11-Boole Circuitos (1)

09/07/2013

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Estructuras Discretas I

Conjuntos Ordenados

Dra. Norka Bedregal AlpacaESTR

UCTU

RAS

D

ISCR

ETAS

I

Dra. Norka Bedregal Alpaca

Introduccin

El lgebra de Boole, fue presentada originalmente por el ingls George Boole, en el ao de 1854 en su artculo "An Investigationof the Laws of Thoght ...

Las primeras aplicaciones a circuitos de conmutacin fueron desarrolladas por Claude Shannon en su tesis doctoral "Anlisis simblico de los circuitos de conmutacin y rels" en 1938

El lgebra booleana es un sistema matemtico deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero).

Un operador binario " " definido en ste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

ALG

EBR

A BO

OLE

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Postulados del lgebra de Boole

Postulado 1. El lgebra booleana es un sistema algebraico que se caracteriza por:

est definido en un conjunto B, el cual contiene dos o ms elementos

entre esos elementos se definen dos operaciones denominadas adicin u operacin OR" ( + ) "multiplicacin u operacin AND" ( * )

adicionalmente existe el concepto de complementoDra. Norka Bedregal Alpaca

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aqu se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

ALG

EBR

A BO

OLE



Suma Booleana es la funcin lgica o a + b

Multiplicacin Booleana es la funcin lgica i a*b

Complemento es la funcin lgica no

ALG

EBR

A BO

OLE

a b a + b0 0 00 1 11 0 11 1 1

a b a*b0 0 00 1 01 0 01 1 1

a a

0 11 0

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Puertas lgicas: funciones elementales


ALG

EBR

A BO

OLE


Postulado 2. Existencia de Neutros.

Existen en B el elemento neutro de la adicin, denominadoO y el neutro de la multiplicacin, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:

x + O = x x*1 = x


ALG

EBR

A BO

OLE

A + O = A A * 1 = A

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ALG

EBR

A BO

OLE

Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:

x+y = y+x x*y =y*x

Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B: x + (y + z) = (x + y) + z x * (y * z) = (x * y) * z



ALG

EBR

A BO

OLE

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Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B: x+(y * z) = (x+y) * (x+z) x * (y+z)=(x * y)+(x * z)


Postulados del lgebra de BooleAL

GEB

RA

BO

OLE

Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en B existe un elemento nico denotado x llamado complemento de x tal que x + x = 1 x * x = O

Ejemplos


Ejemplos. Existen ejemplos clsicos de conjuntos que cumplen con las propiedades de un Algebra de Boole, ellos son:

El lgebra de conjuntos junto con las operaciones de unin, interseccin y complemento

Un conjunto de proposiciones lgicas junto con las operaciones de conjuncin, disyuncin y complemento

Circuitos de conmutacin

El conjunto {0,1}, con las operaciones de suma y producto apropiadas.

ALG

EBR

A BO

OLE

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Ejemplo

Conjunto {0,1}

OperacionesComplemento

0 = 11= 0

Producto booleano ( punto(.) , AND)1 * 1 = 11 * 0 = 00 * 1 = 00 * 0 = 0

Suma booleana (+ , OR)1 + 1 = 11 + 0 = 10 + 1 = 10 + 0 = 0


ALG

EBR

A BO

OLE

Reglas

Reglas de precedenciaCalcule primero los complementosLuego los productosPor ltimo las sumas

Las reglas pueden alterar si aparecen parntesis

Ejemplo: Encuentre el valor de:

1* 0 + (0+1)1* 0 + (0+1) =

= 1* 0 + 1= 0 + 0= 0

Ejercicios: Encuentre el valor de:

a) 1*1 + (0 * 1)b) 1 + 0 * 1


ALG

EBR

A BO

OLE

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Teoremas


DUALIDAD: Dada una identidad de los postulados del lgebra de boole, por lo tanto vlida, se obtiene otra identidad igualmente vlida para la operacin * en la operacin +, y viceversa. Cada operacin se reemplaza por otra, al igual que sus elementos neutros.

