109

shy

middot---fIbull bull _ ~_ bull middot -_ I I

--

-- ( _ - I bull

que inciden sobre la kltC pu-aldos al eje oacuteptico

Primer ]llno rocd illGfr geomeacutetrico de los puntos desrJc los cil1cs divcrgcn les rayos

i1cide1tes lt[li( se rcr~CLiacute parakuumls cnuc s

S~undo phmo foenl w~-r gCf)~~eacutetri-() iqueste los PIiexcltos middot~n los CUmiddot olcrgC1 10s r~yos

refractados cu-Uldo inciden s()crc b lel~e rpaJc10s c~tc siacute

que inciden sobre la kltC pu-aldos al eje oacuteptico

Primer ]llno rocd illGfr geomeacutetrico de los puntos desrJc los cil1cs divcrgcn les rayos

i1cide1tes lt[li( se rcr~CLiacute parakuumls cnuc s

S~undo phmo foenl w~-r gCf)~~eacutetri-() iqueste los PIiexcltos middot~n los CUmiddot olcrgC1 10s r~yos

refractados cu-Uldo inciden s()crc b lel~e rpaJc10s c~tc siacute

1

Por

Primer convcrgelim (en

middotI~ ~~

div~S1 iexclos -YQ$ r~Friexclclados que inciden prliclos entre siacute

112

ha exagerado el ~sp~sor de la lente calculamos a traveacutes de la foacutermula (316) la posicioacuten de la

imagen J producida por la pril1ltra SR ~ E asiacute

111 2 (3 23)-+shyl 1

o --shy

l

ov iexcl =p ve iexcl == Riexcl VI= q )1 = 1

vv) =x V)l = p e = ccntro dc la lcntc

Figura 331 Imag~1l producida por una Ienlc

De acucrdo con lo que h~mos dicho la imagen [ tilllciona ahora como objeto fuente de la

segunda superficie de la cual dista V)J = p DJdo que en ~stt CJSO esta distancia se

recorro diexcl derecha u izquierda l es ulla fucnte vil1uiacutell para la segunda superficie y por lo

tonto p es negativa de manero que para la scgunda S R E podemos escribir

1) IIJ--+_ = (324)p lJ

Con relacioacuten a la figura 331 IS evidente quc q == x -- p pero si la lente es delgada x O y

por lo tanto podcmos lkcir quc V == e == v] y q p Combinando las ccuacioncs (323)

(3 24) se uumlhticm

113

IIiexcl n3-+shyp q

(325)

Esta uacuteltima ecuueiuacuten es la que generalmente se denomina foacutermula ue Gauss para lentes

delgadas en Sil forma miexcl)s general

Si la lenle estaacute sumergida en aire niexcl == ti] == 1 Y eslaacute hecha con un matelial de iacutendice de

refraccioacuten 11 la relacioacuten (325) se simplifica tlsiacute I

J J (1 1)-+- == (11-1) --- (326) P q RJ R2

Es faacutecil ver que en este caso( I ) las dos distancias focales Iiexcl y 12 son iguales de manera

que puede hablarse de la distancia focal f de la lente la eual slaacute dada por cualquiera de las

dos condiciones p = f y lJ = co Oacute p = co y q == f en ambos casos se obtiene seguacuten la

(3 26)

1 (1 1 ) -=(1I-J)l--- (3 27)1 R R2

Esta uacuteltima relacioacuten se denomina oacutemlllln del constructor de lelltes porque evidentemente

pennite construir una lente con una distancia focal predetenninada escogiendo el material con

un oporl1mo iacutendicc ue reiacutehlccioacuten 11 y moldelndolo mctliante superficies esfeacutericas con los

radios de curvatllra nccesarios

A la magnitud P =1 se le denomina poder de la lente esta magnitud es obvilUnente

positiva para las lentes convergentes (qlle tienclI distancin focal positiva dado qlle los focos son

reales) y negativa para las lentes divergentes (dado que eacutestas lienen focos virtuales y por lo

tanto distancia focal negativn) su unidau de medida es la dioptriacutea equivalente natllralmente a

m- I por ejemplo lIna lellte cllyo poder sea P = +2 diuplriacuteas cs una Icnlc convergente cuya

distancia fOlul ts 0 5 mctws

( 1) yen todos los casos t1l los cuales la lente estlIacute rodelt1da por IIIl solo lIledio

112

ha exagerado el ~sp~sor de la lente calculamos a traveacutes de la foacutermula (316) la posicioacuten de la

imagen J producida por la pril1ltra SR ~ E asiacute

111 2 (3 23)-+shyl 1

o --shy

l

ov iexcl =p ve iexcl == Riexcl VI= q )1 = 1

vv) =x V)l = p e = ccntro dc la lcntc

Figura 331 Imag~1l producida por una Ienlc

De acucrdo con lo que h~mos dicho la imagen [ tilllciona ahora como objeto fuente de la

segunda superficie de la cual dista V)J = p DJdo que en ~stt CJSO esta distancia se

recorro diexcl derecha u izquierda l es ulla fucnte vil1uiacutell para la segunda superficie y por lo

tonto p es negativa de manero que para la scgunda S R E podemos escribir

1) IIJ--+_ = (324)p lJ

Con relacioacuten a la figura 331 IS evidente quc q == x -- p pero si la lente es delgada x O y

por lo tanto podcmos lkcir quc V == e == v] y q p Combinando las ccuacioncs (323)

(3 24) se uumlhticm

113

IIiexcl n3-+shyp q

(325)

Esta uacuteltima ecuueiuacuten es la que generalmente se denomina foacutermula ue Gauss para lentes

delgadas en Sil forma miexcl)s general

Si la lenle estaacute sumergida en aire niexcl == ti] == 1 Y eslaacute hecha con un matelial de iacutendice de

refraccioacuten 11 la relacioacuten (325) se simplifica tlsiacute I

J J (1 1)-+- == (11-1) --- (326) P q RJ R2

Es faacutecil ver que en este caso( I ) las dos distancias focales Iiexcl y 12 son iguales de manera

que puede hablarse de la distancia focal f de la lente la eual slaacute dada por cualquiera de las

dos condiciones p = f y lJ = co Oacute p = co y q == f en ambos casos se obtiene seguacuten la

