12 INVERSIONES Y PRESUPUESTO DE CAPITAL. Implica alternativas. 2. Se relaciona con las diferencias...

12 INVERSIONES Y PRESUPUESTO DE CAPITAL

30 de abril Viendo que había disminuido mucho

mi provisión de pan decidí poner más cuidado en su consumo reduciéndolo a una galleta

por día, lo cual me entristeció mucho. Daniel Defoe, Robinson Crusoe

Cada uno se estira hasta

donde le alcance su cobija. Pinzón, C. E. y G. Fandiño

Dichos y refranes oídos en Colombia. En este capítulo se estudia el problema de la toma de decisiones de inversión, o lo que es

lo mismo comprometer recursos hoy con la esperanza de recibir beneficios en el futuro y en un plazo por lo general, largo. Aunque el contexto del capítulo se refiere siempre a alternativas de inversión con resultados cuantificables en dinero no siempre es posible. Más aún, los resultados asociados a un determinado curso de acción pueden ser muy difíciles de evaluar en términos monetarios. Es necesario tener en cuenta aspectos éticos, morales, sociales, económicos, políticos, técnicos, legales, estéticos, etcétera y que por el hecho de no ser cuantificables no deben ser despreciados. Se va a trabajar sobre el supuesto de certidumbre total; más tarde se eliminará este supuesto y se analizará el problema de decisión suponiendo incertidumbre hacia el futuro. Inversiones

En este acápite se estudiará el problema relacionado con las alternativas de inversión. En particular se tratará el concepto de inversión y algunas clasificaciones de estas alternativas.

Uno de los problemas más importantes que el gerente enfrenta en la toma de decisiones, es que debe tomar decisiones hoy, las cuales tienen consecuencias en términos de flujos de caja positivos y negativos. Esto hace inevitable cierto grado de incertidumbre. Por lo general lo que se hace, es mirar lo que ha ocurrido en el pasado e inferir sobre el futuro con base en la información obtenida. En cuanto a la cuantificación de los flujos de caja futuros negativos y positivos futuros, se recurre ya sea a estudios de mercado o se acude a la contabilidad, para obtener datos del pasado o se combinan las dos.

El análisis de alternativas de inversión o análisis de decisiones de inversión, como se ha denominado aquí:

1. Implica alternativas. 2. Se relaciona con las diferencias entre las alternativas en el futuro. 3. Se interesa en la diferencia entre costos y no en la asignación de costos. 4. Se interesa en la ocurrencia de los ingresos y gastos y no en su causación 5. Considera la diferencia entre sumas iguales de dinero en distintos puntos en el

tiempo. Se debe hacer énfasis en que siempre son las diferencias entre las alternativas, lo que se

considera importante para decidir sobre la bondad de cada una. En el análisis de rentabilidad, el interés se concentra en los costos futuros y no en los pasados o actuales. Los costos que registra la contabilidad, pueden ser muy útiles en proveer la información

necesaria para hacer cálculos de los costos futuros. El hecho de que en el proceso de toma de decisiones se tenga que usar información incompleta, no debe llevar al administrador a la conclusión de que no se pueden tomar decisiones. Precisamente, el proceso de toma de decisiones se desarrolla siguiendo cursos de acción de carácter irrevocable, (en el capítulo 22 se plantea el enfoque de Opciones Reales que elimina esta restricción) basado en información incompleta y muchas veces inadecuada. Concepto de inversión

Las alternativas o cursos de acción mencionados pueden definirse como inversiones. Una inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Así, se puede concebir como inversión no sólo al hecho de desembolsar una determinada suma de dinero sino también al tiempo que alguien dedica a formarse en una universidad. Asimismo, se debe considerar una inversión, el pago anticipado de un préstamo: se sacrifica hoy lo que se debe (al pagarlo en forma anticipada) y se obtiene como beneficio, lo que se deja de pagar en el futuro. En todo caso, se trata de cuantificar en términos económicos, los recursos que se están sacrificando hoy, así como los beneficios que se esperan recibir en el futuro. Justificación y selección de alternativas

Un individuo que no viole los supuestos básicos que permiten a un decisor escoger, ordenar y establecer transitividad mencionados en el capítulo 1, podrá determinar si los cursos de acción o alternativas son o no justificables; si se acepta o se rechaza una alternativa. Una alternativa justificable o aceptable es aquélla que deja al decisor en una situación mejor que la que tenía antes de llevar a cabo dicha alternativa. Una alternativa es buena cuando el Valor Presente de los flujos de caja positivos supera al de los negativos. Aquí se está considerando beneficio todo aquello que le proporcione bienestar al decisor, sea esto una satisfacción intangible o dinero o cosas materiales. Esto es un principio de racionalidad que se encuentra hasta en los animales. Nadie apuesta en su contra, en contra de sí mismo. Todos trabajamos para perseguir un mejor estar después de nuestra actuación; ese mejor estar puede asociarse a la satisfacción íntima de haber hecho el bien al prójimo, al placer de haber ganado un negocio, al disfrute de una mayor riqueza, o a la esperanza de alcanzar el cielo. En el mismo sentido, costos son todos los recursos materiales o no (dinero, esfuerzo emocional, místico, etcétera) que se sacrifican en aras de unos beneficios posteriores.

Por otro lado ante un conjunto de alternativas justificables, el decisor puede encontrarse en la necesidad de seleccionar la mejor de ese grupo o lo que es lo mismo en algún momento tendrá que ordenar las diferentes alternativas. Debe observarse que no tiene sentido ordenar aquellas que no sean justificables, pues ésas deben ser rechazadas en el proceso de justificación o aceptación. Esto significa que el decisor ordenará aquellas alternativas que conforman un conjunto de alternativas justificables. Y de allí escogerá la mejor. Clases de alternativas de inversión

Se van a clasificar las alternativas de inversión en dependientes, independientes y mutuamente excluyentes.

Cuando una alternativa no se puede llevar a cabo sin que otra se realice se dice que dichas alternativas son dependientes.

Cuando varias alternativas se pueden realizar sin que los resultados de las otras o las decisiones con respecto a ellas se alteren, se dice que son independientes.

Cuando dentro de un grupo de alternativas se lleva a cabo una de ellas y este hecho hace que las otras alternativas no puedan realizarse, entonces se dice que son mutuamente excluyentes.

De lo anterior se puede deducir que esta clasificación de las alternativas de inversión está relacionada con el grado en que el flujo de caja de una alternativa se afecte al emprender otra. En el caso de las dependientes, una de ellas no se realiza sin la otra, por ejemplo que el flujo de caja de una está condicionado al de la otra; en el caso de las alternativas independientes no existe relación alguna entre los flujos de caja de las alternativas; y por último, cuando son mutuamente excluyentes, la realización de una de ellas reduce a cero el flujo de caja de las otras. La clasificación anterior es demasiado simplificada, puesto que en realidad lo que existe es una gama continua de grados de dependencia. En un extremo se encuentran las alternativas dependientes y en el otro las mutuamente excluyentes; y entre estos dos extremos, las alternativas independientes.

La construcción de un sistema de refrigeración de un edificio depende totalmente de que este último se construya o no; en este caso se puede hablar de alternativas dependientes. La aceptación de propuestas de investigación por una entidad como Colciencias, puede considerarse como una situación de alternativas independientes, siempre que la entidad cuente con los recursos suficientes para financiarlas todas. Las diferentes propuestas para la construcción de un puente en un mismo sitio son alternativas mutuamente excluyentes.

Generalmente ante alternativas mutuamente excluyentes el decisor selecciona la mejor. Aunque lo deseable es seleccionar la alternativa óptima, no debe olvidarse que realmente lo que se logra es alcanzar resultados satisfactorios. Por lo tanto dado un conjunto de alternativas justificables y mutuamente excluyentes, lo máximo que se puede lograr es seleccionar la mejor entre ellas, lo cual no garantiza haber identificado la alternativa óptima.

También pueden considerarse otro tipo de clases de alternativas que pueden tener algún grado de dependencia, por ejemplo las alternativas complementarias, que cuando se realizan simultáneamente, el resultado es sinérgico en el sentido en que sus beneficios combinados son mayores que la suma de los beneficios individuales.

Por otro lado se pueden considerar las alternativas substitutas lo cual significa que cuando se hacen de manera simultánea, se genera un efecto de entropía, en el sentido que los beneficios totales son menores que la suma de los beneficios individuales.

Para realizar todo lo anterior, el decisor debe contar con medidas de efectividad y métodos que le permitan tomar las decisiones adecuadas en cada caso. Existen varios métodos de decisión; unos utilizan el concepto de cambio del valor del dinero a través del tiempo y otros no. Los que se estudiarán aquí hacen uso del concepto de cambio del valor del dinero a través del tiempo o lo que es lo mismo, del principio o concepto de equivalencia.

Los criterios adecuados para decidir entre alternativas de inversión requieren que previamente se determine una tasa de interés con la cual calcular o comparar las diversas medidas de efectividad. Aquí se presentan los diferentes métodos que tienen en cuenta el cambio del valor del dinero a través del tiempo y que por lo tanto deberán hacer uso de una tasa de descuento. La tasa de descuento es aquella tasa de interés que establece las relaciones de equivalencia de un decisor cuando se enfrenta ante varias alternativas para su evaluación. O sea, la tasa de interés, i, que hace al decisor indiferente entre $1 hoy y $(1+i) al final de un período. Tal vez una de las mayores dificultades del decisor es identificar la tasa de descuento adecuada. Esto se complica cuando hay que tomar decisiones para una

entidad y hay riesgo involucrado; mucho más aún, cuando se trata de una inversión social en la cual los beneficios son, por lo general, intangibles o muy difíciles de medir. Costo muerto y costo de oportunidad

Cuando se hace el análisis de inversiones de capital, se deben tener en cuenta ciertos conceptos de costos para facilitar la comprensión de los métodos de evaluación de alternativas. En particular se deben comprender muy bien los conceptos de costo muerto y de costo de oportunidad.

Costo muerto: es aquel costo común a todas las alternativas. Los costos muertos no son pertinentes y son irrecuperables. Por otro lado, hay costos muertos pertinentes, que sí deben considerarse en la alternativa, porque forman parte intrínseca de ella, pero que al ser comunes no hacen diferencia. Los costos muertos no se toman en cuenta, ni se deben asignar a ninguna de las alternativas, puesto que no establecen diferencias al compararlas y han ocurrido antes de tomar la decisión. Se dedica un aparte especial, para saber identificarlos y no incluirlos en el análisis. Sin embargo, debe aclararse que aquí se trata de la determinación del valor asociado a un recurso adquirido con anterioridad; puede suceder que si se decide conservar ese recurso, aunque su costo de oportunidad sea cero, es posible que genere consecuencias que sí deben tenerse en cuenta. Por ejemplo, un activo que se adquirió hace algunos años. Su costo histórico es un costo muerto en el sentido de no ser pertinente para la determinación de su valor hoy, pero ese costo histórico puede seguir generando una depreciación, lo cual tiene incidencia en los impuestos, aunque el valor comercial del activo fuese cero.

Para aclarar estas ideas se pueden considerar varias situaciones: Proyecto de inversión para analizar la creación de una nueva empresa Proyecto de ampliación de una empresa existente Proyecto de inversión de una empresa en marcha que implique reemplazo de

equipos, etcétera.

