1.Función y ecuación polinomial

1.1 Función polinomial

¿Qué es una función?

Las funciones son los objetos matemáticos que sirven para describir cómo se relacionan dos cantidades

Ejemplo: El área del cuadrado es una función de la longitud de su lado

Gráfica de funciones

La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómotransforma la función los valores que le vamos dando.

A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo,etc.

Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcularlos valores correspondientes para y , ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unirlos puntos por una curva suave.

En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comportala función y haremos un estudio más bien descriptivo.

Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información querequerimos.

El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa.

Por ejemplo, cuando queremos saber si la población de una especie en peligro de extinción va a salir de esa denominación: «en peligro de extinción», debemos estudiar cómo se comporta el modelo matemático(que en este caso en una función que nos dice cuántos individuos de esa población habrá dependiendo del tiempo). No nos interesa saber cuántos habrá en diez o veinte años, sino si crecerá lo suficiente comopara que ya no corra el peligro de extinguirse.

FUNCION POLINOMIAL

Las funciones polinomiales son una generalización de las transformaciones que podemos hacer con los números. Estas funciones sirven para hacer aproximaciones a funciones más complicadas. En las calculadoras científicas casi todos los cálculos relacionados con las funciones trascendentales se realizan utilizando funciones polinomiales.

CONCEPTO DE FUNCIÓN POLINOMIAL

Una función es polinomial si se puede escribir de la forma:

n

donde los coeficientes son números reales y los exponentes , etc., son números enteros no negativos.

El coeficiente es el coeficiente principal y es el grado de la función.

• En la siguiente tabla se muestran algunas funciones indicando el coeficiente principal y su grado.

Función polinomial Grado Coeficienteprincipal

𝑦=𝑚𝑥+𝑏𝑦= 𝑥2

2+√2𝑥+𝜋

𝑦=𝑥3+𝑥2−𝑥+5

𝑦=(5𝑥+3)11

1

2

3

11

m

1/2

1

Requiere desarrollo

Un concepto importante que nos va a ayudar a describir más fácilmente los elementos de una función es el siguiente:

CERRADURASea un conjunto. Decimos que los elementos del conjunto son cerrados bajo la operación si para cualesquiera se cumple:

Aquí, representa el símbolo de una operación, bien puede ser .La cerradura nos indica si el resultado de una operación con dos elementos del mismo conjunto está en ese conjunto.

¿Es el conjunto de los números naturales cerrado bajo la suma? Ejemplo 1

Entonces, el conjunto de los números naturales es cerrado bajo la suma.

Para contestar a esta pregunta debemos verificar si al elegir dos números naturales el resultado siempre está en el conjunto de los números naturales.

La respuesta a esta pregunta es obvia.

Siempre que sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural.

¿Es el conjunto de los números reales cerrado bajo la suma? ¿Bajo la multiplicación? ¿Bajo la división? Ejemplo 2

Siempre que sumamos dos números reales obtenemos otro número real, no importa qué números sumamos.

Esto nos indica que el conjunto es cerrado bajo la suma.

Cuando multiplicamos dos números reales siempre obtenemos otro número real. Por eso decimos que el conjunto de los números reales es cerrado bajo la multiplicación.

Para cualesquiera , el resultado de es un número real.

Entonces, es cerrado bajo la división, siempre que el divisor sea distinto de cero.

El valor que la función asigna a siempre se puede calcular. De aquí que el dominio de cualquier función polinomial sea el conjunto de los números reales:

Esta definición implica, entonces, que para cualquier función polinomial, el dominio siempre será el conjunto de los números reales.

Nota que las funciones polinomiales solamente involucran las 4 operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Independientemente de los valores de los coeficientes y de la variable , siempre es posible realizar las operaciones que indica la función polinomial.

Independientemente del valor de , siempre podemos encontrar potencias de ese número, que no son sino multiplicaciones repetidas de . Esto gracias a la cerradura del conjunto de los números reales bajo la multiplicación.

