12

Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculoy Cálculo

Daniel Mena González

Escuela de Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de Costa Rica.Correo electrónico: daniel.menagonzalez@ucr.ac.cr

Resumen. La intervención que se expondrá en este documento fue desarrollada en un grupo deCálculo diferencial y dos grupos de Precálculo por lo que se realizaron las adaptaciones debidaspara cada población. En su primera etapa con el grupo de Cálculo se procedió a la reelaboracióndel capítulo sobre Límites y continuidad con el que cuenta la cátedra MA 0230 Matemática paraCiencias Económicas I atendiendo a la incorporación del recurso gráfico con applets elaboradoscon el software matemático GeoGebra, los cuales podían ser accedidos por el o la estudiante en laplataforma Moodle del curso. Con los grupos de Precálculo la intervención se orientó en la lecturade gráficas de funciones haciendo uso, en su mayoría, de los applets desarrollados anteriormentee incorporando otros nuevos. Estos se habilitaron para la población estudiantil de la cátedra MA0001 Precálculo en la plataforma Moodle al igual que en el curso de Cálculo.

Palabras clave: GeoGebra; TIC; precálculo; cálculo; gráficas; Moodle.

12.1 Introducción

La intervención se desarrolló con grupos de la Sede Rodrigo Facio de la Universidad deCosta Rica. En el II ciclo 2013 (de agosto a noviembre) se trabajó con un grupo de lacátedra MA 0230 Matemática para Ciencias Económicas I en horario de la mañana conuna matrícula de 31 estudiantes. De estos únicamente finalizaron el curso 8 estudiantes ylo aprobaron 4 de ellos.

Este grupo estaba conformado por estudiantes de las carreras: Dirección de Empresas,Economía Agrícola, Contaduría Pública y Administración Pública. La carrera Adminis-tración Pública tiene ubicado el curso MA 0230 en el I ciclo del segundo año, Direcciónde Empresas y Contaduría Pública en el II ciclo del primer año, mientras que EconomíaAgrícola lo cursa en el I ciclo del primer año. Es importante resaltar que de las cuatrocarreras que se atendieron solamente Dirección de Empresas incluye un curso previo aMA 0230 denominado MA 0125 Matemática Elemental donde los estudiantes recibennivelación para el curso de Cálculo. Esta disparidad se solventa en el curso MA 0230realizando una nivelación intensiva que se evalúa en el I parcial.

110 D. Mena – Matemática

La población estudiantil en esta ocasión correspondía, mayormente, a estudiantesrepitentes, es decir, ya habían cursado MA 0230 una o más veces.

La intervención realizada se desarrolló con este grupo de estudiantes en aproximada-mente dos semanas (del 7 al 18 de octubre del 2013) en cuatro sesiones.

En el I Ciclo 2014 (de marzo a junio) se atendieron dos grupos de la cátedra MA0001 Precálculo con una población de 71 estudiantes de los cuales finalizaron el curso18 únicamente y lo aprobaron 5.

El curso se ofreció a estudiantes de las carreras que se contemplan en las siguien-tes áreas: Ingenierías, Ciencias Básicas (excepto Biología), Ciencias Agroalimentarias(Zootecnia, Agronomía, Ingeniería de Alimentos), Salud (Farmacia, Medicina, Micro-biología, Salud Ambiental, Ortoprótesis y Ortopedia, Nutrición), Ciencias Sociales (En-señanza de las Ciencias Naturales, Economía).

Es importante resaltar que MA 0001 Precálculo no forma parte del plan de estu-dios de ninguna de las carreras mencionadas anteriormente pues se ofrece como cursode nivelación para los estudiantes que realizaron el Diagnóstico en Matemática (DiMa),obtuvieron una nota menor o igual a 40 y la carrera en la que están empadronados in-cluye el curso MA 1001 Cálculo I o MA 1210 Cálculo I (para Salud). Al mismo tiempo,este curso pretende brindarles los conocimientos básicos necesarios para desempeñarseóptimamente en el curso de Cálculo diferencial e integral.

La intervención con estos estudiantes tuvo lugar en la tercera semana del mes de abrildel 2014 distribuida en dos clases.

