104577050 Diseno Sismico de Edficios

DISEÑOSÍSMICO

DEEDIFICIOS

DISEÑOSÍSMICO

DE

EDIFICIOS

Enrique Bazán•

Roberto Meü

Prólogo

£Ín 1985 salió al mercado el Manual de diseño Sísmico de Edificios quehabíamos elaborado en años anteriores y que había sido ya publicado por elInstituto de Ingeniería en 1981. El propósito de ese libro era presentar los ele-mentos teóricos básicos y los procedimientos de análisis específicos para la apli-cación de los requisitos de diseño sísmico contenidos en el Reglamento deConstrucciones del Distrito Federal que había entrado en vigor en 1977.

Los sismos de 1985 y las consecuentes modificaciones del Reglamento delDistrito Federal volvieron pronto obsoletas partes importantes de ese Manual ehicieron necesaria una actualización del material. Al comenzar este proceso,llegamos rápidamente a la decisión de que eran necesarios cambios radicales y,principalmente, era conveniente reducir el énfasis en los procedimientos y enlos métodos de análisis y prestar más atención a los criterios y a las bases teóri-cas. La razón de lo anterior es que actualmente ha perdido importancia la ha-bilidad para aplicar métodos refinados de análisis porque el proceso ha sidotransferido en su mayor parte a las computadoras, principalmente a través deluso de paquetes integrados de cómputo que realizan las etapas principales del pro-ceso de cálculo.

Es ahora más importante el conocimiento de las bases teóricas en que se fun-dan los métodos y los sistemas automatizados de cálculo, para entender por quése especifican determinados procedimientos e interpretar adecuadamente los re-sultados de los cálculos automáticos.

Por otra parte, se vuelve esencial contar con las bases para tomar las princi-pales decisiones del proceso de diseño, como son la elección de los materiales, delos sistemas estructurales y de los modelos analíticos representativos de la estruc-tura, los cuales serán sometidos al proceso formal de cálculo.

Al concluir la revisión se llegó a un texto que no guarda casi nada del que lesirvió como punto de partida, por lo que se decidió presentarlo como una obradiferente y, en particular, eliminar el término "Manual", que ya no corresponde asu enfoque.

El contenido mantiene cierta liga con el Reglamento de Construcciones parael Distrito Federal en lo relativo a la ilustración de los conceptos y a los ejem-plos, pero se ha vuelto más general y más conceptual.

Prólogo

El texto comienza con una introducción que pretende dar una visión de con-junto de la problemática de los efectos sísmicos en los edificios y de la manerade diseñar éstos para resistirlos. Los dos capítulos siguientes contienen los funda-mentos teóricos del análisis de las estructuras y de su respuesta dinámica, asícomo el planteamiento de los métodos de análisis que utilizan los paquetes decómputo para diseño sísmico de edificios.

El cuarto capítulo se dedica a la presentación de las principales característi-cas de los materiales, elementos y sistemas estructurales que influyen en el com-portamiento de los sismos.

A partir del capítulo 5 comienza la parte que se dedica a presentar las etapasprincipales del diseño sísmico. En este capítulo se tratan los principios que con-ducen a definir el sistema estructural idóneo para los edificios y para identificaraquellos aspectos que pueden causar problemas de mal comportamiento. En lostres capítulos siguientes se tratan sucesivamente los métodos de diseño sísmicoestático y dinámico, y los requisitos de dimensionamiento y detallado para quelas estructuras tengan el comportamiento sísmico adecuado. Finalmente, el capí-tulo 9 se refiere al cuidado de los elementos no estructurales de los edificios,como los acabados, instalaciones y equipo.

El texto ha sido preparado a partir de diversos escritos que los autores hemosvenido desarrollando a lo largo de muchos años, y que han servido de base paracursos, conferencias y artículos técnicos. En este proceso hemos contado con laparticipación de un gran número de colaboradores, sobre todo estudiantes. Nos haresultado imposible llevar una relación de todos ellos, por lo que preferimos dar-les un agradecimiento general para no incurrir en inevitables omisiones.

No queremos, sin embargo, dejar de mencionar la destacada contribución deCatherine Bazán, Gerardo Aguilar y Leonardo Flores en la preparación de figurasen formato digital.

ENRIQUE BAZÁN

ROBERTO MELI

1. INTRODUCCIÓN A LASISMOLOGÍA Y A LAINGENIERÍA SÍSMICA, 15

1.1 Sismología y peligro sísmico, 15

1.1.1 Causas y efectos de lossismos, 15

1.1.2 Movimientos sísmicos delterreno, 17

1.1.3 Registros sísmicos.Acelerogramas, 21

1.1.4 Peligro sísmico, 23

1.1.5 Efectos locales ymicrozonificación, 25

1.2 Efectos sísmicos en losedificios, 29

1.2.1 Características de la acciónsísmica, 29

1.2.2 Respuesta de los edificios a laacción sísmica, 30

1.2.3 Daños estructurales máscomunes, 33

1.3 Criterios de diseño sísmico, 37

1.3.1 Objetivos del diseño sísmico, 37

1.3.2 Aspectos principales del diseñosísmico, 40

1.3.3 Enfoques de diseño, 40

1.4 Criterios de diseño sísmico delReglamento de Construccionespara el Distrito Federal(RCDF), 43

2. EDIFICIOS SUJETOS AFUERZAS LATERALES, 47

2.1 Método de rigideces, 47

2.1.1 Conceptos básicos, 47

2.1.2 Elemento viga, 50

2.1.3 Elemento barra, 52

2.2 Marcos planos

2.2.1 Método directo de rigideces, 54

2.2.2 Método de Bowman, 60

2.2.3 Fórmulas de Wilbur, 62

2.2.4 Edificios de cortante, 65

2.3 Sistemas con muros, 67

2.3.1 Método de la columna ancha, 67

2.3.2 Método de MacLeod, 71

2.3.3 Marcos contraventeados, 73

2.3.4 Muros confinados por marcos, 73

2.3.5 Método del elemento finito, 76

2.4 Análisis tridimensional, 78

2.4.1 Edificios con pisos rígidos enplanta, 78

Contenido

2.4.2 Ejemplo, 82

2.4.3 Edificios con sistemas resistentesortogonales, 84

2.5 Observaciones y comentarios, 89

2.5.1 Métodos aproximados paramarcos, 90

2.5.2 Sistema con muros ycontravientos, 92

2.5.3 Efectos no lineales, 94

2.5.4 Análisis tridimensional concomputadora, 95

3. CONCEPTOS DE DINÁMICAESTRUCTURAL, 99

3.1 Grados de libertad dinámicos, 99

3.2 Sistemas lineales de un grado delibertad, 100

3.2.1 Descripción y ecuación deequilibrio dinámico, 100

3.2.2 Vibraciones libres, 101

3.2.3 Respuesta a movimientos delterreno, 103

3.2.4 Análisis paso a paso, método 6 deNewmark, 103

3.2.5 Espectro de respuesta elástico, 107

3.3 Sistemas lineales de varios gradosde libertad sin torsión, 108

3.3.1 Ecuaciones de equilibriodinámico, 108

3.3.2 Vibraciones libres noamortiguadas, 109

3.3.3 Frecuencias y modos de vibración,110

3.3.4 Ejemplo, 111

3.4 Cálculo numérico de modos yfrecuencias de vibrar, 113

3.4.1 Método de Newmark, 113

3.4.2 Método de Holzer, 115

3.4.3 Método de iteración inversa, 117

3.5 Respuesta a temblores desistemas sin torsión, 121

3.5.1 Análisis modal, 121

3.5.2 Modos ortonormales, 123

3.5.3 Estructura tratada en la sección3.3.4, 124

3.5.4 Edificio tratado en la sección2.4.3, 125

3.6 Análisis dinámico tridimensional,127

3.6.1 Ecuaciones de equilibriodinámico, 127

3.6.2 Análisis modal, 128

3.6.3 Edificio de un piso, 129


3.6.5 Análisis paso a paso1, 132

3.7 Sistemas suelo-estructura, 133

3.7.1 Ecuaciones de movimiento, 134

3.7.2 Estimación aproximada depropiedades dinámicas, 137

3.7.3 Rigideces equivalentes del suelo,139

3.8 Análisis no lineal, 140

3.8.1 Ecuaciones de movimiento, 141

3.8.2 Solución analítica, 141

3.8.3 Análisis paso a paso, 142

3.8.4 Espectro de respuesta inelástico,143

3.9 Comentarios y observaciones, 144

4 PROPIEDADES DEMATERIALES Y SISTEMASESTRUCTURALES, 147

4.1 Alcance, 147

4.2 Características de los edificiosque definen la respuesta asismos, 147

4.2.1 Conceptos generales, 141

Contenido

4.2.2 Periodo natural de vibración, 148

4.2.3 Amortiguamiento viscoso, 150

4.2.4 Comportamiento inelástico, 151

4.3 Características de los materiales,153

4.3.1 Propiedades relevantes, 153

4.3.2 Concreto, 153

4.3.3 Acero, 154

4.3.4 Manipostería, 155

4.3.5 Madera, 156

4.4 Comportamiento de losprincipales elementosestructurales, 157

4.4.1 Vigas y columnas de concretoreforzado, 157

4.4.2 Uniones de viga-columna deconcreto reforzado, 159

4.4.3 Muros de concreto, 160

4.4.4 Vigas y columnas de aceroestructural, 161

4.4.5 Conexiones viga-columna deacero, 162

4.4.6 Contravientos de acero, 163

4.4.7 Muros de manipostería, 164

4.4.8 Paredes de madera, 165

4.5 Comportamiento de sistemasestructurales, 165

4.5.1 Respuesta no lineal de sistemas,165

4.5.2 Medidas de la respuesta no línea!de sistemas, 166

4.5.3 Relación entre ductilidad de unelemento y ductilidad de unasección, 167

4.5.4 Relación entre ductilidad deentrepiso y ductilidad de lasección crítica, 168

4.5.5 Relación entre ductilidad global deun marco y ductilidad local de lasección crítica, 170

4.6 Propiedades mecánicas ygeométricas de los elementosestructurales para el análisis delos edificios, 171

5. CRITERIOS DEESTRUCTURACIÓN DEEDIFICIOS, 175

5.1 Importancia de la configuraciónestructural en el comportamientosísmico, 175

5.2 Características relevantesdel edificio para elcomportamiento sísmico, 176

5.2.1 Peso, 176

5.2.2 Forma del edificio en planta, 177

5.2.3 Forma del edificio en elevación,180

5.2.4 Separación entre edificiosadyacentes, 181

5.3 Requisitos básicos deestructuración, 181

5.4 Requisitos específicos deestructuración, 183

5.5 Ventajas y limitaciones de lossistemas estructurales básicos,187

5.5.1 Marcos rígidos, 187

5.5.2 Sistemas tipo cajón, 188

5.5.3 Marcos rigidizados, 188

5.5.4 Otros sistemas, 189

5.6 Sistemas de piso y techo.Diagramas horizontales, 192

5.7 Cimentaciones, 194

6. ANÁLISIS SÍSMICO ESTÁTICO,199

6.1 Aspectos reglamentarios, 199

6.1.1 Métodos de análisis, 199

Contenido

6.1.2 Coeficientes y espectros de diseñosísmico, 200

6.1.3 Aplicabilidad y procedimiento delanálisis sísmico estático, 205

6.2 Valuación de fuerzas sísmicas sinestimar el periodo fundamentaldel edificio, 205

6.2.1 Edificios sin apéndices, 205

6.2.2 Edificios con apéndices, 206

6.3 Valuación de fuerzas sísmicasestimando el periodofundamental del edificio, 210

6.3.1 Procedimiento, 210



6.4 Distribución de las fuerzassísmicas entre los elementosresistentes del edificio, 212

6.4.1 Entrepisos con sistemas resistentesortogonales, 213

6.4.2 Ejemplo, 216

6.4.3 Cálculo matricial de momentostorsionantes, 221

6.4.4 Ejemplo, 223

6.4.5 Distribución matricial de fuerzassísmicas, 225

6.5 Método simplificado de análisissísmico, 226

6.5.1 Requisitos y descripción, 227

6.5.2 Ejemplo, 227

6.6 Efectos de segundo orden yrevisión de desplazamientos, 230

6.6.1 Requisitos reglamentarios, 231

6.6.2 Ejemplo, 231

6.7 Momentos de volteo, 232

6.8 Comentarios, 233

7. ANÁLISIS SÍSMICODINÁMICO, 237

7.1 Aspectos reglamentarios, 237

7.1.1 Tipos de análisis, 237

7.1.2 Requisitos generales, 238

7.2 Análisis modal espectral, 238

7.2.1 Espectros de diseño, 239

7.2.2 Requisitos, 240

7.3 Estructuras de varios grados delibertad sin torsión, 241

7.3.1 Análisis modal de la respuestaestructural a un temblor, 241

7.3.2 Combinación de respuestasmodales máximas, 242

7.3.3 Estructura tratada en la sección3.3.4, 244

7.4 Análisis en dos dimensiones yefectos de torsión, 247

7.4.1 Enfoque de análisis, 247

7.4.2 Ejemplo, 247

7.5 Análisis modal tridimensional,252

7.5.1 Descripción, 252

7.5.2 Edificio de un piso, 252

7.5.3 Consideraciones para diseño, 255

7.5.4 Edificio de varios pisos, 256

7.6 Tópicos adicionales, 264

7.6.1 Análisis paso a paso, 264

7.6.2 Sistemas suelo estructura, 265

7.6.3 Periodos cercanos y efectosbidireccionales, 268

8. DIMENSIONAMIENTO YDETALLADO DE LOSELEMENTOSESTRUCTURALES, 271

8.1 Aspectos generales, 271

Contenido

8.2 Estructuras de concretoreforzado, 272

8.2.1 Introducción, 272

8.2.2 Materiales, 272

8.2.3 Requisitos para vigas, 273

8.2.4 Requisitos para columnas, 279

8.2.5 Uniones viga-columna, 285

8.2.6 Requisitos para losas planas, 287

8.2.7 Requisitos para muros, 289

8.3 Requisitos para estructuras deacero, 292

8.3.1 Conceptos generales, 292

8.3.2 Material, 292

8.3.3 Requisitos para vigas, 293

8.3.4 Requisitos para columnas, 295

8.3.5 Requisitos para uniones viga-columna, 296

8.3.6 Elementos de contra viento, 296

8.4 Estructuras de manipostería, 297

8.4.1 Consideraciones generales, 297

8.4.2 Manipostería confinada, 297

8.4.3 Manipostería reforzada, 299

9. ELEMENTOS NOESTRUCTURALES, 303

9.1 Conceptos generales, 303

9.2 Métodos de diseño, 304

9.3 Detalles para aislar elementosarquitectónicos, 306

9.4 Equipo e instalaciones, 312

BIBLIOGRAFÍA, 313

C a p í t u l o

Introducción a la sismologíay a la ingeniería sísmica

1.1 SISMOLOGÍA Y PELIGRO SÍSMICO

1.1.1 Causas y efectos de los sismos

Conviene comenzar con una breve exposición sobre el origen y característi-cas de los fenómenos sísmicos para aclarar la razón de ser de los procedimientosde diseño que se van a tratar a lo largo de este trabajo. El lector que quiera pro-fundizar en estos temas debe recurrir a alguno de los muchos excelentes textosque sobre esta materia se encuentran publicados. Se recomiendan especialmentelos textos de Bolt (1987) y de Sauter (1990).

Los sismos, terremotos o temblores de tierra, son vibraciones de la cortezaterrestre, generadas por distintos fenómenos, como la actividad volcánica, lacaída de techos de cavernas subterráneas y hasta por explosiones. Sin embar-go, los sismos más severos y los más importantes desde el punto de vista de laingeniería, son los de origen tectónico, que se deben a desplazamientos brus-cos de las grandes placas en que está subdividida dicha corteza. Las presionesque se generan en la corteza por los flujos de magma desde el interior de latierra llegan a vencer la fricción que mantiene en contacto los bordes de lasplacas y producen caídas de esfuerzos y liberación de enormes cantidades deenergía almacenada en la roca. La energía se libera principalmente en formade ondas vibratorias que se propagan a grandes distancias a través de la roca dela corteza.

Es esta vibración de la corteza terrestre la que pone en peligro las edifica-ciones que sobre ella se desplantan, al ser éstas solicitadas por el movimiento desu base. Por los movimientos vibratorios de las masas de los edificios, se gene-ran fuerzas de inercia que inducen esfuerzos importantes en los elementos de laestructura y que pueden conducirla a la falla.

Además de la vibración, hay otros efectos sísmicos que pueden afectar a lasestructuras, principalmente los relacionados con fallas del terreno, como sonlos fenómenos de licuación, de deslizamiento de laderas y de aberturas de grie-tas en el suelo. No se tratarán aquí estos fenómenos que corresponden a con-diciones muy particulares de subsuelo que requieren estudios especializados.

1

16

Introducción a la sismología y a la ingeniería sísmica

Elevación

Magma

Trinchera

Placa Oceánica

Zona de fractura

Figura 1.1 Movimiento de placas y generación de sismos. Mecanismo de subducción.

Falla dePlaca de San Andrés 4' •"•Filipinas

Volcanes

Epicentros

o£'-'tíW ^>*%¿W Placa del

Placa de |r~ Pacífico

Fidji $.

y-

Zonas de subdueción

Movimientos de piacas

Zonas de emersión de magma

Zonas de colisión

Figura 1.2 «/lapa que muestra la relación entre las principales placas tectónicas y la localización de los epicentros deterremotos y de los volcanes (de Bolt, 1987).

Sismología y peligro sísmico

17

Magnitud4 - 55-66-77 - 8

No.5832931

La figura 1.1 muestra de manera muy esquemática las principales caracterís-ticas de este fenómeno tectónico. El sismo se genera por el corrimiento de ciertaárea de contacto entre placas. Se identifica un punto, generalmente subterráneo,que se denomina foco o hipocentro, donde se considera se inició el movimiento;a su proyección sobre la superficie de la tierra se le llama epicentro.

Aunque prácticamente toda la corteza terrestre está afectada por fallas geológi-cas, se ha observado que la actividad sísmica se concentra en algunas zonas dondelos movimientos a lo largo de estas fallas son particularmente severos y frecuentes.Una visión global de la distribución espacial de los grandes sismos se muestra enla figura 1.2, de la que se aprecia cómo éstos se presentan principal, pero no exclu-sivamente, en los bordes de las grandes placas tectónicas. La zona donde se liberala mayor parte de la energía sísmica es un gran arco, conocido como CinturónCircumpacífico, un tramo del cual está constituido por la zona de subducción entrela placa de Cocos y la placa de Norteamérica en la costa del Pacífico de México.

La figura 1.3 muestra en mayor detalle la localización de los epicentros de lossismos registrados en México durante cierto periodo. Se aprecia que, con mucho,la actividad se concentra en la zona de subducción antes mencionada, pero que sepresentan también fenómenos significativos en algunas otras áreas. Destacan losde Baja California Norte, los de Sonora y del Istmo de Tehuantepec.

1.1.2 Movimientos sísmicos del terreno

La energía liberada por un sismo se propaga desde la zona de ruptura, mediantediversos tipos de ondas que hacen vibrar la corteza terrestre. Se identifican on-das de cuerpo que viajan a grandes distancias a través de roca y ondas superfi-ciales que se deben a reflexiones y refracciones de las ondas de cuerpo, cuandoéstas llegan a la superficie o a una interfase entre estratos. Las ondas de cuerpose dividen en ondas P, también llamadas principales o de dilatación, y en ondas5, secundarias o de cortante. En las ondas P las partículas de la corteza experi-mentan un movimiento paralelo a la dirección de la propagación. En las ondas Slas partículas se mueven transversalmente a la dirección de propagación.

Figura 1.3 Epicentros de sis-mos ocurridos en México en1993 (Servicio Sismológico Na-cional).


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Tiempo(s)

Figura 1.4 Registro de acelera-ciones de un sismo en la Es-tación No. 1, Acapulco, México,el 9 de enero de 1992, obtenidoen el CENAPRED (Tiempo dearribo de las ondas P y S, ydeterminación de distancia ep¡-central).

Las ondas de cuerpo se propagan a grandes distancias y su amplitud se atenúapoco a poco. La velocidad de propagación de las ondas P es mayor que la de lasS, por lo que a medida que nos alejamos del epicentro crece la diferencia de tiem-po de llegada de los dos tipos de trenes de ondas. Como se aprecia en la figu-ra 1.4 esta diferencia de tiempo se emplea para determinar la distancia entre elepicentro y alguna estación sismológica donde se haya registrado el movimientodel terreno y, por tanto, sirve de base para la localización del epicentro.

Las ondas S producen un movimiento del terreno más intenso y de característi-cas más dañinas para las edificaciones que las ondas P. Por la complejidad de losmecanismos de ruptura y por la irregularidad de las formaciones geológicas por lasque viajan las ondas y por las múltiples refracciones y reflexiones que sufren durantesu recorrido, el movimiento del terreno en un sitio dado es muy complejo e irregular.

Para medir el tamaño de los sismos se utiliza la magnitud. Lo que se preten-de cuantificar es la energía liberada por el temblor y su potencial destructivoglobal, de manera semejante a lo que se hace con las bombas. La escala demagnitud más común es la de Richter (más propiamente llamada magnitud localM¡), que se basa en la amplitud de un registro en condiciones estándar. Sin embar-go, debemos tener presente que esta escala fue propuesta para temblores enCalifornia, empleando un sismógrafo particular. Para medir eventos en otras zo-nas sísmicas, que pueden ser más grandes y lejanos, varios autores han propuestoescalas basadas en registros de diversos tipos de ondas, siendo las más popularesla magnitud de ondas superficiales Ms, y la de ondas de cuerpo mb.

Las escalas mencionadas se limitan, no obstante, a temblores de ciertas ca-racterísticas y se saturan, es decir, dejan de crecer cuando alcanzan valoresalrededor de 8 aunque la destructividad del temblor siga aumentando. Por estasrazones, los sismólogos han desarrollado una medida más directa de la energía


disipada por un sismo denominada momento sísmico M0, el cual es el productode la rigidez a cortante de la corteza terrestre por el área de ruptura y por el des-lizamiento de la falla que genera el temblor. Así definido, M0 tiene, de hecho,unidades de energía. Para relacionar el momento sísmico con las escalas con-vencionales de magnitud, Hanks y Kanamori (1979) han definido una nuevaescala con la fórmula:

M = 2(log M0)/3 - 10.7

donde el logaritmo se toma en base 10 y M0 está dada en dinas-cm.M (también denotada con Mw) se llama magnitud de momento sísmico y está

ganando aceptación como una escala universal, ya que es adecuada para medireventos muy grandes y sin basarse exclusivamente en ningún tipo de ondas. Sehan publicado tablas y gráficas que permiten relacionar M con otros tipos demagnitud (véase, por ejemplo, Nuttli y Hermann, 1982).

La última ecuación refleja que la magnitud es una función lineal del logarit-mo de la energía liberada (medida por M0), de modo que un incremento de ungrado en M corresponde a un evento que libera 32 (=1015) veces más energía.Por ello, la determinación precisa de la magnitud, digamos con errores de undécimo, es muy importante para determinar la destructividad de un temblor, par-ticularmente en estudios de riesgo sísmico.

Sismos de magnitudes menores de 3 son sismos instrumentales que difícil-mente perciben las personas. Sismos de magnitud menor que 5 rara vez llegan aproducir daño, excepto cuando son muy superficiales y sólo muy cerca del epi-centro. Sismos de magnitud entre 5 y 7 afectan zonas relativamente pequeñas ycaen en la definición genérica de sismos de magnitud intermedia. A medida queaumenta la magnitud crecen la zona afectada y la violencia del movimiento delterreno. Los grandes sismos son de magnitud superior a 7.0 y no existe un límitesuperior teórico de la escala de Richter. Los sismos de mayor magnitud que sehan estudiado llegan a cerca de 9 en dicha escala.

Del punto de vista de ingeniería no interesa tanto la magnitud del sismocomo sus efectos en los sitios donde existen o se van a construir las edifica-ciones. Esto se refiere a la severidad de la sacudida sísmica que se experimentaen un sitio dado. A esta característica de los sismos se le llama intensidad, y esclaro que un mismo sismo, aunque tiene una sola magnitud, tendrá diferentesintensidades, según el sitio donde se registre. En general la intensidad decrece amedida que nos alejamos de la zona epicentral, y para una misma distancia epi-central, son más intensos los sismos de mayor magnitud.

Tampoco para la intensidad existe una escala universalmente aceptada. Lasescalas más precisas son las de tipo instrumental, que definen, por ejemplo, laintensidad en función de la aceleración máxima del terreno en el sitio de interés.Sin embargo, por la imposibilidad de contar con instrumentos colocados preci-samente en los diferentes sitios donde interesa conocer la intensidad, se prefiererecurrir a escalas de tipo más cualitativo que se basan en la severidad de losdaños producidos, en la violencia con que es sentido por las personas y en cam-bios producidos en la superficie del terreno. La escala de intensidades más usadaes la de Mercalli Modificada, una de cuyas versiones más recientes se reproduceen el cuadro 1.1. Se asignan intensidades entre I y XII. Intensidades de IV omenores no corresponden a daño estructural y una intensidad de X correspondea una destrucción generalizada. La mayor debilidad de la escala de Mercalli es


20Cuadro 1.1 Escala de intensidad Mercalli Modificada (MM).

Grado Descripción

I No es sentido por las personas, registrado porlos instrumentos sismográficos.

II Sentido sólo por pocas personas en reposo,especialmente en los pisos superiores, objetossuspendidos pueden oscilar.

III Sentido en el interior de las edificaciones, es-pecialmente en pisos superiores, pero muchospueden no reconocerlo como temblor, vibra-ción semejante a la producida por el paso de unvehículo liviano, objetos suspendidos oscilan.

IV Objetos suspendidos oscilan visiblemente,vibración semejante a la producida por el pasode un vehículo pesado, vehículos estacionadosse bambolean, cristalería y vidrios suenan,puertas y paredes de madera crujen.

V Sentido aun en el exterior de los edificios,permite estimar la dirección de las ondas, per-sonas dormidas se despiertan, el contenidolíquido de recipientes y tanques es perturbadoy se puede derramar, objetos inestables sondesplazados, las puertas giran y se abren ocierran, relojes de péndulo se paran.

VI Sentido por todas las personas, muchossufren pánico y corren hacia el exterior, setiene dificultad en caminar establemente,vidrios y vajilla se quiebran, libros y objetosson lanzados de los anaqueles y estantes, losmuebles son desplazados o volcados, elrevoque y enlucido de mortero de baja cali-dad y manipostería tipo D se fisuran, cam-panas pequeñas tañen.

VII Se tiene dificultad en mantenerse parado,percibido por los conductores de vehículos enmarcha, muebles se rompen, daños y colapsode manipostería tipo D, algunas grietas enmanipostería tipo C, las chimeneas se frac-turan a nivel de hecho, caída del revoque demortero, tejas, cornisas y parapetos sin ancla-je, algunas grietas en manipostería de calidadmedia, campanas grandes tañen, ondas enembalses y depósitos de agua.

VIII La conducción de vehículos se dificulta, da-ños de consideración y colapso parcial de mani-postería tipo C, algún daño en maniposteríatipo B; algún daño en manipostería tipo A;caída del revoque de mortero y de algunas pa-redes de manipostería, caída de chimeneas defábricas, monumentos y tanques elevados, al-

Grado Descripción

gunas ramas de árboles se quiebran, cambio enel flujo o temperatura de pozos de agua, grie-tas en terreno húmedo y en taludes inclinados.

IX Pánico general, construcciones de maniposte-ría tipo D totalmente destruidas, daño severo yaun colapso de manipostería tipo C, daño deconsideración en manipostería tipo B, daño afundaciones, daños y colapso de estructurasaporticadas, daños en ensambles y depósitosde agua, ruptura de tubería cerrada, grietas sig-nificativas visibles en el terreno.

X La mayoría de las construcciones de mam-postería y a base de pórticos destruidas, al-gunas construcciones de madera de buenacalidad dañadas, puentes destruidos, daño se-vero a represas, diques y terraplenes, grandesdeslizamientos de tierra, el agua se rebalsa enlos bordes de ríos, lagos y embalses, rieles deferrocarril deformados ligeramente.

XI Los rieles de ferrocarril deformados severa-mente, ruptura de tuberías enterradas quequedan fuera de servicio.

XII Destrucción total, grandes masas de roca des-plazadas, las líneas de visión óptica distor-sionadas, objetos lanzados al aire.

Definición de los tipos de manipostería

Tipo A: buena calidad de ejecución, mortero y dise-ño, reforzada y confinada empleando vari-llas de acero, diseñada para resistir cargaslaterales de sismo.

Tipo B: buena calidad de ejecución, reforzada, perono diseñada específicamente para resistircargas laterales de sismo.

Tipo C: calidad de ejecución media, sin refuerzo yno diseñada para resistir cargas laterales.

Tipo D: materiales de baja resistencia, tal comoadobe, baja calidad de ejecución débil pararesistir cargas laterales.

El rango de intensidades MM I a VI no es relevante entérminos de riesgo sísmico. El 90% del daño ocasio-nado por los terremotos corresponde a eventos conintensidad grado VII a IX, expresado en la escalaMercalli Modificada.


21

oO

Sur

Este

Arriba20 P10

-10 --20 -

•^Mt*$ii^^^ —v~^. —-

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Tiempo(s)

que toma en cuenta sólo marginalmente la calidad sismorresistente de los edifi-cios que se encuentran en la zona afectada.

1.1.3 Registros sísmicos —Acelerogramas

Entre los aparatos para medir los sismos se encuentran los sismógrafos, que seusan principalmente para determinar los epicentros y mecanismos focales. Parafines de ingeniería los más importantes son los acelerógrafos que proporcionan lavariación de aceleraciones con el tiempo en el lugar donde están colocados. Elnúmero y la calidad de estos aparatos ha aumentado extraordinariamente en losaños recientes y ha permitido grandes avances en el conocimiento de las carac-terísticas de la excitación sísmica inducida en las construcciones. Los mismosaparatos colocados en los edificios permiten determinar la respuesta de éstos a laacción sísmica.

Los acelerógrafos contienen sensores dispuestos de manera de registrar laaceleración del terreno en tres direcciones ortogonales (dos horizontales y unavertical). La figura 1.5 muestra un registro típico. Los parámetros más impor-tantes para definir la intensidad del movimiento y sus efectos en las estructurasson la aceleración máxima, expresada generalmente como fracción de la gra-vedad, la duración de la fase intensa del movimiento, y el contenido de frecuen-cias. Este último se refiere a la rapidez del cambio de dirección del movimientoy es importante en cuanto a definir el tipo de estructura que será más afectado.Este último punto se refleja en la forma del llamado espectro de respuesta y seexaminará más a fondo en el capítulo 3. Por ahora basta decir que mientras máscercanos sean los periodos dominantes del movimiento del suelo y el periodofundamental de vibración de la estructura, más críticos serán los efectos delsismo.

La figura 1.6 muestra en forma comparativa los acelerogramas de tres mo-vimientos sísmicos muy diferentes entre sí. El primer caso corresponde a un

Figura 1.5 Acelerogramas delos tres componentes de un sis-mo (registrados a 20 km del epi-centro del sismo de San Fer-nando, 1971).


22

a) Chile

(1985)

50 T

b) San Salvador

(1986)

OU

tuu -so-

12 14 16 18 20

200

c) México SCT

(1985)

20 30Tiempo(s)

Figura 1.6 Acelerogramas detres movimientos sísmicos típi-cos.

sismo de magnitud importante, registrado a una distancia moderada del epicen-tro. Se aprecia una aceleración máxima alta (0.16 g), una duración considerable(cerca de 50 segundos) y no existe una sola frecuencia definida, pero prevalecenlas frecuencias altas como puede observarse por el número de picos por segundo.Un movimiento de este tipo es dañino para estructuras de altura mediana o bajaque tienen periodos fundamentales relativamente cortos. El segundo registro co-rresponde a un sismo de pequeña magnitud (Ms = 5.6), pero registrado muy cercadel epicentro. La aceleración máxima es extraordinariamente elevada (0.68 g),pero la duración es sólo de algunos segundos y los periodos dominantes son muycortos. Un movimiento como éste produce generalmente menos daño que elprimero, aunque su aceleración máxima sea significativamente mayor, debido ala menor duración que hace que el número de ciclos de vibración inducidos en laestructura sea menor y así la amplificación que se tenga en la vibración de ésta.El tercer caso es el de un registro típico de la zona de suelo blando del valle deMéxico, para un sismo de gran magnitud, pero registrado muy lejos de la zonaepicentral. El acelerograma muestra una aceleración máxima no muy grande, unaextraordinaria duración y periodos muy largos. Un movimiento de este tipo espoco severo para las estructuras rígidas (de periodo corto), pero muy peligrosopara las estructuras altas y flexibles que tienen periodos naturales de vibraciónlargos.

En la figura 1.5 se aprecia que la aceleración vertical del terreno es sustancial-mente menor que las horizontales. Esto sucede en la generalidad de los sismos,excepto en los registrados muy cerca del epicentro. Por ello la atención se centraprincipalmente en proteger a las estructuras del efecto de la aceleración horizontal.


1.1.4 Peligro sísmico

Los estudios geológicos y la historia de actividad sísmica permiten identificar laszonas sismogenéticas, o sea aquellas donde existen fallas tectónicas activas cuyaruptura genera los sismos. Los movimientos sísmicos del terreno se presentan nosólo en las zonas sismogenéticas sino en todas aquellas que están suficientementecercanas a las mismas para que lleguen a ellas ondas sísmicas de amplitud signi-ficativa. Por tanto, el peligro sísmico se refiere al grado de exposición que un sitiodado tiene a los movimientos sísmicos, en lo referente a las máximas intensidadesque en él pueden presentarse.

En una zona sismogenética se producen sismos de diferentes magnitudes,según el tamaño del tramo de falla que se rompe en cada evento. Ocurre, gene-ralmente, un gran número de eventos de pequeña magnitud y la frecuencia deocurrencia disminuye en forma exponencial con la magnitud. Se suele suponer unmodelo, propuesto por Gutenberg y Richter (1954), para relacionar el número deaños que en promedio transcurre entre uno y otro evento de cierta magnitud. Estelapso promedio se denomina período de retorno, N, y aumenta con la magnitud,según la relación

log N = a + b M

en que a y b son dos coeficientes que definen el grado de actividad sísmica de lazona sismogenéíica. La figura 1.7 muestra la relación entre estas variables paraun tramo de la zona de subducción de la costa del Pacífico en México.

Las ondas sísmicas que se generan en la corteza terrestre por un evento degran magnitud se propagan a mucha distancia, pero su amplitud disminuye conla distancia por efectos de dispersión y de amortiguamiento. Por tanto, la in-tensidad del movimiento en un sitio dado disminuye con su distancia al epi-centro. Se han desarrollado ecuaciones empíricas para relacionar la intensidaddel movimiento en un sitio con su distancia epicentral y con la magnitud del

3.5 4.5 5.5 6

Magnitud (Ms)

6.5 7.5

Figura 1.7 Relación entre mag-nitud y frecuencia de ocurrenciade sismos en la zona de sub-ducción de la costa del Pacíficode México, entre Michoacán yGuerrero (según Singh, Rodrí-guez y Esteva, 1983).


24

Figura 1.8 Relación de ate-nuación de la intensidad delmovimiento del terreno en fun-ción de la distancia epicentraly de la magnitud del evento.En el eje vertical izquierdo sepresenta la atenuación de laaceleración máxima del terre-no, en el eje derecho la ate-nuación de la intensidad ex-presada en la escala MercalliModificada; la intensidad MMen función de la aceleraciónmáxima se tomó de las rela-ciones dadas por F. Sauter(adaptado de G.W. Housnerand P.C. Jennings, 1982).

1000

10 100 400 1000

DISTANCIA AL FOCO (km)

evento. Sin embargo, estas relaciones son sumamente erráticas y las ecuacionespropuestas, llamadas leyes de atenuación difieren significativamente entre sí ytienen coeficientes de variación elevados.

La figura 1.8 muestra la representación gráfica de una de estas leyes de ate-nuación. En este caso la intensidad se representa en la escala de Mercalli. Mejoraproximación se tiene cuando se expresa la intensidad en términos de la acelera-ción máxima del terreno o de algún parámetro instrumental.

La manera en que se atenúan los efectos sísmicos con la distancia desde lazona epicentral se aprecia directamernte de las intensidades que se determinan endistintos sitios. Para los sismos importantes se construyen mapas de isosistas, osea líneas de igual intensidad sísmica. Por ejemplo, en la figura 1.9 se muestranlas isosistas del sismo de México del 19 de septiembre de 1985. Se observa quepara una magnitud tan elevada, Ms = 8.1, se tuvieron intensidades significativashasta varios cientos de kilómetros de distancia. Es evidente además, que las iso-sistas tienen una trayectoria irregular que difiere mucho de la forma circular quepredicen las leyes de atenuación teóricas. La diferencia es debida a irregulari-dades geológicas y topográficas, principalmente.

El peligro sísmico en un sitio específico depende de su cercanía a fuentes deeventos de magnitud suficiente para producir intensidades significativas en elsitio. La figura 1.10 muestra las máximas intensidades que se han presentado enla república mexicana por los sismos más importantes ocurridos desde 1850. Seaprecia que las intensidades máximas ocurren en la costa del Pacífico, pero queexisten otras zonas donde se ha llegado a intensidades importantes.

Una forma más racional de expresar el peligro sísmico es en términos proba-bilistas, en función de la intensidad que tiene una probabilidad prestablecida (y


25

IX

IXVIII

Intensidades en la escala de Mercalli Modificada

Figura 1.9 Isosistas del sismodel 19 de septiembre de 1985(obtenido de la base de datosDiagnóstico de Peligro Sísmi-co, CENAPRED).

pequeña) de ser excedida en un lapso comparable a la vida útil esperada de las edi-ficaciones. En estos conceptos están basadas las regionalizaciones sísmicas querigen en distintos países. La figura 1.11 muestra la regionalización sísmica deMéxico; en ella se ha dividido el país en cuatro regiones de peligro sísmicocreciente, de la A hasta la D. Se aprecia concordancia entre esta regionalizacióny la distribución de intensidades máximas de la figura 1.10.

1.1.5 Efectos locales y microzonificación

Las leyes de atenuación y los mapas de regionalización reflejan la propagaciónde las ondas sísmicas en la roca de la corteza. El movimiento en la superficie del

XI

IX

Intensidades en ia escala de Mercalli Modificada

Figura 1.10 Isosistas máximasregistradas en la República Me-xicana de 1845 a 1985 (ob-tenido de la base de datosDiagnóstico de Peligro Sísmico,CENAPRED).

Introducción a ¡a sismoíogía y a ia ingeniería sísmica

26

Figura 1.11 Regionaüzaciónsísmica de México. El peligrosísmico aumenta de la zona Ahacia ¡a D.

terreno en un sitio dado puede diferir radicalmente del que se tiene en la rocabase, por alteraciones de las ondas debidas a efectos geológicos, topográficos yde rigidez del subsuelo. La importancia de estas alteraciones, llamadas en térmi-nos generales efectos locales, se reconoce cada vez más en años recientes y haconducido a la necesidad de estudios de microzonificación de las áreas de asen-tamientos humanos para detectar aquellas zonas que presentan problemas espe-ciales.

Fenómenos locales extremos se tienen en zonas de suelos inestables donde lavibración sísmica puede piovocar fallas de suelo, deslizamiento de laderas oproblemas de licuación. Estas zonas deben identificarse con estudios geotécnicosespecíficos.

La presencia de estratos de suelo blando por los que transitan las ondas sís-micas para llegar a la superficie, altera en forma significativa las característicasde las ondas. Se filtran las ondas de periodo corto y se amplifican las ondas deperiodo largo. En general, la intensidad sísmica aumenta en los sitios de terrenoblando y los daños en los sismos importantes han sido sistemáticamente másgraves en estos sitios que en los de terreno firme.

Un área donde los efectos de sitio son extraordinariamente importanteses el valle de México. Por estar lejos de la costa del Pacífico donde se gene-ran los sismos de gran magnitud, esta área se ubica en una región de peligrosísmico moderado (zona B según la regionalización de la figura 1.11). Sinembargo, condiciones geológicas particulares de esta área producen unaamplificación generalizada de las ondas sísmicas en toda la región, indepen-dientemente del tipo de terreno. No obstante, el efecto de suelo local más impor-tante es que las ondas que llegan al valle por la roca base sufren modificacionesy amplificaciones extraordinarias al transmitirse hacia la superficie a través delos estratos de arcilla sumamente compresible que existen en las zonas corres-pondientes a los lechos de los antiguos lagos que hubo en el valle de México.

La importancia del problema se aprecia en la representación de la figura 1.12,donde se reproducen a una misma escala ios acelerogramas registrados en distin-


1 8

Cerro delTepeyac Peñón

LAGO DE TEXCOCO

Cerro dela Estrella Sn. P.

Atocpan

LAGO XOCHIMILCO-TLÁHUAC

a

"'-- o

Figura 1.12 Corte N-S del vallede México en donde se muestrael perfil esquemático de los de-pósitos profundos, las zonas delago y algunos acelerogramasdel 25 de abril de 1989.

tos sitios del valle de México durante unsismo de magnitud moderada originado enla costa del Pacífico. Consistentemente,las amplitudes del movimiento son variasveces mayores en terreno blando que enterreno firme. El tránsito por un gruesoestrato de arcillas blandas filtra, y haceprácticamente desaparecer, las ondas quetienen frecuencias de vibración diferentesa la frecuencia fundamental del estrato.De esta manera llega a la superficie unmovimiento casi armónico, con un perio-do de vibración que es el del estrato dearcilla subyacente y que en el valle varíaprincipalmente con el espesor de losestratos de arcilla. Un movimiento de estetipo se ha presentado a mayor escala en lafigura 1.4.

La microzonificación de la ciudad deMéxico ha dado lugar a su subdivisión entres zonas, como se representa en la fi-gura 1.13. La zona de Lomas es de terre-no firme y de peligro sísmico menor. Lazona del Lago tiene depósitos de arcillade por lo menos 20 m de espesor y corres-ponde al peligro sísmico mayor. Entreestas dos zonas existe una de Transicióndonde los estratos de arcilla son de menorespesor y producen amplificaciones im-portantes, pero menos graves que en lazona del Lago.

Calz. Tlalpan

Profundidad de los depósitosincompresibles

Zona I, H < 3 mZona II, 3 < / / < 2 0 m

Zona III, H > 2 0 m

Zona IV, poco conocida

Figura 1.13 Zonificacíón del Distrito Federal, según el tipo de suelo.


28

Figura 1.14 Fuerza de inerciagenerada por la vibración de laestructura.

Desplazamientodel terreno

Dirección del desplazamiento delterreno

Figura 1.15 Modelo de un sis-tema de un grado de libertad.

Amortiguador

L

Masa

OHistoria deaceleraciones en elsistema

Columna conconstante deresorteconocida

Modelo

Historia deaceleraciones en labase

Figura 1.16 Flujo de fuerzas enla estructura debido a la vi-bración.

Fuerzas de inerciaFuerzas en lasconexiones y enlas columnas

Dirección delmovimiento dela estructura

Fuerzas en lacimentación

Efectos sísmicos en los edificios

1.2 EFECTOS SÍSMICOS EN LOS EDIFICIOS

1.2,1 Características de la acción sísmica

El movimiento sísmico del suelo se transmite a los edificios que se apoyansobre éste. La base del edificio tiende a seguir el movimiento del suelo, mien-tras que, por inercia, la masa del edificio se opone a ser desplazada dinámica-mente y a seguir el movimiento de su base (figura 1.14). Se generan entonceslas fuerzas de inercia que ponen en peligro la seguridad de la estructura. Se tratade un problema dinámico cuyo planteamiento teórico se expone en el capítulo3 y que, por la irregularidad del movimiento del suelo y por la complejidad delos sistemas constituidos por las edificaciones, requiere de grandes simplificacio-nes para ser objeto de análisis como parte del diseño estructural de las construc-ciones. Aquí sólo se esbozarán en forma cualitativa los aspectos más relevantesdel problema.

El movimiento del suelo consta de vibraciones horizontales y verticales.Como ya hemos mencionado, las primeras resultan en general más críticas y sonlas únicas consideradas en este planteamiento preliminar.

La flexibilidad de la estructura ante el efecto de las fuerzas de inercia haceque ésta vibre de forma distinta a la del suelo mismo. Las fuerzas que se inducenen la estructura no son función solamente de la intensidad del movimiento delsuelo, sino dependen en forma preponderante de las propiedades de la estructuramisma. Por una parte, las fuerzas son proporcionales a la masa del edificio y, porotra, son función de algunas propiedades dinámicas que definen su forma devibrar.

Una apreciación aproximada de la respuesta sísmica de una estructura setiene al estudiar un modelo simple que es un sistema de un grado de libertad,constituido por una masa concentrada y un elemento resistente con cierta rigidezlateral y cierto amortiguamiento (figura 1.15). Como veremos en el capítulo 3este sistema se caracteriza por su periodo natural de vibración que es propor-cional a la raíz cuadrada de la relación entre la masa y la rigidez.

Los movimientos del suelo son amplificados en forma importante por lavibración de la estructura, de manera que las aceleraciones que se presentan enla misma llegan a ser varias veces superiores a las del terreno. El grado deamplificación depende del amortiguamiento propio de la edificación y de larelación entre el periodo de la estructura y el periodo dominante del suelo. Deesta manera, cuando los movimientos del suelo son bruscos con predominiode ondas de periodo corto, resultan más afectadas las construcciones rígidas ypesadas. Cuando el movimiento del terreno es lento, con periodos dominanteslargos, es en las estructuras altas y flexibles donde se amplifican las vibra-ciones y se generan aceleraciones más elevadas y por ende fuerzas de inerciamayores.

Las fuerzas de inercia que se generan por la vibración en los lugares dondese encuentran las masas del edificio se transmiten a través de la estructura portrayectorias que dependen de la configuración estructural. Estas fuerzas generanesfuerzos y deformaciones que pueden poner en peligro la estabilidad de la cons-trucción. La figura 1.16 muestra esquemáticamente el flujo de fuerzas en unaestructura típica. Se observa que pueden resultar críticas las fuerzas en las unio-nes entre los elementos estructurales, las fuerzas cortantes en las columnas y latransmisión de dichas fuerzas a la cimentación.

introducción a ¡a sismología y a la ingeniería sísmica

1.2=2 de los edificios a ia sísmica

Como se ha mencionado en la sección anterior, la intensidad de la vibracióninducida en un edificio depende tanto de las características del movimiento delterreno como de las propiedades dinámicas de la estructura. Para sismos mode-rados la estructura se mantiene, normalmente, dentro de su intervalo de compor-tamiento elástico lineal y su respuesta puede calcularse con buena aproximaciónen los métodos de análisis dinámico de sistemas lineales; estos métodos se pre-sentan con cierto detalle en el capítulo 3.

Las características esenciales de la respuesta se llegan a estimar con acep-table precisión al modelar la estructura mediante un sistema de un grado de li-bertad con periodo igual al fundamental de la estructura. La figura 1.17 ilustraalgunos aspectos del problema. Si se someten varios sistemas de un grado de li-bertad con diferentes periodos a cierta ley de movimientos del terreno, cada unoresponde de manera diferente; la amplitud de su respuesta depende esencialmentede la relación entre el periodo del sistema y el periodo dominante del movimien-to del suelo (7yrs). Se aprecia en el ejemplo que mientras más cercana a launidad sea esta relación, mayor es la amplitud de la respuesta.

Una estructura real es un sistema más complejo que el de un grado de liber-tad y su respuesta es más difícil de estimar. La figura 1.18 muestra las acele-raciones medidas en distintos puntos de un edificio de la ciudad de Méxicosometido a un sismo de intensidad moderada, así como en el terreno adyacente yen el subsuelo. El conjunto de mediciones permite apreciar cómo el movimientoes casi imperceptible en los depósitos firmes profundos y crece en intensidad den-tro de los estratos de arcilla (20 m de profundidad), y más aún en la superfi-cie. El registro obtenido en el sótano del edificio resulta prácticamente igual almedido en el terreno libre, lo que indica que, en este caso, la presencia del edifi-cio no altera significativamente el movimiento del terreno. Los registros obte-nidos en el edificio van creciendo en intensidad con la altura, hasta que en laazotea la aceleración máxima es 2.5 veces mayor que la máxima registrada en elsótano. De los comentarios sobre la respuesta de sistemas de un grado de libertadse desprende que esta amplificación entre la azotea y el sótano depende princi-palmente de la relación entre el periodo fundamental del edificio y el periododominante del suelo.

A medida que la intensidad de la excitación aplicada al edificio aumenta, segeneran cambios en las propiedades dinámicas del mismo, las que alteran surespuesta. En términos generales, el comportamiento deja de ser lineal, la rigideztiende a bajar y el amortiguamiento tiende a aumentar.

La magnitud de estas modificaciones es muy distinta para diferentes tipos desistemas y de materiales. El acero, por ejemplo, mantiene su comportamiento li-neal hasta niveles muy altos de esfuerzos, correspondientes a la fluencia. El con-creto tiene una reducción significativa en su rigidez cuando los esfuerzos decompresión exceden a 50 por ciento de la resistencia, pero sobre todo, la rigidezde estructuras de este material se ve disminuida por el agrietamiento de las sec-ciones que están sujetas a momentos flexionantes elevados.

Una fuente importante de cambio en las propiedades dinámicas de las cons-trucciones es el efecto de elementos no estructurales, o sea de los recubrimientosy paredes divisorias que para niveles bajos de solicitación pueden contribuir sig-nificativamente a la rigidez, pero que después se agrietan o se separan de la es-tructura principal.


Periodo del

(

/—\

TÍ ¡ 0.25 0.5

}

1.0 1.5 2.0

Periodo dominante delmovimiento del suelo7i = 0.8s

Acelerograma registrado en el terreno

Figura 1.17 Amplificación delmovimiento del terreno en sis-temas con distinto periodo fun-damental de vibración.

El comportamiento de los principales materiales y sistemas estructurales setrata en detalle en el capítulo 4. Importa sobre todo la modificación en la res-puesta que se tiene después de la fluencia, cuando la rigidez de la estructura sereduce drásticamente y por otra parte entran en juego fuentes de amortiguamien-to mucho mayores que las que se tienen en la etapa de comportamiento lineal. Escostumbre relacionar este comportamiento de la respuesta debido a la disipaciónde energía por comportamiento no lineal de la estructura, a una propiedad llamadaductilidad, la que se refiere a su capacidad de mantener su resistencia para defor-maciones muy superiores a aquella para la que se inició la fluencia.

Figyra 1.18 Registros de ace-leraciones en un edificio de iaciudad de México para un sismomoderado (28 de octubre de1993).

AZOTEA

Nll

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N9

N8

N7

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POZO 20 m

SENSOR DEPOZO 45 m §|

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32

Comportamiento frágilComportamientodúctil

Figura 1.19 Relación carga-deformación de una estructura.

La ductilidad es una propiedad muy importante en una estructura que debe re-sistir efectos sísmicos, ya que elimina la posibilidad de una falla súbita de tipo frágily, además, pone en juego una fuente adicional de amortiguamiento. Volveremos aocuparnos repetidamente de esta propiedad en este capítulo y en los siguientes.

El comportamiento no lineal está asociado a daño, inicialmente sólo en loselementos no estructurales y después también en la estructura misma. Evidenciasdel comportamiento no lineal, y del daño, son agrietamientos, desprendimientos,pandeos locales, y deformaciones residuales de la estructura.

La descripción más simple que se puede dar del comportamiento no lineal deuna estructura es mediante la relación que priva entre la carga lateral total apli-cada (fuerza cortante en la base) y el desplazamiento de la punta del edificio. Lafigura 1.19 muestra formas típicas de esta relación para una estructura simple.Una corresponde a una estructura con ductilidad considerable y la otra a una decomportamiento frágil. En las curvas se distinguen puntos en los que la rigidezcambiaría drásticamente y que corresponden a cambios importantes de compor-tamiento, como la iniciación del agrietamiento de la estructura, la primera fluen-cia de un elemento estructural, y la pérdida de capacidad de carga que marca elinicio del colapso. Estos puntos pueden asociarse a estados límite del compor-tamiento estructural. En el primero puede considerarse que se rebasan las condi-ciones deseables de servicio de la construcción, en el segundo se llega a dañoestructural significativo y en el tercero ocurre el colapso.

El comportamiento ilustrado en la figura 1.19 es muy esquemático; cada ma-terial y sistema estructural presenta variaciones en su respuesta que dan lugar adiferencias tanto en las cargas como a las deformaciones que se requieren paraalcanzar los distintos estados límite. Una parte importante del diseño sísmicoconsiste en proporcionar a la estructura, además de la resistencia necesaria, lacapacidad de deformación que permita la mayor ductilidad posible. Las recomen-daciones a este respecto se describen en el capítulo 8.

Para ilustrar el efecto del comportamiento inelástico en la respuesta sísmica,la figura 1.20 muestra la historia de desplazamientos de tres sistemas de un gradode libertad ante un mismo movimiento de la base, correspondiente a un sismosevero. Los tres sistemas tienen el mismo periodo de vibración y el mismo por-centaje de amortiguamiento. El primero posee suficiente resistencia para so-portar el sismo manteniéndose en su intervalo de comportamiento lineal. Elsegundo tiene la mitad de esa resistencia y el tercero la cuarta parte, pero estosdos últimos poseen suficiente capacidad de deformación para que la respuesta semantenga dentro de la zona de fluencia sin llegar al colapso, con un tipo de com-


portamiento que se denomina elastoplástico. Las historias de desplazamientos dela figura 1 .20 resultan parecidas en lo general y, en particular, el desplazamientomáximo de los tres sistemas es muy similar.

Trataremos más formalmente el tema de la respuesta inelástica en el capítu-lo 3, pero del ejemplo mostrado puede inferirse que es posible dar a una estruc-tura una seguridad adecuada contra el colapso, con una resistencia elevadaaunque no se cuente con mucha ductilidad, o con una resistencia mucho menorsiempre que se proporcione amplia capacidad de deformación inelástica (ductili-dad). De esta segunda manera se aprovecha el amortiguamiento inelástico paradisipar una parte sustancial de la energía introducida por el sismo. Los pros y con-tras de las dos opciones se comentarán más adelante.

1 .2.3 Daños estructurales más comunes

33

El factor que más ha influido en el establecimiento de la práctica actual del dise-ño sismorresistente de edificios, ha sido la experiencia que se ha derivado delcomportamiento observado de los diferentes tipos de estructuras que han sufridosismos severos. La identificación de las características que han dado lugar a fa-llas (o por el contrario a buen comportamiento) y el análisis de los tipos de dañosy de sus causas han contribuido en forma decisiva al entendimiento del compor-tamiento sísmico de las estructuras.

Existe abundante literatura sobre este tema y los principales sismos han sidoobjeto de estudios detallados para explicar el desempeño observado de las estruc-turas. Las lecciones tienden a repetirse en estos eventos y dejan establecidosalgunos patrones consistentes.

No se pretende aquí hacer una reseña exhaustiva de los tipos de falla, sinodestacar un pequeño número de aspectos fundamentales, a través de algunosejemplos ilustrativos relacionados con los tipos más comunes de estructuras paraedificios modernos.

La causa más frecuente de colapso de los edificios es la insuficiente resisten-cia a carga lateral de los elementos verticales de soporte de la estructura (colum-nas o muros). Como se ilustró en forma esquemática en la figura 1.16, el flujo de

Figura 1.20 Respuesta elásticainelástica de sistemas de un gra-do de libertad.

o

Sistema de un gradode libertadPeriodo = 1.0 segAmortiguamiento de 5%

Acelerograma del sismo

ilLiiditaii~~~f(r' HP1*1

AMáx=3.21 cm

Modelo 2

= 4.22cm

Modelo 3

Relaciones carga-deformación

Historia de desplazamientosde los tres modelos


34

Figura 1.21 Colapso de un edi-ficio por falla de columnas.

Figura 1.22transversal.

Falla de columna con escaso refuerzo

las fuerzas de inercia desde las partes superiores hacia lacimentación, genera fuerzas cortantes crecientes hacia lospisos inferiores de la estructura las cuales deben ser resisti-das por los elementos verticales. Un requisito básico parauna adecuada resistencia a sismo es la existencia de un áreatransversal de muros o columnas suficiente para resistirdichas cortantes. La figura 1.21 muestra uno de los múlti-ples casos de colapso de un edificio por falla por cortantede sus columnas.

Para un correcto comportamiento sísmico, la resisten-cia no es el único factor importante. La capacidad de defor-mación, o la ductilidad, es una propiedad que puede salvarun edificio del colapso. El detallado de las secciones paraevitar una falla frágil y proporcionar capacidad de defor-mación es un aspecto básico del diseño. La figura 1.22muestra la falla de una columna de concreto con unacuantía y distribución de refuerzo totalmente inadecua-dos, particularmente en lo referente al refuerzo transver-sal (estribos). La mayoría de las fallas observadas enestructuras de concreto están ligadas a un pobre detalladodel refuerzo.

Las conexiones entre los elementos estructurales quetienen la función de resistir las fuerzas sísmicas sonzonas críticas para la estabilidad de la construcción. Sepresentan en ellas con frecuencia concentraciones ele-vadas y condiciones complejas de esfuerzos, que handado lugar a numerosos casos de falla. Particularmentecríticas son las conexiones entre muros y losas en estruc-turas a base de paneles, y entre vigas y columnas enestructuras de marcos. La figura 1.23 muestra un ejem-


35

pío de falla de una conexión viga-columna de concreto.Las fallas en las conexiones son generalmente de tipofrágil, por lo que deben protegerse estas zonas con par-ticular cuidado.

Un ejemplo dramático de falla de conexión se tiene enedificios de losas planas (apoyados directamente sobrecolumnas, sin vigas). Por los esfuerzos cortantes elevadosen la losa alrededor de la columna puede ocurrir una fallade punzonamiento que deja sin apoyo los sistemas de pisoy da lugar a un colapso total de los pisos que dejan paradassólo las columnas, como en la figura 1.24.

La liga de la estructura con su cimentación y la de éstaen el suelo son aspectos fundamentales para la estabilidaddel edificio. Los casos de volteo de un edificio por efectossísmicos son escasos, pero pueden ocurrir en estructurasesbeltas. La figura 1.25 muestra un edificio que se volteóarrancando los pilotes del suelo en que estaban hincados.

La configuración inadecuada del sistema estructuralproduce una respuesta desfavorable de la estructura o unflujo de fuerzas que genera concentraciones de esfuerzosy posibles fallas locales. El caso de la figura 1.26 muestravigas fuertemente excéntricas con respecto al eje de co-lumnas y que transmiten fuerzas cortantes y momentos tor-sionantes elevados en la viga transversal sobre la que seapoyan. El problema que dio lugar a la falla de este edi-ficio se explica en mayor detalle en la sección 5.4. Porotra parte, la asimetría en la distribución en planta de loselementos resistentes causa una vibración torsional de laestructura y genera fuerzas elevadas en algunos elemen-tos de la periferia. Numerosos son los casos de fallas, al

Figura 1.23 Falla por escasezde anclaje del refuerzo de lacolumna en su conexión con elsistema de piso.

Figura 1.24 Falla de un edificio a base de losas planaspor punzonamiento de losa.


36

Figura 1.25 Volteo de un edi-ficio por falla de cimentación.

menos parcialmente imputables a la torsión, como el que se muestra en la figu-ra 1.27.

Una situación frecuentemente ignorada, pero que ha dado lugar a daños se-veros en edificios construidos sobre los suelos blandos del valle de México, es elgolpeo entre edificios adyacentes que vibran de manera diferente y entre loscuales no se ha dejado una separación suficiente. La figura 1.28 muestra un casoparticularmente grave de este tipo de daño.

Figura 1.26 Falla de columnapor efecto de cortante y torsiónproducida por excentricidad dela viga longitudinal.

Criterios de diseño sísmico

37

La interacción entre elementos supuestamente noestructurales como los muros divisorios de manipos-tería y las columnas de marcos de concreto produceconcentraciones de fuerzas cortantes en los extremoslibres de columnas (columnas cortas o cautivas) quetienden a fallar por cortante en forma frágil, como enel caso de la figura 1.29.

Finalmente, el diseño sísmico no debe limitarse a laprotección de la estructura contra el colapso, sino debecuidar también que, por lo menos ante sismos modera-dos, no se presenten daños en los elementos no estruc-turales como los elementos divisorios o de fachada, losrecubrimientos, los equipos e instalaciones. La figu-ra 1.30 muestra un caso de este tipo de daños que son lacausa del mayor número de pérdidas económicas debidasa los sismos, sobre todo en los países más desarrollados.

A lo largo de los siguientes capítulos se tratarán deestablecer los principios y los procedimientos que sedeben seguir en el diseño de los edificios para evitar laocurrencia de daños como los mostrados en el pequeñogrupo de ejemplos aquí presentados.

1.3 CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO

1.3.1 Objetivos del diseño sísmico

El diseño de las estructuras para resistir sismos difieredel que se realiza para el efecto de otras acciones. Las

Figura 1.27 Daño en edificiopor vibración torsional.

Figura 1.28 Falla debida agolpeo entre edificios adya-centes.


38

Figura 1.29 Falla por cortanteen columna corta.

Figura 1.30 Daños en elementos de fachada por mo-vimientos laterales excesivos del edificio.

razones son diversas. Lo peculiar del problema sísmico noestriba sólo en la complejidad de la respuesta estructural alos efectos dinámicos de los sismos, sino sobre todo, se de-riva de lo poco predecible que es el fenómeno y de lasintensidades extraordinarias que pueden alcanzar sus efec-tos, asociado a que la probabilidad de que se presentendichas intensidades en la vida esperada de la estructura esmuy pequeña.

Por lo anterior, mientras que en el diseño para otrasacciones se pretende que el comportamiento de la estruc-tura permanezca dentro de su intervalo lineal y sin daño,aun para los máximos valores que pueden alcanzar lasfuerzas actuantes, en el diseño sísmico se reconoce que noes económicamente viable diseñar las edificaciones engeneral, para que se mantengan dentro de su compor-tamiento lineal ante el sismo de diseño.

El problema se plantea en forma rigurosa como uno deoptimación, en que debe equilibrarse la inversión que esrazonable hacer en la seguridad de la estructura con laprobabilidad del daño que puede ocurrir.

La mayoría de los reglamentos modernos de diseñosísmico establecen como objetivos, por una parte, evitar elcolapso, pero aceptar daño, ante un sismo excepcional-mente severo que se pueda presentar en la vida de laestructura; y, por otra, evitar daños de cualquier tipo antesismos moderados que tengan una probabilidad significa-tiva de presentarse en ese lapso.

Estos objetivos pueden plantearse de manera más for-mal en términos de los estados límite siguientes:


a) Estado límite de servicio, para el cual no se exceden deformacionesque ocasionen pánico a los ocupantes, interferencia con el funcio-namiento de equipos e instalaciones, ni daños en elementos no estruc-turales.

b) Estado límite de integridad estructural, para el cual se puede presentardaño no estructural y daño estructural menor, como agrietamiento en es-tructuras de concreto, pero no se alcanza la capacidad de carga de los ele-mentos estructurales.

c) Estado límite de supervivencia, para el cual puede haber daño estructuralsignificativo, y hasta en ocasiones más allá de lo económicamente repara-ble, pero se mantiene la estabilidad general de la estructura y se evita elcolapso.

En términos generales, pueden establecerse como objetivos del diseño sís-mico.

i) Evitar que se exceda el estado límite de servicio para sismos de intensi-dad moderada que pueden presentarse varias veces en la vida de laestructura;

/'/') que el estado límite de integridad estructural no se exceda para sismosseveros que tienen una posibilidad significativa de presentarse en lavida de la estructura;

i/i) el estado límite de supervivencia no debe excederse ni para sismosextraordinarios que tengan una muy pequeña probabilidad de ocu-rrencia.

Estas probabilidades pueden manejarse en términos de periodos de retorno;la tabla 1.1 muestra un esquema de este planteamiento e incluye periodos de re-torno considerados aceptables para cada uno de los tres casos.

Los reglamentos en general, no establecen métodos explícitos para alcanzarestos objetivos, que estrictamente requerirían de análisis para tres niveles desismos; tratan de cumplirlos de manera indirecta mediante un conjunto de re-quisitos que supuestamente lleven a ello.

Tabla 1.1 Estados límite para diseño sísmico.

Estado

límite

Servicio

Integridad

estructural

Supervivencia

Intensidad

sísmica

Moderada

Severa

Extraordinaria

Periodo de

retorno, años

20-30

50-100

500-1000


1.3.2 Aspectos principales del diseño sísmico

Los objetivos antes expuestos no se logran simplemente diseñando la estructurapara que sea capaz de resistir un conjunto de fuerzas laterales, aunque esto es par-te esencial del proceso. Debe darse a la estructura la habilidad de disipar de lamanera más eficiente la energía introducida por el movimiento del terreno. Encaso de sismos severos, es aceptable que buena parte de esta disipación de energíase realice con deformaciones inelásticas que implican daño, siempre que no sealcancen condiciones cercanas al colapso.

El cumplimiento de los objetivos, en términos muy simplistas, implica que laestructura posea una rigidez adecuada para limitar sus desplazamientos lateralesy para proporcionarle características dinámicas que eviten amplificaciones exce-sivas de la vibración; que posea resistencia a carga lateral suficiente para absorberlas fuerzas de inercia inducidas por la vibración; y que tenga alta capacidad dedisipación de energía mediante deformaciones inelásticas, lo que se logra pro-porcionándole ductilidad.

A grandes rasgos el diseño sísmico de una estructura implica las siguientesetapas:

d) La selección de un sistema estructural adecuado. El sistema estructuraldebe ser capaz de absorber y disipar la energía introducida por el sismosin que se generen efectos particularmente desfavorables, como concen-traciones o amplificaciones dinámicas. De la idoneidad del sistema adop-tado depende en gran parte el éxito del diseño. El capítulo 5 se dedica ailustrar los criterios de estructuración.

b) El análisis sísmico. Los reglamentos definen las acciones sísmicas paralas cuales debe calcularse la respuesta de la estructura y proporcionanmétodos de análisis de distinto grado de refinamiento. La atención debeprestarse más a la determinación del modelo analítico más representativode la estructura real, que al refinamiento del análisis para el cual se cuen-ta actualmente con programas de computadora poderosos y fáciles deusar, que simplifican notablemente el problema.

c) El dimensionamiento de las secciones. Los métodos de dimensionamien-to de las secciones y elementos estructurales no difieren sustancialmentede los que se especifican para otros tipos de acciones, excepto para losmétodos de diseño por capacidad que se mencionarán más adelante.

d) Detallado de la estructura. Para que las estructuras tengan un comporta-miento dúctil es necesario detallar sus elementos y conexiones para propor-cionarles gran capacidad de deformación antes del colapso. Los requisitosal respecto son particularmente severos en estructuras de concreto, en lasque conducen a modificaciones sustanciales en las cuantías y distribucionesde refuerzo, con respecto a la práctica convencional en zonas sísmicas.

El capítulo 8 ilustra los requisitos de detallado para las estructuras de con-creto, acero y manipostería.

1.3.3 Enfoques de diseño

Para cumplir estrictamente con los objetivos del diseño sísmico expuestos en lassecciones anteriores, deberían realizarse tres diferentes análisis: uno para un sis-


mo moderado en el que se revisarían las condiciones de servicio, considerandoun modelo de comportamiento elástico-lineal; otro para revisar que no se excedala resistencia de las secciones críticas (estado límite de integridad estructural)ante un sismo severo, usando un modelo elástico lineal pero con propiedadescorrespondientes a niveles de esfuerzos elevados; finalmente, un análisis en quese revisaría la seguridad contra un mecanismo de colapso para un sismo de inten-sidad extraordinaria. Este análisis debe considerar comportamiento plástico (nolineal) de la estructura.

La secuencia de análisis anterior resulta, obviamente, muy laboriosa y sólo seemplea para el diseño de estructuras de excepcional importancia (como las insta-laciones nucleares). Los reglamentos de diseño de edificios tratan de cumplir conlos objetivos establecidos, mediant; una sola etapa de análisis. Esto da lugar asimplificaciones drásticas y no siempre bien fundadas, que son motivo de con-troversia, ya que no queda claro cómo se deriva el método de análisis, cuáles sonlos objetivos y cómo se justifican algunos valores básicos de los parámetros dediseño.

El procedimiento adoptado por la mayoría de los códigos actuales consisteesencialmente en un diseño elástico con fuerzas reducidas. Se acepta que partede la energía introducida en la estructura por el sismo, se disipe por deforma-ciones inelásticas y, por ello, las fuerzas que deben ser capaces de resistir lasestructuras son menores que las que se introducirían si su comportamiento fue-se elástico-lineal. El Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal(RCDF) especifica un espectro de diseño de referencia para el diseño de estruc-turas que no pueden tener deformaciones inelásticas significativas, pero permiteque dichas fuerzas se reduzcan por un factor de comportamiento Q, que dependedel tipo de estructura en función de su capacidad de disipación de energía inelás-tica, o de su ductilidad. Con estas fuerzas reducidas se analiza un modelo linealde la estructura y se revisa que no se rebasen estados límite de resistencia de sussecciones.

Para cumplir con el objetivo de evitar daños no estructurales ante sismosmoderados, el reglamento requiere que se mantengan los desplazamientos late-rales del edificio dentro de límites admisibles. Se usan los desplazamientos quese calculan para el sismo de diseño y que por tanto, no corresponden a condi-ciones de servicio, y se comparan con desplazamientos admisibles que son muysuperiores a los que ocasionan daño no estructural. Por ejemplo, el RCDF acep-ta desplazamientos relativos de entrepiso de 0.006 y 0.012 veces la altura delmismo entrepiso, según el edificio tenga o no ligados a la estructura elementosfrágiles. Estas deformaciones son del orden de tres veces mayores que las que sonsuficientes para iniciar daños en los elementos no estructurales. Por tanto, esoimplica de manera gruesa, que sólo se pretende evitar daño no estructural parasismos del orden de un tercio de la intensidad del sismo de diseño.

Por otra parte, el procedimiento de diseño no incluye una revisión explícitade la seguridad ante el colapso (estado límite de supervivencia). Sólo se suponeque, al obedecer ciertos requisitos de ductilidad, la estructura dispondrá decapacidad de disipación inelástica de energía suficiente para evitar el colapso.

Se ha ido difundiendo desde hace algunos años un procedimiento de diseñosísmico originado en Nueva Zelanda y llamado diseño por capacidad. El métodopretende revisar explícitamente las condiciones que se presentan en la estructuraen su etapa de comportamiento no lineal y garantizar que ésta tenga la capacidadde disipación inelástica de energía.


42

Cabezal Superestructura

f r TI

-«-Pila

. Zapata

Pilotes

a) Esquema de la estructura.

V '

W

b) Fuerzas actuantes.

c) Sección transversalde la pila.

Figura 1.31 Fuerzas de diseñoen la pila de un puente.

En forma simplificada, se elige un mecanismo de comportamiento inelásticode la estructura que garantice la ductilidad deseada y se diseñan las secciones crí-ticas de dicho mecanismo (aquellas donde se desea aparezcan articulaciones plás-ticas) para las fuerzas que se generan en ellas según el sismo de diseño. Despuésse revisa el resto de las secciones para los diferentes estados límite, con las fuer-zas que aparecen en ellas al formarse el mecanismo y aplicando un factor de se-guridad adicional para garantizar que no alcancen su capacidad cuando se formeel mecanismo.

En forma parcial, se han adoptado estos principios para el diseño sísmico deestructuras de concreto. El capítulo 8 incluye la ilustración de los métodos de di-seño de vigas y conexiones viga-columna de concreto especificados por el RCDF,con estas bases.

Un ejemplo simple para explicar el concepto de diseño por capacidad es el deuna pila de un puente, como la mostrada en la figura 1.31. Los efectos sísmicosse representan por una fuerza lateral F, en la punta de la pila y el peso de la super-estructura por una carga vertical W. El mecanismo de falla con mayor disipacióninelástica de energía es el que implica la aparición de una articulación plástica porflexión en la base de la pila. Para evitar que se presenten modos de falla másfrágiles, como la de cortante en la pila o la falla de la cimentación, conviene pro-ceder de la siguiente manera.

a) Obtenida la fuerza F de los requisitos reglamentarios, se diseña la pila porflexocompresión para el efecto combinado de la fuerza axial más el mo-mento en la base (MA = F x A).

b) Se determina el refuerzo de la sección de la pila, cumpliendo con los re-quisitos de refuerzo reglamentarios para zonas de alta ductilidad.

c) Se calcula el momento flexionante MR que realmente resiste la seccióncrítica de la pila con el refuerzo que se ha proporcionado. El momentorealmente resistido puede ser mayor que el de diseño MA, debido a que,por redondeo, el área de acero que se coloca es generalmente mayor que lomínimo necesario, o a que hay que obedecer cuantías mínimas del re-glamento.

d) Se revisan los otros modos de falla, para las fuerzas que aparecen cuandoactúa en la sección crítica un momento igual a a MR, en que a es un fac-tor de seguridad mayor que la unidad. Así por ejemplo, se diseña lacolumna para una fuerza cortante.

_aMRy o

H

y se diseña la cimentación para el efecto combinado de la carga axial y delmomento a MR.

No se emplean para estos casos (cortante en pila y fuerzas en la cimentación)los valores que resultan del análisis, sino las fuerzas (bastante mayores) queaparecen cuando se presenta el mecanismo de falla, multiplicadas por un factorde seguridad (se suele tomar 1.25).

Operando de esta manera se garantiza que la estructura en caso de sobrepasarsu intervalo de comportamiento lineal, lo hará en la forma que permite la máxi-ma capacidad de rotación. Las secciones de fluencia elegidas actuarán como

Criterios de diseño sísmico del RCDF

fusibles impidiendo que se introduzcan en las estructuras fuerzas que puedan pro-ducir otros modos de falla más desfavorables.

1.4 CRITERIOS DE DISEÑO SÍSMICO DELREGLAMENTO DE CONSTRUCCIONESPARA EL DISTRITO FEDERAL (RCDF)

Se presentarán aquí, en sus aspectos esenciales, los criterios de diseño sísmico delRCDF en su versión de 1993. Este Reglamento no tiene modificaciones rele-vantes en lo relativo a diseño sísmico, con respecto a la versión que fue promul-gada en 1987.

Como en sus versiones anteriores, el cuerpo principal del Reglamento incluyesolamente requisitos de carácter general. Métodos y prescripciones particularesestán contenidos en las Normas Técnicas para Diseño Sísmico (NTDS). Además,requisitos específicos para el diseño sísmico de los principales materiales estruc-turales se encuentran en las Normas Técnicas para Diseño y Construcción deEstructuras de Concreto, Metálicas, de Manipostería y de Madera, respectiva-mente.

Los métodos específicos de diseño se describirán con cierto detalle en loscapítulos 6 y 7. En orden de refinamiento estos métodos son el simplificado, elestático y los dinámicos.

Como índice de la acción sísmica de diseño se emplea el coeficiente sísmico,c, que representa el coeficiente de cortante basal, el cual define la fuerza cortantehorizontal Vs, que actúa en la base del edificio, como una fracción del peso totaldel mismo, W.

W

El coeficiente sísmico también sirve de base para la construcción de losespectros de diseño. Este coeficiente varía en función del tipo de suelo y de laimportancia de la construcción.

El suelo de la ciudad se divide en las tres zonas principales identificadascomo I, II y III o de Lomas, de Transición y de Lago (ver figura 1.13). Una partede las zonas II y III se denomina zona IV, y para ésta existen algunas limitacionesen la aplicación de métodos de diseño que incluyen los efectos de interacciónsuelo-estructura.

Considerando que es mayor la seguridad que se requiere para construccionesen que las consecuencias de la falla son particularmente graves o para aquellasque es vital que permanezcan funcionando después de un evento sísmico impor-tante, se especifica que el coeficiente sísmico se multiplique por 1.5 para diseñarlas estructuras de construcciones como estadios, hospitales y auditorios, subesta-ciones eléctricas y telefónicas (es decir, las clasificadas dentro del grupo A).

Los coeficientes sísmicos sirven para construir los espectros de aceleracionesde diseño que se emplean para análisis dinámicos. De hecho representan cotassuperiores de dichos espectros que corresponden a su parte plana. Para el análisisestático puede emplearse el coeficiente sísmico c, o un coeficiente reducidosegún el valor del periodo fundamental con reglas que se mencionarán más ade-lante. Los espectros así construidos son "elásticos", y sirven para determinar lasfuerzas laterales para las que hay que diseñar una estructura que no tenga una


44

0.305,

0.30^,

Figura 1.32 Combinación delefecto sísmico en dos direc-ciones.

Figura 1.33 Vibración de unedificio incluyendo efectos detorsión.

capacidad significativa de deformarse fuera de su intervalo elástico lineal. Seadmiten reducciones en las ordenadas espectrales. Están definidas por un factor<2 que toma valores entre 1.0 y 4.0, según el tipo de estructuración y los detallesde dimensionamiento que se hayan adoptado en la estructura.

Los valores especificados para el coeficiente sísmico y para el factor Q sedescriben en el capítujo 6, junto con los requisitos que deben satisfacerse paraadoptar cada valor de Q. Estos requisitos son muy generales y deben ir apareja-dos a la observancia de otros más específicos de sistemas constructivos y mate-riales particulares.

Debe revisarse la estructura para la acción de dos componentes horizontalesortogonales del movimiento del terreno. Se considerará actuando simultánea-mente el valor de diseño de un componente más 30 por ciento del valor de diseñodel componente ortogonal (figura 1.32). Ha sido costumbre considerar que laacción sísmica se ejerce en forma independiente en cada dirección, o sea, revisarel efecto de la acción sísmica de diseño en una de las direcciones principales dela estructura, considerando que las fuerzas sísmicas son nulas en cualquier otradirección. La estructura puede presentar además, movimientos de rotación encada masa (figura 1.33) y un modelo más completo debe incluir ese grado de li-bertad mediante resortes de torsión en cada piso. La importancia de las rotacionesy la magnitud de las solicitaciones que por este efecto se inducen en la estructura,dependen de la distribución en planta de las masas y de las rigideces laterales.Desde un punto de vista de equilibrio, la fuerza actuante por sismo en cada pisoestá situada en el centro de masa, mientras que la fuerza resistente lo está en elcentro de torsión, o sea, donde se ubica la resultante de las fuerzas laterales que

Muro Centro detorsión — i

__ e

Centro demasa

Marco

-r

a) Planta. b) Configuración deformada.

Criterios de diseño sísmico del RCDF

resiste cada uno de los elementos. Si entre esos dos puntos existe una excentrici-dad, la acción en cada entrepiso estará constituida por una fuerza cortante más unmomento torsionante cuyo efecto debe tomarse en cuenta en el diseño.

Cuando no se lleve a cabo un análisis dinámico que incluya los efectos detorsión a través de la consideración de un grado de libertad de rotación en cadanivel, el efecto de la torsión se suele considerar de manera estática super-poniendo sus resultados a los de un análisis estático o dinámico, de los efectosde traslación calculados de manera independiente.

Debido al efecto dinámico de la vibración, el momento torsionante que actúaen cada entrepiso puede verse en general, amplificado y, por tanto, la excentrici-dad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente. Por otra parte, elcálculo del centro de torsión sólo puede efectuarse con pobre aproximación,porque la rigidez de cada elemento particular puede ser alterada por agrietamien-tos locales o por la contribución de elementos no estructurales. Por las dosrazones expuestas, el RCDF especifica que el momento torsionante de diseño sedetermine con una excentricidad total que se calculará como la más desfavo-rable de:

6.12

45

donde ec es la calculada a partir de los valores teóricos de los centros de masa yde cortante; el factor 1.5 cubre la amplificación dinámica de la torsión; b es ellado del edificio en dirección normal a la del análisis; se considera un error posi-ble en la determinación de la excentricidad igual a 10 por ciento del ancho deledificio.

La forma en que se debe considerar el efecto de la torsión en el análisis sís-mico se describirá en el capítulo 6.

Como se ha indicado anteriormente, el segundoobjetivo básico del diseño sísmico, consistente en evi-tar daños ante temblores moderados, se trata de cum-plir limitando los desplazamientos laterales de laestructura.

El índice más importante para la determinaciónde la magnitud de los posibles daños es la distorsiónde entrepiso tft, o sea, el desplazamiento relativo entredos pisos sucesivos A, dividido entre la altura deentrepiso H (figura 1.34)

A: muro integradoa la estructura

B: muro separado dela estructura

y= — = Distorsión delentrepiso

y admisible = 0.006 Caso A

y admisible = 0.012 Caso B

Hay que recordar que la reducción en el coeficiente sísmico por comportamientoinelástico es válida para determinar las fuerzas para las que hay que diseñar laestructura, pero que las deformaciones que se presentarán en la estructura seránaproximadamente Q veces las que se han determinado con un análisis elásticobajo esas fuerzas reducidas. Por tanto, antes de compararlas con deformacionesadmisibles, las deformaciones calculadas Ac, deberán multiplicarse por Q.

Figura 1.34 Distorsiones deentrepiso admisibles según elRCDF.

A = Q Ac


También debe tenerse en mente que el objetivo es limitar las deflexiones avalores que no causen daños en elementos estructurales y no estructurales, nopara el sismo de diseño sino para uno de mucho menor intensidad. Para poderemplear los mismos resultados del análisis ante el sismo de diseño, las distor-siones admisibles se multiplican en el RCDF por un factor del orden de tres conrespecto a las que realmente se quieren controlar. Así, se encuentra experimen-talmente que en muros de manipostería y en recubrimientos frágiles de paredesdivisorias se provocan agrietamientos cuando las distorsiones exceden de dos almillar (0.002); el reglamento en cuestión exige se compare la distorsión calcula-da con un valor admisible:

«/>adm = 0.006

cuando las deformaciones de la estructura pueden afectar elementos no estruc-turales frágiles (caso A en la figura 1.34).

Por otra parte, cuando no existen elementos frágiles que pueden ser dañadospor el movimiento de la estructura o cuando éstos están desligados de la estructuraprincipal (caso B de la figura 1.34) se aumenta al doble la distorsión admisible:

fc*n» 0.012

En este caso, el límite tiene como fin evitar que la edificación resulte excesiva-mente flexible y se originen deformaciones que causen molestias y pánico a losocupantes y que hagan que se vuelvan importantes los efectos de segundo orden.

Los criterios aquí mencionados y los métodos de análisis que se describiránen los capítulos 6 y 7, se refieren esencialmente a edificios y estructuras en quela resistencia a cargas laterales es proporcionada por marcos, amostrados o no, origidizados por muros. Otras estructuras como los muros de contención y los tan-ques, se comportan en forma radicalmente distinta y sus métodos de análisis sís-mico son diferentes y no se tratarán aquí.

Edificios sujetosa fuerzas laterales

.Los reglamentos modernos de diseño sísmico, entre ellos, el de México DistritoFederal, aceptan que el análisis estructural ante cargas sísmicas puede efectuarseconsiderando que las estructuras tienen comportamiento elástico lineal. Aunquese reconoce que durante temblores severos los edificios pueden incursionar encomportamiento inelástico, como veremos en capítulos posteriores, esto se tomaen cuenta aplicando factores de reducción a los resultados del análisis elástico.Varios textos presentan con detalle los métodos de análisis de estructuras elásti-cas ante cargas estáticas (por ejemplo, Ghali y Neville, 1990 y Au y Christiano,1987). En este capítulo se describen brevemente los métodos aproximados yexactos de análisis elástico cuya aplicación es práctica en análisis ante cargas la-terales. Hemos tratado de incluir en cada caso ejemplos numéricos ilustrativos yun resumen de las hipótesis de partida, a fin de permitir el juicio sobre la apli-cabilidad a cada problema concreto. Se enfatizan los métodos matriciales y lossimplificados, porque en la actualidad, cuando se requieren resultados exactos, sepueden emplear con facilidad procedimientos matriciales gracias a la difusión deluso de computadoras personales y estaciones de trabajo. Los métodos simplifica-dos son útiles en las etapas preliminares de análisis y dimensionamiento y per-miten también verificar si no se han cometido errores graves al emplear métodosmás precisos, pero más complejos, en especial programas de computadora. En lapráctica, la gran mayoría de edificios se pueden representar como combinacionesde marcos y muros, a veces con diagonales rigidizantes. Por ello este capítulo seconcentra en dichos sistemas estructurales.