Agradecemos esta observación del profesor Edgar Portilla de la Universidad Javeriana, Cali. En cada caso deben considerarse los costos pertinentes. La mejor forma de no incurrir en

el error de considerar costos muertos en el análisis (sobre todo considerarlos en una alternativa y en otra no) es elaborar el flujo de caja de la firma con y sin proyecto. La diferencia entre las dos proyecciones resultará en el flujo de caja del proyecto en estudio.

El costo de oportunidad se precisa calculando lo máximo que se podría obtener, si los recursos se invirtieran en aquella alternativa escogida como patrón de comparación y que es diferente a las evaluadas. En otras palabras, es el costo de la mejor alternativa que se desecha. Este tipo de costo es de mucha importancia en el análisis económico y muchas veces no se le da una consideración adecuada. Este concepto es fundamental para todos los métodos, para evaluar alternativas de inversión.

El costo de oportunidad de un recurso depende del decisor y de su entorno. Esto está muy ligado a la información disponible, que sobre su entorno económico, tenga el decisor. Ejemplo 1

Una vez que se reconoce que la magnitud de la diferencia entre las distintas alternativas es lo importante, se confía en que las únicas diferencias que se deben tener en cuenta, son las que se presentarán en el futuro. Las consecuencias de una decisión con respecto a un curso de acción, no pueden comenzar antes de tomar la decisión.

Desde el punto de vista de un estudio económico, un costo incurrido en el pasado, es un costo muerto y no es pertinente para efectos del estudio. Considérese el siguiente caso:

Hace 4 años el señor Pérez compró un auto por $40.000,000. En la fecha se entera de que un auto igual, del mismo año e igual modelo, usado pero funcionando bien, usado, casi nuevo, vale $67.000.000; Asimismo encuentra que su auto tiene un desperfecto. En un centro de reparaciones de automóviles le ofrecen una reparación garantizada, por $3.000.000. Se supone que la reparación deja al aparato como nuevo. El auto podría venderlo hoy, como está, por $48.000.000.

¿Debe reparar el auto? ¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación? Después de haber reparado el auto, descubre que el arreglo quedó mal hecho y debe

enviarlo a otro centro de servicio. Allí le explican que la reparación vale $6.000.000. Se supone que la reparación deja al auto en perfectas condiciones.

¿Debe repararlo? ¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación? En este punto deténgase y analice la situación. Compare su análisis con el que se presenta

a continuación. Para que usted compare sus conclusiones, se puede analizar la situación así: Primera ocasión. ¿Debe reparar el auto? Sí. ¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por una reparación? Hasta $19.000.000. Se supone que el individuo desea tener un auto en perfectas condiciones. En el primer caso se tiene:

No repara

Obtiene su auto como nuevo por $3.000.000 más los $48.000.000 de la venta que no realizó de su auto viejo antes de repararlo. Al no venderlo lo que hace es invertir ese valor en la alternativa Repara.

No repara y vende el auto por $48.000.000 y compra el otro auto usado, casi nuevo, por $67.000.000

Repara

Se ve claramente que obtener un auto usado, como nuevo por $51.000.000 es preferible a

obtenerlo usado, casi nuevo por $67.000.000. Mientras el valor de la reparación sea menor que la diferencia entre el precio del auto nuevo y el valor del auto usado, casi nuevo, se debe reparar.

En el segundo caso: ¿Debe repararlo? Sí. ¿Cuál es la máxima cantidad que puede pagar por la reparación? $19.000.000.

No repara

Obtiene su auto como nuevo por $6.000.000 más los $48.000.000 de la venta que no realizó de su auto viejo antes de repararlo. Al no venderlo lo que hace es invertir ese valor en la alternativa Repara.

No repara y vende el auto por $48.000.000 y compra el otro auto usado, casi nuevo, por $67.000.000

Repara

Aquí se ve otra vez, que es más conveniente reparar que comprar y que mientras el valor de la reparación sea menor que la diferencia entre el precio del auto usado, casi nuevo y el valor del auto usado, se debe reparar.

En ambos casos se debe observar que el señor Pérez debe decidir en el instante en que se le presentan las alternativas y analizar las consecuencias futuras de cada una. Lo que pagó por el auto y lo que pagó por la primera reparación, es el pasado y no cuenta, son costos muertos. Los $48.000.000 del valor comercial del auto usado, son un costo de oportunidad. Ejemplo 2

Supóngase que se quiere utilizar un área de bodega disponible, para montar una nueva línea de productos. Sin embargo, se sabe que esta área de bodega se podría arrendar por $500.000 mensuales. Si se considera la alternativa de montar la nueva línea de productos, se deben cargar a esta alternativa $500.000 mensuales y éste será el costo de oportunidad de utilizar la bodega. Obsérvese que no necesariamente se incurre en un desembolso de dinero.

Costo del dinero Debido a que hay oportunidades de inversión o, por otro lado, oportunidades de

préstamo, en general, el dinero tiene un costo para el inversionista. Este costo es el sacrificio en dinero en que se incurre al retirar de una opción de ahorro o dejar de invertir en ella (el máximo posible), lo cual se llama costo de oportunidad del dinero o el sacrificio o el costo directo que el inversionista debe pagar cuando no cuenta con ese dinero y debe prestarlo a terceros; éste último se conoce como costo de capital. A cualquiera de estos sacrificios se le llama costo del dinero.

Se pueden distinguir, entonces, dos tipos de costo: el costo de capital, que mide lo que el decisor (la firma) paga por los recursos que utiliza en sus proyectos de inversión y el costo de oportunidad del dinero. Ambos serán estudiados en detalle en el capítulo 14.

Si se recuerda el concepto de costo de oportunidad definido arriba, éste se puede aplicar al recurso dinero. Como todo recurso apreciable, el dinero tiene un costo de oportunidad. Este es la máxima rentabilidad o la máxima tasa de interés que puede ser obtenida por el inversionista, dentro del mercado en donde se encuentra. Por ahora se trabajará con la idea de costo del dinero o tasa de descuento, sin entrar en detalles acerca del modo de determinarlo. Ejemplo 3

Una persona tiene dinero depositado en una cuenta de ahorros, que le produce 8% al año (supóngase que esto es lo máximo que percibe esta persona), y alguien le propone un negocio (que se lo preste, que lo invierta en una actividad productiva, etcétera); cuando la persona decide retirar su dinero de la cuenta de ahorros para invertirlo en la propuesta que le han hecho, está incurriendo en un costo de oportunidad. Esto es, deja de percibir un rendimiento o tasa de interés de 8% anual de la cuenta de ahorros con la esperanza de recibir unos beneficios mayores, o por lo menos iguales, a los que ya recibía. Se dice entonces que el costo de oportunidad del dinero de esa persona es de 8% anual. Métodos de decisión

Como la situación que se le presenta al decisor es la de analizar flujos de caja hacia el futuro que no siempre presentan dominación, esto es, que los flujos de caja positivos de una alternativa sean siempre superiores o iguales a los de otra y los flujos de caja negativos de ésta sean mayores o iguales que los de la primera, se hace necesario buscar mecanismos que permitan comparar las cifras de cada una de ellas. Una forma de hacerlo es utilizar el concepto de equivalencia para llevar los flujos de caja a un período determinado y allí sí

comparar las cifras. Los métodos que aquí se estudiarán tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo. Los más conocidos son el Valor Presente Neto (VPN), la tasa interna de rentabilidad (TIR) y la relación beneficio/costo (RB/C).

Todos estos planteamientos responden a una pregunta que puede (y debe) hacerse en todas las circunstancias: ¿cuándo es buena una decisión? No importa si se trata de una decisión personal, íntima, o de una decisión con consecuencias que afecten a los demás o de una decisión de tipo financiero. La respuesta siempre será la misma: cuando los flujos de caja positivos superen a los flujos negativos. Y aquí hay que entender por beneficios y por costos no sólo lo que se puede cuantificar. Un ejemplo de esto puede ser la decisión de no seguir prolongando la vida de manera artificial a un paciente que no puede cumplir con sus funciones vitales e intelectuales sin la ayuda de una máquina. Aquí no sólo intervienen consideraciones de tipo ético y moral, sino también otras de tipo económico y emocional. En todo caso, siempre habrá que sopesar no sólo los beneficios que produce la decisión, sino sus costos. Valor Presente Neto (VPN)

Cuando el decisor se enfrenta a una disyuntiva debe considerar los flujos positivos y los flujos negativos que le implica cada alternativa. Como se estudió en el capítulo 3, se trata de tomar decisiones que requieren sacrificio de recursos una inversión hoy, con consecuencias de costos y beneficios futuros. Hay que comparar, como ya se dijo los flujos de caja. Ya se estudió, en el capítulo 3, cómo hacer la comparación de flujos de dinero en diferentes períodos de tiempo.

El valor presente de un flujo de caja en el futuro es aquella cantidad equivalente que se debe entregar o invertir hoy para asegurar esa misma suma de dinero en el futuro. Esta suma presente es equivalente al flujo de caja que se espera recibir en el futuro.

El significado del Valor Presente Neto VPN se puede ilustrar de la siguiente manera: una persona cuando hace una inversión espera recibir, a lo largo de la vida de la misma, un valor igual a la suma invertida y una suma adicional; esas sumas que recibe, las entrega el proyecto o inversión a lo largo de su vida. El VPN indica el valor resultante de descontar la inversión y la suma que ya recibía el inversionista por su inversión. En otras palabras, es el remanente neto que obtiene el inversionista, en pesos de hoy, después de descontar los flujos de caja a la tasa de descuento y restarle la inversión inicial. Se puede considerar que el inversionista le presta al proyecto un dinero que debe ser devuelto con intereses a la tasa de descuento, y algo adicional, que es el beneficio que recibe por haber realizado la inversión.

El Valor Presente Neto mide el remanente en pesos de hoy, después de descontar la inversión (o el préstamo que le hace el inversionista al proyecto) y el "interés" (calculado a la tasa de descuento) que debe devolver el proyecto al inversionista. En otras palabras, es el monto por el cual aumenta el valor de la firma después de haber llevado a cabo la alternativa que se estudia. El VPN, por lo tanto permite establecer mecanismos que aumenten o maximicen el valor de la firma. Todo esto implica que a mayor tasa de descuento menor será el VPN. Este VPN es en realidad el valor total del intangible (como un todo) porque es el valor que se le aumenta al capital invertido que usualmente es algo tangible (equipos, edificios, en general, bienes físicos).

Lo difícil es separar el valor de los intangibles como un todo en sus diferentes elementos, ya mencionados. Para la valoración de intangibles ver Damodaran (sin fecha en web

http://people.stern.nyu.edu/adamodar/pdfiles/ovhds/dam2ed/intangibles.pdf y http://aswathdamodaran.blogspot.com.co/2014/02/facebook-buys-whatsapp-for-19-billion.html?m=1), Salinas, 2007 y 2009 y Vélez-Pareja 2013)

Puede parecer extraño que a mayor tasa de interés, el VPN sea menor. Desde el punto de vista matemático esto es claro por el papel que juega i en la fórmula (divide). Sin embargo, conviene pensar un poco más en este comportamiento.

La tasa de interés o tasa de descuento que se utiliza en el cálculo del VPN es el costo del dinero para el decisor la tasa de interés de oportunidad o costo del capital, lo que paga por ese dinero. Esto es, que se puede pensar que el decisor está ante una invitación de un proyecto para invertir en él. Como ese decisor ya se ganaba un interés o pagaba un interés tasa de interés de oportunidad o costo que pagaba por el dinero, el proyecto debe retornarle, por lo menos, lo que se ganaba en la alternativa que está desechando y que es aquella en la que en la actualidad tiene invertido su dinero (costo de oportunidad); o lo que paga por los fondos necesarios para la inversión.