(3 26)

1 (1 1 ) -=(1I-J)l--- (3 27)1 R R2

Esta uacuteltima relacioacuten se denomina oacutemlllln del constructor de lelltes porque evidentemente

pennite construir una lente con una distancia focal predetenninada escogiendo el material con

un oporl1mo iacutendicc ue reiacutehlccioacuten 11 y moldelndolo mctliante superficies esfeacutericas con los

radios de curvatllra nccesarios

A la magnitud P =1 se le denomina poder de la lente esta magnitud es obvilUnente

positiva para las lentes convergentes (qlle tienclI distancin focal positiva dado qlle los focos son

reales) y negativa para las lentes divergentes (dado que eacutestas lienen focos virtuales y por lo

tanto distancia focal negativn) su unidau de medida es la dioptriacutea equivalente natllralmente a

m- I por ejemplo lIna lellte cllyo poder sea P = +2 diuplriacuteas cs una Icnlc convergente cuya

distancia fOlul ts 0 5 mctws

( 1) yen todos los casos t1l los cuales la lente estlIacute rodelt1da por IIIl solo lIledio

113

IIiexcl n3-+shyp q

(325)

Esta uacuteltima ecuueiuacuten es la que generalmente se denomina foacutermula ue Gauss para lentes

delgadas en Sil forma miexcl)s general

Si la lenle estaacute sumergida en aire niexcl == ti] == 1 Y eslaacute hecha con un matelial de iacutendice de

refraccioacuten 11 la relacioacuten (325) se simplifica tlsiacute I

J J (1 1)-+- == (11-1) --- (326) P q RJ R2

Es faacutecil ver que en este caso( I ) las dos distancias focales Iiexcl y 12 son iguales de manera

que puede hablarse de la distancia focal f de la lente la eual slaacute dada por cualquiera de las

dos condiciones p = f y lJ = co Oacute p = co y q == f en ambos casos se obtiene seguacuten la

(3 26)

1 (1 1 ) -=(1I-J)l--- (3 27)1 R R2

Esta uacuteltima relacioacuten se denomina oacutemlllln del constructor de lelltes porque evidentemente

pennite construir una lente con una distancia focal predetenninada escogiendo el material con

un oporl1mo iacutendicc ue reiacutehlccioacuten 11 y moldelndolo mctliante superficies esfeacutericas con los

radios de curvatllra nccesarios

A la magnitud P =1 se le denomina poder de la lente esta magnitud es obvilUnente

positiva para las lentes convergentes (qlle tienclI distancin focal positiva dado qlle los focos son

reales) y negativa para las lentes divergentes (dado que eacutestas lienen focos virtuales y por lo

tanto distancia focal negativn) su unidau de medida es la dioptriacutea equivalente natllralmente a

m- I por ejemplo lIna lellte cllyo poder sea P = +2 diuplriacuteas cs una Icnlc convergente cuya

distancia fOlul ts 0 5 mctws

( 1) yen todos los casos t1l los cuales la lente estlIacute rodelt1da por IIIl solo lIledio

114

Combinanl1o las ecuaciones (326)y (327) se obtiene

1 1 1 -+shy = -- (328)P q f

ecuacioacuten fOlmalmenle idiquestnlica a la (312) para los espejos esfeacutericos

353 Construccioacuten graacutefica de imaacutegenes

Sin recunr a la foacutennllla de Gauss es posible determinar con buena nprox illltlcioacuten In posicioacuten

de la imagen producida por una lente delgada teniendo en clIenta que los rayos que pasan por

(o se dirigen hacia) el primer foco se uesvnll paralelos al eje oacuteptico los que inciden paralelos

nI cjt oacuteptico se refractan de manem que pasan por (o divergen como si se generaran en) el

segundo foco y que los rayos que pasan por el centro de la lente no sufren desviacioacuten

Ff ij--iexcl=

(a)

(b)

(c)o F1

Figura 332 a) malcn rcal producida por ulla ente convergente

b) Unilo CtlSO (p lt f) en el cual IlP l enle cOIlvergente

[oolla una imagen virtual c) Una lente divergente siempre produce imagen virtual

115

COIl estas simples reglas podelllos visUeacutedizar laimagen dc cualquier objeto-fuente y detenninar

si dicha imagen es real o virtual mediante construcciones gr5licas algunas de las cuales se

presentan en la Figura 332

Tal como t mu(sLra en la Figura 3 32 una lente convergente fOlma una imagen real e

invertidu siempre que pgt f pero forma una imagen virtual y derecha cuando p lt f (eacuteste

es el caso que se presenta cuando se utiliza lila lente convergente como lupa)

Por atta parte una lente divergente prodlce siempre im~genes virtuales y derechas cualquiera

que sea la posicioacuten del objeto-fuente

354 Aumento de un lente - Foacutermuln de Ncwton

Si definimos como en los casos anteriores el aumento de ulla lente a tTaveacutes de la relacioacuten

J A=-shy

O

donde el signo negativo da cuenta de la inversioacuten de la imagen real con nspIXto al objetoshy

fuente es posible calclllar el aumento estnbleciendo relaciones de proporcionnlidad entre Iades

hOll1oacuteiogos en varias parejas de triaacutengulos semejantes que plleden determinarse analizando la

Figura 333

A C = p CD = q FiexclC = f CF2 = f AFl =xI F2D =x2 - -- ---shyo AR =GC =O eH = DE =1

Figura 333 [)elcnninacioacuten del llIl1Cllo dc Wlil kllIC

116

~ ~

a) A partir de los trioacutengll)cs semejants A BFiexcl y FIC-I SI obtiene

I fA =--- = (329)

O XI

D L

b) Si considenunos los ITintildengll)os semejantes ce y F2 DE se obtiene

J _ x24=-- = (330)