El autor de este artículo ha detectado, en sus años de experiencia con grupos de Cál-culo y Precálculo, la carencia de habilidades de los estudiantes en la lectura de gráficasde funciones sea para la identificación de límites, continuidad, derivabilidad o bien eldominio, ámbito, intersecciones con los ejes, monotonía, entre otros. Azcárate (2000)indica que:

“Uno de los objetivos de este artículo es esbozar una propuesta curricular dondeel lenguaje de las gráficas actúe de hilo conductor para la introducción de con-ceptos, en el convencimiento de que es el medio no solo más asequible sino másadecuado a la estructura cognitiva del alumnado adolescente.”

Cabe resaltar que para los temas de Cálculo resultaría beneficioso que los estudiantesasocien los procesos algebraicos que conducen al cálculo de límites y el análisis de lacontinuidad con la representación gráfica de los mismos, por esto Azcárate (2000) afirma:

“Así, por ejemplo, en el campo de estudio de las funciones es importante que losesquemas conceptuales de los estudiantes integren diferentes representacionescomo pueden ser la gráfica, la numérica, la algebraica y que exista la máximaflexibilidad para relacionarlas y pasar de una a otra.”

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 111

12.2 Estrategia Propuesta

En vista que se atendieron dos poblaciones distintas durante el desarrollo de la propuestadidáctica con el uso del software matemático GeoGebra se hará distinción en las activi-dades propuestas y los objetivos que se deseaban alcanzar.

12.2.1 Intervención con Grupo de MA 0230

En esta primera etapa se pretendía que la intervención respondiera a los siguientes obje-tivos del curso:

• Calcular límites (incluye laterales) a partir de la gráfica de una función, tanto envalores puntuales como al infinito.

• Analizar la continuidad de una función en un punto.

• Determinar las discontinuidades (incluye clasificarlas) de una función dado su crite-rio o su gráfica.

• Determinar los valores de incógnitas para que una función sea continua en todo sudominio.

Iniciado el II Ciclo 2013 se procedió con la reestructuración del capítulo seis tituladoLímites y continuidad del folleto del curso, particularmente. La misma se orientó en:

a) Valorar el contenido matemático (teoría y ejemplos) así como los ejercicios propues-tos para los estudiantes.

b) Seleccionar nuevos ejemplos para límites y continuidad.

c) Elaborar applets en GeoGebra de fácil manipulación para el estudiante donde semuestra la gráfica de las funciones escogidas anteriormente. A continuación se mues-tra uno de los seis.

d) Habilitar los applets en la plataforma Moodle del curso para obtener los enlaces quese incorporarían en el capítulo

Se apostó por el desarrollo de la competencia tecnológica pues “(. . . ) las prácticasdel aula no pueden estar alejadas de los fenómenos que cotidianamente ocurren entre losestudiantes, además de que ofrecen múltiples posibilidades para potenciar la riqueza de lapráctica educativa” (Verdejo y Freixas (2009)) y en vista que la tecnología está presenteen su vida diaria, casi para la mayoría, se quiso mostrar la utilidad que esta tiene parael aprendizaje de contenidos matemáticos. Además que como lo indican Orta y Ojeda(2009), la competencia digital se ha convertido en una estrategia fundamental para lavida, por lo tanto, su desarrollo y promoción resultan imprescindibles para eliminar lasbarreras de integración social y personal.

112 D. Mena – Matemática

Figura 12.1: Applet sobre continuidad (determinar parámetros).

Luego de realizadas las labores descritas anteriormente, se subió el capítulo 6 mo-dificado (ver Figura 12.2) a las plataforma Moodle el fin de semana anterior al iniciodel análisis en clase del tema para que los estudiantes pudieran descargarlo y comenzarcon la lectura pues en el aula se aclararían dudas e inquietudes del material para luegorealizar más ejercicios prácticos. También se utilizó el recurso de Moodle para abrir unforo en el cual se podían externar dudas del folleto pero no hubo interacciones.

Figura 12.2: Ilustración de documento subido a la plataforma Moodle.