Ahora bien, según la definición intuitiva del VPN, mientras mayor sea la tasa de interés de oportunidad o el costo del dinero que ya se ganaba el decisor, antes de cambiarle el destino a su dinero o el interés que tuvo que pagar por obtener los fondos, menor será lo que quede después de que el proyecto haya devuelto la inversión y los intereses que ya se ganaba (o pagaba) el decisor (tasa de descuento); por lo tanto, a medida que la tasa de descuento del decisor aumenta, mayores serán los intereses que tiene que devolver el proyecto, y menor, por lo tanto, el VPN, que es lo que le queda de más como remanente, como valor agregado, al decisor y que es lo que lo hace atractivo.

Si se tiene un proyecto a un año que requiere una inversión de $1.000 y produce al final del año $1.500, el excedente sobre la tasa de descuento tasa de oportunidad dependerá de ésta; si se supone que el dinero lo tiene el inversionista en una cuenta de ahorros y la tasa que le pagan es su costo de oportunidad y, por lo tanto, su tasa de descuento, entonces, como se puede observar en la tabla, mientras más le paguen en su alternativo que desecha, mayor costo de oportunidad y mayor tasa de descuento, menor será el remanente por encima de lo que ya ganaba y por lo tanto menor el VPN, así:

Tabla 12.1 Efecto del costo de oportunidad en el VPN Año Proyecto

$ Ahorros $ Proyecto $ Ahorros $ Proyecto $ Ahorros $

20% 30% 40% 0 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 1 1.500 1.200 1.500 1.300 1.500 1.400 VPN 250 153,85 71,43 Diferencia 300 200 100 De igual manera se podría analizar si el dinero fuera prestado y si se pagaran los intereses

y el capital al final del año. Esto se puede ilustrar con una gráfica. Supóngase que los flujos de caja netos de un

proyecto se pueden descomponer en tres partes: 1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto. 2. El valor que ya ganaba en su alternativa, que le permitió definir el costo de

oportunidad, o lo que paga la firma por haber prestado el dinero. 3. El remanente.

Figura 12.1. Representación grafica del VPN

Remanente

Costo del dinero ( tasa de descuento:

costo de oportunidad o costo de capital)

Inversión

Cuando se lleva al período cero, es el VPN o la generación de valor Es el interés que reconoce el proyecto por haber recibido el préstamo de la inversión

Es la devolución que hace el proyecto del dinero recibido para hacer la inversión

Flujo de caja

Se pueden presentar entonces, las siguientes posibilidades: 1. Cuando el remanente es positivo y se lleva al instante cero entonces el VPN es

positivo. Hay creación de valor. 2. Cuando el remanente es cero el VPN es cero al llevar todo al instante cero. No hay

creación de valor. 3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero más el remanente las dos áreas

superiores de la figura es menor que lo correspondiente a la tasa de descuento entonces el VPN es negativo. Hay destrucción de valor.

En la gráfica se puede observar que para un proyecto dado si la tasa de descuento aumenta, aumentará el área correspondiente y el área de remanente disminuirá, por lo tanto el VPN será menor.

En forma matemática, el valor presente se define así:

jj

j

i

IVP

1 (12.1)

Donde: Ij = Flujo de caja en el período j i = Tasa de descuento j = Período En hoja de cálculo: =VA(i;n;C;F;tipo) cuando se trata de convertir una serie uniforme C o una suma futura F

o la combinación de ambas, a valor presente. =VNA(i;rango) cuando se trata de un flujo de caja no uniforme. En este caso hay que

tener en cuenta, que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al período 1 y teminar con el flujo del período n; el valor calculado estará expresado en pesos del instante 0.

Una forma de entender este concepto es preguntarse qué suma que se espera recibir dentro de un año es equivalente a un peso poseído hoy. Suponiendo que existe el interés, se puede invertir o dar en préstamo ese peso y recibir (1+i) al cabo de un año donde i es la tasa

de interés vigente para ese año y se liquida como interés compuesto; en otras palabras, se puede cambiar (1+i) recibido al final de un año por un peso de hoy.

Se puede calcular el valor presente de los flujos de caja positivos y de los flujos de caja negativos de una alternativa de acuerdo con lo expuesto anteriormente. El Valor Presente Neto es la diferencia entre el valor presente de los flujos de caja positivos (VPB) y el valor presente de los flujos de caja negativos (VPC), esto es, VPB - VPC.

En forma matemática compacta, se puede expresar el Valor Presente Neto como:

∑ ∑ (12.2)

Donde: FC+

j = flujo de caja positivo en el período j

FC-j = flujo de caja negativo en el período j

i = Tasa de descuento j = Período En hoja de cálculo: =VA(i;n;C;F;tipo)-P cuando se trata de calcular el VPN de una serie uniforme C o una

suma futura F o la combinación de ambas con una inversión P en el instante 0. =VNA(i;rango)-P cuando se trata de un flujo de caja no uniforme, que es el producto de

una inversión P en el instante 0. En este caso hay que tener en cuenta que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al período 1 y el valor calculado estará expresado en pesos del instante 0, por lo tanto se puede restar el valor de P, para obtener el VPN.

Obsérvese que no tiene sentido hablar del Valor Presente Neto o del valor presente, sin

haber especificado una tasa de descuento. Aunque en esta expresión se indica el VPN en función de una tasa de descuento única, sin embargo esta tasa puede variar con el tiempo esto es, que para cada período puede existir una tasa de descuento diferente. El cálculo del VPN es muy fácil con una hoja de cálculo. Recordando el concepto de equivalencia del capítulo 3, es fácil concluir que el cálculo del VPN (en el instante cero) es una mera convención: se puede pensar, en el Valor Medio Neto o VMN (calculado a la mitad de la vida del proyecto) o en el valor futuro neto o VFN (calculado al final de la vida del proyecto) y es obvio que los resultados, en valores, serán proporcionales a (1+i)n, donde n será el valor de la mitad de la vida del proyecto o el valor de la vida del proyecto respectivamente. Esos cálculos indicarán el valor del remanente a la mitad del proyecto o al final de su vida. Ejemplo 4

Supongamos que tenemos el caso tratado en el capítulo sobre flujos de caja. Supongamos también que usted está interesada en comprar la empresa sobre la cual se hicieron los cinco años de proyecciones. Allí se definió que el Flujo de Caja de Capital (de todo el proyecto o empresa) y el Flujo de Caja del Accionista (FCA) eran los siguientes:

Tabla 12.2. FCC y FCA de la EMPRESA SAS Año 5 6 7 8 9 10

FCC 41,84 -0,61 55,77 48,61 57,26

Valor de liquidación 270,47

Capital Invertido -151,047

FCC y Capital Invertido -151,05 41,84 -0,61 55,77 48,61 327,73

FCA 41,84 34,29 48,94 42,12 51,10

Valor de liquidación 246,04

Patrimonio invertido -151,05

FCA y patrimonio invertido -151,05 41,84 34,29 48,94 42,12 297,14

En este ejemplo estamos suponiendo que al final de los 5 años tanto el proyecto como el accionista “reciben” un valor (en este caso de liquidación). El capital invertido y el de liquidación se componen de la deuda financiera y del patrimonio neto que registre el Balance General. Las demás partidas quedan incluidas en los Flujos de Caja

Si suponemos una tasa de descuento para el proyecto, TDp de 11,50% anual y una tasa de descuento del accionista TDa de 11,61% anual, entonces los VPN de cada uno serán,

Usando la función VNA: =VNA(tasa;rango) porque se tiene tasa de descuento constante, para calcular el Valor Presente del flujo. A partir de este valor se calcula el VPN.

Tabla 12.3. VP y VPN del FCC y del FCA de EMPRESA SAS Año 5 6 7 8 9 10


Tasa para el FCC, TDp = Ku 11,50%

VP(11,50%) 298,89

VPN(11,50%) $147,84

FCA y patrimonio invertido -151,05 41,84 34,29 48,94 42,12 297,14

Tasa para el FCA, TDa = Ke 11,61%*

VP(11,61%) 298,89

VPN(11,61%) $147,84

*Estrictamente 11,6144% Aunque puede causar sorpresa que los dos VPN ¡sean iguales! no debe sorprender

porque así debe ser. Esto ocurre por la forma como se ha definido la inversión y el valor de liquidación y porque el valor de la deuda se está suponiendo igual al valor en libros de esa deuda. Lo que hemos mostrado en la ilustración de las partes en que se divide un flujo de caja (devolución del capital invertido, costo del dinero y excedente) y en la definición misma del VPN, indican que el VPN es lo que sobra DESPUÉS de haber satisfecho lo que esperaba ganar cada uno de los aportantes a un proyecto o empresa (deuda y patrimonio).

El VPN es lo que queda llevado a pesos del tiempo inicial o tiempo cero. Como el VP de lo que se le paga al banco, a la tasa que le presta a la empresa o proyecto, es el valor de la deuda actual, el banco ya queda satisfecho. Lo restante (el excedente) es del accionista. Y ese es el VPN, por tanto, el VPN del proyecto debe ser igual al del accionista.

Las empresas que tienen su deuda como bonos que se negocian en bolsa pueden presentar el caso en que el valor en libros de los bonos puede diferir del valor que le asigna el mercado de valores. Cuando esos dos valores difieren, entonces los VPNs no serán iguales. El FCC es lo que reciben los inversionistas y los dueños de la deuda y capital invertido es el patrimonio que tienen invertido en el año 5 y la deuda (de corto y largo plazo) existente en ese mismo año. El FCC es la suma del flujo de caja de la deuda y del flujo de caja del accionista, FCA. Por su parte, el FCA está relacionado con la inversión de patrimonio que el accionista tiene en el año 5. El FCD es lo que se paga por la deuda existente en 5 y su valor presente será el del valor de la deuda en libros; por tanto, el VPN del FCD a la tasa que presta el banco, será cero; recibió exactamente lo que esperaba recibir. Si el valor en libros no es igual al valor de mercado, en bolsa, entonces el VPN del accionista (inversionista) podrá no ser igual al VPN del proyecto.

Para visualizar con cifras este planteamiento, se debe construir una tabla de amortización de la inversión tal y como se hizo para un préstamo en el capítulo 4. Usamos los datos del ejemplo anterior con la tasa constante de 11,50%. Tabla 12.4. Amortización o recuperación de la inversión en EMPRESA SAS, tasa constante

t (1)

Inversión por

recuperar al inicio del período

(2)

Costo del capital

invertido (3)

Amortización de la

inversión y valor

agregado (4)

Flujo de caja del proyecto

o firma (5)

Inversión por

recuperar al final del período (6)

VP de Excedente en año 5

(7)

0 -151,05 147,84

1 -151,05 17,37 24,47 41,84 -126,58 164,84

2 -126,58 14,56 -15,17 -0,61 -141,74 183,80

3 -141,74 16,30 39,47 55,77 -102,28 204,93

4 -102,28 11,76 36,85 48,61 -65,43 228,50

5 -65,43 7,52 320,21 327,73 254,78 254,78

Hacemos uso de la figura que mostramos arriba para ilustrar la idea del VPN y que

contiene tres cajas: la de la inversión, la del costo del dinero y la del remanente. La columna (3) corresponde a la caja del costo del dinero y la columna (4) corresponde a la suma de la caja de la inversión más la caja del remanente (valor agregado). La columna (5) equivale a la suma de las tres cajas, esto es, el flujo de caja. Observe en la tabla que todas las cifras asociadas a las tres cajas se van generando a lo largo del tiempo. En el año 5 en la columna (6) está el equivalente a lo que se llamó excedentes. Si ese valor de 254,78 se lleva a Valor Presente con la tasa del 11,50% columna (7), se obtiene exactamente el VPN que se calculó con los flujos de caja del capital, FCC, o sea, 147,84. Si el valor de la columna (6) en el año 5 fuera negativo, significa que el flujo no alcanzó para repagar la inversión inicial, el costo del dinero. Ese valor cuando se lleva a valor presente (en este caso al año 5) será un valor negativo. Ese valor presente es el VPN.