O f

A 6shy

c) A tmveacutes de los triaacutengulos semejilOtes ABe y ellE obtenclllos

J qA=-- = (3 31 )

o p

Lns tres rclnltIacuteoncs qlle hemos encontrado para el numento son obviamente cquivalentes sin

mbargo combinando las ecuaciones (3 29) (3 30) se obtiene

(3 32)

esta relacioacuten denominada foacutermula de N(~wlon es particulamlente interesante porque pennite

loenlizm la imagen prouucidn por la lente (en este cnso su distancia con respecto al segundo

foco) conociendo la distancia loca) de la lente y In distancin del ohjeto-fucnt al primer foco

esto nos permite decir qlle In foacutennllla de Ncwton cs e(]llivnlcnh a In foacutennllla (3 26) de Gauss

36 PRISMAS

El prisma IS 11 sistema oacuteptico fonnado por dos superficies planas que se cortan fonnando uu

aacutengulo a y que middotseparan medios de diferentes iacutendices de refraccioacuten

117

Figura 334 Esquema de un plsma

El prisna es desplleacutes de los lenles el sislcm~ eJe mi unplia utilizacioacutelI en los aparatos oacutepticos

dado CJlIt ruede Iimcionar como dispersor o reflector

361 Dispersioacuten dc la luz

En la scccioacutelI 31 observ~mos que la vclocidad de la luz en los diversos medios de propagacioacutelI

tiene diferentes valores siempre i~fctiores a e == 3108 rns que es la velocidad de la luz en el

vacio Teniendo cn cuellta este hecho experimclltal definimos el iacutendice de refraccioacuten

asociado a cada medio de propagacioacuten de manera que

11 =-e

(333) V

Siendo la velocidad de la hlz en el medio de propagacioacuten considerado Sin embargo si se

anali7a COII maacutes precisioacuten la propagacioacuten de la luz en los diferentes medios se llega a la

conclusioacuten lile mientras b vclocida(1 de b luz en el vaciacuteo es la misma para todas las

frecl~lIci1 1m comp01cn el espectro dc la IU2 visible 1 velocidad en una susLancia material

es distinta gtariexcliexcl iexclas Jilinntcs fncllcncas

118

De acuerdo con la relacioacuten (333) lo anterior implica que el iacutendice de refraccioacutell de una

sustancia depende de la frecuencia de la radiJci6n incidente

1l=Il(V) (3 3t1)

siendo menor para las frecuencias maacutes bajas y mayor para las frecuencias maacutes altas

Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de

la luz visible) sobre 111 prisma de conformidad con la ley de Sncll las di ferenles frecuencias

componenles sufriraacuten diferentes desviaciones siendo 1lt1 luz violeta la miIacutes cksviada y la luz

roja la menos desviada de manera que a la ~a1ida del mismo la luz se abre en fOlma de

abanico de colores o tOmo sc dice forma un cgtpeclro de dispersioacuten en el cual es posible

identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferenles colores) presentes en el haz

incidente

~- - ~ -~ -gt -- ~_

Figura 335 Dispersioacuten de un prisma

362 Desviacioacuten producida pOI un prisma

Considcnmos un rayo de luz que incide bajo un aacutenrlllo rp 1 sobre la cara de un prisma sea n

tI iacutendice dc relraccioacuten til1 pri sma a Sil lIlglllo ell el eacutellicc y sllpollgamos que el rri~llla cst~

sumergido cn el airc

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

115

COIl estas simples reglas podelllos visUeacutedizar laimagen dc cualquier objeto-fuente y detenninar

si dicha imagen es real o virtual mediante construcciones gr5licas algunas de las cuales se

presentan en la Figura 332

Tal como t mu(sLra en la Figura 3 32 una lente convergente fOlma una imagen real e

invertidu siempre que pgt f pero forma una imagen virtual y derecha cuando p lt f (eacuteste

es el caso que se presenta cuando se utiliza lila lente convergente como lupa)

Por atta parte una lente divergente prodlce siempre im~genes virtuales y derechas cualquiera

que sea la posicioacuten del objeto-fuente

354 Aumento de un lente - Foacutermuln de Ncwton

Si definimos como en los casos anteriores el aumento de ulla lente a tTaveacutes de la relacioacuten

J A=-shy

O

donde el signo negativo da cuenta de la inversioacuten de la imagen real con nspIXto al objetoshy

fuente es posible calclllar el aumento estnbleciendo relaciones de proporcionnlidad entre Iades

hOll1oacuteiogos en varias parejas de triaacutengulos semejantes que plleden determinarse analizando la

Figura 333

A C = p CD = q FiexclC = f CF2 = f AFl =xI F2D =x2 - -- ---shyo AR =GC =O eH = DE =1

Figura 333 [)elcnninacioacuten del llIl1Cllo dc Wlil kllIC

116

~ ~

a) A partir de los trioacutengll)cs semejants A BFiexcl y FIC-I SI obtiene

I fA =--- = (329)

O XI

D L

b) Si considenunos los ITintildengll)os semejantes ce y F2 DE se obtiene

J _ x24=-- = (330)

O f

A 6shy

c) A tmveacutes de los triaacutengulos semejilOtes ABe y ellE obtenclllos

J qA=-- = (3 31 )

o p

Lns tres rclnltIacuteoncs qlle hemos encontrado para el numento son obviamente cquivalentes sin

mbargo combinando las ecuaciones (3 29) (3 30) se obtiene

(3 32)

esta relacioacuten denominada foacutermula de N(~wlon es particulamlente interesante porque pennite

loenlizm la imagen prouucidn por la lente (en este cnso su distancia con respecto al segundo

foco) conociendo la distancia loca) de la lente y In distancin del ohjeto-fucnt al primer foco

esto nos permite decir qlle In foacutennllla de Ncwton cs e(]llivnlcnh a In foacutennllla (3 26) de Gauss

36 PRISMAS

El prisma IS 11 sistema oacuteptico fonnado por dos superficies planas que se cortan fonnando uu

aacutengulo a y que middotseparan medios de diferentes iacutendices de refraccioacuten

