J u e g o s...N u m r i c o sLos juegos de clculo mental son buenos para desarrollar habilidades numricas y de orden.

Aqu encontrars juegos numricos para estudiantes de cuarto de primaria en adelante.

Juego 1Acomoda estos nmeros en cuatro grupos de dos nmeros cada uno de manera que la suma de los dos nmeros de cada grupo sea igual para los cuatro grupos.

19.... 21.... 35.... 42.... 58.... 65.... 79.... 81

Juego 2Forma con estos nmeros tres grupos de dos nmeros cada uno de manera que si multiplicas los dos nmeros de cada grupo, el resultado sea igual para todos los grupos.

6.... 10.... 14.... 15.... 21.... 35

Juego 3Forma con estos nmeros tres grupos de tres nmeros cada uno, de manera que si multiplicas los tres nmeros de cada grupo el resultado sea el mismo para los tres grupos.

3.... 4.... 5.... 6.... 7.... 8.... 28.... 30.... 35

Juego 4Acomoda estos nmeros en tres grupos de tres nmeros cada uno de manera que la suma de los tres nmeros de cada grupo sea igual para los tres grupos.

11 ... 73 ... 91 ... 35 ... 43 ... 85 ... 63 ... 25 ... 51

Juego 5Cada punta de la estrella tiene un nmero, uno de ellos no tiene que ir ah. El nmero del centro te ayudar a encontrarlo.

. . ...

Juego 6Encuentra un nmero de cuatro dgitos que cumpla las siguientes cuatro cosas:

a) El segundo dgito es dos veces el primer dgito b) El cuarto dgito es tres veces el tercer dgito c) Todos los dgitos son diferentes d) Ninguno de los dgitos son consecutivos

Juego 7Aqu hay cinco igualdades a las que les falta una tarjeta para que se cumplan. Colcalas en su lugar.

Juego 8Encuentra un nmero de dos dgitos y que cumpla:

Es decir, tienes que encontrar un nmero de dos dgitos que al sumarle 1 y dividir el resultado entre 2 te quede el mismo nmero pero volteado.

Juego 9Acomoda estas operaciones en cuatro grupos de dos de manera que las operaciones de cada grupo tengan el mismo resultado.

(85 x 9) + 12 (19 x 12) + 4 (47 x 12) + 3(55 + 3) x 4 (78 x 8) + 8 (48 x 13) + 8 (70 x 8) + 7 (55 + 56) x 7

J u e g o s ...N u m r i c o sSolucin

Juego 1 Primer grupo:

42 y 58Segundo grupo:

19 y 81Tercer grupo:

79 y 21Cuarto grupo:

35 y 65

Juego 2Primer grupo:

6 y 35Segundo grupo:

10 y 21Tercer grupo:

14 y 15

Juego 3Primer grupo:

3, 8, 35Segundo grupo:

4, 7, 30Tercer grupo:

5, 6, 28

Juego 4Primer grupo:

11, 63, 85Segundo grupo:

25, 43, 91Tercer grupo:

35, 51, 73

Juego 5Cada punta de la estrella tiene un nmero, uno de ellos no tiene que ir ah.El nmero del centro te ayudar a encontrarlo.

. . En la estrella del 8 todos son mltiplos de 8 excepto el 266.En la estrella del 9 ninguno es mltiplo de 9 excepto el 279.En la estrella del 11 todos son mltiplos de 11 excepto el 257.En la estrella del 7 ninguno es mltiplo de 7 excepto 245.

...