2.1. MÉTODO DE RIGIDECES

2.1.1 Conceptos básicos

Aceptando la hipótesis de comportamiento elástico lineal, se puede considerarque los métodos matriciales son exactos para el análisis de marcos y otros sis-temas estructurales. Estos procedimientos se han desarrollado extensamente endécadas recientes y en su forma más general constituyen el método de elementos

C a p í t u l o

2

Edificios sujetos a fuerzas laterales

48

H/WW--a) Resorte.

1

Carga,P

/

Desplazamiento, u

b) Curva carga-deformación.

Figura 2.1 Resorte elásticoneal.

finitos. Los métodos matriciales permiten analizar cualquier tipo de estructura,sujeta a todo tipo de carga y se presentan con bastante detalle en la literatura téc-nica (véanse por ejemplo Zienkiewickz y Taylor 1989 y 1991, Cook et al., 1989y Livesley 1994). Para estructuras de edificios es adecuado, en la gran mayo-ría de los casos, usar el método de rigideces para marcos, el cual se puedeextender fácilmente para incluir sistemas con muros y diagonales y que se pre-senta brevemente a continuación, con énfasis en los aspectos relacionados concargas laterales.

Consideremos el resorte de la figura 2.1a y el marco de la figura 2.2a que sonestructuras formadas por elementos elásticos conectados en ciertos puntos llama-dos nudos. Se denomina grado de libertad a la posibilidad que tiene un nudo demoverse en forma independiente, en cierta dirección. En el caso del resorte, elúnico grado de libertad es el desplazamiento horizontal, u, de su extremo libre.En marcos los grados de libertad son los giros o desplazamientos de los nudos,como se muestra en la figura 2.2b. El nombre desplazamientos generalizadosengloba a desplazamiento lineales y giros; congruentemente, las fuerzas y mo-mentos aplicados en los nudos en las direcciones de los grados de libertad sedenominan fuerzas generalizadas. Los vectores u y p de desplazamientos yfuerzas generalizadas, respectivamente, están formados por los conjuntos orde-nados de los correspondientes valores para todos los grados de libertad. En elejemplo de !a figura 2.2, tenemos:

p\

u =

"12s. ./

p =

P\2

E = consonante ¡2P

1 . te.

p

"

//// 7777 /777

2L

a) Marco.

«i

/i"9

«2

/2

« 8 j

^7

^«4 «10

J

i

K"5¿¿ "u -

¿ •«12

H

H

7777 /7T7 /// I/HIIIJ

ft) Grados de libertad.

Figura 2.2 Marco empleado para ilustrar el método de rigideces.

Método de rigideces

El producto de una fuerza generalizada por su correspondiente despla-zamiento generalizado tiene unidades de trabajo. En este ejemplo, los grados delibertad M3 a u6 son giros (cuyas unidades son radianes) y los demás son desplaza-mientos lineales; por tanto, las fuerzas generalizadas p3 ap6 son momentos, mien-tras que las demás son fuerzas lineales.

Por definición, el coeficiente de rigidez K¡j, que ocupa el lugar i, j de unamatriz de rigideces Ku referida a los grados de libertad u, es la fuerza o momen-to que se necesita aplicar a la estructura en la dirección del grado de libertad i paraque se produzca un desplazamiento unitario en la dirección del grado de libertadj. El conjunto ordenado de los valores de K¡j constituye la matriz de rigideces quees cuadrada, de tamaño igual al número de grados de libertad. De acuerdo con elteorema de reciprocidad de Betti-Maxwell, K¡j = K¡j y, por tanto, las matrices derigideces son simétricas. En vista de que en estructuras lineales se aplica el prin-cipio de superposición, podemos escribir:

K H u = p (2.1)

En el caso de resorte de la figura 2.1 la matriz de rigideces es de tamaño 1x1y la expresión anterior se convierte en la ecuación escalar ku = p, de donde eldesplazamiento originado por la fuerza p se calcula inmediatamente como u =p/k.La energía de deformación, U, almacenada en el resorte es el área bajo la curvacarga desplazamiento mostrada en la figura 2. Ib y es igual &U-p u/2 = k u2/2.

Para el marco de la figura 2.2, la matriz Ku es de 12 x 12 y para calcular losdesplazamientos, u, debidos a un vector de cargas p se tiene que resolver el sis-tema de ecuaciones lineales simultáneas definido por la ecuación 2.1.

En general, para un sistema de n grados de libertad en el que se conocen lascorrespondientes fuerzas generalizadas, tenemos que calcular una matriz de rigi-deces de n x n que proporciona los coeficientes de un sistema de ecuaciones conn incógnitas (los n desplazamientos generalizados). Por tanto, es conveniente se-leccionar para una estructura el menor número posible de grados de libertad,aunque tal número debe ser suficiente para representar adecuadamente todas lasformas importantes de deformación ante el sistema de cargas en estudio. Laenergía almacenada en la estructura es:

U = pru/2 = uTp/2 = u7" Kuu/2

Nótese que U es una cantidad escalar y que las unidades de los elementos dela matriz de rigideces deben ser tales que todos los productos K¡JU¡UJ tenganunidades de trabajo.

Frecuentemente, interesa referir una matriz de rigideces ya calculada paraciertos grados de libertad u a otros nuevos grados de libertad v. Llamaremos Kw

a la matriz transformada a los nuevos grados de libertad y sea a la matriz de trans-formación que permite expresar los antiguos grados de libertad en función de losnuevos, es decir:

u = a v (2.2)

Veremos en ejemplos subsecuentes que a se determina fácilmente medianteconsideraciones geométricas. Como la energía almacenada en la estructura parauna cierta configuración deformada es una cantidad escalar, independiente de

50


como se exprese dicha configuración, es decir independiente de la selección de gra-dos de libertad, escribimos:

u/2 =

Combinando esta expresión con 2.2 se deduce que:

Como esta igualdad debe satisfacerse para cualquier conjunto de valores queasuman los elementos del vector v concluimos que:

K = (2.3)

Para deducir cómo se expresan las fuerzas, Pv, correspondientes a los gradosde libertad v, en términos de las Pu, referidas a u, partimos de que el trabajo efec-tuado por las fuerzas es igual a la suma de los productos de cada una de ellas porsu correspondiente desplazamiento, independientemente dedos grados de libertadescogidos. Entonces, teniendo presente la igualdad 2.2 escribimos:

como la igualdad precedente debe cumplirse para cualquier vector v, se infiereque:

(2.4)

a) Grados de libertad.

b) Coeficientes de rigidez.

2.1.2 Elemento viga

En la forma más elemental, los grados de libertad de un ele-mento viga son las rotaciones en sus dos extremos, 0, y 92,según se aprecia en la figura 2.3a. Por definición, los térmi-nos de la matriz de rigideces (en este caso, de 2 X 2) son losmomentos en los extremos debidos a giros unitarios en unextremo y nulos en el otro, como se muestra en la figura 2.3b,los cuales se calculan empleando conceptos de resistenciade materiales que tomen en cuenta la variación del momen-to de inercia a lo largo de la viga. Así resulta:

Kn

K2l

K 12

Para vigas prismáticas con momento de inercia constante/„, módulo de elasticidad E y longitud L, se encuentra que:

Ke = EIV/L4 2

2 4(2.5)

Figura 2.3 Elemento viga.


51

15

14

13

12 -

11 -

10 -

9 -

8

7

6

5

4

3

2

8 = 1.0

8 = 0.2

8 = 0.2

0.05 0.15 0.25 0.35

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

Con referencia a la figura 2.3, los coeficientes de rigidez son K¡¡ = k¡¡ (EI^/L), siendo /vel momento de inercia al centro de la viga.

En el caso de vigas de sección variable tenemos:

kn kn

t21 k22

donde esta vez /„ es un valor de referencia. Los valores de k¡j para vigas simétri-cas con cartelas rectas, para las cuales k¡ l - k22, se muestran en figura 2.4 refe-ridos al momento de inercia en la zona central de sección constante de la viga. Enmétodos tradicionales de análisis de marcos, las relaciones tl2 = kl2/k}\h\ k\/k22 se denominan factores de transporte de los nudos 1 a 2 y 2 a 1, res-pectivamente. Cuando el momento de inercia o el módulo de elasticidad vananarbitrariamente, los coeficientes de rigidez se pueden calcular usando métodostradicionales de análisis de vigas, como el de área de momentos o el de la viga con-jugada. La sección 13.15 del texto de Norris y Wilbur (1960) describe el proce-dimiento a aplicar, que se puede adaptar a una hoja de cálculo electrónica.

Para vigas, el vector de cargas está constituido por los momentos flexionantesA/! y M2, en los extremos de la viga y la expresión 2.1 se escribe:

kn

k222.6

Figura 2.4 Coeficientes derigidez para vigas con cartelasrectas.


52

= ( V i - v 2 )6 | = V, - <}

62 = v4 - <t

Es también de interés expresar la matriz derigideces de un elemento viga en términos de losgiros y desplazamientos en sus extremos, por ejem-plo, para representar a la columna de la figura 2.5,de la cual se desprende que:

0, = u3 - (u, - v2)lh

62 = v4-(vl- v2)/h

de donde inferimos que la matriz a, tal que 9 = a v,es:

a =-l//z I/A 1 O-l/h llh O 1

siendo vr — «3

La matriz de rigideces de la columna KB, seobtiene efectuando la operación a7" Ke a, es decir,con la ecuación 2.3 considerando el índice 8 en vezde w. Si la columna es prismática, Ke está dada porla expresión 2.5 y se llega a:

12/h2 -12/7z2 -6/h -6/h-Y1IW- \1IW- 6/h 6/h

-6/h 6/h 4 2-6/h 6/h 2 4

(2.7)

Figura 2.5 Grados de libertadde una columna. donde L se ha remplazado por h.

2.1.3 Elemento barra

a) barra

E, A

b) grados de libertad

Figura 2.6 Grados de libertadde una barra.

Las barras son elementos sujetos únicamente a fuerzas de tensión o compresióna lo largo de su eje, como lo ilustra la figura 2.6a. Cuando la barra es de seccióntransversal constante, con área -A y módulo de elasticidad E, el desplazamientooriginado por una fuerza, P, actuando en un extremo mientras el otro se mantienefijo es 6= PLI(EA). Si tal desplazamiento es el único grado de libertad, la matrizde rigideces tiene un solo término que es el valor de P correspondiente a 5= 1,entonces:

Consideremos ahora como nuevos grados de libertad a los desplazamientosaxiales u¡, en ambos extremos ( /= 1, 2 en la figura 2.6b). La relación entre <5(antiguo grado de libertad) y u¡ es:


53

8=u2- u\ <-!«1

La matriz a en la expresión 2.2 es entonces <—1+1>, y la transformación 2.3 (a7 Ksa), usando el sub-índice b para denotar a la nueva matriz de rigideces, nosda:

Kb = EA/L-1

(2.8)

A = área de ¡a sección transversal.E = módulo de elasticidad.

Cuando una barra está inclinada un ángulo /3 con

respecto a la horizontal, conviene tomar como grados de Fiaura 2 7 Grados delibertad los desplazamientos horizontales y verticales en los extremos, como se ^e una d¡ag0na|muestra en la figura 2.7. Esta vez los grados de libertad antiguos son los des-plazamientos a lo largo de la barra, que valen:

M j = W, COS j8 + W2 sen P

«2 = v$ eos /3 + v4 sen /i

Entonces la matriz a tal que u = a v es:

a =c s O OO O c s

donde c = eos /? y s = sen /?. Usando la expresión 2.3, la matriz de rigideces de labarra diagonal resulta:

Kd = EAIL

c2 es -c2 -eses s2 -es -s2

es c2 es-es -c2 es s

(2.9)

En forma más completa, los grados de libertad de una columna son seis,que se obtienen añadiendo los dos desplazamientos verticales v5 y v6 en lafigura 2.5. Es normalmente aceptable considerar que los efectos de fuerzasaxiales y momentos flexionantes están desacoplados, es decir, se ignoran losmomentos que la carga axial produce en la configuración deformada de lacolumna. Entonces, las rigideces correspondientes a deformaciones por fle-xión (viga) se calculan independientemente de las referidas a carga axial(barra) y podemos escribir:

K =K O

donde Ku y Kfc están dadas por las expresiones 2.7 y 2.8, respectivamente, y O esuna matriz de 4 X 2 cuyos elementos son todos nulos. La matriz Kc es de 6 X 6y sus ceros reflejan el desacoplamiento mencionado.


Figura 2.8 Simplificación delmarco de la figura 2.2.

2.2 MARCOS PLANOS

2.2.1 Método directo de rigideces

El método directo de rigideces es un procedimiento para obtener la matriz derigideces de una estructura a partir de las de sus componentes fundamentales. Sise trata de un marco, a partir de las matrices de rigideces de las vigas, columnasy diagonales que conforman el marco. Para ilustrar los pasos del método, con-sideremos el marco de la figura 2.2. Si se desprecian las deformaciones axialesde las vigas y columnas, los grados de libertad son solamente los seis primeros delos 12 mostrados en la figura aludida; además, aprovechando la simetría delmarco y la antisimetría de las cargas, se puede reducir el problema a uno de cua-tro grados de libertad como se ilustra en la figura 2.8, la cual indica también losvalores de los momentos de inercia de los diferentes elementos.

0.5 P

i futrir

tJurm

En primer lugar, se obtiene la matriz de rigideces de las piezas aisladas (vigasy columnas) que forman la estructura. Las vigas tienen los grados de libertadmostrados en la figura 2.9. Se pueden considerar explícitamente los giros enambos extremos como grados de libertad; sin embargo, tornando en cuenta que elmomento flexionante en el extremo articulado es nulo, conviene referir la matrizde rigideces solamente al giro del nudo en el que la viga se une a las columnas.Para este fin, de la expresión 2.6 escribimos:

Figura 2.9 Viga articulada enun extremo. K2l e, + K22 02 = o

Marcos planos

Despejando 62 de la segunda ecuación y remplazando en la primera obte-nemos:

M, = (*„- K\IK22)9,

De acuerdo con la definición de coeficiente de rigidez, 9} = 1 y, como éstees el único grado de libertad, la matriz de rigideces es:

Ke={Ku-K'¿]2/K22} (2.10)

La última operación se denomina condensación estática de grados de liber-tad. Si la viga es prismática, empleando los coeficientes de la expresión 2.5 lle-gamos a:

Ke={3EIJL} (2.11)

Las columnas tienen los cuatro grados de libertad mostrados en la figura 2.5y, como se ignoran las deformaciones axiales, sus matrices de rigideces estándadas por K^ en la expresión 2.7. Para cada pieza empleamos los momentos deinercia (Ie = I2 para las vigas, /„ = /, o I2 para las columnas) y longitudes (L o h)correspondientes.

De acuerdo con los grados de libertad definidos en la figura 2.8, la matriz derigideces global, K, de la estructura completa es de 4 X 4. K se obtiene suman-do los términos de las matrices de rigideces de los elementos en los lugares queindique la correspondencia entre la numeración de los grados de libertad globa-les de la estructura y las numeraciones locales de los elementos. En este ejem-plo, los números locales para la columna de segundo piso (figura 2.5) coincidencon los globales de la estructura completa (figura 2.8) y todos los coeficientes deK,, se suman directamente a K. Por otro lado, para la columna del primer piso, losgrados de libertad locales 1 y 3 de la figura 2.5 corresponden a los grados de lib-ertad globales 2 y 4; por tanto, los coeficientes Ku, /f13 y #33 de K^ debensumarse, respectivamente, en los lugares 22, 24 y 44 de K. Es innecesario utilizarlos coeficientes restantes de K,, porque corresponden a grados de libertad glo-bales (desplazamiento y giro del apoyo empotrado) que asumen valores nulos. Elgiro local de la viga del segundo piso corresponde al grado de libertad global 3 y,por consiguiente, el valor que arroje la expresión 2.11 se suma en el lugar 33de K; similarmente, la rigidez de la viga del primer piso se suma en el lugar44 de K. El resultado es:

12V//3

41 \/H +3/2/L 2/,///simétrica 4(1 \ I2)/H + 3/2/L

Supongamos, por sencillez, que L = 1.5H; como 7] = /, I2 = 21, nos queda:


= EI/H

12///2 -12///2 -6/H -6/H-12///2 3Ó///2 6/H -6/H

-6/H 6/H 8 2-6/# -6/// 2 16

(2.12)

Las cargas son momentos y fuerzas aplicadas en los nudos, numerados enconcordancia con el orden de los grados de libertad. Así, el vector de cargas F,resulta:

F =

Los desplazamientos y giros, arreglados en el mismo orden, constituyen elvector de desplazamientos r:

Para conocer r tenemos que resolver K r = F, que en forma desarrollada, seescribe:

EI/H=

12/7/2 -12///2 -6/H -6/H-12///2 S6///2 6/H -6/H-6/H 6/H 8 2-6/H -6/H 2 16

(2.13)

La solución puede obtenerse por diversos métodos, pero conviene hacerlodefiniendo las siguientes submatrices y vectores:

KSS=EI/H121H1 -12///2

•12/Í/2 S6///2 K*fl = EI/H-6/H 6/H-6/H -6/H

Kee= EI/H8 22 16 S = S2 0 =

p-0.5P O =

Con lo que la expresión 2.13 se convierte en:

K*8e

po (2.14)

Marcos planos

Hemos efectuado una partición de la matriz de rigideces global para distin-guir las partes correspondientes a los grados de libertad laterales. Ejecutando elproducto del primer miembro e igualando al segundo:

KssS + Kse6 = P (2.15)

KrM£ + K w 0 = 0 (2.16)

de la segunda expresión se obtiene:

e=-K-'MKí"M6 (2.17)

y remplazando en z.15 queda:

(Kss-KsgK-igeKTse)8 = P (2.18)

De nuevo hemos efectuado una condensación estática. Esta vez su aplicacióncondensa la matriz de rigideces de 4 X 4 en la de 2 X 2 siguiente:

K*á5 = (KS5 - KM K-'w K^) (2.19)

Nótese la similitud con la expresión 2.10. K*5á se denomina matriz de rigi-deces lateral porque está referida solamente a los desplazamientos laterales; eltérmino K5á es la parte que en la matriz original corresponde a dichos desplaza-mientos y el resto incluye las modificaciones debidas a que los demás grados delibertad asumen valores diferentes de cero. En general, la matriz de rigideces la-teral de un marco de n pisos es de tamaño n X n. La expresión 2.18 se ha con-vertido en:

(matriz de rigideces lateral) X (desplazamientos laterales) = (cargas laterales)

Enseguida se calcula K*ss ejecutando las operaciones matriciales de la expre-sión 2.19,

K*M=

K*»=12£//(31//3)


De las expresiones 2.18 y 2.19 deducimos que K*5S 6= P, por tanto d =[K*M]- ' P, es decir:

P).5P

51 = 84.5Pf/3/(204£7) = 0.41422 PWIEI

52 = 33P£P/(204E/) = 0.16176 Pffi/EI

Conocido el vector 5, se puede calcular el vector 0 con la expresión 2.17,notando que ya se ha efectuado el producto Kgg-'Kgg T, al valuar K*S5 . El resul-tado es:

0.13971P//2/£/]

Los elementos mecánicos de las vigas y columnas se calculan ahora comoel producto de la matriz de rigideces local de la correspondiente pieza por losdesplazamientos de sus extremos, todos conocidos. Para la viga del primernivel la fórmula 2.11 da:

K9= {32/,/L} = (3£)(2/)/(1.5//) = 4EI/H

El desplazamiento generalizado que corresponde es el giro 64, entonces elmomento es:

M = Kg 04 = (4EI/H)(0.19853 PtP-IET) = 0.794 PH

La matriz de rigideces local de la columna del primer piso se obtiene rem-plazando Ic por 21 y h por H en la expresión 2.7, lo cual arroja:

K , = EI/H

-24//Í2 -12/H -12/H-24/ÍP 24/fl2 12/H 12/H-12/H 12/H 8 4-12/H UIH 4 8

Recordemos que los grados de libertad locales 2 y 4 de esta columna (figu-ra 2.5) asumen valores nulos (apoyo empotrado) mientras que 1 y 3 correspondena los grados de libertad globales 2 y 4. Entonces, los desplazamientos generali-zados en los extremos son:

" 0.16176 HO

0.19853O

Multiplicando K,, por los desplazamientos obtenemos las fuerzas generali-zadas correspondientes (momentos M y fuerzas cortantes V). Se llega a:

Marcos planos

59V, = 24 X 0.16176 P- 12 X 0.19853 P= 1.5PV2 = -24 X 0.16176 P + 12 X 0.19853 P = -1.5PM3 = -12X0.16176P// + 8 X 0.19853 PH = -0.35PHM¡ = -12 X 0.16176P// + 4 X 0.19853 PH = -l.l5PH

Se puede verificar fácilmente que estos elementos mecánicos están en equi-librio. V2 y M4 son las reacciones en la base, y la fuerza cortante vale 1.5 P, locual puede deducirse inspeccionando la estructura.

La figura 2.10 presenta un marco de cuatro pisos y cuatro crujías analizado Figura 2.10 Marco usado encon el método de rigideces con los resultados que muestra la figura 2.11. Se los ejemplos.

3

©

(D

9

.

/777

Sí

21 ®

51

3.3757 ®

57

©

67 ©

777 rm

4.0 = L

51 57

7 ©

57

37 ®

57

4.57 ©

57

©

7.57 ©

777 fflT

4.0 = L

27 ©

57

©

47 ©

57

©

5.6257 ©

57

®

97 ®

777 rm

i

i

27

57 1

©

3.3757 ©

57

©

67 ®

777 rm

4.0 = ¿ 4.0 = 7.

2.257

,

4.57

1

777

4.0 = 7,

4.0 = 7.

i

4.5=1.1251

•

,

6.0=1.51

1

Fuerzas en toneladas y longitudes en metros7 = 7 500 cm4 E = 2 000 000 kg/cm2

O Rigidez (inercia/longitud) en términos de 7/7.


60

Momentos flexionantes, en ton-m

1.66

3.49

3.493.44 *„

5.74

2.76•• 8.32

5.567.56 ,

9.91

4.1714.39

10.2212.75

16.04

J4.50

rin ni ii

1.60V3.16

1.543.85

6.43

5.07»7.41

8.03 (f_10.22

8.7612.06

16.95

19.75A

,'1.56 1.571.57

2.734.85

4.92 \8

5.40» 7.59

6.55 •í,8.34

8.44S 12.37

10.75 (,13.89

22.54

Desplazamientos laterales, en cm

2.966

1.3'

2.590

3.51»» 5.30

5.095.09

7.62*» 10.76

12.378.49

16.33

2.086

3.88

1.256

11.29

°-000

Figura 2.11 Momentos flexio-nantes en el marco de la figura2.10 según el método de rigi-deces.

ignoraron las deformaciones axiales de los miembros, para que los resultadosfuesen comparables a los de los métodos aproximados, que se presentarán pos-teriormente.

2.2.2 Método de Bowman

Como resultado del estudio de un gran número de marcos en los que son despre-ciables los efectos de deformación axiales, resueltos por métodos exactos,Bowman propuso un método aproximado de acuerdo con las siguientes hipótesis(Sutherland y Bowman, 1958):

Marcos planos

61

Puntos de inflexión0.55/

Puntos deinflexión

1. Los puntos de inflexión en las vigasexteriores se encuentran a 0.55 de suclaro, a partir de su extremo exteriorcomo se ilustra en la figura 2.12. Envigas interiores, el punto de inflexiónse encuentra en el centro del claro,excepto en la crujía central cuando elnúmero de crujías es impar, o en lasdos centrales si es par. En estas cru-jías la posición de puntos de inflexiónen las vigas está forzada por condi-ciones de simetría y equilibrio.

2. Los puntos de inflexión en las colum-nas del primer entrepiso se encuentrana 0.60 de su altura, a partir de la base.En marcos de dos o más, tres o más, ocuatro o más entrepisos, respectiva-mente, los puntos de inflexión en lascolumnas de los entrepisos último, pe-núltimo y antepenúltimo, respectiva-mente, se encuentran a 0.65, 0.60 y0.55 de la altura correspondiente, apartir del extremo superior. En edi-ficios de cinco o más entrepisos, lospuntos de inflexión en columnas paralas cuales no se ha especificado laposición se encuentran en el centro desu altura. Esto se resume en la figu-ra 2.12.

3. La fuerza cortante total, V, de cadaentrepiso se distribuye en la formasiguiente:

En el primer entrepiso, una fuerzacortante igual a Vc= V (N-0.5)/(N+1)se reparte directamente entre lascolumnas del entrepiso proporcional-mente a sus rigideces. La fuerza cor-tante restante V, = V — Vc se divideentre las crujías proporcionalmente ala rigidez de la viga que las limita en la parte superior. Luego, la mitadde la cortante de cada crujía se asigna a sus dos columnas colindantes.

En pisos superiores, una fuerza cortante Vc = V (N - 2)/(N+1) se dis-tribuye directamente entre las columnas. La cortante V¡ = V- Vc se reparteentre las crujías como se hizo para planta baja.

En los párrafos anteriores N es el número de crujías en el entrepiso considera-do. Una variante del método consiste en respetar los puntos 2 y 3, pero determinarlos momentos en las vigas equilibrando en cada nudo la suma de momentos en losextremos de las columnas con momentos proporcionales a la rigidez angular natu-ral de cada viga.

0.55/

0.65

0.60 h

0.55 h

0.50 h

0.50/1

0.60/1

Figura 2.12 Localización depuntos de inflexión según elmétodo de Bowman.


62

M

V — 9 '

M =

M

M

Ai

V = 25 (

'7771

Nora: Tod

J

M =

2.20 m <

M =

Ai = 3.67 M = 3.01

= 3.67 V,= 2.25 M

0.411.12

1 1.53 '

2.45 M =

M = 8.22 M = 6.73

= 5.77 V, = 2.40 M

1.13

1 L2° 12.33

= 4.72 M

Ai = 14.61 M = 11.950

= 9.89 V, = 1.875 Ai

3.18

•£§• *

Ai = 14.83777 7777-

os los momentos en las viga

Vi =1.95 Ai =1.95 Ai =1.95 Ai =1.95

1.95 V, = 1.50 M

» 0.75 <

1.05 Aí =

Ai = 4.90 Ai = 5.57

= 6.86 V, = 2.25 Ai

0.621.12

,111 ,' 1.86 '

4.58 Ai =

Ai = 7.50 Ai = 7.75

= 9.65 V, = 2.40 M

1.501.20

.uo_ ,3.90

= 7.90 M

Ai= 10.01 Ai = 12.32

= 14.06 V, = 1.875 Ai

3.980.94

.09£' 5.86 '

Aí = 21.10T77 rrrr

s tienen signo menos. Mome

3.90 V,= 1.50 M --

0.75,0.75

1.50 '

2.10 Aí =

Ai = 3.87 Ai = 4.72

= 7.34 V, = 2.25 Ai

0.821.12 0.411.12 1.12

1 3.06 1.53

4.90 Ai =

Ai = 7.75 Ai = 7.23

= 10.59 V, = 2.40 Ai

1.881.20

'jf

= 8.67 Ai

Ai = 12.32 Ai = 9.52

= 15.96 V,= 1.875 Ai

4.770.940916.65

Ai = 23.94rm rrrr

ntos en ton-m, cortantes en t

1.95 '

2.60 m

1.05

= 3.67

2.40 m

2.20 m

2.45

Ai = 3.96 Ai = 4.83

= 8.74 V, = 2.40 M

1.131.20 0.75

, 1.20 1.20 .3.53 1.95

= 7.15 Ai

M = 9.77 Ai =11.94M

= 12.14 V,= 1.875 Ai

3.180.94 2.390.94 0.945.06 3.33 '

Ai = 18.22 Aí= 11.99

m.

= 4.83

2.475 m

= 3.95

= 7.89

3.60 m

Figura 2.13 Aplicación delmétodo de Bowman al marcode la figura 2.10.

La figura 2.13 resume la aplicación del método de Bowman al análisis delmarco de la figura 2.10. En la figura 2.14 se muestran algunos pasos intermedios.

2.2.3 Fórmulas de Wilbur

La rigidez de entrepiso es la relación entre la fuerza cortante absorbida por unmarco, muro o contraviento en un entrepiso y el desplazamiento horizontal rela-tivo entre los dos niveles que lo limitan. La rigidez así definida no es indepen-diente del sistema de fuerzas laterales y para calcularla con rigor debe conocersepreviamente tal sistema. En marcos ordinarios de edificios, el empleo de sistemasde cargas que no son estrictamente proporcionales al definitivo de análisis, intro-duce errores de poca importancia y usualmente es aceptable calcular las rigideces

Marcos planos

63

Distribución de cortantes

Primer entrepiso Segundo entrepiso

V = 25 ton V = 16 ton

4 -2= 17'5 X 16 = 6.4

V, = 25 - 17.5 = 7.5 V, = 16 - 6.4 = 9.6

2.20 m l.SOm

2.33

T4.72

^ UlIl^L7.9

fc 11.95/ ~~

7 14.61 ^----. ¿•s ""---,. *-9.89 ~~~"-"-^

4.

/ 10.01

14.06

3.90

T

14.83 21.10

7.025 m

2.400 m

3.600 m

Momentos en ton-m

4.12 X 2.4 = 9.894.12X3.6= 14.83

14.61 X 1.80/2.20= 11.953.90 X 2.095 = 7.9

14.06 + 7.9- 11.95= 10.01

2.33 X 2.025 = 4.729.89 + 4.72 = 14.61

5.86 X 2.40 = 14.06

a partir de hipótesis simplificadoras sobre la forma del sistema de fuerzas la-terales. En muros, marcos con contravientos y sistemas similares es indispensabletener en cuenta la variación de la carga lateral.

Las fórmulas de Wilbur se aplican a marcos regulares formados por piezas demomento de inercia constante en los que las deformaciones axiales son despre-ciables y las columnas tienen puntos de inflexión. La versión que aquí presenta-mos se basa en las siguientes hipótesis: 1) los giros en todos los nudos de un nively de los dos niveles adyacentes son iguales, excepto en el nivel de desplante, endonde puede suponerse empotramiento o articulación según el caso; 2) las cor-tantes en los dos entrepisos adyacentes al de interés son iguales a la de éste. Deaquí resultan las siguientes expresiones:

• Para el primer entrepiso, suponiendo columnas empotradas en la cimentación,

/?! = 48 £/(D¡/z¡); Dl = 4 /i,/2/ícl + (/z, + /z2)/(2AT,, + 2

y suponiendo columnas articuladas en la cimentación:

Figura 2.14 Operaciones paraexplicar algunos resultados dela figura 2.13.


/?, = 24 E/(D,/i,); D, = h\ftKcl + (2 h¡

• Para el segundo entrepiso, columnas empotradas en la cimentación

R2 = 48 E /(D2/i2);

Z>2 = 4 ¿2/2Kc2 + (Ai + /í2)/(2K,, + 2^e,/12) + (h2 + h^l(^K,2)

y para columnas articuladas en la cimentación

R2 = 48 EI(D2h2)\2 = 4 h2KKc2 + (2 A, + h2)fZKn + (/i2 + /t3)/(S/s:(2).

• Para entrepisos intermedios:

/?„ = 48 £/(£>„ TíJ; Dn = 4 fcn KKcn + (hm + hn)KKtm + (hn + h0}l&Ktn).

En las fórmulas precedentes hemos definido:

E módulo de elasticidad.Rn rigidez del entrepiso en cuestión.K,n rigidez (//L) de las vigas del nivel sobre el entrepiso n.Kcn rigidez (//L) de las columnas del entrepiso n.m, n, o índices que identifican tres niveles consecutivos de abajo hacia arriba.hn altura del entrepiso n.

Para el entrepiso superior, si se acepta que la cortante del penúltimo piso esel doble que la del último, se encuentra que es aplicable la fórmula para entre-pisos intermedios, poniendo 2hm en vez de hm y haciendo h0 = 0. Loera (1964)presenta una deducción de las fórmulas y su ampliación para el caso de vigas desección variable.

Para el marco de la figura 2.10 tenemos E = 2000000 kg/cm2, / = 7500 cm4,h} = 600 cm, h2 = 450 cm, /i3= 400 cm, /i4 = 400 cm y L = 400 cm para todas lascrujías, entonces:

= (6.00 + 7.50 + 9.00 + 6.00 + 4.50)(7500/600) = 412.50 cm3

= (3.375 + 4.5 + 5.625 + 3.375 + 2.25)(7500/450) = 318.75 cm3

= (2.00 + 3.00 + 4.00 + 2.00)(7500/400) = 206.25 cm3

= (1.00 + 2.00 + 1.00)(7500/400) = 75.00 cm3

= (5 + 5 + 5 + 5)(7500/400) = 375.00 cm3

= (5 + 5 + 5 + 5)(7500/400) = 375.00 cm3

= (5 + 5 + 5)(7500/400) = 281.25 cm3

,4 = (5 + 5)(7500/400) = 187.50 cm3

Usando las fórmulas para columnas empotradas en la cimentación, se llega a:

D, = 8.3831/cm2; ^ = 48 X 2000000/(600 X D^ = 19086 kg/cmD2 = 10.4780/cm2; R2 - 48 X 2000000/(450 X D2) = 20359 kg/cmD3 = 12.8687/cm2; R3 = 48 X 2000000/(400 X £>3) = 18650 kg/cmD4 = 27.7333/cm2; R4 = 48 X 2000000/(400 X D4) = 8654 kg/cm

Marcos planos

Las rigideces de entrepiso calculadas por este método se usan con frecuenciapara distribuir la fuerzas cortantes en los entrepisos, donde interesan las rigidecesrelativas de un marco con respecto a otro. En el capítulo 6 se explicarán los pro-cedimientos de diseño que incluyen tales distribuciones de cortantes. Conocida lafuerza cortante V, se pueden emplear los valores de R para calcular desplazamien-tos de entrepiso 5, como cocientes V/R, aunque la precisión del método para estefin no ha sido bien estudiada. No obstante, se puede proceder así para una verifi-cación del orden de magnitud de resultados de métodos más precisos. Para elmarco de la figura 2.10 se obtienen los siguientes desplazamientos de entrepiso, 8:

V4= 3000 kg;V3= 9000 kg;V2 = 16000 kg;Vl = 25000 kg;

S4 = 3000/8654 = 0.347 cm<53 = 9000/18650 = 0.483 cm<52 = 16000/20359 = 0.786 cm5, = 25000/19086= 1.310 cm

Acumulando los desplazamientos relativos obtenemos los siguientes despla-zamientos totales (de abajo hacia arriba): 2.925, 2.578, 2.096 y 1.310 cm, loscuales se comparan bastante bien con los resultados del método de rigideces mos-trados en la figura 2.11.

2.2.4 Edificios de cortante

Las columnas de un marco sujeto a cargas laterales tienen puntos de inflexiónsiempre y cuando la vigas sean lo suficientemente rígidas para imponerles ladoble curvatura. Bajo estas circunstancias, se pueden calcular rigideces de en-trepiso con las fórmulas de la sección previa, lo cual permite modelar el marcomediante una sucesión de resortes laterales, cada uno representando a un entre-piso, como lo ilustra la figura 2.15. Esta clase de marcos se denomina de cortante,

F2,u2

a) Marco de cortante.

R¡ = i-ésima rigidez de entrepisou, = desplazamiento lateral del nivel i

"3

.i"2

«1 i"'

b) Modelos simples del marco.

c) Grados de libertad del i-ésimo entrepiso.Figura 2.15 Modelo de un mar-co de cortante.


porque los desplazamientos de cada uno de sus entrepisos dependen de las fuer-zas cortantes (y no de los momentos) obrando sobre los mismos. Un edificio oestructura de cortante es aquella constituida por marcos de cortante. A continua-'ción se derivan algunas propiedades de este tipo de marcos.

Para los grados de libertad locales w, definidos en la figura 2.15c, la matrizde rigideces local del /-ésimo resorte se escribe:

K:

Cotejando los grados de libertad w de cada piso con los del marco completo,u, que se indican en la figura 2.15b, aplicamos el método directo de rigideces yencontramos que la matriz de rigideces del marco es:

K =•R2)-R2

O

-R O-R

Los correspondientes vectores de desplazamientos y de fuerzas son:

"i I l'F,u =

Definamos ahora como nuevos grados de libertad los desplazamientos rela-tivos de entrepiso v¡, que en términos de los desplazamientos totales se expresan:

La matriz a que relaciona el vector de grados de libertad u con v, se deducecomo sigue:

M, = U

U2 = u

u?, = u

V2

a =

1 O O1 1 O1 1 1

1 O O1 1 O1 1 1

Según la expresión 2.3, la matriz de rigideces referida a ios desplazamientosrelativos es Kv = ar Ku a; efectuando los productos se llega a:

Sistemas con muros

/?, o oO R2 OO O R3

Esto muestra que la matriz de rigideces lateral de un marco de cortante esdiagonal cuando se adoptan como grados de libertad los desplazamientos deentrepiso, siendo el elemento ¿-ésimo de la diagonal la rigidez /?,-, del entrepiso i.

El nuevo vector de fuerzas es P, = a7"P,:

P =1 1 1O 1 1O O 1

„ —

Es decir, que las nuevas fuerzas generalizadas correspondientes son las cor-tantes de entrepiso. Al ser Ku diagonal, la solución del sistema de ecuaciones paracalcular los desplazamientos de entrepiso es inmediata, y los mismos, como erade esperarse, son iguales a la cortante entre la rigidez de entrepiso respectiva.

2.3 SISTEMAS CON MUROS

En muchos casos prácticos, para dar a los edificios rigidez y resistencia suficienteante cargas laterales, se recurre al uso de muros de concreto, normalmente com-binados con marcos (ver capítulo 5). Otras formas de rigidizar marcos son re-llenarlos con muros de manipostería o colocar elementos diagonales de concretoreforzado o de acero, y son comunes también los edificios de altura moderada enlos cuales los elementos resistentes son muros de manipostería con distintos tiposde refuerzo. En esta sección se describen métodos que sirven para analizar estostipos de sistemas estructurales ante cargas laterales.

2.3.1 Método de la columna ancha

Aceptando la hipótesis de comportamiento elástico lineal, las deformaciones deun muro ante cierto sistema de cargas en su plano deben calcularse con los méto-dos y teorías de la elasticidad. Además de las propiedades elásticas del material(como módulos de elasticidad, de cortante y de Poisson), hay que tomar en cuen-ta la magnitud y distribución de las cargas, la geometría del muro y la forma enque está apoyado. Existen soluciones analíticas para ciertos casos sencillos (véasepor ejemplo Timoshenko y Goodier, 1970) y los casos de geometría o condicionesde frontera complicadas se pueden tratar con el método del elemento finito, quese describe brevemente más adelante, y que permite obtener soluciones numéri-cas con la precisión que se desee (Zienkiewickz y Taylor, 1989 y 1991, Cook etai., 1989 y Livesley 1994).

68

Figura 2.16 Comparación en-tre resultados de los métodosde elementos finitos y de lacolumna ancha.


Sff = desplazamiento del punto k obtenido conel método de elementos finitos.

Sca= desplazamiento del punto k obtenido con^ la expresión

3EI Gü

1.01

1.00.5 1.0 1.5 2.0

0.99 f-

|

0.98 -

0.97 -

0.96-

Sin embargo, para muros empotrados en su base y sujetos a una carga lateralen su extremo superior P, como se muestra en la figura 2.16, el desplazamientolateral del extremo cargado 5, se puede calcular con bastante precisión con laexpresión

8 = PV/QEI) + Phí(Gíl) (2.20)

donde h es la altura del muro, 7 y fl son el momento de inercia y el área efectivade cortante de su sección transversal, E es el módulo de elasticidad y G el de cor-tante.

La figura 2. 16 incluye una comparación entre los resultados obtenidos con laecuación 2.20 y los que proporciona el método de elementos finitos (que puedenconsiderarse como exactos) y se observa que los errores no exceden de 4 porciento. Aunque la figura citada cubre valores de b (ancho del muro) entre h com-prendidos entre 0.5 y 2.0, la ecuación 2.20 proporciona similar precisión fuera deese intervalo, porque para valores mayores de blh importan sólo las deforma-ciones por cortante consideradas con el término Ph/(Gíl), y para valores menoresson más apreciables las deformaciones debidas a flexión tomadas en cuenta con

De lo expuesto, se concluye que para fines prácticos es suficiente calcular lasdeformaciones laterales de muros aislados con procedimientos de resistencia demateriales que consideren los efectos tanto de flexión como de cortante. Se de-

Sistemas con muros

69

Muro-

Ejes Murocentroidales

Columnas WL

JÜ.2

n

Vigas

a) Esquema de la estructura.

,J

b) Marco con columnas anchas.

nomina columna ancha a un miembro así analizado para distinguirlo de lascolumnas normales en que sólo son importantes las deformaciones por flexión.

Para analizar sistemas de muros y muro-marco se considera cada muro comouna columna ancha con sus propiedades concentradas en su eje centroidal y sesupone que las zonas de las vigas que se encuentran dentro de los muros soninfinitamente rígidas a flexión. Esto se ilustra en la figura 2.17, y tiene la venta-ja de que los sistemas con muros se idealizan como estructuras esqueletales, lomismo que los marcos.

Las deformaciones por cortante en las columnas y las zonas rígidas en lasvigas modifican las respectivas matrices de rigideces. Con referencia a los gra-dos de libertad y notación mostrados en la figura 2.18, la matriz para las colum-nas anchas se escribe:

Figura 2.17 Sistema marco-muro idealizado con columnasanchas.

/, n i

a^ 12 £/en

a) Columna ancha.

\+ p = 1

b) Viga con zonas infinitamente rígidasa flexión en sus extremos.

Figura 2.18 Grados de libertadpara columnas y vigas en el mé-todo de la columna ancha.


-\1EII(a-6E¡/(a-6£7/(c

simétrica12£7/(a h?)6EII(ahí) (4+a)EI/(ah)6EI/(ah2) (2-a)EII(ah) (4+a)EI/(ah)

EAIhEA/h -EAIh

(2.21)

siendo a = 1 + a, y a = 12 Eli (Gil).Para las vigas con zonas rígidas en sus extremos:

E//(AL)

4 + 1 2 g ( l + g )+ 6(g + b}+ I2gb 4 +126(1+ ¿)- 6 ( l + 2 g ) / ( A L ) 6 ( 1 + 2 ¿ > V ( A L )

6 (1 + 2g )/(A L) -6 (1 + 2 ¿ )/(A L)

simétrica

12/(AL)2-12/(A L)2 12/(A Lf-

donde g = -y/A y b = /3/A.En casos extremos, si el área de cortante es grande o las longitudes de zonas

rígidas son bastante pequeñas, las matrices anteriores coinciden con las de unaviga y columna normales. Así, si dichas matrices se incluyen en un programa pararesolver marcos, éste servirá también para analizar sistemas muro-marco.

MacLeod (1971) ha constatado la buena precisión del método comparan-do sus resultados con los de mo-delos elásticos a escala demuros con una hilera centralde huecos. En efecto, el méto-do es útil en casos de muroscon huecos, sobre todo si seincluyen los efectos de extre-mos rígidos en las columnas ylos de cortante en las vigas.

Algunos ejemplos de idea-lización posibles se muestranen la figura 2.19. En ciertoscasos es conveniente que laszonas rígidas en los extremostengan forma de codo y nosean solamente rectas; paraestas situaciones pueden con-sultarse las publicaciones deMacLeod (1973, 1990).

Ejes

Zonas infinitamente rígidas a flexión

Figura 2.19 Muros con huecosque pueden analizarse con elmétodo de la columna ancha.

Sistemas con muros

Existen programas para analizar edificios que incluyen explícitamente defor-maciones por cortante y zonas rígidas (Wilson y Dovey, 1972, Wilson et al.,1975). Cuando se usan programas que no incluyan esta última opción, las zonasrígidas pueden representarse con vigas que tienen momentos de inercia grandesen comparación con las demás vigas y columnas del conjunto.

2.3.2 Método de MacLeod

MacLeod (1971, 1990) ha desarrollado un procedimiento que permite estimar lafuerza cortante y el desplazamiento lateral máximos de sistemas formados pormarcos y muros, así como el momento de volteo en la base de los muros, a par-tir de suponer que todos ellos están conectados sólo en sus extremos superiorescomo se ilustra en la figura 2.20. Para cargas laterales con distribución triangu-lar, la fórmula que proporciona la fuerza que actúa entre los marcos y los muros,P, es:

P/W = 0.55 2 A>/(2 Kf + 2 Km) (2.22)

donde Kf es la rigidez lateral de cada marco entendida como la fuerza concentra-da en el extremo superior que produce un desplazamiento lateral unitario en sulínea de acción; Km es la rigidez de cada muro definida en el mismo sentido yW es la carga lateral total aplicada. Para calcular las Kf, se pueden emplear lasfórmulas de Wilbur, ya que conocidas rigideces de entrepisos, R¡, se tiene

El desplazamiento lateral máximo se estima como PIKf , y la fuerza cortantemáxima en el marco está dada por 1.3P. El momento de volteo en la base delmuro es aproximadamente igual al momento total menos PH, siendo H la alturatotal del muro.

Como ejemplo, consideremos nuevamente el edificio cuyos datos se danen la figura 2.20. Las rigideces de entrepiso en ton/m resultan /?, = 11414,R2 = 7676, R3 = R4 = R5 = 7376, por tanto:

\IKf = (1/11414 + 1/7676 + 3/7376)

El resultado es Kf = 1601 ton/m; como están incluidas todas las vigas ycolumnas en el cálculo de las R¡, entonces 2/s^- = Kf.

En este caso 2 Km = 3 X/^///3 donde E es el módulo de elasticidad de losmuros, ¡w su momento de inercia y H su altura total. Así

Km = (3 X 1.5 X 106 x 2 X 0.8)/ 153 = 2133 t/m.

Ahora podemos emplear la fórmula 2.22, y obtenemos P/W = 0.55 X 1601 /(1601 +21 33) = 0.236. Como W= 150 ton, P = 0.236 X 150 = 35.4 ton. La es-timación del desplazamiento máximo es PIKf = 35.4/1601 = 0.0221 m. Lafuerza cortante total en los marcos es 1.3P = 1.3 X 35.4 = 46.0 ton y el momen-to de volteo en los muros se estima como 50 X 15 + 40X 12 + 3 0 X 9 + 2 0 X 6+ 10 X 3 - 35.4 X 15 = 1119 ton-m. A cada muro le corresponde una cortantebasal de (150 - 46)/2 = 52 ton y un momento de 1 1 19/2 = 559.5 ton-m.


g o

! 6.00

6.00

0.15

6.00 6.00 4.00 6.00 6.00Acotaciones en m

Notas: Columnas cuadradas iguales de 0.40 m de lado.Vigas iguales de 0.25 m de ancho.

50

40

30

20

10

/ / / / / / / / / / /// 7/7

Fuerzas en ton

Alturas de entrepiso = 3.00 m/, =1.6m4

Sb = 0.005859 m3

Sc = 0.009954 m3

E =1.5x 106ton/m2

Figura 2.20 Edificio con muros para ilustrar el método de MacLeod.

Sistemas con muros

73

i r

Figura 2.21 Muro confinadopor un marco.

2.3.3 Marcos contraventeados

En el análisis de marcos contraventeados es fundamental tomar en cuenta nosólo los momentos flexionantes en vigas y columnas, sino también las fuerzasaxiales que en ellas introducen los componentes horizontales y verticales delas fuerzas que obran en los contravientos. En marcos contraventeados en todoslos niveles de una misma crujía, si las vigas y columnas no son muy robustas,una forma sencilla y razonablemente aproximada de determinar las cargas axia-les en los distintos miembros, es analizar la crujía contraventeada como unaarmadura, ignorando la rigidez a flexión de las vigas y columnas. Sin embargo,lo más conveniente para analizar marcos con cualquier disposición de contra-vientos es emplear el método de rigideces, incluyendo en la matriz de rigidecesglobal el aporte de los contravientos, que está dado por la expresión 2.8, con re-ferencia a los grados de libertad y propiedades que se indican en la figura 2.7. Enrazón de que los contravientos son normalmente esbeltos, se considera que sonefectivos sólo los que están en tensión; por lo que en el análisis de contravientoscruzados se considera sólo una de las dos barras diagonales.

2.3.4 Muros confinados por marcos

El caso de tableros de muros de mampostería confinados por marcos y sujetos acargas laterales ha sido objeto de numerosas investigaciones experimentales yanalíticas. Las memorias de un reciente congreso auspiciado por el Departamentode Energía de Estados Unidos incluyen revisiones de trabajos recientes sobre eltema (Martin Marietta, 1993). Meli (1975) y Bazán (1980) han revisado trabajosrelacionados con las prácticas de construcción en México. Se ha observado queinicialmente muro y marco trabajan corno una columna global ancha en la que lascolumnas del marco proporcionan casi toda la rigidez a flexión mientras que elmuro absorbe la mayoría de los esfuerzos cortantes. Sin embargo, a menos queexistan conectores de cortante adecuados entre muro y marco, bastan cargas la-terales relativamente pequeñas para que ambos se separen enesquinas opuestas de modo que el marco se apoya sobre el muroen la forma que se ilustra en la figura 2.21. Esto produce fuerzasaxiales así como momentos y cortantes en vigas y columnas,aunque los momentos son de poca importancia, dado que lasfuerzas de interacción se desarrollan en la proximidad de losnudos. Las fuerzas cortantes, por el contrario, son de consi-deración, y en el muro aparecen esfuerzos de compresión apre-ciables en las esquinas en contacto con el marco. En la direcciónde la diagonal que une las esquinas separadas se generan esfuer-zos de tensión en la mampostería que pueden ocasionar agrie-tamiento diagonal del muro.

En vista de que el agrietamiento entre muros y marcos con-finantes puede ocurrir aun durante sismos moderados, es nece-sario calcular la rigidez lateral y los elementos mecánicos queoriginan las cargas sísmicas en marco y muro tomando en cuen-ta tal comportamiento. Para este propósito podemos idealizarcada muro confinado como una diagonal equivalente en com-presión dentro del marco, según se esquematiza en la figura 2.22. Como resulta- Figura 2.22 Diagonales equi-do de estudios analíticos con elementos finitos que incluyen la separación entre valentes a tableros confinados.

/TT777

Diagonalesequivalentesa los tableros

Marco


74

£t

t

777

A,—

/I

J

II

i

/ ' Marco de concreto con módulo/ de elasticidad Ec

\I JLUl II 11 — II — 1

N Mampostería conmódulo decortante Gm

777777777777777777777777777777777777777T/

b t 'II II II II II II II 1

\ ^^l = Acb2/2

£ = relación de aspecto = b/h

i

r

l

\

/ / /

h

muro y marco, se ha propuesto (Ba-zán, 1980) que la diagonal equivalen-te tenga el mismo espesor t, y módulode elasticidad Em, que el muro, y quesu ancho sea:

w = (0.35 + 0.022 A ) h (2.23)

Figura 2.23 Definiciones paradeterminar la rigidez de unmuro confinado.

donde h es la altura entre ejes deltablero y A es un parámetro adimen-sional basado en las rigideces relati-vas entre muro y marco, definido enla figura 2.23. Para determinar lamatriz de rigideces de la diagonal seaplica la expresión 2.8, con A = wty L = longitud de la diagonal.

Al deducir la fórmula 2.23 seha considerado que el marco escontinuo (no articulado) en susesquinas y que Gm = 0.4 Em. Dichafórmula es aplicable para valoresde A entre 0.9 y 11 y para rela-ciones de aspecto £ (ver figura2.23) entre 0.75 y 2.5. Tales inter-valos cubren la mayoría de los ca-sos prácticos.

Otro procedimiento para calcu-lar rigidez lateral y elementosmecánicos de un sistema marco-muro es considerar que el conjuntoconstituye una columna ancha conlo que es aplicable la expresión

2.21 para valuar la matriz de rigideces. El momento de inercia / se consi-dera que proviene de la rigidez axial de las columnas y se calcula como seindica en la figura 2.23; Ec es el módulo de elasticidad del marco y Gm elmódulo del cortante del muro. Se adopta para el área de cortante, (I, el si-guiente valor reducido que toma en cuenta la separación entre muro ymarco:

ü = (0.37 - 0.12 £ + 0.023 A) (Am + 2 Ac) (2.24)

Am es el área de la sección transversal del muro, Ac es el área de la sección decada columna del marco, sin transformar a pesar de ser de material más rígido.Estas definiciones se ilustran también en la figura 2.23.

Como resultado del análisis considerando columnas anchas, se obtienen encada tablero un momento flexionante M y una fuerza cortante V. Las cargas axia-les, T de tensión y C de compresión, en las columnas se calculan como:

T = M/(zb); C = zM/b

Sistemas con muros

75siendo z = 1.15-0.2£ y b la distan-cia entre ejes de las columnas. Lafuerza cortante máxima en las co-lumnas es 0.6V. Estas aproxima-ciones también están limitadas a losintervalos de valores de £ y A quese indicaron para el uso de diago-nales equivalentes.

Como ejemplo, consideremos laestructura mostrada en la figura2.24. Para determinar las diagona-les equivalentes a los-muros demanipostería tenemos: área de lascolumnas, Ac, igual a 30 X 30 = 900cm2; área del muro, Am, igual a 15 X(400 - 40) = 5400 cm2; módulo deelasticidad de las columnas, Ec =141,000 kg/cm2 y módulo de cor-tante de la manipostería, Gm = 2400kg/cm2. Con estos valores se calculael parámetro A como:

A - (EcAcy(GmAJ

- (141000 X 900)7(2400 X 5400)

= 9.8

Aplicando la expresión 2.23 conh = 3m resulta:

Columnas de 0.30 x 0.30 m y vigas de 0.25 x 0.50 m de concreto con Ec = 141,000 kg/cm2

Muros de tabique de barro recocido de 0.15 m de espesor con Gm = 2400 kg/cm2

o Diagonal equivalente

3.0

3,0

3.0

6

3

A

^\^

^\ ^"N,

C D

6.0 4.0 6.0

Fuerzas en toneladas y longitudes en metros

w = (0.35 + 0.022 A ) h = (0.35 + 0.022 X 9.8) 3 = 1.70m.

Las diagonales equivalentes se muestran en la figura 2.24 y tienen 170 X 15= 2250 cm2 de área, 5m de longitud y módulo de elasticidad Em = GJQA =2400/0.4 = 6000 kg/cm2. Hemos analizado esta estructura con y sin diagonalesempleando el método de rigideces; algunos de los resultados se muestran en lafigura 2.25. Obsérvese que al incluir las diagonales (es decir cuando los murosestán presentes) disminuyen las cortantes y momentos en todos los miembros delmarco; en cambio, las fuerzas axiales en las vigas y columnas de la crujía quecontiene a los muros se vuelven mucho mayores.

Opcionalmente, podríamos idealizar los tableros marco-muro como colum-nas con momento de inercia / = Ac ¿2 = 900 X 4002 = 144 000 000 cm4. Larelación de aspecto es 4/3 = 1.33, entonces, empleando la fórmula 2.24, el áreade cortante reducida es igual a:

Figura 2.24 Marco con murosde manipostería.

ft = (0.37 - 0.12 X 1.33 + 0.023 X 9.8 ) (5400 + 2 X 900) = 3138 cm2

76

Figura 2.25 Resultados delanálisis del marco de la figura2.24.


2.94

y

» 6.69LJ

- 3.96 •*-

1.50

- 5.04 -- - 5.04 •*-

I5.51

I

2.04

t

2.04

t5.51

3.96

6.90

a) Sin diagonales

1.43

2.90

1.69

2.90

8.50

13.18

2.05

3.25

2.04

3.25

1.68

2.89

2.52

I

18.48

t

18.58

í2.43

b) Con diagonales

Fuerzas en ton y momentos en ton-m

2.3.5 Método del elemento finito

En la actualidad, el método del elemento finito constituye la más poderosa he-rramienta para el análisis de estructuras complejas, como ciertos muros decomposición y/o geometría complicada. Para fines prácticos, las solucionesobtenidas mediante la aplicación adecuada del método a problemas elásticoslineales pueden considerarse como exactas. Básicamente, este método consisteen dividir la estructura en subregiones, denominadas elementos finitos, dentrode las cuales se prescribe la forma en que varían los desplazamientos en fun-ción de los valores correspondientes a ciertos puntos denominados nudos(figura 2.26). Como en el caso de vigas y barras, los posibles desplazamientosy giros nodales constituyen grados de libertad. Con base en las leyes constitu-tivas del material (esto es, en las relaciones que existen entre esfuerzos ydeformaciones; por ejemplo, la ley de Hooke) y en la función adoptada paraprescribir los desplazamientos, se determina la matriz de rigideces de cada ele-

Sistemas con muros

77

mentó, usando el principio de trabajos virtuales. Esta matriz está referida a losgrados de libertad de los nudos del elemento.

La matriz K de rigideces de la estructura completa se obtiene aplicando elmétodo directo de rigideces descrito al tratar el análisis de marcos; es decir, sesuman los términos de las matrices de rigideces de los elementos en donde lestoque dentro de K, de acuerdo con la correspondencia entre las numeraciones degrados libertad globales y locales. Los desplazamientos U de los nudos, ante unsistema de cargas P aplicadas en los mismos, se obtienen resolviendo el sistemade ecuaciones lineales K U = P. Conocidos los valores de U se pueden calcularesfuerzos y deformaciones en cualquier punto de cada elemento, esto es, en cual-quier punto de interés.

Numerosos autores (Zienkiewickz y Taylor, 1989 y 1991, Cook et al., 1989,Livesley 1994 y Przemieniecki, 1968 entre ellos) presentan con detalle el método,en forma orientada hacia el análisis de estructuras. Los muros se pueden modelaradecuadamente considerando que se trata de un problema de estado plano de es-

Elementos finitos

rectangulares

Nudos

Figura 2.26 Malla de elemen-tos finitos para analizar un murocon huecos.


fuerzos, es decir, aceptando que son nulos los esfuerzos perpendiculares al planodel muro. Aunque los elementos finitos que permiten tratar este tipo de problemapueden tener diversas formas, como triángulos o cuadriláteros, dado que las par-tes de un muro son usualmente rectángulos, es adecuado el uso de elementosrectangulares (véase por ejemplo Przemieniecki, 1968) como se muestra en lafigura 2.26. Los grados de libertad son usualmente los desplazamientos horizon-tales y verticales de los nudos, aunque existen elementos que además considerancomo tales las rotaciones nodales.

El método del elemento finito se usa exclusivamente con computadoras yexisten varios programas bastante generales que permiten analizar diversos tiposde estructuras. Uno de los más difundidos es el desarrollado bajo la dirección deWilson (Bathe et al., 1973) del cual se han escrito varias versiones mejoradas paracomputadoras personales. En general, los programas modernos, además de sernuméricamente eficientes, cuentan con herramientas gráficas para preparar datosy examinar resultados.

2.4 ANÁLISIS TRIDIMENSIONAL

Las estructuras de edificios son tridimensionales y pueden analizarse como talesmediante el método de elementos finitos, que permite representar losas, vigas,columnas, muros, diagonales, etc. empleando diferentes tipos de elementos. Exis-ten varios programas comerciales de computadora que cuentan con excelentesherramientas gráficas para preparar datos e interpretar resultados. Sin embargo,esta no es una práctica común porque surgen las siguientes dificultades: a) esmuy grande el número de grados de libertad necesario para representar un edifi-cio completo, particularmente si es de varios pisos; b) la cantidad de datos quehay que proporcionar y su laboriosa organización aumentan las posibilidades decometer errores, a veces difíciles de localizar; y c) aun con las modernas ayudasvisuales es difícil interpretar los resultados, que con frecuencia están dados comoesfuerzos y no como fuerzas y momentos que son las cantidades de interés endiseño estructural. Por tanto, un análisis tridimensional de tal naturaleza estáreservado para estructuras muy importantes (y aún en estos casos con simplifica-ciones) o a partes limitadas de un edificio de características desusuales.

2.4.1 Edificios con pisos rígidos en planta

En la mayoría de los casos es aceptable suponer que un edificio está formado pormarcos y/o muros como el de la figura 2.17, ligados entre sí por sistemas de pisolos que se consideran indeformables en su plano, o sea que funcionan como dia-fragmas infinitamente rígidos en planta. Esto implica que los desplazamientoslaterales de cualquier punto en los pisos del edificio se pueden expresar en tér-minos de dos desplazamientos horizontales y un giro alrededor de un eje verticalde un punto cualquiera de cada piso, de modo que, cuando las cargas lateralesestán aplicadas en los pisos, el problema se puede reducir a uno de sólo tres gra-dos de libertad por cada nivel.

Consideremos que el edificio bajo estudio se ha dividido en sistemas resis-tentes planos y que se han determinado las posiciones de los centros de masa decada piso. Como las fuerzas sísmicas actúan en dichos centros, conviene escogercomo grados de libertad del edificio completo los dos desplazamientos horizon-

Análisis tridimensional

79

}}

77777 77777

V 0

Figura 2.27 Grados de libertaddel sistema plano de la figura2.17.

tales y el giro alrededor de un ejevertical en tales puntos. Entonces, elanálisis tridimensional se hace comosigue:

a) Se calcula la matriz de rigide-ces lateral de cada sistemaplano j. Para esto se asignan alsistema como grados de liber-tad un desplazamiento verticaly un giro en el plano del sis-tema por cada nudo, y undesplazamiento horizontal porcada nivel, como se ilustraen la figura 2.27. Si se tienenN nudos y L niveles, la ma-

Centro demasas del piso í

dj¡ = u¡ eos $j + v¡ sen (fy + r¡¡ 9,

Proyección delsistema plano;en el piso i

triz de rigideces correspondiente a estos grados de libertad es de orden2N + L. Con el procedimiento de condensación explicado en la sec-ción 2.2.1 (véase la expresión 2.19) se expresa esta matriz en térmi-nos de solamente los grados de libertad laterales y se obtiene la matrizde rigideces lateral del sistema que es de orden L y aquí se denomi-na K;,

b) Se deducen las matrices para expresar los desplazamientos laterales decada sistema resistente en términos de los grados de libertad del edificiocompleto.

Para esto considérese la figura 2.28 en donde M,-, v¡ y 6¡ son losdesplazamientos y el giro del centro de masas del piso i. El desplaza-miento lateral dj¡, del sistema plano y en este piso, considerando que el 0,es pequeño, se expresa:

Figura 2.28 Relación entre losdesplazamientos en planta delpiso rígido ;y el desplazamientolateral del sistema plano j endicho piso.


80

dj¡ = < eos sen (2.25)

(f)j es el ángulo entre las direcciones positivas de M, y de d ¡ { , r^ es la dis-tancia de la proyección del sistema plano; al centro de masas del pisoy tiene signo positivo cuando el giro de d-}i alrededor de dicho punto esdel mismo sentido que 9¡. Concisamente, 2.25 se escribe:

(2.26)

siendo

bj,- u, =

Cuando consideramos los L niveles del sistema resistente tenemos:

donde hemos definido:

(2.27)

4.42

u = 1

(L elementos) (3L elementos)

' nO

o o ... orn O ... O

O O O ... VJL

(2.29)

(L X 3L elementos)

c) Según la sección 2.1.1, notando que By desempeña el papel de la matriz detransformación a, ya que relaciona los antiguos grados de libertad (des-plazamientos laterales del sistema plano j) con los nuevos (desplazamien-tos y giros de los centros de masas de los pisos), Ky se transforma a estosnuevos grados de libertad mediante la operación:

(2.30)

Kf es una matriz de orden 3L.


d) Se obtiene la matriz de rigideces K del edificio sumando directamente lasKy* puesto que todas están referidas a los mismos grados de libertad. Paraun edificio de n pisos K es cuadrada de orden 3«. Nótese que algunas K¿*pueden ser más pequeñas que K ya que el sistema plano j puede tenermenos pisos que el edificio completo. Para sumar, se considera que todoslos términos fallantes son ceros.

e) Dado un vector de fuerzas laterales que obran en los centros de masasde los pisos F, se calculan los desplazamientos U, resolviendo el siste-ma de ecuaciones KU = F. Obsérvese que F está formado por dos fuerzaspropiamente dichas y un momento torsionante en el centro de masas decada piso, en congruencia con los grados de libertad elegidos para el edi-ficio en conjunto.

/) Conocido el vector U se seleccionan los desplazamientos relevantes parael sistema plano j y con la expresión 2.27 se calculan sus desplazamientoslaterales D,. Como vimos en la sección 2.2.1, a partir de ellos se determi-nan todos los desplazamientos verticales y giros, y luego los elementosmecánicos de cada pieza de dicho sistema.

En el siguiente ejemplo ilustramos los pasos enunciados y damos algunos de-talles adicionales.

c D

Se trata de un solo piso i = 1Acotaciones en m

Sistema plano

AB

AC

CD

BD

Rigidez, lateral(ton/m)

300

300200

200

(grados)

O

90

O

60

'y(m)

—5.00

—5.00

3.004.33

_J

Nota: Para la defini-ción de 4>¡ y r¡j verla figura 2.27.

Figura 2.2S Estructura tridi-mensional de un piso.


822.4.2 Ejemplo

En este ejemplo analizaremos el edificio de un piso cuya planta se muestra en lafigura 2.29, sujeto a una fuerza horizontal de 5 ton en la dirección X y a unmomento, en el sentido opuesto al de las agujas del reloj, de 15 ton-m. Siguiendolos pasos del procedimiento presentado en la sección precedente tenemos:

a) Este paso ya está dado, puesto que las matrices de rigideces laterales delos sistemas planos son de I X 1, y coinciden con las correspondientesrigideces de entrepiso, es decir:

K! = [300] (en ton/m)K2 = [300]K3 = [200]K4 = [200]

b) Los grados de libertad de la estructura completa, ul,vly6l, junto con lossentidos positivos de los desplazamientos d\¡ y los valores de <^ y r1;- (elíndice / es 1 por tratarse de un solo piso) se definen en la figura 2.29.Empleando la expresión 2.26 obtenemos:

< 1.00 0.00 5.00><0.00 1.00 -5.00 >< 1.00 0.00 -3.00>< 0.50 .866 4.33 >

= B,= B2

= B3

= B4

Las matrices B^ coinciden con las br;1 porque el edificio tiene un solo nivel.

c) Las matrices K*, según la expresión 2.30, son:

fl .OO]K,* = \0 \] < 1.00 0.00 5.00 >

[5.00 J

K,* =

<1.00 0.00 5.00>

3000.0

1500

0.000.000.00

15000.0

7500

K,* =

0.001.00 [ [300] < 0.00 1.00 -5.00 >

-5.00J

<0.00 1.00 -5.00;

0000.000.00

0.00 0.00300 -1500

-1500 7500


83

K,* =

K # —» —

K4* =

1.00 |0.00 [ [200] < 1.00 0.00 -3.00 >

.-s.ooj

< 1.00 0.00 -3.00>

200 0.00 -6000.00 0.00 0.00-600 0.00 1800

> [200] < 0.50 0.866 4.33 >

< 0.50 0.866 4.33 >

50 86.6 43386.6 150 750433 750 3750

d) La matriz de rigideces lateral del edificio es K = K,* + K2* + K3* + K4*, osea:

550 86.6 133386.6 450 -7501333 -750 20550

e) Para calcular los desplazamientos y el giro del centro de masas resolvemos elsistema de ecuaciones:

550.0 86.6 1333 «, 586.6 450 -750 u, = O1333 -750 20550 0, 15

La solución es:

M, = 0.009166 mu, =-0.001638 m0i = 0.00007562 radianes

/) A partir de estos resultados y de las matrices By (dadas en el paso b) seencuentran los desplazamientos laterales con la ecuación 2.27 (que en esteejemplo coincide con la 2.26) como sigue:

dn = 1.00X0.009166 + 0.00 (-0.001638) + 5.00X0.00007562 = 0.009544 mdn = 0.00X0.009166 + 1.00 (-0.001638) - 5.00X0.00007562 = -0.002016 m¿3, = 1.00X0.009166 + 0.00 (-0.001638) - 3.00X0.00007562 = 0.008939 m¿41 = 0.50X0.009166 + 0.866 (-0.001638) + 4.33X0.00007562 = 0.003492 m

Multiplicando estos desplazamientos por las respectivas rigideces lateralesarribamos a las siguientes fuerzas laterales:


84

Figura 2.30 Edificio con sis-temas resistentes ortogonales.

F, = 300 X (0.009544) = 2.8632 tonF2 = 300 X (-0.002016) = -0.6048 tonF3 = 200 X (0.008939) = 1.7878 tonF4 = 200 X (0.003492) = 0.6984 ton

Podemos verificar que estos valores equilibran a las cargas aplicadas; enefecto, las sumas de fuerzas horizontales, verticales y de momentos conrespecto al centro de masas arrojan, respectivamente:

Fj + F3+ F4 eos (60) = 5.0002 « 5.0 ton, bienF2 + F4 sen (60) = 0.000032 « 0.0 ton, bien5 F! - 5 F2 - 3 F3 + 4.33 F4 = 15.0007 « 15.0 ton-m, bien

2.4.3 Edificios con sistemas resistentes ortogonales

Cuando los sistemas resistentes que conforman un edificio son paralelos en plan-ta a una de ias direcciones de dos ejes perpendiculares de coordenadas, basta unasola cantidad (X o F) para definir su posición, haciendo más sencillas algunasoperaciones matriciales del procedimiento propuesto en la sección 2.4.1. Comoilustración consideremos el edificio de cinco niveles de la figura 2.30, que estáformado por ocho marcos de cortante con las rigideces de entrepiso asignadas en

U

g % W;(ton)'£ 7 90

£§

5 ^4

3

3 2

21

1

77

Y

4X

3X

2A

IX

L

T 77

2I I

¡<

Y6.5

120

150

150

180

T 77

Evaluación

£=16

£=8

VOI I

* £=8

K=nIY

7.0

Entrepiso 4

T 77

\II

¡XI

¡y6.5

i

vooo

I It«

ty

3

3 y

33X

3

2X

4

IX

X

3.5

4.0

3.5

X

Distancias en mRigideces en ton/cm

£ = 24

esC"-

II¡<

•*u^ *- «

K=U

mí 4.0!<

3.5t

Entrepiso 5 x

K = 24

00esII

!<

6.5

K=12

^on

ü<£=12

£ = 20

7.0

1

>o »u II

!< k

6.5

Entrepiso \ 3


Tabla 2.1 Posición de centros de masas yde sistemas resistentes en el edificio de lafigura 2.30.

a) Centros de masas

Nivel

1

2

3

4

5

*;(m)

8.50

9.20

9.20

9.20

6.75

Ji(m)

6.30

5.50

5.50

5.50

3.25

b) Sistemas resistentes

Sistemaresistente, j

IX

2X

3X

4X

YJ(m)

0.0

3.5

7.5

11.0

Sistemaresistente, j

1Y

2Y

3Y

4Y

XJ(m)

0.0

6.5

13.5

20.0

Tabla 2.2 Datos geométricos para transformar desplazamientos de los sistemasresistentes del edificio de la figura 2.30 a grados de libertad de los centros de masas.

Sistema

resistente

i

IX

2X

3X

4X

1Y

2Y

3Y

4Y

Ángulo

i=la5

(grados)

0.0

0.0

0.0

0.0

90.0

90.0

90.0

90.0

Distancia r^(m)

Piso 1

o Xj - x\0 = 6.30

6.30 - 3.50 = 2.80

6.30-7.50 = - 1.20

6.30- 11. 00 = -4.70

0.00 - 8.50 = - 8.50

6.50 - 8.50 = - 2.00

13.50-8.50= 5.00

20.00-8.50=11.50

Pisos 2 a 4

5.50 - 0.00 = 5.50

5.50-3.50 = 2.00

5.50 -7.50 = -2.00

5.50 -11. 00 = -5.50

0.00 - 9.20 = - 9.20

6.50 - 9.20 = - 2.70

13.50-9.20 = 4.30

20.00-9.20=10.80

Piso 5

o Xj - x¡

3.25 - 0.00 = 3.25

3.25 -3.50 = -0.25

3.25 -7.50 = -3.25

3.25 -11. 00 = -7.75

0.00 -6.75 =-6.75

0.00 -6.75 =-0.25

13.50-6.75 = 6.75

20.00-6.75=13.25

x¡, y¡ = coordenadas de los centros de masas (tabla 2.1).Xj, YJ = coordenadas de los sistemas resistentes (tabla 2.1).


86la citada figura, la cual muestra además los ejes cartesianos elegidos. Las coor-denadas de los centros de masa de los pisos y las de los sistemas resistentes sedan en la tabla 2.1. Adoptaremos la convención de que los desplazamientos la-terales de los sistemas resistentes son positivos de izquierda a derecha y de abajohacia arriba, es decir, siguiendo los sentidos positivos de los ejes coordenados.Los pasos del análisis tridimensional son:

a) Se calcula la matriz de rigideces lateral de cada sistema plano j. En esteejemplo, por ser el edificio de cortante, seguimos la sección 2.2.4. Paralos sistemas de cinco pisos (j = IX, 2X, 3X, \Y, 2Y, 3F) resulta:

R2) -R-R2

OOO

(R2

oo

0

-*•(R3 + R4)

-R4

00

-R4

(R4 + R-R5

5)

Ooo

R<

Las matrices de los sistemas de cuatro pisos (j = 4X, 4Y) son de 4 X 4 yse obtienen eliminando la fila y columna quintas de la matriz anteriory el sumando R5 del elemento 4, 4. Sin embargo, para sumar las K,, enrigor todas ellas deben ser del mismo tamaño, por lo cual las matrices delos sistemas 4X y 4Y se expanden a 5 X 5, añadiendo una fila y unacolumna formadas por ceros.

Usando las rigideces de entrepiso de la figura 2.30 para los sistemasIX, 17 y 4Y obtenemos:

M X '

40 -20 O O O-20 40 -20 O O

O -20 32 -12 OO O -12 24 -12O O 0 - 1 2 12

256 -128 O O O-128 256 -128 O O

O -128 236 -108 OO O -108 180 -72O O 0 - 7 2 72

192-96

000

-96192-96

00

0-96182-86

0

00

-86860

00000

Las matrices de los sistemas restantes se obtienen de manera similar.

nálisis tridimensional

87

;Y '

5

XJ

cCentro de masas del piso i

r

1

y

\

Iw

c3£ ' ' "S

i ,/'*».

Sistema resistente " '•> '~ ' >

YJ

X

Figura 2.31 Distancias entrelas proyecciones de sistemasresistentes ortogonales y elcentro de masas.

¿) Las distancias r¿, de las proyecciones de los sistemas resistentes a loscentros de masas de los pisos se determinan según la figura 2.31. Los re-sultados, junto con los ángulos <fy entre las proyecciones aludidas y eleje X, se listan en la tabla 2.2. De acuerdo con la definición 2.26, las ma-trices de transformación elementales de los sistemas IX, \Yy 47son:

bV, = < LOO 0.00 6.30 >

= < 1.00 0.00 5.50 > = 1X,4

briy,i = <°-00 1-00 -8.50 >

*>Tn,2= <0-00 1.00 -9.20 > =

b7ií-5 = <0.00 1.00 -6.75 >

1-00 11.50>

bT4Y¿ = < 0.00 0.00 0.00 >

1.00 10.80 >

Las matrices de transformación de cada sistema plano tienen la forma:

B,.

\0000

0bTj2

000

00

b7/200

000

bTj4

0

0000

bTj5

J=IX,...,4Y


Cada B, tiene 5 X 1 5 elementos. Obsérvese que se completan con ceros lasmatrices de los sistemas resistentes que tienen menos niveles que el edificio.

c) Podríamos ahora emplear la fórmula 2.30 para transformar las matricesK, a los grados de libertad de los centros de masas. Sin embargo, paraidentificar mejor los efectos de dicha transformación, reordenaremos talesgrados de libertad colocando primero los desplazamientos horizontales detodos los pisos, luego los verticales y finalmente los giros. Las columnasde las matrices By se deben reordenar de manera congruente. Volviendo alos sistemas IX y 1F se tiene:

U = Ul U2 V2 V4 V5 $4

10000

01000

0 00 01 00 10 0

0 00 00 00 01 0

00000

00000

0 00 00 00 00 0

6.300000

05.50

000

00

5.5000

000

5.500

0000

3.25

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -8.50 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 O -9.20 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 O O -9.20 O O0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 O O O -9.20 O0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 O O O O -6.75

Se infiere que, en general, las matrices de transformación para sistemas quesiguen las direcciones X o Y se escriben de manera condensada como:

Ejx = [ I O Y ]EjY = [ O I X ]

I es la matriz identidad, O es una matriz de ceros y X y Y son matri-ces diagonales cuyos elementos no nulos son las distancias (diferenciasentre abscisas u ordenadas) de la proyección del sistema resistente encuestión a los centros de masas de los pisos. En este ejemplo todas estasmatrices son de 5 X 5.

Para sistemas paralelos a los ejes X y Y, la transformación K;-* = B;-T

Ky By da, respectivamente:

OO§

V

OOO

Observaciones y comentarios

Los ceros revelan que los desplazamientos en un eje están desacopla-dos de los del eje perpendicular.

d) La matriz de rigideces lateral, K, del edificio se obtiene sumando las K;*.En este ejemplo el resultado es la siguiente matriz de 15 X 15:

K =K;, OO 2K

2 Y Kp 1 X K,v (2 Y KA Y + 2 X Kjy X)

e) En general, siguiendo el orden elegido de grados de libertad, el vector defuerzas F estará formado por cinco fuerzas en la dirección X, cinco en ladirección Y y cinco momentos torsionantes alrededor de los centros demasas. El cálculo de los desplazamientos U demanda la solución del sis-tema de 15 ecuaciones con 15 incógnitas K U = F. Tanto esta solución,como las operaciones matriciales para obtener K, son practicables sólocon el auxilio de computadoras, aun en este edificio con un bajo númerode pisos y con sistemas resistentes ortogonales.

/) Conocido el vector U, los productos B/XU o B¿yU permiten calcular losdesplazamientos laterales D7 de cada sistema resistente. Obsérvese que laabundancia de ceros simplifica apreciablemente las operaciones.Multiplicando los Dy por las matrices K; se determinan las fuerzas apli-cadas en los niveles de cada sistema resistente. A partir de tales fuerzasse pueden calcular los elementos mecánicos en las piezas que conformenel sistema resistente.

Cuando se trata de edificios de cortante es conveniente formular elproblema escogiendo como grados de libertad los desplazamientos ygiros relativos en los entrepisos en puntos llamados centros de torsión,para los cuales, por definición, se anulan las sumas 2 RJX Y¡ y 2 Xj RJy.Usando estas condiciones en el desarrollo de los productos matricia-les 2 R^ Y y 2 Kjy X, el problema se simplifica a tal punto que las ecua-ciones de equilibrio se desacoplan y se resuelven secuencialmente, engrupos de tres por cada entrepiso, empezando por el entrepiso superior.En el capítulo 4 se exponen los detalles de esta manera de proceder.

2.5 OBSERVACIONES Y COMENTARIOS

Conviene remarcar que el nombre método "exacto" se refiere a precisión numéri-ca dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios, dicho térmi-no alude a resultados precisos de modelos en los que las cargas y las propiedadesmecánicas y geométricas son conocidas y se supone comportamiento elástico li-neal. En realidad, las especificaciones de los reglamentos modernos de diseño sís-mico consideran que ante temblores severos los edificios muy probablementeincursionarán en comportamiento inelástico. Además existe gran incertidumbreen la predicción de acciones sísmicas, y, en menor grado, en el cálculo de pro-piedades como pesos, áreas, momentos de inercia, módulos de elasticidad, etc. Portales motivos, aun empleando los más refinados programas para computadora, setienen solamente modelos aproximados de los edificios y sus solicitaciones, y esconcebible que, bajo ciertas circunstancias, un método "aproximado" represente


a) Marco

b) Muro

Figura 2.32 Deformacionestípicas de marcos y muros.

a una estructura con precisión similar a la de un método "exacto". De allí que,cuando se satisfacen sus condiciones de aplicabilidad, los métodos aproximadosson una valiosa herramienta para constatar la precisión de métodos exactos.

Otra ventaja de los métodos aproximados es que se basan en condicionesfundamentales de equilibrio y en comprender cómo se comporta una estructuraante cierto sistema de cargas. Por tanto, su uso facilita la visualización de la in-teracción entre las piezas que conforman la estructura, de trayectorias de cargay de configuraciones deformadas. El examen de estos conceptos es parte impor-tante del diseño estructural y debe efectuarse desde el inicio de todo proyecto.

2,5.1 Métodos aproximados para marcos

La precisión del método de Bowman se puede evaluar comparando los resultadosde la figura 2. 1 3, que son los que arroja este método para el marco de figura 2. 10,con los del método de rigideces, que pueden considerarse como exactos y se danen la figura 2. 1 1 . Se aprecia que en ciertos puntos ocurren diferencias apreciables.Existen otros métodos aproximados más precisos, pero más laboriosos como eldel factor y el de Grinter-Tsao (Rosenblueth y Esteva, 1962). Por otro lado, unprocedimiento bastante difundido es el de portal, basado en hipótesis aún mássimples sobre la posición de los puntos de inflexión en vigas y columnas, y sobrela distribución de cortantes en estas últimas. No hemos tratado este método por-que el de Bowman, al precio de poco esfuerzo adicional, da resultados sensi-blemente mejores. Otro método simplificado es el del voladizo que sirve paraanálisis preliminar de marcos esbeltos, aunque en otras circunstancias da lugar aresultados menos precisos que los métodos aquí presentados. En nuestra opinión,el método de Bowman cumple el cometido de permitir una verificación suficien-temente sencilla de resultados de métodos matriciales, de proporcionar fuerzas ymomentos para etapas preliminares de diseño y de mostrar cómo las fuerzas sís-micas se transfieren entre diferentes piezas.

Por definición, la rigidez de un entrepiso, R, es el cociente de la fuerza cor-tante obrando sobre el entrepiso entre su desplazamiento relativo. En rigor, R esindependiente del sistema de cargas laterales sólo cuando las vigas son infinita-mente rígidas a flexión y las deformaciones axiales en las columnas son despre-ciables. Bajo tales circunstancias, R = 12 2 /c//z3, donde Ic denota momentos deinercia de las columnas, h es la altura de entrepiso y la suma abarca todas lascolumnas del entrepiso. Las fórmulas de Wilbur suministran valeres aceptables deR para marcos cuyas piezas tienen dimensiones relativas tales que las cargas la-terales inducen puntos de inflexión en las columnas, como se ilustra en la figu-ra 2.32a. Blume (1968) luego de analizar varios marcos, ha propuesto que paradeterminar si las vigas tienen rigidez suficiente para imponer doble curvatura alas columnas se calcule el parámetro p, que él llama índice de rotación de nudo,dado por

/ es el momento de inercia de una pieza y L su longitud, los subíndices v y cindican viga y columna, respectivamente; las sumas se refieren a todas las piezasde un piso o entrepiso, deberán considerarse primero las vigas del piso superiory separadamente las del piso inferior. Se tienen así dos valores de p para cada en-trepiso y, según Blume, si ambos son mayores que 0.1 las columnas del entrepiso


en cuestión tendrán puntos de inflexión. Cuando un marco tiene una variación pau-latina de las rigideces de vigas y columnas, basta calcular p para el entrepiso máscercano a la mitad de la altura del marco. Aunque este índice ha sido deducido paramarcos regulares, da una idea sobre la posible aparición de puntos de inflexión enlas columnas de marcos irregulares, valuándolo en diferentes entrepisos.