117

Figura 334 Esquema de un plsma

El prisna es desplleacutes de los lenles el sislcm~ eJe mi unplia utilizacioacutelI en los aparatos oacutepticos

dado CJlIt ruede Iimcionar como dispersor o reflector

361 Dispersioacuten dc la luz

En la scccioacutelI 31 observ~mos que la vclocidad de la luz en los diversos medios de propagacioacutelI

tiene diferentes valores siempre i~fctiores a e == 3108 rns que es la velocidad de la luz en el

vacio Teniendo cn cuellta este hecho experimclltal definimos el iacutendice de refraccioacuten

asociado a cada medio de propagacioacuten de manera que

11 =-e

(333) V

Siendo la velocidad de la hlz en el medio de propagacioacuten considerado Sin embargo si se

anali7a COII maacutes precisioacuten la propagacioacuten de la luz en los diferentes medios se llega a la

conclusioacuten lile mientras b vclocida(1 de b luz en el vaciacuteo es la misma para todas las

frecl~lIci1 1m comp01cn el espectro dc la IU2 visible 1 velocidad en una susLancia material

es distinta gtariexcliexcl iexclas Jilinntcs fncllcncas

118

De acuerdo con la relacioacuten (333) lo anterior implica que el iacutendice de refraccioacutell de una

sustancia depende de la frecuencia de la radiJci6n incidente

1l=Il(V) (3 3t1)

siendo menor para las frecuencias maacutes bajas y mayor para las frecuencias maacutes altas

Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de

la luz visible) sobre 111 prisma de conformidad con la ley de Sncll las di ferenles frecuencias

componenles sufriraacuten diferentes desviaciones siendo 1lt1 luz violeta la miIacutes cksviada y la luz

roja la menos desviada de manera que a la ~a1ida del mismo la luz se abre en fOlma de

abanico de colores o tOmo sc dice forma un cgtpeclro de dispersioacuten en el cual es posible

identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferenles colores) presentes en el haz

incidente

~- - ~ -~ -gt -- ~_

Figura 335 Dispersioacuten de un prisma

362 Desviacioacuten producida pOI un prisma

Considcnmos un rayo de luz que incide bajo un aacutenrlllo rp 1 sobre la cara de un prisma sea n

tI iacutendice dc relraccioacuten til1 pri sma a Sil lIlglllo ell el eacutellicc y sllpollgamos que el rri~llla cst~

sumergido cn el airc

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

116

~ ~

a) A partir de los trioacutengll)cs semejants A BFiexcl y FIC-I SI obtiene

I fA =--- = (329)

O XI

D L

b) Si considenunos los ITintildengll)os semejantes ce y F2 DE se obtiene

J _ x24=-- = (330)

O f

A 6shy

c) A tmveacutes de los triaacutengulos semejilOtes ABe y ellE obtenclllos

J qA=-- = (3 31 )

o p

Lns tres rclnltIacuteoncs qlle hemos encontrado para el numento son obviamente cquivalentes sin

mbargo combinando las ecuaciones (3 29) (3 30) se obtiene

(3 32)

esta relacioacuten denominada foacutermula de N(~wlon es particulamlente interesante porque pennite

loenlizm la imagen prouucidn por la lente (en este cnso su distancia con respecto al segundo

foco) conociendo la distancia loca) de la lente y In distancin del ohjeto-fucnt al primer foco

esto nos permite decir qlle In foacutennllla de Ncwton cs e(]llivnlcnh a In foacutennllla (3 26) de Gauss

36 PRISMAS

El prisma IS 11 sistema oacuteptico fonnado por dos superficies planas que se cortan fonnando uu

aacutengulo a y que middotseparan medios de diferentes iacutendices de refraccioacuten

117

Figura 334 Esquema de un plsma

El prisna es desplleacutes de los lenles el sislcm~ eJe mi unplia utilizacioacutelI en los aparatos oacutepticos

dado CJlIt ruede Iimcionar como dispersor o reflector

361 Dispersioacuten dc la luz

En la scccioacutelI 31 observ~mos que la vclocidad de la luz en los diversos medios de propagacioacutelI

tiene diferentes valores siempre i~fctiores a e == 3108 rns que es la velocidad de la luz en el

vacio Teniendo cn cuellta este hecho experimclltal definimos el iacutendice de refraccioacuten

asociado a cada medio de propagacioacuten de manera que

11 =-e

(333) V

Siendo la velocidad de la hlz en el medio de propagacioacuten considerado Sin embargo si se

anali7a COII maacutes precisioacuten la propagacioacuten de la luz en los diferentes medios se llega a la

conclusioacuten lile mientras b vclocida(1 de b luz en el vaciacuteo es la misma para todas las

frecl~lIci1 1m comp01cn el espectro dc la IU2 visible 1 velocidad en una susLancia material

es distinta gtariexcliexcl iexclas Jilinntcs fncllcncas

118

De acuerdo con la relacioacuten (333) lo anterior implica que el iacutendice de refraccioacutell de una

sustancia depende de la frecuencia de la radiJci6n incidente

1l=Il(V) (3 3t1)

siendo menor para las frecuencias maacutes bajas y mayor para las frecuencias maacutes altas

Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de

la luz visible) sobre 111 prisma de conformidad con la ley de Sncll las di ferenles frecuencias

componenles sufriraacuten diferentes desviaciones siendo 1lt1 luz violeta la miIacutes cksviada y la luz

roja la menos desviada de manera que a la ~a1ida del mismo la luz se abre en fOlma de

abanico de colores o tOmo sc dice forma un cgtpeclro de dispersioacuten en el cual es posible

identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferenles colores) presentes en el haz

incidente

~- - ~ -~ -gt -- ~_

Figura 335 Dispersioacuten de un prisma

362 Desviacioacuten producida pOI un prisma

Considcnmos un rayo de luz que incide bajo un aacutenrlllo rp 1 sobre la cara de un prisma sea n

tI iacutendice dc relraccioacuten til1 pri sma a Sil lIlglllo ell el eacutellicc y sllpollgamos que el rri~llla cst~

