1.1 Econometría Unidad 1.1 ( Propiedades de las matrices ).ppt

8/18/2019 1.1 Econometría Unidad 1.1 ( Propiedades de las matrices ).ppt

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Unidad I: Aspectos de Algebra Matricial eInferencia Estadística requeridos

para el curso (10%)

1.1 ropiedades de las !atrices1.2 Dependencia lineal y rango de una matriz

1.3 Distribuciones de probabilidades

1.4 Test de Hipótesis

1.5 Métodos de M!ima "erosimilitud

#ro$. Da%id &ecerra 'o(as

1


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1.1 #ropiedades de la Matrices


2

)on(unto de n*meros ordenados en $ilas y

columnas.

#ara designar una matriz+ se emplean letrasmay*sculas.

,os elementos se denotan ai(+ donde i- indica la

$ila+ y (- la columna.

Matriz


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/(emplo


3

=

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

A

.....

.....................

.....

.....

21

22221

11211

/sta es una matriz de n $ilas+ y p columnas+ en este

caso se dice 0ue la dimensión de la matriz es n! p .

/sta matriz+ también se puede representar de la

siguiente $orma ai( n!p.

)uando es cuadrada+ n p entonces se dice 0ue lamatriz es de orden n.


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lgunos tipos de matrices

Dependiendo de su $orma


4

Matriz ila Matriz+ con solo una $ila

Matriz )olumna Matriz con solo una columnaMatriz )uadrada 6gual numero de $ila y columna.


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lgunos tipos de matrices

,os elementos ai(+ donde i(+ es decir aii+$orman la llamada diagonal principal de la

matriz cuadrada.


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Matriz Transpuesta: 7i es una matriz+ la

transpuesta se denota por 8 o t + a la matriz

obtenida de cambiar $ilas por columnas.

7i es de orden n! p+ entonces 8 es de orden p!n.


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lgunos tipos de matrices,os elementos ai(+ donde i(+ es decir aii+

$orman la llamada diagonal principal de la

matriz cuadrada.


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Matriz Simétrica: :na matriz cuadrada essimétrica cuando 8 es decir si ai( a (i+ para todo

i y para todo (.

Matriz Anti-simétrica: :na matriz cuadrada es

anti;simétrica cuando ;8 es decir si ai( ;a (i+

para todo i y para todo (.


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lgunos tipos de matrices)onsiderando los elementos


<

Matriz Nula /s a0uella donde todos sus elementos son cero+

y se denota por 0.

Matriz Diagonal /s una matriz cuadrada donde todos los

elementos son ceros con acepción de la diagonal.

Matriz Escalar /s una matriz diagonal+ con todos loselementos de la diagonal+ iguales.

Matriz Unidad, o Identidad /s una matriz escalar donde la

diagonal son uno. 7e denota por I

Matriz Triangular /s una matriz + diagonal+ con un lado dela diagonal principal con ceros. 7e pueden dar las

triangulares superiores, o inferiores


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Suma y diferencia de Matrices:


=

,a suma de dos matrices de igual dimensión+ es otra

matriz de la misma dimensión+ /s decir-

ai( > &bi( 7 ai( > bi(

,a suma de dos matrices y &+ se denota > &


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Propiedades de la suma de

matrices:


?

1.; sociati%a >&>) >&>)

2.; )onmutati%a >& &>

3.; Matriz @ula >A + A Matriz nula4.; Matriz 6n%ersa de es B + y se obtiene cambiando

el signo a todos los elementos de + > ; A

,a di$erencia de las matrices y &+ se denota por

B & > ; &


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Producto de matrices por un

Escalar:


1A

#ropiedades

1.; Distributi%a 1 C>& C > C&

2.; Distributi%a 2 C> C >

3.; sociati%a Mi!ta C C

4.; /lemento @eutro 6 E

/l producto de una matriz ai(+ por un n*mero real C+ es

otra matriz &bi( de la misma dimensión

Donde bi( CE ai(También+ se puede denotar por CE+ el n*mero real C+

también se le llama escalar .


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Producto de matrices:


11

Fb%iamente 0ue el n*mero de columnas de + debe coincidir+

con el n*mero de $ilas de &.

m!nE &n! p #m! p

/l producto de dos matrices y & + es otra matriz #+ cuyos

elementos se obtienen+ multiplicando las $ilas de por las

columnas de &. ,os elementos de #pi( estn dado por

∑=

kjik ij ba p E


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Propiedades del producto de

matrices


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1.; sociati%a & ) & )

2.; /n general+ no es conmutati%o.

3.; 7i es cuadrada+ entonces- 6 E E 6 4.; /!iste la matriz in%ersa de + ;1+ cuando e!iste

una matriz & tal0ue & & 6.

5.; Distributi%a+ respecto a la suma

&>) & > )


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Observaciones:


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1.; 7i & A no implica 0ue alguna de ellas sean cero A.

2.; 7i & ) no implica 0ue - & )

3.; /n general > & 2 G 7i 2 > &2 B 2&+ esto

es por0ue+ & G &

4.; /n general > & B & 2 B &2+ esto

es por 0ue+ & G &.

5.; Matriz IN!E"SI#$E + es una matriz 0ue tiene in%ersa+ de lo contrario se le llama SIN%U$A"+


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Propiedades de la Inversión de

matrices:


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1.; ,a matriz 6n%ersa+ es *nica.

2.; ;1 ;1

3.; &;1 &;1 ;1.

4.; ;1;1

5.; C;1 1C ;1

9.; t;1 ;1t


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Fbser%aciones


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/s posible 0ue se cumpla & 6 + pero & G 6+ en

este cas se dice 0ue es la in%ersa de & por la

iz&uierda+ o 0ue & es la in%ersa de por la

derec'a.


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Tarea N( )

/ntregar al ayudante pró!ima semana

#ro$ Da%id &ecerra 'o(as

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"e un e#e!plo de

1.; )alculo de un determinante de una matriz de 3 ! 3.2.; Método de )ramer en un sistema de ecuación de 3 ! 3.

"efinici$n del Teorema de 'oucé;rIbenius.

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