Cuando las columnas son robustas en comparación con las vigas, p es usual-mente menor que 0.1, sobre todo en los entrepisos inferiores; tal es frecuente-mente el caso de edificios a base de losas planas. El caso extremo, para el cual pvale cero, es el de un muro aislado que se deforma sin ningún punto de inflexión,como se aprecia en la figura 2.32b. A fin de aclarar la influencia de las cargas la-terales en la rigidez de entrepiso hemos colocado una fuerza lateral F en un pisointermedio del marco y del muro de la figura 2.32, de modo que las cortantes enentrepisos por encima de F son nulas. Los desplazamientos relativos de dichos en-trepisos son también aproximadamente cero y por tanto las R no están determi-nadas; para calcularlas necesitamos aplicar cargas en los pisos superiores a fin deeliminar divisiones cero sobre cero. Ocurre que para marcos que satisfacen lacondición propuesta por Blume, los resultados son muy parecidos para fuerzaslaterales que actúan en el mismo sentido. Por el contrario, en el muro los des-plazamientos por encima de F son apreciables a causa de la rotación en el niveldonde actúa dicha fuerza, y, en consecuencia, las rigideces de entrepiso son nulaspara este sistema particular de cargas. Cuando aplicamos fuerzas sobre todo elmuro las R serán mayores que cero, pero, manteniendo la misma fuerza cortante,los resultados dependen de la distribución de cargas, puesto que los despla-zamientos en cada nivel tienen una influencia importante de los giros en pisosinferiores, los que a su vez dependen de los momentos flexionantes.

Como ilustración del criterio de Blume, para el segundo entrepiso del marcode la figura 2.10; como las vigas de los pisos primero y segundo son iguales,usando unas u otras obtenemos:

' (5 + 5 + 5 + 5)74p ~ (3.375 + 4.5 + 5.625 + 3.375 + 2.25)74.5 ~ L18

Para el tercer entrepiso, considerando las vigas del segundo piso, resulta

(5 + 5 + 5 + 5)74(2 + 3 + 4 + 2)74

y si se emplean las vigas del tercer piso, se llega a

(5 + 5 + 5)74(2 + 3 + 4 + 2)74

En todos los casos p > 0.1, por lo que se formarán puntos de inflexión en lascolumnas de estos entrepisos y son aplicables los métodos que suponen la apari-ción de tales puntos.

En décadas pasadas, tuvieron difusión entre los ingenieros estructurales mé-todos manuales más precisos aunque también apreciablemente más laboriosos,como el de Cross y el de Kani, cuyos resultados son exactos sólo cuando sondespreciables los efectos de cargas axiales en las columnas. Estos métodos ten-drían que modificarse substancialmente para incorporar deformaciones por cor-tante y nudos con dimensiones finitas (zonas rígidas) y han caído en desusodebido a la amplia disponibilidad de computadoras para aplicar procedimientosque no están sujetos a las limitaciones citadas.


2.5.2 Sistemas con muros y contravientos

El método de los elementos finitos permite obtener soluciones prácticamenteexactas para cualquier problema que involucre muros, si se acepta que elcomportamiento es elástico lineal, e inclusive es apropiado para análisis nolineales (Cervenka, 1970, Bazán, 1980). Sin embargo, como se advierte en lafigura 2.26, para obtener una precisión aceptable se debe representar el murocon varios elementos finitos, lo cual, en estructuras de varios pisos y crujías,requiere de tiempos y capacidades de computadora bastante grandes, hacien-do impráctica la aplicación del método. Además es alta la posibilidad decometer errores por la gran cantidad de datos que hay que suministrar y esdifícil interpretar el elevado volumen de resultados que se obtienen, sobretodo teniendo presente que el método proporciona esfuerzos en distintospuntos, mientras que en diseño de muros se emplean momentos flexionantes,fuerzas cortantes y normales, los cuales son resultantes de dichos esfuerzosque los programas para computadora generalmente no calculan. Por lasrazones expuestas, en la práctica el uso de elementos finitos en el análisis deedificios está reservado a ciertos casos especiales, como el de muros congeometría complicada o para estudiar con mayor detalle algunas partes y nola totalidad de un edificio.

La mayoría de edificios con muros se pueden analizar con el método de lacolumna ancha. Para constatar la precisión de este procedimiento, lo hemos aplica-do al conjunto muro-marco de dos diferentes materiales de la figura 2.33, la cualmuestra también la comparación de resultados con los del método de elementosfinitos. Se observa que las diferencias entre los desplazamientos laterales obte-nidos con ambos métodos son menores que dos por ciento, confirmando que paraestructuras elásticas el uso de columnas anchas conduce a resultados práctica-mente exactos.

En la sección 2.3.2 se aplicó el método de MacLeod al edificio de la figura2.20 y se encontró que el desplazamiento lateral del último piso, la fuerza cor-tante que toman los marcos y el momento de volteo que se origina en cada muro,son 0.0221 m, 46.0 ton y 559.5 ton-m, respectivamente. Hemos analizado elmismo edificio con el método de la columna ancha y los correspondientes resul-tados son 0.0203 m, 43.9 ton y 484.2 ton-m, lo cual indica que el método deMacLeod, aunque no proporciona información sobre la distribución de cortantesen altura, permite verificar con rapidez los resultados globales de procedimientosmás elaborados.

Khan y Sbarounis (1964) propusieron un método iterativo para analizar con-juntos de marco y muros representándolos como un sistema equivalente de sóloun muro ligado a un marco de una sola crujía. Las reglas derivadas por estosautores para calcular las propiedades del sistema equivalente son las mismasque posteriormente empleó MacLeod en el método de la sección 2.3.2. Khan ySbarounis presentan también gráficas para estimar los desplazamientos del sis-tema combinado de marco y muro como fracción de los desplazamientos delextremo superior del muro, sin la contribución del marco. En el fondo, este pro-cedimiento consiste en aplicar manualmente el método de la columna ancha alsistema equivalente y ha caído en desuso en razón del fácil acceso a programasde computadora que emplean este último método sin necesidad de simplifica-ciones adicionales. Sin embargo, las figuras citadas podrían utilizarse para veri-ficar los resultados de dichos programas.


i 11 H-I

£=1.0Espesor = 0.15

£=1.0Sección = 0.5 x 0.5

i—ii—inZZ3I ICZZ3-•i ii ir-1

5.00 5.00

Acotaciones en m

1.01 -

1.00

0.99

0.98

3.50

3.50

3.75

8,,a = desplazamientos con el método de ¡acolumna ancha

Sef= desplazamientos con 269 elementosfinitos rectangulares

77777777//r

Rigidez infinitaa flexión

Columna ancha

2.50 5.00-0.5/2

7.25

Nivel

Figura 2.33 Comparación de los métodos de la columna ancha y de elementos finitos.


94

w

Figura 2.34 Efectos de esbel-tez en un sistema de un gradode libertad.

2.5.3 Efectos no üneafes

Se distinguen dos tipos de comportamiento no lineal en estructuras.El primero, denominado no linealidad geométrica, se presenta cuan-do la hipótesis de que las deformaciones son pequeñas es inadecuaday cuando menos algunas de las condiciones de equilibrio debenplantearse sobre la configuración desplazada de la estructura. La nolinealidad se manifiesta en que los desplazamientos dependen de loselementos mecánicos en los miembros estructurales, los que a su vezson función de dichos desplazamientos. En el caso de fuerzas late-rales, particularmente cuando no existen muros ni sistemas rigidi-zantes equivalentes, se pueden originar desplazamientos horizontalesapreciables A, entre los extremos de las columna y las cargas verti-cales sobre las mismas P, producen momentos iguales a PA, que a suvez generan desplazamientos laterales adicionales. De allí que estefenómeno se conoce como efecto P-A, o efectos de segundo orden.Ninguno de los procedimientos de análisis expuestos en este capítulo

considera estos efectos, aunque una manera simple de incorporarlos (Rosen-blueth, 1965) es añadir en cada nivel una fuerza lateral ficticia de modo que encada entrepiso el producto de la fuerza cortante sea igual a W A donde W esel peso del edificio encima de dicho entrepiso. Como ilustración considere-mos el sistema de un grado de libertad de la figura 2.34 para el cual el momen-to en la base, incluyendo el aporte de la carga axial, es:

M = Vh + WA

En términos de la rigidez lateral k, este momento es igual a fcA/z; por tanto,despejando Vh nos queda:

o también:

Vh = ¿A/i - WA = kh [1 - Wl(kh)} A

V=[k- W/h] A = k [1 - 6] A

donde el parámetro 8 = W/(kh) se llama coeficiente de estabilidad (Bernal,1985). Se aprecia que el efecto neto de la carga axial es reducir la rigidez late-ral en un monto W/h, o en una fracción igual a 0. El término W/h se conocecomo rigidez geométrica, y refleja la naturaleza no lineal del problema porquedepende de la carga axial. Nótese que es posible que la rigidez se anule com-pletamente cuando la carga axial alcanza el valor crítico kh, produciendoinestabilidad del sistema.

Dentro del contexto del método de elementos finitos, se han desarrollado pro-cedimientos muy generales para calcular la denominada matriz de rigidez geomé-trica, Kg de una estructura de varios grados de libertad con cualquier tipo deelementos. Kg depende de la magnitud y distribución de cargas axiales y las ecua-ciones de equilibrio ante un vector de cargas P se escriben [K - Kg] u = P. Kg

sirve también para determinar las cargas críticas que causan estabilidad en la es-tructura. Los detalles escapan el alcance de este texto y se pueden consultar envarias publicaciones sobre análisis estructural y el método de elementos finitos(véanse, por ejemplo Przemieniecki, 1968 y Chajes, 1993).


La segunda manifestación importante de comportamiento inelástico es denomi-nada no linealidad del material que tiene lugar cuando las curvas carga-deformaciónde los materiales que constituyen los miembros estructurales son sensiblemente nolineales, reflejando además estados de falla como agrietamientos y fluencias quecausan cambios bruscos en dichas curvas. Como veremos en el capítulo 4, esta for-ma de no linealidad es característica de prácticamente todos los materiales estruc-turales que se usan en edificios. Los reglamentos de construcción así lo reconoceny muchas de sus prescripciones promueven ciertos tipos deseables de compor-tamiento inelástico ante eventos sísmicos severos y aún moderados.

Desde el punto de vista de análisis, la no linealidad del material invalida el prin-cipio de superposición, lo cual obliga a conocer las fuerzas y momentos debidos alas cargas permanentes que obran previamente sobre la estructura (cargas muertasy vivas) antes de determinar los efectos de cargas laterales. En vista de que ante car-gas permanentes deben prevenirse fenómenos no lineales de importancia, es decir,que las resistencias de los elementos estructurales deben ser apreciablementemayores que las demandas provenientes de dichas cargas, en el paso inicial delanálisis ante acción sísmica se considera que el edificio se encuentra aún dentro desu intervalo de comportamiento elástico. Se aplican luego paulatinamente lasfuerzas laterales que representan al sismo hasta que en alguna sección crítica dealgún elemento se alcanza la resistencia y ocurre una falla local, típicamentefluencia o agrietamiento. Esto modifica las características de rigidez de tal elemen-to y, por ende, de la estructura para cargas adicionales, aunque no necesariamenteimplica colapso. Con las rigideces modificadas se continúan aplicando las cargaslaterales hasta que ocurre otra falla local con los consiguientes cambios de rigidez.Se procede de esta manera hasta que la estructura colapsa, obteniéndose así suresistencia a cargas laterales estáticas. Este tipo de análisis se emplea muy rara-mente en el diseño sísmico de edificios y aun así con simplificaciones, no sólo porser laborioso sino porque las cargas sísmicas son dinámicas y no estáticas.

2.5.4 Análisis tridimensional con computadora

Existen varios programas para computadora que efectúan automáticamente el análi-sis elástico tridimensional de edificios bajo la suposición de que los pisos sondiafragmas rígidos en su plano, siguiendo internamente los pasos descritos en la sec-ción 2.4; entre ellos, ha sido pionero el desarrollado por Wilson y Dovey (1972). Elbuen uso de estos programas requiere, además del entendimiento claro de sus hipóte-sis básicas y de sus limitaciones, una cuidadosa preparación de datos. Típicamente,la información que se debe proporcionar incluye los dos grupos siguientes:

1. Datos generales del edificio:

• número y alturas de pisos,« elegir sistema de coordenadas en planta,• número y posición de sistemas resistentes,• valor y posición de fuerzas laterales (normalmente los centros de

masas).

2. Datos para cada sistema resistente:

• número de pisos, aunque sus alturas son comunes a todos los sistemasy forman parte de los datos generales;


• propiedades de vigas: módulo de elasticidad, momentos de inercia ycoeficientes de rigidez (no se necesitan áreas en congruencia con lahipótesis de diafragmas rígidos), peraltes (para nudos de dimensiónfinita);

• propiedades de columnas: módulo de elasticidad, áreas, momentos deinercia, áreas y módulo de cortante (particularmente importantes en co-lumnas que representan muros) y peraltes;

• propiedades de diagonales: áreas y módulo de elasticidad.

Por lo común, estos programas analizan también el edificio ante cargasverticales, introducidas como fuerzas distribuidas o concentradas en las vi-gas. Cuando los sistemas resistentes, las cargas verticales o ambos no sonsimétricos, ocurren desplazamientos laterales, que, aunque son pequeños encomparación con los originados por las fuerzas laterales, tienen que ser com-patibles dentro de todo el edificio, debido que la hipótesis de diafragmas rígi-dos obliga a que los desplazamientos de cualquier sistema resistente quedendefinidos por tres grados de libertad por nivel, como se explicó en la sección2.4. En otras palabras, un sistema resistente no puede desplazarse lateralmen-te de manera independiente de los demás, como es usual suponer en análisisante cargas verticales. El resultado es que la suma de fuerzas cortantes en losmiembros de un entrepiso (columnas, diagonales y muros) de un sistema resis-tente no es nula. Esta condición de equilibrio en ausencia de cargas lateralessólo se satisface al sumar las fuerzas cortantes en los entrepisos de todos lossistemas resistentes en cada nivel del edificio.

Estos programas presentan sus resultados, consistentes en general en des-plazamientos laterales y fuerzas y momentos en cada pieza, de manera ordenaday autoexplicatoria. Los momentos en vigas y columnas están dados normalmenteen las secciones que intersectan las caras de los elementos perpendiculares, demodo que para verificar el equilibrio de momentos de un nudo se deben tomar encuenta los peraltes de vigas; columnas o muros.

Otro asunto que merece atención es que al idealizar el edificio como un con-junto de sistemas resistentes planos, se impone solamente compatibilidad globalde desplazamientos laterales. Los desplazamientos verticales y las rotaciones decada sistema resistente son independientes de los otros, y de allí que para lascolumnas que pertenecen a dos sistemas diferentes (o sea que están en la in-tersección en planta de dos sistemas planos) se calculan dos desplazamientosverticales y, en consecuencia, dos fuerzas axiales independientes. Ocurre unaincompatibilidad similar en rotaciones por flexión de columnas que forman partede dos sistemas que intersectan en planta en ángulos que no son rectos. Estasincompatibilidades sólo pueden eliminarse totalmente si el edificio completo semodela como un marco tridimensional, empleando programas que incorporan talformulación (Wilson et al, 1975). Sin embargo, generalmente se logra mayorclaridad en el análisis considerando varios sistemas resistentes separados. Paracolumnas que pertenezcan a dos sistemas, se sugiere sumar las fuerzas axialesque resulten en cada uno de ellos.

Como hemos comentado anteriormente, Sos pisos deben ser capaces de tras-mitir las fuerzas generadas por la acción sísmica a ios elementos resistentes. Laverificación de esta capacidad es particularmente importante cuando se suponeque los pisos son diafragmas rígidos. Normalmente, los programas de análisistridimensional no producen como resultado las fuerzas en cuestión, las cuales se


pueden calcular como la diferencia de las cortantes entre dos entrepisos conse-cutivos de cada sistema resistente.

Cuando sea inapropiado suponer que los pisos son infinitamente rígidos enplanta, se tiene que recurrir a programas completamente tridimensionales de ele-mentos finitos con los que los pisos se pueden representar con elementos placa ocon marcos y/o armaduras horizontales. Los detalles rebasan el alcance de estetexto y se encuentran en publicaciones como las citadas en la sección 2.25 y enlas de MacLeod (1971, 1990).

Conceptos de dinámicaestructural

En este capítulo se presentan brevemente los conceptos básicos del análisis diná-mico de edificios, en los que se fundan los métodos dinámicos de diseño sísmicoestipulados en la mayoría de los reglamentos modernos de construcción, los cualesson materia del sexto capítulo de este texto. Los conceptos fundamentales y procedi-mientos numéricos relacionados con el análisis dinámico se describen mediante suaplicación a estructuras sencillas, para evitar que un excesivo trabajo numérico obs-curezca la presentación. Aunque gran parte de los ejemplos se resuelven manual-mente, los algoritmos o sus variantes son válidos para sistemas más complejos, unavez que se instrumentan en programas de computadoras. También presentamos aquíalgunas fórmulas para verificar los resultados más importantes de edificios máscomplejos. El lector interesado en presentaciones más detalladas de procedimientosde análisis dinámico puede consultar varios textos sobre el tema, entre ellos los deWeaver y Johnson (1987), Humar (1990), Clough y Penzien (1993) y Craig (1981).

C a p í t u l o

3

3.1 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

Desde el punto de vista dinámico, interesan los grados de libertad en los que se ge-neran fuerzas generalizadas de inercia signi-ficativas; es decir, fuerzas iguales a masa poraceleración o momento de inercia por ace-leración angular. Por ejemplo, en la figura 3.1se muestra un marco que, de acuerdo con lasección 2.2.1 y con la figura 2.2, tiene 12 gra-dos de libertad estáticos. Sin embargo, si lasfuerzas de inercia importantes son solamentelas que generan las masas m\ m2 al moverselateralmente y las deformaciones de los pisosen su plano son despreciables, tenemos unsistema de dos grados de libertad dinámicos,que son precisamente los desplazamientoslaterales 1 y 2 en la figura aludida. Es perti-nente observar que esto no implica que en los

Figura 3.1 Grados de libertadestáticos y dinámicos.

10

Conceptos de dinámica estructural

restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores dis-tintos de cero, no generan fuerzas de inercia de consideración.

Como se ha explicado en la sección 2.4,1, en edificios es generalmente acep-table suponer que los pisos son diafragmas rígidos en su plano, lo que permiteexpresar el movimiento lateral de cualquier punto del piso en términos de tresgrados de libertad: dos desplazamientos horizontales y un giro alrededor de un ejevertical. Si un marco o muro está ligado a un piso rígido, su desplazamiento late-ral en este nivel depende solamente de los valores que adquieran estos tres gra-dos de libertad, como se muestra en la figura 2.27. Por otro lado, en vista de quela mayor parte de las masas están directamente soportadas por los pisos, es tam-bién aceptable suponer que todas las masas están concentradas en los mismos, demanera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales sepueden expresar como productos de la masa en ^ada piso por sus aceleracioneslineales (en dos ejes horizontales perpendiculares) y del momento de inercia dedicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical que pasa por elcentro de masas. Esto permite efectuar el análisis dinámico de un edificio conmodelos que tienen tres grados de libertad por piso.

Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edifi-cio o sus componentes se pueden modelar como un sistema de un grado de liber-tad (desplazamiento lateral) por piso. Nótese que la hipótesis de que los pisos sondiafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales: talsería el caso del marco de la figura 3.1. Recuérdese que la matriz de rigideces deeste marco, que es de 12 X 12, se puede transformar a una matriz de rigideces la-teral de 2 X 2, expresada en función de los grados de libertad 1 y 2, mediante elproceso de condensación estática (véase la expresión 2.19). De esta manera, lasmatrices de rigideces y de masas corresponden a los mismos grados de libertad.

Figura 3.2 Sistema simple conamortiguamiento viscoso.

k/2 KE-

3.2 SISTEMAS LINEALES DE UN GRADO DE LIBERTAD

3.2.1 Descripción y ecuación de equilibrio dinámico

Consideremos el sistema de un piso mostrado en la figura 3.2, constituido poruna masa concentrada que puede tener un desplazamiento horizontal u, ligado alterreno mediante varios elementos verticales representados esquemáticamentepor dos columnas elásticas y por un amortiguador. Cuando el terreno experimen-

ta un desplazamiento horizontal s, en la ecuación de equilibrio dinámi-co aparecen la fuerza de inercia, igual a la masa por su aceleraciónabsoluta x, la fuerza de rigidez y la de amortiguamiento. En el casomás sencillo, las fuerzas de rigidez y de amortiguamiento son, respec-tivamente, proporcionales al desplazamiento u y a la velocidad ü de lamasa con respecto a su base. Sean k y c las correspondientes constan-tes de proporcionalidad que se supone que no cambian con el tiempo; kes lo mismo que la matriz de rigidez lateral, en este caso de 1 por 1, quese determina como se describe en la sección 2.2.1, y c se llama coefi-ciente o relación de amortiguamiento. El conjunto de m, c y k constituyeun sistema lineal de un grado de libertad, con amortiguamiento viscosoo lineal; usando el principio de D'Alambert, la ecuación diferencial deequilibrio dinámico o de movimiento es

mx + cú + ku = O

Sistemas lineales de un grado de libertad

Tabla 3.1. Aplicación del Método /3 de Newmark (p = 1/4) al sistema de la figura 3.2.

t

(Seg)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

1.90

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

u

Exacta

1.0000

0.9950

0.9802

0.9559

0.9223

0.8799

0.8292

0.7707

0.7052

0.6334

0.5560

0.4738

0.3878

0.2988

0.2077

0.1154

0.0229

-0.0688

-0.1590

-0.2468

-0.3312

-0.8449

-0.5722

0.1741

0.6975

Resultados numéricos

u

1.0000

0.9950

0.9802

0.9559

0.9223

0.8798

0.8291

0.7706

0.7050

0.6332

0.5557

0.4735

0.3874

0.2983

0.2072

0.1148

0.0223

-0.0695

-0.1598

-0.2475

-0.3319

-0.8453

-0.5714

0.1758

0.6984

V

0.0000

-0.0993

-0.1965

-0.2909

-0.3815

-0.4673

-0.5477

-0.6218

-0.6890

-0.7488

-0.8005

-0.8437

-0.8781

-0.9035

-0.9197

-0.9265

-0.9241

-0.9126

-0.8921

-0.8630

-0.8256

-0.1270

0.6 102

0.7505

0.2163

a

-1.0000

-0.9851

-0.9606

-0.9268

-0.8841

-0.8331

-0.7743

-0.7084

-0.6361

-0.5583

-0.4757

-0.3891

-0.2996

-0.2080

-0.1152

-0.0222

0.0701

0.1608

0.2490

0.3338

0.4145

0.8580

0.5097

-0.2508

-0.7200

AÍ*

-2.0000

-5.9603

-9.8221

-13.5481

-17.1027

-20.4522

-23.5655

-26.4140

-28.9720

-31.2171

-33.1300

-34.6951

-35.9003

-36.7373

-37.2012

-37.2914

-37.0105

-36.3650

-35.3650

-34.0239

-32.3584

-3.3881

25.7921

29.6671

7.2536

AM

-0.0050

-0.0148

-0.0244

-0.0336

-0.0424

-0.0507

-0.0585

-0.0655

-0.0719

-0.0775

-0.0822

-0.0861

-0.0891

-0.0912

-0.0923

-0.0925

-0.0918

-0.0902

-0.0878

-0.0844

-0.0803

-0.0084

0.0640

0.0736

0.0180

Av

-0.0993

-0.0973

-0.0944

-0.0905

-0.0859

-0.0804

-0.0741

-0.0672

-0.0597

-0.0517

-0.0432

-0.0344

-0.0254

-0.0162

-0.0069

0.0024

0.0115

0.0205

0.0291

0.0374

0.0452

0.0858

0.0475

-0.0286

-0.0725

Aa

0.0149

0.0245

0.0338

0.0427

0.0510

0.0588

0.0659

0.0723

0.0779

0.0826

0.0865

0.0895

0.0916

0.0928

0.0930

0.0923

0.0907

0.0882

0.0848

0.0807

0.0758

-0.0002

-0.0688

-0.0708

-0.0107

m = 1.00,

co= 1.00,

«„ = 1.00

k= 1.00,

(üa = 0.998749,

un = 0.00

í = 0.05,

í<a/taa = 1.001252,

c = 0.10

feü/a>fl = 0.050062

Ai = 0.1, i* = ¿ + 2c/A/ + 4m/A;2 = 403, según la ecuación 3.5, la solución exacta es

u = exp (-0.05 í) {0.050062 sen (0.998749r) + eos (0.9987490).


El punto sobre una cantidad significa derivación con respecto al tiempo. Con-siderando que x = s + u, la ecuación anterior se escribe

mx + cu + k u = - mis (3.1)

Dividiendo esta ecuación entre m y definiendo w = V/c/m, ccr = 2\/km y£ = clccr se llega a:

ü + 2£u>ú + <a1u = —s (3.2)

(o se denomina frecuencia circular natural del sistema; ccr se conoce comoamortiguamiento crítico y £es Infracción de amortiguamiento crítico, que usual-mente se expresa como porcentaje. De las definiciones de a> y ccr deducimos queccr = 2 m (a, lo cual muestra que el amortiguamiento crítico está relacionado conla frecuencia fundamental de vibración.

3.2.2 Vibraciones libres

El sistema descrito en la sección precedente vibra libremente cuando la masa semueve, pero el terreno permanece inmóvil y no actúan fuerzas exteriores. En estecaso el segundo miembro de la ecuación 3.2 se anula y su solución es:

u(f) = A e-&' eos <úa (t - y) (3.3)

donde

taa = oA/l-£2 (3.4)

ü)a es la frecuencia natural amortiguada del sistema y A y y son constantes quedependen de las condiciones iniciales, es decir, del desplazamiento y la velo-cidad cuando í = 0.

La ecuación 3.3 da u (í) = A eos &>(í - y) cuando no existe amortiguamiento(£ = 0), y se dice que la masa tiene un movimiento armónico. El tiempo T, quedura un ciclo de oscilación completo, se llama periodo de vibración natural delsistema y es igual a 2 77/0». Por otro lado, si el amortiguamiento es igual al crítico(£ = 1) encontramos que o>a = O y, por tanto, u(i) = A e-f"" , indicando que lamasa se mueve sin oscilar y vuelve a su posición de equilibrio estático, u = O,luego de un tiempo infinito.

En el análisis de edificios es de mayor interés el caso de amortiguamientosmenores que el crítico, para el cual, si el desplazamiento y la velocidad de la masaen el instante t = O valen, respectivamente u0 y ¿0, obtenemos:

u(t) = Ae-e*" {(Ú0 + & u0) (sen o)a t) / (oa + u0 eos a)a t } (3.5)

Esta ecuación describe un movimiento oscilante de la masa con frecuencia caa ycon amplitud exponencialmente decreciente como se ilustra en la figura 3.3. El pe-riodo amortiguado, Ta = 2Tr/a)a, es el tiempo que tarda un ciclo completo deoscilación, y es una propiedad de la estructura, independiente de como se la excite.

Normalmente, el amortiguamiento de estructuras de edificios no excede 10por ciento del crítico, o sea que típicamente £es menor que 0.1. Aun para este lí-


103

Figura 3.3 Vibraciones libresdel sistema de la figura 3.2.

mite relativamente alto, la ecuación 3.3 da u>a = 0.995 o>; de aquí se colige queen casos prácticos la influencia del amortiguamiento en la frecuencia de vibraciónes pequeña, siendo su efecto más importante disminuir la amplitud de dichavibración conforme avanza el tiempo, según lo expresa el término exponencial dela ecuación 3.5 y se ilustra en la figura 3.3.

3.2.3 Respuesta a movimientos del terreno

El segundo término s, de la ecuación 3.2 describe cómo varía la aceleración delterreno con el tiempo y se conoce como acelerograma. En textos de dinámica es-tructural se muestra que, cuando tal término no es nulo, la solución de la ecuaciónaludida es:

u(t) - llo)a \s(t) exp{- & (t - r)}sen u>a (t - T) dr (3.6)

Esta expresión hace ver que, como en el caso de vibraciones libres, las dospropiedades de un sistema de un grado de libertad que determinan su respuestaante un movimiento prescrito del terreno son su frecuencia natural y su fracciónde amortiguamiento crítico. La velocidad y la aceleración de la masa se calcu-lan derivando sucesivamente u(f) con respecto al tiempo, y otras respuestas deinterés, como la fuerza en el resorte, se pueden obtener en términos del despla-zamiento y sus derivadas. Para fines de diseño, interesan normalmente sólo losvalores máximos absolutos de tales respuestas.

3.2.4 Análisis paso a paso, método /3 de Newmark

Un acelerograma real no es una función algebraica del tiempo, sino una serie devalores numéricos de la aceleración para diferentes instantes; usualmente a in-

Conceptos de dinámica estructura!

Figura 3.4 Aceleraciones, ve-locidades y desplazamientosdel registro de !a Secretaría deComunicaciones y Transportesdel temblor deí 19 de septiem-bre de 1985.

íervalos constantes de tiempo Ai, que varían entre 0.005 y 0.02 segundos. Paraduraciones normales de temblores, entre 20 y 60 segundos, se tienen unos pocosmillares de valores de la aceleración. La figura 3.4 muestra el acelerograma re-gistrado en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes de la Ciudad de Méxi-co, durante el temblor del 19 de septiembre de 1985, incluyendo las historias develocidad y desplazamiento que se obtuvieron integrando sucesivamente dichoacelerograma. Los valores máximos de aceleración, velocidad y desplazamientode terreno son 168 cm/seg2, 60.5 cm/seg y 22 cm, respectivamente.

Dada la manera en que se expresan los acelerogramas, en vez de calcular alge-braicamente la integral 3.6, es conveniente resolver numéricamente las ecuaciones

140 160

20 40 60 80 100 120 140 160

40 60 80Tiempo (seg)

100 120 140 160


de equilibrio dinámico con la ayuda de computadoras. Para este fin existe unaamplia variedad de métodos consistentes en calcular la solución para t + Ai a par-tir de la solución ya conocida en t. Estos métodos, denominados paso a paso,pueden aplicarse tanto a estructuras lineales y no lineales de cualquier número degrados de libertad, y están incorporados en una gran cantidad de los programascomerciales de análisis estructural. En esta sección presentamos uno de los méto-dos más populares, originalmente propuesto por Newmark (1962); aunque noslimitamos a sistemas de un grado de libertad, ve-remos posteriormente que los con-ceptos expuestos se aplican al análisis paso a paso de estructuras más complejas.

Considérese el sistema de la figura 3.2, cuya ecuación de movimiento es 3.1,que escribiremos ahora como

ma + cv+ku= -m s (3.7)

donde a, vy u son la aceleración, velocidad y desplazamiento, respectivamente, dela masa m. Supondremos que estas tres cantidades se conocen en el instante t y usa-remos el subíndice 1 para denotar sus valores en t + Ai. Se debe también cumplir:

ma{ + cv} + kul = —ras?, (3.8)

Definiendo Aa = a{ - a, Av = v¡ - vy A« = M, - u; y restando las dos últi-mas ecuaciones se deduce que:

m Aa + c Av + k Aw = -m (s, - s) (3.9)

Newmark propuso emplear las siguientes ecuaciones para calcular v, y u,:

u, = v + 1/2 (a + pa}) Ai (3.10)«, = u + vAí + [(i/2 -/3) a + j&z,] (Ai)2 (3.11)

Usando conceptos básicos de cinemática se puede deducir cómo varía la ace-leración con el tiempo en el lapso A/. Por ejemplo, /3 = ]/4 corresponde aaceleración constante en dicho lapso, igual al promedio de a y a¡, mientras queuna variación lineal de aceleraciones entre a y a{ conduce a /3 = >/6.

Tenemos ahora que resolver el sistema de tres ecuaciones simultáneas 3.9,3.10 y 3.11 con tres incógnitas: a¡, v{ y M, o, de manera equivalente, Aa, Avy AM.En lo que sigue se considera /3 = >/4, aunque el procedimiento es similar paracualquier otro valor de /3. La ecuación 3.1 1 se convierte en:

M, = u + v Ai + V4 (a + a,) (Ai)2 (3.12)o AM = M I - M = vAí + '/4 (a + a^ (A02 (3.13)

de 3.10 obtenemos:

Aw = u, - v = ¡/2 (a + a,) Ai (3.14)

Despejando (a + a,) Ai de esta ecuación y substituyendo en 3.13 se llega a:

Au = 2 (Aw/Aí - v) (3.15)

de 3. 1 3 también deducimos que

4 (AM - v Aí)/Aí2 = a + al=al-a + 2aAa = a{-a = 4 (Ai/ - T; Aí)/Aí2 - 2 a (3.16)

Conceptos de dinámica estructura!

Empleando las ecuaciones 3.15 y 3.16 para substituir Av y Aa en 3.9, Awqueda como la única incógnita que se despeja con el resultado siguiente:

Aw = As*/¿* (3.17)

donde

k* = k + 2 c/Aí + 4 TO/Aí2 (3.18)

AÍ* = - m (s, - s) + [4 m/Ar + 2c] v + 2 ma (3.19)

Cuando el intervalo de tiempo es constante, el método se aplica como sigue:

a) calcúlese k*, que se mantiene constante (ecuación 3.18)b) para cada paso:

b.\e As* y AM (ecuaciones 3.19 y 3.17)b.2 determínense A v y Aa (ecuaciones 3.15 y 3.16)b.3 calcúlense la aceleración, velocidad y desplazamiento para f¡ = í + Ai:

Q] = a + Aa

w¡ = v + Aw

MJ = « + Aw

c) Se prosigue al paso siguiente con a — al,v=vlyu = ul.

Para comenzar, se toma en cuenta que, usualmente, antes del temblor la masaestá en reposo, es decir que cuando t = O tenemos v = u = 0. Como 3.7 se debesatisfacer en todo momento, en el primer paso el equilibrio dinámico requiere quea — - S(0), con lo que se conocen los valores iniciales de las tres incógnitas.

Para ilustrar el método y apreciar su precisión, consideremos el sistema de lafigura 3.2 vibrando libremente luego de un desplazamiento inicial unitario, convelocidad inicial nula; supongamos que m y k también asumen valores unitariosy que el amortiguamiento es 5 por ciento de crítico. La aplicación del método deNewmark se presenta en la tabla 3.1, para los seis primeros segundos con unintervalo Af = 0.1 segundos. Se presentan los resultados parciales obtenidos enlos pasos b.\ b.3. En este caso, por tratarse de vibraciones libres, s - O en to-dos los pasos, y en el paso inicia! u = 1, v = O y de la ecuación 3.7 se deduce quea = - u = - 1 .0. Se han incluido en la tabla citada los desplazamientos calcu-lados con la solución analítica dada por la ecuación 3.5, y se observa concordan-cia de tres cifras significativas con los valores numéricos. Se puede lograr mayorprecisión con intervalos menores de integración, aunque es normalmente sufi-ciente usar el intervalo en el que se da el acelerograma o uno tal que Af/T < 0. 1 ,donde T es e! periodo fundamental de sistema.

Muchos programas de computadora emplean el método de Newmark confj = 'A, debido a su sencillez y precisión, a que se aplica fácilmente a estructurasde múltiples grados de libertad, y a que su autor demostró que con esta elecciónel método es incondicionalmente estable, es decir que no lleva a resultados espú-reamente altos como consecuencia de las aproximaciones numéricas, indepen-dientemente del valor de Ai.


3.2.5 Espectro de respuesta elástico

En secciones precedentes se han presentado métodos analíticos y numéricos paracalcular la respuesta de un sistema de un grado de libertad a un movimiento de labase, descrito mediante su acelerograma s(t). Recuérdese que las propiedades delsistema que determinan tal respuesta son el periodo (o la frecuencia) de vibración,T, y la fracción de amortiguamiento crítico £ Para entender mejor el efecto de unacelerograma en diferentes estructuras conviene mantener fija la fracción deamortiguamiento crítico e ir calculando alguna respuesta máxima, usualmente laaceleración, para distintos valores T; los resultados se grafican con T comoabscisa y se obtiene así el espectro de respuesta del acelerograma.

Es frecuente obtener primero el espectro de desplazamientos relativos D = máx(w),y en lugar de las velocidades y desplazamientos, y dibujar las cantidades V = «D yA = a^D, que se denominan espectros de seudovelocidades y de seudoaceleraciones,respectivamente. Nótese que la fuerza máxima que debe resistir el elemento elásti-co como consecuencia del temblor en cuestión es:

F=kD = (klm) mD = m w2 D = mA.

Entonces, conocida la seudoaceleración espectral, F se calcula multiplicán-dola por la masa m. Ya que m = W/g, donde W es el peso y g la aceleración de lagravedad, Fes también igual a W(A/g), por lo cual se acostumbra expresar la seu-doaceleración como fracción de g. Aquí definiremos Sa = A/g, y así tenemosF = W Sa, es decir que Sa es el cociente de la fuerza sísmica máxima entre elpeso.

La figura 3.5 presenta los espectros de seudoaceleraciones (Sa) del acelero-grama registrado en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes durante eltemblor del 19 de septiembre de 1985, correspondientes a amortiguamientos de2, 5 y 10 por ciento del crítico. Se nota que a mayor amortiguamiento menorrespuesta, para cualquier periodo, y que para un amortiguamiento dado, existen

2 3Periodo (seg)

Figura 3,5 Espectros de pseu-doaceleraciones del registro dela Secretaría de Comunicacio-nes y Transportes de! temblordei 19 de septiembre de 1985.


108periodos (alrededor de dos segundos en este caso) para los que larespuesta es sensiblemente mayor que para los demás. Una ca-racterística adicional de estos espectros es que cuando 7=0 ,Sa es igual a la aceleración máxima del terreno, es decir al valormáximo de s(t).

3.3 SISTEMAS LINEALES DE VARIOSGRADOS DE LIBERTAD SIN TORSIÓN

En edificios es usualmente aceptable suponer que las masas estánconcentradas en los niveles de los pisos y que las fuerzas de iner-cia importantes son sólo las laterales; por ello lo que sigue selimita a tratar este caso, aunque varios conceptos son aplicablesa otros sistemas estructurales con masas concentradas cuyos apo-yos tengan todos el mismo movimiento.

3.3.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico

Figura 3.6 Sistema de tres gra-dos de libertad dinámicos.

Consideremos el sistema de tres grados de libertad mostrado en la figura 3.6,cuyos apoyos tienen un movimiento s(t) y cuyas masas m{, m^ y m3 tienendesplazamientos M,, w2 y M3, respectivamente. Las fuerzas de inercia en este casoson m\(ü\ í), m2(w2 + *) Y wz3(w3 + s). Las fuerzas en los elementos elásticos secalculan como el producto de la matriz de rigidez lateral K por los desplaza-mientos laterales, es decir

F =Ku

donde, para el caso de la figura 3.6

donde k¡j = kj¡

kn k12 k,3

k21 k22 k23

k31 k32 k33

u =

De análoga manera las fuerzas de amortiguamiento viscoso se pueden expresarcomo el producto de una matriz de amortiguamiento por las velocidades, o sea como

F = C «

donde el punto denota derivación con respecto al tiempo. Veremos más adelanteque en general no es necesario calcular C y que el efecto del amortiguamiento setoma en cuenta en los espectros de diseño.

Sistemas lineales de varios grados de libertad sin torsión

Para cada masa la suma de todas las fuerzas debe ser cero. Así se llega a quelas ecuaciones de equilibrio dinámico son:

Mü + Cú + Ku = - M 1 i (3.20)

M se denomina matriz de masas y, para la estructura de la figura 3.6, es igual a:

m, O OO m2 OO O m

En la expresión 3.20 hemos definido también:

¿•= 1 s =

3.3.2 Vibraciones libres no amortiguadas

En lugar de resolver la ecuación 3.20, conviene considerar primero el caso mássimple en el que no existen amortiguadores (sus efectos se incluyen después enforma aproximada) y no existe movimiento del terreno, con lo cual dicha ecua-ción se convierte en

M ü + K u = 0 (3.21)

Ahora bien, toda estructura elástica puede vibrar libremente en forma tal queel desplazamiento de cada una de sus masas con respecto a su posición de equi-librio estático es igual al producto de una función de la posición de la masa con-siderada por una función del tiempo, que es la misma para todas las masas. Enotras palabras, los desplazamientos se pueden expresar como

u

donde para el caso de la figura 3.6

(t) = Z q(t) (3.22)

u =

Se dice que una estructura de esta manera vibra en sus modos naturales; elconjunto de valores Zj (que son constantes independientes de í) se denominaforma del modo y el periodo de la función del tiempo q(f), en caso de existir, sellama período natural.

Derivando la ecuación 3.22 se obtiene ü(í) = Z q (t) y sustituyendo en 3.21llegamos a:

MZ q+KZq=0 (3.23)

por sencillez se han omitido los (í). Para la masa / el desarrollo de la última ex-presión da

¡ z¡ q (3.24)


de donde

E! primer miembro de esta ecuación es función de t, mientras que el segundono, por tanto ambos deben ser constantes para que la igualdad subsista. Si lla-mamos — o>2 a este valor constante, obtenemos:

q + üf- q — O

cuya solución es

q = a sen a> (t - T) (3.25)

De acuerdo con lo anterior existen modos de vibración que satisfacen lascondiciones de la expresión 3.22. Estos son tales que el movimiento de cada masaes armónico simple con periodo natural T = lirlur, CD se llama frecuencia natu-ral circular. Derivando dos veces la ecuación 3.25 se tiene

q = — w2 a sen u> (t — f) = — uP- q

Sustituyendo en 3.16 y considerando que q ± O, queda

(K - «2 M) Z = O (3.26)

que es un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Para que existan valoresde Z distintos de cero es necesario que el determinante del sistema se anule,esto es, que

| K - o)2 M | = O (3.27)

3.3.3 Frecuencias y modos de vibración

Matemáticamente, la expresión 3.27 constituye un problema de valores carac-terísticos. Desarrollando el determinante se obtiene una ecuación algebraica degrado n cuya incógnita es o>2, siendo n el número de grados de libertad (tres en elcaso de la figura 3.6) cuya solución conduce a n valores de w2, es decir a n fre-cuencias naturales de vibración o>, que corresponden a otros tantos periodosnaturales l-nlta. Para estructuras estables los valores de «2 son reales y posi-tivos, y sus raíces cuadradas son las frecuencias naturales. Se acostumbranumerar a las w en orden creciente; así la primera frecuencia (ú\-cia fundamental) tiene el menor valor, y la última, wn, el mayor. Remplazandocada valor de la frecuencia Wj en 3.26 podemos obtener vectores Z; diferentesde cero; cada uno de ellos se llama modo de vibración. No resultan soluciones úni-cas para cada modo sino solamente valores relativos entre las z¡j, es decir que noestán definidas las amplitudes de las vibraciones, sino las relaciones entre todasellas. Se demuestra que los modos de vibración tienen las siguientes propiedades:

Sistemas lineales de varios grados de libertad sin torsión

a) Ortogonalidad con respecto a la matriz de masas,

111

Z M Z . = (3.28)

b) Ortogonalidad con respecto a la matriz de rigideces

Z/KZ r = (3.29)

c) Los modos naturales constituyen un conjunto completo, lo que significaque cualquier configuración de desplazamientos u puede expresarse cornouna combinación lineal de las Zy, es decir:

Los productos m* = Z/ M Zy y kf = Zf K Zj son canti-dades escalares que se denominan masa y rigidez generalizadasdel modo j, respectivamente. Sus valores dependen de la esca-la de cada modo, aunque el cociente del segundo sobre el prime-ro se mantiene constante y es igual al cuadrado de la frecuencia delmodo en cuestión.

3.3.4 Ejemplo

Consideremos la estructura mostrada en la figura 3.7 (Rascón,1982). Las matrices de masas y rigideces son:

Mm¡00

0

0m2

0

?

00

m3_

-*2 0 "/:2 + £3 — ¿3

Ti- L-KT, «.3

(3.30)

k3 = 80

2 = 400

*2 = 200

kt = 200

&; = rigidez del entrepisoi, en ton/cm

w¡ - Peso de! piso/, en ton

K =n _ í-_ K

Figura 3.7 Sistema tratado enr,1 , „, , , j, e! ejemplo de la sección 3.3.5.El valor de cada masa es igual a W¡/g (g es la aceleración de la gravedad),

entonces:

m, = m2 = 400/981 = 0.407750 t-seg2/cm.m3 = 200/981 = 0.203875 t-seg2/cm.

Remplazando los valores de k¡, dados en la figura 3.7, obtenemos:

K = 805.0 -2.5 0.0

- 2.5 3.5 - 1.00.0 - 1.0 1.0

y la ecuación 3.27, | K — a»2 M | = O, se escribe:

5.0 - 0.407750 A-2.5

0.0

-2.53.5 - 0.407750 A

- 1.0

0.0- 1.0

.0 - 0.203875 A= 0


112

donde A = w2/80. El desarrollo de este determinante conduce a la siguiente

ecuación cúbica:

A3 - 25.751 A2 + 157.885 A -184.386 = O

cuyas soluciones son: A, = 1.525, A2 = 7.030, y A3 =17.190. Como o>2 = 80 A,

recordando que el periodo es T = 2Trlu>, se obtienen los siguientes resultados:

w,2 = 122.0,

w22 = 562.4,

«32 = 1375.2,

Wj = 11.05 seg~ ' ' ,

o>2 = 23.71 seg-',

o>3 = 37.08 seg-',

TI = 0.5686 seg

T2 = 0.2650 seg

T3 = 0.1694 seg

Para calcular los modos de vibración, se remplazan los valores de uí2- en la

expresión 3.26. Procediendo así con a>]2, se llega al siguiente sistema homogéneo

de ecuaciones:

Figura 3.8 Modos de vibrar dela estructura de la figura 3.7.

0.321

77

2.541 —1.969

) V^1.751

1.0

177 rr.

/

\^- 0.853 í

1 t1.0

777- »

ih 0.803

,l . O j

/7T

TI = 0.5686 seg T2 = 0.2650 seg T3 = 1694 seg

(400-122X0.407750) -200 0.0 ZH O-200 (280-122X0.407750) -80 N Z21 f = | O

0.0 -80 (80-122X0.203875)1 I Z31 I l o !

En z¡j el índice i se refiere al nivel mientras que j identifica el modo. Podemos

escoger arbitrariamente alguna z¡¡, por ejemplo zn = 1; entonces, de la primera

ecuación se calcula z21 = 1.751 y de la segunda o tercera ecuación encontramos

Z31 = 2.541; por tanto:

Z, =

Análogamente, empleando los valores de o>22 y de <w32, respectivamente, se

obtienen:

Cálculo numérico de modos y frecuencias de vibrar

Z, = 1

i.ooo]0.853 \9 J

1.000-0.804

0.321

Las formas de estos tres modos de vibrar se aprecian en la figura 3.8.Recuérdese que cada uno de ellos puede multiplicarse por cualquier constantearbitraria. Podemos verificar la solución constatando la ortogonalidad de losmodos con respecto a las matrices de masas y de rigideces. Por ejemplo, con elprimer y tercer modos se tiene:

Z / M = { 1.00 1.751 2.541 }0.4077500

00.407750

00

0.203875

(0.40775 0.71397 0.51805}

Z/MZ3 = 0.40775 X 1.0-0.71397X0.804 + 0.51805 X 0.321 = 0.00001 « 0.

Análogamente, con la matriz de rigideces tenemos

113

= { 1.00 1.751 2.541 }

400 - 200 O- 200 280 - 80

0 - 8 0 8 0

{49.8 87.0 63.2}

ZtTKZ3 = 49.8 X 1.0 - 87.0X0.804 + 63.2 X 0.321 = 0.139 = 0.

Los resultados no son exactamente cero por errores de redondeo.

3.4 CALCULO NUMÉRICO DE MODOSY FRECUENCIAS DE VIBRAR

El procedimiento seguido en la sección precedente para obtener modos y perio-dos de vibrar es laborioso e impráctico en sistemas de más grados de libertad. Porello se han desarrollado métodos numéricos de aproximaciones sucesivas, tres delos cuales se presentan a continuación. Los dos primeros son apropiados paraemplearse con una calculadora de escritorio o una hoja electrónica de trabajo, yel tercero es un método matricial, adecuado para programas para computadora.

3.4.1 Método de Newmark

Este método, propuesto por su autor en 1943, está basado en el proceso de itera-ción de Síodola-Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962). En la forma en que a con-


114Tabla 3.2 Método de Newmark.

Renglón

123456

12

3456

123456

(ton/cm)

M

¡ ton-seg2

\

XF/ai2

Wío2

AX/fe)2

X/&J2

o¿

XF/oi2V/w2

AX/ío2

X/&J2

0)2

XF/oPV/oP

AX/o)2

X/ío2

^

200

-A/Vi

1.8360.00918

1.6640.00837

1.6420.00821

—O—0.408

1.000.408

0.00918109

1.0000.408

0.00837119

1.0000.408

0.00821121.8

1.000

200

-vAAq

1.4280.00714

1.2580.00629

1.2340.00617

-o —0.408

2.0000.816

0.01632123

1.7800.726

0.01466121

1.7500.714

0.01438121.7

1.752

200

^AA/i

0.6120.00765

0.5320.00665

0.5200.0065

-o0.204

3.0000.612

0.02397125

2.6100.532

0.2131122

2.5500.520

0.02088122.1

2.543

(F/to2) (X/to2) __ 0.024475')2 " 0.000201

= 121.0seg-2

T = Iirlia = 0.5686 seg.

tinuación se describe, el método es aplicable al cálculo del modo fundamental devibración de las estructuras llamadas sencilla o cercanamente acopladas. En estasestructuras la masa de los pisos intermedios está ligada sólo a la de los pisos supe-rior e inferior mediante resortes que representan las rigideces de entrepiso corres-pondientes (la figura 3.7 muestra una estructura de este tipo). En su forma másgeneral el método se puede aplicar a cualquier estructura lineal con acoplamien-to entre las diferentes masas (Newmark y Rosenblueth, 1971).

Los pasos en que consiste el método se han aplicado en la tabla 3.2 a la es-tructura de la figura 3.7 y son los siguientes:

a) Supóngase una forma X para el modo. Esta es la que aparece en el ren-glón 1 de la tabla. Para comenzar, es usualmente apropiado suponer va-lores iguales al número de orden del piso (de abajo hacia arriba).


b) Obténgase la fuerza de inercia en cada masa correspondiente a la confi-guración supuesta. Estas fuerzas serían M X <w2; como se desconoce &>2,se calculan los productos M X = F/w2, que forman el segundo renglónde la tabla.

c) A partir de las fuerzas de inercia calcúlense las fuerzas cortantes en losentrepisos, también divididas entre <w2; esto es, se calcula V/o>2, como seanota en el tercer renglón de la tabla.

d) Dividiendo las fuerzas cortantes entre las rigideces de entrepiso, obtén-ganse las deformaciones de entrepiso también divididas entre w2. Esto sepresenta en el renglón cuarto de la tabla como AY/o>2.

e) Acumulando deformaciones de entrepiso determínese una nueva confi-guración de los desplazamientos de las masas Y/w2 (quinto renglón dela tabla).

/) Obténgase af- para cada masa, como los cocientes X^Y^/co2); así se llega alsexto renglón de la tabla. Si la configuración X supuesta es la correcta, resul-tará el mismo valor para todas las masas; en caso contrario, es necesariorepetir todos los pasos empezando con una forma de modo proporcional aY/w2 hasta que se obtengan valores de w2 suficientemente parecidos en todaslas masas. Así se obtiene una convergencia en general bastante rápida.

La tabla 3.2 incluye tres iteraciones, que llevaron a una aproximación sufi-ciente. Los valores de X en cada iteración se normalizaron de manera que la masadel primer piso tuviese un desplazamiento unitario, lo cual permite apreciar cómose va modificando de una iteración a otra la forma del modo. Para calcular lafrecuencia se pueden promediar los valores del último ciclo o, mejor aún, deter-minarla con el cociente de Schwartz (que es una forma del cociente de Ray-leigh), como sigue:

2,

Se emplean los valores de F¡ y Y¡ del último ciclo. En el ejemplo estudiado,ambos criterios conducen a o>2 = 121.9 seg~2 y la forma del modo es (1.000,1.752, 2.543). Estos resultados difieren de los obtenidos en la sección 3.3.5 sóloen la cuarta cifra significativa.

3.4.2 Método de Holzer

Para calcular modos superiores al primero, podemos emplear el procedimientodebido a Holzer (Crandall y Strang, 1957). Este método es solamente aplicable aestructuras sencillamente acopladas (véase la introducción al método de New-mark, en la sección precedente). Los pasos a dar son:

a) Supóngase arbitrariamente un valor de w2 mayor que el del modo funda-mental, previamente obtenido por cualquier método.

b) Supóngase la amplitud del movimiento X, de la primera masa a partir delapoyo. Conviene suponer un valor unitario. Esta amplitud supuesta estambién igual al desplazamiento AX, del primer entrepiso.

c) Calcúlense la fuerza cortante en el primer resorte, V{ = A", AXb dondeK{ es la rigidez de entrepiso, y la fuerza de inercia en la primera masa,F, = M, úPXi.


116d) Por equilibrio determínese la fuerza cortante en el segundo resorte

F 2 = V , - / ve) Obténgase la deformación de este último, AX2 = F2 / K2.f) Calcúlese la amplitud del desplazamiento de la segunda masa, X2 = X{ +

AX2, y la fuerza de inercia en la misma, F2 = M2 (o2 X2.g) Repítanse los pasos (d) a (f) con el tercer resorte y la tercera masa.h) Continúese el proceso hasta llegar a la última masa. Si se satisface el equi-

librio entre la fuerza cortante del último resorte y la fuerza de inercia dela masa aludida, la frecuencia escogida y las amplitudes calculadas corres-ponden a un modo natural de vibración. Por lo general, tales fuerzas noson iguales y su diferencia constituye un residuo.

Representando en una gráfica los residuos contra los distintos valores de co2

supuestos, se obtendrá una curva cuyos ceros corresponden a las frecuencias na-

Tabla 3.3 Método de Holzer.

a¿Supuesta

500

600

560

563

K(ton/cm)

M

(-,

ton-seg¿

cm

XAXVF

XAX

VF

XAXVF

XAXVF

200

. A A ^^/ VV^

1.000200.0

1.000200.0

1.000200.0

1.000200.0

^^r~

0.408

1.0000

204.0

1.000

245.0

1.000

228.5

1.000

229.7

200

, A A , ^^v/Vv^

- 0.020-4.00

- 0.220- 45.00

-0.140- 28.50

-0.149- 29.70

\^^

0.408

0.98

200.0

0.780

-

191.0

- 0.860

195.5

0.851

195.5

80

^ A A r _/~\ —V V V

- 2.550- 204.0

- 2.950- 236.0

-2.810-225

-2.815- 225.2

W

0.204

-1.570

-160

-2.170

- 266.0

-1.950

-223

-1.964

- 225.6

o

1á!

-44

30

-2.0

0.4

(500 X 30 + 600 X 44)/74 = 560 (interpolación lineal)

200 X 1 + 28.5 X 0.140+ 225.0X2.810: 560 x = 563.0 (ec. 3.31)

228.5 X i + ¡95.5 X 0.860 + 223.0 X 1.950

= 563200 x i + 29.7 X 0.149 + 225.2 X 2.815

229.7 X i + 195.5 X 0.851 +225.6 X 1.964= 562.5 (ec. 3.31)


—300

117

Figura 3.9 Método de Holzer.

turales. Un cambio de signo en los residuos correspondientes a dos valores de o>2

indica que hay una frecuencia comprendida en ese intervalo de valores y po-demos interpolar, por ejemplo linealmente, para lograr una mejor aproximación ala frecuencia buscada.

Cuando se está probando un valor de X suficientemente próximo al corres-pondiente a un modo de vibrar (cuando el residuo es pequeño), se encuentra queuna aproximación más precisa de dicha frecuencia es (Crandall y Strang, 1957).

= «2 (3.31)

La tabla 3.3 resume los cálculos hechos para el segundo modo del edificio dela figura 3.7. Las operaciones se han hecho con mayor precisión en el últimociclo, y los resultados finales, co22 = 562.5/seg2, y forma modal (1.000, 0.851,-1.964), difieren de los de la sección 3.3.4 sólo en la cuarta cifra significativa.

La gráfica de los residuos versus oí2 se muestra en la figura 3.9, la cualincluye también puntos correspondientes a la frecuencia del tercer modo devibrar. El valor calculado para w32 es 1372/seg2 que difiere del de la sección 3.3.4en menos de 0.3 por ciento.

3.4.3 Método de iteración inversa

Este procedimiento es apropiado para resolver problemas de valores característi-cos mediante operaciones matriciales. Se parte de que la ecuación 3.26 puedeescribirse:

K Z M Z (3.32)


Los pasos a seguir son:

a) Supóngase un valor arbitrario X del vector Z, que es lo mismo que supo-ner un valor arbitrario de w2 Z.

tí) Calcúlese el vector X' = M X.c) Calcúlese el vector Y resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente (que

proviene de la expresión 3.32)

K Y = X' (3.33)

d) Si el vector Y es igual al vector X multiplicado por una constante, te-nemos una forma modal y la constante es igual a Huí1. En la prácticase busca que Y sea aproximadamente igual a una constante por X y secalcula cu2 con la relación siguiente (que es una manera de escribir elcociente de Rayleigh)

Y^MY(3.34)

Si Y no es suficientemente parecida a X, se empieza otra vez en el pasod) con un vector X que sea proporcional a Y. Se demuestra, por ejemplo enBathe y Wilson (1976), que así el proceso converge rápidamente al primermodo.

El método sirve también para determinar modos superiores de vibración si esque los pasos anteriores se aplican empleando en vez de K la matriz K' con uncorrimiento de origen, es decir

K' = K - fí M

En este caso los valores de Y convergen a la forma del modo cuyo valor dea>2 sea más cercano a /x. y el cociente de Rayleigh (ecuación 3.34) proporciona elvalor de (w2 - /¿), así que para calcular a>2 se debe usar la expresión:

Y^MY(3.35)

como ejemplo, hemos aplicado este método otra vez a la estructura de la figura3.7, recordando que, en unidades de t, m y seg, las matrices de masas y de rigide-ces son

O0.40775

O

OO

0.20388

K400 -200 O-200 280 -80

O -80 80


Tabla 3.4 Método de interación inversa (primer modo).

Grado delibertad

X

X'

Y

X

X

Y

X

X'

Y

X

7

1.00000

0.40775

0.00917

1.00000

0.40775

0.00832

1.00000

0.40775

0.00822

1.00000

2

2.00000

0.81550

0.01631

1.77778

0.72489

0.01461

1.75510

0.71564

0.01440

1.75201

3

3.00000

0.61164

0.02396

2.61113

0.53236

0.02127

2.55444

0.52080

0.02091

2.54388

Nota: Los valores de X, salvo para la primera iteración, son proporcionales a los de Yde la iteración anterior.

X' = MX

Y = K-' X'

0.00822 X 0.40775 + 0.01440 X 0.71564 + 0.02091 X 0.520800.008222 X 0.40775 + 0.014402 X 0.40775 + 0.020912 X 0.20388

o»2 = 122seg~2

119

Los cálculos de varias iteraciones hechas para obtener el primer modo se pre-sentan en la tabla 3.4. Para este tipo de estructura conviene, como en el métodode Newmark, suponer como valores iniciales de X cantidades proporcionales alnúmero de orden del grado de libertad (numerados de abajo hacia arriba).

En el paso c) se necesita resolver el sistema de ecuaciones siguiente:

400 -200-200 280

O -80

O-80

80

La solución es:

>>, = (x\ x'2 + *'3)/200y2 = 2>>, - x',/200y3 = y2+ *'3/80

En la tabla 3.5 se muestran los cálculos para el segundo modo. Para esto seadopta en la expresión 3.35 /z = 490.5, entonces la convergencia será al valor dea>2 más cercano a dicha m. En modos superiores al primero, y aun en éste, con-viene suponer que los valores iniciales de x¡ son todos iguales a la unidad, a me-


Tabla 3.5 Método de interación inversa (segundo modo).

Grado delibertad

X

X'

Y

X

X'

Y

X

X'

Y

X

X'

Y

X

X'

Y

X

1

1.00000

0.40775

0.00204

1.00000

0.40775

0.02447

1.00000

0.40775

0.01240

1.00000

0.40775

0.01410

1.00000

0.40775

0.01376

1.00000

2

1.00000

0.40775

-0.00000

-0.00005

-0.00002

0.02243

0.91667

0.37377

0.01036

0.83562

0.34072

0.01207

0.85545

0.34881

0.01172

0.85182

3

1.00000

0.20388

-0.01019

-5.00017

-1.01944

-0.03874

-1.58332

-0.32281

-0.02531

-2.04109

-0.41614

-0.02745

-1.94653

-0.39686

-0.02704

-1.96508

Nota: Los valores de X, salvo para la primera iteración, son proporcionales a losde Y de la iteración anterior.

X' = M X ; Y = [KT1 X'

p = Y rX'/Y rMY ; <o2 = tj. + p

= 0.01376 X 0.40775 + 0.01172 X 0.34881 - 0.02704 X 0.39686P 0.013762 X 0.40775 + 0.011722 X 0.40775 + 0.027042 X 0.20388

p = 72.4 seg-2 ; w2 = 490.5 + 72.4 = 562.9 seg~2.

nos que se tenga una mejor aproximación a la forma modal buscada. La matrizK' resulta entonces:

K' = K -200 -200

-200 80O -80

O-80-20

Esta vez, en el paso c) se tiene que resolver el sistema

200 -200 O-200 80 -80

O -80 -20

Haciéndolo se obtiene:

yl = (2x\ x'2 - 4*'3)/200y2 = y, - *',/200

Respuesta a temblores de sistemas sin torsión

Puede notarse que el método de iteración inversa da, para el primer modo, losmismos resultados que el método de Newmark. De hecho, en este ejemplo en queconsideramos un edificio de cortante, ambos procedimientos son equivalentes alde Stodola-Vianello (Rosenblueth y Esteva, 1962). Sin embargo, tal como lohemos presentado, el método de iteración inversa se puede aplicar cualesquieraque sean las matrices de masas y rigideces y no sólo a sistemas sencillamenteacoplados; además, como hemos visto, empleado con corrimientos, sirve paracalcular cualquier modo de vibrar. Por tales motivos, dicho método constituyela base de varios algoritmos, como el de iteración de subespacios y el de búsque-da del determinante, apropiados para computadoras. Bathe y Wilson (1976),Weaver y Johnston (1987), Humar (1990) y Clough y Penzien (1993) tratan conmás amplitud este método y sus variantes, y describen cómo incorporarlos enprogramas para computadoras.

3.5 RESPUESTA A TEMBLORES DE SISTEMASSIN TORSIÓN

Cuando una estructura elástica de varios grados de libertad como la que se muestraen la figura 3.6 está sujeta al movimiento prescrito de su base, es decir a un acelero-grama dado s(t), sus masas sufren desplazamientos que dependen del tiempo y dela aceleración basal y pueden calcularse resolviendo el sistema de ecuaciones dife-renciales 3.20. A partir de los desplazamientos se pueden determinar las fuerzasactuantes en los diferentes componentes de la estructura. A continuación presenta-mos los métodos de solución más comunes.

3.5.1 Análisis modal

El llamado análisis modal aprovecha las propiedades de los modos de vibra-ción descritas en la sección 3.3.3 para reducir el problema de resolver un sis-tema acoplado de n ecuaciones diferenciales al de n ecuaciones diferencialesdesacopladas. El concepto fundamental es que en un instante dado, los desplaza-mientos de las masas de un sistema de varios grados de libertad pueden expre-sarse como la suma de los desplazamientos debidos a la participación de cada unode los modos naturales, puesto que los mismos constituyen un conjunto comple-to; esto es:

u (í) = 2 K/0 Z, (3.36)

o en términos completamente matriciales:

u (í) = Z Y(í) (3.37)

En las expresiones anteriores:

u (í) = vector de desplazamientos relativos a la base de las masas en el ins-tante t.

Yj(t) — función escalar que expresa la variación con respecto al tiempo de laparticipación del modo/

Y(í) = vector columna cuyos elementos son las Y}(t).


Zy = j'-ésimo vector modal en el que el término z,^ es amplitud del desplaza-miento de la masa m¡.

Z = matriz modal cuyay'-ésima columna es el modo Z

X expresa suma sobre todos los modos de vibrar.Sustituyendo u (í) en la ecuación 3.20 obtenemos:

M Z Y (í) + CZY (í) + K Z Y (í) = - M I s(t) (3.38)

Recordemos que gracias a las propiedades de ortogonalidad de los modos setiene:

ZT M Z = M*TJ K Z = K*

donde las matrices transformadas M* y K* son diagonales. Consideramosademás que la matriz de amortiguamientos C, se diagonaliza bajo la misma trans-formación modal, o sea que Zr C Z = C*, siendo C* también diagonal. Premul-tiplicando ambos miembros de 3.38 por ZT nos queda:

M* Y (í) + C* Y (í) + K* Y(í) = - 7J M 1 s(i) (3.39)

como los teísmos fuera de la diagonal de las matrices transformadas son nulos,la fila./' del sistema de ecuaciones diferenciales 3.39 resulta:

m¡* Yj(t) + c¿* Yj(t) + k¿* Yj(t) = - Z/M 1 jf(í) (3.40)

m*, Cj* y k* se llaman masa, amortiguamiento y rigidez generalizados en elmodo j, y están dadas por:

= Z/ M Zy.

*,-* = Z/ K

(3.41)

Dividiendo 3.40 entre m* y definiendo a>j = vkj*/mj*, ccri — 2V/c~*m~* y^ = Cj*/ccrj obtenemos:

Yj(t) + 2 wfi Yj(t) + a>f Yj(t) = - [Z/ M 1/m/] S(t) (3.42)

Es de interés comparar 3.42 con la ecuación 3.2 derivada para un sistema deun grado de libertad, que repetimos a continuación:

W + 2 £ t o W + W 2 M = — S(t)

Como se trata de ecuaciones diferenciales lineales, de esta comparación sedesprende que, para el mismo acelerograma s(t), Yj(t) es igual al desplaza-miento de la masa de un sistema simple de un grado de libertad con frecuen-cia (a = túj y fracción de amortiguamiento crítico f = £y multiplicado por elsiguiente factor:


123

En términos de cantidades escalares PJ se expresa:

~rn. ZnPJ = -^r (3.44)

PJ se denomina coeficiente de participación del modo j y define la escala a laque interviene este modo en el movimiento. Supongamos que el desplazamien-to del sistema de un grado de libertad con frecuencia Wj y fracción de amor-tiguamiento crítico £y ante la excitación s(t) es </>7(í), entonces Y}{t) = ps 4>j(t).Sustituyendo en la ecuación 3.36 y limitándonos al desplazamiento de laenésima masa, inferimos:

unj(t) = Yj(t) Zn] (3.45)

ÍIB(Í) = 2 un](t) = 2 Yj(t) znj = 2 Pj <t>j(t) znj (3.46)

o también:

(3.47)

Esta última igualdad muestra que, en el instante t, el desplazamiento relati-vo de la masa n debido a la contribución del modo j se obtiene como el produc-to de la amplitud de dicha masa en el modo aludido a una escala arbitraria, porel coeficiente de participación p¡, y por una función del tiempo <t>j(t), que es lamisma que proporciona el desplazamiento relativo de la masa de un sistema deun grado de libertad de igual periodo y amortiguamiento que los del modo encuestión. La función <fy(f) puede calcularse con cualquier método analítico onumérico, como los expuestos en la sección 3.2, y tiene unidades de longitud.

3.5.2 Modos ortonormales

El que los modos puedan tener una escala arbitraria significa que podemos mul-tiplicar todos los elementos de cualquier vector modal Zy por una constante sinafectar ninguna otra de las propiedades modales. En particular, en la ecuación3.47 el valor de un(f) es independiente de la escala que se adopte para los zíy puestoque si los mismos se multiplican por un factor arbitrario a, aparecerá a2 en elnumerador y en el denominador, sin alterar el resultado final.

Es muy conveniente, sin embargo, escalar los modos de manera quetodas las masas generalizadas m;* sean iguales a la unidad. Se dice entoncesque los modos se han normalizado con respecto a la matriz de masas o queson ortonormales. Supongamos que conocemos el modo Z; en una escalacualquiera que lleva en general a my*_=_Z^M Z¿ i= 1. Para obtener el modoortonormal debemos dividir Z; por Vm7*; hecha tal operación, de 3.41 dedu-cimos que:


Z/ M Z,- = 1

Z/KZ-ea/(3.48)

Las fórmulas para el factor de participación se simplifican a:

Pj = Z/Ml = Smy2(7 (3.49)

La fuerza de inercia en la masa n vibrando en el modo j es el producto de talmasa por la aceleración correspondiente, es decir mn unj, donde, según 3.45 a 3.47,

ünj(t) = Yj(t) Znj = Pj$j(t) znj (3.50)

La cortante en la base Vj, en este modo es la suma de las fuerzas en todas lasmasas:

Vj = 2« mn Pj$j(f) Znj = PjfyW 2n mn ^n¡

Puesto que la última suma es igual al factor de participación dely-ésimo modo,se llega a:

Teniendo presente que tf>{f) tiene unidades de aceleración inferimos que pftiene unidades de masa; y por ello se llama masa efectiva del modo j. La adiciónde las masas efectivas es igual a la suma de las masas del sistema; entonces elcuadrado del coeficiente de participación del modo ortonormal j representa laparte de la masa total que genera cortante en la base en dicho modo.

3.5.3 Estructura tratada en la sección 3.3.4

En este ejemplo se determinan los factores de participación para los modos de laestructura mostrada en la figura 3.7. Hemos calculado dichos modos y sus fre-cuencias de vibrar por varios procedimientos, en la sección 3.3.4, obteniendo:

l.OOO] I 1.000] I 1.000"Z ,= 1.751 ; z 2= 0.853 ; Z,= -0.803

2.541 J [ -1.969 J [ Q321

o)!2 = 122.0rad/seg2; «22 = 562.4 rad/seg2 ; w23 = 1375.0 rad/seg2

T, = 0.569 seg ; T2 = 0.265 seg ; T3 = 0.169 seg

Recordando que ml = m2 = 0.40775 y m3 = 0.203875 (en t-seg2/cm), setiene:

m,* = Z/M Zj = 0.40775 X I2 + 0.40775 X 1.7512 + 0.203875 X 2.5412 = 2.97427

m2* = Z/M Z2 = 0.40775 X I2 + 0.40775 X 0.8532 + 0.203875 X 1.9692 = 1.49485

mi* = Z37'M Z3 = 0.40775 X I2 + 0.40775 X 0.8032 + 0.203875 X 0.3212 = 0.69233


Podemos ahora remplazar cada Z; por su correspondiente forma ortonormaldividiéndolo por la respectiva Vm;-*, arribando a los siguientes resultados:

0.5801.0151.473

0.8180.698

-1.610

1.202= 1 -0.966

0.386.

Los coeficientes de participación se calculan con la ecuación 3.49 que lleva a:

pl = 0.40775 X 0.580 + 0.40775 X 1.015 + 0.203875 X 1.473 = 0.9508

p2 = 0.40775 X 0.818 + 0.40775 X 0.698 - 0.203875 X 1.610 = 0.2896

p3 = 0.40775 X 1.202 - 0.40775 X 0.966 + 0.203875 X 0.386 = 0.1747

3.5.4 Edificio tratado en la sección 2.4.3

Consideremos el edificio de la figura 2.30. Los datos necesarios para obtener susperiodos y modos de vibrar en dos direcciones ortogonales se presentan en latabla 3.6; donde, para uso posterior, se añaden las dimensiones a y b, de lasplantas y la inercia rotacional de las masas J. Con tales datos obtenemos las si-guientes matrices de masas (en t-seg2/m) y de rigideces laterales (en t/m) paracada dirección de análisis, las tres de tamaño 5 X 5 :

M

9.1740000

012.232000

00

15.29100

000

15.2910

0000

18.349

4400-4400

000

-44008800

-440000

0-440011200

-68000

00

-680013600

-6800

000

-680013600

Tabla 3.6 Masas y rigideces de entrepiso del edificio de la figura 2.30.

Piso oentrepiso

54321

Peso(ton)

90120150150180

Masa

9.17412.23215.29115.29118.349

a(m)

13.520.020.020.020.0

b(m)

7.511.014.011.011.0

J

182.34531.09663.86663.86796.64

K*(ton/m)

44004400680068006800

Ky(ton/m)

1330020600236002360023600

g = 9.81 m/seg2.


Tabla 3.7 Periodos y modos de vibrar del edificio de la figura 2.30.

a) dirección X

Modo (j)

Periodo(segundos)

Piso (i)

5

4

3

2

1

7

0.9652

2

0.3820

3

0.2400

4

0.1900

5

0.1639

Modos ortonormales z¡j

.174848

.159373

.125121

.091028

.048268

.182805

.079602

-.083461

-.138200

-.108839

-.139606

.059973

.145211

-.023458

-.155971

-.154214

.197472

-.051189

-.086231

.090731

.041695

-.086149

.138103

-.173288

.088121

b) dirección Y

Modo (j)

Periodo(segundos)

Piso (i)

5

4

3

2

1

1

0.5116

2

0.1967

3

0.1312

4

0.1005

5

0.0855

Modos ortonormales z¡¡

.172590

.154502

.128907

.093963

.049874

.202059

.059450

-.068752

-.135164

-.112100

-.159729

.093256

.129374

-.031442

-.145512

-.104761

.177699

-.052310

-.120668

.116392

.043553

-.118622

.156788

-.150838

.068740

Kv =

13300-13300000

-1330033900

-2060000

0-2060044200

-236000

00

-2360047200

-23600

000

-2360047200

A partir de estas matrices hemos calculado, con la ayuda de un programa paracomputadora, los periodos y los modos ortonormales de vibrar que se listan en latabla 3.7. En el capítulo 7 emplearemos estos resultados para calcular los corres-pondientes factores de participación así como las masas efectivas para cadamodo.

Análisis dinámico tridimensional

3.6 ANÁLISIS DINÁMICO TRIDIMENSIONAL

El análisis de una estructura ante excitación sísmica debe tener en cuenta todoslos grados de libertad necesarios para representar completamente los posiblesmodos de deformación y las fuerzas de inercia significativas que puedan gene-rarse en tres dimensiones. Bajo la hipótesis de comportamiento elástico, existeuna variedad de programas basados en el método del elemento finito, que facili-tan el análisis dinámico de modelos tridimensionales con cualquier distribuciónde masas y rigideces. Las ecuaciones de movimiento tienen esencialmente laforma de la expresión 3.38, aunque las matrices de masas y rigideces contienenusualmente muchos más elementos y ninguna de ellas tiene que ser necesaria-mente diagonal. Siempre que las suposiciones simplificatorias para disminuir lacantidad de grados de libertad o para emplear subestructuras sean inaceptables,deben usarse estos programas con la ayuda de computadoras personales o esta-ciones de trabajo. La presentación del método del elemento finito para problemasdinámicos y su instrumentación en programas para computadora rebasan el alcan-ce de la presente publicación; por otro lado, en la literatura técnica se encuentraun número abundante de textos y artículos que los presentan con amplitud y de-talle (véase por ejemplo, Przemieniecki, 1968, Weaver y Johnston,1987 y Bathey Wilson, 1976).

No obstante, aun cuando se disponga de los recursos de computadoraapropiados para analizar un edificio mediante un modelo completamentetridimensional de elementos finitos, no debe perderse de vista que es mayorel esfuerzo que demandan la preparación de datos y la interpretación de resul-tados, acrecentando la posibilidad de incurrir en problemas numéricos y enerrores humanos. Además, es innecesario refinar mucho un modelo elásticoque sólo representa de manera aproximada a una estructura que se espera queincursione en comportamiento no lineal para la intensidad del sismo de dise-ño. Por tales motivos es conveniente usar solamente tantos grados de libertadcomo sean realmente necesarios para representar las deformaciones y fuerzasrelevantes.

Por lo anterior, en el diseño de edificios, así como se hace en el análisis estáti-co, se emplea también en el análisis dinámico tridimensional la hipótesis de quelos pisos son diafragmas rígidos. De esta manera el problema global se reduce auno de tres grados de libertad dinámicos por nivel: dos desplazamientos lateralesy un giro alrededor de un eje vertical. Este enfoque se describe en lo que resta deesta sección.

3.6.1 Ecuaciones de equilibrio dinámico

El equilibrio dinámico de un sistema tridimensional considera las fuerzas de iner-cia, que para la masa ¿-ésima continúan siendo de la forma m¡ (ii¡ + s), las fuerzasen los elementos elásticos, que son el producto de la matriz de rigidez lateral porlos desplazamientos laterales (incluyendo los giros) y las fuerzas de amortigua-miento viscoso que se pueden expresar como el producto de una matriz de amor-tiguamientos por las velocidades. En las fuerzas de inercia necesitamos incluir losproductos de las momentos de inercia de las masas con respecto a un eje verticalpor las correspondientes aceleraciones rotacionales. Para cada masa o momento


de inercia, la suma de todas las tuerzas o momentos debe ser cero. Así llegamosa las ecuaciones de equilibrio dinámico siguientes:

Mü + Cú + K u = - M R s(t)

La matriz de masas adopta ahora la forma:

(3.51)

M

«

m,00

000

0

m\

000

00

Jl00

. 0

000

mn

00

000

0mn

0

000

00

Jn _

Otra diferencia con el caso sin torsión es que mientras las aceleraciones de lospisos ocurren en las dos direcciones horizontales y tienen un componente rotacio-nal, las aceleraciones del terreno existen sólo en la dirección de análisis. Por estarazón, se ha insertado el vector R, que contiene unos en los lugares correspondien-tes a los grados de libertad orientados en la dirección aludida y ceros en los demáslugares, en el segundo miembro de la expresión 3.51. De esta manera, el acelero-grama s(f) aparece solamente en las ecuaciones correspondientes a la dirección delmovimiento de la base, como se ilustra en los ejemplos de secciones subsiguientes.

En la matriz M, a los desplazamientos laterales les corresponde la masa tras-lacional del nivel en cuestión y al giro alrededor del eje vertical le corresponde lainercia rotacional de la masa con respecto a dicho eje. Tratándose de fuerzas sís-micas que obran en los centros de masas de los niveles, es conveniente que losejes verticales pasen por tales centros. Los métodos para valuar las masas y susmomentos de inercia son bastante conocidos y no se trataran aquí. Cuando lamasa está distribuida de manera más o menos uniforme en planta, se puede calcu-lar su momento de inercia como J = mr2, donde m es la masa del piso y r el radiode giro del área de la planta. Por ejemplo, r = V(a2 + ¿>2)/12 para una planta rec-tangular de dimensiones a y b.

Los pormenores del procedimiento para determinar la matriz de rigidez late-ral cuando los pisos se modelan como diafragmas rígidos, fueron materia de lasección 2.4. En el capítulo 7 describiremos cómo se suele incorporar el amorti-guamiento en el cálculo de la respuesta a temblores.

3.6.2 Análisis modal

Nuevamente, las frecuencias de vibrar de sistemas con torsión se pueden calcu-lar resolviendo la ecuación | K — w2 M | = 0. Para edificios de más de un piso, esprácticamente imprescindible recurrir a procedimientos numéricos programadospara computadoras. Entre los métodos expuestos en la sección 3.4, el de iteracióninversa es aplicable sin cambios al problema entre manos, proporcionando tam-bién los modos correspondientes.

Los modos de vibración están formados esta vez por desplazamientos y rotacio-nes, en concordancia con los grados de libertad elegidos, y cumplen las propiedadesenunciadas en la sección 3.3.3. Por tanto, la solución modal de las ecuaciones de


129equilibrio dinámico dadas por la expresión 3.5 1 siguelos pasos descritos en la sección 3.5.1 para estruc-turas con desplazamientos en una sola dirección ho-rizontal, a las que corresponden las ecuaciones de laexpresión 3.20. La única diferencia entre 3.20 y 3.51es la presencia del vector R en lugar del vector 1, locual afecta solamente la fórmula para calcular elcoeficiente de participación del modo./', que ahora seescribe:

Conviene una vez más emplear modos ortonor-males, con lo que nos queda:

Pj = i T M R (3.52)

a/2

a/2Las masas efectivas de los modos permaneceniguales a los cuadrados de los correspondientescoeficientes de participación y su suma tambiénproporciona la masa total del edificio. Se mantie-nen sin cambios las expresiones para determinarlos desplazamientos modales.

3.6.3 Edificio de un piso

Los principales conceptos involucrados en elanálisis modal tridimensional se ilustran a conti-nuación resolviendo el caso sencillo propuesto enla figura 3.10, que permite ejecutar manualmen-te las operaciones matriciales. Los grados de li-bertad dinámicos son tres: los desplazamientos u y v en las direcciones de losejes X y Y y el giro alrededor de un eje vertical 6, también indicados en la figu-ra 3.10. Conviene que tal eje pase por el centro de masas. El primer paso delanálisis consiste en determinar las correspondientes matrices de masas yrigideces, que en este caso son:

Masa, m uniformementedistribuida

1.5 k

u, X

Figura 3.10 Edificio de un pisocon torsión.

M

mOO

OmO

OO

m a2/6

K =

2.5*O

0.25 k a

O2.0 A:

O

0.25 k aO

1.125 J fcaz

El término (3,3) de M es el momento polar de inercia de la masa m con respec-to a su centro, J = m(d1 + a2)/l2 = m a2/6. El término (3,3) de K es el momentocon respecto a dicho punto cuando se da un giro unitario a la planta (con lo cual elmarco se desplaza a/2). La ecuación 3.27 se escribe entonces:


(2.5 k- a)2 ni) O 0.25 ka| K - ü P M | = O (2.0*-o»z,«) O =o

0.25 ¿a O (1.125 ¿a*- a>2 ma*/6)

Desarrollando el determinante y efectuando algunas operaciones se llega a:

(2.5 k-of-m) (tu4 m- 9.25 k o¿/m + 16.5 k2/m2) = O

cuyas tres soluciones son o^2 = 2.0 k/m, ü)22 = 2.41352 klm, y <y32 = 6.83648Los correspondientes periodos de vibración son:

r, = 4.44 VmlkT2 = 4.04 Vm/ícT3 = 2.40 Vrík

Para encontrar las formas modales hay que introducir cada frecuencia en elsistema de ecuaciones siguiente:

(K - w2 M)

Empleando a)\ obtenemos:

0.5 k «, + O i/, + 0.25 ka 0i = 0O M! + O vl + 0 0 J =0

0.25 k a w, + O u, + 0.792 &z2 0, = 0

De la primera y tercera ecuaciones se concluye que «, = 0t = O, y de lasegunda que t^ puede adquirir un valor arbitrario, por ejemplo 1. Así resulta:

Similarmente, con w22 y w32 encontramos que:


Volviendo al edificio de la figura 2.30, consideraremos ahora los giros de los pi-sos alrededor de un eje vertical como grados de libertad, obteniendo un total de15 desplazamientos generalizados y matrices de rigideces y de masas de 15 X 15.Si al ordenar los grados de libertad se colocan primero los cinco desplazamientosde los centros de masas en X, luego los cinco desplazamientos en Y, y finalmentelos cinco giros, la matriz de masas es:


M,=M00

0M0

00J

donde O es una submatriz llena de ceros y M y J son submatrices diagonales quecontienen las masas de los pisos y sus momentos de inercia, respectivamente. Enla tabla 3.6, para cada piso, hemos calculado J como la masa correspondiente porr2 = (a2 + ¿2)/12. M se da explícitamente en la sección 3.5.4 y J viene a ser:

J =

La matriz de rigideces lateral se determina según la sección 2.4.3 y tiene laforma:

182.340000

0531.09000

00

663.8600

000

663.860

0000

796.64

Las submatrices son todas de 5 X 5. K^ y K^ se encuentran, con un solo sub-índice en la sección 3.5.4. Además, en este ejemplo, K~ es nula porque todos loselementos resistentes del edificio están orientados en los ejes X o Y, sin que nin-guno de ellos tenga componentes en ambos ejes.

Partiendo de las matrices M y K podemos obtener hasta 15 periodos conmodos de vibrar asociados, con los resultados que se resumen en las tablas 3.8

Tabla 3.8 Modos de vibración tridimensional del edificio de la figura 2.30.