sumergido cn el airc

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

117

Figura 334 Esquema de un plsma

El prisna es desplleacutes de los lenles el sislcm~ eJe mi unplia utilizacioacutelI en los aparatos oacutepticos

dado CJlIt ruede Iimcionar como dispersor o reflector

361 Dispersioacuten dc la luz

En la scccioacutelI 31 observ~mos que la vclocidad de la luz en los diversos medios de propagacioacutelI

tiene diferentes valores siempre i~fctiores a e == 3108 rns que es la velocidad de la luz en el

vacio Teniendo cn cuellta este hecho experimclltal definimos el iacutendice de refraccioacuten

asociado a cada medio de propagacioacuten de manera que

11 =-e

(333) V

Siendo la velocidad de la hlz en el medio de propagacioacuten considerado Sin embargo si se

anali7a COII maacutes precisioacuten la propagacioacuten de la luz en los diferentes medios se llega a la

conclusioacuten lile mientras b vclocida(1 de b luz en el vaciacuteo es la misma para todas las

frecl~lIci1 1m comp01cn el espectro dc la IU2 visible 1 velocidad en una susLancia material

es distinta gtariexcliexcl iexclas Jilinntcs fncllcncas

118

De acuerdo con la relacioacuten (333) lo anterior implica que el iacutendice de refraccioacutell de una

sustancia depende de la frecuencia de la radiJci6n incidente

1l=Il(V) (3 3t1)

siendo menor para las frecuencias maacutes bajas y mayor para las frecuencias maacutes altas

Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de

la luz visible) sobre 111 prisma de conformidad con la ley de Sncll las di ferenles frecuencias

componenles sufriraacuten diferentes desviaciones siendo 1lt1 luz violeta la miIacutes cksviada y la luz

roja la menos desviada de manera que a la ~a1ida del mismo la luz se abre en fOlma de

abanico de colores o tOmo sc dice forma un cgtpeclro de dispersioacuten en el cual es posible

identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferenles colores) presentes en el haz

incidente

~- - ~ -~ -gt -- ~_

Figura 335 Dispersioacuten de un prisma

362 Desviacioacuten producida pOI un prisma

Considcnmos un rayo de luz que incide bajo un aacutenrlllo rp 1 sobre la cara de un prisma sea n

tI iacutendice dc relraccioacuten til1 pri sma a Sil lIlglllo ell el eacutellicc y sllpollgamos que el rri~llla cst~

sumergido cn el airc

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

118

De acuerdo con la relacioacuten (333) lo anterior implica que el iacutendice de refraccioacutell de una

sustancia depende de la frecuencia de la radiJci6n incidente

1l=Il(V) (3 3t1)

siendo menor para las frecuencias maacutes bajas y mayor para las frecuencias maacutes altas

Si enviamos entonces un haz de luz blanca (que contiene todas las frecuencias del espectro de

la luz visible) sobre 111 prisma de conformidad con la ley de Sncll las di ferenles frecuencias

componenles sufriraacuten diferentes desviaciones siendo 1lt1 luz violeta la miIacutes cksviada y la luz

roja la menos desviada de manera que a la ~a1ida del mismo la luz se abre en fOlma de

abanico de colores o tOmo sc dice forma un cgtpeclro de dispersioacuten en el cual es posible

identificar las diferentes frecuencias (es decir los diferenles colores) presentes en el haz

incidente

~- - ~ -~ -gt -- ~_

Figura 335 Dispersioacuten de un prisma

362 Desviacioacuten producida pOI un prisma

Considcnmos un rayo de luz que incide bajo un aacutenrlllo rp 1 sobre la cara de un prisma sea n

tI iacutendice dc relraccioacuten til1 pri sma a Sil lIlglllo ell el eacutellicc y sllpollgamos que el rri~llla cst~

sumergido cn el airc

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

119

Se define como desviacioacuten del prisma al iexcllJlgulo cntre la direccioacuten del rayo illciden(e y la

direccioacuten del rayo emergcnte por la segunda cara

A

Figura 336 Desviacioacuten producida por un prisma

Las observaciones expcrimentales muestran que varimdo el aacutengulo dc incidencia rp 1 varia la

desviacioacuten producida por el prisma y que hay In valor de rp 1 pnr1 el cual OCUITe la miacutenima

desviacioacuten cntn los rayos incidcnte y emergente con relacioacuten a la Figura 336 en la cual el

prisma tiene foma de triaacutengulo isoacutesceles la desviacioacuten miacutenima OCUlTe cuando el rayo al

interior dd prisl1a es paralelo a la base o sea cuando rp iexcl = tp -1 Y rp 2 = qJ 3

Cuando se logra esta situacioacuten se dice que el prisma estaacute en c()Jlilidolcmiddot de desviacioacutel

miacutenima

Esta situacioacuten es muy ventajOS1 porque pucde utilizarse el sistema para detcnninar con gran

precisioacuten el iacutendice ele refraccioacuten de cualquier material con el cual se construya o se rellene el

plisma~ veamos como esto sea posible

Analiu)(luuml In Figura 336 es [Ieil ver que SPQ = (p iexcl - rp 2 Y SQP = qJ -1 - rp J de manera oacute

C1ne el aacutenglk) ct Jcsviacioacuten iquest rdyacclltc externo iexcliexclItriaacutengulo SPQ resulta ser

iquest = tfJiexcl+rp-l-rpl-tfJJ (3 35)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

120

c=J Por otra parte In suma de los aacutengulos inlemos del cuadrilaacutetero APRQ dee ser igual a 2n

es decir

de donde

a = lP2+tiexclJ3 (336)

y reemplulHlldo en la (3 35)

(3 37)

Dndo que qlleremos cllcontrar el valor ele tp iexcl para el cllal (5 = J mili podemos difcrcllciiexclr la

eeuacion (3 37) de mallera que

dJ = dlPiexcl+dtp4 = O de donde tl lP I -d lPi (3 38)

Por otra parte diferenciando la (3 36) y tcniendo en cuenta lile a es lijo

ti (jJ 2 -1- ti lPI = O de donde ti qJ 2 = - ti tp J (339)