En las fórmulas estudiadas hay que suponer que la tasa de interés se mantiene constante a lo largo de todo el horizonte de planeamiento –período de estudio de la alternativa–. Se sabe, desde el capítulo 3 que esta tasa puede variar con el tiempo, lo cual significa que para cada período puede existir una tasa de descuento diferente.

En la realidad, cada período tiene una tasa de descuento diferente y en ese caso la expresión más general sería:

1 ij j1

n

1 i1 1 i2 ... 1 in (12.3)

en lugar de (1+i)n. significa que todos los elementos se multiplican, por ejemplo:

21

2

1

111 iiij

j

(12.4)

Esta operación se puede hacer con la función =PRODUCTO (rango) de la hoja de cálculo. El cálculo del VPN es muy fácil con hojas electrónicas. Como ya se mencionó, se pueden utilizar las funciones de hoja de cálculo =VA(i%;n;C;F;tipo) cuando se trata de cuotas uniformes y/o sumas futuras o =VNA(i%;rango) cuando se trata de flujos de caja no uniformes. Un supuesto en estas funciones y en las estudiadas en el capítulo sobre el valor del dinero en el tiempo (Matemáticas Financieras) es el de considerar que la tasa de descuento i es única y constante a lo largo de todos los períodos. Este supuesto se puede eliminar, pero entonces ya no se podrían utilizar las fórmulas y funciones estudiadas. De hecho, no se pueden utilizar porque las tasas son diferentes, período a período.

Para resolver este problema se puede acudir a una hoja electrónica o inclusive a mano, pero requiere tiempo y cuidado. A veces será necesario utilizar una opción del menú de hoja de cálculo Datos Análisis de hipótesis Buscar objetivo y utilizada apropiadamente, se pueden resolver muchas situaciones. También es posible resolver este tipo de problemas con la función de hoja de cálculo =VF.PLAN(P,rango de tasas de interés). Se ilustrará con un ejemplo esta situación.

La forma más sencilla de resolver este problema es utilizar la fórmula muy simple basada en el concepto básico de equivalencia, que estudiamos en el capítulo 3:

. . (12.5)

Donde VP es el valor presente de todos los flujos futuros a partir del siguiente período,

FC es el flujo de caja del período siguiente al cual se quiere calcular el VP y td es la tasa de descuento de ese siguiente período. Ejemplo 5

Para ilustrar lo anterior, sigamos usando el ejemplo que se tomó del capítulo anterior. Supongamos ahora que las tasas son variables.

Una de las razones por las cuales las tasas de descuento pueden variar es la inflación. En el modelo de los capítulos 6 a 9, se prevé una inflación variable entre los años 6 y 10. En el capítulo 3 se ilustró profusamente que la inflación incidía positivamente en la tasa de interés.

Tabla 12.5 VP y VPN con tasas variables de los flujos de EMPRESA SAS 5 6 7 8 9 10

Tasa de Inflación, π 3,00% 4,00% 3,50% 3,00% 3,00% 3,00%

Tasa para el FCC hoy, Ku 11,50%

Tasa deflactada hoy (inflada) 8,25%

Tasa para FCC ajustada por la inflación. Ku

12,58% 12,04% 11,50% 11,50% 11,50%


Valor presente FCC 294,76 290,01 325,54 307,21 293,93 270,47

VPN FCC 143,71

FCA con inversión inicial -151,05 41,84 34,29 48,94 42,12 297,14

Tasa para FCA, Ke 12,58% 12,04% 11,73% 11,72% 11,70%

Valor Presente FCA 294,76 290,01 290,64 275,80 266,01 246,04

VPN de FCA 143,71

Diferencia entre VP FCC y VP FCA

0,00 0,00 34,90 31,41 27,92 24,43

Deuda entre 5 y 10 0,00 0,00 34,90 31,41 27,92 24,43

En el capítulo sobre costo de capital estudiaremos cómo se puede llegar a los valores variables de Ke. En este ejemplo hemos encontrado algunas sorpresas. El VPN del proyecto (firma) es igual al VPN del accionista. La diferencia entre los valores presentes de los flujos FCC y FCA son idénticos a la deuda de cada año. Esto se entenderá mejor cuando se estudie el capítulo sobre costo de capital.

Al hacer el mismo análisis de dividir el flujo de caja en sus tres componentes, se tiene

para este caso:

Tabla 12.6. Amortización o recuperación de la inversión en la EMPRESA SAS, tasa variable

t (1)

Inversión por recuperar al inicio del período (2)

Costo del capital invertido (3)

Amortización de la inversión y valor agregado (4)

Flujo de caja del proyecto o firma (5)

Inversión por recuperar al final del período (6)

Tasas de descuento (7)

VP de Excedente en año 5 (8)

0 -151,05 143,71

1 -151,05 19,01 22,83 41,84 -128,21 12,58% 161,8

2 -128,21 15,44 -16,05 -0,61 -144,26 12,04% 181,28

3 -144,26 16,59 39,18 55,77 -105,08 11,50% 202,13

4 -105,08 12,08 36,52 48,61 -68,56 11,50% 225,37

5 -68,56 7,88 319,85 327,73 251,29 11,50% 251,29

Usamos la Figura 12.1 que mostramos arriba para ilustrar la idea del VPN y que contiene

tres cajas: la de la inversión, la del costo del dinero y la del remanente. La columna (3) corresponde a la caja del costo del dinero y la columna (4) corresponde a la suma de la caja de la inversión más la caja del remanente (valor agregado). La columna (5) equivale a la suma de las tres cajas. Observe en la tabla que todas las cifras asociadas a las tres cajas se van generando a lo largo del tiempo. En el año 5 en la columna (6) está el equivalente a lo que se llamó excedentes. Si ese valor de 251,29 se lleva a Valor Presente con las tasas variables, columna (7), se obtiene exactamente el VPN que se calculó con los flujos de caja de capital, FCC, o sea, 143,71. Si el valor de la columna (6) en el año 5 fuera negativo, significa que el flujo no alcanzó para repagar la inversión inicial, el costo del dinero. Ese valor cuando se lleva a valor presente (en este caso al año 5) será un valor negativo. Ese valor presente es el VPN. Suposiciones implícitas del VPN

Cuando se calcula el VPN se deben tener en cuenta las suposiciones implícitas que tiene. Estas suposiciones son:

1. Los flujos de caja liberados a lo largo de la vida de una alternativa se reinvierten a la tasa de descuento que se utiliza para calcular el Valor Presente Neto aun más allá de la vida del proyecto si el caso incluye alternativas con vidas diferentes. Esto supone que la tasa de descuento es la de oportunidad. Esta suposición no es otra cosa sino el reconocimiento de que tanto el banco (acreedor) y los accionistas van a reinvertir el dinero que reciben del proyecto o firma, a mínimo la misma tasa de interés que esperan ganar en sus inversiones. Esto quiere decir que la suposición de reinversión a la tasa de descuento es optimista en el sentido de que al menos se ganarán lo que esperan, pero a la vez realista y conservadora porque no se está suponiendo que ganarán más de lo esperado por ellos.

Con un ejemplo se puede entender mejor lo que esto significa. Ejemplo 6

Si se tiene una inversión así:

Año Flujo $

0 -1.000 1 300 2 1.300

El VPN de esta inversión será, suponiendo una tasa de descuento única i:

21

300.1

1

300000.1

iiiVPN

Ahora bien, si se supone que los flujos de caja liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%, entonces el VPN será:

21

300,1

21

1300000,1,

ii

rirVPN

Para que VPN(i) sea igual a VPN(r,i), r debe ser igual a i; por lo tanto el supuesto implícito es que la reinversión de los flujos de caja liberados por la inversión se hace a la misma tasa de descuento.

(Véase la hoja REINVERSIÓN del archivo VPNTIR.xls en http://cashflow88.com/decisiones/VPNTIR.xls).

2. La diferencia entre la suma invertida en una alternativa y el valor de la alternativa más costosa o de la cifra límite de que se disponga, según el caso, se invierte a la tasa de descuento utilizada para calcular el VPN. Esto supone además que la tasa de descuento es la de oportunidad.

También conviene explicar esto con un ejemplo. Ejemplo 7

Si se tienen dos alternativas A y B así: Año Flujo A $ Flujo B $ 0 -1.000 -2.000 1 300 750 2 1.300 3.000 Si se está considerando la alternativa B es porque se cuenta por lo menos con $2.000; por

lo tanto si se eligiera la alternativa A, los $1.000 sobrantes se invertirían a la tasa de oportunidad ya que un buen administrador financiero no dejaría esos fondos inmovilizados sino que los invertiría como excedente de efectivo. Bien, el VPN de unos fondos invertidos a una tasa de interés y descontados a la misma tasa de interés es cero. Año Flujo $ 0 -1.000 n 1.000(1+i)n VPN(i) = -1.000 + 1.000(1+i)n / (1+i)n = -1.000 + 1.000 = 0 Por lo tanto cuando se calcula el VPN de A, en realidad se está haciendo la siguiente

operación: VPNA(i) = -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)2 -1.000 + 1.000(1+i)n/(1+i)n

= -1.000 + 300/(1+i) + 1.300/(1+i)2 + 0

Ejemplo 8 Sea la siguiente inversión: I0 = -1.000.000; I1 = 900.000; I2 = 800.000. El VPN al 30%

es: VPN (30%) = -1.000.000 + 900.000/1.3 + 800.000/(1.3)2 = 165.680,5 El cálculo del VPN es muy fácil con calculadoras financieras o con hojas electrónicas

como hoja de cálculo tal como se estudió en el capítulo 2. Sugerencia: para mejorar la comprensión del concepto del VPN, se sugiere estudiar el

ejercicio 2 de este capítulo. Regla de decisión para el VPN

En el ejemplo anterior si al calcular el VPN el resultado hubiera sido cero de acuerdo con lo visto arriba, ello significaría que sólo estaría recibiendo lo que invirtió más lo que se ganaba al costo de oportunidad o lo que paga por el dinero (el costo del dinero). Si el resultado hubiera sido negativo significaría que el proyecto ni siquiera le devolvería el valor invertido en él más los intereses de la tasa de descuento (costo del dinero). Si el resultado fuera positivo como en efecto lo fue, ello significa que el proyecto le devolverá su inversión sus intereses y una suma adicional. En este último caso usted quedará en una situación económica mejor que la que tenía antes de emprender el proyecto.

De lo anterior se puede deducir fácilmente la regla de decisión para el método del Valor Presente Neto, que es un modelo matemático y normativo y por lo tanto indica qué decisión se debe tomar:

1. Si el VPN es mayor que cero se debe aceptar. 2. Si el VPN es igual a cero se debe ser indiferente. 3. Si el VPN es menor que cero se debe rechazar. Las reglas anteriores se aplican cuando se trata de rechazar o aceptar una alternativa. En

el caso que se desee ordenar alternativas o entre un grupo de ellas escoger la mejor, la regla de decisión dice que se debe escoger aquella alternativa cuyo Valor Presente Neto sea el mayor.

