxy (x o ,yo ) = 2

33. fxx (x o , Yo) = - 9, fyy(x o, Yo) = 6, fxy (x o , Yo) = 10

34. fxx (xo , Yo ) = 25, !yy (xo , Yo ) = 8, fxy (x o , Yo) = 10

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35. Una función f tiene segundas derivadas parciales continuas enuna región abierta que contiene el punto crítico (3, 7). La fun-

ción tiene un mínimo en (3, 7) Y d > ° para el criterio de lassegundas derivadas parciales. Determinar el intervalo parafx /3 , 7) si fx) 3 , 7) =2 Y /yy (3 , 7) =8.

36. Una funciónftiene segundas derivadas parciales continuas en unaregión abierta que contiene el punto crítico (a , b). Si fxx (a , b) Y

¡ ; , / a , b) tiene signos opuestos, ¿qué implica esto? Explicar.

En los ejercicios 37 a 42, a) hallar los puntos críticos, b) deter-minar los extremos relativos, e) indicar los puntos críticos en loscuales el criterio de las segundas derivadas parciales no es con-cluyente, y d) usar un sistema algebraico por computadora paratrazar la función, clasificando cualesquiera puntos extremos ypuntos silla.

37. f(x, y) = x3 + y3

38. f(x , y) = x3 + y3 - 6x2 + 9y2 + l2x + 27y + 19

39 . f( x, y) = (x - 1)2(y + 4)2

40. f( x, y) = J(x - 1)2 + (y + 2) 2

41 . f( x, y) =X2/3 + y2 /3 42. f( x, y) = (x 2 + y2)2 /3

En los ejercicios 43 y 44, hallar los puntos críticos de la funcióny , por la forma de la función, determinar si se presenta un má-ximoo un mínimo relativo en cada punto.

4 3 . f(x, y, z) = x2 + (y - 3 )2 + (z + 1)2

44. f(x, y, z) = 9 - [x (y - l)( z + 2) ]2

Enlos ejercicios 45 a 54, hallar los extremos absolutos de la fun-ciónen la región R. (En cada caso, R contiene sus puntos fron-tera.) Utilizar un sistema algebraico por computadora y confir-mar los resultados.

45. f(x, y) = x2 - 4xy + 5

R = {(x, y) : 1 :S x :S 4, ° :S Y :S 2}

46 . f(x, y) =x2 + xy , R = {(x ,y ): I x l :S 2, b l :S I}

47. f( x, y) = 12 - 3x - 2y

R : La región triangular en el plano xy con vértices (2, O), (O, 1)

Y (1, 2)

48. f( x, y) = (2x - y) 2

R : La región triangular en el plano xy con vértices (2, O), (0, 1)

Y (1, 2)

49 . f( x, y) = 3x 2 + 2y2 - 4y

R: La región en el plano xy acotada por las gráficas de y = x2 y

y=4

S O . f(x, y) = 2x - 2x y + y2

R: La región en el plano xy acotada por las gráficas de y =x2 y

Y = 1

51. f(x, y) = x2 + 2x y + y2 , R = {(x, y): I x l s 2, b : < :: : 1}

52. f( x, y) = x2 + 2x y + y2 , R = {(x,y ): x2 + y2 :< :: : 8}

53 . f(x, y) = (x 2 + ~~~2 + 1)

R = {(x, y) : ° : < : : : x : < : : : ) , ° : < : : : y :< ::: I}

54. f(x, y) = (X2 + ~){y 2 + J)

R = {( x , y): x ~ 0, y ~ 0, x2 + y2 s í}

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables

Desarrollo de conceptos

55. La figura muestra las curvas de nivel de una función desconcida f( x, y). ¿Qué información, si es que hay alguna, pueddarse acerca de f en el punto A? Explicar el razonamiento.

y y

Figura para 55 Figura para 56

56. La figura muestra las curvas de nivel de una función deconocida .f( x, y). ¿Qué información, si es que hay algunpuede darse acerca de f en los puntos A, B , e y D? Explicel razonamiento.

En los ejercicios 57 a 59, dibujar la gráfica de una funcióarbitraria f que satisfaga las condiciones dadas. Decir sifunción tiene extremos o puntos silla. (Hay muchas respuetas correctas.)

57. fx(x , y) > ° y /y(x , y) < ° para todo (x , y) .

58. Todas las primeras y segundas derivadas parciales defson

59. fx (O , O ) = 0 , /y(0 , O ) =°

){< 0, x < ° { > 0, y < °

fx(x , y ° O ' /y(x , y) ° °,X> < ,y>

fx)x , y) > 0, ¡;,/x , y) < ° y fx /x, y) =° para todo (x, y)

Para discusión

60. Considerar las funciones

f( x , y) = x2 - y2 Y g(x,y) = x2 + y2 .

a) Demostrar que ambas funciones tienen un punto crítico(0, O).

b) Explicar cómo fy g se comportan de manera diferenteeste punto crítico.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 61 a 64, determinar sdeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qudar un ejemplo que demuestre que es falsa.

61. Si f tiene un máximo relativo en (x o , Yo , zo ), entonces f/xo '= f/xo ' Yo) = O .

62. SifX <xo' Yo) = fy(x o ' Yo ) = 0, entoncesftiene un máximo relat

en (x o ' Yo ' zo )'

63. Entre cualesquiera dos mínimos relativos del, aquí debe estamenos un máximo relativo de!

64. Si f es continua para todo x y Y Y tiene dos mínimos relativ

entonces f debe tener un máximo relativo por lo.menos.