Juego 6Una posible solucin es 4,826

Juego 7

Juego 8= 7

= 3

Pues (73 + 1) 2 = 37

Juego 9a) (85 x 9) + 12 = (55 + 56) x 7 b) (19 x 12) + 4 = (55 + 3) x 4c) (78 x 8) + 8 = (48 x 13) + 8 d) (47 x 12) + 3 = (55 + 3) x 4 JUEGOS Y TRUCOS ARITMETICOS (Patricio barros y Antonio Bravo)

El domin 1. Una cadena de 28 fichas Por qu las 28 fichas del domin se pueden colocar, cumpliendo las reglas del juego, en una cadena continua? Solucin

2. El principio y el fin de la cadena Cuando las 28 fichas del domin se colocaron formando cadena, en uno de los extremos de sta result haber 5 puntos. Cuntos puntos haba en el otro extremo? Solucin

3. Un truco con el domin Un camarada suyo coge una de las fichas del domin y le propone a usted que, con las 27 restantes, forme una cadena. continua, afirmando que esto siempre es posible, cualquiera que sea la ficha quitada. 1,.1 se va a otra habitacin para no ver la cadena que usted hace. ` Usted empieza su tarea y se convence de que el camarada tena razn: con las 27 fichas puede formar una cadena. Pero su sorpresa es an mayor cuando su camarada, sin salir de la habitacin contigua y sin ver la cadena que usted ha hecho, le dice desde all, el nmero de. puntos que hay en sus extremos. Cmo puede saberlos Y, por qu est seguro de que con 27 fichas cualesquiera del domin se puede formar una cadena continua? Solucin

4. El cuadrado La fig. 269 representa un cuadrado formado con las fichas del domin, cumpliendo las reglas del juego. Los lados de este cuadrado tienen la misma longitud, pero las sumas de los puntos que hay en ellos son distintos: la fila superior y la columna de la izquierda contienen cada una 44 puntos, las otras dos, una 59 y la otra 32.

Figura 269 5. Podra usted hacer un cuadrado de este tipo en el cual todos los lados contengan igual nmero de puntos, es decir, 44 ? Solucin

6. Los siete cuadrados Cuatro fichas de domin pueden elegirse de tal modo que con ellas pueda hacerse un cuadrado, en el que cada uno de los lados contenga la misma suma de puntos. Una muestra puede verse en la fig. 270: sumando los puntos que hay en cada lado del cuadrado, se obtiene 11 en todos los casos.

Figura 270 7. Disponiendo de un juego de domin completo, podra usted hacer, al mismo tiempo, siete cuadrados de este tipo? No se exige que la suma de los puntos de un lado sea la misma en todos los cuadrados. Lo nico que hace falta es que cada cuadrado tenga en sus cuatro lados el mismo nmero de puntos. Solucin

8. Cuadrados mgicos hechos con el domin La fig. 271 muestra un cuadrado de 18 fichas de domin que llama la atencin, porque la suma de los puntos de cualquiera de sus filas, columnas o diagonales es la misma: 73. Los cuadrados de este tipo se llaman mgicos desde muy antiguo. Le proponemos a usted que haga con fichas de domin varios cuadrados mgicos de a 18 fichas, pero cuyas filas, columnas y diagonales de otra suma de puntos. 13 es la suma mnima que pueden dar las filas de un cuadrado mgico formado con 18 fichas. La suma mxima es 23.

Figura 271 9. Solucin

10. Una progresin de fichas de domin En la fig. 272 pueden verse seis fichas de domin, colocadas segn las reglas del juego, que se distinguen entre s en que el nmero de puntos de las fichas (es decir, de las dos mitades de cada ficha) aumenta sucesivamente en una unidad: la serie comienza en el 4 y consta de los nmeros de puntos siguientes: 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Figura 272 11. Una serie de nmeros que aumentan (o disminuyen) sucesivamente en una misma cantidad, se llama progresin aritmtica. En nuestra serie cada nmero es mayor que el precedente en una unidad; pero en una progresin, la diferencia existente entre sus nmeros puede ser cualquiera otra. El problema consiste en componer varias progresiones ms, con seis fichas cada una. Solucin

