INVESTIGACIN DE OPERACIONES I

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

INVESTIGACIN DE

OPERACIONES I

TALLER N 2

FABIAN BARRIENTOS JUAN MIGUEL 20080130H RAMOS MUNAYCO ELMER ADRIN 20084068G

URBINA BERAME NDI JUAN MARTIN 20082036I

2012

TALLER 02

1.- Una compa a produce rollos de papel con un ancho estndar de 20 pies cad a uno. Los pedidos de clientes, de rollos especiales de diversos anchos, se produ cen reco rtando los rollos de tamao estndar. Los pedidos comunes (que pueden variar de un d a p ara otro) se resumen en la

tabla siguiente:

Pedido

Ancho Deseado

(Pies)

Nmero de Rollos

Deseado

1

5

148

2

7

189

3

9

310

En la fb rica un pedido se cubre colocando las cuchillas de corte a los an chos deseados. Po r lo

general, existen varias formas en las que se puede co rtar un rollo de ancho estndar para cubrir un pedido especial. Por ejemplo:

a)

Colocacin A: 7 pies-9 pies-4 pies= 20 pies

(sobran 4 pies)

b)

c)

Colocacin B: 5 pies-5 pies-7 pies- 3 pies= 20 pies

Colocacin C: 5 pies-5 pies-9 pies- 1 pies= 20 pies

(sobran 3 pies) (sobran 1 pies)

Formular un modelo de PL que m inimice las prdidas por cortes y r esolver el modelo con un software de PL.

Solucin:

Como queremos minimizar las prdidas por cortes, nuestras variables sern el nmero de rollos de

20 pies que tenga po r cada tipo de colo cacin. Para ver todos los tipos de colocaciones que podamos hacer lo pond remos en una tabla en la cual co rtamos primero el mximo nmero de

rollos del ancho ms grande que es de 9 pies, de ah de 7 pies y por ltimo de 5pies :

Productos a

Tipo de Colocacin y variable a usar

fabricar

A

B

C

D

E

F

(rollos)

X1

X2

X3

X4

X5

X6

5 pies

0

0

2

1

2

4

7 pies

0

1

0

2

1

0

9 pies

2

1

1

0

0

0

Sobran

2 pies

4 pies

1 pies

1 pies

3 pies

0 pies

Los nmeros resaltados son la cantidad de rollos que hay que cortar de cada tipo (5, 7 y 9 pies). Ahora nuestra funcin objetivo ser:

Min Z = 2X1 + 4X2 + X3 + X4 + 3X5

Con las restricciones:

2X3 + X4 + 2X5 + 4X6 148 rollos de 5pies

X2 + 2X4 + X5 189 rollos de pies

2X1 + X2 + X3 310 rollos de 9 pies

X1 , X2 0

Usando un software de PL, nos da el siguiente resultado:

La funcin objetivo Z =405, que es la mnima can tidad de pies que desperdiciar.

Con X1 = 155 X2 = 0 X3 = 0 X4 = 95 X5 = 0 X6 = 14, lo que nos quiere decir que cort ando 155 rollos con la colocacin A, 95 rollos con la colocacin D y 14 rollos con la Colocacin F desperdiciaremos menos para cub rir los pedidos comunes.

2.- Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sof, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y

20 euros respectivamente. Para cada funda de modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fab ricar una del modelo B se requieren 3 ho ras de trab ajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 ho ras de trab ajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden

hacerse 9 fundas del modelo A. Cu ntas fundas de cada modelo han de fab ricarse p ara obtener el

mximo beneficio y cual ser este? a) Plantear el modelo de PL que resuelva el problema b) resolver grficamente c) Most rar en el grfico algunos puntos de la regin factible, de la frontera y de los vrtices. Comente y analice los valores encontrados en cada punto tanto los valores

matemticos como la interpretacin econ mica. Finalmente, en los vrtices resaltar cuales son las restricciones activas y las variables nulas.

Solucin:

Con los datos del problema, arm amos la siguiente tabla:

Tipo de Funda

Beneficio

Horas de trabajo

Unidades de tela

A

40

4

3

B

20

3

5

La empresa dispone de:

48

60

Elegimos nuestras variables:

El n mero de fundas del tipo A: X1

El n mero de fundas del tipo B: X2

Como queremos m aximizar nuestro beneficio, nuestra funcin objetivo sera: Max Z = 40X1 + 20X2

Con las siguientes restricciones:

4X1 + 3X2 48

3X1 + 5X2 60

X1 9

X1, X2 0

Para resolver el sistema agregamos v ariables, e igualamos:

Z 40X1 20X2 = 0

4X1 + 3X2 + X3 = 48

3X1 + 5X2 + X4 = 60

X1 + X5 = 9 y resolvemos:

Variable

Bsica

Z

X1

X2

X3

X4

X5

Lado

Derecho

Cociente

Es ptima?