131

ModoPiso

54321

1

-0.17549-0.15919-0.12492-0.09086-0.04809

2

-0.000440.000030.000280.000290.00022

3

0.183710.07228

-0.08326-0.13425-0.10635

4 5 6Desplazamientos en X

0.008270.04576

-0.00873-0.03578-0.02457

0.13773-0.05745-0.14497

0.021900.15618

0.03137-0.04467

0.015490.01859

-0.02209

7

-0.150150.19078

-0.04884-0.08302

0.08737

8

0.04009-0.08492

0.13832-0.17340

0.08787

9

0.00565-0.00526

0.000890.00029

-0.00046

Piso Desplazamientos en Y

54321

0.00071-0.00017-0.00015-0.00011

0.00002

0.173620.154130.128600.093750.04978

-0.009240.003420.003700.002940.00056

0.05598-0.01483-0.02022-0.01771-0.00419

0.00913-0.00063-0.00328-0.00390-0.00169

0.193870.05695

-0.06586-0.12987-0.10895

0.035740.01759

-0.01151-0.02913-0.02728

-0.00062-0.00075

0.000140.000410.00167

-0.155380.099480.12201

-0.03645-0.14024

Piso Giro*

54321

-0.00051-0.00039-0.00029-0.00020-0.00010

-0.00003-0.00039-0.00015-0.00007-0.00004

0.006060.004920.003840.002730.00148

-0.02645-0.02377-0.02025-0.01496-0.00798

-0,00027-0.00166-0.00213-0.00188-0.00129

0.007790.002180.002560.002030.00136

0.002140.003270.003530.002810.00153

0.002140.00038

-0.00028-0.00123-0.00114

-0.01561-0.00045-0.00094-0.00170-0.00109


Tabla 3.9 Periodos tridimensionales del edificio de la figura 2.30.

Modo

1

2

3

4

5

Periodo(seg)

0.9662

0.5119

0.3857

0.3185

0.2401

Modo

6

7

8

9

10

Periodo(seg)

0.1967

0.1892

0.1641

0.1325

0.1236

Modo

11

12

13

14

15

Periodo(seg)

0.1030

0.0880

0.0857

0.0686

0.0569

y 3.9. Obsérvese que varios de los modos tridimensionales tienen desplazamien-tos predominantes en una de las dos direcciones de análisis, en cuyo caso dichosdesplazamientos son similares a los de uno de los modos unidimensionales (ob-tenidos sin incluir giros de los pisos); en estos casos el periodo del modo tridi-mensional es muy cercano al del modo unidimensional asociado. Por ejemplo, enla tabla 3.8 se aprecia que en el primer modo tridimensional predominan losdesplazamientos en X; según la tabla 3.9 el periodo de este modo es 0.966 segun-dos, valor prácticamente igual al del primer modo unidimensional en la direcciónen cuestión, que, según la tabla 3.7, vale 0.965 segundos.

3.6.5 Análisis paso a paso

En las secciones que anteceden, hemos ^isto que en el análisis modal la respuestade un sistema de varios grados de libertad, con o sin torsión, se expresa en térmi-nos de funciones 6{f), cada una de la cuales es el desplazamiento relativo de lamasa de un sistema de un grado de libertad de igual periodo y amortiguamientoque los del modo j. Las 6>;(f) pueden calcularse con cualquier método analítico onumérico, como los expuestos en la sección 3.2, por ejemplo, mediante la integral3.6. Sin embargo, hemos señalado también la conveniencia de resolver numérica-mente las ecuaciones de equilibrio dinámico mediante métodos paso a paso, como?1 j8 de Newmark (ver sección 3.2.4). Procediendo de tal manera, se determinanlas 6j(t) y sus derivadas para tantos instantes como puntos tenga el acelerograma,y las sumas que arrojan la respuesta total del sistema de varios grados de libertad(expresiones 3.47, 3.50 o similares) se ejecutan en cada uno de dichos instantes.

Por otro lado, los métodos paso a paso se pueden emplear para resolver direc-tamente las ecuaciones de movimiento de sistemas de varios grados de libertad,sin necesidad de extraer periodos ni modos de vibración. Siguiendo los pasosdescritos en la sección 3.2.4, a partir de la ecuación 3.51 se llega a:

y también:

M a + C v + K u = - M Rs(t)

MAa + CAv + K A u = -MR {j, s(í)}

donde a, v y u son vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos, res-pectivamente, y A denota sus incrementos en un lapso Af.

Sistemas suelo-estructura

Como ilustración, supongamos que se conocen los vectores a, v y u en elinstante /, empleando el método de Newmark con /3 = !A, sus valores en í + Aise calculan como sigue:

a) calcúlese la matriz K* = K + (2/Aí) C + (4/Aí2) M y su inversa [ K*]-'

b) para cada paso:

b.\e As* = - M R (s, - s) + [4 /Ai M + 2 C]v + 2 M ay Au = [K*]-iAs*

b.3 determínense Av = [2/Aí]Au — vy Aa = [4/Aí2]Au - [4/Aí]v - 2 a

b.4 los vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientosen tl = t + Ai son:

3] = a + Aavt = v + Avu, = u + Au

c) Se prosigue al paso siguiente con a = ab v = \ y u = u,.

Nuevamente, para comenzar el proceso se toma en cuenta que antes del tem-blor la masa está en reposo, es decir que cuando í = O los vectores de desplaza-mientos y velocidades son nulos (v = u = 0). Para satisfacer equilibrio dinámicoen el primer paso se requiere que a(0) = — R s(0), con lo que se conocen todos losvalores iniciales necesarios.

Entre las ventajas de la aplicación directa de integración numérica a ecua-ciones de sistemas de varios grados de libertad se cuentan que no hay que resol-ver el problema de valores característicos y que la matriz de amortiguamientosno está restringida a ser diagonalizable bajo la transformación modal, como serequiere en el análisis modal. En cambio, las operaciones llevadas a cabo conmatrices de tamaño n son bastante más numerosas que n veces las operacionescon cantidades escalares, sobre todo porque es común que en edificios de va-rios pisos se requieran intervalos Ai pequeños de integración para lograr unaprecisión aceptable, ya que en general es preciso asegurar que Af/T < 0.1,donde T es esta vez el mínimo periodo que tiene una participación significativaen la respuesta estructural. Esta dificultad se puede aliviar en el análisis modalusando diferentes intervalos Ai para cada modo, de acuerdo con su correspon-diente periodo.

3.7 SISTEMAS SUELO-ESTRUCTURA

El análisis de edificios se lleva normalmente a cabo suponiendo que el movimien-to que se aplica en su base, o las fuerzas estáticas equivalentes que obran en susdistintos niveles, son independientes de las características de la cimentación. Sinembargo, existen casos en que el movimiento en cualquier punto de la fronterasuelo-estructura es sensiblemente diferente del que habría ocurrido en dicho pun-to si la estructura no estuviese presente; en estos casos se dice que existe interac-ción suelo-estructura.


Conviene estudiar el problema considerando primero las diferencias en elmovimiento del terreno que provienen de la rigidez del sistema estructura-cimen-tación como si no tuviera masa, lo cual se denomina interacción cinemática, por-que es causada fundamentalmente por la geometría y rigidez de la cimentación(Whitman y Bielak, 1980, Roesset, 1981). Las diferencias consisten en general enun filtrado de los componentes traslacionales del movimiento en cuestión (dis-minución de su amplitud en el intervalo de frecuencias altas y medias) y en la mo-dificación de componentes rotacionales y torsionales. Estos efectos parcialmentemotivan que en los reglamentos se estipulen excentricidades accidentales, quegeneran torsiones en planta aun en edificios completamente simétricos.

En un segundo paso se consideran las fuerzas de inercia que se generan porla vibración de las masas de la cimentación y de la estructura, que da lugar nosólo a elementos mecánicos dentro de los distintos miembros que las componen,sino también a tres fuerzas y tres momentos referidos a dos ejes horizontales yuno vertical en la base. Si el suelo no es muy rígido, tales fuerzas y momentosproducen deformaciones que modifican el movimiento en la cimentación. Se ha-bla en este caso de interacción inercial. Una manera de tomar en cuenta este tipode interacción consiste en modificar las características dinámicas de la estruc-tura. Aquí presentamos brevemente este enfoque cuyos detalles se tratan másampliamente en varias publicaciones, por ejemplo Roesset et al. (1973), Bielak(1976), Wolf (1985, 1987), Gazetas (1991a) y Aviles et al. (1992).

3.7.1 Ecuaciones de movimiento

Para ilustrar los conceptos involucrados en la dinámica de sistemas suelo-estruc-tura, consideremos el sistema de la figura 3.11, que consiste en una masa m, so-portada por una estructura elástica con rigidez lateral k, la cual a su vez se apoyasobre una cimentación rígida de masa mx enterrada en suelo deformable. En arasde sencillez, se ignoran además los desplazamientos verticales del suelo, con

lo cual la flexibilidad del mismo queda re-presentada por dos resortes: uno traslacionalen la dirección horizontal y otro rotacional,con rigideces kx y kr, respectivamente. De estamanera, como se ilustra en la figura 3.12, elsistema tiene tres grados de libertad: trasla-ción horizontal de la masa de la estructuracon respecto a la cimentación, traslación ho-rizontal de la base y rotación en el plano demovimiento, con respecto al eje centroidalde la superficie de desplante. El vector de des-plazamientos es entonces:

Sistema suelo-

Como vimos en el capítulo 1, los coefi-cientes de rigidez se derivan dando secuen-

cialmente un valor unitario a cada grado de libertad, manteniendo los demásnulos, como se hace en la figura 3.12. La matriz de rigideces resulta:


135

O

*i L k

|—VW—@): c **

(|> = 0Kr = 0

a) Sistema. b) Grados de libertad.

«=0 «=0 ft

c) Coeficientes de rigidez.

i i—kh

, ,í+/kh

, ,, ,

i i i •>k + kh2

La correspondiente matriz de masas se escribe:

M =m00

0ro,0

007

Suponiendo que las columnas son inextensibles y que, por tanto, m gira lomismo que mx, el momento de inercia /r, asociado al giro 0, es el debido a las ma-sas cuando giran con respecto al eje de rotación en la base, obteniéndose:

7r = mr mh2

r y rx son los radios de giro de m y mx, respectivamente.Cuando el sistema no amortiguado está sujeto a un acelerograma horizontal

en la base, ias ecuaciones diferenciales de movimiento adquieren la siguienteforma matricial:

Figura 3.12 Grados de libertady coeficientes de rigidez de unsistema suelo-estructura.

K U = - M R s (3.52)

donde, puesto que las aceleraciones de la base contribuyen sólo a aceleracionestotales horizontales (y no rotacionales) el vector R es tal que s aparece en laprimera y segunda ecuaciones, pero no en la tercera, es decir:


Para distinguir mejor los efectos de distintas fuentes de deformaciones enestudios sobre interacción suelo-estructura, conviene emplear como grados de li-bertad el producto </>h y el desplazamiento relativo de la masa de la estructura conrespecto a la de la cimentación. Los elementos del nuevo vector de desplaza-mientos, V, son:

f3 = h M3

V2 = U2

Vi = M! — u2 ~ h M3

En consecuencia, la relación entre los grados de libertad originales y nuevosestá dada por:

V2

M 2 =

Por tanto, la matriz de transformación a, tal que U = a V, es:

a =

11O

1o

llh

Según la expresión 2.3 de la sección 2.1.1, la matriz de rigideces transforma-da, K*, es igual a arK a. Estos productos matriciales se efectúan a continuación:

K a

k -k -kh-k k + kx kh

-kh kh kr + k W-

1 1 10 1 00 0 llh

s? ZT K K*

1 0 01 1 01 0 llh

k -k -kh0 Jk, 00 0 k/h

k 0 00 ^ 00 0 kflff-

Obsérvese que la nueva matriz de rigideces K* es diagonal.Usando el concepto de que la energía cinética es una cantidad escalar inde-

pendiente de los grados de libertad elegidos, se demuestra que las matrices de ma-sas se transforman de la misma manera que las de rigideces, es decir, mediante elproducto M* = ar M a. En este ejemplo el resultado es:

M

m 0 00 mx 00 0 I,

1 1 10 1 00 0 llh


a? aTM M*

1 0 01 1 01 0 l//z

m 0 0m mx 0m 0 Ir

m m mm m + mx mm m m + Ir/h2

La matriz de masas, originalmente diagonal, se ha convertido en la matrizllena M*.

El segundo miembro de la ecuación 3.52 es el vector —M R s que se trans-forma como se indica para vectores de fuerzas en la sección 2.1.1. De acuerdocon la expresión 2.4, dicho vector se premultiplica por a7", es decir que, te-niendo en cuenta que s es una cantidad escalar, debemos efectuar la operaciónar M R. Notando que ya hemos obtenido el producto a7" M, llegamos a:

137

m O Om mx Om O L

Todos los componentes del sistema tienen el amortiguamiento interno propiode los materiales correspondientes. En adición, el suelo disipa energía medianteradiación de ondas, dando lugar al llamado amortiguamiento geométrico. Ambasformas de disipación de energía se representan usualmente mediante amortigua-dores viscosos ubicados en paralelo con los elementos elásticos. Suponiendo quelos coeficientes de amortiguamiento asociados a la velocidades traslacionales de laestructura y la cimentación y a la velocidad rotacional de esta última son c, cx y cr,respectivamente, las tres ecuaciones diferenciales del sistema amortiguado son:

M* C*V V = - (3.53)

donde C* es la matriz de amortiguamientos, que se escribe de manera similar ala de rigideces, esto es:

C* =

c O O

O cx O

O O cr

3.7.2 Estimación aproximada de propiedades dinámicas

Las frecuencias naturales de vibración del sistema suelo-estructura descrito en lasección que antecede pueden calcularse mediante la ecuación 3.27, la cual requie-re encontrar los valores de üí1 que satisfacen | K — of- M | = O, o, lo que es lomismo, | K* — w2 M* | = O, puesto que las frecuencias son cantidades escalaresindependientes de los grados de libertad adoptados para describir el movimiento


de la estructura bajo estudio. En la práctica, el impacto de la flexibilidad del sueloen el comportamiento dinámico de un edificio se percibe de manera más acen-tuada en el modo fundamental, cuya frecuencia se puede estimar mediante el mé-todo de iteración inversa, ejecutando los siguientes pasos:

Supongamos que el vector inicial (empleando los grados de libertad v¡) es:

Entonces el vector X' — M* X resulta:

Ignorando los sumandos diferentes de 3m, y aprovechando que K* es diago-nal, la solución del sistema de ecuaciones K* Y = X' arroja:

Aplicando la expresión 3.34, anulando también mx e 7r en la matriz M, encon-tramos:

Y* M Y m ( \lk + l/kx + h2/kr )(3.54)

El primer modo de vibrar aproximado es el vector Y. Dividiéndolo por 3m,ya que los modos pueden escalarse arbitrariamente, obtenemos

Z, =

Se constata que esta aproximación coincide con la deformación estática del sis-tema suelo-estructura sujeto a una fuerza horizontal unitaria en la masa superior.

Partiendo de la fórmula 3.54, el periodo estimado del sistema con interacción,T = 2-rr/tú, puede expresarse en función del periodo fundamental de la estructuracuando el suelo es indeformable, T = 2tr vm/k, como sigue:

(777)2 = i+k/kx +

o también:

(7")2 = T2 + T2 + T2

donde hemos definido Tx = 2ir \/m/kx y Tr - 2ir Vm h2/kr.

Esta aproximación fue propuesta por Bielak (1971), quien desarrolló tambiénuna expresión para valuar el amortiguamiento efectivo que incluye la disipación deenergía por radiación de ondas en el suelo. Como en la derivación de T se igno-


ran algunas masas, en general se subestima el periodo fundamental, aunque loserrores son despreciables, particularmente si se comparan con incertidumbres enel cálculo de los términos que representan la deformabilidad del suelo. Esta ma-nera de considerar la interacción o alguna variante se adopta en versiones recien-tes de varios reglamentos de construcción (NTDS-RCDF, 1995, FEMA, 1992)como parte de sus pautas para calcular ordenadas espectrales o coeficientes sís-micos y deformaciones adicionales debidas a la flexibilidad del suelo.

3.7.3 Rigideces de!

En general, en un sistema suelo-estructura con una cimentación rígida, esta últi-ma tiene seis grados de libertad: el desplazamiento vertical, los desplazamientoshorizontales en dos ejes centroidales perpendiculares, torsión alrededor de un ejevertical y cabeceo alrededor de los dos ejes horizontales. En consecuencia, serequieren los siguientes seis coeficientes de rigidez que representan la restricciónque el suelo bajo una estructura opone a tales movimientos:

Kv = rigidez equivalente en la dirección vertical.Kx = rigideces equivalentes para cada una de las dos direcciones horizon-

tales de análisis.Kr = dos rigideces equivalentes en rotación con respecto a los ejes centroi-

dales de la base perpendiculares a cada dirección que se analiza.K, = rigidez equivalente en torsión con respecto al eje vertical centroidal de

la base.

Varios investigadores, entre ellos Bielak (1971), Roesset (1980), Novak (1987),Pais y Kausel (1985, 1988) y Gazetas (1991a y b), han determinado valores delas rigideces equivalentes para diversas formas de cimentaciones rígidas suje-tas a excitaciones armónicas. Se ha encontrado que las rigideces ante cargasdinámicas, llamadas también impedancias, dependen de la frecuencia del mo-vimiento y son cantidades complejas cuyas partes imaginarias reflejan el amor-tiguamiento. No obstante, los resultados correspondientes a cargas estáticas(algunos de ellos conocidos desde hace varias décadas) brindan precisión sufi-ciente para la mayoría de los casos de interés en el análisis sísmico de edificios. Acontinuación reproducimos las fórmulas propuestas por Pais y Kausei (1985,1988) para cimentaciones sobre un semiespacio elástico, que se basan tanto enresultados de los proponentes como en los previos de otros autores.

Para cimentaciones circulares enterradas como se muestra en la figura 3.13:

Kv = 4^ [1 + 0.54r,]l — v

o.58,fl

140

Figura 3.13 Cimentación ente-rrada de planta circular.


en estas fórmulas G y v son los módulos de cortante y de Poisson del suelo, res-pectivamente, R es el radio de la cimentación y 17, el cociente de la profundidadde enterramiento entre R.

Para cimentaciones rectangulares enterradas como la de la figura 3.14:

).25/A) rjO-8]tv = -0-8— [3.1 A075 + 1.6] [1 + (0.25 + 0.:1 — v

\-v[6.8 A»-65 + 2.4] [1 + {0.33 + 1.347(1 + A)}

Ky = Kx + 0.8 G B [A - 1] [1 + {0.33 + 1.347(1 + A)} rf>*]

K™ = -°- - [3.2A + 0.8] [1 + T) + 1.67(0.35 + A )} rj2]

1 - v[3.73 A2.t + 0.27] [1 + TJ + 1.67(0.35 + A4)} 772]

K,= \6G R3 [4.25 A2-45 + 0.46] [1 + (1.3 + 1.32/A) T/°-9]

7 /

Las orientaciones de los ejes horizon-tales (x, y) y las dimensiones B y L de lacimentación están definidas en la figura3.14; nótese que L se toma como la mayordimensión. Con referencia a la figura aludi-da, A = L/B, yrj - E/B.

Gazetas (1990, 1993) ha desarrolladofórmulas algo más complejas para cimen-taciones de geometría arbitraria. Sin embar-go, en la mayoría de las ocasiones bastaemplear las expresiones para cimentacionescirculares usando los siguientes radios equi-valentes:

Figura 3.14 Cimentación ente-rrada de planta rectangular.

Req = (A/vr)1'2 para rigideces translacionalesReq = (4 I/TT)''' para rigideces en cabeceoReq = (2 J/ir)1'' para rigidez en torsión.

A es el área de la cimentación, /, su correspondiente momento de inercia alrede-dor del eje horizontal de cabeceo (Ix o /) y J, su momento polar de inercia (Ix + Iy).

3.8 ANÁLISIS NO LINEAL

Como hemos comentado en el capítulo 2, existen dos tipos de comportamientoinelástico de edificios: nolinealidades geométrica y del material. Ambos se refle-jan en cambios en las relaciones cargas-deformación de los elementos que confor-man la estructura y, por tanto, modifican las ecuaciones de equilibrio dinámico. Elpropósito de esta sección es ilustrar los conceptos sobresalientes de métodos de

Análisis no lineal

141análisis que incorporan nolinealidades, así como el impacto de lasmismas en la respuesta sísmica.

3.8.1 Ecuaciones de movimiento

Cuando se consideran efectos no lineales, las ecuaciones de equi-librio dinámico adquieren la forma:

M ü + C ü + [F(u) - Kg u] = - M R s(f)

Esta expresión es la misma que 3.51, salvo que el término querepresenta las fuerzas restitutivas, Ku se ha remplazado por[F(u) — Kg u], donde Kg es la ma-triz de rigideces geométrica quetoma en cuenta los efectos de esbeltez, y F(u) es un vector defuerzas que es función no lineal del vector de los desplazamientos u.El efecto inmediato de la ausencia de linealidad es que este sistemade ecuaciones no puede resolverse mediante análisis modal.

Por ejemplo, para el sistema masa-resorte-amortiguador deun grado de libertad de la figura 3.15, en el cual el resorte tienela curva fuerza-desplazamiento elastoplástica mostrada en lamisma figura, la ecuación de equilibrio dinámico es:

m ü + c ú + [/(M) — (m g/h)] = — ms(t) (3.55) Figura 3.15 Sistema elasto-plástico de un grado de libertad.

donde h es la altura de la masa m, M su desplazamiento horizontal, c el coeficientede amortiguamiento viscoso, g la aceleración de la gravedad, y /(w) representa ala fuerza no lineal en el resorte mediante ecuaciones de varias rectas que descri-ben la trayectoria que sigue la masa.

3.8.2 Solución analítica

Para resolver analíticamente la ecuación 3.55 debemos considerar en qué ramade la curva f(u) se encuentran los desplazamientos. Al principio, la rigidez valek, la frecuencia es w = vk/m y la fuerza en el resorte es ku; además, en aras desencillez, ignoraremos el amortiguamiento y los efectos de esbeltez, y supon-dremos que el movimiento del terreno está definido por una aceleración cons-tante "s(t) = —a. Entonces, dividiendo la ecuación aludida entre m se escribe:

ü + w2 u = a

Considerando que el sistema está inicialmente en reposo, es decir, que su des-plazamiento y velocidad son nulos para t = O, la solución de esta ecuación dife-rencial resulta:

u (f) = a (1 — eos (o (3.56)

Esta fórmula es válida mientras la fuerza en el resorte no exceda su valor defluencia f , límite que se alcanza cuando el desplazamiento vale uy. Supongamosque/y = ma, entonces uy = fv/k = m a/k = a/a)2, y la ecuación 3.56 prevalecehasta el tiempo t{ que satisface la condición:

= a/ca2 — a (1 — eos cu ti)fa)2


de donde íj = 7r/(2to). Luego de este instante, la pendiente de la curva carga de-formación es plana para desplazamientos crecientes, la fuerza en el resorte semantiene constante en su nivel de fluencia y la ecuación de movimiento se con-vierte en:

i

m ü + fy = ma (3.57)

La solución se obtiene despejando ü, efectuando doble integración y teniendoen cuenta que, por continuidad, u = uy y u — a/a) cuando í = íi. El resultado es:

u = uy + a (t - íi)/<w ; t > f,

Hasta aquí hemos considerado que la aceleración del terreno s(t) es constante,mientras que en un acelerograma real s(t) varía continuamente. A fin de ilustrarlos efectos de un cambio en la aceleración, supongamos que s(t) se anula cuandoí = í2 = 2f j = TT/&>; a partir de este momento, el segundo término de la ecuación3.57 es cero, y, por tanto, ü =fy/m. Integrando dos veces y calculando las cons-tantes de integración de manera que el desplazamiento y la velocidad en t = í2sean los mismos que al final del tramo anterior, se llega a:

u = a { - r2/2 + T/ÍO + 3/w2}; t>t2; T= t- t2

Esta expresión rige hasta que la velocidad u se anula, y, al empezar la ma-sa a moverse en sentido contrario, el resorte recobra su rigidez inicial en la ramade descarga. Derivando la última fórmula e igualando a cero, se puede verificarque esto ocurre cuando T = r3 = l/o>, con u = «3 = 3.5a/o>2 = 3.5uy. Pasadoeste instante, la ecuación de movimiento cambia una vez más a:

m ü + k(u — «3) = O

cuya solución se escribe:

u = uy [2.5 + COSWT]

Esto indica que la masa está sujeta a movimiento armónico alrededor delpunto 2.5 uv. Tanto la ecuación como su solución son válidas mientras la fuerzaen el resorte se mantiene en la misma rama de la curva fuerza-deformación ohasta que cambia la aceleración del terreno.


Teóricamente, podríamos emplear métodos analíticos de solución para analizarestructuras no lineales de varios grados de libertad sometidas a acelerogramasreales, pero la impracticabilidad de tal tarea es evidente porque demandaría unnúmero excesivo de cambios en las ecuaciones de movimiento, con diferentessoluciones y requiriendo el cálculo de nuevas condiciones iniciales en cada inter-valo de comportamiento. Por tales motivos, el análisis de estructuras no lineales,aun las más sencillas, se lleva a cabo con métodos numéricos similares a los

Análisis nú lineal

descritos para estructuras elásticas en la sección 3.2.4, aunque con el requisitoadicional de conocer de antemano las curvas carga-deformación de los elementosresistentes y la necesidad de constatar que las fuerzas en dichos elementos seapeguen a la curva que les corresponde.

Una manera sencilla de incorporar la nolinealidad en los métodos paso a pasoconsiste en usar la formulación para sistemas lineales considerando para cadapaso de integración la rigidez tangente k,, definida como el cociente entre los in-crementos de fuerzas en el resorte y de desplazamientos en dicho intervalo. Deesta manera, la ecuación 3.9 se convierte en:

m ka + c AU + ¿,AM = -m(sl - s) (3.58)

En principio, habría que proceder iterativamente porque k, depende deldesplazamiento al final del paso, el cual a su vez se calcula resolviendo unaecuación diferencial en la que uno de los coeficientes es precisamente k,. Comoaproximación, en cada paso se puede usar la rigidez tangente del paso previo, quellamaremos kp ; es decir, kp es el valor de k, en el instante í y se emplea para calcu-lar la respuesta en t + Ai. Así, estamos resolviendo la siguiente ecuación, en vezde la 3.58:

m Aa + c Ai/ + kp AM = — m (sl — s)

Comparando las dos últimas ecuaciones se infiere que el error es A/ = (kt — kp)AM, el cual puede interpretarse como una fuerza desbalanceada en el lapso í + Ai.Para lograr mejor precisión, evitando iteraciones, se incluye dicha fuerza en elsegundo término de la ecuación en el paso siguiente, o sea que se resuelve:

m Aa + c Av + kp AM = — m (sl — s) — (k'¡ — k'p) AM'

donde las primas denotan valores correspondientes al paso previo.Si se emplea el método /3 de Newmark, los pasos de la solución numérica

siguen la misma secuencia que para sistemas elásticos dada en la sección 3.2.4,con las salvedades de que k* se tiene que recalcular cada vez que cambie la rigi-dez tangente y que debe añadirse la fuerza desbalanceada en As*.

3.8.4 Espectro de respuesta inelástico

La medida individual más importante de la respuesta sísmica de edificios es eldesplazamiento máximo, ya que se relaciona con la amplitud de las vibra-ciones, con daños en elementos estructurales y no estructurales, con posiblesimpactos a edificios vecinos, y con las fuerzas y momentos máximos de di-seño. En el caso de estructuras no lineales sujetas a temblores severos, seesperan incursiones significativas más allá del límite elástico y que el des-plazamiento máximo exceda al de fluencia uy. Cuando se trata de sistemaselastoplásticos de un grado de libertad, para medir el grado de incursión en elintervalo de comportamiento inelástico, se usa el factor de ductilidad o sim-plemente ductilidad /u,, definido como el cociente entre el desplazamiento y elde fluencia, esto es:

M = umju .


144

a•o

Figura 3.16 Espectros elasto-píásíicos del registro de laSecretaría de Comunicacionesy Transportes del temblor del 19de septiembre de 1985.

En forma más general,para edificios de varios pisos,la ductilidad se toma como eldesplazamiento máximo glo-bal entre el correspondiente allímite elástico. Aunque el lí-mite aludido es difícil dedefinir, el concepto de ducti-lidad se emplea en los re-glamentos de construcciónpara modificar los espectroselásticos tomando en cuentala capacidad que poseen lasestructuras de disipar energíamediante deformaciones ine-lásticas.

Varias investigaciones ana-líticas sobre sistemas de ungrado de libertad (Bielak,1966, Bazán y Rosenblueth,1974, Ridell y Newmark, 1979,entre otros) muestran que parauna excitación sísmica (un

acelerograma) dada y una relación de amortiguamiento prescrita, la ductilidaddepende del periodo inicial del sistema, T¡, o viceversa, que la fuerza de fluenciaFv, que debe tenerse para no exceder una ductilidad deseable, depende de dichoperiodo. Con base en esta observación, se elaboran espectros inelásticos que sumi-nistran Fy como función de T¡. Se acostumbra a dibujar la relación FJW, en vezde Fy, donde W es el peso del sistema; de manera que el espectro proporciona elcoeficiente sísmico inelástico. El amortiguamiento crítico se calcula con la rigi-dez inicial.

La figura 3.16 muestra los espectros elastoplásticos del acelerograma regis-trado en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes de México durante eltemblor del 19 de septiembre de 1985, correspondientes a un amortiguamiento de5 por ciento del crítico, para ductilidades de 1, 2, 3 y 4. /x = 1 representa com-portamiento elástico. Se observa que para reducir la ductilidad se debe aumentarel coeficiente sísmico, y que este último se mantiene sin cambios para periodocero, independientemente de la ductilidad.

Periodo (seg)

3.9 COMENTARIOS Y OBSERVACIONES

El análisis dinámico de estructuras requiere mayor cantidad de datos que el análi-sis ante cargas estáticas por lo cual aumentan las incertidumbres y las posiblesfuentes de errores, sin que sea siempre obvio que las suposiciones son conser-vadoras. Por ejemplo, el uso de un valor reducido del módulo de elasticidad o depesos algo mayores, no siempre conducen a una mayor respuesta dinámica, yaque ambos cambios afectan los periodos de vibrar de la estructura y se tiene queexaminar el espectro de diseño para determinar si la respuesta sísmica aumenta ono. Conviene en general usar la mejor estimación disponible sobre las propie-

Comentarios y observaciones

dades inerciales y de rigideces de edificio, en el entendido de que los espectrosde diseño sísmico ya han sido modificados (ensanchados) para tener en cuentaincertidumbres en los periodos de vibración que resulten de la variabilidad detales propiedades y de inexactitudes en los métodos de análisis. La sección 4.6de este texto se ocupa del cálculo de propiedades mecánicas y geométricas delos elementos estructurales para fines de análisis sísmico; el cálculo de masas esmás directo, y sólo hacemos notar que los reglamentos de construcción, incluyen-do el del Distrito Federal, estipulan cargas vivas para diseño sísmico menores quelas máximas especificadas para diseño por cargas gravitacionales, ya que es muypoco probable que las mismas estén presentes simultáneamente en todo el edifi-cio durante un sismo.

La posibilidad de encontrar dificultades numéricas es mayor en análisisdinámico que en estático porque el número y complejidad de operaciones a efec-tuar es apreciablemente mayor. Por ello, la solución numérica de problemas diná-micos ha sido materia de investigación en años recientes, habiéndose desarrolladométodos bastante especializados como los que se describen en Weaver y Johnson(1987), Humar (1990) y Clough y Penzien (1993). Una contribución reciente parahacer más eficiente y preciso el análisis modal es el uso de los llamados vectoresde Ritz, los cuales se derivan de manera que satisfacen las propiedades de orto-gonaíidad con respecto a las matrices de masas y de rigideces, sin ser necesaria-mente modos de vibrar. Wilson et al. (1982) han propuesto un procedimiento paracalcular vectores de Ritz teniendo en cuenta la distribución espacial de las cargasdinámicas de manera que se logran resultados más precisos que si se usa elmismo número de vectores modales convencionales. Es aconsejable el empleo deprogramas de computadora que incorporen estos métodos. En todo caso, el resul-tado individual más importante del análisis modal es el periodo fundamental devibración cuyo valor puede verificarse comparándolo con los que arrojan fórmu-las sencillas como las que presentamos en la sección 4.2.2.

Un problema frecuente acontece cuando existen sistemas secundarías comotanques, pretiles, equipo electromecánico, etc., que se apoyan en diversas partesde un edificio, y cuyas características de inercia y rigidez pueden ser bastantediferentes de las de la estructura principal. Una situación parecida es la de masasconcentradas en puntos intermedios de vigas que se apoyan sólo en sus extremos.Si se incluyen estos sistemas secundarios en el modelo dinámico del edificio pue-den ocurrir problemas numéricos o es posible que aparezcan entre los primerosmodos de vibrar, a veces hasta como modo fundamental, configuraciones defor-madas en las que predominan desplazamientos locales alrededor de tales sis-temas. En estas circunstancias, en la solución global aparecen modos y periodoslocales, que tienen una masa efectiva muy pequeña. Los reglamentos de cons-trucción contienen prescripciones especiales, como las que trataremos en capítu-los posteriores, para efectuar el análisis sísmico de estos sistemas sin incluirlosen el modelo dinámico global. Varios autores (por ejemplo Villaverde y New-mark, 1980, Villaverde, 1986 y Gupta, 1990) han desarrollado métodos paracalcular con mayor precisión la respuesta dinámica de sistemas secundarios apartir de los modos y periodos de vibrar de la estructura principal (sin apéndi-ces) y los del sistema secundario considerándolo como apoyado en su base. Serecomienda el uso de estos métodos cuando los sistemas secundarios revistanimportancia, porque se previenen problemas numéricos y es posible reanalizar unsistema secundario cuando cambien sus propiedades, sin necesidad de repetir elanálisis del edificio.


El análisis dinámico de sistemas suelo-estructura requiere, además de rigide-ces equivalentes del suelo, de coeficientes de amortiguamiento equivalentes querepresenten la disipación de energía que ocurre en suelo, con las consiguientesmodificaciones fracciones de amortiguamiento crítico del sistema. En rigor losparámetros equivalentes son funciones de la frecuencia de vibración. Para edifi-cios comunes, en general es suficiente considerar el impacto en el periodo funda-mental de vibración y en los desplazamientos laterales de las rigideces estáticascalculadas con fórmulas como las expuestas en esta sección. Usualmente, se yerradel lado de la seguridad si se supone que la fracción de amortiguamiento del sis-tema suelo-estructura es la misma que la de la estructura sobre una base rígida.Cuando sea necesario incorporar explícitamente el amortiguamiento del suelo, sepueden emplear fórmulas sencillas como las propuestas por Pais y Kausel (1985),Gazetas (1991a y b) y Aviles et al. (1992). El trabajo de Gazetas incluye tambiénfórmulas para estimar las rigideces de pilotes que tienen que considerarse en ci-mentaciones piloteadas. Cabe notar que cuando interacción suelo-estructura esrelevante, adicionalmente a los coeficientes de rigidez y amortiguamiento querepresentan el suelo, cobran importancia la masa y momentos de inercia de lacimentación y ciertas propiedades geométricas como los radios de giro de las ma-sas, la relación de aspecto (definida como altura del edificio sobre dimensión dela base) y la relación de la profundidad de la cimentación a altura del edificio. Encualquier caso, no se justifican refinamientos excesivos en el análisis dinámicocuando existen incertidumbres significativas en las propiedades de suelos, efec-tos de estructuras adyacentes, contacto entre suelo y cimentación, naturaleza delas vibraciones sísmicas, etc.

Hemos visto que los efectos P-A pueden incorporarse en programas para elanálisis dinámico introduciendo la matriz de rigideces geométrica en las ecuacio-nes diferenciales de movimiento. El impacto en la respuesta sísmica es generalmen-te de menor cuantía para estructuras elásticas de edificios normales, reflejando másque nada los efectos de un pequeño incremento del periodo fundamental de vibra-ción (Bernal, 1985). Sin embargo, cuando se considera el comportamiento inelás-tico, los efectos P-A pueden dar lugar a inestabilidad dinámica que se manifiestacomo un incremento abrupto de la respuesta sísmica para valores relativamen-te bajos de la resistencia de fluencia. Por lo común los edificios son suficientementerobustos y resistentes para prevenir este tipo de inestabilidad; cuando se sospechelo contrario, pueden consultarse las publicaciones de Bernal (1990, 1991) quien haidentificado las combinaciones de la intensidad de un temblor y la resistencia es-tructural de un edificio que podrían dar lugar a inestabilidad dinámica y ha desa-rrollado un modelo de un grado de libertad para determinar las condiciones queproducen dicha inestabilidad en edificios de varios pisos. No se busca llevar a caboanálisis de inestabilidad complicados sino más bien diseñar los edificios de maneraque tengan factores de seguridad holgados contra este tipo de falla.

Propiedades de materiales ysistemas estructurales

4.1 ALCANCE

Se comentan en este capítulo aquellas propiedades de los materiales, de los ele-mentos y de los sistemas estructurales que determinan la respuesta de los edifi-cios ante los movimientos del terreno.

No se tratan aquí los procedimientos para el cálculo de la resistencia y rigidezde las estructuras de diferentes materiales. Estos son propios de los libros de textoespecíficos para cada material estructural. Se incluyen sólo aquellos aspectos queson peculiares del diseño sísmico y que con frecuencia no se encuentran en los tex-tos. Se hace énfasis en el comportamiento no lineal de las estructuras y en laspropiedades relacionadas con la capacidad de disipación de energía en campoinelástico, ya que los criterios de diseño sísmico actuales consideran dicha ca-pacidad para definir la resistencia que debe tener una estructura para soportar losefectos sísmicos.

4.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS EDIFICIOS QUEDEFINEN LA RESPUESTA A SISMOS

4.2.1 Conceptos generales

Como se percibe desde el planteamiento de la ecuación diferencial de equilibriodinámico (ecuación 3.1), la respuesta sísmica de una estructura depende tanto delas características de la excitación como de las propiedades dinámicas de laestructura misma. Interesa destacar lo anterior ya que es importante que el sis-tema estructural adoptado tenga características tales que conduzcan a la respuestasísmica más favorable. Cuando se selecciona el material y el sistema estructuralque resiste las cargas laterales y se determina el tipo de cimentación, se imponendesde ese momento a la construcción, características que influyen en manera pre-ponderante en su respuesta sísmica.

Comentaremos en lo que sigue las principales propiedades dinámicas de laestructura que influyen en su respuesta a temblores.

C a p í t u l o

4

Propiedades de materiales y sistemas estructurales

4.2.2 Periodo natural de vibración

La ecuación 3.1 pone en evidencia que la respuesta sísmica de un sistema elásti-co de un grado de libertad depende de su frecuencia de vibración 0), o lo que eslo mismo, depende de su periodo de vibración T = 2 nlco. Esto se refleja en quela respuesta máxima de un sistema a un temblor varía principalmente con elperiodo de vibración. La representación gráfica de esta variación se denominaespectro de respuesta, según lo descrito en la sección 3.2.5 (véase la figura 3.5).Se ha visto también en el capítulo 3 que los sistemas de varios grados de libertadpueden caracterizarse para fines de estudiar su respuesta a sismos, por medio desus periodos y frecuencias naturales de vibración, y que, en particular, dado queel primer modo es el que tiene mayor participación, el primer periodo (o funda-mental) es la característica dinámica más importante en definir el comportamien-to de una estructura ante temblores.

Por otra parte, del estudio del comportamiento no lineal de sistemas de ungrado de libertad (Riddell y Newmark, 1979), se ha encontrado que la respuestasísmica inelástica se puede correlacionar adecuadamente con la respuesta de sis-temas elásticos con el mismo periodo inicial de vibración.

En concordancia con lo anterior, los reglamentos de construcción estipulanespectros de diseño cuyas ordenadas dependen del periodo de vibración. Asimis-mo, prescriben factores de reducción para considerar el comportamiento inelásti-co, cuyo valor depende también del periodo de vibrar.

Por tanto, hay que recalcar que las fuerzas de diseño que deoen adoptarsepara una estructura pueden modificarse en forma significativa controlando lasvariables que influyen en el periodo fundamental de vibración.

Como hemos descrito en la sección 3.2.2, los periodos de vibrar de una es-tructura se calculan a partir de los valores de las masas y rigideces de la mis-ma; más explícitamente dependen de la relación de masas a rigideces, como senota en la fórmula para calcular el periodo de un sistema de un grado de liber-tad (7 = 2n vMIK). El proyectista tiene en general, poca libertad para modificarla masa del edificio, aunque las diferencias que se tienen según el material que seescoge para la estructura no son despreciables. Mucho mayor es la amplitud enque puede variar la rigidez lateral, principalmente dependiendo del sistemaestructural que se elija, el cual puede ser relativamente flexible, a base de mar-cos, o muy rígido, con abundancia de contravientos o de muros de rigidez. En elcapítulo 5 se describen y se evalúan los sistemas estructurales más comunes.

La determinación del periodo de la estructura es resultado del análisis di-námico de la misma. Existen formas aproximadas sencillas para estimar el perio-do de vibración. Algunas de ellas lo expresan únicamente como función delnúmero de pisos o de la altura del edificio y deben tomarse sólo como mediospara estimar el orden de magnitud del periodo para fines de detectar errores grue-sos en cálculos más refinados. La más popular es la que estima el periodo, ensegundos, como una décima parte del número de pisos del edificio:

1=0.1 n

El coeficiente que la fórmula toma como 0.1, puede variar en un intervalomuy grande. Se han medido en edificios reales sujetos a vibraciones de pocaamplitud, periodos que corresponden a un coeficiente que va desde 0.05 para es-tructuras rígidas con abundancia de muros de concreto o contravientos, hasta 0.20

Características de los edificios que definen la respuesta a sismos

para estructuras muy flexibles. Esta fórmula aproximada, y las siguientes, estánpensadas para estructuras sobre suelo firme. Para terreno blando las deforma-ciones relativas entre la estructura y el suelo suministran significativamente elperiodo fundamental. Para edificios altos en la zona del lago del Distrito Federal,este incremento suele ser entre 20 y 30 por ciento.

Fórmulas un poco más refinadas toman en cuenta el tipo de sistema estruc-tural y hacen depender el periodo de la altura del edificio, H en metros. Entre lasmás usadas están las siguientes (NHRP, 1988):

149

El coeficiente a toma los valores siguientes:

• 0.085 para edificios a base de marcos de acero;• 0.075 para edificios a base de marcos de concreto;• 0.05 para edificios con muros de rigidez o contravientos.

Para tener un cálculo inicial preciso del periodo fundamental del edificio aúnsi es irregular, sin resolver el problema de valores característicos, conviene usar lafórmula de Schwartz, como se ha ilustrado en los ejemplos de la sección 3.4. Seobtiene también una excelente aproximación con el "método del peso" presentadoen el texto de Wakabayashi, 1985. El método consiste en calcular la deflexión enla punta de la estructura sujeta a fuerzas laterales iguales en cada piso al peso dedicho piso. El periodo, en segundos, se obtiene como

T = A1/2/5.5

siendo A la deflexión lateral en la punta, en centímetros.El periodo fundamental de vibración del edificio cobra particular importan-

cia en la zona de terreno blando del valle de México. Allí el movimiento del te-rreno durante un sismo es prácticamente una oscilación armónica con un periodode vibración que depende principalmente del espesor de los estratos de arcilla. Elespectro de respuesta presenta un muy fuerte pico en coincidencia con el periododominante del suelo, el cual se mantiene casiconstante en todos los sismos. Conviene evi-tar en esa situación que los edificios tenganun periodo fundamental de vibración TE, cer-cano al suelo Ts, ya que de ser así estaríansujetos en cada sismo a excitaciones ele-vadas. Es recomendable procurar que

es decir, ubicar la estructura fuera de laregión de respuesta máxima, tal como seindica en la figura 4.1. Los periodos domi-nantes del suelo para los distintos sitios delvalle de México, han sido determinados depruebas geotécnicas y están incluidos en lasNormas Complementarias de Diseño por

Figura 4.1 Intervalo de perío-dos desaconsejables para elmodo fundamental de vibraciónde un edificio.

TE = periodo fundamentalde la estructura

Ts = periodo dominante de!movimiento del suelo

0.7 1 1.2

PERIODO ( j )


150

r/W/Ü',

Chapultepec

Estrella

Figura 4.2 Periodos domi-nantes del movimiento del sueloen el vallesegundos).

de México (Ts en4.2.3 Amortiguamiento viscoso

Sismo, mediante el mapa que sereproduce en la figura 4.2.

Se debe actuar con muchaprecaución y con mucho buenjuicio al adoptar una recomen-dación como la anterior. Si poruna parte el periodo dominantedel suelo en un sitio dado tiene unvalor bastante bien definido y quepuede determinarse con un mar-gen de error razonablemente pe-queño, no sucede lo mismo conrespecto al periodo de la estruc-tura. Este último depende de lamasa de la construcción, que sepuede estimar con cierta preci-sión y de la rigidez lateral de laestructura, que es una propiedadque varía significativamente conel nivel de esfuerzos en los ma-teriales y en cuya estimaciónpueden cometerse errores sustan-ciales. Además, en la determi-nación del periodo de estructurassobre terreno blando deben in-cluirse los efectos de los movi-mientos de la base, ya descritos enel subcapítulo 3.7.

Por las razones anteriores, elintervalo de periodos establecidoen la ecuación 4.1 es muy amplioy aun así es posible cometererrores en la estimación de losperiodos involucrados, que exce-dan de la amplitud del intervalo.

Examinando la ecuación 3.2 se advierte que el amortiguamiento viscoso es otracaracterística estructural que influye en la respuesta sísmica. Esta característicase expresa normalmente como una fracción £ del amortiguamiento crítico. Paratener una idea cuantitativa de la importancia del amortiguamiento, obsérvense losespectros de respuesta mostrados en la figura 3.5. Se aprecia que la magnitud delas ordenadas espectrales disminuye rápidamente al aumentar £, para un ampliointervalo de periodos (salvo para periodos muy cortos o muy largos en que la dis-minución es menos apreciable).

El tipo de amortiguamiento así considerado toma en cuenta fuentes de disi-pación de energía como fricciones internas, fricciones en los apoyos y en elemen-tos no estructurales, etcétera. La magnitud de estos efectos es difícil de cuantificarcon precisión. Los espectros estipulados en los reglamentos corresponden aproxi-

Características de los edificios que definen la respuesta a sismos

madamente a amortiguamientos del cinco por ciento del crítico, y en algunos re-glamentos se advierte que, a menos que medie una justificación proveniente de es-tudios especiales, no deben hacerse reducciones adicionales a los espectros poreste concepto. En realidad es difícil justificar reducciones. Por el contrario, en cier-tas estructuras que tengan pocos elementos estructurales y no estructurales, comotorres de tipo tubular, el amortiguamiento podría ser menor y convendría au-mentar las ordenadas espectrales; en estos casos el factor de incremento puedecalcularse mediante la relación (Arias y Husid,1962).

F = (0.05/£)°-4

La tabla 4.1 muestra valores recomendados por una norma de los EE.UU. para losamortiguamientos de distintos tipos de estructuras.

El amortiguamiento varía significativamente con la amplitud de las vibracionesque experimenta la estructura. Reconociendo lo anterior, la norma referida re-comienda un amortiguamiento para vibraciones moderadas y otro para vibracionesintensas como las que se prevé pueden presentarse en el sismo de diseño. Se apre-cia que el amortiguamiento de 5 por ciento prescrito por los reglamentos de cons-trucción es representativo de la mayoría de los casos.

Poco puede hacerse en la etapa de diseño para aumentar el amortiguamientode la estructura, al menos por lo que respecta a su etapa elástica de compor-tamiento. En años recientes se han desarrollado dispositivos de diversa índole quecolocados estratégicamente en el edificio le proporcionan fuentes significativasde amortiguamiento. Algunos de estos dispositivos se han empleado ya en edifi-cios de la ciudad de México, donde su uso es particularmente indicado porque lavibración de los edificios se debe esencialmente a fenómenos de amplificaciónpor resonancia.

4.2.4 Comportamiento inelástico

Como anotamos en el capítulo inicial y se explicará en mayor detalle en el capí-tulo 6, los reglamentos admiten que el comportamiento de las estructuras rebaseel intervalo lineal ante temblores moderados y severos, y se tengan incursionesimportantes en zonas de comportamiento inelástico durante las cuales se puede

Tabla 4.1 Coeficientes de amortiguamiento típicos de distintos tipos de estructuras(DOE Standard, 1020-94 en U.S. Dept. of Energy, 1994).

TÍDO de €StriiCtliT(l

Concreto reforzado

Concreto presforzado

Acero con conexiones de soldadura ode pernos de fricción

Acero con conexiones de tornillos o remaches

Manipostería

Madera

Porcentaje delamortiguamiento crítico

Niveles bajosde respuesta

42

2444

Niveles altosde respuesta

75

4777


152

CargaFrágil

Dúctil

Deformación

Figura 4.3 Comportamientodúctil y comportamiento frágil.

disipar gran parte de la energía introducida por el sismo. Al proceder de estamanera se permite que las estructuras se diseñen para resistencias muy infe-riores a las que requerirían si se les quisiera mantener en su intervalo elástico-lineal.

Por lo anterior, es importante que la estructura tenga un comportamiento inelás-tico adecuado, para lo cual debe poseer ante todo la habilidad de mantener sucapacidad de carga para deformaciones muy superiores a la de fluencia. En la figu-ra 4.3 se ilustra la diferencia entre un comportamiento dúctil y uno frágil (caracte-rizado por una pérdida intempestiva de resistencia).

Debido a que el sismo introduce en la estructura varios ciclos de solicita-ciones en diversas direcciones, interesa el comportamiento ante repeticionesde cargas alternadas. Éste se representa mediante las curvas carga-deforma-ción obtenidas de ensayes ante cargas alternadas; estas curvas tienen laforma de lazos de histéresis como los mostrados en la figura 4.4. El área in-cluida en estos lazos representa un índice de la capacidad de disipación deenergía que equivale a un amortiguamiento adicional muy importante para laestructura.

Carga Carga

Deformación

a) Lazo de histéresis con grandisipación de energía.

Deformación

b) Comportamiento con deterioro decapacidad de disipación de energía.

Deformación

c) Comportamiento con deteriorode resistencia.

Figura 4.4 Lazos de histéresistípicos de diferentes modalida-des de comportamiento estruc-tural.

Debe procurarse que las estructuras que se construyan en zonas sísmicassean capaces de desarrollar lazos de histéresis con un área incluida muy grandey que además sean estables en ciclos sucesivos, como los mostrados en la figu-ra 4.4.a. Es menos deseable un comportamiento como el representado en lafigura 4.4.b, en que la rigidez y el área incluida se reducen en ciclos poste-riores al primero, lo que conduce a una reducida capacidad de disipación deenergía. Sobre todo deben evitarse casos como el de la figura 4.4.c, en que lacapacidad de la estructura se reduce con la repetición de ciclos, lo que repre-senta un deterioro progresivo de la resistencia, que no sólo reduce la capaci-dad de disipación de energía de la estructura, sino que deja afectada suresistencia para futuros eventos sísmicos. Más adelante en este capítulo, pre-sentaremos brevemente las características del comportamiento inelástico delos materiales y elementos estructurales más comunes en el contexto de sucomportamiento sísmico.

La respuesta inelástica de una estructura en su conjunto depende de laspropiedades de los elementos estructurales que la componen, y éstas a su vezdel comportamiento de las secciones transversales y de los materiales corres-pondientes. Sin embargo, dependen también del número de secciones queincursionen en el rango inelástico y de la secuencia de formación del meca-nismo de falla. El comportamiento de sistemas completos se analizará breve-mente en el subcapítulo 4.5.

Características de los materiales

1534.3 CARACTERÍSTICAS DE LOS MATERIALES

4.3.1 Propiedades relevantes

La respuesta sísmica de una estructura es influida en forma determinante porlas características del material que la compone. Entre estas características lasprincipales son: el peso volumétrico del material (éste define la masa de laestructura y por tanto influye en las fuerzas de inercia que se generan y en losperiodos de vibración); el módulo de elasticidad del material, que es deter-minante en la rigidez lateral de la estructura y en su periodo; la forma de lacurva esfuerzo-deformación del material es importante más allá del solomódulo de elasticidad; la ductilidad del comportamiento y la forma de loslazos de histéresis definen el amortiguamiento inelásticocon que puede contarse.

Interesa también conocer cuáles son las variables queafectan a estas propiedades y la manera de mejorarlas. Enlo que resta de este subcapítulo se señalarán brevemente laspropiedades relevantes de los principales materiales: con-creto, acero (de refuerzo y estructural), manipostería ymadera.

Esfuerzo

fe

Tensión

Compresión

Deformación unitaria,en milésimas

Figura 4.5 Relación esfuerzo-deformación típica del concretosimple.

/c,kgcm

4.3.2 Concreto

La forma de la curva esfuerzo-deformación del concretosimple es bien conocida y se ilustra en la figura 4.5. Seobserva que el comportamiento es frágil, tanto en compresión como en tensióny que la resistencia en tensión es muy limitada (del orden de 10 por ciento dela resistencia en compresión). El módulo de elasticidad inicial depende de lacalidad de los agregados, del peso volumétrico del concre-to y de la velocidad con que se aplica la carga. El tramo decomportamiento lineal es reducido, ya que para esfuerzosde compresión mayores del 40 por ciento del máximoresistente f'c, ocurre un microagrietamiento que reduce larigidez del material. El esfuerzo máximo en compresión sealcanza para deformaciones unitarias cercanas a 0.002 y lafalla por aplastamiento para deformaciones de entre 0.003y 0.004.

Para un tratamiento detallado de las variables queafectan la curva esfuerzo-deformación, véase, por ejem-plo, el texto de González y Robles, 1995. La curva esfuer-zo-deformación se vuelve más frágil para concretos demayor resistencia (figura 4.6). Cuando la solicitación seaplica muy rápidamente, como en el caso de un sismo, lacurva esfuerzo-deformación muestra incrementos en elmódulo de elasticidad y en la resistencia que son del ordende 15 por ciento, como se aprecia en la figura 4.7. Estos incrementos suelenignorarse en el diseño sísmico por ser poco significativos y por depender dela frecuencia de vibración de la estructura.

Las repeticiones de esfuerzos de compresión no causan modificaciones signi-ficativas en la curva esfuerzo-deformación cuando el esfuerzo máximo excede de

Figura 4.6 Relación esfuerzo-deformación de concretos dediferente resistencia.

/c,kg/cm2

300

200

100

Velocidad dedeformación 1%/seg

Prueba estándar

£, (fOO)

Figura 4.7 Relación esfuerzo-deformación del concreto paradistintas velocidades de apli-cación.


154

300

fc, kg/cm2

Figura 4.8 Degradación del concreto ante car-gas repetidas con alto nivel de esfuerzos.

0.7 fc. Para esfuerzos mayores de 0.85 fc

las repeticiones de ciclos de carga deterio-ran rápidamente la resistencia y la rigidez,como se aprecia en la figura 4.8.

En las estructuras de concreto refor-zado se puede reducir o eliminar el com-portamiento frágil propio del concretosimple, si se mantienen bajos los esfuerzosde compresión en el concreto y si se dise-ñan y refuerzan los elementos estructuralesde manera que su capacidad está regidapor la resistencia del acero de refuerzo.

Otra forma muy efectiva de proporcionar ductilidad al concretoes mediante confinamiento. La aplicación de esfuerzos transver-

E, (o/OO)

i f c , kg/cm2

600 -

16E, (°/00) e, (°/00)

a ) Confinamiento con refuerzo helicoidal. b) Confinamiento con estribos.

Figura 4.9 Efecto de! confinamiento por refuer-zo transversal en la curva esfuerzo-deformacióndel concreto.

fc, kg/cm2

1200 -

1000 -

200

sales de compresión no sólo aumenta sustancialmente laresistencia en compresión axial del concreto, sino que incremen-

ta hasta en varios órdenes de mag-nitud la capacidad de deformación(figura 4.9). Un estado similar deconfinamiento se puede lograr en loselementos de concreto en compre-sión mediante un refuerzo transver-sal a base de zunchos o mediantecombinaciones de refuerzo longitu-dinal y transversal (figura 4.10). Enla sección 8.2 se describen los requi-sitos de refuerzo transversal paraproporcionar ductilidad a elementosde concreto en compresión.

Presión lateralconfinante, kg/cm2

e, (o/OO) 4.3.3 Acero

Figura 4,10 Efecto de la presión transversal enla relación esfuerzo-deformación del concreto.

Tanto el acero de refuerzo como elestructural tienen curvas esfuerzo-deformación caracterizadas porun comportamiento lineal prolongado con un módulo de elasti-

Características de los materiales

155

/c, kg/cm*

16000 -

14000 -

6000

4000

2000

20 40 60

cidad de 2 X 106 kg/cm2. El esfuerzo defluencia (real o aparente, f ) y la capacidadde deformación dependen de la composi-ción química del acero y del tratamiento aque éste haya sido sometido. El esfuerzode fluencia aumenta con el contenido decarbono y puede incrementarse por untratamiento de estirado o de torcido aplica-bles en frío. En ambos casos dicho aumen-to va acompañado por una disminución dela capacidad de deformación (deforma-ción unitaria de ruptura eu), así como de larelación entre el esfuerzo máximo y el defluencia (fu/fy~). La meseta de fluencia, enque los esfuerzos son constantes paradeformaciones crecientes, se pierde amedida que aumenta el contenido de car-bono y si se trabaja en frío (estirado o tor-cido).

La figura 4.11 muestra curvas típicasesfuerzo-deformación para aceros de distintos grados. Obsérvese que los fac-tores de ductilidad (deformación de ruptura entre deformación de fluencia) sonsiempre grandes y exceden de diez, aun para los aceros menos dúctiles. Ladeformación de ruptura llega a ser del orden de 20 por ciento para los acerosmás dúctiles. Para velocidades altas de cargas, como las que ocurren en unsismo, el esfuerzo de fluencia aumenta del orden de 5 por ciento, mientras queel módulo de elasticidad y la deformación última no se modificansignificativamente. Por ello la curva obtenida para cargas estáticas seadopta sin modificación para el análisis de efectos sísmicos. La curvaesfuerzo-deformación es prácticamente la misma en tensión y encompresión, si se impide el pandeo del espécimen.

Bajo la aplicación de cargas alternadas que exceden a la fluencia, sereduce la zona en que los esfuerzos son proporcionales a la deformacióny la curva se vuelve más redondeada (efecto Bauschinger); sin embar-go, los ciclos son muy estables, con lazos de histéresis muy amplios ysin evidencia de deterioro, por lo que la capacidad de disipación deenergía es muy elevada y el comportamiento se puede idealizar comoelastoplástico sin deterioro (figura 4.12).

Existe cierta polémica sobre las ventajas del empleo de aceros dealta resistencia, tanto en estructuras de acero estructural como en las de concre-to reforzado. Las desventajas de los aceros de alta resistencia (con esfuerzo defluencia superior a 4200 kg/cm2) residen no tanto en su reducida ductilidad, sinoen que se vuelven críticos los problemas de pandeo y soldabilidad en estructurasde acero estructural, mientras que en acero de refuerzo de estructuras de concre-to son críticos los problemas de adherencia con el concreto.

4.3.4. Manipostería

Las propiedades mecánicas de la manipostería varían en un intervalo muygrande en función de las propiedades de las piezas y del mortero que las une,

Acero laminadoen calienteGrado 42

Acero torcido en fríoGrado 60

Acero laminado en calienteGrado 30

80 100 120 140

e, (o/OO)

Figura 4.11 Curvas esfuerzo-deformación de! acero de re-fuerzo.

Esfuerzo

Deformación

Figura 4,12 Lazos de hisíére-sis para e! acero estructural y derefuerzo.


156

150

100

50

0

MORTERO 1:0:3Tabique huecoextraído \

/

/' Tabique/' /" recocido

•j¿- Bloque de concreto/ r i i0 2 4

e, (o/OO)

Figura 4.13 Curvas típicas es-fuerzo-deformación para mam-postería.

así como del procedimiento de construcción. Por tanto, estas propiedadesdeben ser determinadas mediante ensayes con los materiales y con las técni-cas constructivas particulares de cada caso.

En términos generales la resistencia en tensión es muy baja, la falla esfrágil y la curva esfuerzo-deformación en compresión es prácticamente li-neal hasta la falla. La figura 4.13 muestra algunas curvas representativas demateriales comúnmente usados en el valle de México.

La resistencia en compresión del conjunto piezas-mortero puede variardesde 20-30 kg/cm2 para piezas débiles de barro o de cemento de fabricaciónartesanal, hasta 200 kg/cm2, o más, para piezas de alta calidad producidasindustrialmente. El módulo de elasticidad (E), para cargas de corta duraciónvaría entre 600 y 1000 veces la resistencia en compresión. El módulo derigidez al cortante (G) es cercano al 40 por ciento de E.

La resistencia a cortante (tensión diagonal) es una propiedad muyimportante en el comportamiento sísmico de la manipostería. Es muy va-riable y es influida por las propiedades del mortero de unión. Valores repre-sentativos de las principales propiedades mecánicas de la manipostería seproporcionan en la Norma Técnica respectiva del Reglamento de Construc-

ciones para el Distrito Federal.El comportamiento ante cargas alternadas de elementos de manipostería no

reforzada es esencialmente frágil, especialmente cuando los muros son formadospor piezas huecas cuyas paredes se destruyen progresivamente.

Para limitar el carácter frágil de la manipostería se emplea acero de refuerzoen el interior de los muros o en elementos de confinamiento, con modalidadesque se describen en la sección 4.5.

4.3.5 Madera

Esfuerzo,

Tensión

La madera es un material natural y por tanto sujeto a grandes variaciones en suspropiedades mecánicas. Su principal ventaja en cuanto al comportamiento sísmi-

Figura 4.14 Relaciones típicas CQ es su ^ • Q voiumétrico, que limita las fuerzas de inercia que pueden gene-esfuerzo-deformación para la .madera rarse en la estructura.

El comportamiento es cercano al lineal hasta cerca del esfuerzoresistente. Aunque la madera no puede desarrollar grandes ducti-lidades, las estructuras de este material han mostrado gran capacidadde disipación de energía (amortiguamiento inelástico), resultadoprincipalmente de deformaciones en sus conexiones, por lo que sucomportamiento sísmico ha sido favorable, excepto en los casos enque la madera se encontraba deteriorada por pudrición o ataque deinsectos, y en aquellos en que las conexiones eran inadecuadas.

Las principales reservas sobre el empleo de estructuras demadera están asociadas a su inflamabilidad que se vuelve críticapor los incendios que se suelen generar a raíz de los sismos. Laprotección adecuada se logra mediante recubrimientos y mate-riales aislantes.

De las curvas típicas esfuerzo-deformación de la figura 4.14 seaprecia que el material es más resistente en tensión que en com-presión. Además, su módulo de elasticidad y su resistencia se in-crementan sustancialmente cuando las cargas se aplican a altasvelocidades.

Compresión

Deformación unitaria

Comportamiento de los principales elementos estructurales

157

( Refuerzo de tensión)

bdfc

(Refuerzo de compresión)Figura 4.15 Re-laciones momen-to-curvatura parasecciones de con-creto reforzadosujetas a flexiónpura.

Carga

Deformación

4.4 COMPORTAMIENTO DE LOS PRINCIPALESELEMENTOS ESTRUCTURALES

4.4.1 Vigas y columnas de concreto reforzado

El comportamiento de elementos sujetos a flexión, simple o combinadacon otras fuerzas internas, puede estudiarse con las relaciones momento-rotación obtenidas del ensaye de especímenes representativos o medianteel cálculo analítico de las relaciones momento-curvatura de las secciones,a partir de las hipótesis básicas de resistencia de materiales (seccionesplanas, compatibilidad de deformaciones, curvas esfuerzo-deformacióndeducidas de ensayes en especímenes estándar).

Las curvas de la figura 4.15 muestran, en forma adimensional, las rela-ciones momento-curvatura de secciones rectangulares de concreto reforza-do sujetas a flexión pura, y la variación de estas curvas con las cuantías deacero de tensión Aslbd, y de compresión A 'slbd. Se aprecia que si se usancuantías de tensión bajas (sensiblemente inferiores a las correspondientesa la de falla balanceada), esto es si las secciones son subreforzadas, se ob- Figura 4.16 Lazos de histére-tienen ductilidades muy elevadas, comparables a las del acero de refuerzo. En es- sis de una sección de concretotas condiciones, para una cuantía dada de refuerzo en tensión, el refuerzo en reforzado con falla de flexión,compresión no hace crecer apreciablemente la resistencia,pero da lugar a un incremento importante en la ductilidad.

Cuando la cuantía de refuerzo en tensión es elevada, laductilidad se reduce y se requiere de acero de compresión paraayudar al concreto a re-sistir la resultante de compresión ypara que el refuerzo de tensión pueda alcanzar la fluenciaantes del aplastamiento del concreto.

Ante cargas alternadas se tienen lazos de histéresis ampliosy estables sólo si las secciones son muy subreforzadas ydoblemente armadas, sin efectos importantes de cortante, tor-sión o de adherencia (ver figura 4.16). Cuando los esfuerzoscortantes son elevados y producen agrietamiento diagonalsignificativo, se presenta deterioro de rigidez y en parte tam-bién de resistencia, lo que limita la capacidad de deformación

Figura 4.17 Lazos de histéresis de una viga deconcreto reforzado con esfuerzos altos de cortante.

Carga

Deformación


158

Mfcbh2

f'cbh= 0.52

.0.26

fíbh

0.80

0.52

0.28M

0.80

0.005 0.01 pft

Figura 4,18 Relaciones mo-mento curvatura para seccionesde concreto reforzado sujetas aílexocompresión con diferentesniveles de carga axial.

Figura 4.19 Lazos de histére-sis para columnas de concretoreforzado sujetas a carga axial.

inelástica (figura 4.17). La capacidadde deformación de las vigas queda li-mitada por el aplastamiento del con-creto y el sucesivo pandeo del refuerzode compresión. Si este último se en-cuentra restringido por estribos pocoespaciados, que evitan el pandeo y pro-porcionan confinamiento al núcleo deconcreto, se incrementa sustancial-mente la ductilidad y se hace más es-table el comportamiento ante cargasalternadas.

De estas consideraciones se de-rivan los requisitos de dimensionamiento y refuerzo de vigas de concreto quese describen en el capítulo 8 y que se resumen en limitar las cuantías de refuer-zo de tensión a cierta fracción de la cuantía balanceada, en proporcionar re-fuerzo de compresión, usar estribos cerrados en las secciones críticas y tomarfactores de seguridad mayores, con respecto a los de flexión, para la revisión dela resistencia ante modos de falla de cortante, torsión y adherencia, en los que nose puede alcanzar la misma ductilidad que en el caso de flexión.

En columnas, como se aprecia en la figura 4.18, la ductilidad se reduce sustan-cialmente a medida que aumenta la carga axial. Cuando ésta es superior a la cargaaxial balanceada, es decir, cuando la falla es por compresión, prácticamente no hayductilidad. La ductilidad se puede aumentar significativamente proporcionando con-finamiento al núcleo de concreto mediante un zuncho helicoidal. El confinamientocon estribos es menos efectivo que el helicoidal, pero también mejora la ductilidad.

Ante repeticiones de cargas alternadas se tienen deterioros drásticos derigidez y resistencia de las columnas si las secciones no se encuentran perfecta-mente confinadas y, aun en las mejores condiciones de confinamiento, el área delos lazos de histéresis es reducida cuando la carga axial es muy elevada (ver figu-ra 4.19). De allí se derivan los requisitos de las normas de concreto para columnasde marcos dúctiles que requieren colocar abundante confinamiento, mantenerbajos niveles de carga axial mediante tamaños generosos de las secciones yemplear factores de seguridad mucho mayores para columnas que para vigas.Estos requisitos se describen en el capítulo 8.

MomentoMomento

a ) Carga axial baja. b) Carga axial elevada.


Para mayores detalles sobre el comportamiento sísmico de estos elementosestructurales y de los otros de concreto reforzado puede verse el texto de Paulayy Priestley (1992) o el de Wakabayashi (1986).

4.4.2 Uniones viga-columna en concreto reforzado

No tiene sentido cuidar la resistencia, rigidez y ductilidad en los elementos es-tructurales, si éstos no se conectan entre sí de manera que estas características sepuedan desarrollar plenamente. El diseño de una conexión debe tener como obje-tivo que su resistencia sea mayor que la de los elementos que se unen y que surigidez debe ser suficiente para no alterar la rigidez de los elementos conectados.

Tensión

T C c ) Distribución de esfuerzos en laa ) Equilibrio de b) Esfuerzos en barra de una viga cuando no hay

momentos las barras suficiente longitud de desarrolloen la conexión. de refuerzo. en el ancho de la columna.

Los aspectos críticos en el comportamiento sísmico de las uniones entre vigasy columnas de concreto reforzado son la adherencia, el cortante y el confinamien-to. Las condiciones de adherencia para el acero longitudinal de las vigas son desfa-vorables debido a que es necesario transferir esfuerzos elevados al concreto enlongitudes relativamente pequeñas. La situación es crítica no sólo en conexionesextremas, donde es necesario anclar el refuerzo longitudinal, sino también enuniones interiores donde el signo de los esfuerzos debe cambiar de tensión a com-presión de una a otra cara de la columna (ver figura. 4.20). La adherencia se ve afec-tada cuando se presentan grietas diagonales por los efectos de fuerza cortante. Eldiseño por fuerza cortante de una unión viga-columna requiere la determinación delas fuerzas que se desarrollan cuando en los extremos de las vigas se forman articu-laciones plásticas, es decir, cuando las barras longitudinales de las vigas que llegana la conexión alcanzan la fluencia en tensión en unacara de la columna y en compresión en la otra cara.

Cuando no se cuenta con la suficiente longitud dedesarrollo del refuerzo que cruza la conexión o cuan-do la resistencia en cortante es insuficiente para evitaragrietamiento diagonal en la conexión, los lazos dehistéresis presentan una zona de rigidez muy baja y undeterioro considerable como se aprecia en la figura4.21. De allí que los requisitos de armado de lasconexiones exijan refuerzo horizontal, prolongandolos estribos de la columna en esta zona, y fijen unarelación mínima entre el ancho de la conexión y eldiámetro de las barras que la cruzan (ver capítulo 8).

159

Figura 4.20 Estado de esfuer-zos en una conexión viga-columna interior.

Figura 4.21 Lazos de hisíére-sis de una conexión viga-colum-na de concreto con problemasde adherencia.

Momento

160Propiedades de materiales y sistemas estructurales

o) Modo de falla. b) Lazos de histéresis.

Figura 4.22 Modo de falla ylazos de histéresis de un murocorto de concreto reforzado.

4.4.3 Muros de concreto

Los muros de concreto son ele-mentos muy eficientes para ab-sorber efectos sísmicos en losedificios, por su gran rigidez ycapacidad a cargas laterales. Elcomportamiento de los murosdifiere en forma importante de-pendiendo de su relación alturatotal a longitud (H/L). En murosbajos (H/L ^ 2) rigen principal-mente los efectos de cortante; laresistencia y rigidez a cargas la-terales son muy elevadas, pero elcomportamiento tiende a ser frágil

por la preponderancia de los efectos de cortante. Con un refuerzo vertical y hori-zontal abundante se limita al deterioro de la capacidad ante cargas repetidas. Elcomportamiento mejora además sustancialmente si el muro está rodeado por unmarco robusto de concreto y actúa como diafragma de éste (ver figura 4.22).

Los muros esbeltos (H/L > 2) actúan esencialmente como vigas envoladizo; la carga axial sobre ellos es generalmente pequeña y dominan losefectos de flexión (ver figura 4.23). Para evitar el pandeo y el aplastamien-to del concreto en el extremo comprimido del muro, es necesario confinarel refuerzo longitudinal formando columnas extremas con abundancia de es-tribos. En estas circunstancias se llega a obtener un comportamiento muyfavorable ante cargas repetidas (figura 4.24). Para ello hay que sobrepro-teger al muro ante fallas por cortante, sea por tensión diagonal o por des-lizamiento sobre la base.

Las aberturas que con frecuencia es necesario dejar en los muros porrazones de funcionamiento de los edificios, constituyen zonas alrededor de lascuales se presentan grandes concentraciones de esfuerzos y que requierenextremadas precauciones en su refuerzo para limitar el deterioro. Los requisi-tos específicos los describiremos en el capítulo 8.

a )Flexión. Tensión diagonal.

c)Cortantehorizontal.

rf)Levantamiento dela cimentación.

Carga 'lateral

Figura 4.23 Modos de falla de muros esbeltos. Figura 4.24 Lazos de histéresis de un muro esbel-to de concreto reforzado con falla de flexión.


4.4.4 Vigas y columnas de acero estructural

Para un tratamiento detallado del comportamiento y del diseño de estructurasde acero se recomienda el texto de De Buen (1980). Para los aspectos especí-ficos del comportamiento sísmico de los distintos elementos de este materialpuede verse el capítulo escrito por Nicoletti en el libro editado por Naeim(1989).

Por las excelentes características del material, los elementos de acero son engeneral capaces de desarrollar grandes ductilidades y de disipar mucha energíapor comportamiento inelástico; sin embargo, estas características pueden versetotalmente canceladas si el diseño de los elementos es tal que se presentan fenó-menos de pandeo o de fractura frágil. Los problemas de pandeo aparecen encualquiera de las siguientes circunstancias:

a) Pandeo local de placas comprimidas con altas relaciones ancho a espesor.ti) Pandeo en flexión de columnas esbeltas.c) Pandeo lateral de vigas y columnas.d) Efectos P - A, que consisten en la inestabilidad lateral de marcos flexibles

sujetos a cargas verticales elevadas.

161

OLM Pandeo elástico(pandeo lateralo local).

OAHI Pandeo inelástico.OAJFG Falla por pandeo

lateral o localdespués de lafluencia.

OAB Plastificaciónsin pandeo.

CURVATURA

En estructuras sujetas a sismo deben evitarse losfenómenos mencionados, no sólo dentro del inter-valo lineal elástico del comportamiento de la estruc-tura, sino también después de que se ha alcanzado lafluencia en partes del elemento y se ha reducidosustancialmente la rigidez. La ocurrencia de fenó-menos de pandeo inelástico, aunque no afecte lacapacidad de carga del elemento, impide se desa-rrolle íntegramente la capacidad de deformación dela estructura. Los distintos fenómenos de pandeoque pueden presentarse se ilustran esquemática-mente en las curvas momento-rotación de la figu-ra 4.25 para vigas y 4.26 para columnas. En vigaslos problemas de pandeo lateral se evitan usandosecciones compactas, es decir, con baja relación

Figura 4.25 Relaciones mo-mento-curvatura de vigas de ace-ro con distintos modos de falla.

Figura 4.26 Relaciones mo-mento-curvatura de columnasde acero.

Relación teórica sinefectos de esbeltez

Sin pandeo lateral o local

Pandeo local

<|> Curvatura


162

Figura 4.27 Lazos de histére-sis de vigas de acero. a) Sin pandeo lateral. b) Con pandeo lateral.

ancho a espesor y los de pandeo lateral proporcionando arriostramiento trans-versal (véase capítulo 8). Se pueden lograr así lazos de histéresis sumamenteanchos y estables como los mostrados en la figura 4.27a.

En las columnas la capacidad de rotación disminuye apreciablemente al au-mentar la carga axial. Cuando dicha carga es más de la mitad de la resistencia dela columna (PIPy ^ 0.5), la capacidad de rotación es sumamente reducida. Laductilidad también disminuye al aumentar la relación de esbeltez de la columna.Los lazos de histéresis muestran mucho deterioro para cargas axiales altas o paraesbelteces elevadas, por lo que es recomendable evitar comportamiento inelásti-co en estos elementos (ver figura 4.28).

En adición a los fenómenos de pandeo hay que evitar problemas de fallafrágil que puedan ser debidos a fallas de tensión en la sección neta de conexionesremachadas o atornilladas, a fractura de soldadura por concentraciones de esfuer-zos, o a fractura por fatiga en secciones que hayan sido previamente sometidas aun gran número de ciclos de esfuerzos de intensidad moderada.

Figura 4.28 La-zos de histéresisde columnas deacero con dife-rente relación deancho a espesordel alma.

Carga

Carga 11

Deformación

Carga

Deformación Deformación

c)bit = 16

4.4.5 Conexiones viga-columna de acero

Para asegurar la continuidad entre vigas y columnas de un marco, las conexionesdeben ser rígidas y capaces de transmitir momentos flexionantes elevados. Las


163

a)

Pandeo del alma.

b)

Distorsión por cortante del alma.Figura 4.29 Modos de fallade conexiones viga-columna deacero.

fallas que se pueden presentar en la conexión son debidas apandeo o fractura por las concentraciones de esfuerzos transmi-tidos por los patines o a fluencia por cortante del panel de laconexión (figura 4.29).

El diseño adecuado de la conexión determina el espesornecesario de la placa del panel y la posible adición de atiesa-dores para la correcta transmisión de los esfuerzos. Con las pre-cauciones debidas, se logra un excelente comportamiento de lasconexiones, como el evidenciado por los lazos de histéresis de lafigura 4.30. Nuevamente, es recomendable diseñar la conexióncon factores de seguridad mayores que los que se adoptan parael diseño de los elementos conectados.

4.4.6 Contravientos de acero

La inclusión de diagonales de acero en los marcos proporciona un incrementonotable en la rigidez y resistencia a cargas laterales; los contravientos resultanmuy eficientes por ser elementos que trabajan a carga axial.

En estructuras pequeñas los contravientos suelen estar constituidos porbarras que trabajan exclusivamente como tensores incapaces de tomar fuerzasde compresión. En este caso la capacidad de disipación de energía por com-portamiento inelástico es reducida, ya que los contravientos sólo disipanenergía cuando son sujetos a deformaciones inelásticas adicionales a la máxi-ma experimentada anteriormente. Como se aprecia en la figura 4.31, los lazos

P(kN)

Figura 4.30 Lazos de histére-sis de una conexión viga colum-na de acero.

Figura 4.31 Comportamientode contravientos delgados.

HH

a)Deformación del

tablero contraventeado.

A B

b) c)

Deformación delas dos diagonales.

d)Lazo de

histéresis delconjunto.

e)Lazo para

deformación máximaconstante.


164

de histéresis ante una deformación máxima constanteno tienen prácticamente área incluida.

Cuando los contravientos son a base de elementosrobustos capaces de tomar cargas de compresión, el com-portamiento es más complejo, pero la capacidad de di-sipación de energía es sustancialmente mayor. Ésta dependede la relación de esbeltez de los miembros. Los lazos dehistéresis muestran generalmente algún deterioro por elpandeo repetido de los elementos de compresión (figura4.32). Debe cuidarse el diseño de la conexión entre loscontravientos y el marco, la que puede fallar frágilmentepor la repetición de ciclos de carga.

Figura 4.32 Lazos de histére-sis de un marco de acero concontravientos robustos.

Figura 4.33 Lazos de histére-sis para muros de manipostería.

4.4.7 Muros de manipostería

La pobre reputación que la manipostería tiene en varios países como materialresistente a sismos, se debe esencialmente a la falla de construcciones a base demateriales de muy baja calidad y sin elementos adecuados de conexión de losmuros entre sí y de éstos con los pisos y techos. Las fallas se han debido princi-palmente a volteo de muros en dirección normal a su plano y a cortante de murosno reforzados o con grandes huecos.

En construcciones modernas con elementos de liga y refuerzo, el desempeñode la manipostería se ha considerado excelente dentro de ciertos límites de altu-ra de la construcción y de cantidad y distribución de muros.

Los muros de manipostería pueden colocarse como paredes de relleno en cru-jías de marcos de concreto o de acero (muros diafragma); en este caso el compor-tamiento muestra cierta ductilidad y capacidad de disipar energía, si la resistenciaen cortante de los extremos de las columnas es suficiente para contener la grietadiagonal que se forma en la manipostería cuando se rebasa su capacidad a fuer-za cortante (ver figura 4.33a). Aun en esta situación, el comportamiento es frágil y

V, en ton V, en ton40-

30-

20-

10-

a) Muro de tabique macizo comodiafragma de un marco robustode concreto.

-10

-20

-30

-40

-L -50

b ) Muro de bloque hueco de concreto concantidad moderada de refuerzo interior.

Comportamiento de sistemas estructurales

165con degradación si la manipostería está formada por piezas huecas de paredesdelgadas.

La modalidad de uso de muros de manipostería más usual en México y enotros países latinoamericanos es la llamada manipostería confinada en que se co-locan, en los extremos de los muros y en sus intersecciones, elementos delgadosde concreteo reforzado que tienen la función de ligar los muros y de evitar elcolapso de los mismos cuando éstos se agrietan diagonalmente. El comporta-miento ante ciclos de carga repetida muestra una disipación de energía limitada,pero dista de corresponder a una falla frágil.

En los países más industrializados se emplea para zonas sísmicas la mani-postería reforzada, en donde mediante refuerzo en el interior de los muros, en lasjuntas y en los huecos de las piezas, se logra un comportamiento similar al delos muros de concreto reforzado. Para ello es necesario que todos los huecosde las piezas se hayan rellenado con mezcla de concreto de alto revenimiento(grout) y que el refuerzo se encuentre perfectamente anclado y que sea conti-nuo. Para las bajas cuantías de refuerzo que se colocan usualmente en estosmuros en nuestro medio, el comportamiento es frágil por la falla por cortante,como se muestra en la figura 4.33b. Ha sido además frecuente encontrar de-fectos de colocación del refuerzo y huecos de las piezas sóloparcialmente llenados de mezcla, por lo que esta modali-dad de refuerzo requiere de especiales cuidados en la eje-cución de la obra. El comportamiento y diseño sísmico demuros de manipostería según la práctica de los EE.UU. yde Nueva Zelanda se trata en detalle en el texto de Pau-lay y Priestley (1992). Para la práctica de América Latinavéase Meli (1994).

P ( k N )

4.4.8 Paredes de madera

La madera se emplea en distintas modalidades para formarpaneles resistentes a cargas laterales. La más común se for-ma con armazones de elementos delgados de madera cu-biertos por paneles de madera contrachapada o de yeso. Las paredes así for-madas proporcionan elevada rigidez y resistencia a cargas laterales y una disi-pación de energía notable por los lazos de histéresis en campo inelástico. Unejemplo de comportamiento típico se muestra en la figura 4.34. El punto de po-sible debilidad de estos sistemas se encuentra en las conexiones con la cimen-tación y con los sistemas de piso y techo. En los países donde son comunesestos sistemas, se han desarrollado procedimientos de conexión eficientes y sehan determinado los parámetros de resistencia y demás propiedades necesariaspara su diseño (véase por ejemplo Faherty y Williamson, 1995).

Figura 4.34 Lazos de histére-sis de un diafragma de maderaa base de paneles contrachapa-dos.

4.5 COMPORTAMIENTO DE SISTEMASESTRUCTURALES

4.5.1 Respuesta no lineal de sistemas

El comportamiento de una estructura en su conjunto depende del tipo de com-portamiento que tengan los elementos que la componen, pero depende también


166

Configuración original

Configuracióndeformada

Figura 4.35 Desplazamientorelativo de entrepiso.

Figura 4.36 Desplazamientototal de un marco en su etapaelástica.

en forma importante de la manera en que estos elementos se encuentran integra-dos y conectados para formar la estructura en su conjunto.

Es particularmente importante estudiar el comportamiento en la etapa no li-neal de la estructura y relacionarlo con la respuesta local de las secciones y ele-mentos. El mecanismo de comportamiento no lineal de la estructura depende deltipo y número de secciones que sobrepasen la etapa lineal. Mientras mayor seael número de secciones que participen de la deformación no lineal y mientras másdúctil sea el comportamiento de estas secciones, mayor ductilidad tendrá el sis-tema en conjunto.

Para un sistema dado, el mecanismo de deformación inelástica que se llegaráa presentar depende de las resistencias relativas de las secciones para cada posi-

ble modo de falla. Por tanto, en la etapa de diseño se puede influir enel mecanismo de deformación inelástica de la estructura, al decidir laresistencia que deben tener las distintas secciones para los diferentesmodos de falla. Un aspecto esencial del diseño sísmico consiste en pro-porcionar a las diferentes partes de la estructura resistencias tales quehagan que en conjunto se desarrolle la máxima ductilidad posible. Estees el principio del criterio de diseño por capacidad que se ha esboza-do en el capítulo 1 y para el cual se ilustrarán algunas aplicacionesprácticas para estructuras de concreto, en el capítulo 8.