La ley de Sllcll apliciacuteH1a ell el pllnlo P se cSLlibe (si el prisma estaacute sumergido en aire)

se tp iexcl = 11 sen (jJ 2

que di rerenciada nos daraacute

(310)

la Illisma ky de SlIell rl iexclcada en Q

lsen (PJ sell qgt-I

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

121

l

y diferenciando

IlCOSlPJmiddotd fJJ = cosrpiexcld Poi (3 41 )

~iidillldll la (110) por 111 () Y tlllillHlo 111 cucnta las rclaciollls (llR) (119)

COS tiexclJ 1 COS tp2 =

COS tpiexcl cm rp

o sea

2 1l-sen tp I l-sen tp1 _~----- (342) 1- sen 2 tpiexcl J - sell 2

tp J

se2 tp I Dc acuerdo con la ley de Snell se2 tp 2 = Y se

2 tp J por lo

2n

tamo la ecuacioacuten (342) puede reescribirse asiacute

2 2 21- se P J n-se tp I = (343)

2 2 -se2 tpiexcl1- se lP -1

El valor de tp J quc satisface esta uacuteltiml cCIllcioacuten es evidentcmente cl que conduce a la

situacioacuten t5 = nmili deseada para t J la ecuacioacuten (JI3) solamente pucde satisfacerse si

fJ J = lPJ Y por cOllsiguientc rp 2 = tp J de manera que el prisma se encuentra en

conJicioncs de desviacioacuten miacutenillla cuando el aacutengulo de incidencia tp J CII la prilllem cara es

igual al aacutengulo de refraccioacuten en la segunda cara o sea cuando el rayo al interior del prisma es

paralelo a la basc

bta sitllacioacuten cslUacute ilustraua el la Fi~lIIa 337

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

122

A

lt ~-amp - b- 1 lJ ~ - 11

-shy

e

Figura 337- Prisma en condiciones de desviiexclcioacuten miacutenima Eslo oCllrre

clJando tp 1 = lJJ Y tp 2 = (p J lo quc implica

~ ~ n n PQI Be dado que APQ=AQP=-iexcl-rp2=-iexcl-(Jj

Cuando el prislllu cstaacute cn condiciones de desviacioacuten miacutenima las ecuaciones (3 36) (337) se

simplifican asiacute

a 2 (J2 y 8 = iquestmi = 2 rp J - a

de donde oblenemos

(344)CfJ2 ~

ffJiexcl = deglli+a (34 5)2

Recordando b apliiexclacioacuten de la ley de Snell sobre la primera cara del prisma

sel CfJ I 1

sen tp 2

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

123

Se obliene

sen ( ~E~ ~) 11 = (3A6)

sell~

eCllacioacuten qUiexcl peflnile el caacute1l1IIo dd iacutendice de refraccioacuten de la sllslancia k la CJIIC cstaacute hecho el

prisma a traveacutes de la medicioacuten precisa dcl aacutengulo al veacutel1ict y del aacutengulo de desviacioacuten minima

363 Reflexioacuten total - Prismas reflectores

Consideremos dos medios ue iacutendices de rclbccioacuten 1 (con 1Z2 gt ) y supongamos

ltiexcllit und fUCIllc Jiexcl luz csteacute localizada cn d mcdio de mayor iexclnuice dc rc(raccioacuten nos

propone1los iexcluiexclaliziexclr qlJ ocurre cuando la luz illcide sobre la interfase entre los dos medios

De acuerJo con la ley (11 Sndl I sel (J = 1] sen O2 y dada la cOIldicioacuten 112gt I el

aacutengulu d~ r~fraccioacuten O resulta siempre mayor que el aacutellgulo de incidencia O] esto implica

que existe IUl val0r O2illl para el aacutenglllo de incidencia para el clla rcsulta () J = ~ o sea

par) el ella el rayo rerriexcllclado es paralelo a la interfase

riexclyo~ rutraclilUacuteOS

El riexcliexclyo reraclUdo roza la superf icie

nI I I I I No 13y rayo re[raclillJo

~------~~--7k-L~~~c---

Rellexioacuten interna lotal

Figll~a 33H Rdlcxioacuten lo taL r ~ ryos que inciden 50bn la illtafase

(on aacuten)ulos miexclyorcs CJlIe O2im se rclkjall Cll el Inld io

dI iexclfluiec de rcflilccioacutell 1 gt

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

124

Es faacutecil ver lile parn aacutengt1os dI inci(kllcia tnnyores de 02inl la ley UI Snell dariacutea para el

sen 01 valores mayores de 1 lo clIal naturalmente es ilTlposible

iquestQueacute oCllrre entonces con los rayos que inciden bnjo tmglllos () 2 gt O2 fill

Experimentalmente se observa lile estos rayos se nnejan comphtamlnle en el medio de

iacutendice ele refraccioacuten 2 o sea qlle la interfase (pnra esos rayos) se convil11e en IIn espejo

perfecto en el sentido qlle la luz no puede Inmsmitirse alllledio de iacutendice d~ refraccioacuten

Es obvio qlle el valor del aacutenglllo liacutemite pnra la reflexiiexcljll internll fofal (asiacute se llama este

fenoacutemeno) puede calcularse faacutecilmente con la condicioacuten que si O2 = O2im entonces

f =~ estn cOlldicioacutel rClmpluznda ell In ley (k SlIcll para la interrasl cOllsidlrada nos da

(347)02lim = sen-()shy2

Por ejemplo si la fuenle luminosa estaacute locnlizudn en el vidrio (2 15) solamente suldraacuten al

nire (11 == 1) aC]udlns rayos C]uc incidln sobre la slIperficie (le scparacioacuten COII tngulls

inferiores a

_1 ( 1 ) deg2im = sen --_ = 418 iexclo

l )

Los rayos que incilthn eon aacutengulos superiores a 4181deg sc reflcjnraacuten en el vidrio