Como se puede observar, estas reglas de decisión tanto de aceptación de alternativas, como de selección y escogencia son consistentes con los supuestos estudiados en el principio del capítulo 1. Representación gráfica del VPN

El VPN es una función de la tasa de interés. En el caso particular en que las tasas de interés sean todas iguales a i durante la vida del proyecto o inversión, se tiene la gráfica que aparece en la figura 12.2. En ella se puede observar que una alternativa tiene VPN positivo para todas las tasas de interés menores que ir, igual a cero para la tasa de interés igual a ir y valor

negativo para tasas de interés mayores que ir. La tasa ir es la que hace el VPN = 0

Figura 12.2 Valor Presente Neto (VPN)

-10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

0 20 40 60 80

Tasa de descuento i%

VP

N $

Como se dijo arriba, el análisis gráfico sólo aplica cuando la tasa de descuento es constante. En realidad lo que ocurre usualmente es que las tasas sean variables. Por tanto este análisis no es aplicable. Sin embargo, el enfoque es muy útil para fijar el concepto de la importancia del VPN y de cuándo hay preferencia sobre una u otra alternativa.

Si se presentan dos alternativas en forma gráfica, como en la Figura 12.3 se puede

observar que el ordenamiento o preferencia entre las alternativas, depende de la tasa de interés utilizada para calcular el VPN. Obsérvese en esa gráfica que para il la alternativa A, se prefiere a la alternativa B y para i2 la alternativa B, se prefiere a la alternativa A. Para i ambas alternativas tienen igual Valor Presente Neto por lo tanto la persona que toma la decisión debe ser indiferente entre las dos. De aquí se concluye que no es necesario determinar con precisión el valor de la tasa de descuento pues sólo debe saberse si ésta es menor o mayor que i.

Figura 12.3 VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes

-6.000

-4.000

-2.000

0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 10 20 30 40 50 60 70

Tasa de descuento

VPN VPN A

VPN B

i*

i1 i2

Es posible encontrar casos en los cuales i* no exista y siempre se prefiera una alternativa

a otra, independientemente de la tasa de interés. A esta situación se la conoce como dominación.

Figura 12.4 Alternativas C y A donde C domina a A.

-10.000

-5.000

0.000

5.000

10.000

15.000

20.000

0 20 40 60 80


VPN

VPN A

VPN C

Para recordar El VPN se puede explicar así: cuando se hace una inversión se recibe a lo largo de la vida

de la misma, un flujo de caja igual a la suma invertida y una suma adicional. El VPN mide el remanente después de restar al flujo de caja en valor actual, la inversión (o el préstamo que le hace la firma al proyecto) y el interés (calculado a la tasa de descuento, la cual es el costo del dinero: el de la deuda y el de los accionistas) que debe pagar el proyecto a la firma. Es decir, el VPN es el aumento de valor de la firma después de haber realizado la alternativa escogida. Por tanto, a mayor tasa de descuento, menor VPN.

Se pueden presentar entonces, las siguientes situaciones: 1. Si el remanente es positivo, entonces el VPN es positivo. Aquí se está añadiendo

valor y el proyecto debe aceptarse. 2. Si el remanente es negativo, entonces el VPN es negativo. Aquí se está destruyendo

valor y el proyecto debe rechazarse. 3. Cuando se tienen proyectos con VPN positivo, entonces se debe escoger el que

tenga mayor VPN. Este proyecto es el que crea más valor para la firma. La mejor forma de garantizar que un gerente produzca valor para la firma, es escoger

alternativas con VPN positivo. Tasa interna de rentabilidad, TIR

Otro método que tiene en cuenta el cambio de valor del dinero en el tiempo es la Tasa Interna de Rentabilidad, TIR. Este método es muy utilizado y para el común de la gente es más fácil de visualizar de manera intuitiva. La tasa interna de rentabilidad es una medida porcentual de la magnitud de los beneficios que le reporta un proyecto a un inversionista. Para entender este concepto conviene regresar al concepto de VPN. Se dijo arriba que el Valor Presente Neto representa el valor que recibía en exceso un inversionista sobre su inversión, después de que se ha descontado el interés de la tasa de descuento. Este cálculo se realiza fijando una tasa de interés, de modo que un VPN positivo a una determinada tasa de interés, indica que el inversionista recibe del proyecto su inversión, un interés sobre su dinero y una cantidad adicional. Ese interés y cantidad adicional que recibe el inversionista es la totalidad de los beneficios que le reporta el proyecto. De modo que cuando el VPN es igual a cero la tasa de interés a la cual esto ocurre es una medida de la totalidad de los beneficios que produce la inversión mientras se encuentran invertidos en ese proyecto. A esta tasa de interés se le denomina Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Esto se puede visualizar como la tasa de descuento de un decisor que hace que el VPN a esa tasa sea cero.

En las figuras 12.2 y 12.3 la TIR es la tasa de interés donde la curva del VPN corta el eje de las abscisas.

De la misma manera que con el VPN, se puede ilustrar con la misma gráfica. Los flujos de caja de un proyecto se pueden descomponer en tres partes:

1. El valor de la inversión que debe devolver el proyecto. 2. El valor de lo que ya se ganaba en su alternativa, que le permitió definir el costo de

oportunidad, o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero. 3. El remanente. En este caso la suma del remanente y del valor que ya se ganaba en su alternativa, que le

permitió definir el costo de oportunidad o lo que paga la firma por haber tenido que prestar el dinero es lo que produce el proyecto por encima de la suma invertida. Ese valor, medido por medio de una tasa de interés como un porcentaje que hace que el VPN sea igual a cero, es la TIR.

Figura 12.5. Representación gráfica de la TIR

Remanente

Costo del dinero ( tasa de descuento:

costo de oportunidad o costo de capital)

Inversión

Cuando se lleva al período cero, es el VPN o la generación de valor Es el interés que reconoce el proyecto por haber recibido el préstamo de la inversión

Es la devolución que hace el proyecto del dinero recibido para hacer la inversión

Flujo de caja

Se pueden presentar entonces, las siguientes posibilidades: 1. Cuando el remanente es positivo entonces la TIR es mayor que la tasa de descuento. 2. Cuando el remanente es cero la TIR es igual a la tasa de descuento. 3. Cuando lo correspondiente al costo del dinero (el área o caja de la mitad de la

figura) más el remanente es menor que los intereses de la tasa de descuento entonces la TIR es menor que la tasa de descuento.

La TIR se puede calcular entonces, resolviendo la siguiente ecuación:

011

j j

j

j

j

j

i

E

i

I (12.6)

Esta ecuación se resuelve por prueba y error y con el uso de las tablas si se desea trabajar a mano; pero en la práctica se usan calculadoras de bolsillo financieras y hojas electrónicas que tienen programas para resolver este tipo de ecuaciones y que instantáneamente hallan el valor de la TIR.

En hoja de cálculo: =TASA(n;C;P;F;tipo;i semilla) cuando se trata de calcular la tasa de interés, a partir de

una serie uniforme C o una suma futura F o la combinación de ambas y una suma P.

Expresado como un % es la TIR

=TIR(rango;i semilla) cuando se trata de un flujo no uniforme. En este caso hay que tener en cuenta, que el rango debe iniciarse con la celda correspondiente al instante 0 y terminar con la celda correspondiente al período n. Esto es, debe incluir todos los flujos. Ejemplo 9

Se tiene una inversión con los siguientes flujos de caja: Co = -$1.000.000 I1 = $900.000 I2 = $800.000

Como se dijo arriba, la TIR estará determinada por la tasa de interés que cumpla lo siguiente:

900.000/(1+i) + 800.000/(1+i)2 – 1.000.000 = 0 La hoja de cálculo utiliza la función TIR, ya conocida y el programa valora esta

expresión para diferentes valores de i y se detiene cuando el valor de esa ecuación (el VPN

en realidad), es muy pequeño. Lo que hace la hoja de cálculo es lo siguiente, suponiendo que los datos están ordenados

así: A B 1 Año Flujo $ 2 0 -1.000.000 3 1 900.000 4 2 800.000 En este ejemplo =TIR(A2... B4, 30%)=45,1249% el programa calcula el VPN a 30% y

verifica si es mayor o menor que cero. Si es mayor que cero lo recalcula utilizando una tasa de interés mayor y así sucesivamente hasta cuando el VPN sea negativo. En este caso lo vuelve a calcular con una tasa de interés menor hasta cuando el VPN sea positivo otra vez.

Este proceso se repite hasta cuando el VPN encontrado en valor absoluto sea menor que un valor muy pequeño del orden de una cien milésima o se hayan realizado unas treinta iteraciones; si en las treinta iteraciones no encuentra el valor de i que determine el VPN suficientemente pequeño declara error.

La TIR para la empresa y para el accionista en EMPRESA SAS se indica en la Tabla 12.8.

Tabla 12.8. TIR del FCC y FCA de la EMPRESA SAS 5 6 7 8 9 10 TIR FCC y Capital Invertido -151,05 41,84 -0,61 55,77 48,61 327,73 32,54% FCA con inversión inicial -151,05 41,84 34,29 48,94 42,12 297,14 34,37% Observemos que la TIR del inversionista es mayor que la de la empresa, lo cual es lo que

se espera. Conviene además hacer énfasis en dos hechos: primero que la TIR indica la rentabilidad

del dinero mientras éste se encuentra invertido en el proyecto; y segundo que este método supone implícitamente que los fondos liberados a lo largo de la vida del proyecto son reinvertidos a la TIR (Obsérvese la diferencia de suposiciones con relación al VPN).

Esta suposición también puede ilustrarse con un ejemplo.

Ejemplo 10 Si se tiene una inversión así:

Año Flujo $ 0 -1.000 1 300 2 1.300 Para i = TIR el VPN de esta inversión será cero. Ahora bien, si se supone que los fondos

liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa r%, entonces el VPN será: VPN(r,TIR) = -1.000 + 300(1+r) / (1+TIR)2 + 1.300 / (1+TIR)2. Si r es mayor que la TIR, entonces el VPN(r, TIR) será mayor que cero y si r es menor

que la TIR, el VPN(r, TIR) será negativo por lo tanto para que VPN(r, TIR)=0, r debe ser igual a TIR. Regla de decisión la TIR

Igual que el VPN, la TIR es un modelo matemático y normativo que dice lo siguiente: 1. Si la TIR es mayor que la tasa de descuento, se debe aceptar. 2. Si la TIR es igual a la tasa de descuento, se debe ser indiferente. 3. Si la TIR es menor que la tasa de descuento, se debe rechazar. Debe observarse que esta regla de decisión coincide con la del VPN para aceptar o

rechazar alternativas. Esto se puede ver con claridad en las Figuras 12.2, 12.3 y 12.4. Para el ejemplo de EMPRESA SAS este procedimiento y su regla de decisión tiene

sentido cuando la tasa de descuento es constante. Si no es constante podría resultar que para una de las tasas de algún año puede ser aceptable mientras que para otras no. La TIR puede usarse para aceptar o rechazar alternativas, pero no para seleccionarlas. Esto quiere decir que una alternativa con mayor TIR que otra, no necesariamente es la mejor. Miremos los flujos y las tasas de nuestro ejemplo:

Tabla 12.9. TIR y tasas de descuento en la EMPRESA SAS. Año 6 7 8 9 10 TIR Tasa para FCC Ku 12,58% 12,04% 11,50% 11,50% 11,50% 32,54% Tasa para FCA, Ke 12,58% 12,04% 11,73% 11,72% 11,70% 34,37% En estos casos observamos que tanto para el FCC como para el FCA la TIR es mayor que

cualquiera de las tasas previstas para los años 6 a 10. Puede ocurrir que esto no ocurra así y habría una duda al menos de si la regla puede o debe aplicarse. Es decir, podría haber unas tasas más altas que la TIR en algunos años y más bajas en otros. No hay que olvidar que la TIR es una especie de promedio. La Relación Beneficio/Costo, RB/C

Existe otro método muy utilizado para analizar proyectos de inversión: la Relación Beneficio/Costo. Este método también tiene en cuenta el cambio del valor del dinero a través del tiempo. Este índice se define como la relación entre los flujos de caja positivos y los flujos de caja negativos de un proyecto.