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 113

Se constató que los estudiantes no siguieron las indicaciones dadas para el desarrollodel tema por lo que se optó en analizar en clase algunos ejemplos del capítulo y realizarla exploración de los applets (en su mayoría por parte del docente).

A pesar que la evaluación del curso MA 0230 está basada únicamente en tres pruebas,con el grupo se implementó la realización de pruebas cortas formativas puesto que sedeseaba que los estudiantes obtuvieran retroalimentación sobre su desempeño y sobre susestrategias de pensamiento para resolver las tareas propuestas como lo indican Verdejo yFreixas (2009). Una semana antes de realizarse el segundo parcial, donde se evaluaría eltema de límites y continuidad, se aplicó una prueba corta (ver Figura 12.3) en la cual seincluía una gráfica para la lectura de límites y al mismo tiempo distinguir la continuidado discontinuidad en un punto (se debía clasificar la discontinuidad). Los resultados que seobtuvieron fueron poco satisfactorios, evidenciando deficiencias en estos dos objetivos.

La misma prueba se aplicó en la clase inmediata anterior al segundo parcial con lapremisa que ya los estudiantes debían haber estudiado el contenido pero los resultadosfueron similares a los de la primera aplicación.

Como insumo de la actividad realizada, se consultó a ocho docentes de cátedra me-diante un cuestionario sobre diversos aspectos del material confeccionado (ver Figura12.4), obteniendo los siguientes resultados:

• 5 de 8 realizaron la lectura del Capítulo 6 modificado.

• 4 de 8 pudieron utilizar los applets de GeoGebra.

• Indican que es una estrategia óptima para brindar ideas intuitivas sobre límites.

• 3 de 8 utilizan pocas veces la plataforma Moodle para el curso.

12.2.2 Intervención con Grupo de MA 0001

En este caso, la intervención se orientó en el logro del objetivo:

Determinar el dominio, ámbito, imágenes, preimágenes, intersección con losejes, intervalos de monotonía, signos, ecuaciones de asíntotas, biyectividad apartir de la gráfica de funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, valor absoluto,racionales, raíz cuadrada, exponenciales, logarítmicas o definidas a trozos.

Como este curso busca brindar al estudiante las bases necesarias para el curso de Cálculodiferencial e integral, los applets utilizados para la lectura de límites y continuidad re-sultaban adecuados para el análisis de los elementos básicos de una función, además queserían gráficas con las que podrían encontrarse en el curso de Cálculo. Por esto se hizouna selección de cuatro con las siguientes características:

a) Gráfica de la Figura 12.5: la función tiene criterio radical fraccionario y no está defi-nida en un valor, por lo que su gráfica tiene un “hueco”. Se pretendía asociar con elproceso de racionalización.

114 D. Mena – Matemática

Figura 12.3: Prueba corta.

b) Gráfica de la Figura 12.6: corresponde a la función parte entera, la cual tiene unaparticularidad con su ámbito además de ser un buen ejemplo de una función condiscontinuidad inevitable.

c) Gráfica de la Figura 12.7: el criterio de la función mostrada es racional y presenta dosasíntotas (vertical y oblicua).

d) Gráfica de la Figura 12.8: la gráfica de la función es a trozos pues su criterio esracional con valor absoluto, por ende tiene discontinuidad inevitable.

Las mismas se habilitaron en la plataforma Moodle del curso para que los estudiantespudieran acceder a ellas y determinar la información que se solicitaba. En la clase se

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 115

Figura 12.4: Cuestionario para docentes.

analizó la gráfica de la Figura 12.7 por incluir las asíntotas ya que es un concepto nuevopara los estudiantes.

En esta actividad también se introdujo el espacio para un foro donde los estudiantespudieran externar dudas y compartir sus respuestas. Orta y Ojeda (2009) destacan el valorde los foros pues en ellos los estudiantes tienen más “voz”, construyen las discusiones.Solamente se encontró una interacción donde se preguntaba cómo se podía acceder a lasgráficas pues se mostraba un mensaje de error. Sobre esto se indicaba en la plataforma elprocedimiento a seguir (ver Figura 12.9).