El llnOacutellIello de reflexioacuten intenta tolal tielle inlerCSiexclUlleS aplicuciones para los prismas qUl se

utilizan para rcf1cjlImiddot In 11170 en mllchos nparalos oacutepticos (lgtillocularcs dlllaras rOlo~r1ficns

etc ) Esti utilizacioacuten de los prismas reflectores (illlstrada en dos casos simples en la figllra

3 39) es ventajosa con respeclo a In lItilizacioacuten de los espejos porque un prisma uiliz1Jo en

condiciones de reflexioacuten toul rd1cja el 100 de la llz ineielcnt lo C]uo no pneele lograrse con

ningllna superficie IIlcllIicil adclllfls las propiedades rdlcctantcs ion pcnnnncntcs micntrns la

rcflexoacuten de los espejos l alttra COa el tiempo por dcslllstraJo de la supcrfiacutecie rdlectora

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

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-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

125

Figula J3~ Irismas refleClores a) Prisllla tic rcJlexioacuten total b) Prisllla de Porro

La Figura 339 mueslra dos casos tiacutepicos de prismas nlcctorcs cn los cuales la luz ingresa al

prisma sin suli-ir desviacioacuten dcbiJo a la inciJencia 11or1111 y luego se reneja tolalmente una o

dos veces porC]ue incide sobre la inlerfase con lIn aacutengulo de 45deg mayor del aacutengulo liacutemite para

la reflexioacuten lolal cuyo valor es 4181deg si el prisma estuviera hecho Jc viJrio

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

126

CAPITULO 4

OPTICA FISICA

El plincipio de propagacioacutelI rectiliacutenea de la luz ha sido IlIIdalllental para la descripcioacuten de los

fenoacutemellos analizados ell el capiacutetulo anterior dedicado a la oacutepticltJ g(Omerica gmcias a ese

principio henlCls podido recmplnznr las ondas luminosas con los rn)os CJIIC representan las

dircccionlS de propagacioacuten de los frcntes ue onda y hemos podido outcner relaciones sencillas

que dan cucnta con buena aproximacioacuten del comportnmiento dc algunos sistemas oacutepticos

Sin embargo ya desde el siglo XllI o Grimaldi habiacutea observado que la IlIz teniacutea la capacidad

d~ burdenr obstaacuteculos de la misllla fonnn como lo hacen las OlltiexclS qlle se propagan sobre la

superficie de un est 1llCj m este hecho contraueciacutea el principio de propagacioacuten rectiliacutenea y

reforzaba la teoriacutea accrca de la naturaleza ondulatoria de la IlIz

Para ilustrar lo anterior podemos pensar un sencillo experimento en d cual la luz procedente de

ulla rllenle pUlltual se liexcllce incidir sohn IIna pantaliacutea en la cllal se haya abierto una nUlum

Mientras la ranura sea bastante mnplia sobre otril pltJntalla parllela a la primeru se fonnaraacute una

fmnja ilnminadn qlle pll~de correctamente interpretarse COl1l0 la Ployeccioacuten geomeacutetrica ele la

ranura (Figura 11) tnmbieacuten podraacute observarse qlle dicha frallja illlminada variacutea su andlura

seguacuten la nlllllra se haga maacutes (lmpl ia o IllflS cstrcchn

OCllITC sin embargo lIlC si la riexcliexclfIIlra se hace mlly estrecha entonces la ZOna de iluminacioacutelI en la

pnnlalla se nmrliacutea evidellciando iexcliexclsiacute lile en este caso la luz no se rrornga en ronna rectiliacutellea

este fenoacutemcllo llamado difraccioacuten se presenta cunndo lIna Olida (cllal(juicra (jlle sea su

nahlrnk~) se encuentr1 con obsttlculos cuyas dimensiolles son compnrablegt con la longitud de

onda

Fenoacutemenos como el descrito y otros lile analizarelllos en este capiacutetulo sulamente pueden

(escrihirsl utilizando un tiexcliexcliexcllamiento ondulalurio con rdacioacutelI a los (noacutemenos conexos COII la

luz eacutestos con ronnan csa pallc de la fiacutesica ltiexcluc normallllente se llama oacuteptica fiacutesica u

ondlllaorill

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

127

M

s

lal (bl (el

Figura 41 La zona iluminada se vuelve maacutes angosta fI medida que la ranura se hace maacutes estrecha a) b) CU3Jldo el ancho de la ranura es muy pequentildeo la 7ona illlminada en la plllalla se ampliacutea c)

Queda cntonces claro que d fenoacutemeno de la J iexcllraccioacuten estlblece el liacutemite de aplicahilidad de

las leyes de la oacuteptica geomeacutetrica porque eacutestl S~ basa en d principio de propagacioacuten rectiliacutenea

que es el que precisiexclullenh falla cuando los ob_ i ulos yo rendijas que se interponen al paso

de la luz tienen dimensiones compurables COIl su IOllljilud de onda

41 INTERFERENCIA PRODUCIDA POR DOS nENDIJAS

Thomas Young e1l el iexcliexcliexcllO 1800 realitoacute el primer experimento tiacutepicamentc ondulatorio al

producir interfenncia enlre las ondas gencrndas en dos rendijas

El aparato experimental representado en la figura 42 consistiacutea ele un fuente de luz al frente

de la cual se colocaba una rendija S y luego dos rendijas SI S2 la superposicioacuten de las

dos ondas hllninosas generadas en las dos rendijas produciacutean una serie de franjas brillantes y

oscuras (palroacuten de interferencia) sobre una pantalla iquestara1cla a las dos rendijas

El reslItdo del eXrefrC110 de YO pli~dc zniexcllizirse 11cdinte Ull trJamiento onc11l1~~orjo ~

telliendo en cuelta el prillcipio de lfuygclIs tI cu1I CSlaacuteblccc que Cualquier punto sobre el

cuiexcliexcllllcga ulla peflllbaCl61l ondulIOria se vlclve fuente secll1dari1 de ondas

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

128

fiacuteignr142 Expcrimcnto de YOllng plrl intrferencia producida por dos rendijas