Los beneficios se definen como el valor presente de los flujos de caja positivos. Así:

B

i

IVP

jj

jB

1 (12.7a)

Los costos se definen como el valor presente de los flujos de caja negativos. Así:

Ci

EVP

jj

jC

1 (12.7b)

Aquí conviene hacer la misma observación hecha anteriormente: se está suponiendo el caso particular en que todas las tasas de descuento son iguales y constantes a lo largo del proyecto. Ejemplo 10

Para el proyecto siguiente: Año Flujo de caja $ 0 -2.000 1 1.200 2 -1.800 3 2.900 4 1.700 Los beneficios al 10% son: B = 1.200/(1,1) + 2.900/(1.1)3 + 1.700/(1,1)4 = 4.430,84 Los costos al 10% son: C = 2.000 + 1.800 / (1,1)2= 3.487,60 La relación beneficio/costo por lo tanto es: B/C = 4.430,84/3.487.60 = 1,27 En el ejemplo que hemos venido trabajando con tasas variables el análisis es el siguiente: Tabla 12.10. Cálculo de la RB/C de EMPRESA SAS.

Año 5 6 7 8 9 10 FCC + 0,00 41,84 0,00 55,77 48,61 327,73 FCC - 151,05 0,00 0,61 0,00 0,00 0,00 Tasas 12,58% 12,04% 11,50% 11,50% 11,50% VP FCC+ 295,24 290,55 325,54 307,21 293,93 0,00 VP FCC- 151,53 0,54 0,00 0,00 0,00 0,00 RB/C 1,95 El procedimiento es el mismo explicado arriba. Se escogen los flujos positivos y

negativos en sus fechas y aplica la misma fórmula ya utilizada para calcular los valores presentes de cada tipo de flujo positivo y negativo. Hay que aclarar que el valor presente de los flujos negativos hay que convertirlo a un valor positivo. En la hoja de cálculo se le cambia el signo o se usa la función Valor Absoluto, =ABS(rango). La regla de decisión será la misma que se describe a continuación. Sólo que no está referida a una tasa en particular.. Regla de decisión de la RB/C

Un proyecto de inversión se justifica si la RB/C al i% es mayor que 1. Si se recuerdan los métodos anteriores se tiene: con el VPN se acepta una inversión cuando el VPN es mayor que cero lo cual implica que los beneficios son mayores que los costos, por lo tanto la RB/C será mayor que uno; con la TIR se acepta un proyecto si ésta es mayor que la tasa de descuento lo cual implica que el VPN es mayor que cero y a su vez la relación beneficio/costo será mayor que uno. Esto significa que el proyecto del ejemplo se justifica al 10% porque RB/C es mayor que uno.

Cuando la RB/C es igual a uno el decisor debe ser indiferente ante el proyecto; si es menor que uno el decisor deberá rechazar el proyecto. En resumen:

1. Si la relación beneficio/costo es mayor que 1. se debe aceptar;

2. Si la RB/C es igual a 1. se debe ser indiferente; 3. Si la relación beneficio/costo es menor que 1. se debe rechazar. Este también es un modelo matemático y normativo. Para evaluar la justificación de

alternativas, ya sea para rechazar o aceptar éstas, la RB/C coincide con los métodos anteriores. Resumen

Se han presentado diversos métodos para la evaluación y ordenamiento de alternativas, a saber: el Valor Presente Neto (VPN), la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) y la relación beneficio costo (RB/C); se ha visto que algunos, la TIR y la RB/C, pueden ser utilizados para la justificación de alternativas pero no para su ordenamiento.

Ejercicios de autocorrección

1. Considérense las siguientes alternativas mutuamente excluyentes.

Período ALTERNATIVAS $ 1 2 3 4 0 - 1.000 - 3.000 - 2.500 - 1.000 1 400 0 200 0 2 400 400 700 0 3 400 1.600 1.200 0 4 400 2.900 2.000 1.800 Calcule el VPN, la TIR, la relación B/C, a la tasa de 12% por período. Ordene las

alternativas de acuerdo con cada uno de los criterios. Solución a los ejercicios de autocorrección

Nota: aquí se utiliza un método manual sólo para ilustrar el proceso de solución. Se supone que el lector utiliza el computador o una calculadora financiera.

1. Período ALTERNATIVAS $

1 2 3 4 0 -1.000 -3.000 -2.500 -1.000 1 400 0 200 0 2 400 400 700 0 3 400 1.600 1.200 0 4 400 2.900 2.000 1.800 En la solución de este ejercicio se utilizará la siguiente notación para representar cada

factor: factor(C-> P,n,i%) convierte una cuota uniforme de un peso desde 1 hasta n en una suma

presente P en 0, a la tasa i%.0 factor(F->P,n,i%) convierte una suma futura de un peso en n en una suma presente P en

0, a la tasa i%. CÁLCULO DEL VPN VPN1(12%)= -1.000 + 400 x factor(C P,4.12%) = 214.94

VPN2(12%)=-3.000+400xfactor(FP,2,12%)+1,600xfactor (F -> P,3.12%) + 2.900 x

factor(F P,4. 12%) = 300,73 VPN3(12%)= -2.500 + 200 factor(FP,1.12%) + 700x factor(FP,2,12%)+ 1.200 x

factor(FP,3.12%) + 2.000 x factor(F P,4.12%) = 361,78 VPN4(12%) = -1.000 + 1.800 x factor(FP,4,12%) = 143,93 = VNA(0,12;RANGO(t=1 a t=4), para cada alternativa Cálculo de la TIR VPN1(20%) = -1.000 + 400 x factor(C P,4,20%) = 35,49

VPN1(22%) = -1.000 + 400 x factor(C P,4,22%) = -2,54 Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 21,86%. VPN2(15%)= -3.000 + 400xfactor(FP,2.15%)+1.600x factor (F -> P,3.15%) + 2.900 x

factor(F P,4.15%) = 12,57 VPN2(16%)= -3.000+400xfactor(FP,2,16%)+ 1.600xfactor (F P,3,16%) + 2.900 x

factor(F P,4.16%) = -76.04 Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 15,14%. VPN3(16%)=-2.500 + 200 x factor(FP,1,16%)+700xfactor (F P,2,16%) + 1.200 x

factor(F P,3,16%)+ 2.000 x factor(F P,4,16% ) = 66 VPN3(17%)= -2.500 + 200 x factor (FP,1.17%)+700 x factor (F P,2,17%) + 1.200 x

factor(F -> P,3,17%)+ 2.000 x factor(F P,4,17%) =-1,16 Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 16,98%. VPN4(15%) = -1.000 + 1.800 x factor(F P,4,15%) = 29.16

VPN4 (16%) = -1.000 + 1.800 x factor(F P,4.16%) = -5.8888 Por interpolación se encuentra que la TIR es aproximadamente 15.83%. =TIR(RANGO(t=1 a t=4), para cada alternativa. CÁLCULO DE LA RELACIÓN BENEFICIO/COSTO De los cálculos del VPN se puede deducir lo siguiente: VPB1(12%) $ 1.214,94 VPC1(12%) $ 1.000 RB/C1(12%) 1,215 VPB2(12%) $ 3.300,73 VPC2(12%) $ 3.000 RB/C2(12%) 1,10 VPB3(12%) $ 2.861,78 VPC3(12%) $ 2.500 RB/C3(12%) 1,145 VPB4(12%) $ 1.143,93 VPC4(12%) $ 1.000 RB/C4(12%) 1,144

Ejercicios 1) Explique por qué el VPN positivo de una inversión indica que ella es aconsejable.

2) Llene los espacios en blanco en el texto presentado a continuación, indicando y ejecutando las operaciones necesarias.

Para ilustrar el significado del cálculo del VPN de una inversión cuando ésta se financia pidiendo prestado. Considere un proyecto de inversión que requiere un desembolso inicial de $10.000 y ofrece retornos (flujos de caja netos) de $5.000 al año por tres años.

El valor presente de los retornos, flujos de caja netos al 6% de interés anual es:

de modo que el Valor Presente Neto del proyecto de inversión es:

El valor de los retornos esperados de la inversión de $10.000 es suficiente para pagar la

amortización y el interés de un préstamo hasta de

pactado a una tasa de interés del 6% pagadero en tres cuotas anuales de $5.000 cada una.

Un modo de interpretar el significado del Valor Presente Neto del proyecto consiste en ver que una firma podría obtener un préstamo de

al 6%, gastar $10.000 de ese préstamo en la inversión e inmediatamente distribuir el resto

como flujo de caja para los dueños. Los beneficios netos de $5.000/año, por tres años, de la inversión de los $10.000

exactamente repagarían el préstamo al fin del tercer año. 3) ¿Qué es la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión? ¿En qué tipo de

decisiones es adecuado usar el criterio de TIR y por qué? 4) ¿Cuándo coinciden los criterios de ordenamiento por TIR y VPN? 5) La Compañía Minera S.A. invirtió $200 millones hace tres años en un equipo para

explotar un filón en la selva el cual se agotó ya sin producir casi nada. El equipo se deprecia linealmente en veinte años, por lo cual vale hoy en libros $170 millones, los cuales se cargarán como pérdidas a los flujos de caja de los próximos años, a razón de $10 millones por año. Ese equipo se puede vender hoy como chatarra en $20 millones.

Los geólogos han descubierto un nuevo filón más profundo en el mismo sitio, el cual requerirá una inversión adicional de $50 millones para explotarlo, pero produciría beneficios por $140 millones en valor presente (actualizado) y neto de los gastos de explotación y distribución. Usted es uno de los miembros de la junta directiva ante la cual se presenta el tesorero de la firma a pelear contra la estupidez de explotar el nuevo filón. “Ya se han perdido $170 millones allá y vamos a invertir $50 millones más, para lograr beneficios por $140 millones que no compensan los $220 millones que hay que repagar, más bien vendamos la chatarra y rescatemos $20 millones de lo perdido”. A la intervención

del tesorero sigue la del gerente, quien renuncia a su cargo para retirarse de la firma y ofrecer $50 millones por los derechos de explotación y el equipo actual de la mina.

