TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

WILSON ANDRES CARDENAS PINZON

1.022.381.170

LADY PAOLA CUEVAS

CC: 1.030.589.228

ANDREA MILENA PERDOMO MADRIGAL

1.030.621.541

GRUPO: 100411_34

DIRECTOR

WILSON IGNACIO CEPEDA

CALCULO INTEGRAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECBTI

BOGOTA D.C

MAYO DE 2016

INTRODUCCION

El presente trabajo busca dar a conocer los principios de la integración y analizar las diferentes técnicas de integración basándose en diferentes ejercicios que permitirán aplicar y dar a conocer este tema, se espera que mediante análisis de gráficas, se pueda hallar el área, volumen, longitud de una curva y longitud de un arco, para así crear un nuevo conocimiento al lector y brindarle de esta forma nuevas opciones para un mayor desarrollo intelectual con estas nuevas herramientas de la matemática.

A continuación se iniciaran los respectivos ejercicios con su procedimiento aplicando las diferentes fórmulas de integración conocidas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

1. Hallar el área situada entre las curvas y=x−1 e y=2 x3−1entre, x=1yx=2

A=∫1

2

[ (2 x3−1 )−( x−1 ) ]dx

A=∫1

2

(2 x3−1−x+1 ) dx

A=∫1

2

2 x3−x

A=2 x4

4− x2

2

A=2 (2 )4

4−

(2 )2

2; A=2

4− 1

2

A=324

−42

; A=24−1

2

A=8−2−0A=6u2

2.

Hallar al área de la región limitada por las gráficas de f ( x )=x3−3 x+2 y g ( x )=x+2

x3−3 x+2= x+2x3−3 x+2−x−2=0

x3−4 x=0

x ( x2−4 )x=0

x2−4=0x=0

(x+2)( x−2)=0

x=0x=−2x=2

∫−2

0

( x¿¿3−3 x+2¿) – (x+2)+∫0

2

( x+2 ) – (x3−3 x+2)¿ ¿

∫−2

0

x3−3 x+2−x−2+∫0

2

x+2−x3+3 x−2

∫−2

0

x3−4 x+∫0

2

−x3+4 x

x4

4−4 x2

2+−x4

4+ 4 x2

2x4

4−2 x2+−x4

4+2 x2

4+4=8u2

3. La región limitada por la grafica y=x3 , el eje X y x=12 se gira alrededor del eje X.

Hallar el área de la superficie lateral del solido resultante

Para hallar el área de la superficie lateral del solido resultante, debemos desarrollar la siguiente formula:

A=2π∫a

b

y √1+( y ')2 dx

Determinamos y’y '=3 x2

Ahora resolvemos la ecuación de ( y¿¿ ')2 ¿y '=9 x4

Una vez determinada ( y¿¿ ' )2 ¿ y teniendo en cuenta el valor de y se procede a remplazarse

dentro de la ecuación A=2 π∫0

12

x3√1+9 x2dx

Aplicamos la regla de integración por sustitución

u=1+9 x4 d u=36 x3 dx d x=du36

Nuevamente Remplazamos

I=2π36 ∫

0

12

√udu=

2π36

∗2

3u

32

I= π27

u32

Desarrollamos x para x=0 hasta x=12

A=π27 [1+9( 1

2 )4]

32

A=0,11u2

4. Hallar la longitud de la curva cos x=e y, para x entre π6

y π3 .

Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de solidos de revolución, momentos o centros de masa.

Formula integral de la línea

L=∫a

b

√1+( y ' )2 dx

Se despeja cos x=e y y se realiza la respectiva derivación

y= ln [cos(x )]

y '= 1cos( x)

[−sen(x )]=−tg (x)

√1+( y ' )2=√1+[−tg ( x ) ]2= 1cos ( x )

L=∫π6

π3

dxcos ( x )

∫ dxcos ( x )

=ln [ sen(x )+tg (x ) ]

L=ln [sen ( π3 )+ tg( π

3 )]−ln [sen( π6 )+tg( π

6 )]=0,77 u2

5. Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y2=8 x y la ordenada correspondiente a x=2 con respecto al eje x, como lo muestra la figura.

