De la Ley de Gauss a la Ley de Coulomb

De la Ley de Gauss a la Ley de CoulombLa Ley de Gauss para el campo elctrico establece que el flujo del vector campo elctrico a travs de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga elctrica neta encerrada en el volumen limitado por dicha superficie cerrada.

(1)

A partir de esta ley de puede deducir la Ley de Coulomb, o lo que es equivalente, la expresin del campo elctrico producido por una carga puntual:

(2)Es decir, por medio de operaciones matemticas debemos partir de la ecuacin (1) y llegar a la ecuacin (2) sin utilizar en el procedimiento ninguna informacin contenida en la ecuacin (2). En primer lugar debemos elegir la superficie gaussiana SC que se til al procedimiento. La ley de Gauss es vlida para cualquier SC pero debemos utilizar una que sea apropiada, para que en algn paso de la deduccin podamos despejar el campo elctrico.

Elegimos una superficie esfrica de radio r en cuyo centro est ubicada la carga puntual q. De esta manera logramos dos propiedades importantes que nos permitirn obtener el campo:

I) La direccin del vector ser perpendicular a la superficie de la esfera. Dicho de otro modo los vectores y tendrn la misma direccin, ya que por definicin el vector es perpendicular a la superficie.

II) El mdulo del vector tendr el mismo valor en todos los puntos de la superficie esfrica.

La propiedad (I) e puede explicar con el siguiente criterio de simetra: El vector debe tener direccin radial si la carga es puntual. Si no fuera as, se podra distinguir la derecha de la izquierda de la carga y por lo tanto sta ya no sera un punto. Para entender esto mejor vemoslo en dos dimensiones: una direccin radial r cualquiera, y = mx, divide el plano en dos semiplanos. Si nos ubicamos en el punto campo sobre la superficie gaussiana esfrica centrada en el origen y el campo tuviera una componente tangente a la misma, podramos diferenciar un semiplano del otro. Una carga de prueba ubicada en ese punto sentira una fuerza que la empuja hacia uno de esos semiplanos. En la figura hacia y > mx. Se podra concluir que la distribucin de carga tomando ese eje r como referencia no es simtrica. Esto no lo puede provocar una carga `puntual. Entonces el campo en un punto de la superficie esfrica no puede tener componente tangencial a la superficie. Por lo tanto debe tener direccin radial, es decir: . Tiene la misma direccin que el vector elemento infinitesimal de superficie:

La propiedad (II) se justifica con un criterio similar: El vector debe tener el mismo mdulo en todos los puntos ubicados a igual distancia de la carga puntual. Si no fuera as se podra distinguir un punto de otros ubicados en distintas orientaciones. Dicho de otro modo, podramos diferenciar distintos puntos del espacio girando alrededor de la carga. Por ejemplo, si el campo en el punto b fuera mayor que el campo en el punto a, el vector sera funcin del ngulo (. Una carga de prueba sentira que es diferente estar en b que estar en a, sin embargo mirando hacia la carga puntual q ubicada en el origen no podra percibir ninguna propiedad que dependa del ngulo de orientacin. Por lo tanto el mdulo del vector debe ser el mismo en todos los puntos de la superficie esfrica centrada en q. Entonces, usando la expresin (1) de la ley de Gauss, aplicada a la superficie gaussiana elegida que satisface las propiedades (I) y (II), obtenemos:

En todos los puntos de SC, , ya que SC es esfrica centrada en q.

La integral da la superficie de la esfera, . Ahora podemos despejar E:

(Mdulo el vector en funcin de r)Como la SC es arbitraria el radio r puede tomar cualquier valor. El campo es directamente proporcional al valor de la carga q e inversamente proporcional a la superficie de una esfera centrada en q. dicho de otro modo el campo de una carga puntual q decrece en forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

Como se ha demostrado antes el vector debe tener direccin radial, por lo tanto:

(2)

Con la definicin de campo elctrico , podemos reconstruir la ley de Coulomb. Si a una distancia r de la carga puntual q ubicamos otra carga puntual q`, la fuerza sobre esta carga ser:

_1362053186.unknown

_1362131899.unknown

_1362131966.unknown

_1362132122.unknown

_1362132677.unknown

_1362132036.unknown

_1362131946.unknown

_1362130920.unknown

_1362131010.unknown

_1362130820.unknown

_1362053126.unknown

_1362053140.unknown

_1362053083.unknown

_1361980221.unknown

_1361994883.unknown