11.Teor_a_de_Colas

TEORIA DE COLAS

Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:

Camiones esperando ser cargados

Vehículos esperando continuar su camino, ante un semáforo en rojo,

Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

834

TEORIA DE COLAS Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad

tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

Los Análisis de Colas relacionan:

la longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de espera y otros factores como: la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el carguío de palas a camiones, el control de las operaciones en planta, etc.).

835

TEORIA DE COLAS Desde la perspectiva de la Investigación de

Operaciones, los camiones que esperan ser cargado por la pala o las palas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.

Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

836

TEORIA DE COLAS Costos de Servicio y Costos de Espera Los Administradores reconocen el equilibrio que debe

haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

837

TEORIA DE COLAS Equilibrio entre Costos de Espera y Costos de Servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO

838

TEORIA DE COLAS Costos de Servicio vs Nivel de Servicio

Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

839

TEORIA DE COLAS Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de

tiempo perdido en las líneas de espera.

Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los operarios que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

En ciertos servicios , el costo de la espera puede ser intolerablemente alto. (costo de mantenimiento)

840

TEORIA DE COLAS Características de una LINEA DE ESPERA

Una cola de espera está compuesta de tres elementos:

1. Arribos o ingresos al sistema

2. Disciplina en la cola

3. Servicio

Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

841


1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales:

a. Tamaño de la población que arriba

b. Patrón de llegada a la cola

c. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:

El tamaño de la población puede ser: infinito (ilimitado) o

limitado (finito). 842


1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamaño de la Población:

Infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORÍA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.

Población de arribo limitada o finita: cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los camiones a cancha de stock

843


1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: 1.b. Patrón de arribo al sistema:

Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un camión cada 4 minutos) o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.

844


1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO: DISTRIBUCION DE POISSON:

P(x) = Probabilidad de x arribos

x= número de arribos por unidad de tiempo

= data promedio de arribo

. e = 2.71828

,...4,3,2,1,0_!

xparax

exP

x

845

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

846

TEORIA DE COLAS DISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =

4

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

847

TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

SERVIDOR

COLA

ARRIBOS

SISTEMA UN CANAL, UNA FASE

SALIDAS

848

TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones básicas para el Servicio

SISTEMA MULTICANAL UNA FASE

ARRIBOS

COLA CANAL 1

CANAL 2

CANAL 3

SALIDAS

849

TEORIA DE COLAS Configuraciones Básicas de Sistemas de Colas 3.2. Distribución del Tiempo de Servicio

Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

I. Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas (Lavadora automática de carros).

II. Si el tiempo de servicio es distribuído aleatoriamente – que es el caso más común – se lo representa por la DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la

forma e-x para x 0. Esta es una hipótesis matemática muy conveniente, cuando los arribos siguen la distribución de Poisson.

850

TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para

balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:

1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola

2. Longitud de cola promedio

3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).

4. Número de clientes promedio en el sistema.

5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío

6. Factor de utilización del sistema

7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

851

TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas Nomenclatura:

λ : tasa de arribos (núm. promedio de camiones que llegan por unidad de tiempo)

μ : número promedio de servicios de carga por unidad de tiempo

P = λ / μ : factor de utilización del sistema

p > 1 : Los clientes son más que los que el servicio que puede atender

s : tiempo de servidores que se pueden agregar al sistema

P = λ / sμ < 1 : Condición para que el sistema esté saturado

Ts : tiempo de espera en cola

Tw : tiempo de está en la cola, más el tiempo que permanece en

el servicio= tiempo en el sistema

L : Número de camiones esperando en la cola

W : Número promedio de camiones en el sistema= n° cola +

en carga

852

TEORIA DE COLAS Medición del Rendimiento de las Colas

Pm(t): función de probabilidad de encontrarse “m”

camiones en el sistema y m-s en la cola

Po(t): función de probabilidad de no encontrarse

camiones en la cola

Cs : N° esperado de camiones que no requieren

servicio( no están en la cola ni en carga)

μs: Utilización promedio de cada uno de los “s”

servidores (s≥ 1) palas dado cierto % de tiempo

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TEORIA DE COLAS Una cola – un servidor – población infinita

Número esperado de cliente o camiones a los que se les proporcionará un servicio en un unidad de tiempo.

Bs= 1 - Po(t) = P

Probabilidad de que el N° de camiones en el sistema W, sea mayor a Z

P(W > Z ) = P Z+1 , W > Z

Probabilidad de que la espera total en la cola Ts, sea mayor a “g” unidades de tiempo.

P(Ts > g ) = P ℮-u(1-P)g , g > 0

854

Una cola – un servidor – población infinita Probabilidad de que la espera total Tw, sea mayor a “h” unidades de tiempo

P(Tw > h) = ℮-u(1-P)h , h > 0

Ts= λ /μ(μ – λ)

Tw =Ts +1/μ

855

Una cola – un servidor – población finita

Donde “m” es la población total de camiones que pudieran requerir un servicio de carga y “n” camiones de esa población que piden ese servicio de carga

856

Una cola – servidores múltiples – población infinita

Sean “S” los servidores en paralelo >1. Ahora como son múltiples los servidores para que no se generen filas infinitas se debe verificar que

(λ/sμ) < 1.

857

Una cola – servidores múltiples – población infinita

858

Una cola – servidores múltiples – población finita

859


860


861

Una cola, un servidor población infinita La llegada de camiones a una pala que carga material de baja ley es de 5 camiones (λ) /hora, mientras que los tiempos de carga son de 7 camiones /hora (μ). Sólo se puede cargar un camión a la vez y se

carga por orden de llegada. Encontrar Po(t), Ts, Tw, L, W, Bs, W>3, Ts>0,75 horas, Tw>1 hora.