Z

1

-40

-20

0

0

0

0

Z=0

X3

0

4

3

1

0

0

48

48/ 4=12

X4

0

3

5

0

1

0

60

60/ 3=20

X5

0

1

0

0

0

1

9

9/1=9

Z

1

0

-20

0

0

40

360

Z=360

X3

0

0

3

1

0

-4

12

12/ 3=4

X4

0

0

5

0

1

-3

33

33/ 5=

X1

0

1

0

0

0

1

9

Z

1

0

0

20/ 3

0

40/ 3

440

Z=440

ptimo

X2

0

0

1

1/3

0

-4/3

4

X4

0

0

0

-5/3

1

-26/ 3

53

X1

0

1

0

0

0

1

9

Por el mtodo grfico:

X1

X1 = 9

(0; 12)

(60/ 11; 96/11)

( 9; 4) 3X1 + 5X2 = 60

(0 ; 0) ( 9; 0) X2

4X1 + 3X2 = 48

Donde el punto que nos maximiza nuestra fun cin Z = 40X 1 + 20X2, es el punto (9; 4), que nos ad como resultado: Z = 40( 9) + 20( 4) = 4 40, que es nuestra solucin ptima.

3.- Un establecimiento agropecuario se dedica al engo rde de novillos y vaquillonas. Para ello cuenta con dos corrales cuya cap acidad mxima es de 300 animales cada u no. Cad a novillo debe permanecer 100 d as en el co rral y se calcula que ganan un kilogramo de peso por d a. Cada vaquillona tambin debe permanecer 100 d as y se calcula que g anan un kilogramo de peso por da. El novillo consume por d a: 300 g ramos de maz, 100 gramos de afrechillo, 500 gram os de sorgo por da. El costo de su dieta diaria es de USD 0, 5 y el precio de venta del Kg de carne de novillo es de US D 1. A su vez la v aquillona consume por da: 200 gramos de m az, 50 gramos de afrechillo, 250 gramos de sorgo por d a. El costo de la dieta diaria es de USD 0, 40 y el precio de venta del Kg de carne de vaquillona es de US D 0, 70. El establecimiento tiene disponibles 11 toneladas de maz, 5 toneladas de afrechillo, 15 toneladas de sorgo. El dueo del establecimiento desea saber la cantidad ptima de novillos y vaquillonas a ser engord ados en los corrales a los efectos de maximizar la gan ancia del establecimiento agropecuario. a) Plantear el modelo de PL

que resuelva el problema b) resolver grficamente c) Most rar en el grfico algunos puntos de la regin factible, de la frontera y de los vrtices. Comente y analice los valores encont rados en cad a punto, tanto los valores matemticos como la interpretacin econmica. Finalmente, en los vrtices resaltar cu ales son las restricciones activas y las variables nulas.

Solucin:

Con los datos dados arm amos la siguiente tabla:

Maz

Afrechillo

Sorgo

Costo de dieta diaria

Precio de

venta del Kg de Carne

Ganan cia por Kg de Carne

Novillos

300 gr

100 gr

500 gr

0,5 USD

1 USD

0,5 USD

Vaquillonas

200 gr

50 gr

250 gr

0,4 USD

0,7 USD

0,3 USD

El

establecimiento dispone de:

11 ton

5 ton

15 ton

Definimos nuestras variables:

X1: Nmero de novillos

X2: Nmero de v aquillonas

Como queremos m aximizar las gan ancias de la venta de carne en los 100 d as que pasan los novillos y vaquillonas en el establecimiento, nuestra funcin objetivo sera:

Z = 100(0, 5)X1 + 100(0, 3)X2

Max Z = 50X1 + 30X2

Sujeto a:

30X1 + 20X2 11000

10X1 + 5X2 5000

50X1 + 25X2 15000

X1 + X2 600

X1, X2 0

Para resolver el sistema agregamos v ariables, e igualamos:

Z 50X1 30X2 = 0

30X1 + 20X2 + X3 = 11000

10X1 + 5X2 + X4 = 5000

50X1 + 25X2 + X5 = 15000

X1 + X2 + X6 = 600

Variable

Bsica

Z

X1

X2

X3

X4

X5

X6

Lado derecho

Cociente

Es ptima?

Z

1

-50

-30

0

0

0

0

0

Z = 0

X3

0

30

20

1

0

0

0

11000

11000/30

X4

0

10

5

0

1

0

0

5000

5000/ 10

X5

0

50

25

0

0

1

0

15000

15000/50

X6

0

1

1

0

0

0

1

600

600/ 1

Z

1

0

-5

0

0

1

0

15000

Z =

15000

X3

0

0

5

1

0

-3/5

0

2000

200/ 5=40

X4

0

0

0

0

1

-1/5

0

2000

X1

0

1

0

0

1/50

0

300

300/ 0,5

X6

0

0

0

0

-1/50

1

300

300/ 0,5

Z

1

0

0

1

0

2/5

0

17000

Z =

17000

X3

0

0

1

1/5

0

-3/25

0

400

200/ 5=40

X4

0

0

0

0

1

-1/5

0

2000

X1

0

1

0

-1/10

0

2/25

0

100

300/ 0,5

X6

0

0

0

-1/10

0

1/25

1

100

300/ 0,5

Mediante el mtodo grfico: X2

10X1 + 5X2 = 5000 ( 0; 550)

( 100; 400) X1 + X2 = 600

30X1 + 20X2 = 11000

50X1 + 25X2 = 15000

(0; 0) ( 0; 300) X1

En las dos soluciones nos dan como solucin ptima: X1 = 100 ^ X2 = 400 y obtenemos Z = 17000

Esto nos quiere decir que teniendo 100 novillos y 400 vaquillonas vamos a obtener un a g anancia

mxima de USD 17000 por los 100 das que tenga a los novillos y vaquillonas en el establecimiento.