Por esa misma razón podemos multiplicar la potencia obtenida por el coeficiente que le corresponde.

Igualmente podemos sumar diferentes potencias de y obtenemos otro número real. Gracias a la cerradura de los reales bajo la suma sabemos que el resultado es otro número real.

El dominio de cualquier función polinomial es R.Comentario

Gracias a la cerradura de los números reales en la suma y la multiplicación, pudimos concluir que el dominio de cualquier función polinomial es . Por esto mismo, podemos deducir que todas las funciones polinomiales son continuas en su dominio.

No podemos decir lo mismo del contradominio de las funciones polinomiales. Para que te des cuenta considera los contradominios de las funciones y

El problema yace en que las potencias pares arrojan resultados positivos o cero, es decir, no negativos, mientras que las impares tanto positivos como negativos.

Podemos definir una función como una relación entre dos conjuntos de números reales, uno de ellos, el primero, llamado dominio y el segundo llamado rango, donde cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del rango.

Del resultado de esta relación especial se genera una serie de pares ordenados, los cuales tienen como gráfica una serie de pares ordenados, los cuales tienen como gráfica una serie de puntos que si los llevamos a un plano real por supuesto, colocaremos al primer conjunto (dominio) en el eje de las abscisas (X) y al segundo conjunto (rango) en el de las ordenadas (Y), obteniendo gráficas que nos permiten de forma más simple la interpretación de los fenómenos que se quieran analizar

Mapa conceptual

Por eso, vamos a decir que esta función es del tipo: «muchos a uno». Es decir, a muchos valores distintos le asigna el mismo valor.

FUNCION CONSTANTE

Ya hemos estudiado la función constante

solamente mencionamos que se trataba de un caso especial de la función polinomial de grado cero y la graficamos.

En primer lugar vamos a calcular el dominio de esta función.

Si recuerdas, esta función siempre devuelve el mismo valor, independientemente del valor de x que le demos. Es decir, siempre nos devuelve un valor, no importa qué valor de x le hayamos dado.

Esto nos indica que el dominio de esta función es el conjunto de los números reales: .

El contradominio de esta función consiste en un solo valor, y es precisamente el valor que la función nos devuelve cada vez que le damos un valor de x.

Si la función es: , entonces el contradominio de esta función es

Aunque parezca raro, este resultado es correcto. Y esto porque la función siempre asigna el mismo valor a cualquier elemento del dominio que le demos.

1 2 3 4x

𝑓 (𝑥)𝑎𝑜 𝑓 (𝑥 )=𝑎0

El alquiler de un camión de mudanza cuesta $500.00 pesos por transportar muebles dentro de la zona metropolitana de la ciudad de México. Grafica la función que muestra el costo en función de la distancia medida en kilómetros.

Ejemplo 1

• La gráfica es la siguiente:

representa el costo en función de la distancia recorrida.

• Ya sabemos que el costo es independiente de la distancia recorrida.

• Así que en este caso tenemos una función constante.

En la gráfica,

representa la distancia recorrida medida en kilómetros, y

1 2 3 4 5 6 7

𝐶 (𝑑)

500𝐶 (𝑑 )=500

𝑑

Ahora tú, busca otros tres ejemplos donde obtengas funciones constantes al modelar cada situación.

Hay muchos otros casos que podemos mencionar de este tipo. Por ejemplo, al enviar un paquete dentro de nuestro país a través del correo postal, el costo del envío depende del peso, pero no de la distancia que recorrerá.

Entonces, si escribimos el costo del envío del paquete en función de la distancia, obtenemos una función constante.Otro ejemplo consiste en el pasaje

de los autobuses urbanos. El costo del boleto no depende del peso del pasajero, sino de la ruta que elijas. Así, si expresamos el

costo del viaje en función del peso del pasajero, obtenemos una función constante.

FUNCIÓN LINEAL

Una función polinomial de grado uno tiene la forma:

El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta:

Ya estudiamos también el concepto de pendiente de la recta y vimos su interpretación geométrica.

