TRABAJO COLABORATIVO 1

YENNY LIZETH TORRES GONZALEZ

CÓDIGO: 1110116816

GRUPO: 100401_13

JESÚS OMAR VARGAS

TUTOR

UNIVARSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – “UNAD”

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMAS

MÉTODOS NUMERICOS

BOGOTÁ, FEBRERO DE 2016

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se pretende desarrollar de forma individual y colaborativa los contenidos de la unidad 1 del curso de Métodos Numéricos el cual está comprendido por la temática de Exactitud y Raíces de Ecuaciones. En esta Unidad se desarrollaran los contenidos de: Exactitud, Precisión y Redondeo, Método de bisección, Método de la regla falsa, Método de Newton- Raphson, Método iterativo de punto fijo.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas complicadas y que a menudo son imposibles de resolver analíticamente.

DESARROLLO DEL TRABAJO N° 1

1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.

Tipos de errores:

Error Absoluto: es la diferencia entre el valor verdadero de la medida y el valor tomado como exacto (aproximado). Si r* es una aproximación al resultado r, se define el error absoluto como el valor absoluto de la diferencia:

EA = | r- r* |

Error Relativo: El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%). Se define como:

                        , con r diferente de cero.

Error Relativo Aproximado: el error porcentual es simplemente el error relativo expresado en %.

Error por truncamiento: es el resultado al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático.

Error por redondeo: es aquel que resulta de representar aproximadamente una cantidad exacta aumentando o disminuyendo el valor de una magnitud.

Existen dos maneras de representarlos:

I. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras

decimales.

i. Ejemplos: 62.358, 0.013.

II. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos

significativos.

Un instrumento de medida se caracteriza por los siguientes factores:

Exactitud: Se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el valor experimental, de modo que un aparato es tanto más exacto cuanto más aproximado es el valor de la medida realizada al valor verdadero de la magnitud medida.

Precisión: Hace referencia a la concordancia entre varias medidas de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Es por tanto un concepto relacionado con la dispersión de las medidas, de modo que un aparato será tanto más preciso cuanto menor sea la diferencia entre distintas medidas de una misma magnitud

Ejemplos:

Hallar el error absoluto y relativo que se comete en las siguientes aproximaciones:o Aproximar 32,469 por 32,5

Ea=|32,469−32,5|=|−0,031|=0,031

Er=¿0,031/32,469|¿0,002486. .|≈ 0,0025

o Aproximar el resultado de: 36,96 + 0,645 + 7,5 por 85,1

Resultado: 36,96 + 0,645 + 47,5 = 85,105

Ea=|85,105−85,1|=|0,005|=0,005

Er=¿0,005/85,105|¿0,000058750. .|≈0,0001

Hallar el error absoluto, relativo, relativo porcentual de la medida de grosor de un celular de 7,23 milímetros.

Ea=|7,23−7|=|0,23|=0,23

Er=¿0,23/7,23|¿0,03181. .|≈0,03181

Ep=7,23−77,23

∗100=3,181%

2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

Los Métodos que usan intervalos: Son métodos que necesitan dos valores iniciales de la raíz2, para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

Método Definición EjemploGráfico Se grafica la función y se observa dónde

cruza o corta al eje X. Ese punto proporciona una aproximación inicial de la raíz.

Los métodos gráficos tienen un valor limitado, ya que no son precisos. Pero son útiles para obtener aproximaciones a la raíz.

Los valores obtenidos pueden ser usados como valores iniciales en otros métodos numéricos.

Obtenga gráficamente la raíz de la ecuación f(x) = e-x – x

Primero se seleccionan valores inicial y final del intervalo que se va a graficar.

X F(x)0,0 1,0000,2 0,6190,4 0,2700,6 -0,0510,8 -0.3511,0 -0,632

Y luego se grafican los puntos en el eje cartesiano.

Gráficamente se puede observar que el valor donde la curva intersecta el eje X está alrededor de 0,57. Entonces, la raíz será x = 0,57.

De Bisección

O corte Binario, es un método de búsqueda incremental, donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.

La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre el cambio de signo.