12. El juego de las 15 o taquin La popular cajita con 15 fichas cuadradas, numeradas, tiene una historia interesante, que pocos de los jugadores sospechan. La referiremos con las palabras del matemtico alemn, investigador de este juego, W. Arens. Hace cerca de medio siglo -a finales de los aos 70 del siglo pasado- apareci en los Estados Unidos el juego de las 15; se propag rpidamente y, debido al incalculable nmero de jugadores asiduos que atrajo, se convirti en una verdadera calamidad social. Lo mismo ocurri por este lado del ocano, en Europa. Aqu podan verse las cajitas con las 15 fichas incluso en manos de los pasajeros de los tranvas de caballos. Los dueos de oficinas y tiendas, desesperados por la aficin de sus empleados a este juego, se vieron obligados a prohibirlo durante las horas laborales. Los propietarios de establecimientos de diversin aprovechaban esta mana para organizar grandes concursos. Este juego penetr hasta en las salas solemnes del reichstag alemn. Como si fuera ahora veo en el reichstag a seores honorables mirando atentamente las cajitas cuadradas que tenan en sus manos -recuerda el conocido gegrafo y matemtico S. Gnther, que era diputado durante los aos de la epidemia del juego. En Pars este juego hall acogida al cielo raso, en los bulevares, y pronto se propag de la capital a todas las provincias. No haba ni una sola casita de campo en donde no anidara esta araa, esperando una vctima propensa a caer en sus redes -escriba un autor francs. En el ao 1880 lleg, por lo visto, la fiebre del juego a su punto culminante. Pero poco despus de esto, el tirano era derribado y vencido por las armas de las matemticas. La teora matemtica del juego descubri que de los numerossimos problemas que pueden proponerse, slo tienen solucin la mitad; la otra mitad es imposible de resolver, cualesquiera que sean los procedimientos que se sigan. Qued claro por qu algunos problemas no cedan ni a los mayores esfuerzos y por qu los organizadores de concursos se atrevan a ofrecer premios enormes a los que los resolvieran. En este sentido super a todos e1 inventor del juego, que le propuso al editor de un peridico neoyorquino, para el suplemento dominical, un problema irresoluble con un premio de 1000 dlares por su solucin; y como el editor se qued dudando, el inventor dijo que estaba dispuesto a aportar la suma sealada de su propio bolsillo. El inventor fue Samuel (Sam) Lloyd, que, adems, se hizo muy conocido como autor de problemas ingeniosos y de multitud de acertijos. Sin embargo, es interesante el hecho de que no pudo patentar en Norteamrica el juego que haba inventado. Segn las instrucciones, para obtener la patente deba presentar el modelo prctico para llevar a cabo la partida de prueba; Lloyd le propuso al empleado de la oficina de patentes resolver un problema, y cuando este ltimo le pregunt si dicho problema tena solucin, el inventor tuvo que responder: No, esto es imposible desde el punto de vista matemtico. En este caso -replic e1 empleado - no puede haber modelo prctico y, sin l, no hay patente. Lloyd se conform con esta resolucin, pero, si hubiera podido prever el xito sin precedentes de su invento, es probable que hubiera sido ms exigente.

Figura 273 13. A continuacin vamos a citar la exposicin que hace el propio inventor del juego acerca de algunos datos de su historia: Los antiguos habitantes del reino del ingenio -escribe Lloyd - recuerdan como a principios de los aos 70 hice yo que todo el mundo se rompiera la cabeza con una cajita, que contena fichas mviles y que recibi el nombre de juego de las 15. El orden de las 15 fichas en la cajita cuadrada era correcto, pero las fichas 14 y 15 estaban trocadas como muestra la ilustracin que se adjunta (fig. 274).

Figura 274 14. El problema consista en, moviendo sucesivamente las fichas, ponerlas en orden, corrigiendo la posicin de las fichas 14 y 15. El premio de 1000 dlares ofrecido por la primera solucin correcta de este problema no lo consigui nadie, a pesar de que se intent sin descanso resolverlo. Se contaban graciosas historias de comerciantes que se olvidaban de abrir sus tiendas y de empleados honorables que se pasaban toda la noche debajo de un farol callejero, buscando la solucin. Nadie quera renunciar a la bsqueda de la solucin, porque todos estaban seguros de que les aguardaba el xito. Se dice que los pilotos, distrados con el juego, encallaban los barcos, los maquinistas se olvidaban de parar el tren en las estaciones, los granjeros abandonaban sus arados.