4.5.2 Medidas de la respuesta no lineal de sistemas

Una medida representativa de la respuesta de un sistema estructuralsujeto a cargas laterales es el desplazamiento relativo de entrepiso; esdecir, el incremento en el desplazamiento lateral entre un piso y elsiguiente (figura 4.35). Resulta conveniente el uso de un índice adi-mensional de esta medida de la respuesta, dividiendo el desplazamien-

to relativo del entrepiso entre la altura del mismo:

y=MH

Este índice se denomina distorsión de entrepiso, o deriva, y es el más emplea-do para cuantificar la respuesta de edificios, para comparar el comportamiento dediferentes sistemas y para estimar el grado de daño que puede presentarse, tantoen la estructura misma como en los elementos no estructurales.

Una medida global de la respuesta del conjunto es el desplazamiento má-ximo de la estructura, generalmente en la punta (figura 4.36). Éste es la sumade los desplazamientos relativos a todos los entrepisos que constituyen la es-tructura.

Cuando se habla de ductilidad de la estructura en su conjunto, ésta se relacio-na con el comportamiento del entrepiso más crítico, o con el del desplazamientototal de la estructura en la punta.

Se puede hablar, entonces, fe factor de ductilidad de entrepiso como la rela-ción del máximo desplazamiento que puede aceptar el entrepiso antes del colap-so y el desplazamiento al que se presentó la primera fluencia en alguna secciónde los elementos que lo componen: también se puede hablar de factor de ducti-lidad global o de conjunto de la estructura, como la relación entre el desplaza-miento en la punta al presentarse el colapso y el desplazamiento en la punta alpresentarse la primera fluencia en alguna sección.


167En términos generales, para que se desarrolle cierto factor de ductilidad de

conjunto, se requiere un factor de ductilidad local mucho mayor. Esto se ilustraráa continuación con algunos ejemplos representativos y es un aspecto importantepara estimar el grado de ductilidad que puede llegar a desarrollar una estructura.

4.5.3 Relación entre ductilidad de unelemento y ductilidad de una sección

La ductilidad de una sección se representa usualmentemediante la relación entre curvatura última y curvatura defluencia de la sección sujeta a momento flexionante. Larelación momento-curvatura (M-</>) describe el compor-tamiento.

Como el más simple de los elementos, tomaremos unaviga en voladizo sujeta a una carga uniforme, cuya res-puesta se define por la relación entre la carga total aplica-da y el desplazamiento en la punta (V-A).

La ductilidad de la viga se expresa como la relaciónentre el desplazamiento de colapso y el de fluencia (figu-ra 4.37)

TMu

a) Esquema de laviga

b) Diagrama demomentos

1

ÍP

c) Diagramade curvaturas

E

El desplazamiento de colapso es la suma de una partelineal y una de deformación plástica

AH = A, + A,

La deformación plástica es igual a la rotación de la articulación plástica mul-tiplicada por la longitud de la viga

Figura 4.37 Distribución decurvaturas elásticas y plásticasen una viga en voladizo.

La rotación de la articulación plástica se determina como la curvatura decolapso menos la curvatura a la que inicia la fluencia, multiplicada esta diferen-cia por la longitud de plastificación, o sea la porción de la viga en que se propa-ga la plastificación

0P = /„(</>„-40

El desplazamiento de fluencia de la viga se calcula en función de la rotaciónde fluencia, por relaciones de mecánica de materiales

Por lo anterior

= 1 + 4

El cociente A,/AV es la ductilidad de curvatura de la sección, que se identifi-cará como fie. La relación entre el factor de ductilidad de desplazamiento de laviga /u,A, y el de curvatura de la sección crítica f¿e queda expresada como


168

La longitud de plastificación para una articulación plástica que se forma en unempotramiento se estima conservadoramente como la mitad del peralte de la viga

= hJ2

Por tanto,

4.2

Para valores usuales de la relación peralte a longitud de viga (hjlv < 1/4), seaprecia que para lograr un factor de ductilidad dado en la viga, se requiere un fac-tor de ductilidad significativamente mayor para la sección. Por ejemplo, para unaviga con relación hjlv — 1/4 , se tiene

si se quiere lograr /AA = 4, se requiere /A^, = 7.

De manera semejante, para hjlv = 1/8, se tiene

3)/4

Figura 4.38 Elástica y momen-tos en un marco sujeto a cargaslaterales.

a) Deformada de la elástica.

y para lograr /AA = 4 se requiere /¿^ = 13.

El ejemplo simplificado anterior puede considerarse representativo de unedificio en que las cargas laterales son resistidas principal-mente por un muro de concreto (o un núcleo). Este muro esesencialmente un elemento sujeto a flexión y se comportacomo la viga en voladizo aquí estudiada. Por tanto, la res-puesta del edificio puede representarse en función deldesplazamiento en la punta del muro, para el cual el fac-tor de ductilidad (/AA) es función de la rotación de la articu-lación plástica que se forma en la base del muro. Los dosfactores quedan relacionados por la ecuación 4.2. Si supo-nemos que el muro tiene una longitud de 4 m y que la alturadel edificio (y del muro) es de 32 m, la relación hjlv es 1/8,y para que la estructura logre un factor de ductilidad de 4, lasección crítica debe desarrollar un factor de ductilidad de 13,el cual es muy elevado, aunque factible si la carga axial so-bre el muro es muy baja y si se eliminan problemas de pandeo.

b) Momentos en columnatípica.

4.5.4 Relación entre ductilidad de entrepisoy ductilidad de la sección crítica

Un entrepiso de un marco sujeto a cargas laterales tiene unaconfiguración deformada como la que se muestra en la figu-ra 4.38. Si los claros y alturas de entrepiso son constantes y


169

así las rigideces de vigas y colum-nas, se presentan puntos de infle-xión en el centro de los claros y amedia altura. La relación entre eldesplazamiento relativo de entre-piso y la rotación en la base dela columna, en el intervalo linealy hasta la fluencia vale (ver figu-ra 4.38b), a ) Mecanismo de articulaciones

plásticas en columnas.

=ec/c

b ) Deformación plástica delentrepiso.

en que lc es la altura de entrepiso.Se identifican dos mecanismos básicos de deformación inelástica; el de

columnas débiles- vigas fuertes en el que las articulaciones plásticas se presentanen los extremos de las columnas (figura 4.39a), y el de columnas fuertes-vigasdébiles en que las articulaciones plásticas se presentan en los extremos de las vi-gas (de momento negativo en una cara de la columna y de momento positivo enla otra, figura 4.40a).

a) Mecanismo de columna débil-viga fuerte

El cálculo puede hacerse aislando una columna del entrepiso (figura 4.39b).El desplazamiento de colapso vale

Figura 4.39 Mecanismo defalla de un entrepiso por colum-nas débiles vigas fuertes.

= Oclc

L =

Para lp = hJ2, en que hc es el peralte de la columna

Para hjlc = 1/4, /¿A = 1 + 3/4

Para hjlc = 1/8, ¿IA = 1 + 3/8

Si se quiere lograr ¿IA = 4 serequiere que /JL^, = 5 para el primercaso y //,£ = 9 en el segundo. La di-ferencia entre la ductilidad de en-trepiso y la ductilidad local decurvatura no es extremadamentegrande; sin embargo, hay que to-mar en cuenta que las columnaspor estar sujetas a cargas axiales

1).

1).

Figura 4.40 Mecanismo defalla de un entrepiso por colum-nas fuertes vigas débiles.

ev = 2ec

A, = ee/,

a) Mecanismo de articulaciónplástica de vigas.

b) Deformación plástica delentrepiso.


elevadas no son capaces de desarrollar ductilidades significativas, por lo tanto, estemecanismo de falla es indeseable.

b) Mecanismo de columna fuerte-viga débil

Nuevamente, aislando una columna interior y el nudo con las vigas, se apreciade la figura 4.40b, que entre la rotación de la articulación plástica de las vigas 6^y la rotación de la columna se da la relación

Por lo que

para lp = hJ2

/*A= 1 + (3/2) (V/c)0*í - 1)

Para la relación entre peralte de la viga hv y altura de columna hc, se tomarántambién dos valores; para hjlc = 1/4,

M A = ! + (3/8)0^-1)

Para lograr /AA = 4 se requiere /¿^ = 9.

Cuando hjlc = 1/8; se tiene /IA= 1 + (3/16)(/¿8- 1)

Y para lograr /XA = 4 se requiere /A^, = 17.

Las demandas de ductilidad locales necesarias para lograr una ductilidaddada de entrepiso, son en este caso mucho mayores que en el anterior; sin embar-go, hay que considerar que las articulaciones plásticas en las vigas son capacesde desarrollar ductilidades muy superiores que las de columnas.

Para una comparación más realista entre los dos mecanismos es necesarioanalizar el marco en su conjunto, como se hace de manera simplificada en la sec-ción siguiente.

4.5.5 Relación entre ductilidad global de un marcoy ductilidad local de la sección crítica

Consideremos el marco de la figura 4.36 y supongamos, con una simplificaciónextrema, que el desplazamiento lateral de entrepiso en la etapa de compor-tamiento lineal, es constante para todos los entrepisos. Esto implica que las sec-ciones de vigas y columna de cada entrepiso se han dimensionado de manera quesus momentos de inercia varían proporcionalmente a la fuerza cortante que actúaen el entrepiso.

Propiedades mecánicas y geométricas de los elementos estructurales

En este caso la deformación lateral en la punta del marco es la suma de ndesplazamientos (iguales) de entrepiso, y su relación con la curvatura delextremo de una columna cualquiera vale

ky = n<])y 12/6

Para que se presente el colapso del marco con mecanismo de columnadébil-viga fuerte basta con que este mecanismo se forme en un solo en-trepiso (figura 4.41). Por tanto, la deformación plástica es la misma que lacalculada para el estudio de un entrepiso y se tiene

- f(^"1}n lc

171

Para / = h/1; hv/lc = 1/8 y n= 12

M A = 1 + (1/32)0^-1)

Lo anterior implica que para que una estructura de 12 pisos desarrolle un fac-tor de ductilidad de 4 se requiere que localmente, en las columnas del entrepisodonde se forman las articulaciones plásticas, se presenten rotaciones inelásticasque corresponden a un factor de ductilidad de curvatura de 97. Esto excede total-mente la capacidad de rotación de las columnas, por lo que este mecanismo decolumnas débiles-vigas fuertes es altamente indeseable.

Con relación al otro mecanismo de columnas fuertes-vigas débiles, paraque la estructura en su conjunto llegue al colapso se requiere que se formen ar-ticulaciones plásticas en todos los pisos y además en la base de las columnas, enla forma mostrada en la figura 4.42. Para esta condición la relación entre la duc-tilidad de conjunto y la ductilidad local es aproximadamente la misma que sedeterminó para un entrepiso aislado.

Se concluye que el mecanismo de columnas débiles-vigas fuertes debe evitarsemediante el diseño adecuado de la resistencia relativa entre las vigas y columnas queconcurren a un mismo nudo, de manera de favorecer que se formen articulacionesplásticas en las vigas y no en las columnas con el mecanismo llamado de columnasfuertes-vigas débiles. La manera de lograrlo se ilustra en el capítulo 8. Otro aspectoa considerar es que para obtener cierto factor de ductilidad global de la estruc-tura, se requiere desarrollar ductilidades locales en las secciones críticas variasveces superiores a dicho valor.

4.6 PROPIEDADES MECÁNICAS Y GEOMÉTRICASDE LOS ELEMENTOS ESTRUCTURALES PARAEL ANÁLISIS DE LOS EDIFICIOS

Para efectuar el análisis lineal de un marco se requiere conocer el módulode elasticidad del material que constituye los elementos estructurales, elárea y el momento de inercia de las secciones transversales de los mismos.

Según las Normas de Concreto del RCDF, el módulo de elasticidad delconcreto (en kg/cm2) debe tomarse como 13000 \fc para concreto clase 1y como 8000 \/fc para clase 2. El concreto clase 1 es el que se elabora conagregados de alta calidad y peso volumétrico normal, mientras que el cla-se 2 es el que se obtiene con los agregados que se encuentran normalmente

Figura 4.41 Mecanismo defalla de entrepiso de un marcopor columna débil.

Figura 4.42 Mecanismo defalla de entrepiso de un marcopor columna fuerte viga débil.


en el valle de México y que tienen un peso volumétrico bajo y un elevado con-tenido de polvos.

Para valuar las propiedades geométricas de columnas de concreto reforzadose puede considerar la sección bruta, pensando que las mismas, por estar sujetasgeneralmente a compresiones altas, no tendrán mucho agrietamiento.

En vigas de concreto reforzado que no estén coladas monolíticamente con laslosas, es razonable usar el momento de inercia de la sección agrietada transforma-da, el cual, para secciones rectangulares con porcentajes usuales de refuerzo, valealrededor del 60 por ciento del momento de inercia de la sección bruta. Si las vigasestán coladas monolíticamente con la losa, entonces, en las zonas de momentospositivos, existen patines que dan lugar a una sección T cuyo momento de inerciavale de 1.5 a 2 veces el de la sección rectangular. Este efecto tiende a compensarsecon el de la reducción debida al agrietamiento, y parece adecuado en estos casosemplear el momento de inercia de la sección rectangular bruta (sin considerar lareducción por agrietamiento, ni el aumento por la contribución de la losa).

Cuando el marco por analizar es una idealización de un sistema a base de losasplanas (aligeradas o macizas) y columnas, se recomienda, de acuerdo con resulta-dos experimentales, considerar que el ancho efectivo de la losa es c + 3/i, dondec es el ancho de la columna (perpendicular al plano del marco) y h el peralte totalde la losa plana. Si la losa es aligerada, entonces conviene considerar un momen-to de inercia promedio entre el de los apoyos (donde hay una zona maciza) y el dela zona central (donde se deben descontar los huecos de los casetones).

Para edificios de acero, el módulo de elasticidad tiene un valor muy conocido,2 000 000 kg/cm2, independiente del tipo de acero. Las propiedades de las sec-ciones transversales vienen tabuladas en varios libros y manuales, o, en caso de noser así, se pueden calcular con base en las dimensiones nominales de diseño.

Con frecuencia se busca que losas de piso de concreto reforzado trabajen enconjunto con las vigas de acero en que se apoyan, dando lugar a las llamadas sec-ciones compuestas. Esto requiere que entre losa y vigas exista la capacidad pararesistir los esfuerzos cortantes que implica este trabajo solidario, para lo cual esgeneralmente necesaria la utilización de conectores, especialmente diseñados. Eneste caso, en las zonas de momentos positivos debe considerarse el momento deinercia de la sección compuesta (dividiendo el área de concreto entre la relaciónde módulos de elasticidad), y en las zonas donde los momentos son negativos, de-be usarse sólo el momento de inercia de la sección de acero. Parece razonableemplear un promedio de dichos momentos de inercia, como un valor constantepara toda la viga.

Como puede inferirse de las correspondientes matrices de rigidez, paraanalizar sistemas con muros es necesario conocer los módulos de elasticidad y decortante, el momento de inercia, el área axial y el área de cortante de cada muro.En el caso de diagonales se deben conocer módulos de elasticidad y el área desección transversal de cada una de ellas. Es aceptable considerar que el concretoes un material isótropo, con un módulo de Poisson de aproximadamente 0.2, locual implica que su módulo de cortante Gc, es igual a £c 12A.

Para estos muros se acostumbra calcular el momento de inercia con base ensu sección bruta, incluyendo el aporte de columnas o muros perpendiculares enlos extremos, que trabajan como si fuesen patines y dan lugar a secciones de lostipos T, L, C o similares. El área de cortante de secciones de formas distintas sederiva de consideraciones de resistencia de materiales. Los valores para algunassecciones comunes se muestran en la tabla 4.2. En estos casos, si un muro que

Propiedades mecánicas y geométricas de los elementos estructurales

Tabla 4.2. Área de cortante de algunas secciones.

Sección Área de cortante

Rectangular de dimensiones b, h

T.C.L con altura de peralte d y espesor í

Circular sólida de radio r

Tubo rectangular de dimensiones b, hy espesor t

Tubo circular de radio r y espesor t

5bh/6

dt

0.9 TT r2

2btó2htsegún la dirección de la cortante

0.5 TT n

funge como patín tiene un espesor t, su ancho efectivo puede considerarse iguala 6í, a menos que el ancho real sea menor. La contribución de estos anchos efec-tivos también puede incluirse en el área de la sección transversal que intervieneen el cálculo de las deformaciones axiales, pero debe excluirse al valuar el áreade cortante, la cual es igual al área del muro que hace las veces de alma.

De acuerdo con la norma correspondiente, las propiedades mecánicas de lamanipostería se calculan a partir de su resistencia nominal a compresión f*m,sobre el área bruta. f*m se puede determinar a partir de ensayes de pilas, o dela resistencia nominal de las piezas y el mortero; sin embargo, para cuando nose realicen determinaciones experimentales, se da allí una tabla de valoresindicativos de f*m, en función de los tipos de pieza y de mortero, la cual sereproduce aquí como tabla 4.3.

De acuerdo con las normas, para cargas de corta duración como las sísmi-cas, el módulo de elasticidad Em es igual a 600 f*m, si la manipostería es de ta-biques o bloques de cemento, e igual a 400 f*m, para manipostería de tabiquede barro.

Las propiedades geométricas de muros de manipostería, como momentosde inercia o áreas de cortante, se pueden determinar con los criterios que sedieron para muros de concreto en párrafos anteriores, con la aclaración de que,aun cuando se trate de piezas huecas, hay que basarse en la sección bruta, yaque así está previsto al estipular las propiedades mecánicas en la norma res-pectiva.

Tabla 4.3 Propiedades de la mampostería.

Pieza

Tabique

recocido

Tabique

extruido

Bloque

concreto

pesado

Mortero

III

III

I

IIIII

IIIIII

f*J m

151515

404030

201515

»*»

3.533

322

3.52.52.5

E

4500

4500

4500

12000

12000

9000

10000

7500

7500

G

135013501350

3600

2700

2700

3000

2250

2250

Esfuerzo en kg/cm2.fm y " m son esfuerzos nominales de diseño, no esfuerzos permisibles.


174Cuando se trata de diagonales de acero el módulo de elasticidad es 2 000 000

kg/cm2, y es práctica común considerar sólo la diagonal en tensión, debido aque la de compresión, por tener una relación de esbeltez muy alta, se pandeaante esfuerzos pequeños.

Si las diagonales son de concreto reforzado, el valor de EA depende delnivel de esfuerzos; un procedimiento detallado para calcular EA cuando exis-ten esfuerzos de tensión que agrietan el concreto se describe en Rosenblueth yEsteva (1962). Una simplificación aceptable es considerar solamente la diago-nal en compresión, que es la que tiene mayor rigidez, empleando el área de susección bruta y el módulo de elasticidad del concreto; en todo caso para la dia-gonal en tensión se puede usar solamente el área de acero con el módulo deelasticidad de dicho material.

Criterios deestructuración

5.1 IMPORTANCIA DE LA CONFIGURACIÓNESTRUCTURAL EN ELCOMPORTAMIENTO SÍSMICO

Es frecuente en la práctica que la mayor parte del tiempo que se dedica al diseñoestructural de un edificio se invierta en los procesos de análisis y dimensiona-miento, y que se examinen sólo con brevedad los aspectos de diseño conceptual yde estructuración. Desde el punto de vista del diseño sísmico esta costumbre esparticularmente peligrosa, puesto que no se puede lograr que un edificio malestructurado se comporte satisfactoriamente ante sismos, por mucho que se re-finen los procedimientos de análisis y dimensionamiento. Por el contrario, laexperiencia obtenida en varios temblores muestra que los edificios bien conce-bidos estructuralmente y bien detallados han tenido un comportamiento adecua-do, aunque no hayan sido objeto de cálculos elaborados, y, en ocasiones, aunqueno hayan satisfecho rigurosamente los reglamentos.

En este capítulo se proponen recomendaciones para la selección de la correctaconfiguración estructural de un edificio. En esto se incluye la forma de la construc-ción, en planta y en elevación, así como la distribución y arreglo de los elementosestructurales que constituyen el esqueleto resistente del edificio.

Es evidente que la configuración estructural queda en buena parte definidapor el proyecto arquitectónico. Es por ello que en esta etapa es esencial la inter-acción entre el responsable del proyecto arquitectónico y el del proyecto estruc-tural. El segundo debe hacer consciente al primero de las necesidades mínimas derigidez, resistencia y regularidad que requiere la estructura y de las consecuenciasque tienen algunas decisiones arquitectónicas en el comportamiento estructural.

Es cierto que la mayoría de las recomendaciones de estructuración parazonas sísmicas tienden a lograr edificios regulares y robustos; por ello limi-tan fuertemente la posibilidad de llegar a formas atrevidas y originales ylimitan también la libertad del uso del espacio interno del edificio. Constituye,por tanto, un reto para los proyectistas conjugar las necesidades arquitectónicasy estructurales y lograr un proyecto a la vez funcional, seguro y estéticamenteatractivo.

C a p í t u l o

5

Criterios de estructuración

Los lincamientos establecidos en este capítulo para la configuración estruc-tural no constituyen en general requisitos tajantes. No obstante, en lo posible sedebe evitar salir de los límites recomendados; de no ser así, el edificio debe sermateria de análisis más refinados que los usuales, para tomar en cuenta los efec-tos desfavorables de la forma o configuración especial de la estructura. Se encon-trará que en ciertos casos el mismo análisis indicará la inconveniencia del sistemaadoptado y la necesidad de cambiarlo.

En el resto del capítulo señalaremos primero las razones por las que debenevitarse ciertas formas del edificio y ciertas configuraciones estructurales. Se pro-pondrán límites para algunos índices de regularidad del edificio y se expondrándiversos casos de configuraciones estructurales inconvenientes. Analizaremosdespués, las ventajas y limitaciones de los sistemas estructurales más comunes yse darán algunas recomendaciones sobre la selección del sistema de cimentación.

Se hará referencia a las condiciones de regularidad que establecen las NormasTécnicas de Diseño por Sismo del Reglamento de Construcciones para el DistritoFederal (NTDS). Aunque no es obligatoria la observancia de las condicionesestablecidas en el capítulo 6 de dichas Normas, la sección 4.1 indica que, cuandono se cumplen estas condiciones, debe reducirse el factor de comportamiento sís-mico a 80 por ciento, lo que equivale a diseñar para fuerzas sísmicas 25 por cien-to mayores.

Como lectura adicional sobre criterios de estructuración y sobre la relaciónentre el proyecto arquitectónico y el estructural, recomendamos el libro de Ar-nold y Reitherman (1987).

5.2 CARACTERÍSTICAS RELEVANTES DEL EDIFICIOPARA EL COMPORTAMIENTO SÍSMICO

5.2.1 Peso

Reconociendo que las fuerzas de inercia son proporcionales a la masa y, en conse-cuencia, al peso del edificio, debe procurarse que éste sea lo más ligero posible.Una parte importante del peso de la construcción proviene de los revestimientos yde los elementos divisorios no estructurales. Es allí donde más fácilmente sepueden lograr reducciones.

Considerando que las aceleraciones introducidas en el edificio crecen con laaltura, es importante evitar masas excesivas en las partes altas del edificio. Así,en el proyecto arquitectónico conviene ubicar en los pisos bajos las áreas dondese prevén mayores concentraciones de pesos (tales como archivos y bóvedas) yevitar los apéndices pesados en la punta del edificio.

Deben evitarse fuertes diferencias en los pesos de pisos sucesivos, porquegeneran variaciones bruscas en las fuerzas de inercia y en la forma de vibrar deledificio. El capítulo 6 de la NTDS establece que para que una estructura se cali-fique corno regular, debe cumplirse que: "7. El peso de cada nivel, incluyendo lacarga viva que debe considerarse para diseño sísmico, no es mayor que el del pisoinmediato inferior ni, excepción hecha por el último nivel de la construcción, esmenor que 70 por ciento de dicho peso."

Hay que tratar que el peso del edificio esté distribuido simétricamente en laplanta de cada piso. Una posición fuertemente asimétrica generaría vibracionestorsionales. La figura 5.1 ilustra esquemáticamente las situaciones que deben evi-

Características relevantes del edificio para el comportamiento sísmico

a) Concentración en pisos superiores. b) Distribuciones asimétricas.

177

Figura 5.1 Distribuciones inde-seables del peso del edificio.

tarse. Es importante además observar que en voladizos, o en vigas que tenganclaros muy largos, la vibración vertical produce fuerzas de inercia verticales que sesuman a la de la gravedad y que conviene reducir al mínimo. Por ello, hay queevitar masas excesivas en estos elementos.

5.2.2 Forma del edificio en planta

Algunos aspectos de la formaen planta del edificio propi-cian una respuesta sísmicapoco conveniente y deben evi-tarse. Entre estos aspectos loprincipal es la asimetría de ¡aplanta, la que tiende a provo-car vibraciones torsionales deledificio; por ello, deben evitar-se formas como las indicadas en la figura 5.2. Aunque es factible eliminar ominimizar la vibración torsional mediante una distribución de elementos resis-tentes que haga coincidir el baricentro de masa con el centro de torsión (figura5.3a), con frecuencia esto implica concentraciones de fuerzas en ciertas zonasde la planta y vibraciones locales que son difíciles de cuantificar. Otro posibleremedio para los problemas de las plantas asimétricas es la subdivisión del edi-ficio en cuerpos independientes y regulares mediante juntas de construcción(también llamadas juntas sísmicas) (figura 5.3¿). Sin embargo, cabe hacer notarque la separación que se tiene que guardar entre los cuerpos adyacentes esconsiderable y produce serias complicaciones en el diseño de los elementos de

Figura 5.2 Formas asimétricasen planta que son indeseablespor tender a producir vibracióntorsioria!.

;CTx •

. \

\,

liga

a)Distribución apropiada de elementosrigidizantes para hacer coincidir centrode masa y centro de torsión.

b)Separación en cuerpossimétricos mediantejuntas sísmicas.

c)Vigas de liga entresalientes.

Figura 5.3 Posibles remediospara eliminar los problemas deplantas asimétricas.

178

Figura 5.4 Plantas con alasmuy largas.


Evitar--> i.O

Zona deconcentración

Figura 5.5 Vibración en direc-ciones diferentes de alas deedificios.

Figura 5.6 Remedios para edi-ficios con alas muy largas.

conexión que son necesarios para permitir el paso entre uno y otro cuer-po. Otra forma de remediar los problemas de la asimetría de la planta esmediante elementos estructurales exteriores que liguen las distintas partesdel edificio y que lo vuelvan más simétrico (figura 5.3c).

Otro aspecto que hay que evitar en la planta del edificio es la presenciade alas muy alargadas como en los casos que se ilustran en la figura 5.4.Esto tiende a producir que las alas vibren en direcciones diferentes, con loque se producen fuertes concentraciones de solicitaciones en las esquinasinteriores de la planta (figura 5.5). Para remediar estos problemas puederecurrirse nuevamente a la subdivisión de la planta en cuerpos indepen-dientes y cortos o debe proporcionarse gran rigidez a los extremos de lasalas y reforzar cuidadosamente las esquinas interiores, como se muestraesquemáticamente en la figura 5.6.

También es recomendable procurar que las plantas no sean muyalargadas. Mientras mayor es la longitud del edificio, mayor es la pro-

Refuerzoen esquinas

a)

Separación conjuntas sísmicas. Rigidización de los extremos de las alas yrefuerzo en las esquinas entrantes.

habilidad de que actúen sobre su base movimientos que difieran en un extremoy otro de la planta (figura 5.7a), pero el problema principal de las plantas muyalargadas es que la flexibilidad del sistema de piso puede provocar vibra-ciones importantes en planta (figura 5.Ib), las que incrementan sustancial-mente las solicitaciones en la parte central del edificio. Deben evitarse, portanto, situaciones como las indicadas en la figura 5.8 y, en caso de que no seaposible, adoptar alguno de los remedios propuestos en la figura 5.9 (en par-

Características relevantes del edificio para el comportamiento sísmico

179

a) Movimiento diferente del suelo endistintos apoyos.

b) Deformación de la planta del edificio.Figura 5.7 Problemas en edifi-cios muy alargados en planta.

Evitar: —- > 4A A Área vano

Evitar > 1; —, > 0.25a Área planta

Figura 5.8 Límites recomenda-dos para los lados de la plantade un edificio.

Ja) Separación con

juntas sísmicas.

! ! i iif i1 •

b) Distribución uniforme de elementosresistentes transversales y sistemade piso rígido en planta.

c) Reforzar zonas débiles,en particular las esquinas.

Figura 5.9 Posibles remediospara plantas muy alargadas.

Figura 5.10 Plantas con es-quinas entrantes (indeseables).

ticular, cuidar la distribución uniforme de las rigideces transversales y usarsistemas de piso muy rígidos en su plano).

En la mayoría de las recomendaciones sobre la correcta configuración de losedificios, se desaconsejan las plantas con esquinas entrantes, como las que se ilus-tran en la figura 5.10. El problema no es muy grave, a menos que las alas sean muylargas, pero, como principio debe buscarse siempre que la planta sea lo más com-pacta posible, para evitar las concentraciones de esfuerzos en las esquinas entrantes.


180

Figura 5.11 Reducciones brus-cas indeseables de las dimen-siones de la planta en pisossuperiores de edificios.

EVITAR:

Si h/H> 1/5ai+02 >0.2

Si h/H>V5d i + Q "»-i-r-2 >0.5

H

1

T

H

Zona de amplificaciónde la vibración

ff?,Zona deconcentración n

I de esfuerzos

5.2.3 Forma del edificio en elevación

La sencillez, regularidad y simetría son deseables también en la elevación del edi-ficio para evitar que se produzcan concentraciones de esfuerzos en ciertos pisoso amplificaciones de la vibración en las partes superiores del edificio.

La figura 5.11 ilustra algunas reducciones bruscas en el tamaño de laplanta de los pisos superiores, las que son indeseables por las razones antescitadas. Conviene evitarlas y seguir las precauciones indicadas en la figu-

Figura 5.12 Posibles remediosa la reducción en elevación.

A3»--/- . • ::s

a ) Forma prismática b ) Reducción gradual c ) Rigidización dezona superior

Figura 5.13esbeltez del

ra 5.12. Particularmente críticas son las reducciones bruscas en la parte su-perior del edificio, donde el cambio drástico de rigidez tiende a producir elfenómeno "de chicoteo" con una gran amplificación de vibración en la punta.Discontinuidades de este tipo se presentan en los edificios tipo plaza y torre,que cuentan con una base de grandes dimensiones y una torre elevada. La dis-continuidad en elevación es aquí menos grave porque se produce en pisosdonde todavía los desplazamientos laterales son reducidos.

La esbeltez excesiva de la construcción puede provocarproblemas de volteo, de inestabilidad (efectos P-A) y detrasmisión de cargas elevadas a la cimentación y al subsuelo.Además, se vuelven importantes los efectos de los modossuperiores de vibración. Todos estos problemas se puedenmanejar mediante análisis dinámicos refinados de la estructuray cuidando de proporcionar una elevada rigidez lateral en ladirección más esbelta del edificio y de recurrir a unacimentación rígida. Sin embargo, conviene mantener lo máscompacta posible la forma del edificio en elevación. LasNormas Sísmicas del RCDF permiten considerar la estructuracomo regular, sólo si su relación de esbeltez no excede de 2.5

Limitaciones a la (figura 5.13). La mayoría de las recomendaciones de estructuración aconsejanedificio. que la relación de esbeltez sea menor de cuatro.

T Según las normas del D.F.si H/A > 2.5 la estructura no se

considera regular

No conviene exceder H/A >4

Requisitos básicos de estructuración

5.2.4 Separación entre edificios adyacentes

Al ubicar la posición exacta del edificio dentro del terreno correspondiente, esimportante guardar una separación que sea suficiente con respecto a edificiosadyacentes, para evitar que los distintos cuerpos se golpeen al vibrar fuera de fasedurante un sismo. Los daños por el sismo de 1985 en la ciudad de México hanpuesto en evidencia la gravedad de este problema, especialmente para edificiosaltos desplantados en terreno blando. El daño puede ser particularmente gravecuando los pisos de los cuerpos adyacentes no coinciden en las mismas alturas,de manera que durante la vibración las losas de piso de un edificio pueden gol-pear a media altura las columnas del otro.

Diversas recomendaciones proponen una separación mínima entre edifi-cios de un centesimo de la altura del punto más alto de posible contacto. LasNormas del RCDF establecen un requisito más estricto, especialmente en edi-ficios sobre terreno blando donde la rotación de la base puede incrementar sig-nificativamente el desplazamiento en la punta (figura 5.14).

El problema es crítico para edificios existentes que han mostrado ya tenerproblemas de choques. Se puede en estos casos rigidizar los edificios para limi-tar sus movimientos laterales, ligarlos para que vibren en fase, o colocar entreellos dispositivos que amortigüen el impacto.

s>aH a = 0.012 terreno blandoa = 0.007 terreno firme

H s- Lindero conI predio vecino **

T

i

S1~N)/*>'*

TH

i

a) Separación de colindancias. b ) Separación de cuerpos del mismo conjunto.

181

Figura 5.14 Separación entreedificios adyacentes para evitarchoques (Requisitos de lasNormas del RCDF).

5.3 REQUISITOS BÁSICOS DE ESTRUCTURACIÓN

En términos generales, podemos establecer los cuatro requisitos siguientes parael sistema estructural de edificios en zonas sísmicas:

a) El edificio debe poseer una configuración de elementos estructurales quele confiera resistencia y rigidez a cargas laterales en cualquier dirección.Esto se logra generalmente, proporcionando sistemas resistentes en dosdirecciones ortogonales.

b) La configuración de los elementos estructurales debe permitir un flujocontinuo, regular y eficiente de las fuerzas sísmicas desde el punto en queéstas se generan (o sea, de todo punto donde haya una masa que produzcafuerzas de inercia) hasta el terreno.


182

c) Hay que evitar las amplificaciones de las vibraciones, las concentracionesde solicitaciones y las vibraciones torsionales que pueden producirse porla distribución irregular de masas o rigideces en planta o en elevación.Para tal fin conviene que la estructura sea lo más posible

/) sencilla11) regular

i/i) simétricaiv) continua

d) Los sistemas estructurales deben disponer de redundancia y de capacidadde deformación inelástica que les permitan disipar la energía introducidapor sismos de excepcional intensidad, mediante elevado amortiguamientoinelástico y sin la presencia de fallas frágiles locales y globales.

Figura 5.15 Marco tridimensional.

De estos principios básicos derivan diversas recomendacionesespecíficas sobre estructuración, las que ilustraremos en la siguientesección de este capítulo. Antes, conviene recordar brevemente cuálesson los sistemas estructurales básicos con que se cuenta para propor-cionar la resistencia a cargas laterales de los edificios.

El marco tridimensional (figura 5.15) es el que está formado porcolumnas y vigas en dos direcciones, conectadas entre sí de manera depermitir la transmisión de momentos flexionantes y proporcionarrigidez lateral a la estructura.

/

.1

A¿_ /

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3) Conm

n

• •

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i núcleos.

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c) C MI conl

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os.

1/

/

/

Figura 5.16 Marcos rigidizados.

Figura 5.17 Sistema tipo cajón.

El marco rigidizado con diagonales de contraviento, con núcleos rígidos ocon muros de relleno (figura 5.16). En estas estructuras la interacción entre losdos sistemas básicos produce una distribución de las cargas laterales que es com-

pleja y variable con el número de pisos, peroque da lugar a incrementos sustanciales derigidez y resistencia con respecto a la estruc-tura a base de marcos.

La estructura tipo cajón, de paredes decarga (figura 5.17), está formada por panelesverticales y horizontales conectados paraproporcionar continuidad.

Existen variantes y combinaciones deestos sistemas y otros más complejos, comolas estructuras espaciales a base de superfi-cies continuas o trianguladas. Los anteriores

Requisitos específicos de estructuración

183son, sin embargo, los sistemas básicos sobre los que se concentrarán las reco-mendaciones de estructuración. Posteriormente comentaremos sobre las ventajas ylimitaciones de estos sistemas.

5.4 REQUISITOS ESPECÍFICOS DE ESTRUCTURACIÓN

El primer requisito básico expuesto en la sección anterior es que el edificio debeposeer un sistema estructural que le proporcione rigidez y resistencia en dos direc-ciones ortogonales, para ser capaz de soportar los efectos sísmicos en cualquierdirección. Dos ejemplos, frecuentemente usados en zonas no sísmicas y que nocumplen con el requisito anterior, son los que se describen a continuación.

VigasLosa en una

/ dirección

Falta de vigas enla direccióntransversal c

-v-4-Corte A—A

El edificio de la figura 5.18 tiene marcos en una sola dirección, ya que el sistemade piso es a base de una losa trabajando en una sola dirección en la que no existenvigas. El edificio adolece obviamente de falta de resistencia lateral en la dirección

Figura 5.18 Edificio estructura-do con marcos en una soladirección.

Vigas

Planta

Vigas

Contravientoo muro derigidez

a ) Estructuración con marcosen dos direcciones.

b) Rigidización transversalcon contravientos. Figura 5.19 Remedios a la

situación de la figura anterior.

transversal. Para remediar esta situación pueden colocar-se muros o contravientos en la dirección transversal, oformar marcos también en dicha dirección (figura 5.19).

El edificio de la figura 5.20, a base de muros de carga,tiene la mayoría de las paredes alineadas en una sola direc-ción, por lo que en la otra su resistencia a cargas lateraleses mínima. Si se trata de una estructura de concreto podrácontarse con cierta resistencia a carga lateral, mediante laacción de marco entre la losa y los muros, en caso de quehubiese la continuidad necesaria en la conexión losa-muro

T

Figura 5.20 Edificio con murosalineados en una sola dirección.


184

Figura 5.21 Edificio con murosen dos direcciones.

Figura 5.22 Ubicación asimé-trica de elementos rígidos.

y de que se reforzaran los muros para resistir los momentos flexionantes. El sistema espoco eficiente. La solución lógica es disponer de una longitud adecuada de muros ali-neados en las dos direcciones, como se muestra en la figura 5.21.

Con respecto al requisito de simetría del sistema estructural, el propósito es li-mitar al mínimo la vibración torsional del edificio, la cual introduciría solicitacionesadicionales y significativas en la estructura. Aunque estas solicitaciones se puedencalcular con los procedimientos especificados por las Normas, es conveniente quela distribución de elementos resistentes sea tal que se reduzca al mínimo la excen-tricidad entre el centro de masas y el de torsión. Ejemplos extremos de estruc-turaciones asimétricas se ilustran en la figura 5.22, en que los elementos másrígidos se concentran en un solo lado de la planta. La Norma Técnica para Dise-

Centro de torsión Centro de torsión

T

L

T -

K Baricentro * Baricentro

Según RCDF

si ^i o^ >0.1A B

la estructura no es regular

Evitar > 0.2

• • e • ini • • • i

Figura 5.23 Edificios con dife-rente rigidez torsional.

ño por Sismo (NTDS) del RCDF especifica quepara que una estructura sea considerada regular,la relación entre la excentriciad y la dimensiónde la planta no debe exceder de 0.1. Las situa-ciones en que esta relación excede de 0.20 sondecididamente desaconsejables. Además de la si-metría es conveniente que la estructuración poseauna elevada rigidez torsional para hacer frente aposibles torsiones accidentales. Por ello es preferi-ble que los elementos más rígidos se encuentrencolocados en la periferia, como en la figura 5.23b,y no en la parte central, como en la figura 5.23a.

Finalmente, con respecto al problema de lavibración torsional, debe evitarse que se pre-senten excentricidades no sólo cuando la es-tructura responde en su intervalo lineal, sinotambién cuando algunos de sus elementos res-

ponden no linealmente. Una situación típica se muestra en la figura 5.24. La

Figura 5.24 Configuraciónestructural con posible proble-ma de torsión en compor-tamiento no lineal.

Eje concontraventeado

Eje con marcorelleno con murosde manipostería

Requisitos específicos de estructuración

rigidez de los marcos contraventeados de la fachada izquierda es equilibradapor los marcos rellenos con muros de manipostería de la fachada derecha. Po-demos suponer que en el intervalo elástico la estructura responda en formasimétrica. Sin embargo, para grandes deformaciones laterales, la rigidez de losmuros diafragma de manipostería se reduce mucho más drásticamente que la delos marcos contraventeados, por lo que el edificio puede comenzar a vibrar enforma asimétrica. La sección 8.6 de las NTDS llama la atención sobre esteproblema, aunque no da indicaciones cuantitativas específicas. Por la dificultadde tomar en cuenta este efecto en forma explícita es recomendable evitar que lasimetría de la estructura dependa del equilibrio de rigidez de sistemas con ca-racterísticas diferentes de comportamiento inelástico. Conviene, por ende, equi-librar la rigidez de marcos con la de otros marcos, la de muros de concreto conotros muros de concreto, etcétera.

El siguiente aspecto que hay que cuidar es la continuidad en elevación del sis-tema estructural. Los cambios bruscos de rigidez y resistencia con la altura llevana diversos problemas que se ilustran esquemáticamente en la figura 5.25. En elcaso a) la interrupción de elementos muy rígidos a partir de cierta altura produ-ce una concentración de solicitaciones en el piso inmediatamente superior a lainterrupción; es deseable una disminución más gradual. Un efecto similar, aunquemenos grave, se produce cuando la sección de las columnas se reduce drásti-camente en los pisos superiores, como en el caso b), y cuando la altura del entre-piso varía significativamente entre uno y otro nivel, como en el caso c).

La causa más frecuente de irregularidad en elevación del sistema estructurales la que se muestra esquemáticamente en el caso d), y que se denomina de "plan-ta baja débil". Por las necesidades de su uso, en la planta baja de edificios serequieren frecuentemente grandes espacios libres, por lo que se opta por eliminaren ese nivel los muros de rigidez y de relleno y los contravientos. Esto produce,por una parte, una discontinuidad marcada en rigideces, pero sobre todo un piso

a)

c)

XX^

XXX

Interrupción de elementosmuy rígidos.

Diferencia drástica dealtura de columnas.

XXXXXX

t

I 1L Jl) Reducción brusca de

tamaño de columnas.

XX

^><*;><^x^><!

d) Planta baja débil.

XXXX

e)

^X^~xr><r

Cambio de posiciónde elementos rígidos. Figura 5.25 Discontinuidades

de rigidez en elevación.


186

x-Eje de vigasf r Eje de columnas

Marco ^tjexcéntrico

-Detalle A

Planta

a ) Falta de alineamientode marcos.

Planta

b) Vigas excéntricas.

Vigas

Columna

Detalle A

Figura 5.26 Discontinuidadesen planta de la configuraciónestructural.

Figura 5.27 Diferencia de ri-gidez entre columnas del mismonivel por su distinta altura libre.

más débil que el resto en el que se concentrará, en caso de un sismo de gran inten-sidad, la disipación inelástica de energía. En dicha disipación no participarán lospisos superiores que permanecerán esencialmente en su intervalo elástico-linealde comportamiento. Esta situación debe evitarse con particular atención, ya que de-bido a las altas cargas axiales, no se puede contar mucha ductilidad y se acentuaránlos efectos de segundo orden.

Finalmente, el caso é) corresponde a discontinuidad en la posición de los ele-mentos rigidizantes, la cual requiere, para su correcto funcionamiento, la trans-misión de fuerzas elevadas en la losa, las vigas y las columnas. Deberán revisarsecuidadosamente estos elementos cuando se emplee una configuración estructuralde este tipo.

La NTDS permite considerar que una estructura es regular, cuando las rigide-ces de entrepisos sucesivos no difieren en más de cien por ciento.

Altas concentraciones de esfuerzos que, además de acentuar la posibilidad defallas locales, tienden a reducir la ductilidad global de la estructura, se producenpor discontinuidades entre los elementos estructurales, tales como falta de alinea-miento entre vigas o entre columnas y especialmente cuando para la transmisiónde momentos entre uno y otro elemento se requiere de la generación de elevadosesfuerzos cortantes o de torsión. La figura 5.26 ilustra casos de marcos no alinea-dos y vigas excéntricas que dan lugar a la situación antes anotada y que son deci-didamente desaconsejables en zonas sísmicas. En la figura 5.27 se presentancasos en que la distinta altura de columnas produce diferencias drásticas de ri-gidez entre ellas, por lo que las fuerzas que absorben las más cortas son muysuperiores. Aunque es teóricamente posible equilibrar las rigideces variando lassecciones de las columas, esto no suele lograrse en la práctica por razones de fun-

Hueco deventanaX Panel cerrado

- Columnacorta

Ventajas y limitaciones de los sistemas estructurales básicos

D

FTT "1a ) Vigas cortas que rigidizan

las columnas centrales.

nnnaan

ti) Vigas de acoplamiento demuros.

cionamiento de la construcción. Particularmente indeseables son situaciones comolas del caso c) que dan lugar a las llamadas "columnas cortas", en que los efectosde la fuerza cortante dominan a los de flexión y se propicia una falla de tipo frágil.

De manera semejante, no es conveniente que la configuración estructuralpresente vigas con relaciones claro a peralte muy distintas, en que las fuerzasse concentran en las crujías con las vigas más cortas (figura 5.28). Por otraparte, conviene evitar que la relación claro a peralte de las vigas sea pequeña(menor que cuatro) para que no prevalezcan los efectos de cortante sobre los deflexión.

187

Figura 5.28 Estructuracionesque implican concentracionesde fuerzas cortantes en vigas.

5.5 VENTAJAS Y LIMITACIONES DE LOS SISTEMASESTRUCTURALES BÁSICOS

En esta sección comentaremos las ventajas, limitaciones y campo de aplicaciónde los principales sistemas estructurales desde el punto de vista de los atributosbásicos que la estructura debe poseer para un buen desempeño en zonas sísmicas:resistencia y rigidez a cargas laterales y capacidad de disipación de energía me-diante deformaciones inelásticas.

5.5.1 Marcos rígidos

El marco tridimensional (figura 5.15) es un sistema muy conveniente por lagran libertad que permite en el uso del espacio interno del edificio y por la pocaobstrucción que las secciones relativamente pequeñas de las columnas imponenal uso de las áreas habitables. Desde el punto de vista sísmico su principal ven-taja es la gran ductilidad y capacidad de disipación de energía que se puedenlograr con este sistema, cuando se siguen los requisitos fijados para tal efectopara cada material estructural (ver capítulo 8). Dichos requisitos, además deprocurar la mayor ductilidad posible de cada elemento estructural, tienden aque se proporcionen a éstos, resistencias relativas tales que se desarrollenmecanismos de falla que involucren el mayor número posible de articulacionesplásticas en aquellas secciones donde se puede disponer de mayor ductilidad.El mecanismo de falla que se pretende propiciar mediante dichos requisitos esel llamado de "viga débil-columna fuerte" que se muestra esquemáticamente enla figura 5.29.

Figura 5.29 Mecanismos dedeformación inelástica de vigadébil-columna fuerte.


Dado que el comportamiento ante cargas laterales de un marco está regidopor las deformaciones de flexión de sus vigas y columnas, el sistema presenta unaresistencia y rigidez a cargas laterales relativamente bajas, a menos que las sec-ciones transversales de estos elementos sean extraordinariamente robustas. Losedificios a base de marcos resultan en general considerablemente flexibles y enellos se vuelve crítico el problema de mantener los desplazamientos laterales den-tro de los límites prescritos por las normas.

La alta flexibilidad de los edificios a base de marcos da lugar a que su perio-do fundamental resulte en general largo. Esto es favorable cuando el espectro dediseño tiene ordenadas que se reducen fuertemente para periodos largos, como elque es típico de edificios desplantados en terreno firme. Por otra parte, llega a serdesfavorable cuando hay que diseñar para espectros de diseño cuyas ordenadascrecen para periodos largos como en la zona de terreno blando del valle deMéxico. Aun en el primer caso resulta difícil cumplir con los requisitos de limi-tación de desplazamientos en edificios de gran altura, por lo que el campo deaplicación de los edificios estructurados a base exclusivamente de marcos se li-mita a edificios de altura baja o mediana, a menos que se recurra a marcos espe-ciales, particularmente robustos como los que se describen en la sección 5.5.4.

5.5.2 Sistemas tipo cajón

El arreglo tridimensional de muros de carga poco separados que caracteriza estesistema estructural, da lugar a edificios con gran rigidez y resistencia a cargas la-terales. Las proporciones de los muros son en general tales, que domina la fallapor cortante sobre la de flexión y por tanto no se pueden esperar buenas carac-terísticas de disipación de energía en campo inelástico. Aunque es factible paraedificios de mediana altura dimensionar los muros para que rija en ellos la fallapor flexión, resulta normalmente más ventajoso aprovechar la gran capacidad decarga de estos elementos y diseñar para fuerzas laterales elevadas que no conside-ran reducciones importantes por comportamiento inelástico.

El campo de aplicación de estos sistemas se concentra a edificios de alturabaja o mediana, no por limitaciones estructurales, sino porque en edificios altoses difícil mantener en todos los pisos una misma distribución del espacio enáreas pequeñas y uniformes, como el sistema requiere.

5.5.3 Marcos rigidizados

Las muchas variantes que existen de marcos rigidizados con contravientos o conmuros (figura 5.16) constituyen uno de los sistemas más eficientes para resistirfuerzas sísmicas. Mediante una atinada distribución de elementos rigidizantes esposible mantener las ventajas de la estructura a base de marcos en lo relativo alibertad del uso del espacio y a ductilidad, a la vez que se obtiene una estructuracon mucho mayor rigidez y resistencia ante cargas laterales.

Sin embargo, deben cuidarse algunos aspectos que pueden hacer que el com-portamiento sísmico de estos sistemas sea inadecuado. Por la extrema diferenciaen rigidez que existe entre las zonas rigidizadas y el resto de la estructura, lasfuerzas laterales se concentran en dicha zonas y así se transmiten a áreas concen-tradas de la cimentación. Pueden producirse, además, solicitaciones excesivas enlos elementos que conectan al resto de la estructura con las zonas rigidizadas.Cualquier irregularidad de los elementos rígidos en elevación implica la transmi-


189

a)

. . h 1 1 -

• • fflH • •• • • • • p

I • • I

cu • ai • • i

Localizador) concentrada de elementos rigidizantes. b) Distribución más uniforme de elementos rigidizantes.

sión de fuerzas muy elevadas. Particularmente crítica resulta la transmisión delas fuerzas a la cimentación, especialmente en estructuras desplantadas en sueloscompresibles.

Por lo anterior, hay que evitar en estos sistemas concentrar la rigidez en unpequeño número de elementos (figura 5.30a), y hay que procurar distribuir demanera uniforme en la planta de la estructura el mayor número posible de ele-mentos rígidos (figura 5.30¿). Con ello se eliminan algunas de las ventajas delsistema, ya que la obstrucción al uso del espacio interno puede ser significativa.

5.5.4 Otros sistemas

Existe una gran variedad de combinaciones de los sistemas estructurales básicosque pueden emplearse con éxito en zonas sísmicas. Se mencionarán algunos, conreferencia principalmente a edificios altos.

Buscando mantener la mayor parte de la planta del edificio relativamenteabierta y con poca obstrucción por columnas y muros, ha tenido mucha acep-tación en la estructuración de edificios altos el concepto de separar las funcionesde resistir las cargas verticales y horizontales en dos sistemas estructuralesindependientes. Así, mientras en la mayor parte de la planta los elementos es-tructurales son muy flexibles y absorben sólo una parte pequeña de las fuerzaslaterales, en otra parte existen elementos muy rígidos que toman las cargas la-terales. Los sistemas rígidos pueden ser ubicados en grandes núcleos centralesasociados a los servicios de escaleras y elevadores, como en la figura 5.31, o dis-tribuidos a lo largo de las fachadas del edificio.

Como se ha mencionado en el inciso anterior, la solución de resistir la tota-lidad o la gran mayoría de las fuerzas sísmicas en un solo núcleo central, tiene elinconveniente de producir un fuerte momento de volteo en la base del núcleo conla consecuente transmisión de fuerzas muy elevadas a la cimentación. Por tanto,esta solución no es apropiada para edificios altos sobre terreno compresible.

Figura 5.30 Distribucionesconcentrada y uniforme de ele-mentos rigidizantes.

Figura 5.31 Estructuración connúcleo central.


190

Figura 5.32 Estructuración conmarcos robustos en fachada ymuros interiores flexibles.

Marcos interiores

Marco dúctil de fachada

Planta

Muchas son las va-riantes en que puedenaprovecharse las fa-chadas para rigidizaral edificio, con la ven-taja de distribuir la re-sistencia en todo elperímetro y de mini-mizar la transmisiónde esfuerzos a la cimen-tación, así como depermitir el libre usodel espacio interior.Las soluciones van des-de usar marcos muyrobustos en la fachadapor las proporciones desus miembros, como enla figura 5.32, o por elespaciamiento muy ce-rrado de las columnas,como en la figura 5.33.En el primer caso hayque cuidar que las rela-ciones claro a peraltede las vigas y columnasno sean tan pequeñas

Planta

Marcosinteriores

Marco rigidizado en fachada

Figura 5.33 Estructuración confachada rigidizada por colum-nas poco espaciadas.

que hagan que la falla por cortante prevalezca sobre la de flexión. En el segun-do, no es posible usualmente cumplir con el concepto de vigas débiles-colum-nas fuertes, ya que la resistencia en flexocompresión de estas últimas resultacrítica en el modo de falla. Sin embargo, por el número elevado de columnas enlos marcos de fachada, las cargas axiales sobre cada una resultan moderadas,


191

cucucucucucudicucucucu

DDDDDD

1

D DD DI] Dn °i D

4—

ma

Cinturón

a) Marcos y muros acoplados. b) Muro perforado. c) Muro con cinturón superior.

d) Macromarco de una

crujía.e) Macromarco de dos niveles.

por lo que es posible dimensionarlas para obtener un comportamiento razo-nablemente dúctil. En las dos situaciones anteriores la fachada funciona comoun gran tubo que envuelve al edificio y le proporciona alta resistencia y rigideza cargas laterales.

La rigidización de la fachada puede lograrse también mediante combinaciónde marcos y crujías con contravientos o con muros de rigidez. Una forma muyeficiente de rigidización es mediante el uso de macro-marcos en los que los mu-ros de rigidez, o contravientos, están acoplados por elementos horizontales detoda la altura de entrepiso. El conjunto forma un marco equivalente de grandesproporciones. Las figuras 5.34 y 5.35 muestran algunos ejemplos para estructu-ras con contravientos y con muros de rigidez, respectivamente.

El máximo aprovechamiento de la fachada es mediante una rigidizacióntotal con contravientos, de manera que se forma una gran armadura vertical queenvuelve al edificio. Aunque no es fácil llegar a soluciones estéticas y funcional-

Figura 5.34 Edificios rigidiza-dos con muros de concretoacoplados.


192

rViga rígida.

1XXXXXXXXXXX

[ JXL 1 1a) Marco contra viento.

<D

XXXXXXxxXxX

X

X

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x

X

XXxxxxxxxxX

XXxXXXXXXXX

X

X

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X

X

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X

Sombrero^ 'V— *"

^^ Cinturón

>4 JXL 1 I JXL 1 1Contravientos acoplados. c) Contraviento con cinturón.

XxXxXxxxxxX

XXL £><LMacromarco. <

x/\^

^/\

/

X~7

/

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**\

x^/

\

) Armadura de fachada.

Figura 5.35 Edificios rigidiza-dos con contravientos.

mente aceptables, se han logrado edificios altos muy bien resueltos con estesistema. Algunos ejemplos esquemáticos se muestran en la figura 5.36.

5.6 SISTEMAS DE PISO Y TECHO.DIAFRAGMAS HORIZONTALES

Cuando se trata la estructuración de edificios en zonas sísmicas, la atención secentra en los elementos verticales (columnas, muros y contravientos), así comoen los elementos horizontales que los acoplan (vigas), restringiendo sus rota-ciones y proporcionándoles rigidez a cargas laterales. Otros elementos quecumplen una función importante para la resistencia sísmica, son las losas y lossistemas de piso y techo en general, que son los que distribuyen las fuerzas ho-rizontales que se generan por efectos de inercia entre los elementos verticalesresistentes. La figura 5.37 ilustra esquemáticamente el flujo de fuerzas sísmi-cas en el edificio.

Sistemas de piso y techo —Diafragmas horizontales

193

a) Contraviento b) Contraviento c) Contravientoen X. en K. en doble X.

En los métodos de análisis sísmico comúnmente adoptados, se da por sen-tado que los sistemas de piso y techo constituyen diafragmas horizontalesinfinitamente rígidos y capaces de realizar dicha distribución de fuerzas sindeformarse. Esta hipótesis es generalmente válida, ya que los sistemas usuales delosas de concreto poseer, alta rigidez para fuerzas en su plano. No siempre es asísin embargo; hay estructuras que carecen de sistemas de piso en alguno o en todossus niveles, o en las que existen grandes huecos que reducen drásticamente larigidez. Existen sistemas de piso que tienen muy baja rigidez para fuerzas en suplano, como son los que están formados por vigas en una dirección con una cu-bierta de lámina delgada, o los que son a base de placas prefabricadas adosadas.

La falta de diafragmas horizontales rígidos produce diversos problemas,como los siguientes:

Figura 5.36 Ejemplos de edi-ficios reales con fachadasrigidizadas con contravientocompleto.

Fuerzas de inercia

Dirección de lafuerza sísmica Diafragmas

horizontales

Fuerzas encolumnas

Fuerzas en lacimentación

Figura 5.37 Transmisión defuerzas de inercia en la estruc-tura.


194

Figura 5.38 Distribución de lasfuerzas de inercia cuando el sis-tema de piso no constituyediafragma rígido.

Sistema de piso de vigasparalelas con cubierta flexible

Marco resistente a carga lateral

El marco del eje C toma las fuerzasde inercia que se generan en su áreatributaria, independientemente de larigidez relativa de los cuatro marcos

Dirección de lafuerza sísmica

a) Las fuerzas de inercia y las cortantes de entrepiso no se dis-tribuyen entre los distintos elementos resistentes, en forma pro-porcional a la rigidez de éstos. En general, cada sistema verticalresistente recibe las fuerzas que se generan en su área tributaria(figura 5.38).

b) En sistemas a base de muros de carga las fuerzas de inercia puedenproducir empujes sobre los elementos perpendiculares a la di-rección de las fuerzas sísmicas. Éstos quedan sujetos a fuerzasnormales a su plano, para las cuales tienen escasa resistencia(figura 5.39).

c) La ausencia de un diafragma de piso rígido puede ocasionar ladistorsión de la estructura en planta e invalidar la hipótesis deque las fuerzas sísmicas actuantes en cualquier dirección puedendescomponerse en fuerzas aplicadas sobre los sistemas ortogo-nales resistentes de la estructura (figura 5.40).

Figura 5.39 Empujes normalesal plano de los muros que se Para evitar los problemas anteriores es recomendable formar diafragmas ho-generan cuando la losa no cons- rizontales en cada nivel. En los sistemas de piso o techo que no lo sean en formatituye diafragma rígido. natural, deben colocarse elementos rigidizantes, como contravientos horizontales

sobre vigas paralelas o firmes de concreto armado sobre elementos pre-colados. Cuando no sea factible lograr efecto de diafragma, deberánemplearse métodos de análisis que tengan en cuenta las deformacionesen su plano de los elementos de piso.

También debe prestarse atención a que los sistemas de piso y techoposean la resistencia a cortante suficiente para poder transmitir sin fa-llar las fuerzas horizontales que se generan. Una situación que llega aser crítica es la presencia de huecos cerca de muros o crujías contra-venteadas. La figura 5.41 muestra esquemáticamente la distribución defuerzas en un caso de este tipo. El tramo de losa adyacente al huecodebe resistir una fuerza cortante elevada en un área reducida. Es nece-sario revisar que se cuente con la capacidad suficiente.

Distorsiónde la planta

Dirección de lafuerza sísmica,

Planta original

5.7 CIMENTACIONES

Figura 5.40 Distorsión en elplano ante fuerzas sísmicas endirección diagonal, cuando elsistema de piso no constituyeun diafragma rígido.

El cometido de una cimentación durante un sismo es proporcionar al edificio unabase rígida capaz de transmitir adecuadamente las acciones que se producen porla interacción entre el movimiento del suelo y el de la estructura, sin que segeneren fallas o deformaciones excesivas en el suelo de apoyo.

Cimentaciones

Fuerza cortante quedebe ser resistidapor la losa

Muro rígido

Hueco

Fuerzas resistidas por cada eje proporcionalmentea su rigidez

i i i i

,ttmhmtt,,ttmDireccióndel sismo

Fuerzas de inerciadebidas al sismo

Los procedimientos de diseño de las cimentaciones considerando los efectossísmicos, quedan fuera del alcance de este texto. Sólo expresaremos algunos prin-cipios generales y haremos algunas recomendaciones de carácter cualitativo.

Cuando es factible elegir el sitio donde se ubicará la edificación, es preferi-ble un lugar de terreno firme, libre de problemas de las amplificaciones localesdel movimiento del terreno que pueden presentarse en un suelo blando, y de losasentamientos excesivos y pérdida de capacidad de apoyo que pueden ocurrir porla licuación de algunas arenas poco compactas.

Si el edificio ha de ubicarse en un sitio con estratos importantes de terreno blan-do, es preferible buscar apoyo de la estructura en estratos firmes mediante cimenta-ciones profundas. Se eliminan así las traslaciones y rotaciones importantes de labase del edificio que incrementan sus desplazamientos laterales. Cuando esto nosea factible, deberá considerarse la interacción suelo-estructura con los métodosesbozados en el capítulo 7. La excavación del terreno blando para enterrar la estruc-tura al nivel de desplante más bajo que es económicamente factible, es favorablepara una mejor transmisión de las fuerzas entre la estructura y el suelo.

En general, para la elección del tipo de cimentación, es deseable seguir los mis-mos lincamientos que se han recomendado para escoger laforma de la superestructura, tales como simetría, regularidady distribución uniforme, por las mismas razones que entoncesse expresaron. Así por ejemplo, debe evitarse al máximocombinar sistemas de cimentación superficiales y profun-dos, se procurará que las cargas verticales se distribuyansimétricamente, que los momentos de volteo no sean ex-cesivos, y que la estructura no sea muy alargada en planta.

Otro principio general que debe seguirse es buscarque la cimentación tenga una acción de conjunto, quelimite en lo posible los desplazamientos diferenciales ho-rizontales y verticales entre los distintos apoyos. Resultarecomendable ligar las zapatas entre sí mediante vigas, yasea que estén sobre el suelo (figura 5.42) o sobre pilotes

195

Figura 5.41 Fuerza que deberesistir la losa por cortante ensu plano.

Figura 5.42 Zapata aislada contrabe de liga.

Columna

Dado de cimentación

Trabe de liga

Zapata


196

Figura 5.43 Tipos de losa decimentación.

y y > i A

a) Losa plana. b) Losa de cimentación concontratrabes invertidas.

c) Cajón de cimentación.

(figura 5.44). Salvo que se disponga de un mejor criterio, estos elementos de ligadeben poder resistir al menos 10 por ciento de la mayor carga vertical de lascolumnas adyacentes.

Las principales acciones que derivan de las fuerzas sísmicas producidas en laestructura son cargas axiales por los momentos de volteo y fuerzas cortantes. Losmomentos de volteo usualmente no constituyen un problema para el edificio ensu conjunto, a menos que éste sea muy esbelto; sin embargo, sí pueden ser críti-cos los momentos en la base de muros que tomen la mayor parte de las cargaslaterales. En estos casos debe ponerse cuidado especial en que las presiones ver-

Cimentaciones

197

Empuje lateral

Reaccióndel suelo

x Pilotes

a) Por empuje pasivo del suelo sobrela cimentación.

b) Por pilotes inclinados. c) Por flexión en pilotesverticales (poco eficiente).

ticales no excedan de los valores permisibles del terreno o la capacidad de cargade los pilotes que constituyen el sistema de cimentación. Las cargas axiales de-bidas al momento de volteo pueden, en edificios esbeltos, generar fuerzas de ten-sión que excedan las compresiones debidas a las fuerzas de gravedad. Deberán eneste caso diseñarse pilotes o anclas que puedan absorber dichas tensiones.

El otro aspecto, con frecuencia olvidado por los diseñadores, es que la cimen-tación debe poder transmitir las cortantes básales al terreno. En cimentacionessuperficiales es usual suponer que la mayor parte de la capacidad de resistir lafuerza cortante en la base la proporciona la fricción entre el suelo y la cimen-tación. Así, la resistencia total al movimiento de la estructura puede tomarse igualal producto de la carga muerta más la carga viva media de la estructura, multipli-cado por el coeficiente de fricción correspondiente.

Las cimentaciones profundas normalmente constan de un cajón, cuya resis-tencia y rigidez naturales son útiles para distribuir lasfuerzas sísmicas en el suelo, evitando los desplazamientosdiferenciales (figura 5.43). Para transmitir las fuerzas cor-tantes se cuenta en este caso también con las presionespasivas del suelo en las partes laterales del cajón, aun-que para aprovechar esta acción deben tomarse medidasadecuadas, como cuidar que el suelo esté bien compacta-do, y que los muros estén adecuadamente diseñados pararesistir dichas presiones pasivas (figura 5.44a). En el casode dimensiones grandes pueden necesitarse muros inte-riores, además de los periféricos, para dar suficiente ri-gidez y resistencia a la cimentación. El uso de pilotesinclinados es muy efectivo para resistir las fuerzas late-rales inducidas por el sismo, sin embargo tiende a con-centrar en los pilotes con mayor inclinación las fuerzasinducidas por el sismo, dejando con poca efectividad lospilotes verticales o con poca inclinación (figura 5.44b).

El movimiento del terreno genera desplazamientoshorizontales relativos a distintas alturas del depósito de

Figura 5.44 Mecanismos pararesistir cargas laterales impor-tantes en cimentaciones pilo-teadas.

Figura 5.45 Deformación depilotes por efecto de la cargalateral.

Muro

Cabezali / \e pilotes

\ s Terreno- blando

Terreno firme


198

1í

,S

U L_ri_O -O

o1,r\

Elevación

i^- Muro

Planta

/

\ Muro

Contratrabe transversal

/ Contratrabe longitudinal

/ LI———--

'jIU- — Pilotes

_J I^/Dado

O O Lcx^-- Contratrabe

1r^Xr V Pilotes

AU

Figura 5.46 Esquema de ci-mentación de muros de rigidez.

suelo. En consecuencia, los pilotes se flexionan, gene-rándose en ellos fuerzas cortantes y momentos flexionan-tes, además de las cargas axiales (figura 5.45). El diseño deestos elementos debe considerar tales acciones. La partemás difícil es determinar la magnitud de los elementosmecánicos citados. Davisson y Robinson (1965) proponenun procedimiento de análisis para pilotes de distintas lon-gitudes en suelos cohesivos y no cohesivos.

No se recomienda, por las razones expuestas en elpárrafo anterior, el uso de pilotes o pilas sin refuerzo lon-gitudinal. Se suele especificar un refuerzo nominal mí-nimo de 0.25 a 0.5 por ciento, o de 4 varillas del número5. Además, existe la tendencia en sismos severos a la for-mación de articulaciones plásticas en las cabezas de loi.pilotes, por lo que es apropiado confinar estas zonas me-

diante refuerzo transversal, de la manera como se hace en columnas. Se previeneno mitigan así fallas que señan de muy difícil reparación.

Es usual en el análisis de las estructuras considerar que los elementos verti-cales están empotrados a nivel de cimentación. Sin embargo, las rotaciones en labase de columnas y muros desplantados en cimentaciones no totalmente rígidas,pueden alterar significativamente la distribución de fuerzas en la estructura y losdesplazamientos laterales de la misma. Particularmente significativos son los mo-vimientos que pueden presentarse en la base de muros o crujías con contravien-tos, los que atraen grandes fuerzas laterales que generan altos momentos devolteo en su base. A menos que se cuente con un apoyo sumamente rígido concimentación superficial sobre un suelo muy firme o con pilotes profundos sobreestratos muy resistentes (figura 5.46), se tendrán rotaciones en la base de estosmuros que disminuirán radicalmente su eficiencia para rigidizar la estructuray modificarán la distribución de fuerzas.

Para fines de resistencia a fuerzas sísmicas los pilotes de punta son muchomás efectivos que los de fricción (figura 5.45), ya que proporcionan un apoyo másfirme para absorber las cargas axiales inducidas por el momento de volteo. En lazona de suelo blando de la ciudad de México se han preferido tradicionalmentelos pilotes de fricción, ya que éstos pemiten que el edificio siga el hundimientoregional del suelo. Sin embargo, en el sismo de 1985 fueron frecuentes los casosen que estos pilotes no pudieran soportar las cargas axiales debidas al momentode volteo y penetraron en el suelo en forma asimétrica, dejando al edificio incli-nado. Existen algunas soluciones que tratan de reunir las ventajas de los dos tiposde pilotes, como los de pilotes de control.

Análisis sísmicoestático

6.1 ASPECTOS REGLAMENTARIOS

6.1.1 Métodos de análisis

El diseño sísmico de edificios debe seguir las prescripciones del reglamento ocódigo de construcciones de la localidad que los alberga. El primer paso del dise-ño es el análisis sísmico que permite determinar qué fuerzas representan la acciónsísmica sobre el edificio y qué elementos mecánicos (fuerzas normales y cortan-tes y momentos flexionantes) producen dichas fuerzas en cada miembro estruc-tural del edificio. Para este fin, los reglamentos aceptan que las estructuras tienencomportamiento elástico lineal y que podrá emplearse el método dinámico modalde análisis sísmico, que requiere el cálculo de periodos y modos de vibrar y esmateria del siguiente capítulo de este texto. Con ciertas limitaciones, se puedeemplear el método estático de análisis sísmico que obvia la necesidad de calcularmodos de vibración y se trata en este capítulo. Cualquiera que sea el método deanálisis, los reglamentos especifican espectros o coeficiente para diseño sísmicoque constituyen la base del cálculo de fuerzas sísmicas.

Presentaremos los métodos estático y dinámico dentro si contexto del Regla-mento vigente en el Distrito Federal (RCDF), aunque la mayoiía de los concep-tos son independientes de las disposiciones reglamentarias y pueden emplearsecon otros reglamentos de construcción, con variantes menores que reflejen los re-quisitos correspondientes de tales documentos, principalmente los espectros ocoeficientes sísmicos estipulados para cada lugar.

Como en sus versiones anteriores, el cuerpo principal del RCDF incluye so-lamente requisitos de carácter general. Métodos de análisis y prescripciones par-ticulares para estructuras específicas están contenidos en las Normas TécnicasComplementarias para Diseño por Sismo (NTDS). Además, requisitos especí-ficos para el diseño sísmico de los principales materiales estructurales se encuen-tran en las Normas Técnicas para Diseño y Construcción de Estructuras deConcreto, Metálicas, de Manipostería y de Madera, respectivamente.

El título sexto del RCDF se llama Seguridad Estructural de las Construccionesy consta de 10 capítulos, varios de los cuales contienen disposiciones referentes al

C a p í t u l o

6

Análisis sísmico estático

diseño sísmico; en particular, el capítulo VI, se titula Diseño por Sismo y en suscláusulas se establecen las bases y requisitos de diseño para que las estructuras ten-gan adecuada seguridad ante la acción sísmica. Este capítulo está formado por losartículos 202 a 212 y hace referencia a las NTDS. Este último documento contiene11 secciones y un apéndice dividido a su vez en las secciones Al a A7.

6.1 .2 Coeficientes y espectros de diseño sísmico

La sección 3 de las NTDS estipula la ordenada del espectro de aceleraciones, a,que debe adoptarse cuando se aplique el análisis dinámico modal. Este espectrose usa también en la sección 8 de las NTDS para definir el coeficiente sísmicopara calcular la fuerza cortante basal en el análisis estático. Expresada como frac-ción de la aceleración de la gravedad, a está dada por:

a = (1 + 3 T/Ta) c/4, si T es menor que Ta

a = c, si T está entre Ta y Tb

a = q c, si T excede de Th

donde Tes el periodo natural de interés; T, Ta y Tb están expresados en segundos.c se denomina coeficiente sísmico, y constituye el índice más importante de la

acción sísmica que emplea el RCDF tanto para análisis estático como dinámico. Estecoeficiente es una cantidad adimensional que define la fuerza cortante horizontal queactúa en la base de un edificio como una fracción del peso total del mismo, W.

Los valores de c, Ta, Tb y del exponente r dependen de en cuál de las zonasdel Distrito Federal estipuladas en el artículo 219 del RCDF, se encuentra el edi-ficio. En la tabla 6. 1 se describen dichas zonas, que se identifican como I a III,siendo I la zona de terrenos más firmes o de Lomas, II la de Transición y III la de

Tabla 6.1. Zonas en que se divide el Distrito Federal.

Zona Descripción

I Lomas Formada por rocas o suelos generalmente firmes que fueron deposi-tados fuera del ambiente lacustre, pero en los que pueden existir, su-perficialmente o intercalados, depósitos arenosos en estado suelto ocohesivos relativamente blandos. Es frecuente la presencia de oque-dades en rocas y de cavernas y túneles excavados en suelos paraexplotar minas de arena.

II Transición Los depósitos profundos se encuentran a 20 m de profundidad o me-nos. Constituida predominantemente por estratos arenosos y limoarci-llosos intercalados con capas de arcilla lacustre, el espesor de éstas esvariable entre decenas de centímetros y pocos metros.

III Lacustre Integrada por potentes depósitos de arcilla altamente comprensible, se-parados por capas arenosas con contenido diverso de limo o arcilla. Es-tas capas arenosas son de consistencia firme á muy dura y de espesoresvariables de centímetros a varios metros. Los depósitos lacustres sue-len estar cubiertos superficialmente por suelos aluviales y rellenos arti-ficiales, el espesor de este conjunto puede ser superior a 50 m.

Aspectos reglamentarios

201terrenos más blandos o de Lago. Una parte de las zonas II y III se denominazona IV y para ella existen algunas limitaciones en la aplicación de métodosde diseño que incluyen efectos de interación suelo-estructura. De acuerdo conel RCDF, la zona a que corresponde un predio se determina a partir de inves-tigaciones que se redicen en el subsuelo del mismo, tal y como lo establecenlas Normas Técnicas para Diseño de Cimentaciones. Cuando se trata de cons-trucciones ligeras o medianas cuyas características se definen en dichasNormas, puede determinarse la zona mediante el mapa incluido en las mis-mas, que hemos reproducido en la figura 1.13, si el predio está dentro de laporción zonificada. Los predios que se encuentren a menos de 200 m de lasfronteras entre dos zonas se supondrán ubicados en la más desfavorable.

Para cada zona, Ta, Tb y r se consignan en la tabla 6.2, que se basa en latabla 3.1 de las NTDS. El coeficiente sísmico c varía además en función de la im-portancia de la construcción, específicamente del grupo en el se clasifique aledificio según la tabla 6.3, que refleja el artículo 174 del RCDF. Para las cons-trucciones clasificadas como del grupo B, c se tomará igual a 0.16 en la zona I,0.32 en la II y 0.40 en la III. Teniendo en cuenta que es mayor la seguridad quese requiere para construcciones en que las consecuencias de su falla son particu-larmente graves o para aquellas que es vital que permanezcan funcionandodespués de un evento sísmico intenso, se incrementa el coeficiente sísmico en50 por ciento, para diseñar las estructuras de estadios, hospitales y auditorios,subestaciones eléctricas y telefónicas y otras clasificadas dentro del grupo A,

Tabla 6.2. Valores de Ta, Tb y r.

Zona

1

II*

III+

T1a

0.2

0.3

0.6

n0.6

1.5

3.9

r

1/2

2/3

1

No sombreada en la figura 6.1.Y parte sombreada de la zona II en la figura 6.1.

Tabla 6.3. Agrupación de construcciones según el RCDF.

Grupo

Grupo A

Grupo B

Subgrupo B 1

Subgrupo B2

Descripción

Construcciones cuya falla estructural podría causar un número ele-vado de muertes, pérdidas económicas o culturales excepcional-mente altas, o que constituyan un peligro significativo por contenersustancias tóxicas o explosivas, así como construcciones cuyo fun-cionamiento es esencial a raíz de una emergencia urbana, como hos-pitales y escuelas, estadios, templos, salas de espectáculos y hotelesque tengan salas de reunión que pueden alojar mas de 200 per-sonas; gasolineras, depósito de sustancias inflamables o tóxicas,terminales de transporte, estaciones de bomberos, subestacioneselétricas, centrales telefónicas y de telecomunicaciones, archivos yregistros públicos de particular importancia a juicio del Depar-tamento, museos, monumentos y locales que alojen equipo espe-cialmente costoso, y

Construcciones comunes destinadas a vivienda, oficinas y localescomerciales, hoteles y construcciones comerciales e industriales noincluidas en el grupo A, las que se subdividen en:

Construcciones de más de 30 m de altura o con más de 6,000 m2 deárea total construida, ubicadas en las zonas I y II según se definenen el artículo 175, y construcciones de más de 15 m de altura o3,000 m2 de área total construida en zona III, y

Las demás de este grupo.

Aspectos reglamentarios

203salvo que, siguiendo lasNTDS, en la parte sombreadade la zona II en la figura 6.1(figura 3.1 de las NTDS) setomará c = 0.4 para las estruc-turas del grupo B y c = 0.6para las del A.

Sería impráctico diseñaredificios para que resistansismos severos manteniendocomportamiento elástico; portanto, los reglamentos de cons-trucción prescriben materialesy detalles constructivos talesque las estructuras puedenincursionar en comportamientoinelástico y disipar la energíaimpartida por un temblor fuertemediante histéresis. Comohemos visto en capítulos pre-vios, esto permite reducir lasfuerzas elásticas de diseñosísmico mediante factoresque reflejan la capacidad delsistema estructural para de-formarse inelásticamente antefuerzas laterales alternantessin perder su resistencia(ductilidad). En el caso delRCDF, las fuerzas para análi-sis estático y las obtenidas delanálisis dinámico modal sepueden reducir dividiéndolasentre el factor Q que dependedel factor de comportamien-to sísmico Q. Para estructurasque satisfacen las condicionesQ' se calcula como:

Tabla 6.4. Requisitos de regularidad para una estructura

1. Planta sensiblemente simétrica en masas y elementos resistentes con respecto a dosejes ortogonales

2. Relación de altura a menor dimensión de la base menor de 2.5.

3. Relación de largo a ancho de la base menor de 2.5.

4. En planta no tiene entrantes ni salientes cuya dimensión exceda de 20 por cientode la dimensión de la planta medida paralelamente a la dirección que se considera dela entrante o saliente.

5. Cada nivel tiene un sistema de techo o piso rígido y resistente.

6. No tiene aberturas en sus sistemas de techo o piso cuya dimensión exceda de 20por ciento de la dimensión en planta medida paralelamente a la dimensión que seconsidere de la abertura. Las áreas huecas no ocasionan asimetrías significativas nidifieren en posición de un piso a otro y el área total de aberturas no excede enningún nivel de 20 por ciento del área de la planta.

7. El peso de cada nivel, incluyendo la carga viva que debe considerarse para diseñosísmico, no es mayor que el del piso inmediato inferior ni, excepción hecha delúltimo nivel de la construcción, es menor que 70 por ciento de dicho peso.

8. Ningún piso tiene un área, delimitada por los patios exteriores de sus elementosresistentes verticales, mayor que la del piso inmediato inferior ni menor que 70 porciento de ésta. Se exime de este último requisito únicamente al último piso de laconstrucción.

9. Todas las columnas están restringidas en todos los pisos en dos direcciones orto-gonales por diafragmas horizontales y por trabes o losas planas.

10. La rigidez al corte de ningún entrepiso excede en más de 100 por ciento a la delentrepiso inmediatamente inferior.

11. En ningún entrepiso la excentricidad torsional calculada estáticamente, es, excededel 10 por ciento de la dimensión en planta de ese entrepiso medida paralelamen-te a la excentricidad mencionada.

de regularidad que fija la sección 6 de las NTDS,

Q' = Q si se desconoce T o si éste es mayor o igual que Ta

Q' = 1 + (T/Ta) (Q - 1), si Tes menor que Ta

donde T es el periodo fundamental de vibración si se emplea el método estáticoo el periodo del modo que se considere cuando se use análisis modal. Para estruc-turas que no satisfagan las condiciones de regularidad que fija la sección 6 de lasNTDS (reproducidas en la tabla 6.4) se multiplicará Q' por 0.8. Las deforma-ciones se calcularán multiplicando por Q las causadas por las fuerzas sísmicasreducidas en el método estático o modal.

Los valores de Q dependen del tipo de sistema estructural que suministrala resistencia a fuerzas laterales y de los detalles de dimensionamiento que se


Tabla 6.5. Factor de comportamiento sísmico, Q.

Factor Q Requisitos

4 1. La resistencia en todos los entrepisos es suministrada exclusivamente por marcos no contraventeados de acero oconcreto reforzado; por marcos contraventeados o con muros de concreto reforzado en los que en cada entrepiso losmarcos son capaces de resistir, sin contar muros ni contravientos, cuando menos 50 por ciento de la fuerza sísmicaactuante.

2. Si hay muros ligados a la estructura en la forman especificada en el caso I del artículo 204 del Reglamento, éstosse deben tener en cuenta en el análisis, pero su contribución a la capacidad ante fuerzas laterales sólo se tomará encuenta si estos muros son de piezas macizas, y los marcos sean o no contraventeados, y los muros de concretoreforzado son capaces de resistir al menos 80 por ciento de las fuerzas laterales totales sin la contribución de losmuros de manipostería.

3. El mínimo cociente de la capacidad resistente de un entrepiso entre la acción de diseño no difiere en más de 35por ciento del promedio de dichos cocientes para todos los entrepisos. Para verificar el cumplimiento de este requi-sito, se calculará la capacidad resistente de cada entrepiso teniendo en cuenta todos los elementos que puedan con-tribuir a la resistencia, en particular los muros que se hallen en el caso I a que se refiere el artículo 204 del RCDF.

4. Los marcos y muros de concreto reforzado cumplen con los requisitos que fijan las normas técnicas correspon-dientes para marcos y muros dúctiles.

5. Los marcos rígidos de acero satisfacen los requisitos para marcos dúctiles que fijan las normas técnicas corres-pondientes.

3 Se satisfacen las condiciones 2, 4 y 5 para Q = 4, y en cualquier entrepiso dejan de satisfacerse las condiciones 1ó 3, pero la resistencia en todos los entrepisos es suministrada por columnas de acero o de concreto reforzado conlosas planas, por marcos rígidos de acero, por marcos de concreto reforzado, por muros de este material, por com-binaciones de éstos y marcos o por diafragmas de madera contrachapada. Las estructuras con losas planas deberánademás satisfacer los requisitos de las normas técnicas para estructuras de concreto.

2 La resistencia a fuerzas laterales es suministrada por losas planas con columnas de acero o de concreto reforzado,por marcos de acero o de concreto reforzado contraventeados o no, o muros o columnas de concreto reforzado queno cumplen en algún entrepiso lo especificado por Q = 4 ó 3, o por muros de manipostería de piezas macizas con-finados por castillos; dalas, columnas o trabes de concreto reforzado o de acero que satisfacen los requisitos delas normas complementarias respectivas, o diafragmas construidos con duelas inclinadas o por sistemas de murosformados por duelas de madera horizontales o verticales combinados con elementos diagonales de maderamaciza. También se usará Q = 2 cuando la resistencia es suministrada por elementos de concreto prefabricadoo presforzado con las excepciones que marcan las normas técnicas para estructuras de concreto.

1.5 La resistencia a fuerzas laterales es suministrada en todos los entrepisos por muros de manipostería de piezas hue-cas, confinados o con refuerzo interior, que satisfacen los requisitos de las normas técnicas respectivas, o por com-binaciones de dichos muros con elementos como los descritos para Q = 4 ó 3, o por marcos y armaduras de madera.