SOLUCION:

A. Parte 1El volumen de un cuerpo de revolución engendrado por la gráfica de f(x) girando alrededor del eje X entre x=2 y x=b es

π∫a

b

[ f (x )]2dx

Y eso mismo para g(y) alrededor del eje Y entre y = a y b es:

π∫a

b

[g ( y) ]2 dy

Debemos poner la función de y como función de xy2=8 xy=√8 xUna vez determinado la función remplazamos los valores dentro de la ecuación

V=π∫a

b

8 xdx=4 π 2|ba

V=4 π (b2−a2)Teniendo en cuenta que el ejercicio no dicen cuáles son los límites, se hará este ejercicio con los limites x=0 y x=2 V=4 π (22−02 ) Resolvemos la ecuación V=4 π∗4=16 π

B. Parte 2Debemos poner la función de x como función de y

x= y8

2

Ahora debemos realizar el cambio de variable para que la recta x=2 sea el eje de ordenadas de la función.A la x = 2 vieja le corresponderá la x = 0 nueva, luego x vieja = x nueva + 2

x+2= y8

2

x= y8

2

−2= y2−168

Remplazamos los valores dentro de la ecuación

V=π∫a

b

( y2−168 )

2

dy

Resolvemos la ecuación

V= π64∫a

b

( y4−32 y2+256)dy

Utilizamos la integral directa

V= π64 [∫a

b y5

5−32 y3

3+256 ]b

a

Resolvemos la ecuación

V= π90 [3 (b5−a5 )−160 ( b3−a3 )+3840(b−a)]

Se va a suponer que la figura cerrada está en el límite por y=-4 e y=4

V= π960

¿

V= π960

(6∗45−320∗43+7680∗4)

V= π960

(6114−20480+30720)

V= π960

(16384)

V=16384 π960

=256 π15

6. El Volumen del Solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y=x2 y y=4, gira alrededor del eje y, es

Establecemos loslimites de integracion como y= x2 entonces x=√ y

R=√ y

v=∫0

4

π (√ y )2 dy

v=∫0

4

πy dy=π∫0

4

y dy

v=π y1+1

1+1=π y2

2

v=π [ ( 4 )2

2−

(0 )2

2 ]v=π [ 16

2−0]

v=8 πu3

7. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de y=x2 , el eje X y la recta x = 2

A=∫0

2

f ( x ) dx

A=∫0

2

x2 dx

A=[ x3

3 ]0

2

A=23

3

A=83

Centroide:

x= 1A ∫

0

2

xf ( x ) dx

x= 183

∫0

2

x x2dx

x=38∫0

2

x3 dx

x= 38 [ x4

4 ]0

2

x=38 ( 24

4 )x=3

8 ( 164 )

x=32

y= 12 A ∫

0

2

[ f (x)]2 dx

y= 12∗8

3

∫0

2

[ x2 ]2dx

y= 1163

∫0

2

x4 dx

y= 316∫0

2

x 4 dx

y= 316 [ x5

5 ]0

2

y= 316 ( 25

5 )y= 3

16 ( 325 )

y=65

Coordenadas del centroide:

( x , y )=(32

, 65 )

8. Hallar el centro de masa (Ce) de un objeto cuya función densidad es: ρ ( x )= x6+2 para

0 ≤ x ≤ 6

Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.

Xcm=∫ x∗d

∫ d

∫ x∗d=∫ ( x )( x6+2)dx=∫( x2

6+2 x)dx= x3

18+x2= 63

18+62=48

∫ d=∫( y )dx=∫( x6+2)dx= x2

12+2 x= 62

12+12=15

Xcm=∫ x∗d

∫ d

Xcm=4815

9. Un objeto se empuja en el plano desde x=0 hasta x=10 pero debido al viento la fuerza que debe aplicarse en el punto x es: F ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia?

D=∫0

10

F ( x ) dx

D=∫0

10

( 3x2−x+10 ) dx

D=( 3 x3

3− x2

2+10 x)

0

10

D=(x3− x2

2+10 x)

0

10

D=103−102

2+10∗10

D=1050 J

10. Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte ½ pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que F=kx.

Como x=0,5 pulgadas cuando F=20 libras, entonces 20=k(0,5) de donde k=40. Luego, F=40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas.

w=∫0

3

40 xdx

w=20 x2|30

w=180 pulgadas−libras

11. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de Q

artículos, está dado por la expresión EC=∫0

Q

D ( x ) dx−QP . El excedente del consumidor de

un producto a un precio de $ 1000 cuya ecuación de la demanda está dada por D ( x )=(x+10)2 es:

Calculamos las Integrales Indefinidas

∫ (10+x )2−1000 Qdx

¿∫ (10+x )2 dx−∫ 1000Qdx

∫ (10+x )2 dx

Aplicamos integracion por sustitucion∫ f ( g ( x ) ) . g ( x ) dx=∫ f (u )du , u=g (x ) u= (10+ x ) du=1 dx

ddx ( (10+x ) )