15. * * *

16. Ahora daremos a conocer a nuestro lector los rudimentos de la teora de este juego. En su forma general esta teora es muy complicada y est ntimamente relacionada con una de las partes del lgebra superior (teora de los determinantes). Nosotros nos limitaremos solamente a ciertos razonamientos expuestos por V. Arens. El problema del juego consiste de ordinario en que, valindose de los movimientos sucesivos que permite hacer la existencia de un campo libre, hay que hacer que las 15 fichas, colocadas al principio de cualquier modo, queden ordenadas segn sus nmeros, es decir, en el ngulo superior izquierdo estar la ficha 1, a su derecha, la 2, despus, la 3 y luego, en el ngulo superior derecho, la 4; en la fila siguiente se encontrarn, de izquierda a derecha, las 5, 6, 7 y 8 y as sucesivamente. Esta ordenacin normal definitiva se da en la fig. 273. Figrese ahora que las 15 fichas se encuentran en el mayor desorden. Por medio de una serie de movimientos siempre se puede trasladar la ficha 1 al lugar que ocupa en la figura. De igual modo, sin tocar la ficha 1, se puede hacer que la ficha 2 ocupe el puesto inmediato de la derecha. Despus, sin tocar las fichas 1 y 2, se pueden colocar las 3 y 4 en sus puestos normales; si casualmente no se hallan en las dos ltimas columnas, es fcil trasladarlas primeramente a esta zona y luego, haciendo una serie de traslaciones, lograr el resultado apetecido. Ahora la fila superior 1, 2, 3, 4 ya est puesta en orden y en las siguientes manipulaciones con las fichas no tocaremos esta fila. Por este mismo procedimiento procuraremos poner en orden la segunda fila: 5, 6, 7 y 8; es fcil convencerse de que esto siempre se puede conseguir. Despus, en el espacio correspondiente a las dos ltimas filas, hay que poner en la posicin normal las fichas 9 y 13; esto tambin se logra siempre. Ninguna de las fichas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 13, puestas ya en orden, vuelven a moverse; queda un pequeo espacio de seis campos, de los cuales uno est libre y los otros cinco ocupados por las fichas 10, 11, 12, 14 y 15 en orden arbitrario. Dentro de los lmites de este espacio de seis puestos siempre pueden ponerse en sus lugares normales las fichas 10, 11 y 12. Cuando esto se ha conseguido, las fichas 14 y 15 resultan colocadas en la ltima fila en orden normal o en orden inverso (fig. 274). Por este procedimiento, que el lector puede comprobar en la prctica, llegamos al siguiente resultado. Cualquiera que sea la colocacin inicial de las fichas, stas pueden ponerse en el orden representado en la fig. 273, posicin I, o en el orden que indica la fig. 274, posicin II. Si una colocacin determinada, que llamaremos S para simplificar, puede transformarse en la posicin I, es evidente que tambin ser posible la transformacin inversa, es decir, la posicin I en la posicin S. Esto se explica porque todos los pasos de las fichas son reversibles: si, por ejemplo, en el esquema I podemos colocar la ficha 12 en el campo libre, este mismo paso podemos darlo al revs haciendo el movimiento contrario. Tenemos, pues, dos series de colocaciones tales, que de las posiciones de una de ellas se puede pasar a la posicin normal I y de las posiciones de la otra, a la posicin II. Y viceversa, de la colocacin normal puede obtenerse cualquiera de las posiciones de la primera serie, y de la colocacin II, cualquier posicin de la segunda serie. Finalmente, si se tienen dos posiciones cualesquiera pertenecientes a una misma serie, de la una se puede pasar a la otra y viceversa. Y, continuando por este camino, no podran unificarse las posiciones I y II? Puede demostrarse de un modo riguroso (aunque no entraremos en por menores) que de una de estas dos posiciones es imposible pasar a la otra, cualquiera que sea el nmero de pasos que se den. Por esta razn, el nmero enorme de posiciones posibles de las fichas se descompone en dos series independientes: 1, aquella de cuyas posiciones se puede pasar a la posicin normal I, es decir, la de las posiciones resolubles; y 2a, aquella de cuyas posiciones puede pasarse a la posicin II y de las que, por consiguiente, en modo alguno puede pasarse a la posicin normal, es decir, stas son las posiciones por cuya resolucin se ofrecan premios enormes. Cmo puede saberse si una posicin dada pertenece a la primera serie o a la segunda? Un ejemplo aclarar esto. Consideremos la colocacin representada en la fig. 275.