El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Es muy parecido a cuando buscamos una palabra en el diccionario. Abrimos el diccionario y evaluamos si la palabra

Use el método de bisección para hallar la raíz de la ecuación f(x) = e-x – x.

El valor real es de 0,567 143 29 Tome un valor inicial de 0 y un valor final de 1.

Considere un error de tres (3) cifras significativas.

estará en las hojas que tenemos en la mano izquierda o en la mano derecha. Depende de esa evaluación, usamos el “intervalo” donde se supone que está la palabra, y abrimos de nuevo. Y así hasta que encontremos la palabra que buscamos.

1. Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la función cambie de signo sobre el intervalo. 2. Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia).3. La primera aproximación se determina con la fórmula.

4. Se evalúa el producto de f(X1)xf(Xr).Si f(X1)x f(Xr) < 0 la raíz está en el 1er subintervalo Xu = XrSi f(X1)x f(Xr) > 0 la raíz está en el 2do subintervalo X1 = XrSi f(X1)x f(Xr) = 0 la raíz es Xr . Fin.5. Se determina el error verdadero y el error acumulado (éste luego de la 2da iteración). 6. Se evalúa el error acumulado. Si es menor o igual al error de tolerancia, Fin. Si es mayor, volver al paso 3.

La raíz de la ecuación es 0,567138672, con un error de 0,04305%, en la 12ª iteración.

De Regla Falsa

Es una versión mejorada del Método de Bisección. Este método une los puntos extremos del intervalo con una línea recta, y la intersección de la misma con el eje “X” proporciona una mejor estimación de la raíz. Al reemplazar la curva de la función, por una recta, da una posición falsa de la raíz. También se conoce como Interpolación Lineal. El Algoritmo es idéntico al del Método de Bisección. Sólo cambia la manera de hallar Xr .

Use el método de Regla Falsa para hallar la raíz de la ecuación f(x) = e-x – x. El valor real es de 0,567 143 29.

Tome un valor inicial de 0 y un valor final de 1. Considere un error de tres (3) cifras significativas.

Algoritmo del Método de Regla Falsa:

1. Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la función cambie de signo sobre el intervalo.2. Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia).3. La primera aproximación se determina con la fórmula

4. Se evalúa el producto de f(X1)xf(Xr).

Si f(X1)x f(Xr) < 0 la raíz está en el 1er subintervalo Xu = XrSi f(X1)x f(Xr) > 0 la raíz está en el 2do subintervalo X1 = XrSi f(X1)x f(Xr) = 0 la raíz es Xr . Fin.5. Se determina el error verdadero y el error acumulado (éste luego de la 2da iteración).6. Se evalúa el error acumulado. Si es menor o igual al error de tolerancia, Fin. Si es mayor, volver al paso 3.

La raíz de la ecuación es 0,567205553, con un error de 0,00976%, en la 5ta iteración

Comparación de Métodos:

El valor real es de 0,567 143 29

Método Raíz Error IteraciónGráfico 0,57 -- --Bisección 0,567138672 0,04305% 12Regla Falsa 0,567205553 0,00976% 5

5. Demostrar que f(x) = x3−4 x2−10 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10−4

6. Usando el Método de la Regla Falsa aproximar la raíz de (𝑥) = 𝑒 −𝑥 (3,2𝑠(𝑥)− 0,5𝑐𝑜𝑠(𝑥)) en el intervalo [1, 2] con ξa = 0,001.

7. Sea la función (𝒙) = (𝒙 𝟐 + 𝟏) − 𝒆 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝝅𝒙), aproximar mediante el Método de Newton-Raphson la raíz f(x) = 0, tomando como valor inicial xo=0.4, con una exactitud de 10-5 .

8. Usar el Método iterativo de punto fijo para aproximar la raíz de (𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 − , comenzando con xo=0, con 4 iteraciones.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Bucheli, C. I. (2013). Métodos Numéricos. Universidad Nacional Abierta y a Distancia – “UNAD”. Pasto.

Burden, R.; Faires, D. Análisis Numérico. ED. Thomson, 6a. ed., 1998.