𝑚=𝑦 2− 𝑦 1𝑥 2−𝑥 1

=∆ 𝑦∆𝑥

=𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑛 𝑦𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑒𝑛𝑥

En otras palabras, la pendiente es una razón de cambio.

La pendiente de la recta nos dice cuánto debemos subir (en la dirección del eje ) por cada unidad que avancemos hacia la derecha (en la dirección del eje ).

David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $125.00 pesos. Escribe una función que le ayude a calcular el importe y al comprar x litros de pintura. Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función polinomial de grado uno.

Ejemplo 1

• Un litro de pintura cuesta $125.00 pesos.

• Sabemos que cada litro le cuesta $125.00 pesos.

• Si compra x litros, el importe y será de 125 x pesos.

• La función es, entonces:𝒚=𝟏𝟐𝟓 . 𝒙

• En esta función y , el precio de cada litro de pintura.

• Y esa es la interpretación de la pendiente: ésta nos indica el precio unitario de pintura.

Observa cómo es que la pendiente nos indica que si queremos comprar un litro más de pintura debemos pagar $125.00 pesos más. Y de hecho, por cada litro de pintura, pagamos esa cantidad.La pendiente nos dice a qué razón crece el importe de la pintura comprada por David.

Gabriel viaja en su coche de Chetumal a Cancún a una velocidad promedio de 85 km/h. Escribe la distancia y medida en kilómetros como una función del tiempo x medido en horas.

Ejemplo 2

• El problema dice que Gabriel viaja a una velocidad constante de 85 km/h.

• Esto significa que en una hora avanza 85 km.

• En dos horas avanza el doble y así sucesivamente.

• Entonces, la distancia y que recorre en x horas es:

• En este caso, la pendiente nos indica cuántos kilómetros de distancia recorre en una hora de tiempo.

• Es decir, la pendiente nos indica la velocidad.

𝒚=𝟖𝟓𝒙

el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales.

Ahora vamos a deducir el contradominio de la función lineal, es decir, de la función polinomial de grado 1

Utilizando el concepto de cerradura, y sabiendo que los números reales son cerrados bajo la suma y bajo la multiplicación, es evidente que, independientemente del valor x que le demos a la función, ésta siempre podrá devolvernos un número para asignarlo a y .

Usando este mismo argumento podemos mostrar que si , los valores de van desde .

Es decir, el contradominio de la función lineal y = a1 x + a0 con a1 0, es el conjunto de los números reales.

Comentario

El caso particular cuando convierte la función en la función constante, y el contradominio consta de un solo punto:

También es claro que la función polinomial de grado uno no incluye a la recta vertical

¿Porqué?

En primer lugar, una recta vertical no es una función, pues asigna a un solo valor de x

una infinidad de valores de y

En segundo lugar, la pendiente en

ese caso no estaría definida para la función

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función polinomial de grado dos: También se conoce como función cuadrática

Definición

Cuando definimos la función cuadrática utilizamos la forma

De acuerdo a la nueva definición de función polinomial de segundo grado, tenemos

Los nombres de cada término están relacionados a las funciones polinomiales

𝒚=𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄

cuadráticolineal

Independiente

Los nombres de cada término es importante, porque la mayor parte de las explicaciones está basada en estos términos y conceptos.

Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada | una de las siguientes funciones cuadráticas.Ejemplo 1

FunciónCuadrático Término

linealIndependiente

𝑦=2 𝑥2

𝑦=√5 𝑥2+12𝑥− 72

𝑦= 𝑥2

5+𝑥=100

𝑦=(𝑥−2)(3 𝑥+5)

2 𝑥2

√5 𝑥2

𝑥2

5

3 𝑥2

0 0

12𝑥 −72

𝑥 −100

−𝑥 −10

𝑦=(𝑥−2 ) (3 𝑥+5 )=3 𝑥2−𝑥−10

Definición 2RAIZ DE UNA FUNCIÓN

Eje

𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝒙 𝒗

√𝑏2−4𝑎𝑐√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎 2𝑎

𝒙𝟐 𝒙𝟏

𝒚

𝒙𝑥𝑣=−

𝑏2𝑎

𝑥1=− 𝑏2𝑎− √𝑏2−4 𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1=− 𝑏2𝑎

+ √𝑏2−4 𝑎𝑐2𝑎

Entonces, si sustituyes en la función obtenemos cero, precisamente porque estos valores son las raíces de la función.