Figura 275 17. La primera fila de fichas est en orden, lo mismo que la segunda, a excepcin de la ltima ficha (9). Esta ficha ocupa el puesto que en la posicin normal pertenece a la 8. La ficha 9 est por lo tanto, antes que la 8: este adelantamiento del orden normal se llama desorden. Acerca de la ficha 9 decimos: aqu existe un desorden. Si continuamos observando las fichas, descubrimos otro adelantamiento en la ficha 14, que est colocada tres puestos antes (las fichas 12, 13 y 11) de su posicin normal: aqu hay tres desrdenes (la ficha 14 est antes que la 12; la 14, delante de la 13; y la 14, antes que la 11). En total contamos ya 1 + 3 = 4 desrdenes. Despus, la ficha 12 est colocada antes que la 11 y lo mismo ocurre con la ficha 13, que est antes que la 11. Esto da dos desrdenes ms. En total tenemos seis desrdenes. De un modo semejante se establece el nmero total de desrdenes que hay en cada colocacin, despus de dejar libre el ltimo puesto en el ngulo inferior derecho. Si el nmero total de desrdenes es par, como en el caso que hemos examinado, de la colocacin dada puede pasarse a la posicin final normal, en otras palabras, la colocacin pertenecer a la serie de las que puedan resolverse. Pero si el nmero de desrdenes es impar, la colocacin dada pertenecer a la segunda serie, es decir, a la de las imposibles de resolver (el desorden nulo se considera par). Gracias a la claridad que introdujeron en este juego las matemticas, ahora es ya completamente incomprensible el apasionamiento febril y el inters que despert en su tiempo. Las matemticas crearon una teora exhaustiva de este juego, una teora que no deja ni un solo punto dudoso. E1 resultado del juego depende no de determinadas casualidades ni del ingenio, como en otros juegos, sino de factores puramente matemticos, que los predeterminan con absoluta fidelidad. Ocupmonos ahora de los problemas de este campo. He aqu algunos problemas resolubles ideados por Loyd, el inventor del juego. Primer problema Partiendo de la colocacin representada en la fig. 274, poner las fichas en el orden correcto, pero con el campo libre en el ngulo superior izquierdo (fig. 276).

Figura 276 18. Segundo problema Partiendo de la colocacin que se ve en la fig. 274, dle a la caja un giro de un cuarto de vuelta a la derecha y mueva las fichas hasta que tomen la posicin que indica la fig. 277.

Figura 277 19. Tercer problema Moviendo las fichas segn las reglas del juego, convierta la caja en un cuadrado mgico, a saber: coloque las fichas de tal modo, que la suma de sus nmeros sea la misma en todas las direcciones e igual a 30. Solucin

20. E1 juego de las 11 En este juego participan dos jugadores. Se colocan en la mesa 11 cerillas (o granos, chinas, etc.). El primer jugador coge una, dos o tres de ellas, las que quiera. Despus, el segundo jugador coge tambin una, dos o tres cerillas, segn desee. Luego vuelve a coger el primer jugador y as sucesivamente. No se pueden coger ms de tres cerillas de una vez. E1 que coge la ltima cerilla, pierde. Cmo deber jugar usted para ganar siempre? Solucin

21. El juego de las 15 Ahora no se trata del juego de las 15, que consiste en mover fichas cuadradas, numeradas, dentro de una cajita. El juego que proponemos es de otro tipo y se parece ms al juego de los ceros y los unos. Juegan dos jugadores sucesivamente. El primer jugador escribe una cifra cualquiera, del 1 al 9, en uno de los cuadrados de la cuadrcula que se representa a continuacin