1 La resistencia a fuerzas laterales es suministrada al menos parcialmente por elementos o materiales diferentes de losantes especificados, a menos que se haga un estudio que demuestre, a satisfacción del Departamento, que se puedeemplear un valor más alto.

adopten, como se explica en la tabla 6.5 que refleja la sección 5 de las NTDS.Esta sección también estipula que en todos los casos se usará para toda laestructura en la dirección de análisis el valor mínimo de Q que corresponde alos diversos entrepisos de la estructura en dicha dirección. Además se nota queQ puede diferir en las dos direcciones ortogonales en que se analiza la estruc-tura, según sean las propiedades de ésta en dichas direcciones.

Valuación de fuerzas sísmicas sin estimar el periodo fundamental del edificio

6.1.3 Aplicabilidad y procedimiento del análisis sísmico estático

La sección 3 de las NTDS se ocupa de la elección del tipo de análisis sísmico yen su párrafo 2.1 especifica que cualquier estructura podrá analizarse con el méto-do dinámico, pero ofrece la opción de emplear el método estático para estructurasque no pasen de 60 m de alto. El análisis estático se describe en la sección 8 delas NTDS y, en términos generales, su aplicación requiere los siguientes pasos:

a) Se representa la acción del sismo por fuerzas horizontales que actúan enlos centros de masas de los pisos, en dos direcciones ortogonales.

b) Estas fuerzas se distribuyen entre los sistemas resistentes a carga lateralque tiene el edificio (muros y/o marcos).

c) Se efectúa el análisis estructural de cada sistema resistente ante las cargaslaterales que le correspondan.

En este capítulo se tratan los puntos a y b, ilustrándolos mediante ejemplos eincluyendo las opciones que considera la sección 8 de las NTDS. El punto c hasido objeto del segundo capítulo de este texto. Como un caso particular del aná-lisis estático, presentaremos también el método simplificado de análisis cuyaaplicabilidad y procedimiento se especifican en la sección 7 de las NTDS.

6.2 VALUACIÓN DE FUERZAS SÍSMICASSIN ESTIMAR EL PERIODOFUNDAMENTAL DEL EDIFICIO

Según el primer párrafo de la sección 8 de las NTDS, las fuerzas cortantes sís-micas en los diferentes niveles de una estructura pueden valuarse suponiendo unconjunto de fuerzas horizontales que obran sobre cada uno de los puntos dondese supongan concentradas las masas. La fuerza actuante donde se concentra unamasa i es igual al peso de la misma, W¡, por un coeficiente proporcional a la alturah¡ de la masa en cuestión sobre el desplante (o nivel a partir del cual las defor-maciones estructurales pueden ser apreciables), sin incluir tanques ni apéndices.El factor de proporcionalidad es, tal que la relación VyW0, siendo V0 la fuerza cor-tante basal y W0 el peso total de la construcción, sea igual a c/Q, donde c y Q sedeterminan como hemos descrito en la sección 6.1.2.

6.2.1 Edificios sin apéndices

En el caso, aplicando el párrafo precedente concluimos que la fuerza horizontalP¡ aplicada en el centro de masas del nivel i está dada por la fórmula

(6.1)

Aplicaremos esta fórmula al edificio esquematizado en la figura 2.30, con-siderando que la estructuración, los materiales y los detalles constructivos em-pleados son tales que el factor de comportamiento sísmico Q puede tomarse iguala 4 en la dirección X, e igual a 2 en la dirección Y. Obsérvese que el esquema alu-dido representa al edificio completo y no sólo a un marco o muro aislado, y que


206los valores de Q son distintos en las dos direcciones, porque hemos supuestoque las estructuraciones respectivas son diferentes. Consideremos además quela estructura está ubicada en la zona de terreno altamente compresible (III) yque se trata de una construcción que por su importancia se clasifica como delgrupo A.

Empleando los datos anteriores y siguiendo la sección 6.1.2, se encuentra quec = 0.40 X 1.5 = 0.60. Por tanto, en la dirección X: c/Q = 0.60/4 = 0.15, y en ladirección Y: c/Q = 0.60/2 = 0.30. A partir de esta información hemos elaboradola tabla 6.6 donde se presentan en forma sistematizada las operaciones paraobtener en ambas direcciones, las fuerzas actuantes en cada piso P¡, las cortantesen los entrepisos V¡, así como su posición en planta. Hemos supuesto que las ma-sas están uniformemente distribuidas en planta y que, en consecuencia, P¡ obra enel centro de gravedad del área del piso correspondiente, salvo en el primer pisodonde se ha adoptado un punto de aplicación diferente para P¡. El formato de latabla 6.6 es apropiado para una hoja electrónica de cálculo.

6.2.2 Edificios con apéndices

Son apéndices los tanques, parapetos, pretiles, anuncios, ornamentos, ventanales,muros, revestimientos y demás elementos cuya estructuración difiera radical-mente de la del resto del edificio. Para determinar las fuerzas en un apéndice

Tabla 6.6. Fuerzas cortantes y su posición en el edificio de la figura 2.30.

a) Dirección X

Nivel

5

4

3

2

1

Suma

W¡(ton)

90

120

150

150

180

690

h¡(m)

16

13

10

7

4

W¡h¡

1440

1560

1500

1050

720

6270

Pix(ton)

23.77

25.75

24.76

17.33

11.89

Vi*(ton)

23.77

49.52

74.28

91.61

103.50

y¡(m)

3.75

5.50

5.50

5.50

6.30

Ptffi

89.14

141.63

136.18

95.33

74.88

ZP&l(m)

89.14

230.77

366.95

462.28

537.16

y-d(m)

3.75

4.66

4.94

5.05

5.19

Pix = 0.15 . = {2

b) Dirección Y

Nivel

5

4

3

2

1

Suma

Wt

(ton)

90

120

150

150

180

690

í(m)

16

13

10

7

4

W{ht

1440

1560

1500

1050

720

6270

piy(ton)

47.54

51.50

49.52

34.67

23.77

v*(ton)

47.54

99.04

148.56

183.23

207.00

xi(m)

6.75

9.20

9.20

9.20

8.50

V

320.90

473.82

455.60

318.92

202.05

2 V(m)

320.90

794.72

1250.32

1569.24

1771.29

x*

6.75

8.02

8.42

8.56

8.56

Piy = 0.30 2 *„• = {2 ¡y


207

*5

K2

n

W1

w¡

W4

W3

W2

W6

7 n

i W¡ K¡

f1 400 100

3-0m 2 400 2003 400 200

A 4 400 100

6 53.0 m 7 10

W¡ Peso de la masa í

iK¡ Rigidez del entrepiso i

3.0 m

3.0 m

tf

3.0 m

^

;

debemos aplicar la sección 8.4 de las NTDS, según la cual se supondrá actuandosobre el mismo la misma distribución de aceleraciones que le correspondería sise apoya directamente en el terreno, multiplicada por (1 + 4c7c) donde c' es elfactor por el que se multiplica el peso del nivel de desplante del apéndice cuandose valúan las fuerzas sobre toda la construcción, sin afectarlo por el factor Q,puesto que el mismo ya ha sido incluido en el cálculo de dichas fuerzas.

Estrictamente, en edificios con apéndices, no se aplica la fórmula 6.1 ypara valuar las fuerzas en los pisos debemos emplear textualmente lasNTDS. Para ilustrar los cálculos necesarios, consideremos el edificio de lafigura 6.2; supóngase Q = 4 y que se trata de una construcción del grupo B,desplantada en terreno firme (zona I). Con tales datos determinamos quec = 0.16, con lo que Vg/W0 debe ser igual a 0.16/4 = 0.04, estando incluidosen Vg y en W0 las fuerzas laterales y los pesos de los apéndices respecti-vamente.

Las fuerzas sísmicas en los pisos 1 a 5 son proporcionales a los productos delos pesos W¡ por las alturas h¡, sea a la constante de proporcionalidad, entonces

Figura 6.2 Elevación esque-mática de un edificio conapéndices.

P5 - a W5 h5 = 300 X 15 a = 4500 aP4 = a W4 /i4 = 400 X 12 a = 4800 aP3 = a W3 h3 = 400 X 9 a = 3600 aP2 = a W2 h2 = 400 X 6 a = 2400 aPl = a Wl hi = 400 X 3 a = 1200 a

(6.2)


Si los apéndices estuviesen apoyados en el suelo, suponiendo que su sistemaresistente a cargas laterales es tal que es apropiado Q = 2, tendrían unas fuerzassísmicas iguales a

P'6 = 0.08 X W6 = 0.08 X 5 = 0.40 tonP'1 = 0.08 X W7 = 0.08 X 10 = 0.80 ton

(6.3)

Para el apéndice que pesa W6, c' es el factor por el cual se multiplica W¡ paraobtener la fuerza P¡; es decir, según las expresiones 6.2, c'6 = a h{ = 3a. Análo-gamente, para el apéndice que pesa W-, se tiene c'7 = a /i5 = 15a. Las fuerzas dela expresión 6.3 tienen que multiplicarse por (1 + 4c7c), como sigue:

P6 = 0.40 {1+4 (3a)/0.16) = 0.40 + 30aP7 = 0.80{1 +4(15a)/0.16} = 0.80 + 300a

(6.4)

Para calcular a se emplea la condición de que el cortante en la base (suma delas fuerzas P¡ a P7) entre la suma de los pesos Wí a W7 debe ser igual a 0.04.Usando las expresiones 6.2 y 6.4 se llega a:

16830 a+1.20 = 0.04 (1915); (6.5)

la solución de esta ecuación es a = 0.00448; sustituyendo a en 6.2 y 6.4 ob-tenemos:

2.14,20.16,21.50,16.13,10.75,0.53,5.38,

V7 =V7 =V4 =

V3 =V2 =V6 -vl =

2.1422.3043.8059.9370.68

0.5376.59 V0 = cortante basal;

las fuerzas están en toneladas y en la base se verifica que

= 76.59/1915 = 0.04

Tabla 6.7. Fuerzas sísmicas en el edificio de la figura 6.2 sin considerar apéndices.

Nivel oentrepiso

5

4

3

2

1

Suma

Wi

(ton)

300

400

400

400

400

1900

h¡(m)

15

12

9

6

3

Wjki

4500

4800

3600

2400

1200

16500

Pl(ton)

20.73

22.11

16.58

11.05

5.53

v¡(ton)

20.73

42.84

59.42

70.47

76.00

P¡ = 0.04 fa} I,


Tabla 6.8. Estimación del periodo fundamental del edificio de la figura 2.30.

a) Dirección X

209

Nivel

5

4

3

2

1

Suma

Wt

(ton)

90

120

150

150

180

Pl(ton)

23.77

25.75

24.76

17.33

11.89

v¡(ton)

23.77

49.52

74.28

91.61

103.50

*/(ton/cm)

44

44

68

68

68

V/K,(cm)

0.540

1.125

1.092

1.347

1.522

d¡(cm)

5.627

5.087

3.962

2.869

1.522

W#

2850.0

3105.4

2354.2

1234.9

417.0

9961.5

PA

133.76

130.99

98.09

49.72

18.10

430.66

T = 6.3 = °-97

b) Dirección Y

Nivel

5

4

3

2

1

Suma

W,(ton)

90

120

150

150

180

Pt(ton)

47.54

51.50

49.52

34.67

23.77

v¡(ton)

47.54

99.04

148.56

183.23

207.00

K¡(ton/cm)

131

206

236

236

236

V/K¡(cm)

0.363

0.481

0.629

0.776

0.877

4(cm)

3.127

2.764

2.283

1.654

0.877

W#

879.9

9166

781.8

410.1

138.5

3126.9

PA

148.64

142.33

113.05

57.33

20.85

482.20

T = 6.3 (2 W^/g fy,-)1/2 = 0.51 seg.g = 981 cm/seg2.Vj/K¡ = desplazamientos de entrepiso, acumulados hacia arriba dan d¡.

Cuando la masa de los apéndices es pequeña comparada con la que seconcentra en los pisos, opcionalmente, podemos ignorar en primera instancialos apéndices y aplicar la expresión 6.1, como se hace en la tabla 6.7. Lasfuerzas en los apéndices como si estuviesen desplantados sobre el suelo sedan en la expresión 6.3. Para el apéndice W6, c es el factor por el que se mul-tiplica Wl para obtener />„ esto es c'6 = P,/^, = 5.53/400 = 0.0138.Similarmente, para el apéndice W-,, c'7 = P5/W5 = 20.73/300 = 0.0691. Losvalores dados en 6.3 deben multiplicarse por (1 + 4c7c) = (1 + 4 X0.0138/0.16) = 1.35 para W6, y por (1 + 4 X 0.0691/0.16) = 2.73 para W7;así obtenemos:

P6 = 0.40X 1.35 -0.54 ton

P7 = 0.80X2.73 = 2.18 ton

Comparando estas fuerzas con las obtenidas considerando el factor de pro-porcionalidad a, observamos que son muy similares entre sí. Las cortantes sonahora:


V 7 = 2.18 tonV5 = 22.91 tonV4 = 45.02 tonV3 = 60.60 tonV2 = 72.65 tonV5= 0.54 tonV5 = 78.72 ton

La diferencia en el cortante basal es igual a la suma de fuerzas en los apén-dices.

6.3 VALUACIÓN DE FUERZAS SÍSMICAS ESTIMANDOEL PERIODO FUNDAMENTAL DEL EDIFICIO

6.3.1 Procedimiento

La sección 8.2 de las NTDS permite usar fuerzas cortantes reducidas siempre quese tome en cuenta el valor aproximado del periodo fundamental de vibración deledificio T, calculado en segundos con la fórmula siguiente:

T = 6.3 [(2 W, df)l(g 2 P¡ d,.)]i/2 (6.6)

W¡ es el peso de la masa i, P¡ la fuerza horizontal que actúa en ella de acuer-do con el procedimiento en que no se estima el periodo, d¡ el desplazamiento co-rrespondiente en la dirección de P¡, y g, la aceleración de la gravedad.

De acuerdo con el valor resultante de T, se aplica una de las dos opcionessiguientes:

I. Si T Tb se procede como cuando no se calcula T, pero de manera que larelación V0/W0 = alQ', calculándose a y Q como hemos explicado enla sección 6.1.2.

II. Si T > Tb procedemos como en el párrafo I, pero de forma tal que lafuerza lateral en la masa i es proporcional a (k¡ h¡ + k2 h¡2) W¡, siendo

*, = q [1 - r (1 - q)] 2 W¡ /& W, h¡) (6.7)

' ¿2 = 1.5 r q (1 - q) 2 W¡ /(2 W¡ h,2) (6.8)

donde q = (T/Th)r. Ta, Tb y r se dan en la tabla 6.2; además, a no serámenor de c/4.

Los ejemplos siguientes ilustran las opciones mencionadas. Cabe notar queen un par de casos los periodos que se calculan son altos para el número de pisosconsiderado, pero hemos mantenido tales valores a fin de incluir todas las posi-bles situaciones siri trabajo numérico excesivo.


Examinaremos aquí si es posible reducir las fuerzas sísmicas obtenidas en elejemplo de la sección 6.2.1, recordando que para el edificio en cuestión se encon-

Valuación de fuerzas sísmicas estimando el periodo fúndamela! del edificio

tro que c = 0.6; además, según la tabla 6.2, para la zona III, Ta y Th valen 0.6 y3.1 segundos, respectivamente. Los cálculos para obtener Ten las dos direccionesde análisis empleando la fórmula 6.6, se incluyen en la tabla 6.8, partiendo de va-lores de las rigideces dados en la figura 2.30 y de las fuerzas obtenidas en latabla 6.6.

En cuanto a los requisitos de regularidad que marcan las NTDS (véase latabla 6.4) por inspección de la figura 2.30 verificamos que todas las plantas sonsensiblemente simétricas con respecto a los ejes ortogonales X, Y tanto en masascomo en elementos resistentes. La relación de altura a la dimensión menor de labase es 16/11 = 1.45 y la de largo a ancho de la base es 20/11 = 1.82, ambasmenores que 2.5. Ninguna planta tiene entrantes, salientes ni aberturas, y supon-dremos que todos los pisos son suficientemente rígidos y resistentes. El peso decada nivel no es mayor ni menor que 70 por ciento del peso del piso inmediatoinferior; y todos los pisos, a excepción del último, tienen la misma área. Aunqueno damos detalles sobre las columnas, supondremos que están restringidas en to-dos los pisos en dos direcciones ortogonales por diafragmas horizontales y portrabes o losas planas. Las rigideces de entrepiso se listan en la tabla 6.7 y enningún entrepiso dicha rigidez excede a la del entrepiso inmediatamente inferior.Las excentricidades torsionales es en las direcciones de análisis se calculan pos-teriormente en la tabla 6.12 y se encuentra que sus valores no exceden del 10 porciento de la dimensión en planta del entrepiso correspondients,.niedida paralela-mente a la excentricidad, salvo en el cuarto entrepiso en la dirección X donde laexcentricidad es 22 por ciento mayor que el límite requerido (1.34 versus 1.10metros.). Por tratarse de un sola violación a un amplio número de condiciones,relacionada con disminución de dimensiones en el último piso que siempre setrata como una excepción en otros requisitos, consideraremos que el edificio esregular, y que es innecesario reducir Q'.

En la dirección X resulta T = 0.97 segundos, menor que Th; entonces se apli-ca el primer párrafo de las sección 6.3.1 que permite usar las fuerzas calculadassin estimación del periodo, escaladas de modo que VJW0 en la base igual sea aalQ'. Siguiendo la sección 6.1.2, como Ta < T < Tb, tenemos a = c y Q' = Q. Enconsecuencia, Vg/Wg = c/Q, que es el mismo valor que cuando no se estima elperiodo, indicando que las fuerzas sísmicas en esta dirección no pueden reducirsepor este concepto.

En la dirección Y encontramos que 7 = 0.51 segundos, también menor queTb, por lo que nuevamente podemos emplear las fuerzas obtenidas sin estimarel periodo, reduciéndolas para que la relación VJW0 sea igual a a/Q'. Esta vezT < Ta, por lo cual, recordando que en esta dirección 2 = 2, tenemos

a = (1 + 37/rj c/4 = (1 + 3 X 0.51/0.6) (0.6/4) = 0.5325

Q' = 1 + (TITa) (Q - 1) = 1 + (0.51/0.6) (2 - 1) = 1.85

alQ = 0.5325/1.85 = 0.288

Con las fuerzas Piy calculadas en la tabla 6.6, VJW0 en la base vale 0.30(igual a c/Q). Para que dicha relación sea 0.288 hay que multiplicar las Piy por0.288/0.30 = 0.96 y se obtienen así las fuerzas reducidas buscadas. Esta reduc-ción no modifica las posiciones de las cortantes determinadas en la tabla 6.5,porque todas las fuerzas se multiplican por el mismo factor reductivo.


212Tabla 6.9. Estimación de! periodo fundamental del edificio de la figura 6.2.

Nivel

5

4

3

2

i

Suma

W,(ton)

300

400

400

400

400

PÍ(ton)

20.45

21,82

1-6.36

10.91

5.49

v,(ton)

20.45

42.27

58.63

69.54

75.03

«1(ton/cm)

100

100

200

200

100

*V*i(cm)

0.205

0.423

0.293

0.348

0.75

d¡(cm)

2.019

1.814

1.391

1.098

0.750

Wtf

1223

1316

774

482

225

4020

PA

41.29

39.58

21.58

11.98

4.12

118.55

T = 6.3 (2 W¡d2/g PfL^n =1.17 seg.g = 981 cm/seg2.Vj/K¡ = desplazamientos de entrepiso, acumulados hacia arriba dan d¡.


Para estimar el periodo de este edificio usaremos las cortantes calculadas em-pleando el factor a en la sección 6.2.2, ignorando las fuerzas y pesos de losapéndices. En la tabla 6.9 se resumen los cálculos que conducen a T = 1.17segundos, considerando los datos de la figura 6.2. Supondremos que el edifi-cio satisface los requisitos de regularidad dados en la tabla 6.4 sin que sea nece-sario multiplicar Q' por 0.8. Recordemos que c = 0.16 y que para la zona I, latabla 6.2 indica Th = 0.6 segundos y r = 1lz. Ya que T > Tb se aplica el párra-fo II de la sección 6.3.1, que requiere emplear los factores k¡ y k2 dados por lasexpresiones 6.7 y 6.8.

Necesitamos previamente determinar a/Q' que es cuanto debe valer V0/W0;siguiendo la sección 6.1.2, cuando T > Tb, a = q c siendo q — (TbIT)r, pero ano será menor que c/4. Haciendo operaciones resulta q = (0.6/1.17)1/: = 0.72 ya = 0.72c que es mayor que c/4, por lo que usaremos a — 0.72 X 0.16 = 0.1146.En adición, Q' = Q = 4 y, en consecuencia, V0/W0 = 0.1146/4 = 0.02865.

La obtención de las fuerzas reducidas se muestra en la tabla 6.10; en par-ticular, la cortante en la base ha disminuido de 75.03 a 54.42 ton por haberseestimado el periodo fundamental de vibración del edificio. Como verificaciónV0/W0 = 54.42/1900 = 0.02864, valor prácticamente idéntico al requerido en elpárrafo anterior. Las fuerzas en los apéndices se pueden modificar procediendocomo en la segunda parte del ejemplo de la sección 6.2.2.

6.4 DISTRIBUCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS ENTRELOS ELEMENTOS RESISTENTES DEL EDIFICIO

Una vez determinadas las fuerzas sísmicas que obran en cada piso de un edificio,tenemos que distribuirlas entre los diferentes elementos resistentes verticales(marcos y/o muros y/o contravientos). En este paso del análisis sísmico hay quetener en cuenta que debido a los efectos dinámicos de la vibración, el momentotorsionante que actúa en cada entrepiso se ve en general amplificado y la excentri-cidad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente. Por otra parte, la

Distribución de las fuerzas sísmicas entre los elementos resistentes del edificio

determinación del centro de torsión sólo puede efectuarse con pobre aproximaciónya que la rigidez de cada elemento particular se altera por agrietamientos locales,fluencias o por la contribución de elementos no estructurales. Por las dos razonesexpuestas, los reglamentos de construcción modernos especifican excentricida-des de diseño que, según lo que sea más desfavorable, amplifican o reducen laexcentricidad directa para incorporar la naturaleza dinámica de las torsiones sísmi-cas en cálculos estáticos. Además, se añade o substrae una excentricidad acciden-tal que considera principalmente incertidumbres en la estimación de masas yrigideces y las componentes rotacionales de los temblores ignoradas en el análisis.

Para construcciones en el Distrito Federal, el párrafo 8.6 de las NTDS especi-fica que el momento torsionante será igual a la fuerza cortante de entrepiso por laexcentricidad que para cada sistema resistente resulte más desfavorable entre:1.5 es + 0.1 b, o es — 0.1 b, donde es es la excentricidad directa en el entrepisoconsiderado y b es su máxima dimensión en planta medida perpendicularmente ala dirección del movimiento del terreno que se esté analizando. Además, la ex-centricidad de diseño en cada sentido no será menor que la mitad del máximovalor de es para los entrepisos que se hallan abajo del que se considera, ni se to-mará el momento torsionante de ese entrepiso menor que la mitad del máximocalculado para los entrepisos que están arriba del considerado.

También debemos tener presente que los dos componentes horizontales or-togonales del movimiento del terreno ocurren simultáneamente, aunque es muyimprobable que ambos tengan a la vez su máxima intensidad. El párrafo 8.8 delas NTDS considera estos conceptos estipulando que cada sección crítica de unedificio debe resistir la suma vectorial de los efectos (desplazamientos y fuerzasinternas) de un componente del movimiento del terreno con 0.3 de los del otro,en adición a los efectos de fuerzas gravitatorias.

Presentamos a continuación dos métodos para efectuar la distribución de cor-tantes sísmicas siguiendo las pautas anteriores. El primero se limita a estructurascuyos elementos resistentes están ubicados en dos direcciones ortogonales y haceuso del concepto de rigidez de entrepiso; tiene la ventaja de que se puede incorpo-rar fácilmente en una hoja de cálculo electrónica y hasta puede aplicarse ma-nualmente con una calculadora de escritorio. En el segundo método, que empleaoperaciones matriciales, es innecesaria la definición de rigideces de entrepiso ylos elementos resistentes pueden estar orientados en cualquierdirección, pero requiere el empleo de computadoras. Ambosmétodos se basan en la hipótesis de que los pisos son diafrag-mas rígidos en su plano.

213

Figura 6.3 Elementos resis-tentes ortogonales y centro detorsión.

6.4.1 Entrepisos con sistemasresistentes ortogonales

La figura 6.3 muestra la planta de un entrepiso en el cual los ele-mentos estructurales que resisten fuerzas laterales son paralelosa las direcciones X o Y. Las rigideces de entrepiso respectivas sedesignan por R^ o Rjy. En estas circunstancias, las fuerzas sísmi-cas se pueden distribuir entre los elementos resistentes mediantelos siguientes pasos:

d) Se calculan las rigideces de entrepiso de los elementos re-sistentes en ambas direcciones y en todos los entrepisos.


214Tabla 6.10. Fuerzas sísmicas del edificio de la figura 6.2 reducidas por estimación de su periodo fundamental.

Nivel

5

4

3

2

1

Suma

W¡(ton)

300

400

400

400

400

1900

h¡(m)

15

12

9

6

3

Wfr

4500

4800

3600

2400

1200

16500

w,V

67500

57600

32400

14400

3600

175500

fi

429.83

434.71

308.21

193.59

90.85

1457.19

P¡(ton)

16.05

16.24

11.51

7.23

3.39

Vi(ton)

16.05

32.29

43.80

51.03

54.42

Datos: Cálculos:

c = 0.16r = 0.50Tb = 0.60 segundosQ' = Q = 4T= 1.17 segundos

q = 0.716a = qc = 0.1146*! = 0.070756¿2 = 0.001650f¡ = *! W& + *2 W%2

K0 = (a/2') 2 W, = 54.42 t

b) Se evalúa la fuerza horizontal P, aplicada en el centro de gravedad de cadanivel ¿ para las dos direcciones con alguna de las opciones descritas en lasección 6.3.

c) Se obtiene la cortante en cada entrepiso, así como su línea de acción enplanta por equilibrio estático.

d) Se determina la posición del centro de torsión en cada entrepiso. Este cen-tro es el punto por el que debe pasar la línea de acción de la fuerza cor-tante para que el movimiento relativo de los dos niveles consecutivos quelimitan el entrepiso sea exclusivamente de traslación. En caso contrarioexiste torsión o rotación relativa entre dichos niveles. Las expresionespara calcular el centro de torsión son:

(6.9)

(6.10)

Xj, jj son las coordenadas de los elementos resistentes.e) La fuerza cortante sobre un elemento resistente es igual a la suma de dos

efectos: el debido a la fuerza cortante del entrepiso supuesta actuando enel centro de torsión, y el causado por el momento torsionante. Si la direc-ción analizada del sismo es paralela al eje X, se obtienen las cortantessiguientes:

En los elementos resistentes x, por efecto de la fuerza cortante aplicada enel centro de torsión:


(«o

En los elementos resistentes x, por efecto de torsión:

' /'.ffi ,x (6.12)

En los elementos resistentes y, por efecto de torsión:

- (6.13)')

En las expresiones anteriores Vx es la cortante en el entrepiso consideradoen la dirección X; xjt> yjt son las distancias del elemento resistente j al res-pectivo centro de torsión; M, es el momento torsionante de diseño, igual alproducto de Vx por la más desfavorable de las siguientes excentricidades:

e2 = es- 0.1 b

siendo la excentricidad directa, es, la distancia entre la línea de acción dela cortante y el centro de torsión, y b la mayor dimensión en planta del en-trepiso medida perpendicularmente a Vx. Al calcular e\ es se le suma, enel mismo sentido, la excentricidad accidental O.lb; en cambio, al valuar e2

a es se le resta en sentido contrario la excentricidad accidental; puedeocurrir que en este caso la excentricidad resultante sea de signo opuesto alde la directa. Para cada elemento resistente se investiga si e\ e2 produceefectos más desfavorables. Se lleva a cabo un análisis similar con lasfuerzas en la dirección Y.

f) Para cada elemento resistente se calculan las cortantes debidas al 100 porciento de las fuerzas sísmicas en la dirección X más 30 por ciento de lasfuerzas sísmicas en la dirección Y y viceversa. Rige el mayor de los re-sultados.

g) Conocidas las cargas que actúan en cada elemento resistente, éste se analizade acuerdo con los métodos presentados en el capítulo 2 u otros similares.

Es necesario precisar los signos de las cantidades aludidas en el procedi-miento que acabamos de describir. Las rigideces de entrepiso son siempre positivasy se debe escoger un sistema de coordenadas derecho con centro en cualquierpunto de la planta. Así, las coordenadas de los elementos resistentes, x¡ o y¡ pue-den ser positivas o negativas y se incluirán con su signo en las ecuaciones 6.9 y6.10, que dan corno resultado las coordenadas de centro de torsión (xt, y,) con elsigno apropiado. Las distancias de los elementos resistentes a dicho centro tam-bién tienen signo y están dadas por:

xjt = Xj - x,; y¡, = y, - y,.

Las posiciones de las cortantes, definidas por las coordenadas xv o yv, debenreferirse al mismo sistema de coordenadas, incluyendo el signo correspondiente.


Entonces las excentricidades directas so valúan con los signos que resulten, comolas diferencias:

El signo de es debe incluirse al calcular las excentricidades de diseño e\ e2',las fórmulas siguientes incorporan correctamente el signo de la excentricidad ac-cidental:

e¡ = e,(1.5 + 0.lb/\es\) (6.14)

<?2 = es(1.0-0.1¿/|eJ) (6.15)

Las barras verticales indican valor absoluto. Los signos de el y e2 se incluiránen el cálculo de los momentos torsionantes de diseño. Como el sismo puede ac-tuar en uno u otro sentido en cada dirección de análisis, las cortantes sísmicaspodrían ser positivas o negativas, aunque deben tener signos congruentes con elsentido escogido en todos los entrepisos. Conviene, no obstante, asignarles signopositivo, de manera que los momentos torsionantes asumen el signo de la excen-tricidad que los origina y la cortante directa en cada elemento resistente, dada porla fórmula 6.11, es siempre positiva. Por otro lado, los signos del momento tor-sionante y de las coordenadas x-]t o y-Jt deben incluirse en las expresiones 6.12 y6.13, lo cual lleva a cortantes por torsión positivas o negativas.

Al combinar los efectos de las dos componentes ortogonales de movimientodel terreno en la determinación de las cortantes en los elementos resistentes, a lacortante inducida por el sismo actuando en una dirección, siempre se añade laproducida al considerar la dirección perpendicular, independientemente del signode esta última (que se invertiría si cambiamos el sentido de la segunda compo-nente, manteniendo fijo el de la primera).

6.4.2 Ejemplo

Hemos empleado el procedimiento expuesto en la sección precedente para obtenerlas fuerzas cortantes en los elementos resistentes de los entrepisos 3 a 5 del edificiomostrado en la figura 2.30. Las cortantes sísmicas y su posición para todos los entre-pisos se encontraron en la tabla 6.6. Las rigideces de entrepiso se dan como datos enla figura aludida; en general, es posible usar valores aproximados para fines de unadistribución preliminar y refinarlos teniendo en cuenta el sistema de fuerzas lateralesobtenidas en cada elemento mediante la primera estimación de rigideces.

Las posiciones de los centros de torsión en cada dirección se han determina-do en la tabla 6.11 con las expresiones 6.9 y 6.10. Anticipándonos a los cálculosnecesarios para distribuir las cortantes entre los elementos resistentes, hemos in-cluido en esta tabla las coordenadas de dichos elementos referidas al centro detorsión y los cocientes

c, ~ Rjxyj,IRt o RjyxjtIR,

siendo R, la rigidez rotacional con respecto al centro de torsión igual a

+ RX

Tabla 6.11. Posiciones de los centros de torsión de los entrepisos de! edificio de la figura 2.30.

Entrepiso 5

Eje

Ix

2x

3x

Suma

Rj*12

8

24

44

y¡0.0

3.5

7.5

V;0.0

28.0

180.0

208.0

y*-4.73

-1.23

2.77

V;<-56.73

-9.82

66.55

V/268.17

12.05

184.51

464.73

cd0.273

0.182

0.545

1.000

ct-0.00912

-0.00158

0.01070

0

x. = 208/44 = 4.73 m

Eje

iyiy3?

Suma

Rjy

74

4

55

133

Xj

0.0

6.5

13.5

RjyXj

0.0

26.0

742.5

768.5

xjt

-5.78

0.72

7.72

Rjyxjt

-427.59

2.89

424.70

v/2470.68

2.08

3279.44

5752.20

cd0.556

0.0300.414

1.000

ct

-0.06878

0.00046

0.06831

0y, = 768.5/133 = 5.78 m Rjyxjt2) = 6216.93 cd =

Entrepiso 4

.Rjx o o RjyX)/Rt

Eje

Ix

2x

3x

4x

Suma

R]X

12

8

8

16

44

y¿0.0

3.5

7.5

11.0

V;0

28

60

176

264

y¿-6.00

-2.50

1.50

5.00

Rjxyj,

-72.00

-20.00

12.00

80.00

V/432.00

50.00

18.00

400.00

900.00

cd

0.273

0.182

0.182

0.364

1.000

ct

-0.00356

-0.00099

0.00059

0.00396

0

x, = 266/44 = 6.00 m

Eje

iy2y3?4y

Suma

Kjy108

6

6

86

206

XJ0.0

6.5

13.5

20.0

Rjyxj0

39

81

1720

1840

X2-8.93

-2.43

4.57

11.07

RjyXj,

-964.66

-14.59

27.41

951.84

V*28616.38

35.49

125.20

10543.98

19312.05

c<l

0.524

0.029

0.029

0.417

1.000

ct-0.04773

0.00072

0.00136

0.04709

0

y, = 1840/206 = 8.93 m R, = I, (Rjxyjt2 + Rjyxjt2) = 20212.04 cd = Rjxl1 Rjx o Rjyi

Entrepisos 1 a 3

= RjxyjtIR, o RjyXjtIRt

Eje

Ix

2x

3x

4x

Suma

Rj*20

12

12

24

68

y¿0.0

3.5

7.5

11.0

V;0

42

90

264

396

y¡<-5.82

-2.32

1.68

5.18

RjXyJt

-116.47

-27.88

20.12

124.24

Rj*yj,2678.27

64.79

33.73

643.10

1419.89

Cd

0.294

0.176

0.176

0.354

1.000

ct-0.00495

-0.00118

0.00085

0.00528

0

x, = 396/68 = 5.82 m

Eje

iy2y3j4y

Suma

Rjy

128

6

6

96

236

XJ0.0

6.5

13.5

20.0

RjyXj

0

39

81

1920

2040

Xjt

-8.64

-2.14

4.86

11.36

RjyXj,

-1106.66

-12.86

29.14

1090.17

V/9564.15

27.58

141.48

12379.89

22113.10

cd

0.542

0.025

0.025

0.408

1.000

ct-0.04702

0.00055

0.00124

0.04633

0

y, = 2040/236 = 8.64 m R, = 2 (Rjxyjt2 + Rjyxjt2) = 23532.98 cd = /y£ Rjx o RjyK Rjy c, = Rjjcyjt/Rt o Rjyxjt/R,


218Obsérvese que cá y c, forman parte de las expresiones 6.12 y 6.13, respectiva-mente, y permiten expresar las contribuciones debidas a la cortante actuando enel centro de torsión y al momento torsionante como:

= c V (6.16)

(6.17)

Conocidas las coordenadas del centro de torsión, podemos valuar la excentrici-dad directa es, las excentricidades de diseño el y e2 y también verificar los requisitosreglamentarios de excentricidades y momentos torsionantes mínimos. Así hemoselaborado la tabla 6.12, que además incluye una excentricidad e3 igual a la mitad dela máxima excentricidad calculada es abajo de cada nivel considerado. Otras doscolumnas de la tabla listan el momento torsionante en M, valuado con es y el momen-to M4 igual a la mitad del máximo M¡ encima del nivel analizado. Para facilitar lacomparación con «j y el hemos definido una excentricidad e4 dada por el cocienteM4/V. Inspeccionando esta tabla, se aprecia que los valores absolutos de el son mayo-res que los de e-¡ y e4, y se concluye que es innecesario modificar las excentricidadesde diseño para satisfacer los requisitos de valores mínimos que estipulan las NTDS.

La distribución de cortantes sísmicas entre los elementos resistentes de losentrepisos 3 a 5 se lleva a cabo en la tabla 6.13, de acuerdo con las fórmulas 6.16

Tabla 6.12. Excentricidades y momentos torsionantes de diseño en los entrepisos del edificio de la figura 2.30.

a) Dirección X

Nivel

5

4

3

2

1

v*23.77

49.52

74.28

91.61

103.50

yv

3.75

4.66

4.94

5.05

5.19

Jt

4.73

6.0Ü

5.82

5.82

5.82

b

7.5

11.0

11,011.0

11.0

es

-0.98

-1.34

-0.88

-0.77

-0.63

«I

-2.22

-3.11

-2.42

-2.26

-2.05

e2

-0.23

-0.24

0.22

0.33

0.47

«3

-0.670

-0.440

-0.385

-0.315

0.000

M,

-23.29

-66.36

-65.37

-70.54

-65.20

M4

0.00

-11.65

-33.18

-33.18

-35.27

e4

0.00

-0.24

-0.45

-0.36

-0.34

a) Dirección Y

Nivel

5

4

3

2

1

V2

46.54

99.04

148.56

183.23

207.00

*v

6.75

8.02

8.42

8.56

8.56

X,

5.78

8.93

8.64

8.64

8.64

b

13.5

20.0

20.0

20.0

20.0

es

0.97

-0.91

-0.22

-0.08

-0.08

«i

2.80

-3.37

-2.33

-2.12

-2.12

«2

-0.38

1.09

1.78

1.92

1.92

e3

-0.455

-0.110

-0.040

-0.040

0.000

M,

45.14

-90.13

-32.68

-14.66

-16.56

M4

0.00

22.57

-45.06

-45.06

-45.06

e4

0.00

0.23

-0.30

-0.25

-0.22

V,p Vy y sus coordenadas de aplicación xv yv provienen de la tabla 4.5ei = es(l.5 + Ó.lb/\es\)e2 = es (\.0-0.l bl\es\)«3 = mitad del máximo es abajo del nivel consideradoM, = Ves

M4 = mitad del máximo M, arriba del nivel consideradoe4 = A/4/V


Tabla 6.13. Cortantes sísmicas en los elementos resistentes del edificio de la figura 2.30.

a) Entrepiso 5

Sentido

X

Y

V(ton)

23.77

46.54

e\

-2.22

2.80

*2(m)

-0.23

-0.38

Mtl = Ve,

-52.77

130.54

Ma = Ve2

-5.47

-17.69

Ho

130.54

52.77

Eje

\x

2x

3x

Suma

Cd

0.273

0.182

0.545

ct

-0.00912

-0.00158

0.01070

Vd

6.49

4.33

12.95

23.77

V,

0.48

0.08

-0.56

0.00

V2

0.05

0.01

-0.06

0.00

vm

6.97

4.41

12.90

V0

-1.19

-0.21

1.40

-0.00

V&

7.33

4.47

13.32

25.12

v^3.28

1.53

5.27

10.08

Ix

2x

3x

Suma

0.556

0.030

0.414

-0.06878

-0.00046

0.06831

25.88

1.40

19.27

46.55

-8.98

0.06

8.92

-0.00

1.22

-0.01

-1.21

0.00

27.09

1.46

28.19

-3.63

0.02

3.60

-0.00

28.18

1.46

29.27

58.91

11.76

0.46

12.06

24.28

b) Entrepiso 4

Sentido

X

Y

V(ton)

49.52

99.04

«1(m)

-3.11

-3.37

«2(m)

-0.24

1.09

Mñ = Ve,

-154.01

-333.27

M,2 = Ve2

-11.88

107.95

»á

333.27

154.01

Eje

\x

2x

3x

4x

Suma

cd

0.273

0.182

0.182

0.364

C,

-0.00356

-0.00099

0.00059

0.00396

Vé

13.52

9.01

9.01

18.03

49.57

v,0.55

0.15

-0.09

-0.61

-0.00

V2

0.04

0.01

-0.01

-0.05

0.00

vm

14.07

9.17

9.01

17.98

V0

-1.19

-0.33

0.20

1.32

0.00

V^i14.42

9.26

9.06

18.37

51.11

v5.41

3.08

2.90

6.71

18.10

iy2y3y

4y

Suma

0.524

0.029

0.029

0.417

-0.04773

-0.00072

0.00136

0.04709

51.90

2.87

2.87

41.30

98.94

15.91

0.24

0.45

-15.69

0.00

-5.15

-0.08

0.15

5.08

-0.00

67.80

3.11

3.02

46.38

-7.35

-0.11

0.21

7.25

-0.00

70.01

3.15

3.08

48.56

124.80

27.69

1.04

1.12

21.16

51.01

M,o = máximo valor absoluto entre M¡, y A/,2 en la dirección ortogonalV¿ = cortante directo = c¿ VVj — cortantes por torsión = c, Mtp j — 1,2,0c¿ y c, provienen de la tabla 6.11Vm = máximo entre (Vd + V,) y (V¿ + V2)Vicyi = vm + °-3 valor absoluto de V0

Vjyz = 0.3 Vm + valor absoluto de V0


220Tabla 6.13. Cortantes sísmicas en los elementos resistentes del edificio de la figura 2.30. (Continuación.)

c) Entrepiso 3

Sentido

X

Y

V(ton)

74.28

148.56

«i(m)

-2.42

-2.33

e2(m)

0.22

1.78

Mrl = Ve,

-179.76

-346.14

M,2 = Ve2

16.34

264.44

MK,

346.14

179.76

Eje

\x

2x

3x

4x

Suma

cd

0.294

0.176

0.176

0.353

ct

-0.00495

-0.00118

0.00085

0.00528

vd

21.84

13.07

13.07

26.22

74.20

Vi

0.89

0.21

-0.15

-0.95

0.00

V2

-0.08

-0.02

0.01

0.09

.0.00

vm

22.73

13.29

13.09

26.31

V0

-1.71

-0.41

0.29

1.83

0.00

v&23.24

3.41

13.18

26.86

76.69

V

8.53

4.39

4.22

9.72

26.86

iy2y3y4y

Suma

0.542

0.025

0.025

0.407

-0.04702

-0.00055

0.00124

0.04633

80.52

3.71

3.71

60.46

148.40

16.28

0.19

-0.43

-16.04

-0.00

-12.43

-0.15

0.33

12.25

-0.00

96.80

3.90

4.04

72.72

-8.45

-0.10

0.22

8.33

-0.00

99.33

3.93

4.11

75.21

182.58

37.49

1.27

1.44

30.14

70.34

M(0 = máximo valor absoluto entre Mrl y M,2 en la dirección ortogonalV¿ = cortante directo = c¿ VVj — cortantes por torsión = c, M,p j =1,2,0c¿y c, provienen dé la tabla 6.11Vm = máximo entre (Vd + V,) y (V¿ + V2)Vxyi = Vm + 0.3 valor absoluto de V0

Vxy2 = °-3 vm + valor absoluto de V0

y 6.17. En la primera parte de esta tabla se consignan las e\ e\sal entrepiso analizado en las dos direcciones del sismo, junto con los dos respec-tivos momentos torsionantes Mtl y M,2. Hemos incluido un momento Mffi definidocomo el máximo valor absoluto entre Mtl y M,2 causado por la cortante que obraen la dirección ortogonal.

En lo que resta de la tabla 6.13 se emplean los cocientes c¿ y c, para calcularla cortante directa y las debidas a los diferentes momentos torsionantes en los ele-mentos resistentes del entrepiso considerado, según las fórmulas 6.16 y 6.17;cada contribución se identifica con el subíndice correspondiente. Para cadaelemento se determina si Vi o V2 es más desfavorable, o sea cuál es el mayor entreV¿ + ^i y V<¡ + ^2- Llamando Vm al resultado más desfavorable, la combinaciónde los efectos de 100 por ciento de una dirección del temblor con 30 por ciento delos de la dirección ortogonal, se hace como sigue:

Rige el mayor de estos dos valores. Como verificación, la suma de las V¿ es,salvo pequeños errores de redondeo, igual a la cortante del entrepiso, mientras que


221

4,

Posición ei i

de la fuerza v jcortante \ * /sísmica /

A^lPosiciones /.Sde diseño —rde la cortante

y*-

— »•-

yv = 4.66, y, = 6.00, es = y, - yv =«1 = 1.5 e, + O.lb = 3.11e2- e, O.lfc = 0.24

Centrode

/ torsión

/JL

*

yy.

3*

2*

lx

¿= 11 m

1.34

las cortantes originadas por torsión suman cero. Obsérvese también que la adi-ción de las cortantes de diseño (Vxyl en este caso), siempre supera a la cortantede entrepiso como consecuencia de que las cortantes más desfavorables por tor-sión para distintos elementos resistentes corresponden a diferentes excentri-cidades.

La forma tabular en que hemos organizado las operaciones de este ejemplo,incluyendo el tratamiento de signos, es apropiada para hojas electrónicas de cálcu-lo. Sin embargo, la excentricidad más desfavorable para cada elemento resistente sepuede identificar examinando la planta del entrepiso, teniendo en mente que losgiros son con respecto al centro de torsión. Por ejemplo, corno se aprecia en la figu-ra 6.4, para los elementos Le y 2x del entrepiso 4, en los cuales el efecto de torsiónse suma al de traslación, rige el; en cambio para los sistemas 3x y 4x, en que ambosefectos son opuestos, rige e2.

Para que las hipótesis de análisis se cumplan, es necesario que la losasea capaz de resistir como diafragma las fuerzas que actúan sobre ella comoconsecuencia de su participación transmitiendo la fuerza sísmica a los ele-mentos resistentes. Tales fuerzas se pueden encontrar por estática; en el sis-tema ly, por ejemplo, las fuerzas cortantes en los entrepisos 3 y 4 son 99.33y 70.01 ton; la fuerza que la losa transmite en el nivel 3 es, por tanto, la dife-rencia 19.32 ton.

Figura 6.4 Posiciones de lacortante sísmica para calcularmomentos torsionantes de di-seño (ios valores numéricoscorresponden al entrepiso 4 dela figura 2.30).

6.4.3 Cálculo matricial de momentos torsionantes

En general los elementos resistentes no son perpendiculares entre sí, y, enadición, para sistemas a base de muros o con diagonales no se pueden definirde manera siempre aceptable rigideces de entrepiso. Por tanto, es impre-scindible emplear un procedimiento más general como el que se expone enesta sección, basado en los métodos de análisis tridimensional presentadosen el capítulo 2. Este procedimiento permite incluir las dos combinacionesde excentricidades especificadas por las NTDS y la suma vectorial de losefectos de un componente del movimiento horizontal del terreno con 0.3 delos del otro.


Como paso previo, derivaremos la manera de calcular los momentos torsio-nantes y excentricidades que generan un conjunto de cargas sobre un edificio.Considérese que la matriz de rigidez lateral del edificio K, y el vector de fuerzasestán partidos en la forma:

[ K^e K00J [P0

donde los subíndices 8 y 9 se refieren, respectivamente, a los desplazamientos en lasdos direcciones horizontales ortogonales y a los giros de los pisos. Congruentemente,P5 contiene las fuerzas sísmicas (dos por cada piso) y P9 los momentos torsionantesque obran sobre el edificio (uno por piso). Conviene elegir como grados de libertadlos desplazamientos y giros de los centros de masas de los pisos donde están aplicadaslas fuerzas sísmicas sin que existan momentos torsionantes con respecto a estos pun-tos, es decir tal que Pe = 0. Podemos calcular los giros y desplazamientos que causanestas fuerzas resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente:

1 = (P.)\j

Kss KSJ 61 = (61g)

e

En vez de obtener directamente la solución, impongamos primero la condi-ción de que los giros son nulos, que equivale a empotrar el edificio en torsión. Elsistema de ecuaciones que refleja esta situación es:

KSS Kse o = (619)

o

se conocen el vector de fuerzas Pg , los giros (que son nulos) y las incógnitas (des-plazamientos 50 y los momentos M, que es como hemos llamado a Pe). M con-tiene los momentos torsionantes requeridos para anular los giros. La solución de6.19 es:

8o = Kg¿Pe (6.20)M = KfcBo (6.21)

Enseguida se "sueltan" los giros, imponiendo al edificio los momentos tor-sionantes "de fijación" con signo cambiado, lo cual conduce al siguiente sistemade ecuaciones:

fe] {8«:} • {-M}

Sumando las igualdades 6.19 y 6.22 verificamos que en el segundo miembrose reproduce el vector original de cargas del sistema de ecuaciones 6.18, dedonde se infiere (por tratarse de ecuaciones lineales) que la solución de 6.18 esigual a la suma de las soluciones de 6.19 y 6.20, es decir:

8=80 + 8,

Esto muestra que los momentos torsionantes en los pisos generados por el sis-tema de fuerzas laterales Ps están dados por — K5eKg¿Pa. Sumando dichos momen-

550.086.6

1333.0

86.6450.0

-750.0

1333.0-750.020550.0


tos de arriba hacia abajo obtenemos los momentos de entrepiso. En cada entrepiso, elcociente del momento torsionante entre la cortante proporciona la excentricidad conrespecto a centro de masas. La ventaja de calcular desplazamientos laterales en lospisos como acabamos de exponer reside en que, antes de resolver el sistema 6.22, elvector — M de momentos torsionantes puede multiplicarse por cualquier factor deamplificación o reducción, según lo requieran los reglamentos de construcción.

6.4.4 Ejemplo

Para ilustrar la determinación de momentos y excentricidades torsionantes conel procedimiento matricial expuesto, consideremos el edificio de un piso tratadoen la sección 2.4.2, en donde se encontró que la matriz de rigidez lateral es:

K =

Las unidades son ton/m.Consideremos que la construcción pertenece al grupo B, que se encuentra en

la zona II, pesa 125 ton, y que los factores de comportamiento sísmico aplicablesson 4 en la dirección X y 2 en la dirección Y. En concordancia con la sección 6.1.2debemos usar c = 0.32. Obviando la estimación de periodo natural y en vista deque se trata de una estructura de un solo piso, las cortantes (en este caso igualesa las fuerzas aplicadas en el piso) en las dos direcciones de análisis quedan:

Vx = Px = c WIQX = 0.32 X 125/4 = 10 tonVy = Py = c WIQy = 0.32 X 125/2 = 20 ton

Siguiendo la notación de las sección precedente, en la dirección X el vectorPes:

' 10= o

o

resolviendo directamente K 8 = P (que es el sistema de ecuaciones 6.18), encon-tramos:

i 0.023795]s = -0.007615 (6.24)

I-0.001821 I

La partes de K y de P correspondientes solamente a los desplazamientos late-rales son:

_ [55086

.0 86.6] p = flO.OJ

.6 450.0J s [ 0.0]

Los desplazamientos laterales cuando se restringen las rotaciones, están da-dos por la expresión 6.20 que lleva a:

s = { 0.018750]0 [-0.003608]


la parte de la matriz K que acopla desplazamientos y giros es:

Ksi=[ 1333 -750]

y el momento torsionante de fijación, dado por 6.21, resulta M = K5/ SQ =[27.700]. Luego "soltamos" los giros imponiendo sobre edificio estos momentoscon signo cambiado, es decir, aplicando el vector de cargas siguiente:

P, =

Los desplazamientos y giros que se originan, satisfacen el sistema K 5, = Pj(expresión 6.22). Su solución .es:

s = í 0.005045)[-0.004007]

0! = {-0.001821}

Podemos inmediatamente verificar que el giro 0, es idéntico al que se obtu-vo inicialmente (véase 6.24), y también que los desplazamientos se reproducenpor la suma:

S i- S - ¡ 0.018750) , f 0.005045) í 0.023795)[-0.003608] [-0.004007] ~ [-0.007615]

La excentricidad en la dirección X es esx = -M/V = -27.700/10 = -2.77.Procediendo de manera similar para la dirección Y encontramos:

5 =-0.015230

0.052197 [0.002893 J

p J 0.0) . ñ = í-0.007217][20.0] ° [ 0.045833]

M = [-43.995]

0.0P = \0

! 43.995

S j-0.008073] . 0, = {0.002893}] 0.006364]

K fi = I -0.007217) (-0.0080131 = (-0.015230)1 [ 0.045833] [ 0.006364] [ 0.052197]

La excentricidad en la dirección Ves «„ = -M/V = -(-43.995)720 = 2.20.


6.4.5 Distribución matricial de fuerzas sísmicas

Una vez conocidos los giros y desplazamientos de los centros de masas de lospisos correspondientes a las cortantes y momentos torsionantes de diseño, secalculan los desplazamientos laterales de los elementos resistentes y los corres-pondientes elementos mecánicos, como explicamos en la sección 2.4.1.

Supongamos que se ha calculado la matriz de rigidez lateral del edificio poranalizar, siendo los grados de libertad dos desplazamientos horizontales en lasdirecciones de las fuerzas sísmicas y un giro alrededor del eje vertical que pasapor el centro de masas de cada piso. Entonces, de acuerdo con las NTDS, el análi-sis sísmico en cada dirección se puede efectuar como sigue:

a) Se determina la fuerza horizontal aplicada en el centro de masas de cadapiso i, como hemos descrito en las secciones 6.2 y 6.3. Obtenemos n fuerzas,donde n es el número de pisos, y con ellas formamos el vector P5 de tamaño2n insertando ceros en los lugares correspondientes a la dirección perpen-dicular. Consideraremos que estas fuerzas son positivas. Acumulándolas dearriba hacia abajo se obtienen las cortantes en los entrepisos.

¿>) Se calcula el vector de desplazamientos laterales 80, sin permitir giros ho-rizontales, con la expresión 6.20.

c) Los momentos en los pisos debidos a la excentricidad directa son:

M = — K£950 (6.25)

y se acumulan de arriba hacia abajo para obtener los momentos torsio-nantes en los entrepisos Md.

d) Se calculan los momentos torsionantes accidentales en los entrepisos Ma.Para el entrepiso i tenemos Mai = 0.1 b¡ V¡, donde b¿ es la dimensión má-xima de la planta medida perpendicularmente a la dirección en que obranlas fuerzas sísmicas, y V¡ la cortante en dicho entrepiso.

e) En cada nivel i se calculan las dos siguientes combinaciones de momen-tos torsionantes, que ya incluyen los signos adecuados:

Mu = Mdi(l.5+Mai/\Mdi\) (6.26)

/) Para cada combinación del paso anterior, el momento aplicado en el pisomás alto es igual a del entrepiso contiguo y, yendo hacia abajo, en cual-quier otro nivel el momento aplicado es la diferencia entre los momentostorsionantes del entrepiso inferior y el superior. Sean M] y M2 los vecto-res que contienen a los momentos así obtenidos.

g) Se encuentran los giros y desplazamientos generados por M! y M2 re-solviendo los sistemas de ecuaciones:

[KM KS,I r&i _ r o í . . ,K/ KSSJ {41 - IMJ '-«•*h) Las dos combinaciones de excentricidades exigidas por las NTDS se con-

sideran mediante las siguientes combinaciones de giros y desplazamientos:


Combinación

1

2

Desplazamientos Giros

S0 + s} e,S0 + 8, 02

(6.29)

En todos los niveles de cada elemento resistente se calculan los desplaza-mientos de entrepiso producidos por estas combinaciones y se escogen losque tengan mayor valor absoluto. Sea Z*m el vector formado por estos va-lores en el m-ésimo elemento cuando el sismo actúa en la dirección X, yZvm el correspondiente a la dirección Y.

Los desplazamientos de entrepiso causados por las fuerzas sísmicas en lasdos direcciones de análisis se combinan como sigue para cada entrepiso i del ele-mento resistente m:

7* + n i. /v"" ™ (6.30)

0.3 Z*m, + Zym¡

el desplazamiento de diseño del entrepiso i es el mayor de estos dos resultados.Acumulando los desplazamientos de entrepiso resultan los desplazamientos

de los pisos de cada elemento resistente, y se calculan a partir de ellos los ele-mentos mecánicos, como se expuso en el capítulo 2.

El procedimiento matricial que hemos expuesto es adecuado para programasde computadora. Bazán (1978) propone una manera eficiente para efectuar lasoperaciones matriciales que implican los diferentes pasos, incluyendo el cálculode momentos torsionantes directos y sus combinaciones con los momentos de-bidos a la excentricidad accidental.

6.5 MÉTODO SIMPLIFICADODE ANÁLISIS SÍSMICO

Este método es una variante del método estático, aplicable a estructuras a base demuros de carga, de baja altura, planta rectangular, con una distribución sensible-mente simétrica de muros, y en los pisos tienen rigidez suficiente para transmitirlas fuerzas sísmicas a los muros paralelos a la dirección del movimiento del te-rreno. Los muros resistentes a cargas laterales pueden ser de manipostería, deconcreto o de madera. Su empleo más generalizado es en edificios de viviendaunifamiliar o multifamiliar de interés social, en que los muros son de bloque deconcreto o de ladrillo y los sistemas de piso y techo son losas de concreto co-ladas en sitio o parcialmente prefabricadas.

Este método permite ignorar los efectos de flexión y los de la torsión sísmi-ca, así como concentrar la atención en la revisión de la fuerza cortante. Dicha re-visión se basa en la hipótesis de que la suma de las resistencias de todos los murosalineados es la dirección de análisis. Para tomar en cuenta que los muros muy cor-tos, y por tanto muy flexibles, pueden no alcanzar su resistencia antes de que losmás rígidos pierdan su capacidad, su contribución se afecta por un factor reduc-tivo que depende de las dimensiones del muro en su propio plano.

Método simplificado de análisis sísmico

Para el cálculo de la fuerza cortante en cada entrepiso se siguen los mismosprincipios del método estático, con la simplificación de que los efectos del perio-do de vibración y de la reducción por factores de comportamientos sísmico se hanincorporado en los coeficientes sísmicos, los cuales se multiplican directamentepor el peso total para obtener la fuerza cortante basal.

6.5.1 Requisitos y descripción

La sección 2.2 de las NTDS permite efectuar un análisis estático simplificado enestructuras que satisfagan simultáneamente los siguientes requisitos:

I. En cada planta, al menos el 75 por ciento de las cargas verticales estaránsoportadas por muros ligados entre sí mediante losas corridas u otros sis-temas de piso suficientemente resistentes y rígidos al corte. Dichos mu-ros tendrán distribución sensiblemente simétrica con respecto a dos ejesortogonales y deberán satisfacer las condiciones que establecen las Nor-mas Técnicas correspondientes. Será admisible cierta asimetría en la dis-tribución de los muros cuando existan en todos los pisos dos muros decarga perimetrales paralelos cada uno con longitud al menos igual a lamitad de la dimensión mayor en planta del edificio. Los muros a que serefiere este párrafo podrán ser de manipostería, concreto reforzado omadera; en este último caso estarán amostrados con diagonales.

II. La relación entre longitud y anchura de la planta del edificio no exce-derá de 2.0, a menos que, para fines de análisis sísmico, se pueda supo-ner dividida dicha planta en tramos independientes cuya relación entrelongitud y anchura satisfaga esta restricción y cada tramo resista segúnel criterio que marca la sección 7 de las NTDS.

III. La relación entre la altura y la dimensión mínima de la base del edificiono excederá de 1.5, y la altura del edificio no será mayor de 13 m.

Según se describe en la sección 7 de las NTDS, al aplicar el método simpli-ficado se hará caso omiso de los desplazamientos horizontales, torsiones y mo-mentos de volteo, y se verificará únicamente que en cada piso la sumá~de lasresistencias al corte de los muros de carga, proyectadas en la dirección en que seconsidera la aceleración, sea cuando menos igual a la fuerza cortante total queobre en dicho piso, calculada según se describió en la sección 6.2.1, pero em-pleando los coeficientes sísmicos reducidos que se indican en la tabla 6.14 paraconstrucciones del grupo B. Tratándose de las clasificadas en el grupo A di-chos coeficientes se multiplicarán por 1.5. Nótese que estos coeficientes yaincluyen el factor de reducción por comportamiento sísmico.

En el cálculo de las resistencias al corte para muros cuya relación entre laaltura de pisos consecutivos h y la longitud L exceda de 1.33, la resistencia se re-ducirá afectándola del coeficiente (1.33 L/h)2.

6.5.2 Ejemplo

La figura 6.5 muestra esquemáticamente las plantas, alturas y pesos de una cons-trucción de dos pisos, con pisos y techo formados por losas de concreto. Obser-vando las plantas se aprecia que más del 75 por ciento de las cargas verticales


228Tabla 6.14. Coeficientes sísmicos reducidos para el método simplificado, correspondientes aestructuras del grupo B.

Tipo de muro

Muros de piezas macizas o diafragmasde madera contrachapada

Muros de piezas huecas o diafragmasde duelas de madera*

Altura de laconstrucción

menor de4m

entre 4y 7 m

entre 7y 13 m

menor dey 7 m

entre 4y 7 m

entre 7y 13 m

Zona1

0.07

0.08

0.08

0.10

0.11

0.11

ZonaII ylll

0.13

0.16

0.19

0.15

0.19

0.23

* Diafragmas de duelas de madera inclinadas o sistemas de muros formados por duelas de madera verticales u horizontalesarriostradas con elementos de madera maciza.

Los coeficientes sísmicos se multiplicarán por 1.5 para construcciones del grupo A.

están soportadas por muros de manipostería de piezas macizas. En la dirección7 existen dos muros perimetrales de 10 y 6m respectivamente, ligados a la losaen una longitud mayor que 0.5 X 10 = 5 m. La relación entre la altura y ladimensión mínima de la planta es 7/10 = 0.7, menor que 1.5, y la altura del edi-ficio, 7 m, es menor que 13 m. Por tanto, esta estructura se puede analizar con elmétodo simplificado.

Los cálculos necesarios en la dirección Y son como sigue:

a) Al considerar que la estructura es del grupo B, que se construirá sobre te-rreno correspondiente a la zona I, y que su altura es 7 m, en la tabla 6.14encontramos que el coeficiente sísmico, ya reducido por comportamientosísmico, vale 0.08.

b) Como no hay apéndices, podemos efectuar el cálculo de fuerzas sísmi-cas con la expresión 6.1, pero de modo que la cortante en la base valgaV = 0.08 X 132 = 10.56 ton, como se muestra en la tabla 6.15. La cor-tante última es Vu = 1.1 X 10.56 = 11.62 ton, donde 1.1 es el factor decarga especificado por el RCDF para cargas sísmicas.

c) La longitud total de muros paralelos a la dirección Y es 27 m, 24 de loscuales corresponden a muros con relación hIL menor que 1.33; en ellos elesfuerzo resistente, de acuerdo con las Normas Técnicas para Estructurasde Manipostería, está dado por

VR = FR (0.7 v*)

Método simplificado de análisis sísmico

229

W2 = 60 ton

3.0

4.0

IV, = 72 ton

Acotaciones en m

Los muros de carga son de tabiquede barro recocido y se suponeun esfuerzo cortante nominalde 3.5 kg/cm2.

La estructura es para casahabitación (grupo B) y seconstruirá sobre terrenofirme (zona 1).

Figura 6.5 Edificio para ilustrarel método simplificado de aná-lisis sísmico.

Tabla 6.15. Fuerzas sísmicas cortantes para el edificio de la figura 6.6.

Nivel

21

Suma

W¡(ton)

6072

132

*/(m)

14

Wft

420288

708

PÍ(ton)

6.264.30

v¡(ton)

6.2610.56

i) 2 W¡P¡ = 0.08

donde FR es el factor de reducción por resistencia, equivalente a 0.6. Parav* = 3.5 kg/cm2, se obtiene VR = 1.5 kg/cm2.

En el muro A, en planta baja, h/L = 4.0/2.0 = 2.0 > 1.33; por tanto, elesfuerzo resistente vale 1.5 (1.33 X 1/2)2 = 0.66 kg/cm2. En el muro B,h/L = 4.0/1.0 = 4.00 > 1.33 y el esfuerzo resistente es 1.5 (1.33 X 1/4)2

= 0.17 kg/cm2. Entonces la capacidad total es:


(2400 X 1.5 + 100 X 0.66 + 100 X 0.17 ) 14 = 51490 kg = 51.49 ton

que es mayor que 11.62 ton. Como la planta alta es igual a la baja, es in-necesario revisarla, puesto que la fuerza cortante actuante es menor.

De manera análoga se revisa el efecto sísmico en la dirección X, que es máscrítica por la menor longitud de muros. Haciéndolo encontramos que la resisten-cia es también suficiente en esa dirección.

6.6 EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN YREVISIÓN DE DESPLAZAMIENTOS

Como hemos indicado anteriormente, el segundo objetivo básico del diseño sís-mico, consistente en evitar daños ante temblores moderados, se trata de cumplirlimitando los desplazamientos laterales de la estructura. El índice más importantepara determinar la magnitud de posibles daños es la distorsión del entrepiso !//, de-finida como el desplazamiento relativo entre dos pisos sucesivos, A, divididoentre la altura del entrepiso H, es decir:

<// = MH

En el cálculo de A deben incluirse los efectos de esbeltez (no linealidadgeométrica). Hemos explicado en la sección 2.5.3, que la inclusión de los efectosde cargas axiales conduce a un problema no lineal, en el que se calculan momen-tos y deflexiones debidos originados por las cargas externas actuando sobre laconfiguración deformada de la estructura. Además, deben considerarse simul-táneamente las no linealidades de las curvas fuerza-desplazamiento de los ele-mentos estructurales (no linealidad del material). Sin embargo, en vista de que lascolumnas de edificios tienen normalmente relaciones de esbeltez moderada (entodo caso esta es una situación deseable para prevenir inestabilidad), los efectosde segundo orden se pueden incluir con precisión suficiente mediante factoresque amplifican desplazamientos laterales y momentos en las columnas.Reflejando estas consideraciones, el RCDF prescribe un factor de amplificaciónque es función de la rigidez lateral de Q y de la rigidez geométrica W/H.

Hay que recordar que la reducción en el coeficiente sísmico por comportamien-to inelástico es válida para determinar las fuerzas de diseño, y que las deformacionesque ocurrirán en la estructura serán del orden de Q veces las calculadas con un análi-sis elástico bajo esas fuerzas reducidas. Por tanto, antes de compararlas con defor-maciones admisibles, las deformaciones calculadas deben multiplicarse por Q.

También debemos tener presente que el objetivo es limitar las deflexiones avalores que no causen daños en elementos tanto estructurales como no estruc-turales para sismos de menor intensidad que el de diseño. Para emplear directa-mente los desplazamientos obtenidos en el análisis ante el sismo de diseño, elRCDF estipula distorsiones admisibles que se multiplican por un factor del ordende tres con respecto a las que realmente se quieren controlar. Así, se encuentraexperimentalmente que en muros de manipostería y en recubrimientos frágiles deparedes divisorias se provocan agrietamientos cuando las distorsiones excedende dos al millar ($> = 0.002). Como veremos a continuación, el reglamento citadoadmite para esce caso distorsiones de 0.006.

Efectos de segundo orden y revisión de desplazamientos

6.6.1 Requisitos reglamentarios

La sección 8.7 de las NTDS especifica que deberán tenerse en cuenta efectos desegundo orden (también conocidos como efectos de esbeltez) cuando la defor-mación total de un entrepiso dividida entre su altura, medida de piso a piso,exceda 0.08 veces la relación entre la fuerza cortante del entrepiso y ¡as fuerzasverticales debidas a acciones permanentes y variable que obren encima de éste.Se entiende por análisis de segundo orden el que suministre las fuerzas internasy deformaciones adicionales provocadas por las cargas verticales al actuar en laestructura desplazada lateralmente.

Cuando las relaciones de esbeltez de las columnas son menores que 100, unode los procedimientos aproximados que aceptan las Normas Técnicas para estruc-turas de concreto y estructuras metálicas consiste en multiplicar los momentos enlas columnas y los desplazamientos debidos a carga lateral, obtenidos con unanálisis convencional, por el factor de amplificación:

fa = 1 + (Wu/h)/(R/Q - 1.2 Wufh) (6.31)

Donde R es la rigidez del entrepiso considerado (suma de rigideces deentrepiso de todos los marcos de la estructura en la dirección analizada), Wu esla suma de las cargas de diseño muertas y vivas multiplicadas por el factor decarga correspondiente, acumuladas desde el extremo superior del edificio hastael entrepiso considerado; Q es el factor de comportamiento sísmico y h la alturadel entrepiso.

Según el artículo 209 del RCDF, las deformaciones laterales de cada entre-piso debidas a fuerzas cortantes horizontales no excederán de 0.006 veces ladiferencia de elevaciones correspondientes, salvo donde los elementos que seanincapaces de soportar deformaciones apreciables estén ligados a la estructura demanera tal que no sufran daños por las deformaciones de ésta. En tal caso el lími-te en cuestión deberá tomarse igual a 0.012. El menor de los límites mencionadosse aplica al caso de muros integrados a la estructura (caso A de la figura 1.34),mientras que el límite mayor se emplea para muros separados de la misma (casoB de la figura citada). En el cálculo de desplazamientos se tendrá en cuenta larigidez de todo elemento que forme parte integrante de la estructura.

6.6.2 Ejemplo

A continuación revisamos por este concepto el entrepiso cuarto del edificio mos-trado en la figura 6.2. Ignorando los apéndices, según lo descrito en la forma op-cional presentada en la sección 6.2.2 (ver tabla 6.7) se tiene:

V= 20.73 + 22.11 = 42.84 t

Puesto que la rigidez de entrepiso (figura 6.2) vale 100 ton/cm, el desplazamien-to lateral A, es 42.84/100 = 0.43 cm; este resultado debe multiplicarse por el factorde comportamiento sísmico, 4 en este caso, lo cual resulta en 0.43 X 4 = 1.72 cm.Obran sobre este entrepiso W = 300 + 400 = 700 ton de carga vertical. Para decidirsi tenemos que considerar explícitamente los efectos de segundo orden hay que com-parar i/r = A/% = 1.72/300 = 0.00573 con 0.08 V/W = 0.08 X 42.84/700 = 0.0049.Como 0.00573 excede a 0.00490, la respuesta es afirmativa.


Usaremos la fórmula 6.31 con Wu = 1.1 X 700 = 770, entonces

fa=\+ (770/300)7(100/4 - 1.2 X 770/300) =1.12

Los desplazamientos de cada marco de este entrepiso se tomarán iguales a1.12 veces los obtenidos en el análisis sin considerar los efectos de esbeltez. Losmomentos en las columnas también deben multiplicarse por/a y los momentos enlas vigas tienen que corregirse proporcionalmente a sus rigideces angulares paraque se satisfaga el equilibrio de momentos en cada nudo.

La distorsión lateral es ^=1.72X1.12/300 = 0.0064, prácticamenteigual al menor de los límites prescritos por el RCDF, por lo que las deformacio-nes calculadas son aceptables, independientemente de cómo se liguen elementosno estructurales a la estructura.

6.7 MOMENTOS DE VOLTEO

Como veremos en el siguiente capítulo, las deformaciones laterales que un temblorgenera en un edificio provienen de una combinación de distintos modos de vibrar.Aunque predomina el modo fundamental en el cual todas las fuerzas horizontalestienen el mismo sentido, los modos inmediatamente superiores en los que existenfuerzas que obran en sentidos opuestos, tienen contribuciones significativas. Porello, en el análisis estático que considera todas las fuerzas en el mismo sentido, sesobrestima en cierta medida el momento de volteo. Con base en esta observa-ción, los reglamentos de construcción aceptan una moderada reducción de losmomentos de volteo resultantes de las cortantes calculadas con análisis estático.

Las NTDS, en su sección 8.5, estipulan que el momento de volteo en un nivelobtenido con análisis estático, puede tomarse igual al calculado multiplicado porel factor reductivoy = 0.8 + 0.2z, siendo z la relación entre la altura a la que secalcule el momento de volteo y la altura total de la construcción; pero no menorque el producto de la fuerza cortante en el nivel en cuestión multiplicada por sudistancia al centro de gravedad de la parte de la estructura que se encuentre porencima de dicho nivel. En péndulos invertidos no se permite reducción de mo-mento de volteo.

A fin de ilustrar la obtención de momentos de volteo reducidos, conside-remos el edificio de la figura 2.30, con las fuerzas sísmicas determinadas en latabla 6.6. Hemos organizado los cálculos necesarios para la dirección X en la ta-bla 6.16 donde en primer lugar se encuentra de manera sistemática la distancia yg

de cada nivel al centro de gravedad de la parte de la estructura por encima delmismo. En la segunda parte de la tabla 6.16 se calculan el momento de volteo sinreducir Af „, el factor reductivo j y los dos valores mínimos que debe exceder elmomento reducido en la base de cada piso. En este ejemplo, el producto de lafuerza cortante V por yg rige sobre jMv en todos los niveles. En la base del edifi-cio, el momento de volteo baja de 1131.5 a 940.5 t-m (una reducción de 17 porciento). En la última columna hemos definido el factor neto de reducción/, igualal momento reducido que rige entre el momento sin reducir. Los valores de/ sonmayores que los de y, reflejando que rige el producto V yg.

Nótese que las yg no cambian al considerar la dirección Y; además, ya que lasfuerzas sísmicas en esta dirección son todas iguales a las de la dirección X multi-plicadas por el mismo factor (igual a la relación entre los cortantes básales en

Comentarios

233Tabla 6.16. Momentos de volteo reducidos para el edificio de la figura 2.30.

Nivel oentrepiso

54321

W(ton)

90120150150180

W

90210360510690

tí(m)

3.003.003.003.004.00

W'h'

270630108015302760

I W'h'

270900198035106270

yg

3.004.295.506.889.09

W = 2 W encima del entrepiso i2 W h' = suma de W h' de arriba hacia abajo

h' = altura de entrepisoy = 2 W h'/W

Nivel oentrepiso

543210

V(ton)

0.0023.7749.5274.2891.61

103.50

Vtí

0.071.3

148.6222.8274.8414.0

Mv

0.071.3

219.9442.7717.5

1131.5

h(m)

16.0013.0010.007.004.000.00

z

1.0000.8130.6250.4380.2500.000

j =0.8+0.2z

1.0000.9630.9250.8880.8500.800

JMV

0.068.6

203.4392.9609.9905.2

vy>

0.071.3

212.2408.5630.5940.5

/

1.0001.0000.9650.9230.8790.831

yy,

0.071.3

212.2408.5630.5940.5

V = cortante encima del nivel consideradoRige el mayor entre j Mvy Vyg

j' = momento que rige entre Mv

ambas direcciones), las reducciones permitidas en cada nivel son iguales a lascalculadas en la dirección X. En consecuencia, los factores j' se pueden emplearpara reducir los momentos de volteo en cada elemento resistente, luego de haberdistribuido las cortantes sísmicas que obran sobre el edificio completo en am-bas direcciones entre dichos elementos.

6.8 COMENTARIOS

En vista de la naturaleza dinámica de los temblores, el análisis sísmico de edifi-cios debiera siempre llevarse a cabo con métodos dinámicos, esto es, resolviendoexplícitamente las ecuaciones de movimiento como describimos en el capítulosiguiente. Los métodos estáticos tratados en este capítulo suministran resultadosbasados en el modo fundamental de vibración del edificio, incluyendo de manerausualmente conservadora el efecto de modos superiores para edificios regulares.Su uso se limita a construcciones de altura moderada porque para estructuras deperiodos largos, los modos superiores pueden tener mayor importancia que laproporcionada por el método estático.

Adicionalmente, aunque a la letra el RCDF permite emplear el método estáti-co de análisis sísmico, en cualquier edificio de 60 o menos metros de altura, noes recomendable aplicarlo a edificios que tengan distribuciones irregulares enelevación ya que, en comparación con resultados de análisis dinámicos, se haencontrado que se pueden subestimar apreciablemente las cortantes en ciertos


entrepisos (Aranda et. al, 1982). Debemos en estos casos recurrir al análisis di-námico.

La mayor parte del esfuerzo adicional que se requiere para estimar el perio-do fundamental de un edificio es el cálculo de sus desplazamientos laterales,que de todos modos debe hacerse para revisar que no sean excesivos. Por talmotivo, es aconsejable la opción de usar fuerzas sísmicas reducidas en razónde haber evaluado el periodo natural, con lo cual pueden lograrse reduccionesimportantes si los periodos son relativamente cortos o largos.

En los ejemplos presentados en este capítulo, la combinación de los efectosde un componente del movimiento del terreno con 30 por ciento de los del com-ponente ortogonal se ha realizado a nivel de fuerzas cortantes. Esto brindaresultados adecuados para el diseño de miembros que trabajan esencialmente enel plano en el que están actuando dichas cortantes, como vigas y muros. Paralas columnas o elementos similares, que tienen flexiones importantes en dosplanos verticales ortogonales, no es fácil determinar qué combinación de losefectos de los componentes del temblor es la que rige el diseño, y es en rigornecesario analizar todo el edificio para el sismo actuando en una dirección yluego, separadamente, para el sismo actuando en la dirección perpendicular. Lacombinación de los efectos de uno y otro componente se realizará en cada ele-mento mecánico, cuidando de proceder coherentemente. Por ejemplo, en el di-seño de una columna a flexocompresión biaxial, en el que participan la cargaaxial y los momentos flexionantes en dos direcciones, si para la combinaciónde cargas considerada la fuerza axial proviene de 100 por ciento del sismo enX y 30 por ciento del sismo en Y, los momentos flexionantes corresponderán alos mismos porcentajes, y no sería apropiado tomar junto con dicha carga axial,momentos que resulten de 30 por ciento del sismo en X con 100 por ciento delsismo en Y.

Cabe destacar que el método simplificado de análisis sísmico implica lahipótesis de que el sistema de piso debe constituir un diafragma horizontal rígi-do, capaz de transmitir las fuerzas de inercia generadas por la vibración sísmica,a los muros rígidos alineados en la dirección de análisis. En consecuencia, no esaplicable a casos en que los pisos o techos sean a base de vigas paralelas no con-traventeadas, por ejemplo. De cualquier manera esta situación debe evitarse, yaque los elementos de techo transmiten empujes perpendiculares a los planos delos muros y tienden a voltearlos.

El factor/a para incorporar efectos de esbeltez lleva a resultados muy precisoscuando se considera comportamiento elástico, aunque para elementos muy esbel-tos el RCDF exige la aplicación de métodos más refinados. Sin embargo, a pesarde que no lo exigen las NTDS, es recomendable proporcionar al edificio lateralrigidez suficiente para que la relación citada sea menor que 0.08; en cualquiercaso debe evitarse que dicha relación exceda de 0.20; de lo contrario los proble-mas de esbeltez pueden ser muy serios y no es confiable determinar sus con-secuencias con los procedimientos de las Normas Técnicas, ni aún con métodosdinámicos refinados que incluyan explícitamente tanto los efectos de segundoorden como comportamiento inelástico.

Es probable que el procedimiento matricial presentado en la sección 6.4.3para calcular momentos torsionantes directos en edificios no esté incorporado enprogramas comerciales de análisis de edificios. Sin embargo, existen varios pro-gramas que hacen uso de la hipótesis de que los pisos constituyen diafragmasrígidos horizontales, y permiten calcular los dos desplazamientos y el giro en los

Comentarios

centros de masas de cada piso para cualquier sistema de cargas estáticas, aunqueno calculan la posición de los centros de torsión. Sugerimos que, cuando éste seael caso, la excentricidad directa se calcule como sigue. Supóngase que, debido ala acción de fuerzas sísmicas aplicadas en los centros de masas en la dirección X,en el z'-ésimo piso resultan un desplazamiento u¡ y un giro 0¡. El desplazamien-to en dicha dirección de un punto ubicado a una distancia y (o sea en una líneaperpendicular al eje X) de su centro de masas es (u¡ + 9¡ y). Considerando las mis-mas fuerzas, se analiza nuevamente el edificio restringiendo ahora los giros de losdiafragmas horizontales, obteniéndose para el piso en cuestión un desplazamien-to «',-. Para el centro de torsión ambos desplazamientos son iguales; por tanto, laexcentricidad buscada es el valor de y para el cual se cumple u'¡ = (u¡ + 0, y), esdecir:

ex = («', - íí,)/0,

Se puede proceder de la misma manera para determinar la excentricidad co-rrespondiente a las fuerzas en la dirección Y, usando los desplazamientos en dichadirección. Cuando no sea posible restringir los giros de los pisos, una variante deeste procedimiento consiste en calcular giros y desplazamientos para las fuerzaslaterales colocadas en dos posiciones diferentes, digamos con la excentricidadaccidental sumada la primera vez y en la segunda restada de las coordenadas delos centros de masas. Los centros de torsión son puntos cuyos desplazamientosson iguales en ambos casos.

Análisis sísmicodinámico

7.1 ASPECTOS REGLAMENTARIOS

7.1.1 Tipos de análisis

C a p í t u l o

7

Los métodos dinámicos que hemos presentado en el capítulo tercero permitenefectuar el análisis sísmico de estructuras resolviendo las ecuaciones de mo-vimiento, por lo cual, además de las características de rigidez que se emplean enun análisis estático, incluyen las propiedades inerciales y de amortiguamiento.Desde este punto de vista, el análisis dinámico es más preciso porque incorpora

DEFINICIÓN DELA EXCITACIÓNSÍSMICA

Espectro dediseño elástico

\a 7.1 Métodos de análisis

dinámico

Acelerogramasreales o simulados

Análisis modalespectral

Análisis modalpaso a paso

Espectroreducido

s^ í L

Modos y periodosde vibrar

Análisis linealpaso a paso

Factor decomportamiento

sísmico, Q

COMPORTAMIENTOESTRUCTURAL

Análisis no linealpaso a paso

Curvas cargadeformación no

lineales

Inelástico

Análisis sísmico dinámico

explícitamente información ignorada, o a lo más indirectamente considerada, enel análisis estático. Por otro lado, conviene tener presente que la precisión de unanálisis más refinado depende también de la certidumbre con que se conozcan losdatos adicionales requeridos.

La gran mayoría de los reglamentos de construcción contienen cláusulasque permiten la aplicación de los métodos que se muestran esquemáticamenteen la figura 7.1 de la página anterior. La diferencia entre uno y otro métodoreside en cómo se considera el posible comportamiento inelástico, la forma enque se define la excitación sísmica de diseño, y en la manera de efectuar loscálculos necesarios. No hemos incluido en este esquema procedimientos queefectúan el análisis en el llamado dominio de las frecuencias, usando trans-formadas de Fourier y funciones de transferencia. Todos estos métodos seexplican en detalle en varios textos de dinámica estructural (véase, por ejem-plo, Humar, 1991).

Para el Distrito Federal, la sección 2.1 de las NTDS especifica que cualquierestructura podrá analizarse mediante uno de los dos métodos dinámicos que sedescriben en su sección 9, que se denominan análisis modal y cálculo paso a pasode respuestas ante temblores específicos. Es imprescindible emplear alguno deestos procedimientos cuando no se satisfacen las limitaciones prescritas para apli-car el método estático.

7.1.2 Requisitos generales

Los requisitos aplicables al análisis sísmico dinámico de construcciones en elDistrito Federal se encuentran en la sección 9 de las NTDS. En ella se exige quecualquiera que sea el método dinámico de análisis que se emplee, si se encuentraque, en la dirección que se considera, la fuerza cortante basal V0 es menor queO.SaWJQ', se incrementarán todas las fuerzas de diseño y desplazamientos late-rales correspondientes en una proporción tal que V0 iguale a este valor. Hemosdefinido a y Q' como función del periodo en la sección 6.2.1 y W0 es el peso totalde la construcción; aunque no lo especifican las NTDS, entendemos que a y Q'se refieren al modo fundamental de las estructura.

La sección aludida de las NTDS establece también que los efectos de movi-mientos horizontales del terreno en direcciones ortogonales se combinen como enel método estático, esto es, que 100 por ciento de los efectos de un componentedel sismo se combinen con 30 por ciento de los efectos del componente en ladirección perpendicular. Son igualmente aplicables al análisis dinámico las dis-posiciones prescritas para análisis estático en cuanto al cálculo de fuerzas inter-nas y desplazamientos laterales; incluyendo los tratamientos de apéndices, demomentos de volteo, de efectos de segundo orden, y de la excentricidad acciden-tal que se deben efectuar como hemos descrito en el capítulo sexto.

Dependiendo del tipo de análisis dinámico que se elija, las NTDS especificanrequisitos adicionales más detallados que describiremos posteriormente junto conlos pasos en que consiste el método respectivo.