En otras palabras, son las raíces de la ecuación cuadrática

Calcula las raíces de la siguiente función cuadrática: Ejemplo 2

Podemos calcular las raíces de la función utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado

𝑥=−𝑏∓√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

𝑦=𝑥2+6 𝑥+8 (𝑥+4 )(𝑥+2)⟹(𝑥+4 )=0 𝑥=−4⟹⟹(𝑥+2 )=0⟹𝑥=−2

• Para comprobar que en realidad esos valores son las raíces de la función, sustituimos:

𝑓 (𝑥 1 )=(−2)2+6 (−2 )+8=4−12+8=0𝑓 (𝑥 )=(−4 )2+6 (−4 )+8=16−24+8=0

1 2-1-2-3-4-5

x

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

y

1 2-1-2-3-4-5

x

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

y • Como ya sabes, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales.

• Para calcular el contradominio observa que los valores de y para los cuales la función tiene gráfica empiezan en y se extienden hasta

• Entonces, el contradominio de la función es:

• Observa que hemos usado un corchete en lugar de un paréntesis para indicar que el valor frontera también está en el contradominio de la función.

• Para comprobar que es así, sustituye en

Como en el caso de las ecuaciones cuadráticas, las funciones cuadráticas tienen exactamente dos raíces.En algunos casos las dos raíces serán reales y repetidas. Esto ocurrirá cuando la parábola toque tangentemente al eje x. En este caso, el valor del discriminante será igual a cero.Finalmente, el caso extremo consiste cuando la gráfica de la función no corta el eje x, entonces tendremos dos raíces complejas conjugadas. Es decir, si es una raíz de la función, entonces también lo será el valor:

Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas,

entonces la gráfica tiene dos ceros

Si el cociente principal de la función cuadrática es positivo entonces la gráfica de la parábola abre hacia arriba a partir de

su vértice y si el cociente principal es negativo entonces la gráfica are hacia arriba a partir de su vértice

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x

2

4

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

y

°°

Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales iguales

(raíces de multiplicidad 2), entonces la gráfica toca al eje

x en un punto el cual corresponde al vértice de la

parábola

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x

2

4

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

y

°

𝑦=2 𝑥2−2 𝑥−12

𝑦=−(2 𝑥2−8 𝑥+8)

CONJUGADO DE UN NUMERO COMLEJO

Definición 3

Calcula las raíces de la función: y grafícala Ejemplo 4

• Utilizaremos el método de completar cuadrados

𝒚=(𝒙+𝟐)𝟐+𝟒=𝟎(𝒙+𝟐)𝟐=−𝟒• Observa cómo debemos

elevar al cuadrado un número y obtener como resultado un -4

• Esto nos indica que la gráfica de la función no corta al eje x

Raíces: 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12y

Ejercicios de tarea

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

x

2

4

6

8

10

-2

-4

y

°

𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑏=8°

𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚=−5

𝒀=−𝟓𝒙+𝟖

𝐴(8 /5 ,0)

𝐵(0 ,8)

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :ℝ (−∞ ,+∞)𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 :ℝ (−∞ ,+∞)

𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑙𝑎𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑒𝑠−5𝐿𝑎𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑒𝑠8𝐿𝑎𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎𝑎𝑙𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛𝑒𝑠8 /5

𝒀=−𝟐𝒙 −𝟏𝟑

5 10-5-10-15

x

5

10

-5

-10

-15

y

2 4 6 8 10 12-2-4-6

x

2

4

-2

-4

-6

-8

-10

y

𝒚=𝟑𝟒𝒙−𝟗