22. El segundo jugador escribe otra cifra, eligiendo el cuadrado de tal forma, que el primer jugador, en el turno siguiente, no pueda terminar una fila de tres cifras (la fila puede ser transversal o diagonal) con una suma igual a 15. Gana el jugador que termina en uno de sus turnos una fila con la suma 15 o que llena el ltimo cuadrado de toda la cuadrcula. Qu piensa usted, existe algn procedimiento de ganar siempre en este juego? Solucin

23. El juego de las 32 Juegan dos jugadores. Ponen en la mesa 32 cerillas. El que empieza coge una, dos, tres o cuatro cerillas. Despus, el otro coge tambin las cerillas que quiere, pero no ms de cuatro. Luego el primero vuelve a coger no ms de cuatro cerillas y as sucesivamente. El que coge la ltima cerilla gana el juego. Como ve, este juego es fcil. Pero es adems interesante, porque el que empieza. el juego puede ganar siempre, si calcula bien el nmero de cerillas que debe coger. Podra usted decir cmo debe jugar para ganar? Solucin

24. Lo mismo, pero al contrario El juego de las 32 se puede modificar: el que coge la ltima cerilla no gana, sino que, por el contrario, pierde. Cmo hay que jugar en este caso para ganar? Solucin

25. E1 juego de las 27 Este juego es parecido al anterior. Tambin toman parte en l dos jugadores y, del mismo modo, cogen por turno no ms de cuatro cerillas. Pero el final es distinto: se considera ganador el que, al terminar el juego, tiene un nmero par de cerillas. Aqu tambin lleva ventaja el que empieza. Este, calculando bien sus jugadas, puede ganar siempre. En qu consiste el secreto para no perder en el juego? Solucin

26. De otra forma En el juego de las 27 se puede poner tambin la condicin inversa, es decir, que se considere vencedor aquel, que, una vez terminado el juego, resulte tener un nmero impar de cerillas. Cul ser en este caso el procedimiento para no perder? Solucin

27. Viaje matemtico En este juego pueden participar varias personas. Para esto hay que hacer lo siguiente: 1) un tablero para el juego (de cartn): 2) un dado (de madera) y 3) varias fichas, una para cada jugador. El tablero se recorta, en forma de cuadrado, de una hoja de cartn. Es preferible que sea de grandes dimensiones. E1 cuadrado debe dividirse en 10 * 10 casillas, las cuales se numeran del 1 a 100, como muestra el dibujo en pequeo de la fig. 278.

Figura 278 28. El dado, de 1 cm de altura aproximadamente, se corta de una varilla de madera de seccin cuadrangular; sus caras se alisan con papel de lija y se marcan con las cifras del 1 al 6 (lo mejor es representar estas cifras por puntos, lo mismo que en las fichas del domin). De fichas pueden servir redondelitos o cuadrados de cartn de distintos colores u otros objetos cualesquiera. Los participantes, despus de coger sus fichas respectivas, comienzan el juego echando el dado sucesivamente. El que saca 6 puntos empieza a moverse por las casillas del tablero, poniendo su ficha en la nmero 6. Cuando le llega su turno de echar otra vez el dado, adelanta su ficha en tantas casillas como puntos salen. A1 llegar a una casilla en la cual comienza una flecha, la ficha deber seguir dicha flecha hasta el fin, unas veces hacia adelante y otras hacia atrs. El que llega primero a la centsima casilla, gana la partida. Solucin