Con base en este principio la rendija S sobre la cual llega la luz se vudve fuente sccundaria

de una onda lminos1 y cuando esta onda llcga a las rcndijls SI S] eacuteSIltlS a su vcz gncran

las ondas que St superponen danuo lllgar al pltr611 tle intcrferencia oun lil piUllillla

Si las distancias SS 1 Y SS 2 son iguales las dos ondas cuando se generan en S J S2

estaacuten en fase entre siacute de manera que cuanuo se superpongan daraacuten lugm a una frallja oscura

o brillante deptnuicndo de la di lcrcncia de (ase que dl1s presenten n catla pllnto de la

pantalla csta diferencia de fase depenueraacute entonces uacutenicamente de la diferencia entre los

reconmiddotidos de las dos ontlas

Con nlacioacuten a ta Figura 43 supongamos que la pantalla sobre la cllal se forma el patroacuten de

inltrfercncia esteacute lo su ficicntemente alejada de las dos rendijas para qUeacute pueda pensarse que

las dos ontlas que se slIperponen en el geneacuterico punlo P tengan liacuteneas dc propagacioacuten

paralelas entre si nuestro problemu consiste en dttenninar las condiciones de iluminacioacuten de

un plmto JI cualqlliera situado a la distancia X JeI ctlllro O de la pantalla dontle O es el

plinto de interseccioacuten del eje del stgmento SS 2 (eje oacuteptico del sistcma) con la pantalla

____

120

-

----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

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----- D 0 _ _ bull _____ _

Figura 43 Si la pantiexcllIa estaacute mlly alejada las dos ondas que se su perponell en P tienen liacuteneas de propagacioacuten paralelas

Si los reconidos dI las dos ondas generadas Il las relldijas para llegar sobre el pUllto P son

respectivamente 1 1 entollces en el punto P las dos ondas pouriacuteIacute11 Iscribirsc asiacute

y 1 (p) = a sen (k 1 - (J) t + tp ) (41 )

y 2 (p)= a sen (k ] _ uacuteJ I -1- fp )

donde 11111 lOS supuesto que las dos ondas tengan la misma fase inicial qJ y la misma amplitud

a esto uacutelIimo es cieno si las dos rendijas SI S] tienell el mismo ancho

La perturbacioacuten resultante ell el pUllto P seraacute

De acuerdo con lo que hemos dicho en el slgundo CClpiacutelUlo acerca de la superposicioacuten de dos

ondas annonicls de Iiexcl llIisma frecuencia la pel111rbacioacuteIl resultante es una onda annoacutenica de la

misma rlccultIiJ d las dos ondas cOl11ponentes cuya amplitud eslaacute Jada por

(4_2)

siendo S la (~iexcl((lCnCla deLasc entre las dos ondas que se superponen en el pWlto P osea

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

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Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

130

iquestj = (k r] - uacuteJ t -HP ) - (k 1 - (iexcl) t -Hp ) = k(r] - TI) (43)

Teniendo en cuenta que la in(ensidad de iluminacioacuten es proporcional 11 cuadrado de la

amplitud obtenemos

J(r)= 4 icos 2 82 (44)

relacioacuten qlle nos dice que la iluminacioacuten en cualquier plinto P de la pant1l1a es cUiacuteltro veces la

iluminacioacuten producicJa por IIna sola de las rcndij1s llJultiplicnda por cos 2 j2 este uacuteltimo

teacutennino implica ql1e la iluminacioacuten de la pantalla no es lJlifoll11C sillo que variacutea de punlo a

pUlltO de acuerdo con el valor del desfase 8 entre Iiexcliexcls dos olidas componentes_ Por supuesto

que en promedio la iluminacioacuten es 2 iexcl_La Figura 14 ilustra la variacioacuten de la iluminacioacuten

con los valores ele iquest _

1( 1 l

-511 -411 -3rr -2rr -rr O 7f

Figura tA_ Distribucioacuten de la iluminacioacuten en fUllcioacuten del desfase iquest entre las dos

ondas componentcs_

Evidentemcllle habraacute nluacutexima ilul1linacioacuten es decir interferelcia cOIrstructilmiddottl en los plintos

en los que resulte cas 2 52= J o sea 8 = 2117r micntras habruacute llIiacutenima ilumill3cioacuten (en

este caso I (p) = O) o Sl1 interferellcia tltsfrI eIIacutela en los plintos para los CIIiexcl]CS

cos 2 82=0 osea O =(2Il-l-)rCIIJllIbos CISOSCOll 11012 _

Tenicndo en cucnta b ecuacioacuten (-1 3 ) vemos que

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)

131

a) En los puntos en los cuales las dos ondas lIegnn con una diferencia dI recOlTido

I] - I = IIA

11=012

(4 5)

habraacute interferencia constnHtiva

h) En los puntos en los Iuules las dos olidas llegan con Ina diferencia dc recorrido

(46)

11 =012

habraacute interferencia destructiva

Las relaciones (tl 5) (4 6) nos pcnniten ellton~s hacer previsiones acerca de las condiciones

de iluminacioacuten de lIalqllier pllnto de la piexclmtalla clliacutelndo para cada lino de esos PlllltoS

detennilHmos la diflrenlin de recorrido elltre las uos ondas compOlientes

Podemos hacer ese ciexcl1culo con llgunas aproximaciones con relacioacuten a la figura 4 3 habiendo

supuesto la pantalla muy akjada de las dos rendijas) por lo tanto la tTu)eltoria de las dos

ondas panllelas entre siacute la diferencia de relolTiuo enhe las UOS ondas que llegan al plinto P

identificado a traveacutes de su distancia con respecto al centro O de la pantalla o a traveacutes del

aacutengulo () entre el eje oacuteptico del sistema y In direccioacuten FP paralelu a IiacuteIs trayectolias de Ins

dos ondas estaacute daua por

Ir2 - r 1= S 2M = sen O

donde ti es la distancia entn bs rendijas S S2 Dado que la distancia D entre las

rendijas y la pantulla es muy grande el aacutenglllo O es peqllentildeo y por 10 tanto

Sell O _ 101 O J)