Po(t)= 1 – (5/7)= 0,29 , Ts= λ /μ(μ – λ)= 5/(7(7-5))=0,36

Tw =Ts +1/μ =0,36 +(1/7)= 0,5 horas,

L= 5*5/(7(7-5))=1,79 camiones, W=5/(7-5)=2,5 camiones

P(W>3)=P4=(5/7)4 =0,26 o 26%,

P(Ts >0,75 horas)=(5/7)e-7(1-(5/7))*0,75=0,16 o 16 %

P(Tw >1 hora)=e-7(1-(5/7))*1=0,14 o 14%

Probabilidad de un camión cargando y dos esperando en la cola P3 =(5/7)*0,29= 0,11 o 11% , Bs =1- 0,29= 0,71

862

Un servidor, una cola, población finita

Una mina cuenta con 4 camiones de igual capacidad, presentan fallas en el sistema de transmisión. Las fallas se repiten en promedio una vez por año. El tiempo de reparación de la falla es de 45 días(1/8) años, sólo se cuenta con un equipo de mantenimiento

λ = 1 falla/año, μ=8 fallas/año

∑=1,74024

P0 (t)=1/1,74024=0,57463 0 57,46%

L=4 –((1+9)/1)*(1-0,57463)=0,17

W= 0,17+(1 -0,57463)=0,60 TS=0,17/(8*(1-0,57463))=0,05

TW=0,05 + 1/8= 0,175 años o 64 días años o 18 días

Probabilidad de un camión en la cola y otro en taller:

P2(t)=0,57463*((4!/(4-2)!)*(1/8)2==0,11 o 11%

N M M!/(M-N)! (λ/μ)^N Pn(t)/P0(t)=

(M!/(M-N)!)*(λ/μ)^N

0 4 1 1 1

1 4 4 0,125 0,5

2 4 12 0,01563 0,1875

3 4 24 0,00195 0,04688

4 4 24 0,00024 0,00576

863

Una cola, dos servidores población infinita

Supóngase que la llegada de camiones tiene una distribución de Poissón con λ= 15 llegadas/hora, mientras que la carga μ= 8 cargas/hora. Las palas

son de igual tamaño, 3 en mineral y 2 en estéril, Determinar Po(t), Ts, Tw, L, W,

Po(t)=(∑4

1/m!*(λ/μ)^m +1/S!(λ/μ)^S((Sμ/(Sμ- λ)) -1

M=0

Po(t)=(1/0!(1,875)0

+ 1/1!(1,875)1 + 1/2!(1,875)

2 + 1/3!(1,875)3 +

1/4!(1,875)4 + 1/5!(1,875)

5 (40/25))

-1 =0,1526 0 15,26%

L=(15*8*(1,875)5

*0,1526)/(4!(40-15)2

)=0,0283 camiones

W=0,0283+ 1,875= 1,9033 camiones

Ts=0,0283/15=0,0019 horas 0 6,84 segundos

Tw=0,0019 + 1/8= 0,1269 horas 0 7,6 segundos

Probabilidad de que existan 5 camiones cargando y uno en la cola

P6(t)=1/5!*5!*(1,875) 6

*0,1526=0,0111 o 1,11%

864

Distribución Binomial

Método para determinar el tamaño de flota de carguío y transporte

865

Distribución Binomial Es una distribución discreta de probabilidad conocida

por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples

Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: 1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos

idénticos

2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso

3. La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro. Supuesto de estacionariedad

4. Los intentos son independientes

866

Continuación Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un proceso

Bernoulli

Un ejemplo de distribución Binomial es determinar la probabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)

La fórmula de combinatoria de n objetos seleccionados en un grupo proporciona la cantidad de resultados experimentales que resultan en x éxitos

867

Formulas Cantidad de resultados experimentales con

exactamente x éxitos en n intentos

También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultados experimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación

!

! !

n n

x x n x

( )(1 )x n xp p

868

Formula de cálculo

Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial

( )( ) (1 )

( ) probabilidad de x exitos en n intentos

!

!( - )!

probabilidad de un exito en cualquier intento

(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento

x n xn

f x p px

f x

n n

x x n x

p

p

869

Aplicación Se cuenta con la siguiente flota:

01 cargador, 80% de disponibilidad mecánica (física) y un rendimiento de 9000 ton/turno

03 camiones, 70% de disponibilidad mecánica y una productividad de 4000 ton/turno

Asumiendo que el tiempo programado para la flota es de 100% y solamente sería inoperativo si cualquiera de los dos, el cargador o todo los camiones están fuera de servicio

870

Determinación de probabilidades para los camiones

871

Aplicación De la tabla anterior se concluye lo siguiente:

Existe un 34% de que estén trabajando tres camiones

Un 44% de que existan trabajando dos camiones

Un 19% de que haya un camión trabajando

Y un 3% de que no haya ningún camión trabajando

872

Interpretación El cargador opera un 80% del tiempo y durante este

tiempo el 34% será con 9000 toneladas por turno, el 44% será de 8000 toneladas por turno y el 19% será sólo de 4000 toneladas por turno. El total de la flota tendría un promedio:

0,80*0,34*9000=2.448

0,80*0,44*8000=2.816

0,80*0,19*4000= 608

--------------------------

total =5.872 ton/turno

873

Ejercicio Programa de producción anual 1.800.000 tons

Programación de horarios 250 turnos

Requerimientos Ton/turno 7200 ton/turno

Promedio rendimiento camiones 4000 Ton/turno

3 camiones y un cargador

Camiones 70% DF y cargador 80% DF

250turnos*0,80*0,34*9000=612.000 tons.

250turnos*0,80*0,44*8000=704.000 tons.

250turnos*0,80*0,19*4000= 152.000 tons.

1.468.000 tons.

874

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