TEOREMAS EN UN ALGEBRA BOOLEANA

Teorema 1: A + A = A

Teorema 2: A * A = A

Teorema 3: A + 0 = A

Teorema 4: A * 1 = A

Teorema 5: A * 0 = 0

ALG

EBR

A BO

OLE

Teoremas


Teorema 6: A + 1 = 1

Teorema 7: (A + B)' = A' * B

Teorema 8: (A * B)' = A' + B '

Teorema 9: A + A * B = A

Teorema 10: A * (A + B) = A

Teorema 11: A + A *B = A + B

Teorema 12: A' * (A + B') = A * B

Teorema 13: A*B + A*B' = A

ALG

EBR

A BO

OLE

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Teoremas


IDEMPOTENCIA:A*A=AA+A=A

DemostracinA+A=(A+A)*1

(A+A)*(A+A)A+(A*A)A+0A

Dual para la operacin *

Teorema 14: (A' + B') * (A' + B) = A

Teorema 15: A + A' = 1

Teorema 16: A * A' = 0

ALG

EBR

A BO

OLE


ABSORCIN:A+1=1A*0=0

Demostracin:

1=A+A ' A+(*1)(A+A ' )*(A+1)1*(A+1)(A+1)*1A+1

Dual para A*0

Teoremas

ALG

EBR

A BO

OLE

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Primera ley de redundancia:

A+(A*B)=AA*(A+B)=A

Demostracin:A=A*1

A*(B+1)(A*B)+(A*1)(A*1)+(A*B)A+(A*B)

Dual para A*(A+B)

TeoremasAL

GEB

RA

BO

OLE


Unicidad del complemento:

Se supondr que:A=X y A=Y

Es decir se supondrn 2 complementos posibles para A

Demostracin:

Si existiera lo anterior, entonces se tendra:(A+A=A+X=A+Y=1) y (A*A=A*X=A*Y=0)

X=X*1X*(A+Y)(X*A)+(X*Y)0+(X*Y)(A*Y)+(X*Y)Y*(A+X)Y*1Y

Teoremas

ALG

EBR

A BO

OLE

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INVOLUCION:A= (A)

Demostracin:A= E E = A

A*E=0 A+E=1

Reemplazando en E:

A*A=0A+A=1

TeoremasAL

GEB

RA

BO

OLE

ALG

EBR

A D

E BO

OLE


Funcin Booleana

Sea A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de lgebra de Boole.

Una funcin booleana es una aplicacin de A x A x A x....A en A

EJEMPLO

Suponga que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayora.

Cada uno puede votar si o no.

Sise representa el voto de cada uno por xi., la funcin devolver s (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolver 0.

Por ejemplo, si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la funcin booleana devolver 0.

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ALG

EBR

A D

E BO

OLE


Funcin Booleana

Producto mnimo (es el nmero posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El nmero posible de casos es 2n.

Si se asigna las letras A, B, C y D a los amigos, los posibles casos son:

Votos ResultadoABCD

Votos ResultadoABCD

1111 11110 11101 11100 01011 11010 01001 01000 0

0111 10110 00101 00100 00011 00010 00001 00000 0

ALG

EBR

A D

E BO

OLE


Funcin Booleana

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mnimos (minterms) iguales a 1.

En el ejemplo la funcin booleana ser:

f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

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ALG

EBR

A D

E BO

OLE

Ejercicio

Encuentre los valores de la funcin booleana representada por F(x,y,z) = xy + z

x y z xy z F(x,y,z)=xy + z1 1 1 1 0 11 1 0 1 1 11 0 1 0 0 01 0 0 0 1 10 1 1 0 0 00 1 0 0 1 10 0 1 0 0 00 0 0 0 1 1

La expresin booleana xy + z representa la funcin con los valores que se muestran

Mg. Norka Bedregal Alpac

ALG

EBR

A D

E BO

OLE

EjercicioMuestre que la ley distributiva es vlida:

x(y+z) = xy + xzx(y+z) = xy + xz

x y z y+z xy xz x(y+z) xy+xz1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 11 0 1 1 0 1 1 11 0 0 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 00 0 1 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

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Mg. Norka Bedregal Alpaca

ALG

EBR

A D

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OLE

FIN

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