Teoría  de  grupos  por  Luis  Jaime  Corredor  Londoño  

Alumnos  encargados:  Felipe  Uribe  200922400,  Laura  Viviana  Cadavid  20011151514,  Paula  Baquero  Lozano  200722442  

Es  la  rama  de  las  matemáticas  que  se  encarga  de  estudiar  los  grupos,  sus  propiedades  y  sus  aplicaciones,  además  de  servir  como  base  para  estructuras  algebraicas  más  complejas  como  por  ejemplo  los  campos  vectoriales.1  

Los  grupos  son  estructuras  matemáticas  en  las  que  un  conjunto  G  tiene  una  operación  binaria,  es  decir  que  se  puede  realizar  entre  dos  elementos  de  G.  Los  grupos  pueden  ser  finitos  o  infinitos  (cantidad  finita  o  infinita  de  elementos  que  los  componen)  

Ejemplo:  

Una  operación  binaria  en  G  compuesta  por  dos  elementos  diferentes  de  G  resulta  en  un  elemento  que  pertenece  a  G  

𝐺𝑋𝐺 → 𝐺  

Además  se  deben  satisfacer  3  axiomas  básicos  para  poder  definir  formalmente  un  grupo,  los  cuales  son  los  siguientes:  

 

1) Asociatividad:  

Para  los  elementos  del  conjunto  A  no  importa  el  orden  en  que  se  operen  las  parejas  de  elementos  siempre  dará  el  mismo  resultado.    

   

2) Identidad:  

Debe  haber  una  identidad  o  elemento  neutro  tal  que  operar  cualquier  elemento  del  conjunto  por  la  identidad  da  el  mismo  elemento.  

 

 

                                                                                                                           1  Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132, 152 páginas, en rústica. Traducción del ruso: Juana Elisa Quastler.  

3) Inversos:  

Hay  un  elemento  en  el  conjunto  tal  que  al  operarlo  por  el  otro  se  obtiene  la  identidad.  Esto  es  que  hay  inversos.    

 

Además  los  inversos  para  cada  elemento  en  un  conjunto  son  únicos,  es  decir  que  no  hay  dos  elementos  diferentes          ”a”  y  “b”  en  un  conjunto  “G”  que  sirvan  de  inverso  a  un  único  elemento  ”c”  del  mismo  conjunto.  

Primer  teorema  

Si  se  tienen    

𝑥𝑒 = 𝑒𝑥 = 𝑥  

Y  

𝑥𝑒 ʹ′ = 𝑥𝑒 ʹ′ = 𝑥  

Entonces  

𝑒 = 𝑒ʹ′  

Tipos  de  grupos  

Hay  diferentes  tipos  de  grupos,  algunos  de  los  más  importantes  son  los  siguientes:  

Grupos  cíclicos:  

 Un  grupo  es  cíclico  si  existe  un  elemento  g  dentro  del  grupo  G  tal  que    

G  =  {  gn  |  n  ∈    }  

Segundo  teorema  

Si  G  es  un  grupo  cíclico,  entonces  o  bien  G  es  infinito  y  G  ≅    o  bien  G  es  finito,  |G|=n  y  G  ≅    

Ejemplo:  

El  grupo  formado  por  los  elementos  {(00),  (01),  (10),  (11)}  ya  que  al  operar  el  1  consigo  mismo  se  puede  generar  el  resto  de  los  elementos  del  grupo.  

Grupos  Abelianos:    

Son  grupos  que  son  conmutativos,  es  decir  que  cumplen  lo  siguiente:  

Si  se  tienen  dos  elementos  a  y  b  que  pertenecen  al  grupo  A  y  se  cumple  que    

 

Entonces  el  grupo  es  Abeliano.  Los  grupos  que  no  son  conmutativos  son  grupos  no  Abelianos.  