116 D. Mena – Matemática

Figura 12.5: Gráfica de función racional.

Figura 12.6: Gráfica de la función parte entera.

Figura 12.7: Gráfica de función con asíntotas.

Puesto que los applets eran de libre acceso para todos los estudiantes de la cátedra,se cuenta con la cantidad de visitas que recibieron cada uno (incluye todas las visitas deun mismo usuario):

Puede notarse que las visitas disminuyeron casi a la mitad de la gráfica de la Figura12.5 a la gráfica de la Figura 12.6. Más adelante se brindará una posible causa de estecomportamiento.

Asimismo, considerando únicamente los estudiantes de los dos grupos que formaronparte de esta actividad se pudo extraer que: la gráfica de la Figura 12.5 recibió 92 visitas,

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 117

Figura 12.8: Gráfica de función por partes.

Figura 12.9: Habilitación de las gráficas en la plataforma Moodle.

Figura 12.10: Visitas de todos los estudiantes a los applets.

la gráfica de la Figura 12.6 tuvo 22 visitas, la gráfica de la Figura 12.7 fue observada 38veces y la gráfica de la Figura 12.8 fue vista 27 ocasiones. Claro está que no implica queel estudiante haya resuelto lo solicitado.

En el curso MA 0001 se evaluaba un porcentaje de la nota con pruebas cortas, así quese utilizó la prueba corta dos como parámetro de valoración del objetivo planteado paraesta actividad con la salvedad que también se estaba evaluando el objetivo Graficar unafunción dado su criterio. Se evidenció que no fue la mejor estrategia solicitar la gráfica

118 D. Mena – Matemática

y leer la misma pues los estudiantes tenían deficiencias con el trazado de gráficas (verFiguras 12.11 y 12.12).

Figura 12.11: Segunda prueba corta (primera página).

La actividad de investigación se incluyó en esta etapa a un nivel muy básico puestoque los estudiantes eran de primer ingreso en la Universidad y no se contaba con elsuficiente tiempo para establecer un marco de referencia sobre los elementos de inves-tigación. Por ende, se propuso en los mismos applets de las gráficas indagar contenidosespecíficos de Cálculo (límite al infinito, límite infinito, límites laterales) que tuvieranrelación con la función en cuestión (ver Figuras 12.5, 12.6, 12.7, 12.8). Los resultadosdebían reportarse en el diario matemático que los estudiantes elaboraban para el cursopero ninguno se refirió a esto.

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 119

Figura 12.12: Segunda prueba corta (segunda página).

12.3 Dificultades

Las dificultades que se afrontaron durante el desarrollo de esta intervención didáctica es-tuvieron relacionadas con la parte administrativa, el docente, los estudiantes y el softwareGeoGebra. A continuación se describen los inconvenientes surgidos:

• En vista que el docente no decide cuál curso impartirá en el ciclo correspondiente sevio en la obligación de adaptar la propuesta en el I Ciclo 2014 pues no fue asignadoa la cátedra MA 0230, donde originalmente la inició.

• El docente se vio en la necesidad de aprender rápidamente cómo elaborar los appletscon el software GeoGebra casi de forma independiente y aunque tenía ayuda externa

120 D. Mena – Matemática

de otro docente con más experiencia en este tema se presentan aspectos un tantodesconocidos para él.

• Con ambas poblaciones de estudiantes se tuvo que hacer frente a una definitivadesmotivación, apatía y recelo por asumir la actividad que se estaba planteando. Seestaba en situaciones donde, a pesar que con antelación se indicaba el plan de la si-guiente clase, los estudiantes no acataban las instrucciones (revisar el folleto, traerdudas, explorar las gráficas).

• La actitud expuesta anteriormente conllevaba a que el docente terminara desarro-llando el material por su cuenta limitando las interacciones con los estudiantes apreguntas y respuestas o bien explicando nuevamente lo que ya se analizaba en elmaterial.

• Finalizada la confección de los applets, el docente realizó pruebas en su computadoraindicándole que funcionaban correctamente pero recibió avisos de los estudiantes, enla primera etapa del proyecto, que no podían ser visualizadas. Esto provocó un atrasoen la habilitación de los mismos pues se debían indagar con el experto en el motivodel fallo. Finalmente se halló el error y las gráficas pudieron ser accedidas por losestudiantes.