¿Qué piensa usted de las dos intervenciones, y qué haría en tal situación? 6) Homero Cerquillo vende enciclopedias de la Editora Amazona y recibe una

comisión por cada enciclopedia que vende. La comisión es de $6.000 por enciclopedia. Cerquillo ha estado tratando de vender a Olaf Tartán una enciclopedia y ha gastado $5.000 en atenciones a Tartán, sin que hasta el momento se haya realizado la venta. Tartán, quien no tiene influencia ni contacto con otros clientes de Cerquillo, le dice que le comprará la enciclopedia si él le compra un reloj por $2.500.

a) ¿Debe Homero aceptar la propuesta? Justifique la respuesta. b) ¿Cuál sería el máximo precio que Homero podría pagar a Olaf por el reloj? 7) Una universidad tiene un fondo de inversiones para aumentar su patrimonio y está

considerando las dos propuestas de inversión descritas a continuación: a) Comprar un equipo de reproducción en $5.000.000 ahora, operarlo por cinco

años y venderlo al final de los mismos en $4.000.000. El flujo de caja anual producido por la operación se supone constante e igual a $750.000/año una vez deducidos los costos de operación.

b) Comprar un lote en $5.000.000 y venderlo al cabo de cinco años en $9.500.000. Determine una regla de decisión dependiente de la tasa de descuento i% para encontrar

en cuál de las posibles oportunidades de inversión debe la universidad colocar los $5.000.000 de que dispone ahora. Describa cómo cambia esa decisión a medida que aumenta la tasa de descuento. ¿Cuál sería su decisión?

8) Un campesino compró un equipo de recolección de papas en $190.000 hace dos años. Debido a que ese era un equipo desconocido para él, siguió las recomendaciones del vendedor: los costos de operación le subieron a $55.000/año. Estos costos serían menores si hubiera comprado un equipo más adecuado. Al comenzar la nueva cosecha, un vendedor le ofreció un nuevo equipo que le costaba $165.000 y además le garantizaba que los costos de operación serían de $30.000/año. El campesino podría vender la cosechadora vieja por $37.500 ya que ése era su valor real.

Suponga que para efectos de este estudio el valor de salvamento —o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil— es despreciable para ambas cosechadoras de papa y que el período de estudio es de 10 años. El costo de oportunidad (tasa de descuento) es de 12% anual.

¿Qué le recomendaría usted al campesino? 9) Hace dos años una universidad compró un automóvil en $20.000.000. De acuerdo

con la última declaración de renta el carro aparece con un valor de $14.000.000 pero se sabe que no puede venderse en más de $20.000.000.

Se quiere considerar la posibilidad de continuar usando ese vehículo durante 3 años más, o de comprar un automóvil nuevo y tenerlo por 3 años. Si continúa utilizando el vehículo actual tendrá que hacerle inmediatamente reparaciones por $6.400.000 y podrá venderlo al final de 3 años en $20.000.000. El carro nuevo vale ahora $34.000.000 y al cabo de 3 años se podría vender en $30.000.000. Los costos anuales de operación y mantenimiento son de $2.400.000 para el carro actual y de $2.000.000 para el nuevo modelo. Si se considera que las inversiones de capital de la universidad deben producir por lo menos un 14% anual, sin contar impuestos, ¿Cuál será su decisión? ¿Cuál sería el costo de oportunidad del capital para el cual daría lo mismo un automóvil que el otro? ¿Qué otras consideraciones cree usted que serían pertinentes para tomar esta decisión?

10) Los bonos son promesas de pago de una cierta suma de dinero en una fecha en el futuro y del pago de intereses cada cierto período de tiempo. Considere el caso de un bono de $1.000 emitido en enero 1 de 2014 para ser pagado en enero 1 del año 2029 pagando intereses de $63 semestralmente. Si a usted le ofrecen ese bono el 1 de enero de 2016.

¿Hasta cuánto estaría dispuesto a pagar sabiendo que tiene alternativas de inversión de igual riesgo que le producen el 12% anual?

11) Este problema se presentó hace varias décadas en un país en vía de desarrollo donde se habían comenzado varios proyectos hidráulicos de dudosos méritos económicos y en donde la obtención de crédito era para entonces muy difícil.

Se había solicitado sin embargo un préstamo al Banco Mundial para terminar un proyecto específico de irrigación. Los aspectos financieros del proyecto eran los siguientes: entre 1960 y 1965 se habían construido dos grandes represas, tres represas pequeñas y 100 kilómetros de canales para riego con un costo total para 1965 de $50 millones.

Para poder terminar las estructuras del sistema de riego incluyendo los canales secundarios, los acueductos, vertederos, presas de control, compuertas de salida y acequias de abastecimiento para cada finca, se requería un desembolso adicional de $20 millones entre 1965 y 1970, calculado en pesos de 1970.

Se solicitó al Banco Mundial un préstamo por esa suma. Un equipo de expertos estudió este proyecto y calculó que el costo de operación y mantenimiento del mismo comenzando en 1970 sería de un millón por año y los flujos de caja netos del proyecto llegarían a sumar $3 millones por año durante los primeros cinco años y $5 millones por año de ahí en adelante.

Si se supone una tasa de descuento del 8% y que la vida útil del proyecto fuera de 50 años, el problema consistía en decidir si se justificaba económicamente, basado en los flujos de caja directos, conceder el préstamo solicitado por $20 millones.

12) Dibuje una gráfica del VPN de cada uno de los siguientes flujos de caja como función de la tasa de descuento que varía entre 0% y 30%, en pasos de 5%.

a) Un desembolso inmediato de $6.000 seguido de un flujo de caja de $10.000 dentro de 5 años.

b) Un desembolso inmediato de $6.000 seguido de una serie de flujos de caja de 1.000/año durante diez años.

c) Un desembolso inmediato de $5.000, seguido por una serie de flujos de caja de 1.000/año durante quince años, luego una serie de egresos de $1.000/año por otros quince años. Base su dibujo en valores calculados entre 0% y 25%,

13) Calcule la Tasa Interna de Rentabilidad de las siguientes alternativas. a) Un desembolso de $1.000 ahora y otro de $1.000 dentro de seis años con flujos de

caja anuales de $200 por los ocho años siguientes. b) Un desembolso de $1.000 por cuatro años a partir de hoy, seguido de una serie de

flujos de caja que comienza dentro de seis años con $2.000 y crece cada año en $200, hasta el final del año doce.

. 14) Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes beneficios netos al final de

cada período: $5.000, $4.000, $3.000, y $2.000. Si la tasa de descuento es de 10%. ¿Se debe aceptar este proyecto? ¿Cuál es la Tasa Interna de Rentabilidad? ¿Cuál es el VPN al 10%? ¿Coinciden ambos criterios? ¿Por qué?

15) Aceptar o rechazar las siguientes propuestas de inversión utilizando los métodos de TIR y de VPN. Suponer una tasa de descuento del 10%

Alternativa Período 0 1 2 A $ -10.000 2.000 15.000 B $ -10.000 0 10.500 C $ -10.000 0 18.000 16) Hay dos proyectos A y B; la función del VPN de cada uno de los proyectos está

dada en la gráfica que aparece al final del ejercicio y que corresponde a la gráfica 4.2. a) Indique en la figura: a) La tasa interna rentabilidad de A. b) La tasa interna

rentabilidad de B. b) Si la tasa de descuento es i1%, ¿Cuál proyecto es mejor? 2. Si la tasa de descuento

es i2%, ¿Cuál proyecto es mejor? c) ¿Entre qué valores de i los ordenamientos por rentabilidad interna coinciden con el

ordenamiento por Valor Presente Neto? d) ¿Qué se supone implícitamente, respecto a la reinversión de los fondos cuando se

toman las decisiones con base en el criterio del VPN?

i1VPN de dos alternativas mutuamente excluyentes

-6.000

-4.000

-2.000

0.000

2.000

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

0 10 20 30 40 50 60 70


VP

N VPN A

VPN B

i*

i1I2

17) Considere los proyectos descritos a continuación.

Período Flujo de caja $ Proyecto C Proyecto D Proyecto E

0 -1.000 +1.000 -1.600 1 +1.100 -500 +10.000 2 -180 +660 -10.000 3 +840 -1.800 0 ¿Cuál es el VPN al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita de descuento? ¿Cuál es la

Tasa Interna de Rentabilidad de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor proyecto a la tasa de descuento de 30%? ¿Podría usted ordenar esos proyectos por su Tasa Interna de Rentabilidad?

18) ¿Cuál es el Valor Presente Neto al 10% de los siguientes flujos de caja. Ordénelos según el resultado obtenido.

Alternativa Período 0 1 2 3 4 5

A $ -1.000 100 100 100 100 100 B $ -1.000 264 264 264 264 264 C $ -1.000 1.762 Calcule la Tasa Interna de Rentabilidad de cada flujo 19) Las propuestas de inversión A, B, C, son excluyentes. Suponiendo una tasa de

descuento de 30% anual, ¿Qué decisión se debe tomar para cada una de ellas?

Alternativa Período 0 1 2

A $ -10.000 2.000 12.000 B $ -10.000 13.500 C $ -10.000 14.000 20) Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A, B y C. La tasa de

descuento es de 18% anual.

Alternativa Período 0 1 2 3 TIR

A $ -1.000 505 505 505 24% B $ -10.000 2.000 2.000 12.000 20% C $ -11.000 5.304 5.304 5.304 21% ¿Cuál de las tres se debe elegir? 21) Para los siguientes flujos de caja

A B Costo inicial $ 10.000 10.000 Beneficios netos $ Año 1 2.000 7.000 Año 2 4.000 5.000 Año 3 6.000 4.000 Año 4 8.000 2.000 a) Calcule la TIR de cada proyecto. b) Dibuje una gráfica esquemática de la curva del VPN para estos proyectos. c) ¿Para qué rango de tasas de interés se prefiere el proyecto A al proyecto B? d) Calcule la relación beneficio-costo para cada proyecto: suponga una tasa de

descuento de 10%. 22) La Compañía Mapple está considerando la elección entre dos máquinas diferentes,

que esencialmente hacen el mismo trabajo —las máquinas son mutuamente excluyentes—. Una comparación de los movimientos de caja de las dos máquinas muestra que si se elige la menos cara de las dos, se tendrá un ahorro en el momento de la compra de $1.000, pero un gasto adicional de $333 anuales a lo largo de los cinco años de duración previstos para la máquina. La tasa de descuento de la Compañía Mapple es del 10 %.

Calcule la TIR cada alternativa y determine cuál de las dos máquinas, la barata o la más cara, debe comprarse. ¿Es este método correcto? ¿Por qué? Obtenga la misma decisión utilizando el método de Valor Presente Neto.

23) Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Suponga una tasa de descuento del 12%. Elegir la mejor de las dos inversiones.

Alternativa Período $ TIR %

0 1 2 A -16.050 10.000 10.000 16 B -100.000 60.000 60.000 13

24) Aviso aparecido en "El Espectador", julio 14 de 1981: Futurícese....! con el Futurizador Financiero de Confinanciera. El más novedoso sistema

de inversión con futuro. Aquí tiene un ejemplo de cómo este novedoso sistema de inversión le asegura una alta rentabilidad para su futuro:

25 años = $ 61.068.886.oo Si usted invierte $20.000.oo cada año a los 25 años tendrá $61.068.886. o sea que usted

solo invierte $500.000.oo y su utilidad será de $60.568.886.oo. ¿Se da cuenta? Con el Futurizador Financiero de Confinaciera podrá formar un capital

para el futuro que le garantice la educación de sus hijos, la tranquilidad de la vejez ... en otras palabras su futuro bienestar y el de su familia. Venga ya a Confinanciera, solicite su Futurizador Financiero y empiece ya una inversión CON futuro!

CONFINANCIERA S.A. La financiera CON buen servicio Compañía de Financiamiento Comercial Consorcio Financiero Nacional. ¿Qué TIR ofrece esta propuesta? 25) ¿Cuál de las dos alternativas que se describen a continuación es la mejor si la tasa

de descuento es del 25%? ¿Para qué tasa de descuento se cambia el ordenamiento?