Ejemplo:  

 Todo  grupo  cíclico  G  es  Abeliano,  pues  si  x,  y  ∈  G  =  <a>,  x  =  am  y  y  =  an  para  algunos  m,  n  enteros,  con  lo  cual,  xy  =  aman  =  am  +  n  =  an  +  m  =  anam  =  yx.    

Biyección  e  Isomorfismo  

Isomorfismo  

Dos  grupos,  G1,  con  la  operación  *,  y  G2,  con  la  operación  O,  decimos  que  son  isomorfos  si  existe  una  bisección  f  :  G1  →  G2  compatible  con  las  operaciones,  es  decir2,  

f(g  *  g0)  =  f(g)Of(g0),  ∀g,  g0∈  G1  

Donde  la  operación  *  es  una  ley  de  composición  interna,  o  tiene  la  propiedad  de  clausura:  

a,  b  ∈  G  ⇒  a  *  b  ∈  G  

Ejemplo:  

Todo  grupo  Abeliano  finito  es  isomorfo  a  uno  de  la  forma    

 

Biyección  

Una  función  es  biyectiva  si  a  cada  uno  de  los  elementos  del  conjunto  de  salida  les  corresponde  un  único  elemento  del  conjunto  de  llegada.  

 

   

                                                                                                                         2  http://bioinfo.uib.es/~merce/Docencia/AlgInf/Tema3/grupos.pdf  

Aplicaciones  

Física  

Un  ejemplo  de  la  teoría  de  grupos  aplicada  a  la  física  es  el  grupo  de  galileo,  el  cual  está  formado  por  todas  las  transformaciones  en  el  tiempo  y  en  el  espacio  que  conservan  los  sistemas  de  referencia  inerciales,  por  lo  que  conserva  las  leyes  de  Newton3.  

Funciona  de  la  siguiente  manera,  si  se  tiene  un  sistema  A  con  coordenadas  (x,y,z)  en  reposo  y  otro  B  en  movimiento  con  coordenadas  (x’,y’,z’)  se  puede  hacer  una  transformación  mediante  las  siguientes  ecuaciones    

 

Donde  Vx  es  la  velocidad  en  la  coordenada  x  del  sistema  de  referencia  B  vista  por  A  y  t  es  el  tiempo  transcurrido.  

 

Sobre  Luis  Jaime  Londoño  

Estudios:  

Hizo  su  carrera  como  matemático  en  la  Universidad  de  Los  Andes  entre  1977  y  1980  e  igualmente  hizo  su  magister  en  matemáticas  en  ésta  entre  1981y  1983  para  luego  hacer  su  doctorado  en  matemáticas  de  la  Universitat  Bonn  entre  1984  y  1989.  

Experiencia:  

Ha  trabajado  en  el  Comité  para  Latinoamérica  de  la  Association  For  Symbolic  Logic,  en  la  Universidad  de  los  Andes,  en  la  University  of  California  Irvine,  en  el  Mathematical  Science  Research  Institut  y  en  la  University  of  Notre  Dame.  

Áreas  de  actuación:  

Sus  áreas  de  principal  actuación  son  la  lógica  matemática  y  el  álgebra.    

En  el  área  de  lógica  se  dedica  a  la  investigación  de  la  de  modelos  y  el  grupo  de  rango  de  Morley  finito.  

                                                                                                                         3  http://www.lawebdefisica.com/apuntsfis/varios/relatividadfaq.pdf  

En  el  área  de  álgebra,  se  dedica  a  la  investigación  de  la  teoría  de  grupos.  

Experiencia  adicional:  

Además  de  su  amplia  experiencia  en  matemáticas,  Luis  Jaime  habla  alemán,  inglés,  español  y  francés  y    fue  premiado  con  el  Estímulo  a  Investigadores  del  Instituto  Colombiano  Para  El  Desarrollo  De  La  Ciencia  Y  La  Tecnología  "Francisco  José  De  Caldas"  -­‐  Colciencias  -­‐  de  1996