7.2 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL

Este capítulo trata en su mayor parte el análisis modal, que con más propiedad sellama análisis modal espectral, ya que implica el uso simultáneo de modos de vi-

Análisis modal espectral

brar y espectros de diseño, como lo ilustra la figura 7.1. El cálculo paso a paso dela respuesta sísmica de edificios también puede ser modal, es decir, podría hacer-se encontrando en primer lugar los modos y periodos de vibrar, aunque la exci-tación sísmica se define mediante acelerograrnas de temblores reales o simuladosen vez de espectros.

7.2.1 Espectros de diseño

Los espectros de temblores reales, como los de la figura 3.5 tienen forma irregu-lar y presentan variaciones bruscas en la respuesta máxima en función del perio-do natural. Por tanto, es posible que dos estructuras que tengan casi las mismascaracterísticas dinámicas, respondan de manera bastante distinta a un sismo dado.En la práctica este hecho tiene menos importancia de la que parece a primeravista, gracias a la influencia del amortiguamiento que hace menos bruscas las va-riaciones de los espectros, a que no se conoce con certeza el periodo natural porlas incertidumbres que existen en el cálculo de masas y rigideces, y a que las in-cursiones de la estructura en el intervalo inelástico, así como la interacción suelo-estructura, modifican el periodo fundamental de vibración.

Por lo expuesto, para fines de diseño, los reglamentos de construcción pres-criben espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y se eliminan losvalles. En la sección 6.1.2 hemos descrito los espectros especificados por las NTDSpara el Distrito Federal, así como los conceptos que entran en el cálculo de laordenada espectral para un edificio dado, que son: la zona en que se ubica la es-tructura (I a III), el grupo de construcción al que pertenece la misma (A o B) y elfactor de comportamiento sísmico, Q. Con estos factores podemos definir unacurva que muestra la variación de la aceleración espectral de diseño con el perio-do T, usando las fórmulas y pautas dadas en la sección 6.1.2.

Con base en las ecuaciones correspondientes, la figura 7.2 muestra espectroselásticos para construcciones del grupo B en las tres zonas que se definen en las

Periodo (seg)

Figura 7.2 Espectros de diseñoelásticos para construccionesdel grupo B en el Distrito Fe-deral.


240

I

0.5

0.4

0.3

0.2

2=1.0

2 = 1.5

e=2.0

2 = 4.0

Periodo (seg)

Figura 7.3 Espectros de diseño¡nelásticos para construccionesdel grupo B en la zona III.

NTDS. En la figura 7.3 sepresentan los espectros yareducidos para Q = 2, 3 y 4en la zona III; nótese queentre T = O y T = Ta, losespectros reducidos no siem-pre varían linealmente con elperiodo, como los espectroselásticos. Es pertinente re-marcar que, así definidos,los espectros de diseñotoman en cuenta varios as-pectos de la respuesta sísmi-ca de edificios, entre ellos lasincertidumbres en la valua-ción de periodos, los efectosde temblores de distintos orí-genes, la influencia del amor-tiguamiento y de los distintostipos de suelo, y el compor-tamiento inelástico; en con-

secuencia, no deben sufrir reducciones adicionales a las marcadas por lasNTDS.

7.2.2 Requisitos

Aunque no lo menciona explícitamente, la sección 9 de las NTDS implica quecuando se aplique el análisis dinámico modal, se considere que la estructura secomporta elásticamente, y que, por tanto, sus periodos y modos de vibrar puedenobtenerse siguiendo los métodos explicados en el capítulo 3 u otros similares.Esta sección especifica también que puede despreciarse el efecto dinámico tor-sional de excentricidades estáticas. De ello inferimos que para calcular los modosde vibración puede recurrirse a un modelo puramente traslacional del edificio o auna idealización tridimensional. Recuérdese que, aceptando que los pisos sondiafragmas rígidos, en el primer caso los grados de libertad globales están asocia-dos a un solo desplazamiento lateral por piso y el tamaño de las matrices de rigide-ces y masas es igual al número de pisos de la estructura. En cambio, los modelostridimensionales consideran como grados de libertad dos desplazamientos y ungiro alrededor de un eje vertical por cada nivel; esto triplica el tamaño de las ma-trices de masas y rigideces las cuales contienen términos adicionales, como losmomentos de inercia, relacionados con movimientos de torsión.

Veremos que una de las ventajas del análisis modal reside en que sólo esnecesario determinar las respuestas debidas a unos cuantos de los primeros mo-dos, porque en general la parte de la respuesta total de edificios que se debe amodos superiores es muy pequeña. Las NTDS exigen incluir el efecto de todoslos modos naturales de vibración con periodo mayor o igual a 0.4 segundos, perose considerarán al menos los tres primeros modos de translación en cada direc-ción de análisis. Si se opta por ignorar los giros de los pisos en el cálculo demodos de vibrar, el efecto de las excentricidades directas y accidentales se tratacomo lo especifica el artículo correspondiente en el análisis estático.

Estructuras de varios grados de libertad sin torsión

Como ya hemos mencionado, para determinar la participación de cada modonatural en las fuerzas laterales que actúan sobre la estructura se usan las acele-raciones espectrales descritas en la sección 6.1.2 de esta publicación. Los desplaza-mientos laterales así calculados habrán de multiplicarse por Q para calcular efectosde segundo orden, así como para verificar que la estructura no alcanza ninguno delos estados límite de servicio a los que se refieren los artículos 209 a 211 del RCDF.

7.3 ESTRUCTURAS DE VARIOS GRADOS DELIBERTAD SIN TORSIÓN

7.3.1 Análisis modal de la respuesta estructural a un temblor

Como hemos explicado en la sección 3.5.1, en un instante dado, los desplaza-mientos de las masas de un sistema de varios grados de libertad pueden expre-sarse como la suma de los desplazamientos debidos a la participación de cada unode los modos naturales. Así se arriba a la siguiente fórmula para el desplaza-miento de la n-ésima masa:

««(O = 2 un]{t) = $ Pj </>/í) znj

Esta última igualdad es la ecuación 3.46. Recordemos que muestra que lacontribución del modo j al desplazamiento relativo de la masa n es el producto dela amplitud de dicha masa en el modo aludido por el coeficiente de participación,Pj y por una función del tiempo <f>j(f), la cual es que proporciona el desplaza-miento relativo de la masa de un sistema de un grado de libertad de igual periodoy amortiguamiento que los del modo en cuestión.

Si la excitación sísmica se define como un acelerograma s(t), la función </>y(f)puede calcularse con cualquier método como los expuestos en la sección 3.2, ytiene unidades de longitud. Entonces, teóricamente, la última ecuación resuelveel problema de análisis sísmico dinámico de estructuras con varios grados de li-bertad, ya que permite obtener su configuración deformada en cualquier instante.Conocidos los desplazamientos correspondientes a un modo, el cálculo de otrascantidades de interés para diseño, como las fuerzas cortantes y momentos flexio-nantes, en un instante cualquiera se efectúa multiplicando la matriz de rigidecespor los desplazamientos; los resultados son también función del tiempo. Repeti-mos, esto es posible siempre y cuando se conozca la excitación sísmica, esto es,el acelerograma s(t).

El análisis espectral se funda en que interesa la máxima respuesta que generaráun temblor futuro. En vista de que no es posible predecir con exactitud acelerogra-mas de eventos sísmicos venideros, los reglamentos normalmente prescriben laintensidad sísmica de diseño mediante espectros suavizados como los descritosen la sección 7.2.1 que suministran la seudoaceleración máxima Aj, para cadaperiodo Tj. Por definición, Aj es igual a desplazamiento máximo por la frecuen-cia al cuadrado; por tanto, el espectro de diseño proporciona el valor máximo de<f>j(t) dado por AjIuP-^ entonces,

Unjmá*=AjPjZnj/0¿j (7-1)

nos brinda la contribución máxima del modo j al desplazamiento de la masa n.


7.3.2 Combinación de respuestas modales máximas

La expresión 7.1 permite conocer cualquier respuesta (fuerza cortante, deforma-ción de entrepiso, momento de volteo, etcétera) máxima de la estructura r¡ debidaal modo j. Sin embargo, para fines de diseño nos interesa determinar la respues-ta total máxima R, de la estructura por la participación de todos los modos. Unacota superior de R es la suma de las respuestas modales máximas, es decir:

R<\rj\)

La igualdad es casi siempre conservadora ya que las respuestas máximas de losmodos no ocurren simultáneamente. Mediante estudios probabilistas, Rosenblueth(1951) demostró que en estructuras elásticas es más realista estimar/? como:

R = VÍA (7.3)7

Esta estimación es adecuada para sistemas cuyos periodos sean bastante dis-tintos. Por tal motivo, se la ha adoptado en la sección 9 de las NTDS siempre quelos periodos de los modos naturales en cuestión difieran al menos 10 por cientoentre sí, condición que se cumple normalmente cuando en el cálculo de modos devibración no se consideran como grados de libertad los giros de torsión en plan-ta ni las deformaciones de apéndices.

Cuando los periodos modales son muy cercanos entre sí, se tiene que tomaren cuenta el acoplamiento entre ellos al combinar sus contribuciones a la respues-ta sísmica. Una manera de lograrlo es el criterio propuesto por Rosenblueth yElorduy (1969) según el cual la respuesta máxima se estima con la siguiente ex-presión:

en donde

a)¡ y a)'j son las frecuencias circulares amortiguada y no amortiguada, y £, la fraccióndel amortiguamiento crítico asociadas al modo i (recuérdese que o/, = (o¡ VI— j^,aunque para valores moderados de £, la diferencia es imperceptible); t* es la du-ración, en segundos, del segmento de ruido blanco estacionario que equivale a lafamilia de temblores reales de diseño.

Aunque el criterio anterior se derivó suponiendo que los temblores reales sonequivalentes a segmentos de ruido blanco, Rascón y Villarreal (1974) y Villa-verde (1984) han verificado su validez usando temblores reales. El estudio deVillaverde incluye un procedimiento para calcular t* para un temblor prescrito,aunque no se proponen valores representativos de espectros de diseño.

Newmark y Rosenblueth (1971) sugieren que í* puede considerarse como laduración de la fase intensa del movimiento. Como lo describe Gupta (1990),


"Husid ha sugerido que tal duración se determine a partir de la medida de intensi-dad, IA, propuesta por Arias (1969), la cual, dado un acelerograma s(t), es pro-porcional a la integral del cuadrado del acelerograma:

siendo T la duración total de s(i). Husid considera la integral /^ de s2(t) entre losinstantes tl y í2 tales que O < í, < t2 < T, lapso en el que se juzga que el temblores más intenso. De esta definición se desprende que el cociente II^/IA es siempremenor que la unidad. Típicamente, í, y í2 se definen de manera que las integralesen cada uno de los intervalos (O, íj) y (í2, T) arrojen cinco por ciento de IA.

Para el Distrito Federal, Rosenblueth (1979) ha propuesto adoptar t* igual a20, 30 y 40 segundos según se trate de construcciones en las zonas I, II o IIIrespectivamente, y sugiere t* = 50 segundos para terrenos que no estén clasifi-cados con base en información sobre las propiedades locales del suelo.

En lo que toca a otros elementos de la fórmula 7.5, Esteva (1980) sugiereconsiderar que la fracción de amortiguamiento crítico implícita en los espectrosde diseño de edificios, f, es 0.05, aplicable a todos los modos de vibrar, a menosque se justifique otro valor. La ordenada espectral es siempre positiva, pero r¡ or;, y por tanto su producto, pueden ser positivas o negativas de acuerdo con elsigno que les corresponda en los cálculos modales. De allí resulta que los térmi-nos de la doble suma 7.4 no siempre son aditivos.

Examinando las expresiones 7.4 y 7.5 se colige que si los periodos de dosmodos están suficientemente alejados, es decir si co, y w, son bastante diferentes,el valor de e,-,- es grande y más aún su cuadrado, lo cual minimiza la contribucióndel sumando que contiene el término cruzado r¡ r,-; además, como el caso en quei = j, Ey = O, concluimos que, bajo estas circunstancias, la fórmula 7.4 da resul-tados similares a los de la regla 7.3.

Wilson et al. (1981) han desarrollado otro criterio para combinar las respuestasmodales cuando las frecuencias son cercanas entre sí, considerando los temblorescomo procesos estocásticos estacionarios cuya duración es grande comparada conlos periodos del edificio, que consiste en la siguiente combinación de tipo cuadráti-co completo:

R=\Z¿}pí¡rlrpn (7.6)

Para el caso en que los porcentajes críticos de amortiguamiento son iguales(£¡ = § = & el^coeficiente del producto cruzado está dado por:

=

' (1 -r2)2 + 4 £ 2 r ( i + r)2

donde r = (ajutj.La aplicabilidad de este criterio ha sido verificada por sus autores comparando

sus resultados con los de análisis paso a paso y empleando varios acelerogramassimulados y el registro del temblor de 1952 en Kern County, California, obtenidoen Taft, en sistemas que incorporan los giros en planta de los pisos de un edificiocomo grados de libertad dinámicos. Nótese que cuando i — j, r = 1 y p¡¡ = 1;en cambio, si las frecuencias son muy diferentes r es grande y p¡¡ pequeño, por locual la expresión 7.6 se acerca a la 7.3.


7.3.3 Estructura tratada en la sección 3.3.4

En este ejemplo se determinan las fuerzas sísmicas sobre la estructura mostradaen la figura 3.7 mediante el análisis modal espectral. Supondremos que se tratade un edificio del grupo A, que se construirá en la zona / y que es aplicable unfactor de reducción por comportamiento sísmico Q = 4. Hemos calculado losmodos y frecuencias de vibrar de esta estructura con varios procedimientos en elcapítulo 3, llegando a:

i.ooo i.ooo0.853 . 7 _ -0.803

-1.969 ' 3" I 0.321

w,2 = 122.0 rad/seg2; co22 = 562.4 rad/seg2; w32= 1375.0 rad/seg2

Tl - 0.569 seg; T2 = 0.265 seg; T3 = 0.169 seg.

Recordando que m, = m2 = 0.40775 y ra3 = 0.203875 (en ton-seg2/cm), losmodos ortonormales se calculan como sigue:

m{* = Z, rM Zj = 0.40775 X I2 + 0.40775 X 1.7512 + 0.203875 X 2.5412 = 2.97427

m2* = Z2rM Z2 = 0.40775 X I2 + 0.40775 X 0.8532 + 0.203875 X 1.9692 = 1.49485

m3* = Z3rM Z3 = 0.40775 x I2 + 0.40775 X 0.8032 + 0.203875 X 0.3212 = 0.69233

Dividiendo cada vector Zj por la correspondiente Vm;* remplazamos los mo-dos por sus correspondientes formas ortonormales, obteniendo:

Í0.58ol f 0.818J í 1.2027 -h.015 7 _\8 [ 7 -\6

1 1.473 LÍ~ -1.610 3 ~ I 0.386L j v, J L j

Los coeficientes de participación se calculan con la ecuación 3.49, que arroja:

Pi = 0.40775 X 0.580 + 0.40775 X 1.015 + 0.203875 X 1.473 = 0.9508

p2 = 0.40775 X 0.818 + 0.40775 X 0.698 - 0.203875 X 1.610 = 0.2896

p3 = 0.40775 X 1.202 - 0.40775 X 0.966 + 0.203875 X 0.386 = 0.1747

Con apego a lo expuesto en la sección 6.1.2, en la zona / para construccionesdel grupo A se toma c = 0.16 X 1.5 = 0.24; los demás datos para determinar elespectro de diseño se encuentran en la tabla 6.2 y son:

Ta = 0.2 seg

Tb = 0.6 seg

r= 1/2

Ciñéndonos a lo indicado en 6.1.2, para el primer y segundo modos encon-tramos que 7, y T2 están comprendidos entre Ta y Tb; por tanto, las ordenadas


espectrales de aceleraciones y los factores de reducción por comportamiento sís-mico quedan:

Q! = a2 = c = 0.240

Q\ Q'2 = Q = *

El periodo T3 es menor que Ta, entonces:

a3 = ( 1 + 3 T3/Ta ) c/4 = (1 + 3 X 0.169/0.2 ) 0.24/4 = 0.212

Q'3 = 1 + (Q - 1) Tj/Ta = 1 + (4 - 1) 0.169/0.2 = 3.535

Recordando que las o, están expresadas como fracción de la aceleración de lagravedad g, las aceleraciones espectrales de diseño A;-, resultan:

A! = A2 = 0.24 X 981/4.00 = 58.9 cm/seg2

A3 = 0.212 X 981/3.535 = 58.9 cm/seg2

donde hemos considerado g = 981 cm/seg2. A3 coincide con A} y A2 porque paraQ = 4, a y Q' tienen idéntica variación lineal entre cero y Ta.

Aplicando la ecuación 7.1 hallamos los siguientes desplazamientos máximosde las masas U,, y máximos desplazamientos de entrepiso 5Uy-, como contribu-ción de cada modo j:

58

58

58

9 X 0.9508'122.0

9 X 0.2896564.2

9X0.17471375

(0.5801.0151.473

{ 0.8180.698

-1.610

Í1.202

-0.9660.386

f 0.2662]r- i 0.4661 > . STT

1 0.6763 J

f 0.02471> \1 > . STT

J 1 -0.0487 J

| í 0.0090 ]> < -0.0072 > . SIT

0.0029

Í0.2662]0.1999 \3 J

{ 0.0247-0.0036-0.0698

Í 0.0090-0.0162

0.0101

u, =

u, =

Las unidades son cm.La cortante Vy, en el entrepiso /, debida al modo j, se calcula multiplicando

el desplazamiento del entrepiso ¿>,y, por la rigidez respectiva k¡. Recordando que&! = k2 = 200 y k3 = 80 (en ton/cm), encontramos:

Vu = 200 X 0.2662 = 53.23 ton

V21 = 200 X 0.1999 = 39.98 ton

V31 = 80 X 0.2103 = 16.82 toníl

Vn = 200 X 0.0247 = 4.95 ton

V22 = -200 X 0.0036 = - 0.73 ton

V32 = - 80 X 0.0698 = - 5.58 ton

V13 = 200 X 0.0090 = 1.80 ton

V23 = - 200 X 0.0162 = - 3.25 ton

V33 = 80 X 0.0101 - 0.81 ton


Las diferencias entre los periodos naturales de dos modos cualesquiera sonmayores que 10 por ciento, por tanto es adecuado estimar la respuesta combinadade todos los modos con la fórmula 7.3. Para las cortantes V,, y los desplazamien-tos relativos á¿, en cada entrepiso /, obtenemos:

V} = V53.232 + 4.952 + 1.8Q2 = 53.49 tonV2 = V39.982 + 0.732 + 3.252 = 40.12 ton

V3 = V16.822 + 5.582 + 0.812 = 17.74 ton

di = V0.26622 + 0.02472 + 0.009Q2 = 0.2675 cm

82 = V0.19992 + 0.00362 + 0.01622 = 0.2006 cm53 = V0.21032 + 0.06982 + Q.OIOP = 0.2218 cm

Las estimaciones de los desplazamientos totales u¡, con este criterio son:

H! = V0.26622 + 0.02472 + 0.009Q2 = 0.2675 cm

«2 = V0.46612 + 0.02112 + 0.00722 = 0.4666 cm

w3 = V0.67632 + 0.04872 + 0.00292 = 0.6781 cm

Cabe puntualizar que las diferencias u2 — u\ 0.4666 — 0.2675 = 0.1991 cmy M3 — M2 = 0.6781 — 0.4666 = 0.2115 cm , no reproducen las estimaciones co-rrectas de 52 y 5? que son mayores (0.2006 y 0.2218 cm, respectivamente). Esinadecuado estimar <52 y 53 como estas diferencias, ya que el criterio expresadopor la regla 7.3 requiere que en primer lugar se calcule la respuesta de interés (eneste caso los desplazamientos relativos) para cada modo y luego se combinen ta-les resultados como la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados. Aunque en esteejemplo las diferencias son pequeñas, podrían ser mayores en otras situaciones.

Se percibe de inmediato que la participación del modo fundamental en lasrespuestas sísmicas es mucho mayor que las de los segundo y tercer modos. Estose podía anticipar calculando las masas efectivas de los modos dadas por loscuadrados de los coeficientes de participación:

Pi2 = 0.95082 = 0.9040/?22 = 0.28962 = 0.0839

p32 = 0.17472 = 0.0305

La suma de las masas efectivas es S pj1 — 1.0184, que, salvo por errores pe-queños de precisión de las operaciones, es igual a X mn - 0.40775 + 0.40775 +0.203875 = 1.0194, lo cual confirma que con los tres modos hemos incluido latotalidad de las fuerzas de inercia; además, así se satisfacen los requisitos de lasNTDS en el sentido de incluir cuando menos tres modos y todos aquellos que ten-gan periodos mayores que 0.4 segundos.

En general se obtienen tantos modos como pisos tiene el edificio y es desea-ble determinar qué fracción de la masa total constituye cada masa efectiva de losmodos incluidos en el análisis, como un criterio adicional para decidir si es nece-sario añadir modos superiores. En el ejemplo que nos ocupa, las fracciones son0.89,0.08 y 0.03 para los modos 1, 2 y 3, respectivamente, indicando que el modofundamental involucra casi 90 por ciento de la masa total mientras que el tercermodo afecta sólo el 3 por ciento de dicha masa.

Análisis en dos dimensiones y efectos de torsión

Debemos comprobar que el cortante basal no sea menor que V^n = Q&aWJQ,siendo en este caso W0 = 1000 ton y, para el modo fundamental, a = 0.24 y Q = 4;entonces V^ = 0.8(0.24 X 1000)/4 = 48 ton. Como hemos obtenido que en labase V = 53.49 ton,-mayor que Vmía no es necesario modificar Vni ninguno delos demás resultados del análisis modal.

Los desplazamientos totales y de entrepiso tienen que multiplicarse por 2 = 4,lo cual lleva finalmente a:

M, = 0.2675 X 4 = 1.07cmM2 = 0.4666 X 4 = 1.87cmM3 = 0.6781 X 4 = 2.71 cm

8Í = 0.2675 X 4 = 1.07cm52 = 0.2006 X 4 = 0.80 cm53 = 0.2218 X 4 = 0.89 cm

Estos valores deben emplearse al revisar los efectos de segundo orden y alverificar si las distorsiones de entrepiso no exceden los límites del artículo 209del RCDF, con los procedimientos que hemos presentado en las secciones 6.6 y6.7 u otros equivalentes.

7.4 ANÁLISIS EN DOS DIMENSIONES YEFECTOS DE TORSIÓN

7.4.1 Enfoque de análisis

Con apego a las NTDS, el análisis sísmico de todo edificio debe considerar dosdirecciones ortogonales del movimiento del terreno. Para cumplir tal requisito,cuando en el método dinámico se opta por ignorar los giros de los pisos, se tieneque seguir el procedimiento de análisis modal espectral independientemente paracada dirección del sismo, desde el cálculo de periodos y modos de vibración, has-ta la determinación de las fuerzas cortantes de entrepiso.

La siguiente etapa consiste en distribuir tales cortantes de la misma maneraque en el análisis estático con uno de los procedimientos presentados en la sec-ción 6<4 u otro similar. En particular, las excentricidades directas y accidentalesse combinan como lo indican la expresiones 6.14 y 6.15, y se consideran los efec-tos simultáneos de 100 por ciento del componente del sismo en una dirección con30 por ciento de los de la componente ortogonal. En rigor, este enfoque de análi-sis es híbrido: las cortantes sísmicas se determinan dinámicamente, pero los efec-tos de torsión se incorporan por métodos estáticos.

7.4.2 Ejemplo

Consideremos nuevamente el edificio esquematizado en la figura 2.30, cuyaspropiedades se han presentado en la tabla 3.6. A partir de los datos de esta tabla,se obtuvieron en la sección 3.5.4 las matrices de masas y de rigideces lateralespara cada dirección de análisis, y, luego, los modos y periodos ortonormales quese dan en la tabla 3.7. Cabe hacer notar que los periodos fundamentales (0.9652


segundos en X y 0.5116 segundos en Y) prácticamente coinciden con los valoresobtenidos posteriormente en la tabla 6.8 (0.97 y 0.51 segundos, respectivamente)usando el cociente de Schwarz, mostrando la alta precisión de tal fórmula que,como vimos en el capítulo anterior, ha sido adoptada por las NTDS para estimarel periodo fundamental como una opción en el método estático. En cuanto a los mo-dos superiores, según los criterios de las NTDS en este caso basta incluir tresmodos en cada dirección de análisis puesto que los demás modos tienen perio-dos mayores que 0.4 segundos.

Los factores de participación p}, de todos los modos valuados con la fórmu-la 3.49, así como sus masas efectivas (iguales ap;-2) y las fracciones m, de la masatotal que constituyen dichas masas, se presentan en la tabla 7.1, en la cual tam-bién comprobamos que la suma de las masas efectivas en cada dirección da lamasa total. Las m' muestran que en ambas direcciones los tres primeros modosinvolucran más de 99 por ciento de la masa total, confirmando que es innecesa-rio incluir modos más altos.

Para definir los espectros de diseño, recordemos que el edificio está clasifi-cado en el grupo A y se ubica en la zona III, y que los factores de comportamientosísmico son Q = 4 en la dirección X y Q = 2 en la dirección Y. Siguiendo laspautas de la sección 6.1.2, a partir de esta información hemos determinado las or-denadas espectrales reducidas por comportamiento sísmico a/Q', y las acelera-ciones espectrales Aj, para cada modo contenidas en la tabla 7.1.

Los desplazamientos totales correspondientes a los tres primeros modos en ladirección X se han determinado con la expresión 7.1, de la misma manera que en

Tabla 7.1. Factores de participación, masas efectivas y ordenadas espectralesdel edificio de la figura 2.30.

a) Dirección X

Modo

(j)

1

2345

Suma

Pj

7.7431

-2.7365

-1.5472

0.5647

0.4078

Masaefectiva

59.96

7.492.390.320.17

70.33

m'

0.853

0.1060.034

0.005

0.002

1.000

a/O'

0.1500.1500.1500.1500.150

Ai ,(mlseg2)

1.4721.4721.4721.4721.472

b) Dirección Y

Modo

(i)1

2345

Suma

Pj

7.7951

-2.5950

-1.4970

0.7036

0.3010

Masaefectiva

60.76

6.732.240.490.09

70.33

m'

0.864

0.096

0.032

0.007

0.001

1.000

aj/Q'

0.288

0.224

0.204

0.1930.187

V,(m/seg2)

2.825

2.1972.0011.8931.834

m' = masa efectiva/masa total.


Tabla 7.2. Desplazamientos dinámicos del edificio de la figura 2.30 enla dirección X.

a) Desplazamientos totales, u

Modo, j

Piso, i

54321

1 2 3

«y

0.04701

0.04285

0.03364

0.02448

0.01298

-0.00272

-0.00118

0.00124

0.002060.00162

0.00046

-0.00020

-0.00048

0.00008

0.00052

RCSC

0.04709

0.04287

0.03367

0.02456

0.01309

b) Desplazamientos relativos, S

Modo, j

Entrepiso, i

54321

1 2 3

8U

0.00416

0.00921

0.00917

0.01150

0.01298

-0.00154

-0.00243

-0.00081

0.00044

0.00162

0.00066

0.00028

-0.00056

-0.00044

0.00052

RCSC

0.00448

0.009530.00922

0.01151

0.01309

RCSC = raíz cuadrada de suma de cuadrados.

el ejemplo precedente, con los resultados mostrados en la tabla 7.2. En vista deque todos los periodos difieren entre sí en más de 10 por ciento, podemos esti-mar la respuesta de la combinación modal con la regla 7.3. Hemos incluido enla tabla 7.2 los desplazamientos modales de entrepiso así como su combina-ción, cuidando de calcular primero los valores para cada modo y luego obtenerraíz cuadrada de suma de cuadrados. La misma información para la dirección Yse resume en la tabla 7.3.

En este ejemplo podríamos obtener las cortantes en los entrepisos multipli-cando^ los desplazamientos relativos entre dos pisos por las correspondientesrigideces de entrepiso; sin embargo, calcularemos tales cortantes de una maneramás general empleando las masas de los pisos, que, en consecuencia, es aplica-ble también cuando las rigideces laterales del edificio no están definidas a partirde rigideces de entrepiso. Para este propósito, de la definición de las ordenadasespectrales y de la ecuación 7.1 se desprende que la aceleración máxima del pison relativa con respecto al suelo en el modo j es:

*nj máx '"•) Pj (7.8)

Las fuerza de inercia generada por esta aceleración en el piso en cues-tión se obtiene multiplicándola por la masa correspondiente, lo que nos con-duce a:

fnj máx ~ mn &j Pj•;*•«/ (7.9)

Sumado las fuerzas de arriba hacia abajo se obtienen las cortantes máximasen los entrepisos en el modo j. Así hemos procedido con los tres primeros modos de


250Tabla 7.3. Desplazamientos dinámicos del edificio de la figura 2.30 enla dirección Y.

a) Desplazamientos totales, u

Modo, j

Piso, i

54321

1 2 3

«y

0.02625

0.02350

0.01961

0.01429

0.00759

-0.00151

-0.00044

0.00051

0.00101

0.00084

0.00028

-0.00016

-0.00022

0.00005

0.00025

RCSC

0.02629

0.02350

0.01961

0.01433

0.00764

b) Desplazamientos relativos, S

Modo,)

Entrepiso, i

54321

1 2 3

Sü

0.00275

0.00389

0.00531

0.00671

0.00759

-0.00106

-0.00096

-0.00050

0.000170.00084

0.00044

0.00006

-0.00028

-0.00020

0.00025

RCSC

0.00298

0.004010.00534

0.00671

0.00764


las dos direcciones de análisis llegando a los resultados resumidos en las tablas 7.4

y 7.5, donde se incluyen además las cortantes combinadas con la regla de la raíz

cuadrada de suma de cuadrados.

Tabla 7.4. Fuerzas de inercia y cortantes de entrepisodel edificio de la figura 2.30 en la dirección X.

a) Fuerzas de inercia en los pisos (ton)

Piso

54321

Modo (j)

1

18.27

22.21

21.80

15.86

10.09

2

-6.75

-3.92

5.14

8.51

8.04

3

2.91

-1.67

-5.05

0.82

6.52

b) Cortantes de entrepiso (ton)

Entrepiso

54321

Modo (j)

1

18.27

40.48

62.27

78.13

88.23

2

-6.75

-10.67

-5.53

2.98

11.02

3

2.91

1.24

-3.81

-2.99

3.52

RCSC

19.69

41.88

62.64

78.25

88.98



Tabla 7.5. Fuerzas de inercia y cortantes de entrepisodel edificio de la figura 2.30 en la dirección Y.

a) Fuerzas de inercia en los pisos (ton)

Piso

54321

Modo (j)

1

34.8641.6143.4131.6420.16

2

-10.57-4.15

5.9911.7811.73

3

4.39-3.42

-5.931.448.00

b) Cortantes de entrepiso (ton)

Entrepiso

54321

Modo (j)

1

34.8676.47

119.88151.52171.67

2

-10.57-14.71-8.72

3.0714.80

3

4.390.97

-4.95-3.51

4.48

RCSC

36.6877.88

120.30151.59172.37


En cada dirección debemos revisar que las cortantes básales sean mayoresque Vjnín = O.SaWJQ'; esta vez W0 = 690 ton y, para los respectivos modosfundamentales, en la tabla 7.3 leemos a/Q' = 0.150 en la dirección X y 0.288en la dirección 7; entonces V^ = 0.8( 0.150 X 690 )= 82.8 ton y V^y = 0.8(0.288 X 690) = 159.0 ton. Ambos límites son menores que las correspondien-tes cortantes de 89.98 y 172.37 ton obtenidas en el entrepiso inferior en lastablas 7.4 y 7.5, por lo cual se mantienen sin modificación los resultados logra-dos anteriormente.

Las tablas 7.6 y 7.7 comparan las cortantes que calculamos mediante el análi-sis estático en el capítulo 6, con y sin estimación del periodo fundamental, conlas del análisis modal espectral que acabamos de obtener. Podemos apreciar queel análisis estático es conservador en relación con el análisis modal, aun cuandose reduzcan las cortantes estáticas mediante estimación del periodo fundamental.

Tabla 7.6. Comparación de cortantes sísmicas del edificio de la figura 2.30, direc-ción X.

MétodoEntrepiso

5

4

3

2

1

(1) Estático,sin estimar T

23.77

49.52

74.28

91.61

103.50

(2) Estático,estimando T

23.77

49.52

74.28

91.61

103.50

(3) Modalsin torsión

19.69

41.88

62.64

78.25

88.98

Relación(3)/<2)

0.83

0.85

0.84

0.85

0.86


Tabla 7.7. Comparación de cortantes sísmicas del edificio de la figura 2.30, direc-ción Y.

MétodoEntrepiso

5

4

3

2

1

(1) Estático,sin estimar T

47.54

99.04

148.56

183.23

207.00

(2) Estático^estimando T

45.64

95.08

142.62

175.90

198.72

(3) Modalsin torsión

36.68

77.88

120.30

151.59

172.37

Relación(3)/(2)

C.80

0.82

0.84

0.86

0.87

Cortantes en toneladas.T = periodo fundamental.

t Cortante reducida = 0.96 cortante sin reducir.

Esto refleja el predominio del primer modo de vibrar en los resultados combina-dos del análisis modal, y en vista de que este modo excita su correspondientemasa efectiva, la relación entre las cortantes modales y estáticas, que constituyenla última columna de la tabla comparativa, es aproximadamente igual a la frac-ción que la masa efectiva es de la masa total (véase el valor de m'para el primermodo en la tabla 7.1), sobre todo en la base.

La distribución de estas cortantes dinámicas entre los elementos verticalesse puede efectuar de la misma manera que en el análisis estático, incorporandolas combinaciones de excentricidades directas y accidentales y los efectos dedos direcciones ortogonales de movimiento del terreno actuando simultánea-mente, tal como lo demandan las NTDS. En este ejemplo bastaría con intro-ducir los cambios apropiados en las tabla 6.6 para determinar la posición de lascortantes en planta, en la tabla 6.12 para valuar las combinaciones de excen-tricidades y momentos torsionantes, y en la tabla 6.13 para llevar a cabo ladistribución.

7.5 ANÁLISIS MODAL TRIDIMENSIONAL

7.5.1 Descripción

En el subcapítulo 3.6 hemos descrito análisis modal tridimensional de edificioscuyos pisos se consideran diafragmas rígidos, incluyendo la obtención de lasmatrices de masas y rigideces, así como de modos de vibrar y factores de parti-cipación. En cuanto se haya extraído esta información, el análisis sísmico espec-tral se efectúa siguiendo los mismos pasos que en el caso de edificios de variosgrados de libertad sin torsión, presentados en el subcapítulo precedente, emplean-do idénticos espectros de diseño. En otras palabras, la expresión 7.1 que sumi-nistra la contribución del modo j al desplazamiento de la «-ésima masa siguesiendo válida, notando que, esta vez, se aplica a los desplazamientos en dos direc-ciones y al giro alrededor de un eje vertical de la masa en cuestión. Con la mismaobservación, se mantienen vigentes las fórmulas 7.8 y 7.9 para las aceleracionesy fuerzas en la masa n, debidas al j-ésimo modo.

Como hemos mencionado anteriormente, las aceleraciones del terreno exis-ten sólo en la dirección de análisis, mientras que las de los pisos en general ocurren

Análisis moda! tridimensional

en las dos direcciones horizontales y tienen además un componente rotacional.Esto se tiene en cuenta mediante el vector R en la fórmula para calcular el coe-ficiente de participación del modo j cuando se emplean modos ortonormales(expresión 3.52), la cual repetimos a continuación:

Pj == Zf M R (7.10)

También es pertinente remarcar que aunque el modelo tridimensional del edi-ficio incluye los elementos resistentes a cargas laterales en todas direcciones, aldeterminar cuál es el apropiado factor de comportamiento sísmico Q, deben con-siderarse solamente los sistemas resistentes en la dirección del movimiento delterreno. Es posible que Q difiera de una dirección a otra, por ejemplo, si murosde carga son la base de la resistencia en una dirección mientras que en la otra pre-dominan marcos.

Los conceptos principales del análisis sísmico modal espectral se ilustran acontinuación en un ejemplo sencillo, que permite ejecutar manualmente lasoperaciones matriciales. Más adelante, tratamos un edificio de varios pisos en elque, como en la gran mayoría de los casos prácticos, es imprescindible el uso decomputadoras.

7.5.2 Edificio de un piso

Considérese el edificio mostrado en la figura 3.10. Sus matrices de rigideces y demasas, así como sus modos y periodos de vibración, se obtuvieron en la sección3.6.3 y se reproducen a continuación:

MmOO

OmO

Oo

m a216

M2.5 k O 0.25 k aO 2.0 k O

0.25* a O 1.125* d1

o?!2 = 2 k/m;

PJ = 4.44 V^/k-

«22 = 2.41352 k/m;

T2 = 4.04 Vm/k;

ft>32= 6.83648 k/m

r = 2.40 Vm/k

Con los modos así escogidos las masas modales generalizadas m*¡ = Zy-r M Z;

resultan:

m*2 = 1.019941 m; m* = 51.1467


Para ortonormalizar los modos, los dividimos por la raíz cuadrada de su co-rrespondiente m*j obteniendo:

O 0.990176/Vmo

0.139827/V^lZ = 1 l / v m f - Z = 1 y f • Z = 1 O f' ! O | | -0.3425/(aV^)J " [2.425425/(aVm)J

Nótese que el primer modo es el único que tiene desplazamiento en la direc-ción Y, y que sus componentes en X y en el giro se anulan, mientras que lo opues-to ocurre con los otros dos modos. Se dice en estas circunstancias, que los modosestán desacoplados.

Cuando consideramos el sismo actuando en la dirección X, el vector R re-sulta:

y por tanto,

P\< O 1/Vm O >

mOO

OmO

OO

m a2/6

O (-0.

m O OO m OO O m a2/6

1OO

P2 = 0.990176 VmSimilarmente obtenemos/?3 = 0.139827Vm.Las masas efectivas son:

m', = 0

m'2 = (0.990176 V^)2 = 0.9804 m

m'3 = (0.139827Vm)2 - 0.0196 m

Se constata inmediatamente que la suma de las m' es igual a m. El primermodo tiene masa efectiva nula porque carece de desplazamientos en la direc-ción X.

De las expresiones 7.8 y 7.1, las aceleraciones y desplazamientos en cadamodo j valen:

(7.11)

(7.12)

AJ es la ordenada del espectro de aceleraciones correspondientes al periodo j,en la dirección en que actúa el sismo, reducida por comportamiento inelástico.

Análisis modal tridimensional

255Para el primer modo los resultados son nulos por ser pl = 0. Con el segundomodo obtenemos:

= 0.990176 A,rVíñ0.990176/Vm

O«2

1/2

02 J

«2 = 0.98044902= -0.33937

Dividiendo entre el cuadrado de la segunda Secuencia arribamos a los si-guientes desplazamientos:

«2 = 0.40623 m

02 = - 0.1 4052

De manera análoga para el tercer modo queda:

«3 = 0.01 9552 A3x

03 = 0.339140 A3x/a

M3 = 0.002860 m A3x/k

03 = 0.049607 m A3x/(ka)

Las fuerzas cortantes y los momentos de torsión se pueden calcular multipli-cando las matrices de rigideces por los respectivos desplazamientos, o las acele-raciones modales por la matriz de masas; de una u otra manera queda:

V2x = 0.98045 m A^

T^ — ~ 0.05652 m a AV3x = 0.01955 m A3x

r3x = 0.05652 m a A3x

(cortante en X, modo 2)

(momento torsor, modo 2)(cortante en X, modo 3)(momento torsor, modo 3)

Como los periodos de los modos 2 y 3 son bastante diferentes entre sí, la res-puesta debida a la combinación de modos se puede estimar como la raíz cuadradade la suma de cuadrados. Supongamos que estamos en la zona plana del espec-tro, es decir A^ = AÍJC = A, entonces la combinación da:x,

Vx = 0.9806 m Ax

T = - 0.0799 m a A.

Cuando se considera el sismo actuando en la dirección Y, se debe usar

Repitiendo los pasos anteriores, los coeficientes de participación resultan= vm y PI = p3 = 0; y las masas efectivas, m'\ m y m'2 = m'3 = 0.


Entonces:

¿i, = M] = O

Ü2 = ¿ly

vl — i)j / o)2] = mAl)/2k

\0Vlv = m A l v (cortante en K, modo 1).

En esta dirección del sismo no se originan momentos torsionantes directos.Recuérdese que, para verificar efectos de segundo orden y distorsiones de

entrepiso, los desplazamientos deben multiplicarse por el factor de compor-tamiento inelástico Q, que se haya utilizado en el cálculo de las aceleracionesespectrales A¡.

7.5.3 Consideraciones para diseño

En lo que respecta a momentos torsionaníes de diseño, cuando el análisis modalconsidera las rotaciones de los pisos como grados de libertad, incluye automá-ticamente los efectos dinámicos sobre las excentricidades estáticas, haciendoinnecesario el empleo de factores que se aplican sobre la excentricidad estáticadirecta en las combinaciones que llevan a la excentricidad de diseño. Comohemos mencionado con anterioridad, para el Distrito Federal, las NTDS marcanque dicho factor es 1.5 para elementos en los que la torsión es desfavorable y1.0 para elementos favorablemente afectados por torsión.

Subsiste, no obstante, la necesidad de incorporar la excentricidad accidentalea, en cada dirección de análisis. Según las NTDS, ea vale 0.1 b, siendo b ladimensión de la planta correspondiente en la dirección perpendicular a la delmovimiento sísmico. A fin de satisfacer este requisito, una manera de proceder escalcular las cortantes y los momentos torsionantes en los entrepisos mediante elanálisis modal tridimensional, y luego obtener los momentos torsionantes de di-seño sumando y restando a los momentos dinámicos el producto de la cortantedinámica por ea. Otra posibilidad es mover las posiciones de los centros de masasen planta añadiéndoles y restándoles ea, obviando el cálculo explícito de momen-tos torsionantes, aunque esto demanda analizar dos veces el edificio para cadacomponente del movimiento del terreno, cuatro veces en total.

Otra peculiaridad de modelos dinámicos que incluyen las rotaciones de lospisos es que arrojan con frecuencia modos con periodos bastante cercanos entresí, por lo cual la combinación de respuestas modales debe efectuarse con alguno delos criterios que incorporan los productos cruzados de respuestas modales. Talescriterios se pueden expresar convenientemente en la siguiente forma matricial:

R2 = r7"Lr (7.13)

donde rr es el vector cuyo i-ésimo elemento es la respuesta en el modo i, r¡, y eltérmino L¡j de la matriz L es un coeficiente de correlación entre ambos modosque se aplica al producto r¡ r¡ de las respuestas modales en expresiones como la7.4 ó 7.6.

Una vez obtenidas las cortantes y los momentos torsionantes de diseño en losentrepisos, se les distribuye entre los elementos resistentes, cuidando de lograr, para


cada elemento, la combinación más desfavorable de los efectos de 100 por cien-to de una componente del sismo con 30 por ciento de los de la componenteortogonal.

7.5.4 Edificio de v^ «os pisos

Volviendo al edificio de cinco pisos de la figura 2.30, en la sección 3.6.4 hemosconsiderado, en cada piso, dos desplazamientos laterales y un giro alrededor deun eje vertical como grados de libertad, obteniendo un total de 15 desplazamientosgeneralizados y matrices de rigideces y de masas de 15 X 15. Los correspon-dientes modos y periodos de vibración se dan en las tablas 3.8 y 3.9. Para calcu-lar los factores de participación empleamos la ecuación 7.10, en la cual el vectorR asume los siguientes valores:

Insertando cada una de estas matrices en la fórmula 7.10, se obtienen losfactores de participación px y py de cada modo, en las direcciones X y Y,respectivamente. En la tabla 7.8 se incluyen los periodos de vibrar, px y py, ylos cocientes m, de las masas efectivas (cuadrados de las p) entre la masatotal.

Para calcular las aceleraciones de diseño correspondientes a estos periodos,recordemos que en la sección 6.2.1 supusimos que el factor de comportamientosísmico Q puede tomarse igual a 4 en la dirección X, e igual a 2 en la dirección Y,que la estructura está en la zona III y que la construcción, por su importancia, seclasifica como del grupo A. Con dichos datos encontramos: c = 0.40 X 1.5 — 0.60,c/Q = 0.60/4 = 0.15 en la dirección X, y c/Q = 0.60/2 = 0.30 en la dirección Y.Además, la tabla 6.2 indica que Ta = 0.6 segundos, Tb = 3.9 segundos y r = L Apartir de esta información, procediendo según la sección 6.1.2, se obtienen lasaceleraciones espectrales reducidas por comportamiento sísmico A¡, contenidas enla tabla 7.8.


258Tabla 7.8. Características modales tridimensionales del edificio de la figura 2.30.

Modo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

Periodo(seg)

0.9662

0.5119

0.3857

0.3185

0.2401

0.1967

0.1892

0.1641

0.1325

0.1236

0.1030

0.0880

0.0857

0.0686

0.0569

Px

-7.739

0.009

-2.708

-0.496

1.545

-0.143

0.543

0.405

-0.003

0.037

0.004

0.015

-0.003

0.008

-0.003

Py

0.001

7.792

0.069

-0.325

-0.065

-2.517

-0.579

0.024

-1.474

0.022

-0.743

0.203

0.281

0.006

0.002

«'je

0.8515

0.0000

0.1042

0.0035

0.0339

0.0003

0.0042

0.0023

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

m'y

0.0000

0.8631

0.0001

0.0015

0.0001

0.0901

0.0048

0.0000

0.0309

0.0000

0.0078

0.0006

0.0011

0.0000

0.0000

4,

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

0.150

Ay

0.300

0.288

0.267

0.254

0.236

0.224

0.222

0.214

0.204

0.201

0.194

0.188

0.187

0.181

0.176

p — factor de participación.m = masa efectiva como fracción de la masa total.A = aceleración espectral de diseño (fracción de g).

Tanto los factores de participación como las masas efectivas indican la re-levancia de cada modo en cada dirección de análisis. Así, de la tabla 7.8 inferi-mos que los modos 1, 3 y 5 son significativos en la dirección X, mientras quelos modos 2, 4 y 9 son los más importantes en la dirección Y. Por tanto, esinnecesario considerar modos superiores al noveno, los que por otra parte,tienen periodos más largos que el límite de inclusión marcado por las NTDS,0.4 segundos.

Las aceleraciones del piso i vibrando en el modo j se determinan con la ex-presión 7.8, la cual esta vez arroja tanto aceleraciones lineales, correspondientesa los desplazamientos modales, como angulares, asociadas a los giros modales.Multiplicando dichas aceleraciones por la masa o por el momento de inercia delpiso, obtenemos las fuerzas y momentos sísmicos aplicadas en los pisos. Su-mando estas fuerzas y momentos de arriba hacia abajo, se llega a las cortantes ymomentos torsionantes de entrepiso. Los resultados de estas operaciones se re-sumen en las tablas 7.9 y 7.10 para la componente en X del movimiento del terreno,y en las tablas 7.11 y 7.12 para la componente en Y.

Se incluyen en las tablas 7.10 y 7.12 las combinaciones de resultados detodos los modos con la regla de la raíz cuadrada de la suma de cuadrados, que seha juzgado apropiada porque las diferencias entre los periodos de dos cuales-quiera de los modos relevantes en cada dirección excede de 10 por ciento. Estorefleja que, en este ejemplo, los modos dominantes en una dirección están prác-ticamente desacoplados de los que controlan la dirección perpendicular. Caberesaltar que se han calculado primero las cortantes y momentos de entrepiso encada modo y se ha aplicado luego la regla combinatoria.


259Tabla 7.9. Fuerzas sísmicas dinámicas tridimensionales del edificio de la figura 2.30 cuando el sismo actúa en ladirección X.

Modo

PA

1

-7.7391.472

2

0.0091.472

3

-2.7081.472

4

-0.4961.472

5

1.5451.472

6

-0.1431.472

7

0.5431.472-

8

0.4051.472

9

-0.0031.472

Piso Fuerzas en X

54321

18.3322.1821.7515.8210.05

-0.000.000.000.000.00

-6.72-3.52

5.078.187.78

-0.06-0.41

0.100.400.33

2.87-1.60-5.04

0.766.51

-0.060.11

-0.05-0.06

0.09

-1.101.86

-0.60-1.01

.28

0.22-0.62

1.26-1.58

0.96

-0.000.00

-0.00-0.00

0.00

Piso Fuerzas en Y

54321

-0.070.020.030.02

-0.00

0.020.030.030.020.01

0.34-0.17-0.23-0.18-0.04

-0.370.130.230.200.06

0.19-0.02-0.11-0.14-0.07

-0.37-0.15

0.210.420.42

0.260.17

-0.14-0.36-0.40

-0.00-0.01

0.000.000.02

0.01-0.01-0.01

0.000.01

Piso Momentos torsores

54321

1.052.382.191.500.87

-0.00-0.00-0.00-0.00-0.00

-4.41-10.41-10.17-7.22-4.70

3.529.219.817.254.64

-0.11-2.01-3.21-2.84-2.33

-0.30-0.24-0.36-0.28-0.23

0.311.391.871.490.97

0.230.12

-0.11-0.49-0.54

0.010.000.000.000.00

p = factor de participaciónA = aceleración espectral de diseño (m/seg2)


Tabla 7.10. Cortantes sísmicas dinámicas tridimensionales del edificio de la figura 2.30 cuando el sismo actúa en ladirección X.

Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RCSC

Piso Cortantes en X

54321

18.3340.5162.2678.0888.13

-0.00-0.00

0.000.000.00

-6.72-10.24-5.17

3.0110.79

-0.06-0.46-0.37

0.030.36

2.871.27

-3.76-3.00

3.51

-0.060.050.00

-0.060.03

-1.100.760.17

-0.850.43

0.22-0.40

0.86-0.72

0.24

-0.000.00

-0.00-0.00

0.00

19.7741.8162.6078.2188.86

Piso Cortantes en Y

54321

-0.07-0.05-0.02-0.00-0.01

0.020.050.070.090.10

0.340.17

-0.05-0.23-0.27

-0.37-0.24-0.02

0.180.24

0.190.170.06

-0.08-0.15

-0.37-0.52-0.31

0.110.53

0.260.430.29

-0.06-0.46

-0.00-0.01-0.01-0.00

0.01

0.010.00

-0.01-0.00

0.01

0.710.760.440.340.81


54321

1.053.435.627.127.99

-0.00-0.00-0.00-0.00-0.01

-4.41-14.81-24.98-32.20-36.90

3.5212.7322.5329.7834.42

-0.11-2.12-5.33-8.17

-10.50

-0.30-0.54-0.90-1.18-1.41

0.311.703.575.066.03

0.230.350.24

-0.25-0.79

0.010.010.020.020.02

5.7620.0334.7245.4852.53

Fuerzas en ton y momentos en ton-mRSCS = raíz cuadrada de suma de cuadrados


260Tabla 7.11. Fuerzas sísmicas dinámicas tridimensionales del edificio de la figura 2.30 cuando el sismo actúa en ladirección Y.

Modo

PA

;-0.001

2.943

2

7.7922.825

3

0.0692.619

4

-0.3252.492

5

-0.0652.315

6

-2.5172.197

7

-0.5792.178

8

0.0242.099

9

-1.4742.001

Piso Fuerzas en X

54321

-0.00-0.00-0.00-0.00-0.00

-0.090.010.090.100.09

0.300.16

-0.23-0.37-0.35

-0.06-0.45

0.110.440.36

-0.190.110.33

-0.05-0.43

-1.593.02

-1.31-1.57

2.24

1.74-2.94

0.941.60

-2.02

0.02-0.05

0.11-0.13

0.08

-0.150.19

-0.04-0.01

0.02

Piso Fuerzas en Y

54321

0.00-0.00-0.00-0.00

0.00

35.0641.5043.2931.5620.11

-0.020.010.010.010.00

-0.420.150.250.220.06

-0.010.000.010.010.00

-9.84-3.85

5.5710.9811.06

-0.41-0.27

0.220.560.63

-0.00-0.00

0.000.000.00

4.20-3.59-5.50

1.647.59


54321

-0.00-0.00-0.00-0.00-0.00

-0.12-4.58-2.19-1.04-0.70

0.200.470.460.330.21

3.9010.2110.878.035.14

0.010.130.210.190.15

-7.85-6.39-9.40-7.46-5.97

-0.49-2.19-2.95-2.35-1.54

0.020.01

rO.Ol-0.04-0.05

8.390.711.853.342.55

p = factor de participaciónA = aceleración espectral de diseño (m/seg2)


Tabla 7.12. Cortantes sísmicas dinámicas tridimensionales del edificio de la figura 2.30 cuando el sismo actúa en ladirección Y.

Modo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RCSC

Piso Cortantes en X54321

-0.00-0.01-0.01-0.01-0.01

-0.09-0.08

0.010.110.20

0.300.460.23

-0.14-0.49

-0.06-0.51-0.41

0.040.40

-0.19-0.08

0.250.20

-0.23

-1.591.430.12

-1.450.79

1.74-1.21-0.26

1.34-0.68

0.02-0.03

0.07-0.06

0.02

-0.150.04

-0.00-0.02

0.01

2.392.000.611.991.26

Piso Cortantes en Y

54321

0.000.000.000.000.00

35.0676.57

119.85151.41171.52

-0.02-0.01

0.000.010.01

-0.42-0.27-0.02

0.200.26

-0.01-0.01-0.00

0.010.01

-9.84-13.69-8.12

2.8613.92

-0.41-0.68-0.46

0.100.73

-0.00-0.00-0.00-0.00

0.00

4.200.62

-4.89-3.24

4.35

36.6677.79

120.23151.47172.14


54321

-0.00-0.00-0.00-0.00-0.00

-0.12-4.71-6.90-7.94-8.64

0.200.671.131.451.66

3.9014.1124.9933.0238.17

0.010.140.350.540.69

-7.85-14.24-23.64-31.10-37.08

-0.49-2.68-5.63-7.99-9.52

0.020.030.02

-0.02-0.07

8.399.10

10.9514.2816.84

12.1522.6937.2048.9057.30

Fuerzas en ton y momentos en ton-mRSCS = raíz cuadrada de suma de cuadrados


261Tabla 7.13. Parámetros modales necesarios para la combinación cuadráticacompleta según Rosenblueth en el edificio de la figura 2.30.

Modo, i

l

2

3456789

T(seg)

0.9662

0.5119

0.3857

0.3185

0.2401

0.1967

0.1892

0.1641

0.1325

ÜJ,

6.5032.274

6.289

9.729

6.1701.9413.2178.293

7.425

<

6.495

2.259

6.269

9.705

6.1371.9013.1758.245

7.365

1,'

0.0562

0.05330.0525

0.0520

0.0515

0.05130.0512

0.0510

0.0508

tf«

0.3650.654

0.854

1.0261.3491.6371.7011.9552.411

T = periodoi» = frecuencia natural = 2-nlT

= fracción de amortiguamiento crítico = 0.05£ = £+ 2/(ft) í*), donde r* = 40 seg

En general, en el análisis modal tridimensional se presentan modos con pe-riodos bastante cercanos, sobre todo cuando las rigideces laterales en las dos di-recciones de análisis son semejantes y cuando los elementos resistentes estáninclinados con respecto a las direcciones de análisis produciendo un mayoracoplamiento entre las mismas. Se recurre en tales casos a las reglas cuadráti-cas completas de la forma de la expresión 7.13, siendo necesario calcular lamatriz de coeficientes de correlación L, correspondiente al criterio de combi-nación escogido. Recuérdese, para este fin, que las fórmulas que proporcionan eltérmino L¡j dependen de las frecuencias naturales «,, y de las fracciones de amor-tiguamiento crítico £„ que normalmente se considera igual a 0.05.

La tabla 7.13 contiene los parámetros modales que se requieren para com-binar los nueve primeros modos si se sigue el criterio cuadrático completo deRosenblueth y Elorduy (1969) considerando í* = 40 segundos. La matriz L co-rrespondiente, obtenida con las fórmulas 7.4 y 7.5, se presenta en la tabla 7.14. A

Tabla 7.14. Matriz de correlación L para la combinación cuadrática completa según Rosenblueth en el edificio de la figu-ra 2.30.

Modo i

1234

56789

*/,.

6.495

12.259

16.269

19.705

26.137

31.901

33.175

38.245

47.365

Modo j

"i

r>^l0.365

0.654

0.854

1.0261.3491.6371.7011.9552.411

;6.495

0.365

1.0000.0310.0160.0110.008

0.006

0.006

0.005

0.005

2

12.259

0.654

0.0311.0000.1270.050

0.0210.0140.0130.0100.008

3

16.269

0.854

0.0160.1271.0000.234

0.048

0.025

0.023

0.0160.011

4

19.705

1.026

0.0110.050

0.234

1.0000.1220.046

0.040

0.026

0.015

5

26.137

1.349

0.008

0.0210.0480.1221.0000.2140.1600.070

0.031

6

31.901

1.637

0.006

0.0140.025

0.046

0.2141.0000.874

0.245

0.065

7

33.175

1.701

0.006

0.0130.023

0.040

0.1600.874

1.0000.345

0.078

8

38.245

1.955

0.005

0.0100.0160.026

0.070

0.245

0.345

1.0000.188

9

47.365

2.411

0.005

0.008

0.0110.0150.0310.065

0.078

0.1881.000


guisa de ilustración, consideremos el cortante en la base generado por el compo-nente X del sismo, en cuyo caso el vector r lo forman los nueve valores modalesdados para el piso 1 en la tabla 7.10, es decir:

rT= (88.13 0.00 10.79 0.36 3.51 0.03 0.43 0.24 0.00}

El producto R2 = rr L r resulta 7940, por tanto, R = 89.10 ton, que práctica-mente coincide con las 88.86 ton que arroja la regla de la raíz cuadrada de sumade cuadrados en la tabla 7.10.

Si optamos por el criterio de Wilson et al. (1981), L¡j es igual a rt¡ en la fórmu-la 7.6, la cual produce la matriz L mostrada en la tabla 7.15. Para el cortante en labase en la dirección X, esta vez obtenemos R2 = r rL r = 7923 y R = 89.01 ton,resultado nuevamente muy similar al que se encuentra ignorando los productoscruzados.

Cualquiera que sea el criterio de combinación, la matriz L se calcula unasola vez mientras que el producto r7" L r tiene que evaluarse para cada respues-ta de interés. Los términos de la diagonal de L siempre valen 1 y la relevanciade los productos cruzados en la combinación de respuestas modales es mayorcuando los valores de los términos fuera de la diagonal son apreciables com-parados con la unidad; de hecho la regla de la raíz cuadrada de suma de cuadra-dos es equivalente a tomar L igual a la matriz identidad. En este ejemplo, laescasa importancia de los productos aludidos resulta de los bajos valores de L¡¡cuando í =£ j.

Comparando las últimas columnas de las tablas 7.10 y 7.4b, concluimosque el análisis modal tridimensional lleva a prácticamente las mismas fuerzascortantes que el análisis modal unidimensional en la dirección X. Se arriba a lamisma conclusión para la dirección Y comparando las tablas 7.12 y 7.5b. Ladiferencia más notoria entre ambos enfoques de análisis es que, como se apre-cia en las tablas 7.10 y 7.12, cuando se consideran tres dimensiones se obtienenmomentos torsionantes, de los cuales se pueden derivar las excentricidadesdinámicas ed, dividiéndolos por las cortantes respectivas. Los resultados paraeste ejemplo se resumen en la tabla 7.16, para ambas direcciones de análisis,junto con las excentricidades estáticas ee, que provienen de la tabla 6.12.Aunque estas ee se calcularon con los resultados del análisis estático, en vista

Tabla 7.15. Matriz de correlación L para la combinación cuadrática completa según Wilson et al. en el edificio de lafigura 2.30.

Modo i

123456789

Modo j

^~>\ft» __^S¿

6.5032.274

6.2899.7296.1701.941

3.2178.2937.425

;6.503

1.0000.0310.0160.0110.0080.0060.0060.0050.005

2

12.274

0.03!1.0000.1270.0500.0210.014

0.0130.0100.008

3

16.289

0.0160.1271.0000.2340.0480.0250.0230.0160.011

4

19.729

0.0110.0500.2341.0000.1220.0460.0400.0260.015

5

26.170

0.0080.0210.0480.1221.0000.2140.1600.0700.031

6

31.941

0.0060.0140.0250.0460.2141.0000.8740.2450.065

7

33.217

0.0060.0130.0230.0400.1600.8741.0000.3450.078

8

38.293

0.0050.0100.0160.0260.0700.2450.3451.0000.188

9

47.425

0.0050.0080.0110.0150.0310.0650.0780.1881.000


Tabla 7.16. Excentricidades estáticas y dinámicas del edificio de la figura 2.30.

a) Sismo actuando en la dirección X

Entrepiso

1

1

3

4

5

V(ton)

19.77

41.81

62.60

78.21

88.86

Md

(ton— ni)

-5.76

-20.03

-34.72

-45.48

-52.53

ed(«)

-0.291

-0.479

-0.555

-0.582

-0.591

ee(m)

-0.98

-1.34

-0.88

-0.77

-0.63

(ee+ed)/ee

1.30

1.36

1.63

1.76

1.94

b) Sismo actuando en la dirección Y

Entrepiso

1

2

3

4

5

V(ton)

36.66

77.79

120.23

151.47

172.14

Md

(ton— ni)

12.15

-22.69

-37.20

-48.90

-57.30

ed(m)

0.331

-0.292

-0.309

-0.323

-0.333

e*(m)

0.97

-0.91

-0.22

-0.08

-0.08

(ee + ed)lee

1.34

1.32

2.40

5.04

5.16

ed = excentridad dinámica = M¿IVee = excentridad estática (ver tabla 6.12)

de que las cortantes dinámicas son bastante similares, constituyen una aproxi-mación precisa para la excentricidad generada por las dichas cortantes. Por otraparte, como los grados de libertad están definidos en los centros de masas y noen los de torsión (los cuales en general se desconocen), las excentricidadesdinámicas se deben sumar con las estáticas. Los cocientes (ee + ed)lee incluidosen la tabla 7.16 se pueden interpretar como factores de amplificación dinámi-ca de la excentricidad estática, que el RCDF estipula como 1.5 para análisisestático o cuando el análisis dinámico se hace considerando sólo desplazamien-tos como grados de libertad. Nótese que resultan cocientes mayores que 1.5,sobre todo en la dirección y en la que se llega hasta 5.0; sin embargo esto ocurrecuando la excentricidad estática es muy pequeña y los momentos torsionantes noson realmente excesivos.

Un problema común a todas las reglas cuadráticas de combinación de res-puestas modales es que se pierde el signo de la respuesta combinada; aunquepara ciertas cantidades esto no constituye una seria dificultad porque el signoapropiado es obvio o irrelevante, en otros casos el signo es parte indispensablede la respuesta correcta. En este ejemplo cobra interés el signo del momentotorsionante en relación con el de la fuerza cortante, ya que el cociente de estasdos respuestas constituye la excentricidad dinámica, cuyo signo se tiene queincluir en la distribución de las fuerzas y momentos sísmicos entre los elemen-tos resistentes. En rigor, dicha distribución debe llevarse a cabo para cadamodo, considerando los signos que tengan los desplazamientos y rotaciones mo-dales, y luego se combinan las fuerzas que resulten en cada nivel de cada ele-mento resistente.

En general es aceptable considerar que las cortantes y momentos tienen elsigno que les toca en el modo que más contribuye al valor combinado. Así, exa-


minando las tablas 7.10 y 7.12, se concluye que las fuerzas cortantes del edificiobajo estudio pueden tomarse como positivas porque provienen esencialmente deun solo modo (el primero para la dirección X y el segundo para la dirección Y) enel cual tienen todas signo positivo. La tabla 7.10 también muestra que a las cor-tantes positivas en X están asociados momentos torsionantes en los que predominaligeramente el signo negativo, aunque la decisión no es tan clara como en el casode las fuerzas. En la tabla 7.12 se pueden examinar de manera similar los signos delas cortantes y momentos torsionantes vinculados a la componente Y del sismo.

En congruencia con el análisis modal unidimensional, un criterio para definirel signo de las excentricidades dinámicas (es decir de los momentos torsionantesdinámicos) es asignarles el signo de las respectivas excentricidades estáticas. Asíhemos procedido en la tabla 7.16.

En general, como ocurre en el edificio aquí analizado, las excentricidades di-námicas tienen magnitudes diferentes de las estáticas, y no se puede concluirinmediatamente cuáles son más o menos conservadoras si se tiene en presenteque las torsiones sísmicas son desfavorables para ciertos elementos resistentes ybenéficas para otros, dependiendo de su posición en planta y del signo de la ex-centricidad de diseño.

Finalmente, otra opción para incluir la torsiones accidentales en el análisismodal tridimensional consiste en mover los centros de masas de los pisos su-mando y restando distancias iguales a las excentricidades accidentales. En elcaso que nos ocupa, se tendría que hacer el análisis cuatro veces con las posi-ciones modificadas de los centros de masas que se listan en la tabla 7.17. Cabeaclarar que se obtendrán periodos y modos ligeramente diferentes con cada

Tabla 7.17. Posiciones de los centros de masas de los pisos deledificio de la figura 2.30 para análisis modal tridimensional.

Piso

5

4

3

2

1

Piso

5

4

3

2

1

Posicióncalculada

(m)

6.75

9.20

9.20

9.20

8.50

Vi(m)

3.75

5.50

5.50

5.50

6.30

Dimensionesde la planta

a(m)

13.5

20.0

20.0

20.0

20.0

b(m)

7.5

11.0

11.0

11.0

11.0

Posiciones en el análisis

Sismo en ladirección X

(m)

4.50

6.60

6.60

6.60

7.40

(m)

3.00

4.40

4.40

4.40

5.20

Sismo en ladirección Y

(m)

8.1

11.2

11.2

11.2

10.5

f/nj

5.4

7.2

7.2

7.0

6.5

Tópicos adicionales

nueva posición, pero en la práctica las diferencias no son significativas, y elefecto más notable es que se modifican las contribuciones estáticas de las ex-centricidades. Dependiendo de la cercanía de los periodos es posible que setenga que recurrir a reglas cuadráticas para combinar las respuestas modales, ypersisten las observaciones hechas anteriormente en relación con los signos delas respuestas modales.

7.6 TÓPICOS ADICIONALES


Las NTDS incluyen el cálculo paso a paso de respuestas a temblores específicoscomo uno de los métodos aceptables de análisis sísmico dinámico. Se prescribeque para representar el temblor de diseño podrá acudirse a acelerogramas de tem-blores reales o de movimientos simulados, o a combinaciones de éstos, siempreque se use no menos de cuatro movimientos representativos, independientes entresí, cuyas intensidades sean compatibles con los demás crimnos que consignan elReglamento y las NTDS, y que se tengan en cuenta el comportamiento no linealde la estructura y las incertidumbres que haya en cuanto a sus parámetros.

En la sección 3.8.3, hemos ilustrado algunos conceptos involucrados en unanálisis paso a paso que satisface los requisitos descritos en el párrafo anterior,considerando un sistema masa-resorte-amortiguador de un grado de libertad conun resorte que tiene una curva fuerza-desplazamiento elastoplástica. Las dificul-tades notadas en dicho ejemplo muestran que, aunque el análisis paso a pasoespecificado por la NTDS considera explícitamente los principales factores de larespuesta sísmica real de estructuras, su empleo confronta varias dificultadesprácticas. La más obvia es la necesidad de programas de computadora bastantemás complejos que los aplicables a estructuras elásticas, que demandan mayoresesfuerzos en la preparación de datos y en la interpretación de resultados; pero talvez la más importante es el limitado conocimiento que existe sobre la representa-ción analítica del comportamiento ante cargas laterales de sistemas estructuralescomplejos en tres dimensiones, cabe hacer notar la escasez de leyes constitutivaspara modelar las características carga-deformación de todos los elementos estruc-turales del edificio ¿.sí. como las interacciones entre ellos durante un temblor. Aunsi se cuenta ?cn modelos que se juzguen apropiados, es necesario conocer todaslas propiedades mecánicas de los elementos, incluyendo rigidez y resistenciaen las distintas etapas de carga y descarga, lo cual reauiere un diseño detalladode dichos elementos previo al análisis sísmico. Este diseño tendría que revisarseen cuanto se conozcan los resultados del análisis, se harían luego las modifica-ciones necesarias y se volvería a analizar la estructura, todo por lo menos concuatro acelerogramas. La magnitud del problema crece enormemente si se incor-poran incertidumbres en las propiedades mecánicas.

Otra dificultad reside en la selección de acelerogramas compatibles con laintensidad de diseño que implican los reglamentos de construcción. Con frecuen-cia se recurre a acelerogramas artificiales cuyo espectro de respuesta elástico re-produce el espectro de diseño, pero se debe advertir que este criterio no es siempresuficiente para representar la severidad de los daños que un temblor de diseñopuede causar en estructuras inelásticas. El tema todavía constituye materia de in-vestigación.


Por lo expuesto, el análisis dinámico paso a paso está reservado a ciertasestructuras con no linealidades localizadas, como las que emplean aisladores sís-micos en la base o contienen elementos especiales para disipar energía, mante-niendo la mayor parte del edificio en el intervalo de comportamiento elástico. Enestos casos se recomienda ejecutar estudios experimentales y analíticos querespalden tanto las leyes constitutivas de los elementos inelásticos como losacelerogramas de diseño seleccionados.

Por otro lado, existen ciertas estructuras que a pesar de ser lineales nose pueden analizar con los métodos modales presentados en este capítuloporque sus modos de vibrar no diagonalizan la matriz de amortiguamiento.Esto suele ocurrir en sistemas donde se representa explícitamente la interac-ción suelo-estructura mediante amortiguadores viscosos que tienen fraccionesde amortiguamiento crítico muy diferentes a las de la superestructura. Otrocaso es el de estructuras que contienen mecanismos locales de disipación deenergía, que, aunque se modelen aceptablemente con amortiguadores visco-sos, producen matrices de amortiguamiento no diagonalizables debido a susmarcadas diferencias con el resto de la estructura. Se han extendido los con-ceptos de análisis modal para incluir este tipo de sistemas mediante el uso deperiodos y modos de vibrar complejos, pero es usualmente más práctico anali-zarlas con métodos paso a paso para estructuras lineales como el que se des-cribió en la sección 3.6.5. La excitación sísmica se puede representar conacelerogramas simulados o de temblores reales cuyos espectros de respuestacombinados proporcionen una envolvente al espectro de diseño que estipule elreglamento.

7.6.2 Sistemas suelo-estructura

Nos hemos ocupado de la dinámica de sistemas suelo-estructura en el subcapí-tulo 3.7, en el que hemos visto que cuando la flexilibidad del suelo da lugar adeformaciones importantes, es posible representarla mediante resortes trasla-cionales y rotacionales con rigideces equivalentes. La sección 3.7.3 contienevarias fórmulas para calcular dichas rigideces.

Reconociendo que en el Distrito Federal existen zonas de suelos muycompresibles, las NTDS tratan el tema de interacción suelo-estructura en suapéndice A7. Implícitamente, este apéndice admite que el análisis sísmicodinámico de este tipo de sistemas se puede llevar a cabo con los métodos ex-puestos en este capítulo y en el tercero, incluyendo como grados de libertadlos movimientos de la cimentación. Las ecuaciones de equilibrio dinámicoson como las del ejemplo de la sección 3.7.1 (expresión 3.53) e incluyen lasrigideces equivalentes, así como las masas, momentos de inercia y coefi-cientes de amortiguamiento que adquieren relevancia cuando el suelo esbastante flexible. Nótese que sería necesario definir los valores de los coefi-cientes de amortiguamiento (o de las fracciones de amortiguamiento crítico)equivalentes, como se hace en los trabajos de Gazetas (1991a y b) y Pais yKausel (1985).

Sin embargo, como ya hemos comentado, los efectos de interacción suelo-estructura son más perceptibles en el periodo fundamental del sistema. En el aná-lisis sísmico espectral, el aumento en el periodo fundamental puede conducir auna lectura diferente de las aceleración de diseño en este modo. Son tambiénimportantes los desplazamientos laterales inducidos en la estructura por el


desplazamiento horizontal y más aún por el giro de la cimentación, particular-mente cuando se verifican posibles golpeteos con estructuras adyacentes y efec-tos de segundo orden.

Por lo anterior, el apéndice A7 de las NTDS, acepta que, como una aproxi-mación a los efectos de interacción suelo-estructura será valido incrementar elperiodo fundamental de vibración y los desplazamientos calculados en la estruc-tura bajo la hipótesis de que ésta se apoya rígidamente en su base, de acuerdo conla expresión siguiente, propuesta por Bielak (1971):

(r,)2 = r02 + 77 + 77

en que TI es el periodo fundamental de vibración de la estructura en la di-rección que se analiza corregido por interacción con el suelo, T0 su periodofundamental si se apoyara sobre una base rígida, Tx su periodo natural si fueseinfinitamente rígida y su base sólo pudiera trasladarse en la dirección que seanaliza y Tr su periodo natural si fuese infinitamente rígida y su base sólopudiera girar con respecto a un eje horizontal que pasara por el centroide de lasuperficie de desplante de la estructura, perpendicular a la dirección que seanaliza. Se añade que podrán, si se opta por este enfoque, despreciarse losefectos de la interacción en los periodos superiores de vibración de la es-tructura.

Para calcular Tx y Tr, en segundos, el Apéndice A7 prescribe las siguientesfórmulas, desarrolladas por Rosenblueth y Reséndiz (1988):

donde Wa' es el peso neto de la construcción al nivel de su desplante, inclu-yendo el peso de los cimientos y descontando el del suelo que es desplazado porla infraestructura, g es la aceleración de la gravedad y J es el momento de iner-cia de W0' con respecto al eje de rotación. W0' no se tomará menor de 0.1W0, elcual es el peso sobre la base del edificio. Este requisito pretende limitar estosparámetros al intervalo en que es aplicable la teoría sobre cuya base se elaboróel Apéndice 7 (Rosenblueth y Gómez, 1991).

Kx y Kr son coeficientes de rigideces equivalentes que pueden en generalcalcularse con fórmulas como las de las sección 3.7.3. Para la arcilla compresi-ble del Distrito Federal, se aplican los procedimientos siguientes, basados en elcitado trabajo de Rosenblueth y Reséndiz.

Tratándose de construcciones suficientemente rígidas y resistentes, cimen-tadas sobre zapatas corridas con dimensión corta en la dirección que se analiza,y de construcciones sobre zapatas aisladas, Kx y Kr de la cimentación se calculancon las fórmulas:

Kx = 2, Kxi ; Kr — z x¡2 Kv¡

en las que / denota valores correspondientes a la zapata i-ésima; x¡ es la distancia, enla dirección de análisis, entre el centroide de la zapata y el eje centroidal de la


268Tabla 7.18. Valores de Kx, K ry K,,(tabla A7.1 de las NTDS).

En la zona II

Profundidad dedesplante^

< 1 ma 3 m

K*

11 GRX

\6GRX

KW

1GR?l\GR?

Kv

losa

2QGRX

29GRX

Kv

zapata

12GRX

20GRX

En la zona III

Profundidadde

desplante^

< 1 m

> 3 m

K,

1GRX

%GRX

Kr

Sobre elterreno

6GR?

9GRr3

Sobre pilotesde fricción^

1GR?

11 Gtfr3

Sobre pilotesde puntad

f rr ' j.6G^ + l/43G/fr3 + l/^

r l/43G/?r3 + l/Kp

Kv

\2GRX

16GRX

1 Para profundidades de desplante intermedias entre 1 y 3 m, interpólese linealmente entre los valores de la tabla.2 Para estructuras cimentadas sobre pilotes o pilas en la zona II, supóngase Kr infinita.3 Si éstos son capaces de resistir por adherencia con el suelo circundante, al menos la mitad del peso bruto de la construcción incluyendo elde sus cimientos. Cuando tienen menos de esta capacidad, interpólese linealmente entre los valores consignados en la tabla.4 Kp se calculará teniendo en cuenta los pilotes de punta que contribuyan a resistir el momento de volteo, calculando la rigidez de estos ele-mentos ante fuerza axial como si su punta no se desplazara verticalmente.

planta de cimentación, y Kxi y K^ se determinan de la tabla 7.18, empleando elvalor de Rx que corresponde a la zapata en cuestión.

En el caso de cimentaciones sobre pilotes de punta, su influencia en el valorde Kr se considera con el segundo término de la expresión correspondiente de latabla 7.18, empleando para calcular Kp la siguiente expresión:

Kp = 2 d? kpí

donde la suma es sobre el número de pilotes, y kpi y d¡ son respectivamente larigidez vertical y distancia del pilote /-ésimo al eje centroidal de rotación.

En la verificación de que la estructura no alcanza los estados límite pordesplazamientos laterales y por rotura de vidrios no es necesario considerar el des-plazamiento ni la rotación de la base. Sin embargo, para calcular efectos de se-gundo orden debe tenerse en cuenta dicha rotación, dada por MJKr, siendo M0 elmomento de volteo que obra en la base de la estructura. En la revisión del estadolímite por choques entre estructuras deben incluirse tanto los desplazamientosdebidos a esta rotación como el desplazamiento de la base, dado por VJKX enmetros, en que V0 es la fuerza cortante basal.

El módulo de rigidez medio, G, se debe determinar mediante pruebas diná-micas de campo o laboratorio. A falta de tales determinaciones se puede usarG = 2(H/TS)2, donde G está en ton/m2, Ts es el periodo dominante más largo delterreno, en segundos, en el sitio donde se halle la estructura y se obtendrá de lafigura 4.2, y H es la profundidad, en metros, de los depósitos firmes profundos en


CHAPULTEPEC

50

20

40

Km

269Figura 7.4 Valores de H en me-tros (figura A7.1 de las NTDS).


dicho sitio, que se determina a partir de estudios locales de mecánica de suelos o,si éstos son insuficientes, se toma de la figura 7.4. En los sitios donde no seconoce el valor de G, si G no se determina experimentalmente, se adoptará elvalor que resulte más desfavorable entre los límites de 400 y 900 ton/m2.

7.6.3 Periodos cercanos y efectos bidireccionales

Como hemos expuesto en la sección 7.3.2, en el análisis espectral de una estruc-tura que tiene modos con periodos cercanos (digamos que difieren entre sí enmenos del 10 por ciento) debe usarse una combinación cuadrática completa paracombinar las respuestas modales, por ejemplo, las dadas por las fórmulas 7.4 y7.6. Uno de los casos en que se encuentran periodos cercanos ocurre cuando seincluyen sistemas secundarios, que pueden apoyarse en distintos puntos de laestructura principal, en el modelo dinámico global. Gupta (1990) examina condetalle este caso y presenta métodos de análisis apropiados, incluyendo otrasreglas cuadráticas completas para combinar respuestas modales. Otra instancia enla que son frecuentes los periodos cercanos es el análisis tridimensional, ya seaporque los periodos en las dos direcciones consideradas son parecidos, o porquelos periodos en los modos con predominio de torsión son similares a los de modostranslacionales. Como en la práctica el análisis dinámico tridimensional se llevaa cabo con computadoras, se aconseja usar programas que tengan incorporadaalguna de las reglas cuadráticas completas para combinación de resultados mo-dales.

Según las sección 9.4 de las NTDS, cualquiera que sea el método dinámicode análisis sísmico que se emplee, los efectos de movimientos horizontales delterreno en direcciones ortogonales se combinarán como se especifica en relacióncon el método estático. Esto es, los efectos de ambos componentes horizontalesse combinan tomando, en cada dirección en que se analice la estructura, el 100por ciento de los efectos del componente que actúa en esa dirección y el 30 porciento de los efectos del que obra perpendicularmente a ella, con los signos quepara cada concepto resulten más desfavorables. Hemos ilustrado algunos deta-lles para satisfacer este requisito en el capítulo precedente, que pueden aplicarseal análisis dinámico empleando las cortantes obtenidas después de combinar lasrespuestas modales. Si se usa análisis elástico paso a paso, se pueden incluirlos porcentajes requeridos de cada componente como excitación, debiendo efec-tuarse cuatro análisis, para incluir todas las posibles combinaciones de signos(1.00 + 03Y y 0.30X + l.OOy). Para cada elemento estructural se debe considerarel más desfavorable de los cuatro resultados.

Una manera opcional para combinar efectos bidireccionales, de uso extendi-do en el análisis sísmico de instalaciones nucleares, consiste en tomar la raízcuadrada de la suma de cuadrados de los efectos de cada componente. Esta reglase puede aplicar tanto en el análisis modal como en el análisis elástico paso apaso, y se ha empleado para combinar no sólo los efectos de dos componenteshorizontales, sino también dichos efectos con los de la componente vertical deltemblor. Entre los códigos de diseño sísmico que adoptan esta regla se cuentanlas Normas para análisis de estructuras nucleares de la Sociedad Americana deIngenieros Civiles (ASCE, 1986).

Dimensionamientoy

de los elementosestructurales

8.1 ASPECTOS GENERALES

Se ha mencionado en los capítulos anteriores que uno de los aspectos fundamen-tales del diseño sísmico es el dimensionamiento y detallado de los elementosestructurales y de sus conexiones, de manera que la estructura sea capaz de desa-rrollar mecanismos de deformación inelástica que le permitan disipar la energíaque pueda introducir un sismo de excepcional intensidad, sin que se presentecolapso.

Así, el dimensionamiento de estructuras sismorresistentes no se limita a pro-porcionar a las secciones la resistencia que se requiere de acuerdo con el análisispara las acciones de diseño, sino que debe obedecer ciertas reglas en cuanto a lasresistencias relativas de los distintos elementos para los diferentes estados límite,de manera que se favorezcan modos de falla dúctiles. Además, debe seguir re-glas de geometría y dimensiones de las secciones que permitan el desarrollo dealtas ductilidades locales.

Al respecto, hay diferencias de criterios entre los distintos códigos de di-seño. Algunos exigen requisitos muy estrictos de ductilidad para todas lasestructuras en zonas sísmicas. Otros permiten elegir entre dos opciones: una esobedecer requisitos estrictos de ductilidad para así diseñar para fuerzas sísmi-cas fuertemente reducidas, teniendo en cuenta el amortiguamiento inelásticoque puede proporcionar la estructura; otra es observar requisitos muchomenos severos de ductilidad, pero diseñar para fuerzas mucho mayores. ElRCDF sigue la filosofía de permitir ambas opciones, sobre todo para las es-tructuras de concreto.

En las siguientes secciones de este capítulo se describen ¡os principales re-quisitos de dimensionamiento y detallado de las estructuras de concretoreforzado, acero estructural y manipostería. Los requisitos cuantitativos que semencionan son los prescritos por el Reglamento del Distrito Federal, aunquese comentarán las diferencias con algunos otros códigos o recomendaciones deotras fuentes.

Dimensionamiento y detallado de los elementos estructurales

8.2 ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO

8.2.1 Introducción

Es en las estructuras de concreto donde los códigos especifican el conjuntomás amplio y detallado de requisitos por ductilidad. La experiencia de campoy de laboratorio ha mostrado que sólo con cuidados muy estrictos se puedelograr que las estructuras de concreto desarrollen ductilidades importantes.

Los requisitos prescritos por los códigos de los diversos países tienden auniformarse y coincidir en las versiones más recientes. Sin embargo, aún exis-ten diferencias importantes; por ejemplo, las que que establece el código deNueva Zelanda son mucho más severos de los contenidos en el Código ACI.Los requisitos de las Normas de Concreto del RCDF están inspirados en estosúltimos.

Recordando lo expuesto en la sección 6.1.2, relativo a los factores de com-portamiento sísmico <2, especificados por el RCDF, para estructuras de con-creto en términos generales se tomará Q = 2, para lo cual hay que obedecerlos requisitos de dimensionamiento y detallado generales de las NormasTécnicas. Puede adoptarse Q = 4 en estructuras en que la resistencia a car-gas laterales sea proporcionada principalmente por marcos dúctiles dimen-sionados con los requisitos especificados en el capítulo 5 de las Normas deConcreto, y Q = 3 para estructuras en que la resistencia a cargas laterales seaproporcionada principalmente por muros de concreto dimensionados paralograr altas ductilidades, según los requisitos de la sección 4.5.2 de las Nor-mas de Concreto. También podrá tomarse <2 = 3 para estructuras de losasplanas que cumplan con requisitos de regularidad y refuerzo impuestos en elcapítulo 6 de las mismas Normas.

