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DRAFT Cantera de ejercicios 3 EJERCICIO 1.13. Una funci´ on f : X → Y es inyectiva si y solamente si f (X - A)= f (X) - f (A) para todo A ⊂ X. Demostraci´ on. Si suponemos que f es inyectiva entonces de acuerdo al item (b) del Ejercicio 1.12 se tiene que f (X - A)= f (X) - f (A) para todo A ⊂ X. Rec´ ıprocamente, supongamos que f (X - A)= f (X) - f (A) para todo A ⊂ X. Sean x, x 0 ∈ X elementos cualesquiera tales que f (x)= f (x 0 ). Elija el conjunto A = {x}. De acuerdo a la hip´ otesis se tiene que f (X -{x})= f (X) - f ({x}). Observe que f ({x})= {f (x)}, es decir f ({x}) es un conjunto unitario cuyo ´ unico elemento es f (x). Como f (x) ∈{f (x)} = f ({x}) entonces f (x) / ∈ f (X) - f ({x}) Puesto que f (x)= f (x 0 ) entonces f (x 0 ) / ∈ f (X) - f ({x})= f (X -{x}) lo cual implica que x 0 / ∈ X -{x} y por lo tanto x 0 ∈{x}. Esto a su vez significa que x = x 0 . Por tanto, f es inyectiva ❚ O. Santamaria S.
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Cantera de ejercicios 3
EJERCICIO 1.13. Una funcion f : X Y es inyectiva si y solamente sif(X A) = f(X) f(A) para todo A X .
Demostracion. Si suponemos que f es inyectiva entonces de acuerdo al item (b) delEjercicio 1.12 se tiene que f(X A) = f(X) f(A) para todo A X .
Recprocamente, supongamos que f(X A) = f(X) f(A) para todo A X .Sean x, x X elementos cualesquiera tales que f(x) = f(x). Elija el conjuntoA = {x}. De acuerdo a la hipotesis se tiene que f(X {x}) = f(X) f({x}).Observe que f({x}) = {f(x)}, es decir f({x}) es un conjunto unitario cuyo unicoelemento es f(x). Como f(x) {f(x)} = f({x}) entonces f(x) / f(X) f({x})Puesto que f(x) = f(x) entonces f(x) / f(X) f({x}) = f(X {x}) lo cualimplica que x / X {x} y por lo tanto x {x}. Esto a su vez significa que x = x.Por tanto, f es inyectiva z
O. Santamaria S.