Aplicamos laregla dediferencia ddx

(10 )+ ddx

( x )

ddx

(10 )

¿0

ddx

( x )

¿1

dudx

=1

¿0+1

¿1

¿∫u2 1du

¿∫u2 du

Aplicamos laregla de la potencia

¿ u2+1

2+1

Sustituimosla Ecuacionu=(10+x )

¿(10+x )2+1

2+1=1

3( x+10 )3

¿ 13

( x+10 )3−1000 Qx

¿ 13

( x+10 )3−1000 Qx+C

Calculamos los Limites

limx→ 0+¿(( 1

3 ) ( x+10)3−1000Qx)=10003

¿

¿

limx→ Q−¿( 1

3 ( x+10)3−1000Qx)= 13 (Q ( (Q−2970 ) Q+300 )+1000 )¿

¿

¿ 13

Q ( (Q−2970 )Q+300 )+1000 ¿−10003

Simplificamos=13

Q ( (Q−2970 ) Q+300 )

12. Si la función demanda es D(q)=1000-0.4q2 y la función oferta es S(q)=42qCalcule el excedente del productor EP

 D(q)=1000-0.4q2 S(q)=42q 

igualamos la oferta y la demanda para hallar un punto de equilibrio

1000-0.4q2 = 42q 0.4q2+42q-1000 = 0 

q= 20 ; q = -125 => q = 20 

reemplazamos 20 en cualquiera de las 2; 

1000- 0.4 (20)2 = 840 este sería el precio 

ahora integramos para hallar el EP 

EP = ∫ 840 - 42q ( integral definida de 0 a 20 ) 

EP = ∫840 - ∫42q 

EP = 840q - 21q2 ( evaluado de 0 a 20) 

EP = 8400 --------------------------------------... 

EC = ∫1000-0.4q2 - ∫840 ( integral definida de 0 a 20 ) 

EC = ∫1000 - ∫ 0.4q2 - ∫840 

EC = 1000q - (0.4/3)q3 - 840q( evaluado de 0 a 20) 

EC = 20000 - (2/15)8000 - 840(20) 

EC = 2133.3 

CONCLUSIONES

- Este trabajo permitió abrir un nuevo conocimiento a este tema tan extenso de las integrales, permitiendo a través de graficas crear nuevos análisis para una mejor comprensión de los diferentes aspectos que pedían hallar en los distintos ejercicios.

- Fue de gran ayuda poder experimentar y manipular las diferentes fórmulas pertinentes que hacían fluir de forma satisfactoria los ejercicios.

- Se logró el objetivo principal que era hallar las áreas y las longitudes de las curvas en cuestión.

- Con el presente trabajo se logró comprender más temáticas relacionadas con el cálculo integral, además los ejercicios propuestos en la actividad ayudaron a desarrollar habilidades en todos los aspectos, investigativos, analíticos y de cómo llegar a la solución de una ecuación siguiente unos pasos claros y definidos apoyado en las fórmulas que los rigen para esta solución.

- Se adquirieron conocimientos de nuevas fórmulas que ayudaron a la solución de cada uno de los ejercicios propuestos en la unidad 3 Aplicaciones de integrales del Curso Calculo Diferencial

- Se logró determinar las regiones de los límites de una gráfica, hallar el área de dos funciones f(x) y g(x), el volumen de una rotación entre otros.

REFERENCIAS

Barnet Raymond A. Matemáticas para Administración y Ciencias Sociales. 2ª Edición. Nueva Editorial Interamenricana S.A. México,1983.

Draper Jean E. & Klingman Jane S. Matemáticas para Administración y Economía. Editorial Harla. México, 1976.

Haeussler Jr Ernest F. & Paul Richard S. Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. 8ª Edición. EditorialPrentice Hall. México, 1997.

Hoffman Lawrence D. Cálculo para Ciencias Sociales y Administrativas. Editorial McGrawHill. Bogotá, 1980.

Benítez, E. (2014, mayo, 12). Sólidos de revolución – Método de discos. [Video]. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Video_tutoriales/Aplicaciones_de_la_integral_Edson_Benitez.mp4

Julio, Profe (2010,mayo,25). Área entre curvas. [Video].Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=0hs3v3lilT8

Julio, Profe (2013,Enero,10). Longitud de una curva. [Video].Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=iCNOdf6xF5I