• En la segunda parte del desarrollo de la intervención, como se mencionó anterior-mente, se evidenciaron problemas en el acceso a las gráficas por el mensaje inicial deerror que se mostraba a los estudiantes. Esto se debió a que los applets se debieroncargar a la página GeoGebratube para lograr una correcta visualización de los símbo-los matemáticos; estos se accedían con una cuenta de usuario y una contraseña para elcurso. Los estudiantes no leían que esta información estaba dada antes de los enlacesa las gráficas.

• El curso MA 0001 Precálculo implica una carga académica de cero créditos, lo quefue utilizado por los estudiantes como justificante para no comprometerse con lasobligaciones que el mismo ameritaba, así que se lograba poco involucramiento conla actividad propuesta.

• En el curso MA 0230 Matemática para Ciencias Económicas I se constató una fuertedependencia de los estudiantes con el docente, en el tanto los primeros no tomabanla iniciativa para desarrollar determinada actividad, y era el profesor quien debíaestar obligándolos a participar, trabajar en equipo, cuestionarse sus argumentaciones.También esto se notó en que la mayoría rechazó el estudio independiente del capítulo6 del folleto del curso conllevando a su lectura y análisis en clases.

12.4 Consideraciones Finales

Si se debe valorar de una forma muy personal la intervención en sus dos fases se tendríaque mencionar que los resultados fueron poco satisfactorios ya que hubo poca respuestapor parte de los estudiantes de ambos cursos. En MA 0230 el estudiantado, en su mayoría,ve el curso como uno más de la malla curricular y casi como un obstáculo en su camino

12 Incorporación de GeoGebra en los Cursos de Precálculo y Cálculo 121

mientras que en MA 0001 la condición del creditaje y ser estudiantes de primer ingresoinexpertos en la realidad del curso de Cálculo coadyuvó al poco compromiso con lasactividades planteadas, entre estas, la interacción con los applets.

Sobre la incorporación de alguna TIC en el aula, Orta y Ojeda (2009) advierten quese debe:

• Conocer sus bondades y limitaciones.

• Reconocer el impacto que puede tener en el aprendizaje.

• Atender la instrucción y el tiempo que requieren el profesor y estudiantes para uti-lizarla con cierta familiaridad.

Por otro lado, pudo notarse que existe afinidad por el uso de la tecnología (tablets,portátiles, teléfonos inteligentes) por parte de ciertos estudiantes que llevaban y utili-zaban estos artefactos en las lecciones, así como páginas web de naturaleza matemáticacomo Wolfram Alpha c⃝ que puede proveerles las soluciones de los ejercicios propuestos.

El desarrollo de esta propuesta didáctica exigió al docente actualizarse en temas detecnología especialmente ligada al software GeoGebra, pues si bien era de uso común,aún se desconocían aspectos tales como las condiciones óptimas para generar el applet yluego habilitarlo en la plataforma Moodle.

Aunque en esta primera aplicación no se obtuvieron los resultados deseados, tanto enparticipación como en las evaluaciones, se tiene una fuerte convicción en que con la mo-tivación y planteamiento adecuados los estudiantes podrán obtener el máximo beneficiodel material que les ofrece.

Referencias

1. Azcárate, C. (2000) “El precálculo, un eslabón entre las funciones y el análisis”, Números 43-44: 259–262.

2. Orta, M.; Ojeda, A. (2009) “Retos de la incorporación de las tecnologías de información y co-municación en los procesos educativos”, en: Innova Cesal, Primera Reunión de Trabajo, MéxicoD.F. 39 págs.

3. Verdejo, P.; Freixas, R. (2009) “Educación para el pensamiento complejo y competencias: Di-seño de tareas y experiencias de aprendizaje”, en: Estrategias para el Desarrollo de Pensa-miento Complejo y Competencias en el Aula. Trabajo presentado en la Primera reunión detrabajo de Innova Cesal, Mendoza, Argentina.