Comentaremos a continuación los requisitos especificados en las Normaspara los distintos casos. Sólo haremos referencia a los requisitos relativos a di-mensionamiento y detalle, recordando que las Normas de Sismo establecen,además, requisitos de regularidad y uniformidad de la estructura, los que ya sehan comentado en el capítulo 5 de este texto.

8.2.2 Materiales

El empleo de concretos de elevada resistencia es favorable en estructuras enzonas sísmicas en cuanto disminuye la posibilidad de fallas frágiles porcompresión o por tensión diagonal del concreto y favorece el desarrollo de lacapacidad total del acero de refuerzo, cuya fluencia gobierna el compor-tamiento inelástico de la estructura. Sin embargo, la condición anterior sepuede lograr para concretos de cualquier resistencia, siempre que se siganlos criterios adecuados de dimensionamiento de las secciones. La limitaciónde resistencia mínima que se impone en las Normas de Concreto, f'c > 200kg/cm2, tiene como intención evitar tipos de concreto en los que se suele tenerpoco control de calidad sobre la resistencia, más que propiciar resistencias ele-vadas.

Cuando se adopten factores Q mayores de dos, hay que exigir un controlde calidad estricto en la resistencia del concreto para evitar que la variabili-dad de la misma pueda dar lugar a zonas mucho más débiles que el resto de laestructura, en dichas zonas se llegaría a concentrar la disipación inelástica de

Estructuras de concreto reforzado

energía, redundando en una menor ductilidad del conjunto. Con tal objeto elconcreto debe dosificarse por peso y con procedimientos que garanticen que ladesviación estándar de la resistencia no exceda de 35 kg/cm2.

Una situación peculiar de la fabricación del concreto en el valle deMéxico ha dado lugar a la especificación de dos clases de concreto (1 y 2).Los agregados disponibles en estado natural en el valle son de mediocre ca-lidad por su alta porosidad, bajo peso volumétrico y gran contenido depolvos. Por ello, dan lugar a concretos de bajo módulo de elasticidad y muypropensos a sufrir agrietamientos por contracción y grandes deformacio-nes por flujo plástico. Por ello, la Norma de Concreto limita ahora el uso deestos concretos a las estructuras de menor importancia. Para las más impor-tantes (Grupo A y Grupo Bl) se requiere el uso de concretos fabricados conagregados de alta calidad provenientes de la trituración controlada de roca.Estos concretos (de Clase 1) alcanzan los módulos de elasticidad y niveles deflujo plástico normalmente especificados en la literatura técnica.

Las Normas no ligan los valores de Q que se pueden adoptar a la clase deconcreto. Se considera que aun con los concretos de Clase 2 se puede alcan-zar la ductilidad necesaria; sin embargo, cuando se especifique esta clase deconcreto, deberán considerarse en el diseño los valores menores de módulode elasticidad (del orden de 60% de los usuales), así como los requisitos másseveros de flujo plástico que especifican las Normas para este caso.

En lo que respecta al acero de refuerzo, las Normas en su parte generaladmiten aceros hasta con esfuerzo nominal de fluencia de 6,000 kg/cm2

(Acero Grado 60). Éstos pueden emplearse como refuerzo longitudinal; sinembargo, para estribos se requiere que el esfuerzo nominal de fluencia nosobrepase 4,200 kg/cm2 (Grado 42).

Para refuerzo de estructuras en que el factor de ductilidad excede de dos,se especifican requisitos adicionales que eliminan la posibilidad de usaraceros de grado superior al 42. Aun para los aceros grado 42 se requiere decomprobar el cumplimiento de algunos requisitos no contemplados por lasespecificaciones técnicas del material. Estos requisitos son que el aceromuestre una fluencia definida, que la relación entre el esfuerzo máximo y elde fluencia sea por lo menos 1.25, y que el esfuerzo de fluencia real no excedaal nominal en más de 1,300 kg/cm2. Se pretende con ello que puedan formarsearticulaciones plásticas con gran capacidad de rotación para momentos defluencia que no excedan significativamente a los considerados en el diseño,de manera que no lleguen a incrementarse tampoco las otras fuerzas internasque podrían disparar modos de falla de tipo frágil.

8.2.3 Requisitos para vigas

Los requisitos que aquí describimos se aplican a elementos que trabajan esen-cialmente en flexión, lo que incluye las vigas y aquellas columnas con cargasaxiales muy bajas, que no excedan de 0.1 Agf'c, en que Ag es el área de la sec-ción bruta de la columna. Los requisitos se refieren a las dimensiones de lasección y a su refuerzo longitudinal y transversal, así como al dimensiona-miento. Se presentarán en forma comparativa los que corresponden a todotipo de estructura y los más estrictos que deben observarse para vigas de mar-cos dúctiles.


274

-Columna

VigaColumna

c~b~

J

a) Requisitos generales

l/b == 35

b) Requisitos para marcos dúctiles

b a 25 cm bl = O fc/¿> =

Viga

Longitudlibredélaviga

e/b<0.l l/b < 30

Figura 8.1 Requisitos geométri-cos para vigas de marcos deconcreto.

d) Requisitos geométricos. La figura 8.1 resume en forma comparativa estosrequisitos. Los relativos a las relaciones longitud/ancho (1/b) y peral-te/ancho (h/b) tienen como objetivo evitar que la ductilidad de la viga sevea limitada por problemas de pandeo lateral derivados de la excesivaesbeltez del alma; los de ancho mínimo, además de estar vinculados tam-bién con los problemas de pandeo lateral, persiguen que en marcos dúc-tiles la sección de la viga tenga una zona de compresión en que se logreun núcleo confinado que pueda proporcionar elevada ductilidad. El requi-sito que prohibe que en marcos dúctiles las vigas tengan un ancho supe-rior al del lado de la columna con que se conectan, pretende asegurar quela transmisión de momentos entre viga y columna pueda realizarse sin laaparición de esfuerzos importantes por cortante y torsión. Para tal objeto,se requiere que el refuerzo longitudinal de las vigas cruce la columna porel interior de su núcleo confinado. El requisito que limita la excentricidadque el eje de la viga puede tener con respecto al de la columna, al igual quelos anteriores, tiene como objetivo lograr una acción franca de marco,mediante la transmisión directa de momentos entre la viga y la columna.Numerosos han sido los casos de fallas de marcos con vigas excéntricaspor efectos de las cortantes y torsiones que se generan en la trasmisión demomentos entre vigas y columnas.

b) Requisitos de refuerzo longitudinal. La figura 8.2 ilustra los principalesrequisitos para las vigas de marcos dúctiles y para las vigas en general. Laprimera diferencia se encuentra en que para los marcos dúctiles se re-quiere de un refuerzo mínimo en ambos lechos y en toda la longitud de laviga. Para el caso general, el refuerzo mínimo es necesario sólo en aque-llas zonas donde, según el análisis, aparecen tensiones para alguna com-


275

Id

Requisitos generales

VfAs y As > 0.7 —7^, en zonas donde aparezcan tensiones.

fyAs y A's < 0.75 Ah (área de refuerzo correspondiente a la falla balanceada).

Requisitos para marcos dúctiles

VfAs y A 3 s 0.7 c, en toda la longitud de la viga.

fy

A, y A',* 0.75 VMínimo dos barras # 4 en toda la longitud y en ambos lechos.No se admiten paquetes de más de dos barras.El momento resistente positivo en 1[ no será menor que la mitad del momento resistente negativo.No puede haber traslapos, ni corte del refuerzo longitudinal en lpTodo el refuerzo de tensión, As, necesario por sismo deberá pasar por el núcleo de la columna.En toda sección de la viga deberá proporcionarse una resistencia a momento negativo y positivo no menor

que una cuarta parte de la máxima que se tiene en los extremos de al viga.

binación de acciones de diseño. Sin embargo, es recomendable que entodos los casos se coloque el refuerzo mínimo en ambos lechos.

La ductilidad que es capaz de desarrollar una sección de concretoreforzado es mayor a medida que la sección es más subreforzada, es decir,cuando menor es la relación entre su área de refuerzo y la que correspondea la falla balanceada. Es por ello que se prescribe limitar la cuantía máxi-ma de refuerzo en ambos lechos a 75 por ciento de la que corresponde afalla balanceada, calculada con los criterios expuestos en la sección 2.1.2de las Normas. Hay que considerar que dicha expresión proporciona unvalor conservador de la cuantía balanceada, igual aproximadamente a 80por ciento del valor esperado, por lo que el área de acero máxima permi-tida es del orden de 0.6 veces el de la cuantía balanceada, calculada porejemplo con el procedimiento que especifica el Código ACI. En este últi-mo se limita la cuantía máxima de refuerzo a 50 por ciento de la cuantíabalanceada. Es también recomendable no exceder un máximo absoluto de2.5 por ciento en la cuantía de refuerzo en cualquier lecho, para evitar con-gestionamiento del refuerzo.

Figura 8.2 Requisitos para elrefuerzo longitudinal de vigasde marcos de concreto.


276

2d

< 5 c m


s¡ y s2 £ d/2 en las zonas donde la fuerza cortante excede de la que resiste el concreto.Estribos # 2 o mayores.


Estribos # 2.5 o mayores.En la zona 1, los estribos deberán ser cerrados y con remate a 135°C, como se indica en la figura 8.4.La separación no deberá exceder de:

8 diámetros de la barra longitudinal mayor24 diámetros del estribo30 cmd/4

Además, al menos una de cada dos barras longitudinales de la periferia deberá estar abrazada por la esquina de un estribo.Fuera de li habrán estribos a una separación í2 — d/2.

Figura 8.3 Requisitos pararefuerzo transversal de vigas demarcos de concreto.

La distribución de los momentos flexionantes a lo largo de la vigavaría considerablemente durante un sismo y puede diferir significativa-mente de la que resultó del análisis. Es por ello que en marcos dúctiles serequiere que en ningún lecho la cuantía de refuerzo sea menor que la queproporciona un momento resistente igual a una cuarta parte del máximomomento resistente que se tenga en los extremos de la viga. Por motivossemejantes se requiere proporcionar en los extremos de las vigas unmomento resistente positivo, por lo menos igual a la mitad del resistentenegativo en la misma sección.

Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el concretoque reducen su resistencia a cortante. Por ello, éstos no se admiten en laszonas donde se pueden formar articulaciones plásticas; como los extremosde las vigas en una longitud de dos peraltes medidos a partir del paño dela columna. Fuera de esas zonas, cuando se requieran traslapos deberáncolocarse estribos cerrados a una separación no mayor de 10 cm, ni de uncuarto del peralte de la viga.

Es importante que el refuerzo longitudinal esté colocado con el recu-brimiento y la separación entre barras que permitan una fácil colocación


277del concreto y una adecuada trasmisión de esfuerzos de adherencia al con-creto. El requisito de no admitir paquetes de más de dos barras tiene comofinalidad evitar concentraciones de esfuerzos de adherencia y favoreceruna distribución uniforme del refuerzo longitudinal, que proporcione buenconfinamiento al concreto.

c) Requisitos de refuerzo transversal. Los estribos cumplen las funciones defijar la posición del refuerzo longitudinal y de proporcionar resistencia atensión en el alma de la viga evitando una falla frágil por cortante. Adi-cionalmente, una distribución adecuada de estribos cerrados incrementasustancialmente la ductilidad de las secciones de concreto en flexión alproporcionar confinamiento al concreto del núcleo y al restringir el pan-deo de las barras longitudinales en compresión. El suministro de estriboscerrados a una separación no mayor de medio peralte es requisito paravigas de marcos dúctiles y es recomendable en cualquier viga con unaimportante función estructural.

Los requisitos ilustrados en la figura 8.3 se refieren esencialmente alos estribos de confinamiento en las zonas de posible formación de articu-laciones plásticas. Éstos deben ser cerrados, de una pieza y rematar condobleces a 135°, como se indica en la figura 8.4. El remate a 135° es ne-cesario para impedir que el estribo se abra al ser sometido a la presiónproducida por la expansión del concreto del núcleo interior, con lo cualperdería su función de proporcionar confinamiento. La ejecución de estosdobleces en obra presenta ciertas dificultades, por lo que el detalle es fre-cuentemente objetado por los constructores. Sin embargo, se trata de unrequisito importante que debe ser respetado. Otras normas como el CódigoACI admiten estribos de dos piezas como el indicado en la figura 8.4b.

Los estribos de confinamiento en los extremos de las vigas deben tenercaracterísticas similares a los de las columnas en cuanto a que deben res-tringir el pandeo de las barras longitudinales. De allí que se requieran estri-bos de ramas múltiples como los que se ilustran en las figuras 8.4c y d.

d) Requisitos para fuerza cortante. Como se explicó en la sección 1.3.3, lafilosofía de diseño sísmico de marcos dúctiles pretende evitar que se pre-sente una falla prematura por cortante que impida que lleguen a for-

Figura 8.4 Estribos para confi-namiento (del código ACI).

Remate de 104,de extensión

Remate de 6 d^de extensión

a) Estribo cerradocon remate a 135°.

b) Estribo cerradode dos piezas.

c) Estribos cerradosdobles.

d) Estribos cerradoscon pieza de remate.

278Dimensionamiento y detallado de los elementos estructurales

/I"

Mr

U VD \t '

MJ-+M +

Mecanismos defalla por efecto

de fuerzaslaterales enuna y otradirección

Cortante porcargas verticales

Cortante porfuerzas sísmicas

Cortante total

A/iL L

v/ = VQJ + -

Figura 8.5 Determinación delas fuerzas cortantes de diseñopara vigas de marcos dúctilesde concreto.

marse las dos articulaciones plásticas por flexión en los extremos de laviga. Por tanto, la viga tiene que ser capaz de soportar las cortantes quese presentan cuando se forma el mecanismo de falla aceptado, que con-siste en la aparición de una articulación plástica de momento negativoen un extremo y, posteriormente, de una articulación plástica de momen-to positivo en el otro extremo o cerca de él. Los momentos flexionantesrespectivos se calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte enlas secciones extremas, para el cual el esfuerzo de fluencia se tomaráigual a 1.25 el valor nominal, ya que en este caso es más desfavorableque el acero de refuerzo tenga una resistencia mayor que la especifica-da. La determinación de las fuerzas cortantes que se originan en estasituación se ilustra en la figura 8.5.

Considerando que el cálculo de la cortante de diseño con el proce-dimiento anterior puede resultar poco familiar a muchos proyectistas,las NTC-RCDF admiten como opción diseñar para las fuerzas cortantesque resulten del análisis, con la combinación de cargas más críticas peroadoptando un factor de resistencia Fg, igual a 0.6 en lugar de 0.8. Conesto se busca tener un factor de seguridad sustancialmente mayor con-tra falla por cortante que contra falla de flexión, de manera que la se-gunda sea la que rija. Con este segundo procedimiento puede llegarse aresultados poco conservadores con respecto al primero, si el refuerzolongitudinal que se coloca en las vigas es significativamente superior alrequerido. Por tanto, es preferible hacer una revisión explícita de las re-sistencias relativas a flexión y cortante en los extremos de la viga, deacuerdo al primer método.

Adicionalmente, se prescribe ignorar la contribución del concretoa la resistencia al cortante, cuando la cortante de sismo domine sobre lacarga vertical. Esto es para tomar en cuenta que la repetición de ciclosde carga alternada producidos por el sismo puede llegar a degradar el


mecanismo con el cual el concreto contribuye a la resistencia a cortante,después de que se han llegado a formar grietas de tensión diagonal.

La aplicación de estos requisitos se ilustra en el ejemplo 8.1.

8.2.4 Requisitos para columnas

Los requisitos se aplican, en general, a elementos que pueden estar sujetos aefectos de flexocompresión tales que la carga axial excede de 0.1 Ag fc. Nue-vamente se imponen restricciones mucho más severas de geometría, de refuerzolongitudinal y de refuerzo transversal a aquellas columnas que formen parte demarcos dúctiles.

279

a) Requisitos geométricos. La figura 8.6 presenta en forma comparativa losrequisitos respectivos. La exigencia de una dimensión mínima de la co-lumna tiene como objetivo asegurar un tamaño mínimo del núcleo confi-nado (una vez descontados los recubrimientos), que pueda mantener unacapacidad significativa a carga axial, aun después que haya fallado elconcreto del recubrimiento.

Se pide que el área de la sección transversal sea al menos igual a 0.5Pu/f'c, para limitar el esfuerzo promedio de compresión sobre el con-creto. Como se ha visto en la sección 4.4.1, la ductilidad de una seccióndisminuye rápidamente a medida que aumenta el nivel de carga axialsobre ella. Por tanto, mientras más pequeño se quede el esfuerzo prome-dio de compresión con respecto al máximo esfuerzo permitido, más ga-rantía se tendrá de comportamiento dúctil.

Los otros requisitos geométricos tienen la intención de evitar queproblemas de pandeo reduzcan la ductilidad de la columna.

b) Refuerzo longitudinal. Los requisitos para el refuerzo longitudinal y eltransversal se ilustran en la figura 8.7. El límite inferior para la cuantía de

Figura 8.6 Requisitos geomé-tricos para columnas de marcosde concreto.


Ci, c2 SL 20 cm< 4

Requisitos adicionales para marcos dúctiles

c¡, c2 30 cmPu

c,/c2 2.5

J L

r


Figura 8.7 Requisitos de re-fuerzo para columnas de marcode concreto.

refuerzo longitudinal tiene el propósito de evitar que el acero fluya paracargas inferiores a la de fluencia teórica, a causa del flujo plástico delconcreto que causa una transferencia de esfuerzos entre el concreto yel refuerzo. También pretende proporcionar a la columna una resistenciamínima a flexión.

El límite superior tiende, principalmente, a evitar el congestionamien-to del refuerzo en la columna y en su intersección con las vigas. También setrata de una forma indirecta de evitar que la sección se vea sujeta a esfuer-zos promedio de compresión muy elevados.

En la porción de la columnaque atraviesa la unión con laviga debe colocarse el mismorefuerzo transversal que en lc.Si hay vigas en los cuatrocostados puede aumentarse aldoble la separación.

I Refuerzo longitudinal


— < p £ 0.06.Jy

Mínimo cuatro barras en columnas rectangulares y seis encirculares.


0.01 < p £ 0.04.Paquetes de no más de dos barras.Traslapos sólo en la mitad central de la altura libre de la columna.

II Refuerzo transversal


850 db

48 dv

q/2, c2/2

s¡ menor o igual que la mitad de los límites para s¿.


s¡, mismos límites que para el caso general.Además s¡ ^ 10 cm.

Zonaconfinada lc \

confinada c

1/660 cmc,, c2 (ver figura 8.6).


281

M

Ai,

M,

Nudo viga-columna

'S.My = MVD + Mv¡, es la suma de los momentos flexionantes resistentes (negativode un lado y positivo del otro) de los extremos de las vigasque llegan a un nudo.

2AÍC = Mcs + Mc¡, es la suma de los momentos flexionantes que deben sercapaces de resistir los extremos de las columnas (superior einferior) que llegan a dicho nudo.

El momento resistente de la columna se calculará para la carga axial que lecorresponde a la columna por efecto de la carga vertical más el doble de la que segenera para efecto de las fuerzas sísmicas actuando en la dirección correspondienteal signo de los momentos flexionantes considerados.

Al igual que en vigas, se limita a dos el número de barras que sepueden juntar para formar un paquete, con el fin de disminuir los proble-mas de adherencia con el concreto y propiciar una distribución de lasbarras lo más uniforme posible en el perímetro de la sección. De estamanera se logra un mejor confinamiento del concreto del núcleo.

Los traslapos sólo son aconsejables para barras de diámetro hasta# 8 y deben realizarse en la mitad central de la columna para evitar quesus extremos se vean afectados por las tensiones que se generan por latrasmisión de esfuerzos en el traslapo. Esta limitación no rige cuando seemplean uniones soldadas o con dispositivos mecánicos en los que nose tienen estos problemas.

c) Resistencia en flexocompresión. El refuerzo longitudinal en columnasdebe proporcionar la resistencia en flexocompresión necesaria para quelas secciones de los extremos de las columnas permanezcan en su inter-valo de comportamiento lineal, mientras que se forman articulacionesplásticas en los extremos de las vigas. Para ello se pide que se revise quelas columnas sean capaces de resistir un momento superior en 50 porciento al que le corresponde por equilibrio del nudo cuando se forman dosarticulaciones plásticas en los extremos de las vigas que concurren a dichonudo. La figura 8.8 aclara el procedimiento a seguir. Se requiere ademásque el momento flexionante resistente se determine para una carga axialigual a la ocasionada por las cargas gravitacionales más el doble de la quese ha obtenido del análisis por las cargas laterales debidas a sismo. Esteincremento obedece a que, en el intervalo de comportamiento no lineal dela estructura, las cargas axiales sobre las columnas pueden incrementar-se notablemente arriba de las determinadas en el análisis que supone com-portamiento lineal.

Se permite omitir la revisión de la capacidad en flexocompresión delas columnas para el mecanismo de falla con articulaciones plásticas enlos extremos de las vigas y diseñar con los diagramas de fuerzas internas

Figura 8.8 Procedimiento parala revisión de la capacidad deflexocompresión de columnasde marcos dúctiles de concreto.


282

Mínimo seis barras longitudinales

60 cm

í2 — 1 cm

En/ •

Figura 8.9 Requisitos paracolumnas zunchadas.

determinadas de un análisis elástico, si se emplea un factor de resistenciainferior (0.6 en lugar de 0.8). Con este factor de seguridad adicional enlas columnas se supone que se puede garantizar la formación del meca-nismo de falla de columnas fuertes-vigas débiles. Es recomendable en es-tructuras importantes seguir el primer procedimiento, ya que el factor deseguridad adicional prescrito puede ser insuficiente para lograr el propósi-to deseado.

d) Requisitos de refuerzo transversal. Los requisitos al respecto tienen comofunción primordial proporcionar alto confinamiento a los extremos de lascolumnas, donde pueden requerirse rotaciones importantes. La longitudde las zonas donde se requiere de confinamiento especial se determina enla forma indicada en la figura 8.7. En la misma figura se definen los prin-cipales requisitos del refuerzo transversal en columnas.

La forma más apropiada para dar confinamiento al concreto es me-diante un zuncho de refuerzo helicoidal (ver figura 8.9) que restrinja laexpansión lateral del concreto cuando éste se vea sujeto a esfuerzos decompresión cercanos al máximo resistente. Sin embargo, el refuerzo helicoi-dal es práctico de usarse sólo en columnas circulares y en ocasiones en


283

<35

, a 0.12

2/4,, es la suma de áreas de todas lasramas de estribos en la direcciónconsiderada.

Remate de10 a v

**.

las cuadradas. En el resto de los casos, la forma más práctica de pro-porcionar confinamiento es mediante estribos de varias ramas o combi-naciones de estribos y grapas poco espaciados. En la figura 8.10 seilustran los requisitos de distribución de refuerzo longitudinal y transver-sal, así como la forma de cumplir con el requisito de que la cuantía derefuerzo transversal debe ser igual a la que se denomina "cuantía balan-ceada de refuerzo helicoidal". En la figura 8.11 se muestra cómo lograrconfinamiento con combinaciones de estribos y grapas.

Hay que tener en mente que el arreglo de estribos debe procurarreducir al mínimo la longitud de las ramas de cada estribo, para evitar queéstas se flexionen hacia afuera por la presión que ejerce el concreto delnúcleo al tratar de expandirse y que debe cumplir el requisito generalsiguiente:

"Habrá estribos cerrados formando un ángulo no mayor de 135° alrededorde al menos una de cada dos barras longitudinales y de todas las barras deesquina; ninguna barra longitudinal no soportada por la esquina de un es-tribo distará más de 15 cm de otra barra que sí esté soportada."

Extensión deExtensión de 6 d

X

x < 35 cm

Grapas con sus ganchos a 90°colocados en forma alternada

Figura 8.10 Requisitos de dis-tribución de refuerzo en colum-nas de estribos.

Figura 8.11 Combinaciones deestribos y grapas admisiblespara confinamiento de colum-nas, según el Reglamento ACI83.

284

Figura 8.12 Arreglos admisi-bles de refuerzo en columnasde marco dúctiles de concreto.


El principal objetivo de este requisito es impedir que las barras lon-gitudinales se pandeen hacia afuera una vez que se pierda el recubri-miento. Nuevamente hay que recordar la importancia de que los rematesde los estribos sean en dobleces con un ángulo de 135° hacia el inte-rior del núcleo confinado para evitar que estos remates se abran aldesprenderse el recubrimiento y el estribo pierda su anclaje.

En la figura 8.12 se ejemplifican algunos arreglos convenientes delrefuerzo longitudinal y transversal en columnas de estribos. Obsérveseque el refuerzo longitudinal se distribuye lo más uniformemente posibleen el perímetro de la sección para que proporcione de manera más efecti-va el confinamiento al núcleo.

e) Requisitos de resistencia a fuerza cortante. Debe proporcionarse unaresistencia a cortante suficiente para que puedan desarrollarse las articu-laciones plásticas en los extremos de las vigas; por tanto, se requiere di-señar para las cortantes que se determinan de un mecanismo simplificadode equilibrio del nudo (figura 8.13), tomando un factor de seguridad de1.5 con respecto a la resistencia en flexión de las vigas y suponiendo queel momento de desequilibrio se distribuye en partes iguales entre lacolumna superior y la inferior. Nuevamente se admite el procedimientooptativo de diseñar con las cortantes el resultado del análisis elástico, peroadoptando un factor de resistencia de 0.5. Para columnas sujetas a car-gas axiales moderadas, debe ignorarse la contribución del concreto a la

1

No son aconsejablesAdmisibles si x j < 30 cm


H

Vr =-H

IMC >1.5(IMV) ver figura 8.8

M,a

285

Figura 8.13 Procedimientopara la revisión de la capacidadpor cortante de las columnas demarcos dúctiles.

resistencia en cortante, ya que ésta puede perderse por deterioro de la fric-ción a lo largo de las grietas de tensión diagonal, debido a los ciclos derepetición de cargas alternadas producidas por el sismo.

Los requisitos de confinamiento y de resistencia a cortante dan lugara una cantidad de refuerzo transversal notablemente superior en columnasde marcos dúctiles que en las que sólo deben cumplir con los requisitosgenerales. Es ésta la diferencia más significativa y la que más influye enel costo de la estructura.

8.2.5 Uniones viga-columna

Deben cuidarse tres aspectos en el diseño de uniones viga-columna de marcosque deben resistir fuerzas sísmicas.

a) El confinamiento del concreto en la zona de unión.¿>) El anclaje y la adherencia del refuerzo que atraviesa la junta.c) La resistencia a fuerza cortante de la conexión.

Es necesario proporcionar confinamiento al núcleo de concreto también en lazona de intersección de la columna con las vigas del sistema de piso. Por ellodebe prolongarse el refuerzo transversal especificado para los extremos de lascolumnas también en la zona de intersección (figura 8.7). Cuando se trata de una co-lumna interior que tiene vigas en sus cuatro costados, la situación es menos crí-tica, ya que el concreto adyacente proporciona restricción a las deformacionestransversales del núcleo de la columna. En este caso se admite aumentar al dobleel espaciamiento de los estribos en la unión, con respecto al necesario en los ex-tremos de la columna.

El problema del anclaje del refuerzo en las conexiones viga-columna presen-ta características distintas en las uniones extremas que en las interiores. En laprimeras el anclaje de las barras longitudinales es necesario para el desarrollo delmomento resistente en el extremo del elemento. Este anclaje se proporcionamediante un gancho estándar en el extremo de la barra, más una longitud ho-rizontal dentro del núcleo de la columna igual a la que se indica en la figura 8.14.Cuando se emplean barras de gran diámetro es posible que el ancho de la columna


286

r~L

¿b

a) Anclaje con ganchoextremo.

b) Cartela en extremo de laviga para aumentar lalongitud de anclaje conrespecto a la seccióncrítica.

c) Viga con saliente para d ) Anclajeproporcionar la longitud mecánico,de anclaje necesaria.

Figura 8.14 Anclaje del refuer-zo longitudinal en vigas extre-mas de marcos dúctiles.

a 20

—r- £ 20, si la carga axial sobre labc columna es tal que:

Pu

Agf'c<0.3

h,, . Pu-/- a 15, si: -— :0.3

Ambos límites se reducen a 15si más del 50% de las cargaslaterales son resistidas por muroso contravientos.

Figura 8.15 Dimensiones míni-mas de vigas y columnas enuniones interiores de marcosdúctiles de concreto.

no sea suficiente para proporcionar la longitud de anclaje al refuerzo de laviga. En ese caso debe optarse por emplear barras de menor diámetro, o en-sanchar la columna, o proporcionar algún anclaje mecánico al refuerzo (verfigura 8.14).

En las conexiones interiores el problema es el que se ha descrito en la sec-ción 4.4.2, es decir, la posible falta de longitud suficiente de la conexión parapermitir el cambio de signo de los esfuerzos en el acero longitudinal, desde tensiónen una cara de la columna hasta compresión en la otra. Los requisitos al respectotratan de evitar que pérdidas locales de adherencia den lugar a rotaciones inelás-ticas excesivas en la conexión y que las barras de refuerzo que deberían estar encompresión permanezcan con esfuerzos de tensión para poder proporcionaranclaje, originando así que el concreto esté sujeto a esfuerzos de compresiónmayores que los previstos. Para tal objeto se establece en marcos dúctiles unarelación mínima de 20 entre el ancho de la columna o viga y el diámetro de lasbarras longitudinales que le atraviesan (ver figura 8.15). Se admite reducir dicholímite a 15 para columnas con cargas axiales elevadas en cuyas barras es pocoprobable que se tengan que desarrollar esfuerzos elevados de torsión y tambiénpara estructuras en que la mitad o más de las fuerzas laterales sean resistidas porotros elementos más rígidos que los marcos, como muros de concreto o con-travientos, en cuyo caso la demanda de deformación inelástica para la estructuraes menor.

Como se aprecia de los resultados del ejemplo 8.1, estas restricciones sonmuy severas en determinar el tamaño de las columnas y vigas de un marco.

El tercer aspecto que hay que revisar en el comportamiento sísmico de lasuniones viga-columna es que su capacidad por cortante sea suficiente para que sedesarrollen articulaciones plásticas de signos contrarios en los extremos de lasvigas que llegan a la conexión.

La situación se ilustra en la figura 8.16, con base en las fuerzas que inter-vienen en el equilibrio del nudo. Nuevamente se debe considerar un esfuerzo de


287

/ i , altura de la columnadel entrepiso superior

/2, altura de la columnadel entrepiso inferior

Por equilibrio del nudo:

V¡=(Asi + AÍ2)1.25/y-Vcol

Para la condición de mecanismo de viga se tiene, aproximadamente:

/ _ l-5hv1 y \j + /2

No debe excederse de:

Vj £ 5FRf* bc hc, cuando hay vigas en las cuatro caras de la unión.

fluencia incrementado en 25 por ciento. Para evitar que en la unión se presentengrietas diagonales que puedan progresar rápidamente, se requieren estribos en laporción de la columna que atraviesa la unión, de refuerzo longitudinal lo más uni-formemente distribuido en el perímetro de la columna, y que se mantenga pe-queño el esfuerzo cortante promedio en la conexión. La presencia de vigas en lascuatro caras de la conexión es muy favorable para la resistencia en cortante y asílo reconocen las expresiones para el esfuerzo cortante permisible en las cone-xiones, las cuales se consignan en la figura 8.16.

8.2.6 Requisitos para losas planas

Los sistemas de piso de losas de concreto, sin vigas y apoyadas directamentesobre las columnas, son muy populares para edificios, especialmente en la mo-dalidad de losa reticular o aligerada, en la que se forma una retícula de ner-vaduras en dos direcciones con una zona sólida de concreto alrededor de lascolumnas. El sistema presenta algunos problemas en su comportamiento sís-mico, consistentes principalmente en su excesiva flexibilidad ante cargas la-terales, para las dimensiones usuales de losas y columnas, y en la concentraciónde esfuerzos cortantes en la zona de la losa alrededor de la columna, la quepropicia deformaciones inelásticas importantes y posibilidad de una falla frá-gil por punzonamiento.

El desempeño sísmico observado de este tipo de estructuras ha sido muypobre y ha dado lugar a una desconfianza generalizada en el sistema. Si bienes cierto que los daños graves se han dado en estructuras con defectos fla-grantes y que, en su mayoría, los daños se han originado por problemas deresistencia de las columnas y no de la losa misma, hay que aceptar que el sis-tema es muy poco eficiente para resistir cargas laterales y que su uso debe aso-ciarse, en edificios de varios pisos, a la combinación con elementos muchomás rígidos ante cargas laterales, como muros de concreto o marcos rígidos defachada.

El análisis por cargas laterales se realiza generalmente sustituyendo lalosa por un sistema de vigas ortogonales de ancho equivalente que forman

Figura 8.16 Revisión por cor-tante de las uniones viga-columna de marcos dúctiles deconcreto.


288

'Casetón

Ancho efectivo paracálculo de rigidez Sólo se indica el refuerzo efectivo

para resistir sismo en una dirección;en la otra habrá un refuerzo similar

\.5h l.5h

Figura 8.17 Refuerzo en laconexión losa plana-columna.

marcos en dos direcciones, las que se analizan como marcos convencionales.La ocurrencia de rotaciones concentradas en la unión viga-columna desdeniveles bajos de carga, hace aconsejable adoptar hipótesis conservadoras acer-ca de la rigidez de las vigas equivalentes. Las Normas de Concreto del RCDFindican que debe considerarse efectivo únicamente un ancho de losa igual alde la columna más vez y media el peralte de la losa a cada lado de la misma,para fines del cálculo del momento de inercia de la viga equivalente (ver figu-ra 8.17). Métodos más refinados y más racionales implican la consideración demarcos equivalentes que incluyen barras adicionales cuya rigidez torsionalrepresenta la rotación local en la unión losa-columna (véase Park y Gamble,1980).


289El RCDF castiga severamente estos sistemas mediante la especificación de

factores de comportamiento sísmico (Q) bajos que reflejan la poca capacidadde disipación de energía en campo inelástico. Se acepta Q — 3 en estructuras muyregulares y de pocos pisos, o en aquellas en que la mayor parte de las cargas la-terales sea resistida por muros de concreto que cumplen con los requisitos deductilidad que se describen en la sección siguiente. En caso de que no se cumplantales condiciones se debe adoptar Q = 2.

Para asegurar una correcta transmisión de los momentos y esfuerzos cor-tantes que se generan por efecto de las fuerzas laterales en la unión entre lalosa y las columnas, se exige una serie de requisitos que se resumen en la figu-ra 8.17 y que consisten esencialmente en que debe existir una nervadura anchasobre el eje de .columnas, que aloje la mayor parte del refuerzo necesario pararesistir efectos sísmicos; además se requiere una zona de concreto sólido de buentamaño en la cual exista refuerzo por cortante para evitar la falla frágil por pun-zonamiento. Este refuerzo por cortante consistirá generalmente en un par de vigascruzadas formadas por la nervadura de columnas y el refuerzo adicional necesariopara resistir las fuerzas sísmicas, unidas por estribos de varias ramas con un espa-ciamiento mínimo de un tercio del peralte efectivo.

8.2.7 Requisitos para muros

El comportamiento sísmico de las estructuras con muros y contravientos ha sidodescrito en las secciones 4.4.3 y 4.4.6. Los sistemas a base de muros basansu desempeño ante sismos más en su alta rigidez y resistencia a cargas lateralesque en su comportamiento inelástico, por lo que los requisitos de ductilidadprescritos por las normas son en general más simples que los de marcos. LasNormas del RCDF permiten que se adopte el factor de comportamiento sísmicoQ = 4, en estructuras de marcos y muros, sólo cuando los primeros son capacesde resistir al menos 50 por ciento de las fuerzas sísmicas, mientras que cuandoesto no se cumple debe-rá adoptarse Q = 3. Enambos casos el diseñode los muros debe cum-plir requisitos que evi-tan que la ductilidad sevea limitada por algúnmodo de falla frágil.

Los requisitos geo-métricos ilustrados enla figura 8.18 pretendenevitar el pandeo del al-ma del muro por losaltos esfuerzos de com-presión que originan enuno de sus extremos losmomentos flexionantesdebidos al sismo. Por es-tar sujetos a estas altasfuerzas de compresión,los extremos de muros

Figura 8.18 Requisitos geomé-tricos y de refuerzo en muros deconcreto.

H

Limitaciones geométricas

Hit < 17t > 13cm

Refuerzo mínimo

pv,ph 2 0.0025Sy, Sfr s 35 cm

PH = Pv :


290

I

Figura 8.19 Refuerzo en losextremos de muros de concreto.

deben cumplir requisitos similares a los de las columnas de marcos. De hechoes conveniente que el muro termine en una columna propiamente dicha en lacual el refuerzo longitudinal necesario pueda distribuirse en forma adecuada yconfinarse con un refuerzo transversal cerrado. La figura 8.19 muestra diversasopciones para confinar los extremos de los muros.

Otro aspecto que hay que cuidar para prevenir comportamiento frágil de losmuros es su falla por cortante. A tal propósito obedecen los diversos requisitos derefuerzo mínimo horizontal y vertical en el alma del muro, que se resumen en lafigura 8.18.

Es frecuente que sea necesario dejar aberturas en los muros para permitir elpaso o para alojar ductos. Esto origina concentraciones de esfuerzos en las es-quinas de los huecos en los que se requiere colocar refuerzo especial. Si los hue-cos son de grandes dimensiones, es deseable colocar columnas embebidas en elespesor del muro, como se indica en la figura 8.20.

Un modo de falla que se ha presentado con cierta frecuencia, sobre todo enmuros bajos, es el de deslizamiento de la base por efecto de la fuerza cortante,como se comentó en la sección 4.4.3. Para eliminar este tipo de falla, es nece-sario, además de cuidar la continuidad del concreto en las juntas de colado, quehaya una cuantía mínima de refuerzo cruzando la junta para que se desarrolle lafricción que proporciona la resistencia a fuerza cortante.

En muros que rellenan crujías rodeadas por vigas y columnas es importanteque el refuerzo vertical y horizontal del muro quede anclado en los elementos pe-riféricos para lograr una distribución uniforme de fuerzas entre el marco y el muroy evitar que haya altas concentraciones de esfuerzos con las esquinas del muro.

Como se mencionó en la sección 4.4.3, las vigas que acoplan a dos murosestán sujetas a una condición muy severa de solicitaciones. Cuando la relaciónclaro a peralte de estas vigas de acoplamiento es pequeña, los efectos de cor-tante dominan sobre los de flexión y se requiere de un esfuerzo especial queevite la falla frágil por cortante. Es recomendable colocar un refuerzo diago-nal como el indicado en la figura 8.21 cuando la relación claro o peralte de laviga sea menor que dos.


291

Refuerzo mínimo alrededorde aberturas pequeñas(la mayor dimensión delvano no supera 80 cmni una cuarta parte de ladimensión de la pared)

. 2#4cada una

#2@2í

Refuerzo mínimo alrededor de aberturas mayores

Figura 8.20 Detalles recomendados de refuerzo alrededor de aberturas en muros de concreto.

Refuerzo transversal igual al requerido paraconfinamiento de columnas (ver figura 8.10)

A—A

Figura 8.21 Refuerzo de viga de acoplamiento que une muros de cortante (para Uh < 2).


8.3 REQUISITOS PARA ESTRUCTURAS DE ACERO

8.3.1 Conceptos generales

Las estructuras de acero diseñadas de acuerdo con los códigos modernos poseencaracterísticas muy favorables de capacidad de disipación de energía que lashacen muy idóneas para resistir los efectos sísmicos. Esto ha sido demostrado porel buen desempeño que en general estas estructuras han tenido durante sismosimportantes. Por esta razón, los requisitos especiales que se imponen para lasestructuras de acero en zonas sísmicas no son muy numerosos.

Sin embargo, hay que poner atención en que la ductilidad intrínseca de estematerial no se anule por la ocurrencia de algún modo de falla frágil, como fallafrágil en soldadura o por concentraciones de esfuerzos, fallas por pandeo local oglobal de un elemento (por carga axial o inestabilidad lateral) y fallas locales enconexiones. A estos aspectos se refieren esencialmente los requisitos reglamen-tarios para estructuras en zonas sísmicas. Las Normas Técnicas para EstructurasMetálicas (NTEM) del RCDF incluyen el capítulo 11 relativo a requisitos paraestructuras dúctiles, los que deben observarse para aquellas estructuras a base demarcos, solos o con contravientos, en los que se adopte Q = 4 ó Q = 3. En los in-cisos siguientes se presentan algunas recomendaciones generales, así como losrequisitos reglamentarios.

8.3.2 Material

Los aceros para fines estructurales poseen todos características adecuadas de duc-tilidad; conviene en la verificación de calidad de estos materiales poner especialatención a los siguientes aspectos:

a) Elongación. La deformación de ruptura debe cumplir con el mínimoaceptado por la norma, ya que ésta es una propiedad esencial para elbuen comportamiento sísmico. Las NTEM especifican que debe verifi-carse que el acero tenga una fluencia definida hasta una deformaciónunitaria de al menos uno por ciento y que su alargamiento de ruptura seaser por lo menos de 20 por ciento.

b) Uniformidad de resistencia. Es importante cuidar que la resistencia detodos los elementos estructurales empleados sea muy uniforme, paraevitar que el comportamiento inelástico se concentre sólo en algunassecciones en las que puedan requerirse rotaciones excesivas. Hay querecordar que, en lo que respecta a comportamiento sísmico, el exceso deresistencia en algunas partes de la estructura puede ser perjudicial yque, por tanto, debe cuidarse que la variación en las propiedades delmaterial sea pequeña.

c) Ausencia de defectos de laminación en los perfiles empleados. En oca-siones en el proceso de laminación se originan grietas o separación decapas que debilitan los elementos.

d) Soldabilidad. Cuando las uniones entre elementos son a base de soldadu-ra, el material debe poseer las características necesarias para que puedasoldarse con facilidad, dando lugar a una estructura continua en que laszonas de soldadura no constituyan puntos débiles donde puedan presen-tarse fallas prematuras o una deformación inelástica excesiva. A este

Requisitos para estructuras de acero

respecto, además de las buenas propiedades del material, es esencialejercer un estricto control sobre la calidad de la ejecución de la soldadu-ra. Para los requisitos sobre este punto puede consultarse, por ejemplo, elManual de Construcción en Acero (IMCA, 1993).

8.3.3 Requisitos para vigas

Los requisitos se aplican a miembros principales de marcos en los que la cargaaxial no excede de diez por ciento de la fluencia (Pu < 0.1 Pv). Los objetivos sonfavorecer que los mecanismos de deformación inelástica se caractericen por ar-ticulaciones plásticas en los extremos de las vigas y que en estas zonas cuentencon gran capacidad de rotación.

a) Requisitos geométricos

Las relaciones de esbeltez de los miembros y las proporciones de las secciones de-ben ser tales que se eviten problemas de pandeo lateral o local, aun para grandesdeformaciones inelásticas. Para ellas las secciones deben cumplir con los requi-sitos correspondientes a secciones Tipo 1 (compactas y con gran capacidad de ro-tación inelástica, véase capítulo 2 de las Normas). Los principales requisitos sonlos siguientes.

i) Las vigas deben ser de sección transversal I o en cajón, que tengan dosejes de simetría.

¿i) Los patines deben estar conectados en forma continua al alma.Los dos requisitos anteriores limitan los tipos de sección a utilizarse

a aquellos que puedan desarrollar grandes rotaciones sin problemas depandeo local. Se elimina la posibilidad de emplear secciones de almaabierta o de lámina delgada.

i//) El claro libre de las vigas no será menor que cinco veces el peralte de susección transversal, ni el ancho de sus patines mayor que el ancho delpatín o el peralte del alma de la columna a que se conecten. De esta mane-ra se pretende evitar vigas muy cortas en que predominan los efectos decortante sobre los de flexión y vigas más anchas que las columnas en queno hay una trasmisión adecuada de momentos entre los dos elementos.

iv) La excentricidad entre el eje de la viga y el de la columna no debe ex-ceder de una décima parte de la dimensión de la columna en la direc-ción normal a la viga.

Este requisito es similar al establecido para marcos de concreto ypretende evitar que por la acción de marco se presenten torsiones y cor-tantes elevados en las vigas y columnas.

v) La relación ancho a grueso de los patines de secciones I, H ó T o de sec-ciones en cajón no excederá de 460/Fy, y la de patines de secciones encajón y de atiesadores no excederá de 1600/F,.

Con esto se limita la posibilidad de pandeo local de los patines cuan-do éstos estén sometidos a compresión.

vi) La relación ancho a grueso del alma no excederá de 3500/Fy

En todas las expresiones anteriores, Fv es el esfuerzo de fluencia nominal delacero, en kg/cm2.

294

Figura 8.22 Soporte lateral delpatín inferior de vigas.


b) Requisitos para fuerza cortante

De manera muy similar a lo que se ha descrito para vigas de marcos dúctiles deconcreto, las Normas de acero requieren que la fuerza cortante de diseño se deter-mine por equilibrio de las vigas cuando se presentan articulaciones plásticas designos opuestos en sus extremos y considerando un esfuerzo de fluencia incre-mentado en 25 por ciento sobre el nominal. También aquí se admite la opciónde dimensionar con las fuerzas cortantes obtenidas del análisis, pero empleandoun factor de reducción de 0.70 en lugar del 0.90 que se especifica para el casogeneral.

De esta manera se trata de prevenir que la ductilidad de los marcos se vealimitada por la falla por cortante de las vigas y que se pueda desarrollar la grancapacidad de rotación de las articulaciones plásticas en los extremos.

c) Soporte lateral

Las secciones de las vigas en que puedan formarse articulaciones plásticas debenestar soportadas lateralmente para evitar la posibilidad de pandeo lateral, no sóloen el intervalo de comportamiento lineal sino aun en campo inelástico. En gene-ral se considerará que las articulaciones plásticas se forman en cada extremo delas vigas en una longitud igual a un peralte de la viga, medida a partir del pañode la columna. La distancia entre puntos de soporte lateral en las zonas de ar-ticulaciones plásticas no debe exceder de Lp = I250/Fy.

Hay que considerar que no es suficiente proporcionar soporte lateral al patínsuperior de la viga, lo cual se da usualmente al estar éste restringido por una losa deconcreto u otro elemento de piso. Debido a que el mecanismo de falla postulado con-sidera la aparición de articulaciones plásticas de momento positivo en los extremosde las vigas, también el patín inferior de éstas debe estar soportado lateralmente paraevitar su pandeo local. Esto puede lograrse por medio de atiesadores verticales derigidez adecuada soldados a los patines y al alma de la viga, o a través de puntalesconectados a los elementos vecinos, como se ilustra en la figura 8.22.

Viga Principal-

\a Secundaria

~Atiesador a cada lado

Viga Principal

a) Cor. atiesadores verticales.

Puntal ~/

Viga Secundaria

tí) Con arriostramiento.

Requisitos para estructuras de acero

Además, en las zonas de articulaciones plásticas deben evitarse agujeros quepropicien comportamiento frágil de la región.

8.3.4 Requisitos para columnas

Estos requisitos son extensivos a todos los elementos en flexocompresión en quela carga axial excede de 10 por ciento de la de fluencia.

a) Requisitos geométricos

Al igual que en vigas, se requiere que las secciones cumplan con los requisitospara secciones compactas con gran capacidad de rotación inelástica (Tipo 1) yque la esbeltez sea reducida para no propiciar la falla por pandeo de la columna.Los requisitos se resumen en los siguientes incisos.

i) Las secciones transversales serán H o en cajón. En secciones en cajón(rectangular hueca) la relación de la mayor a menor de sus dimensionesexteriores no excederá de dos y su dimensión mínima será por lo menosde 20 cm. En secciones H, el ancho de los patines no será mayor que elperalte total, la relación peralte a ancho del patín no excederá de 1.5 yel ancho de los patines será cuando menos de 20 cm.

ti) La relación ancho a grueso de los patines de las secciones H no exce-derá de 830/Fr Para las almas de las secciones H y para las placas delas secciones en cajón esta relación será como máximo 2100/FV,

üí) La relación de esbeltez de la columna en la dirección más desfavorableno excederá de 60.

¿v) Es deseable que el nivel de esfuerzos de compresión en la columna semantenga bajo, para contar con cierta capacidad de rotación. Para elloconviene que el tamaño mínimo de la sección sea tal que el esfuerzopromedio de la carga vertical de diseño no exceda de 60 por ciento delde fluencia.

b) Resistencia en flexión y cortante

Al igual que para marcos dúctiles de concreto, aquí también se imponen requisi-tos para procurar que en el mecanismo de falla no intervengan deformacionesinelásticas por falla en flexocompresión o cortante de las columnas y que secumpla la condición de columna fuerte-viga débil.

La capacidad en flexocompresión de los extremos de las columnas se revi-sará con las condiciones de equilibrio del nudo cuando se presentan articu-laciones plásticas de signos opuestos en los extremos de las vigas que concurrena dicho nudo. En este caso dicha condición se expresa con la siguiente relación:

SZC (Fyc - fa) > ZZV Fyv, para/, > O

en que SZC y Zv son las sumas de los módulos de sección plásticos de las colum-nas y de las vigas que concurren al nudo en el plano del marco en estudio, fa esel esfuerzo normal en las columnas, producido por la fuerza axial de diseño y Fyc

y Fyv, son los esfuerzos de fluencia del acero de las columnas y de las vigas,respectivamente.

Figura 8.23 Conexión típicaviga-columna para marco dúctil.


Nuevamente se admite la opción de dimensionar las columnas con las fuer-zas internas provenientes del análisis, pero con un factor de reducción de resisten-cia de 0.7.

De manera congruente con lo anterior, la fuerza cortante para el dimensio-namiento de cada columna debe determinarse por equilibrio de la misma, su-poniendo que en sus extremos obran momentos del mismo sentido y de magnitudigual a los momentos resistentes de las columnas. También aquí se admite la op-ción de dimensionar con las cortantes provenientes del análisis y con un FR = 0.7.

8.3.5 Requisitos para uniones viga-columna

La conexión debe diseñarse para las fuerzas que se introducen al formarse lasarticulaciones plásticas en los extremos de las vigas, considerando que los mo-mentos de fluencia de las vigas se incrementan en 25 por ciento. Los requisitosdetallados se describen en la sección 5.8 de las NTEM. Los aspectos principalesse ilustran en la figura 8.23 y en términos cualitativos, se resumen en lo si-guiente:

Columa

4

Atiesador

Alma de lacolumna

Panel deunión

rn

Atiesador

Placa de unión

>— Atiesador

Sección A-A

Columna

- Placa de unión . _de umon

Sección B-B

d) Conectar ambos patines de las vigas a los de las columnas para que losprimeros puedan desarrollar su esfuerzo de fluencia.

b) Colocar atiesadores en la columna en coincidencia con los patines de lasvigas, para que resistan 1.25 veces la fuerza de fluencia de los patines.

c) Conectar el alma de las vigas a los patines de la columna, de manera depoder trasmitir la fuerza cortante total.

d) Revisar la resistencia a cortante del alma de la columna en el tablero de lajunta para la fuerza que se introduce al formarse las articulaciones plás-ticas.

8.3.6 Elementos de contraviento

El comportamiento sísmico de estructuras de acero con contravientos se ha exa-minado en la sección 4.4.6. La capacidad de disipación de energía inelástica es

Estructuras de manipostería

297limitada si los elementos de contraviento son incapaces deresistir compresión. Por ello, en estructuras de edificios que sediseñan con factores de comportamiento sísmico elevados(<2 = 4 ó Q = 3) es importante que los contravientos tenganuna capacidad en compresión significativa. Para ello, el Có-digo ATC-3 recomienda, por ejemplo, que la capacidad encompresión del contraviento sea al menos igual a la mitad desu capacidad en tensión. También es recomendable que la re-lación de esbeltez sea reducida (K \lr < 30) y que las seccionessean en H o en cajón para evitar el pandeo local.

La conexión del contraviento al marco debe ser capaz deresistir 1.25 veces la resistencia en tensión del elemento. La figu-ra 8.24 presenta uniones típicas de contravientos.

a) Unión con el marco.

8.4 ESTRUCTURAS DE MANIPOSTERÍA

8.4.1 Consideraciones generales

Las estructuras con muros de carga de manipostería basan suseguridad sísmica en la resistencia a carga lateral proporciona-da por una muy elevada área transversal de muros en cadadirección. No puede contarse en este caso con grandes defor-maciones inelásticas de la estructura para disipar la energíaintroducida por el sismo. Por tanto, los factores de compor-tamiento sísmico que permiten reducir las fuerzas elásticas sonbastante reducidos (de dos como máximo) y reflejan la limita-da capacidad de deformación inelástica que puede alcanzar lamanipostería.

Por lo anterior, no se imponen a estas estructuras requisitos de ductilidad par-ticularmente severos. Sin embargo, se requiere de cierto refuerzo que reduzca laposibilidad de fallas frágiles.

El refuerzo que se requiere en los muros de manipostería tiene la finalidadprimordial de ligar entre sí los elementos estructurales (muros en una direccióncon los de la dirección transversal, muro de un piso con la losa y con los de lospisos adyacentes entre sí) propiciando un trabajo de conjunto de la estructura yevitando la posibilidad de que los muros se separen como en un castillo denaipes.

En segundo lugar, el refuerzo debe proveer a la manipostería de cierta resis-tencia a tensión (sea por flexión o por cortante) para subsanar la baja resistenciaque la manipostería tiene a este tipo de esfuerzos. Finalmente, el refuerzo debeproporcionar cierto confinamiento a los muros para mantener su capacidad de car-ga después de su agrietamiento.

Los requisitos de refuerzo son relativamente sencillos y no se apartan muchode la práctica generalmente adoptada para este tipo de estructuras.

8.4.2 Manipostería confinada

Este tipo de estructura se caracteriza por los elementos de concreto que rodeanlos paneles de manipostería, y que se conocen como castillos y dalas. La norma

b) Unión entre diagonales.

Figura 8.24 Uniones típicas decontravientos.


298

Figura 8.25 Elementos derefuerzo en muros de mani-postería confinada.

/ i i i

Muro demanipostería

Castillo

Dala en todo extremo demuro y a una distanciano mayor de 3 m

a) Distribución de dalas y castillos en elevación.

L < 4 mCastillos en toda interseccióny extremo de muros y a unaseparación no mayor que 4 m

b) Distribución de castillos en planta.

de manipostería tiene disposiciones precisas acerca de la distribución de estoselementos, de sus propiedades geométricas y de su refuerzo. Estos requisitos sepresentan esquemáticamente en las figuras 8.25 y 8.26.

Es importante destacar que se requieren castillos en los extremos de cada muro,en cada intersección de muros y en la periferia de huecos de grandes proporciones.

Acerca del refuerzo de castillos y dalas, éste debe cumplir los requisitos paralos elementos de concreto reforzado, en particular los relativos a traslapo y ancla-je de barras y los de recubrimiento. Las cuantías mínimas especificadas para elrefuerzo longitudinal tienden a lograr cierta resistencia a tensión del castillo, so-bre todo para absorber momentos flexionantes en el plano del muro. También sepretende con ello garantizar cierta resistencia a carga axial del castillo para tomarconcentraciones de carga vertical, así como evitar la falla por deslizamiento de labase del muro por efecto de la fuerza cortante.

Estructuras de manipostería

299

Techo

10£ @ 5 cm

Estribos@20cm

Cadena decimentación 10E @ 5 cm

a ) Refuerzo mínimo de la sección. b) Refuerzo transversal recomendado.

Los estribos de dalas y castillos sirven principalmente para armar, o sea, man-tener en su posición el refuerzo longitudinal; su separación garantiza una contri-bución a la resistencia a fuerzas cortantes. Resulta conveniente que los extremosde los castillos posean una resistencia significativa a fuerzas cortantes para sos-tener la capacidad de carga del muro, una vez que éste se agrieta diagonalmente.Por tal razón, es recomendable que en los dos extremos de cada castillo, en unalongitud de por lo menos 50 cm, los estribos se coloquen a una separación de nomás de la mitad del peralte de la sección.

Para un correcto trabajo integral del castillo y el muro es importante que hayauna buena adherencia entre estos elementos. Deben tomarse medidas en la cons-trucción para lograrlo, como dejar una superficie irregular del borde de muro queva a estar en contacto con el concreto de los castillos.

Hay que tener en cuenta, por otra parte, que las cuantías mínimas de refuer-zo longitudinal especificadas para los castillos pueden ser muy inferiores a lasnecesarias para resistir los momentos flexionantes que resultan de un análisissísmico refinado de la estructura. Por ello, es conveniente en estructuras de va-rios pisos hacer estimaciones, aunque sean aproximadas, de los momentos devolteo en los muros y calcular el refuerzo necesario en los castillos para resistirdichos momentos.

8.4.3 Manipostería reforzada

El acero de refuerzo en esta modalidad estructural pretende cumplir objetivossemejantes a los que tiene en la manipostería confinada. En este caso, en lugar de

Figura 8.26 Refuerzo mínimode dalas y castillos.


300

Figura 8.27 Requisitos de re-fuerzo para manipostería refor-zada.

Ph, Pv s 0.0007

Ph, Pv a 0.0020

6(60cm

concentrar el refuerzo en elementos periféricos, éste se distribuye en el tablero, yqueda embebido en los huecos de las piezas o en las juntas.

Los requisitos mínimos para el refuerzo vertical y horizontal de la manipos-tería reforzada se presentan esquemáticamente en la figura 8.27. Las cuantíasde refuerzo son moderadas y no proporcionan una contribución significativa ala resistencia del muro a fuerza cortante. La especificación deja un margenamplio para distribuir la cuantía total entre refuerzo vertical y horizontal. Paraasegurar resistencia a flexión del muro y contar con suficiente acero verticalpara conectar el muro con las losas, es recomendable colocar dos terceras partesde la cuantía total en dirección vertical y el restante en la horizontal. Para lograrque el refuerzo horizontal pueda proporcionar ductilidad al muro es necesariocolocar una cuantía refuerzo horizontal igual a 0.0007, según recomienda lasección 4.3.2 de las Normas Técnicas de Manipostería. Cuando se cuente coneste refuerzo puede incrementarse la resistencia a fuerza cortante de diseño en25 por ciento.

El refuerzo mínimo especificado no garantiza una ductilidad elevada delos muros. Por ello, el factor de comportamiento sísmico especificado por elreglamento es muy reducido, Q — 1.5, teniendo en cuenta que las piezas hue-cas que se usan para este tipo de manipostería son más frágiles que las maci-zas. Puede lograrse una ductilidad mucho más significativa si se aumentan lascantidades de refuerzo horizontal y vertical y si se llenan todos los huecos conconcreto.

Un aspecto crítico de esta modalidad de manipostería es la correcta coloca-ción del refuerzo en cuanto a su posición y a su recubrimiento, lo cual requiere eluso de piezas especiales, como las mostradas en la figura 8.28, que cuenten conlos ductos adecuados para colocar el refuerzo. Es particularmente crítica la si-tuación del refuerzo horizontal. En México, es costumbre colocarlo dentro de lasjuntas de mortero y no son fácilmente accesibles las piezas especiales. Es difícillograr el recubrimiento adecuado en esta forma (una vez el diámetro de la barrao 1 cm).

Estructuras de mamposterfa

301

Refuerzo en la junta

V

Refuerzo vertical

Pieza especial pararefuerzo horizontal

Pieza especial paracolocación de refuerzohorizontal

Hueco vertical colado conconcreto con resistencia delechada

Para que esta manipostería tenga usos estructurales importantes, como su-cede en otros países, es necesario contar con las piezas adecuadas, capacitar alos obreros para su adecuada construcción y contar con una estricta supervisiónpara garantizar el correcto colado de los huecos y la apropiada posición delrefuerzo.

Figura 8.28 Modalidades decolocación del refuerzo horizon-tal en manipostería confinada.

Elementos noestructurales

C a p í t u l o

9

9.1 CONCEPTOS GENERALES

Gran parte del daño económico causado por sismos importantes que han afectadocentros urbanos se debe a costos de reparación o reposición de aquellos elementosde las construcciones que se considera no forman parte de su estructura resistente.Entre éstos pueden distinguirse, por una parte, los equipos e instalaciones alojadospor la construcción y, por otra, los elementos arquitectónicos como paredes divi-sorias, puertas, ventanas, recubrimientos, fachadas, plafones, etcétera.

Uno de los dos objetivos fundamentales de un correcto diseño sísmico es-tablece que debe procurarse evitar el daño no estructural causado por sismosmoderados que pueden presentarse varias veces durante la vida útil de la cons-trucción. Para cumplir dicho objetivo, los códigos estipulan desplazamientos la-terales admisibles para el sismo de diseño. Los valores que fijan los códigos paralos desplazamientos admisibles son de manera ficticia muy superiores a los que lamayoría de los elementos no estructurales son capaces de soportar sin daño. Loanterior obedece a que no se pretende que dichos elementos toleren sin dañoalguno el sismo de diseño, sino que se busca que no haya daño no estructuralsólo para sismos de intensidad muy inferior a la de diseño; en lugar de definirun sismo de menor intensidad para el cual deben revisarse las deformaciones la-terales, se incrementan las deformaciones admisibles bajo el sismo de diseño.

Para limitar las deflexiones laterales a los valores admisibles, debe propor-cionarse rigidez lateral suficiente a la construcción en su totalidad ycuidar que la forma y los detalles de la estructura sean tales que no denlugar a amplificaciones locales de las deformaciones. En la figura 9.1 seilustran los desplazamientos laterales que hay que controlar, así comolas dos situaciones que considera el RCDF: el caso A en que hay ele-mentos no estructurales ligados a la estructura de manera que están obli-gados a seguirla en su deformación y el caso B en que los elementos noestructurales están conectados a la estructura de manera que ésta pue-de vibrar y deformarse libremente sin introducir distorsiones en loselementos no estructurales, en este caso representados por un murodivisorio. El reglamento admite en el primer caso un desplazamiento re-lativo 4; = 0.006 y en el segundo ty = 0.012.

ir

A: muro integrado a la estructura

B: muro separado de la estructura

- — = Distorsión del entrepiso

=0.006 Caso A

*adm =0.012 Caso B

Jl II

D

Figura 9.1 Distorsiones admisi-bles de entrepiso.

Elementos no estructurales

Además de la revisión de los desplazamientos laterales de la estructura, elcuidado de los elementos no estructurales debe incluir:

a) La revisión de las fuerzas de inercia que se inducen en los elementosdebido a su propia masa y que pueden causar su falla o volteo local.

b) La revisión de las holguras y detalles necesarios para que los elementos noestructurales se comporten en la forma supuesta en el diseño.

Estos dos problemas se tratan en los incisos siguientes de este capítulo.Gomo lecturas adicionales sobre este tema se recomienda el texto de Gupta

(1990) y el capítulo de Sabol (1989) en el manual editado por Naeim.

9.2 MÉTODOS DE DISEÑO

El procedimiento especificado por el reglamento se refiere a apéndices, es decir,a aquellas partes de la construcción que ya sea no forman parte de la estructura otienen una estructuración radicalmente diferente que la estructura principal; secubren tanto apéndices estructurales (tanques, torres, etcétera) como equipos yelementos arquitectónicos en los que se requiera revisar su estabilidad ante sismo.

Las acciones sísmicas en un apéndice dependen del movimiento del terrenoy de la interacción dinámica entre el edificio y el apéndice. Dicha interacción escompleja, especialmente al considerar el comportamiento inelástico que seadmite para la estructura principal bajo el efecto del sismo de diseño.

El problema se muestra esquemáticamente en la figura 9.2. Por tener el apén-dice características de masa y estructuración radicalmente diferentes a las de la estruc-tura principal, su respuesta sísmica no puede predecirse con los métodos de análi-sis estático o dinámico por espectro de respuesta estipulados por el reglamento.

La forma correcta de determinar las fuerzas que se inducen en el apéndice,implica obtener las características del movimiento al que está sujeto el piso sobreel que está desplantado (o del que está colgado) y analizar para ese movimientola respuesta del apéndice, el cual se puede idealizar generalmente como un sis-tema de un grado de libertad. Esto puede hacerse incluyendo el apéndice en el

Figura 9.2 Vibración de unapéndice

Estructuraprincipal

\e /

H

JP. 1 í —i .Af t A —^" w y i | v *

Movimiento de labase del apéndice

h, "t

MÍ « H Í A nf-.

rEspectro de piso

i

Movimiento de la Espectro de diseñobase del edificio para estructura

desplantada sobreel terreno

Métodos de diseño

modelo de la estructura principal y realizando un análisis dinámico del conjunto.Debido a que el apéndice tiene usualmente masas mucho menores que las de la es-tructura, la solución del modelo conjunto suele presentar dificultades numéricas.Además, es frecuente que en la etapa de diseño no se conozcan en detalle lascaracterísticas del apéndice. Por tanto, cuando la masa del apéndice es despre-ciable con respecto a la de la estructura, es preferible realizar primero el análisisde ésta ignorando el apéndice, o a lo más incluyendo su masa en la del piso en quese apoya. De esto se obtiene el movimiento de la base del apéndice, sea en fun-ción de una aceleración máxima, de un acelerograma, o de un espectro de ace-leraciones. Este resultado se usa como excitación para un modelo del apéndiceque se analiza por separado.

Para evitar las complicaciones que implican los procedimientos anteriores, losreglamentos aceptan que para edificios comunes, el diseño sísmico de los apén-dices se realice con coeficientes sísmicos fijados en forma convencional y que,multiplicados por el peso del apéndice, proporcionan una fuerza lateral estáticaequivalente que se considera aplicada en el centro de gravedad del apéndice.

El RCDF fija un procedimiento que toma en cuenta en forma simplificadalos factores que definen la acción sísmica en el apéndice. En la sección 8.2de las Normas de Diseño por Sismo se especifica que debe determinarse la dis-tribución de fuerzas que actuaría en el apéndice si éste estuviera apoyado direc-tamente sobre el suelo; si el apéndice se puede idealizar como un sistema de unamasa concentrada en su centro de gravedad, esta fuerza vale:

c Wc - "

Qa

siendo c0 el coeficiente sísmico que corresponde a la zona de subsuelo en cues-tión, según el artículo 206; Wap es el peso del apéndice y Qap el factor decomportamiento sísmico aplicable, según la forma en que está estructurado elapéndice. En este paso no es posible hacer alguna reducción de la fuerza sísmicaconsiderando el periodo de vibración del apéndice, debido a que esa reducción sebasa en la forma del espectro del movimiento del terreno y aquí lo que deberíaemplearse es el espectro del movimiento del punto de desplante del apéndice;como la forma de dicho espectro no se conoce, se opta de manera conservado-ra por no hacer reducciones por este concepto. En caso de que el apéndice tengauna estructura más compleja, deberá determinarse la distribución completa defuerzas, incluyendo, cuando proceda, los efectos de torsiones o de amplificacio-nes por funcionar como péndulo invertido, antes de proceder a las correccionessiguientes:

La fuerza o fuerzas determinadas con el procedimiento anterior, deberán mul-tiplicarse por el factor.

en que c' es el coeficiente por el que se multiplican los pesos a la altura de des-plante del apéndice cuando se calculan las fuerzas en la estructura principal. Enun análisis estático, se obtiene en general


306

c =c

~&s

Figura 9.3 Algunos casos quedeben tratarse como apéndices.

77J7T

en la expresión anterior W¡ es el peso del nivel de interés y h¡ su altura meaidadesde el desplante de la construcción; Qes es el factor de reducción por ductilidadque corresponde a la estructuración principal.

El coeficiente 1 + 4c'/c representa un factor de amplificación dinámica quevale uno para un apéndice desplantado a nivel de terreno y tiende a 4c'/c a medi-da que la altura de la construcción crece.

Con las fuerzas resultantes del procedimiento anterior, se procede al análisisestático del apéndice y a su diseño con los métodos convencionales.

El procedimiento debe aplicarse, por ejemplo, al diseño de los elementos derefuerzo de un muro divisorio aislado de la estructura principal, colocado en unpiso superior de un edificio; al diseño de las anclas de un equipo fijado a una losade un edificio, así como al diseño de un tanque desplantado en la azotea de unaconstrucción. Estos ejemplos se ilustran esquemáticamente en la figura 9.3.

Debido a que en general los apéndices son estructuras isostáticas, o conpoca redundancia, no tienen gran capacidad de disipación inelástica de energía

y conviene adoptar para sudiseño un factor de compor-tamiento, Qap = 1; sólo se jus-tifica un valor mayor cuandosu estructura sea claramentedúctil.

7/7/T

Anclas

a) Tanque de agua en azotea (revisiónde columnas por flexocompresión).

b) Equipo anclado a losa de un pisosuperior (revisión de las anclaspor cortante y tensión).

L_

I "V.--1-

Wap = peso del muro

l+4c 'c) Muro divisorio (revisión de volteo).

9.3 DETALLES PARAAISLARELEMENTOSARQUITECTÓNICOS

Las características de los ele-mentos arquitectónicos que seespecifican en un proyecto, ylos detalles con que éstos sefijan a la estructura, deben sercongruentes con el criterio conque se ha diseñado la estruc-tura y deben tener en cuentalos efectos sísmicos a los queestos elementos no estructu-rales van a estar sujetos. Hayque prever que, aunque di-chos elementos se designencomo no estructurales, puedensufrir solicitaciones duranteun sismo, debidas por una par-te a las fuerzas de inercia quese generan por su propia masa

Detalles para aislar elementos arquitectónicos

y por otra, a las deformaciones inducidas por la estructura con la que están encontacto al desplazarse por efectos del sismo.

En general, se tienen dos opciones en cuanto a la protección sísmica de loselementos arquitectónicos: una consiste en desligarlos de la estructura principalde manera que las deformaciones de ésta no les afecten, y la otra en ligarlos a laestructura, pero limitando los desplazamientos de ésta a valores que no produz-can daños en los elementos no arquitectónicos; sin embargo, ambas opciones pre-sentan dificultades apreciables.

Al desligar un elemento no estructural (muro, recubrimiento, ventana, etcé-tera) de la estructura principal, deben preverse detalles que aseguren su estabili-dad ante los efectos del sismo y ante otras acciones como cargas vivas o vientoque pueden producir vibraciones molestas en dichos elementos desligados.Además, deben cuidarse otros requisitos de funcionamiento de la construccióncomo el aislamiento térmico y acústico, la estanqueidad y la apariencia. Con fre-cuencia resulta costoso cumplir simultáneamente todas estas condiciones.

Cuando no se desligan los elementos arquitectónicos, hay que revisar, poruna parte que su presencia no afecte de manera desfavorable el comportamientode la estructura al interactuar con ella, y por otra, que los desplazamientos queésta sufra no sean excesivos. En general, esta solución es conveniente para estruc-turas con alta rigidez lateral que no se ve alterada por la interacción con los ele-mentos no estructurales y que da lugar a bajos desplazamientos laterales.

A continuación se mencionan las precauciones más convenientes para algu-nos elementos usuales.

a) Muros divisorios

Estos elementos son los que han causado mayores problemas en edificios de cier-ta altura y que presentan mayores dificultades para encontrarles una solución ade-cuada.

La modalidad más frecuente en nuestro medio es todavía la de construir lasparedes divisorias y de colindancia a base de muros de manipostería de tabi-que, bloque de concreto u otras piezas de características semejantes. Por una par-te, esta manipostería da lugar a muros muy rígidos que tienden a trabajarestructuralmente y absorber una fracción importante de las fuerzas sísmicas; porotra parte, se trata de materiales en general muy frágiles que sufren daños paradeformaciones pequeñas. Es necesario tomar precauciones especiales con losmuros de este material. Otros materiales que se emplean cada vez con mayor fre-cuencia en edificios son a base de armazones metálicas o de madera y derecubrimientos de yeso o de triplay; estas paredes son mucho más flexibles yofrecen mejores posibilidades de ser protegidas contra daños por sismo.

Cuando se opta por integrar los muros a la estructura y éstos son de mate-rial rígido (como la manipostería), es necesario considerarlos como elementosestructurales. En el capítulo 2 se han especificado procedimientos para consi-derar la interacción entre estos muros y la estructura principal. Deberá revisarseque las deformaciones laterales de la estructura queden dentro de los límitestolerables para este caso (\\i = 0.006) y que los esfuerzos que se inducen en lamanipostería no excedan su resistencia. Un problema que presenta esta opciónes que la localización de los muros puede ser poco favorable para la respuestasísmica de la estructura, y dar lugar a excentricidades en planta muy elevadasque inducen torsiones importantes en la estructura principal y en los muros mis-


Figura 9.4 Efecto de unacolumna corta en muro diafrag-ma de altura incompleta.

Figura 9.5 Una manera de colo-car una pared flexible junto aelementos estructurales.

mos. Esto es particularmente grave cuando existen muros de colindancia enedificios de esquina.

Otro problema que debe preocupar al proyectista es la posibilidad de remo-ción o de cambio de posición de los muros durante la vida de la construcción.Como estos elementos son considerados generalmente no estructurales, los pro-pietarios o usuarios del inmueble proceden con frecuencia a redistribuciones delespacio interior de los distintos pisos, las que dan lugar a posiciones de muros quepueden resultar en distribuciones de efectos sísmicos radicalmente distintas de lasque se consideraron en el diseño.

La integración de los muros divisorios a la estructura es más apropiada cuan-do se trata de estructuras rígidas (ya sea marcos robustos de pocos pisos o estruc-turas con muros de rigidez de concreto o con arriostramientos). En este caso larespuesta sísmica es poco sensible a la presencia de los muros divisorios y susdesplazamientos laterales son pequeños y no provocan daños en dichos muros.Un problema especial de la integración de los muros a la estructura se presentacuando el muro no abarca la altura total de entrepiso; aquí el muro rigidiza almarco haciendo que este elemento absorba una porción importante de la fuerzasísmica; esta fuerza tiene que ser resistida totalmente por la parte descubierta dela columna, provocando con frecuencia su falla por cortante (figura 9.4). Serecomienda en estos casos proteger las columnas con abundante refuerzo por cor-tante. Resulta mucho más conveniente, sin embargo, separar estos muros de laestructura principal, evitando la interacción tan desfavorable.

Fuerza lateral

Zona críticade la columna

Hueco

Cuando las paredes que se pretenden integrar a la estructura son de tipo fle-xible, su interacción con la estructura es menos crítica, pero debe seguirse cuidan-do que los desplazamientos laterales no las afecten. Una solución que presentaventajas es la de detallarlas para que fallen en zonas locales controladas, de ma-nera que sean fácilmente reparables; un ejemplo se muestra en la figura 9.5.

Para aislar los muros de la estructura es necesario proporcionar una holguragenerosa entre el muro yla estructura principal; esrecomendable una separa-ción mínima del orden de2 cm. Debe haber separa-

Recubrimiento rempiazable ' CÍÓn tanto COn respecto a

las columnas y otros ele-

Pared flexible


309

Muro r- Holgura Holgura Paño de losa

*- Columna

1

Paño de losa

Paflo de losa

Holgura

Terraza o marquesina

Se requiere sellar la holgura con un material deformable

mentos estructurales verticales, como con respecto a la losa (o viga)superior. En el primer caso puede convenir colocar los muros diviso-rios fuera de los ejes de columnas (figura 9.6). Esta solución presentaventajas en el comportamiento estructural, pero suele traer complica-ciones en cuanto al uso del espacio arquitectónico.

Para asegurar la estabilidad del muro contra el volteo, y a suvez permitir el libre movimiento de éste con respecto a la losasuperior, existen diversos procedimientos eficaces y sencillos.Éstos se ilustran en las figuras 9.7 y 9.8. Para muros de mam-postería la solución más usual es reforzando con castillos o conrefuerzo en el interior de bloques huecos, diseñado para que tomelos momentos de volteo del muro. Otras soluciones consisten enguiar arriba el muro mediante ángulos o canales, o mediante guíasque entran en muescas preparadas en la losa.

Losa superior

Muesca dejadaen la losa

TTT r

. _rs_

•fj

Refuerzo<-""" del castillo

_ h —

r~\) Castillos.

b) Guías de ángulo. c) Espigones en muescas

dejadas en la losa.

Figura 9.6 Posibles disposi-ciones de muros en planta paradesligarlos de la estructura.

Muro de fachada

Anclajes

Placa

Material flexible

Cortar armado

Figura 9.7 Detalles para desli-gar un muro de fachada.

Figura 9.8 Algunos proce-dimientos para desligar murosde manipostería.


310

Figura 9.9 Detalles para desli-gar muros divisorios de la es-tructura (referencia 72).

Sellador

\o de esquina

Soporte verticalde metal

Capa atenuadora

XXXXXiOTffiffi

VISTA VERTICAL

Refuerzo de esquina

SECCIONES EN PLANTA

El problema principal de estas soluciones es que las holguras que se dejan entremuro y losa y entre muro y columna deben sellarse para proporcionar aislamientotérmico y acústico, y a la vez permitir colocar los recubrimientos o acabados ade-cuados. Cuando se trate de muros de manipostería, lo más indicado es el relleno dela junta con un material a la vez muy flexible y aislante; el material más apropiadoal respecto es probablemente la espuma de poliestireno. Otros materiales frecuen-temente empleados son demasiado rígidos o se vuelven rígidos con el tiempo.

Para muros divisorios ligeros con armazón y recubrimiento, así como paracanceles, existen detalles relativamente sencillos que dependen de la forma cons-tructiva particular empleada. Algunos ejemplos se muestran en la figura 9.9.

b) Recubrimientos y ventanas

El criterio expuesto anteriormente acerca de la elección entre integrar estos ele-mentos a la estructura o separarlos, sigue siendo válido.

Las fachadas prefabricadas de concreto deben proveerse de detalles y holgurasque aseguren que no sean afectadas por los movimientos laterales de la estructura.Además, los procedimientos de fijación de estas fachadas a la estructura principaldeberán diseñarse cuidadosamente para evitar su falla por efecto de sismo.

Los recubrimientos de piedras naturales o artificiales resultan propensos adespegarse por las deformaciones laterales de la construcción. Conviene proveerelementos que proporcionen un amarre mecánico de estas piedras con la estruc-tura, y dejar holguras en el revestimiento y en las paredes que lo soporten paraque éstas no interactúen con la estructura al ocurrir deformaciones laterales. Esrecomendable también, cuando se empleen estos revestimientos, limitar los des-plazamientos laterales admisibles de la estructura (4« = 006). Es convenienteademás, cuando se usen revestimientos muy pesados en fachadas, contar con unamarquesina que proteja al transeúnte de la caída de alguna de estas piedras. Loanterior vale también para otros elementos ornamentales que se colocan enfachadas y que deben asegurarse cuidadosamente a la estructura.

Los recubrimientos muy frágiles deben evitarse en escaleras, porque susparedes están muy expuestas a sufrir deformaciones importantes por efectossísmicos. También en esos lugares deben evitarse recubrimientos muy pesa-


dos cuya caída pueda herir o impedir el paso a quienes tengan que utilizarlos encaso de un sismo.

Los recubrimientos deberán detallarse con remates especiales o tapajuntaspara no interferir con las holguras que se hayan dejado para separar una pared dela estructura principal.

La rotura de vidrios es una de las consecuencias más frecuentes de sismos deintensidad moderada o grande. Deberá proveerse la holgura necesaria ya sea entrevidrio y ventaneria o entre ésta y la estructura. Esta holgura deberá estar rellenade un material (mástique o sellador) que mantenga su flexibilidad con el tiempo.Según el RCDF, la holgura mínima admitida es

c =2(1 +blh)

en que i|> es la distorsión lateral de la estructura admitida en el diseño, y b y h sonel ancho y el alto del vidrio, respectivamente. (Véase figura 9.10.)

311

/ Mangúete

J

D

\ Mástique

•• Vidrioj Grapa

PN — Holgura, c

CORTE

Figura 9.10 Hoguras entrevidrio y mangúete.

Detalle alternativoen extremo libre

c) Falsos plafones

Los plafones colgados del techo sonelementos que pueden causar seriosdaños a los ocupantes durante unsismo, especialmente cuando son abase de elementos pesados. El primerrequisito es que deben estar asegura-dos al techo de manera muy firme; elsegundo es que deben existir holgurasal menos perimetrales para evitaresfuerzos en su plano que tiendan azafar los elementos del plafón. Lafigura 9.11 muestra un detalle conveniente.

Deben tenerse precauciones especiales con los plafones de materiales pesadoscomo yeso y madera, donde conviene rigidizar tableros de plafón cada cierto in-tervalo para evitar su distorsión y la caída de piezas. Asimismo, deben tenerseprecauciones semejantes para aquellos equipos que cuelguen del techo, como lám-paras. Se les debe proporcionar un anclaje seguro y en muchos casos cierta rigidezhorizontal para evitar excesivas vibraciones que pueden provocar la ruptura ocaída de materiales.

Soporte flexible

Estructura

Plafón

Restricción —

— Ángulo de remate

Figura 9.11 Detalles de la pe-riferia de techos suspendidospara prevenir golpeteo y movi-mientos excesivos.

d) Anaqueles y mobiliario

Conviene que los muebles altos que estén adosados a las paredes se fijen alas mismas para evitar su volteo. También deben restringirse contra el volteo losanaqueles altos, como los que se usan en bibliotecas. En estas últimas resulta sen-cillo ligar entre sí varios anaqueles en su parte superior por medio de ángulosmetálicos u otros elementos rígidos.

Particulares precauciones deben tenerse para proteger los objetos de arteexpuestos en museos, tanto en lo relativo a la protección de los muebles enque están colocados como en lo que respecta a su fijación dentro del mueble.

312Elementos no estructurales

9.4 EQUIPO E INSTALACIONES

Figura 9.12 Cruce de tuberíarígida por juntas de construc-ción.

Para equipo costoso y sensible a vibraciones debe tenerse particular cuidado enelegir la posición dentro del edificio, los elementos estructurales a los que debefijarse y los dispositivos de fijación. En sismos recientes, han sido especialmenteseveros los daños a equipo de telecomunicaciones y de cómputo.

Los equipos mecánicos vibratorios, como generadores eléctricos de emer-gencia, se montan generalmente como apoyos flexibles con el fin de evitar quetransmitan vibraciones a la estructura y produzcan ruido molesto a los ocupantes.Estos apoyos tienden a eliminar vibraciones de alta frecuencia y en general noson muy efectivos para filtrar las vibraciones de frecuencias relativamente bajasque el movimiento de la estructura introduce al equipo durante un sismo.

Para equipo particularmente critico, puede convenir el empleo de apoyos diseña-dos para proporcionar aislamiento y amortiguamiento de las vibraciones introduci-das por la estructura; por ejemplo, con placas de neopreno con un tubo de plomo.

En general, deberán diseñarse las anclas de estos equipos para evitar la fallapor cortante o por volteo. Se usarán los métodos simplificados especificados porlas normas. En casos de estructuras industriales importantes, resulta necesariorealizar un análisis sísmico detallado del equipo recurriendo al concepto delespectro de piso, es decir, teniendo como excitación el movimiento esperado enla parte del edificio sobre el que está apoyado.

Debe considerarse la posibilidad de usar elementos de rigidización o de fi-jación en la parte superior de los equipos para evitar su volteo durante un sismo.

La mayoría de los tubos y duelos usados en los edificios son suficientementeflexibles para absorber las deformaciones de la estructura durante un sismo.Cuando no lo sean, deberán proveerse tramos flexibles o juntas especialescapaces de rotación o deformación axial. Cuando estas tuberías tienen que cruzarcuerpos separados de un edificio por las llamadas juntas de construcción o juntassísmicas, es necesario proporcionar tramos deformables, con algún dispositivocomo los mostrados esquemáticamente en la figura 9.12. El problema es particu-larmente crítico cuando se trata de tubos de material rígido, como el concreto, ypara los de gran diámetro.

Muros

Desviación paraabsorber deformaciones

Perforaciónpara el ducto

Tramo de materialflexible y con capacidadde deformación axial

Junta de construcción

PLANTAS

a) Solución con tramo flexible b) Solución con desviación

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