Año Flujo $ Alternativa A Alternativa B

0 -1.000 -1.000 1 500 550 2 400 700 3 550 600 4 680 760 26) Seleccione la mejor alternativa y explique en forma concisa su respuesta.

Método Alternativa A B C

VPN(30%) $ 15 45 22 TIR 42% 37% 35% B/C(30%) 1,12 1,06 1,03 27) Se cuenta con 100 vehículos livianos, con más de 5 años de uso y cuyo costo de

operación actual es de US$12.000 al año y ofrecen una disponibilidad mecánica menor del

60%, lo cual obliga a alquilar vehículos a un costo de US$25 por día, para lograr el 85% de disponibilidad requerido. La empresa trabaja con una tasa de descuento de 20%. Se tienen tres opciones:

a) Alquilar toda la flota con disponibilidad garantizada de 90%. b) Seguir como ahora (el valor de salvamento -o valor de mercado de la alternativa al

final de la vida útil- de cada vehículo es de US$2.000). c) Reconstruir los equipos a un costo de US$9.000 por unidad y se obtienen 3 años

adicionales de vida útil con los siguientes comportamientos de costos y disponibilidad:

Año 1 2 3

Costo de operación (US$) 8.000 10.000 14.000 Disponibilidad 85% 83% 80% Valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) (US$)

2.000

d) Comprar vehículos nuevos a un costo de US$20.000 con una vida útil de 6 años,

con los siguientes comportamientos de costos y disponibilidad:

Año 1 2 3 4 5 6 Costo de operación (US$ miles) 4 5 7 9 12 16 Disponibilidad 90% 90% 87% 85% 83% 80% Valor de salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) (US$ miles)

4 ¿Cuál será la mejor decisión? Suponga siempre que la base de referencia para el análisis

es que debe trabajarse 24 horas diarias. 28) El plan de minería requiere mantener una disponibilidad mecánica de los tractores

de oruga del 65% como mínimo. Actualmente se encuentra en 62%; la mina trabaja 24 horas diarias y se tienen dos opciones:

a) Alquilar las horas faltantes de máquina a US$150 por hora de operación. b) Comprar un paquete de repuestos capitalizables a US$50.000. El costo de operación

de la máquina es de US$60 por hora de operación. La inversión en la máquina cuando nueva, fue de US$450.000 hace cinco años y se deprecia linealmente en diez años. Su valor comercial hoy es de US$9.000. La tasa de descuento es de 20%.

Suponga siempre que la base de referencia para el análisis es que debe trabajarse 24 horas diarias.

29) Explique por qué el VPN debe calcularse con tasas de interés que cambian de período a período y bajo qué supuesto cambian.

30) Un proyecto cuesta $10.000 y promete los siguientes flujos de caja al final de cada período: $4.000. $4.000. $3.000. y $1.000. Si la tasa de descuento es de 10%. ¿se debe aceptar este proyecto? ¿cuál es la Tasa Interna de Rentabilidad? ¿cuál es el VPN al 10%? ¿coinciden ambos criterios? ¿por qué?

31) Considere los proyectos descritos a continuación: Flujos de caja

Proyecto C D E 0 -1.000 1.100 -800 1 1.000 -500 10.000 2 -180 700 -10.000 3 400 -1.800 0 a) ¿Cuál es el Valor Presente Neto al 0%? ¿Cuál es el VPN para una tasa infinita de

descuento? ¿Cuál es la tasa interna de rentabilidad de cada proyecto? ¿Cuál es el mejor proyecto a la tasa de descuento de 11%? ¿Podría usted ordenar esos proyectos por su tasa interna de rentabilidad?

32) Suponga que se tiene proyectado montar una empresa en un centro comercial muy importante de la ciudad. Los cálculos sobre inversión y flujos de caja netos durante 10 años, al final de los cuales se venden todos los bienes, son los siguientes: Año Flujo de caja $ 0 -7.000.000 1 1.000.000 2 1.150.000 3 1.200.000 4 1.300.000 5 1.450.000 6 1.600.000 7 1.850.000 8 2.000.000 9 2.100.000 10 4.500.000 Estas cifras las obtiene el decisor por medio de proyecciones y cálculos de fondos

disponibles para el inversionista o sea, el Flujo de Caja Capital o Flujo de Caja Libre. El procedimiento para llegar a estas cifras, se estudió en el capítulo anterior.

Cuando usted hizo los estudios de este proyecto determinó que su tasa de descuento era 16% anual. Su cálculo consideraba además, que esta tasa no variaría durante los siguientes diez años.

El competidor, quien ya tiene instalada una firma similar en el mismo centro comercial, no desea que se le haga competencia; por lo tanto prefiere pagarle algo para que desista de la idea.

¿Cuánto es lo mínimo que le deben pagar para desistir de la idea? Esta pregunta la responde el VPN, porque mide los beneficios que obtendría si emprendiera el negocio y que desecha al desistir de él.

A su competidor le pareció excesiva la cifra y no le pagó nada, de modo que usted instaló su firma. Cuando ya estaba todo listo para la inauguración, volvió su competidor, que había quedado muy impresionado por el montaje, decoración e imagen que usted presentaba al público y le ofreció comprarle todas las instalaciones para una de sus sucursales.

¿Cuánto es lo mínimo que usted debe pedirle? Esta respuesta la da el valor presente de los flujos de caja netos durante los próximos diez años, ya que no sólo debe desechar el

valor de sus flujos de caja netos en valor presente, sino que debe entregar la inversión realizada. Por lo tanto usted le pide por lo menos, $7.387.458,43.

33) Un inversionista es socio en diferentes negocios pequeños. Su práctica es suministrar un 50% del capital para nuevos negocios, potencialmente promisorios, a cambio de un 50% de las utilidades. Uno de sus socios le ha propuesto que invierta capital adicional en la planta para reducir los gastos, según 5 proyectos, mutuamente excluyentes y con una vida estimada de 10 años. Todas las inversiones tienen un valor de salvamento de cero al cabo de los 10 años.

Propuesta A B C D E

Inversión requerida $ 30.000 50.000 70.000 100.000 140.000 Economías anuales $ 5.700 7.500 14.000 19.000 27.000 Si el inversionista requiere de su participación una rentabilidad mínima del 13% sobre su

inversión, ¿cuál de las propuestas debe escoger? 34) Suponga que existen tres inversiones mutuamente excluyentes A, B y C. La tasa de

descuento es de 18% anual. Alternativa 0 1 2 3 TIR %

A $ -1.000 505 505 505 24 B $ -10.000 2.000 2.000 12.000 20 C $ -11.000 5.304 5.304 5.304 21 ¿Cuál de las tres se debe elegir? 35) Existen dos inversiones mutuamente excluyentes. Supóngase una tasa de descuento

del 12%. Elegir la mejor de las dos inversiones. Alternativa Período TIR

% 0 1 2 A $ -16.050 10.000 10.000 16 B $ -100.000 60.000 60.000 13 36) Una empresa manufacturera tiene como política aceptar las inversiones que

produzcan 15% o más, ya que considera que ése es su costo de oportunidad. El gerente de la empresa presentó a la junta directiva la siguiente información sobre seis máquinas que tienen una vida económica de 10 años y valor de salvamento nulo. Los directivos deben escoger una ya que sólo se necesita una de ellas, ya que son mutuamente excluyentes:

Máquina Inversión Ahorro

anual $ TIR

$ Onondaga 30.000 6.000 15,10% Oneida 50.000 10.999 17,68% Cayuga 55.000 12.000 17,45% Tuscarora 60.000 13.001 17,26% Séneca 70.000 14.499 16,03% Tisquesusa 74.000 15.299 15,98%

Un directivo dijo: "Obviamente, la mejor es la de Oneida" Otro dijo: "No, es la de

Tuscarora".

Usted, que es el gerente, tiene varias formas de analizar este problema y debe elaborar entonces un informe en el cual se muestre:

a) Una revisión de las cifras presentadas b) Su análisis por medio del VPN y c) Su análisis por medio de la TIR. d) ¿Es el criterio anterior adecuado? 37) Si un proyecto tiene 3 años de vida y las tasas de descuento para cada año son:

año_1 10%; año_2 11%; año_3 15%. ¿Cómo calcula usted el VPN del proyecto? Use cifras inventadas. Lo que interesa es el cómo se hace.

38) Considere las siguientes situaciones: a) Actualmente una operación de manejo de documentos en la biblioteca de una

universidad se hace manualmente. Los gastos anuales de esta operación (incluyendo prestaciones sociales) son de $820.000. A esta operación anual se la llamará plan A.

b) Existe una propuesta, el plan B, que consiste en comprar un equipo para sistematizar el proceso que reduciría el costo de personal. El precio de este equipo es de $1.500.000. Se estima que esta inversión reduciría los gastos anuales de personal, incluyendo prestaciones sociales, a $330.000 anuales. Y se incurriría en gastos por mantenimiento energía y seguros en $180.000 anuales.

La vida útil de esta inversión es 10 años y al final de ellos el equipo no tendrá ningún valor de salvamento o valor de mercado de la alternativa en ese momento. Se supone que los gastos anuales en personal, mantenimiento y seguros serán uniformes durante los 10 años. Pregunta: ¿Cuál de los dos planes es mejor? Use una tasa de descuento del 12%.

c) Existe otra propuesta, el Plan C, que consiste en la compra de un equipo de uso múltiple (además se puede utilizar en procesos administrativos). El precio de este equipo es de $2.500.000. Se estima que este equipo, tendrá un valor de salvamento neto (o valor de mercado de la alternativa en ese momento) de $ 500.000 al cabo de su vida de servicio de 10 años. (El valor de salvamento neto (o valor comercial) de la alternativa en ese momento) se toma aquí como los ingresos brutos de la venta del equipo menos los gastos requeridos para su retiro y venta). Este equipo más automatizado que el del Plan B, reducirá los gastos de personal, incluyendo prestaciones sociales, a $170.000. Los gastos anuales, energía, mantenimiento y seguros se aumentan a $260.000.

Pregunta: compare los planes A, B y C utilizando tasas de descuento del 13%, 15%, 20% y 30%. Las características del plan B aparecen descritas en la parte 1 de este ejercicio.

39) Para la construcción de ciertas instalaciones deportivas se dispone de 2 propuestas, los planes D y E. Los flujos de caja de la institución no se afectarán por la selección de uno u otro plan. Los estimativos para los dos planes son como sigue:

PLAN D PLAN E Inversión $ 5.000.000 12.000.000 Vida de servicio 20 años 40 años Valor salvamento (o valor de mercado de la alternativa al final de la vida útil) $

1.000.000 2.000.000

Gastos anuales $ 900.000 600.000

Los gastos anuales incluyen gastos de operación y de mantenimiento, impuesto predial y

seguros de incendio. Compárense estas 2 alternativas utilizando una tasa de descuento del 20% anual.

Suponga que en la inversión, en la segunda construcción de las instalaciones del Plan D, el precio de la estructura ha aumentado a 20 millones y los gastos anuales en todos los casos aumentan un 5% anual.

12 INVERSIONES Y PRESUPUESTO DE CAPITAL. Implica alternativas. 2. Se relaciona con las diferencias...

Documents

Transcript of 12 INVERSIONES Y PRESUPUESTO DE CAPITAL. Implica alternativas. 2. Se relaciona con las diferencias...