29. Piense un nmero Haga atentamente todas las operaciones que aqu se dicen con el nmero que haya pensado y yo le dir el resultado de sus clculos. Si el resultado es otro, compruebe sus clculos y se convencer de que el error es suyo y no, mo. N 1 Piense un nmero menor que 10(y que no sea cero) Multiplquelo por 3, A1 resultado, adale 2. Multiplique por 3 lo obtenido A1 producto smele el nmero pensado. Tache la primera cifra del total. Divida por 4 lo obtenido. Adale 19 al resultado. (Ahora tendr 21) N 2 Piense un nmero menor que 10 (y que no sea cero) Multiplquelo por 5. Duplique el producto. A1 resultado, adale 14. De esta suma reste 8. Tache la primera cifra del resto. Divida por 3 lo que queda. Adele 10 al cociente. (Ahora tendr 12) N 3 Piense en un nmero menor de 10 (y que no sea cero) Adele 29 Quite la ltima cifra de la suma. Multiplique lo que queda por 10. Smele 4 al producto. Multiplique lo obtenido por 3. Rstele 2 al resultado. (Ahora tendr 100) N 4 Piense un nmero menor que 10 (y que no sea cero) Multiplquelo por 5. Duplique lo obtenido. Reste del resultado el nmero que pens. Sume las cifras de la diferencia obtenida. Al total, adale 2. Eleve al cuadrado la suma. Rstele 10 al nmero obtenido Divida la diferencia por 3. (Ahora tendr 37) N 5 Piense un nmero menor que 10 (y que no sea cero) Multiplquelo por 25. Adale 3 Lo obtenido, multiplquelo por 4 Tache la primera cifra de este producto Eleve al cuadrado el nmero que queda Sume las cifras del resultado obtenido Adale 7 (Ahora tendr 16) N 6 Piense un nmero de dos cifras Smele 7 Reste de 110 esta suma Al resto, adale 15 A1 total, smele el nmero pensado Divida por dos el nmero obtenido Reste 9 del resultado Multiplique por 3 la diferencia (Ahora tendr 150) N 7 Piense un nmero menor que 100 Smele 12 Reste de 130 esta suma Adale 5 a la diferencia Al total, adale el nmero pensado Reste 120 de la suma obtenida Multiplique por 7 la diferencia Rstele 1 al producto Divida por 2 el resto Smele 30 al cociente (Ahora tendr 40) N 8 Piense un nmero cualquiera(que no sea cero) Duplquelo. Adale 1 al nmero obtenido. Multiplique por 5 el nuevo resultado. Deseche todas las cifras, menos la ltima. Multiplique por s misma la cifra que queda. Sume las cifras del resultado. (Ahora tendr 7) N 9 Piense un nmero menor que 100 Smele 20. El nmero obtenido rstelo de 170. Reste 6 de lo que quede. Smele a la diferencia el nmero pensado. Sume las cifras del nmero obtenido. Multiplique esta suma por s misma. Rstele 1 al total. Divida por 2 la cantidad obtenida. Smele 8 al cociente. (Ahora tendr 48) N 10 Piense un nmero de tres cifras Escriba a su derecha este mismo nmero. Divida por 7 el nmero que resulte. Divida el cociente por el nmero pensado. Divida por 11 la cantidad obtenida. Duplique el resultado. Sume las cifras del nmero que obtiene. (Ahora tendr 8) Solucin

30. Vamos a adivinar Juguemos ahora, amigo lector, a adivinar: usted pensar nmeros, y yo los adivinar. No importa que los lectores sean miles ni que estn leyendo este libro en cualquier lugar, a millares de kilmetros de m, el nmero que tenga en su mente lo adivinar de todos modos. Empecemos. Piense la cifra que quiera. Pero no confunda las palabras cifra y nmero: cifras slo hay 10, del 0 al 9; los nmeros son, en cambio, una cantidad infinita. As, pues, piense cualquier cifra. La ha pensado ya? Bien, multiplquela por 5; pero no se equivoque, de lo contrario no resultar bien el juego. Ha multiplicado ya por 5?... S?, pues multiplique por 2 lo que haya obtenido. Lo ha hecho?... Smele 7 al producto. Ahora tchele la primera cifra al nmero obtenido; deje solamente la ltima cifra. Ya est?... Smele 4 a lo que haya quedado. Rstele 3. Adale 9. Ha hecho todo lo que he dicho?... Pues, ahora 1e dir cunto ha obtenido. Ha obtenido 17. No es as? Si quiere lo hacemos otra vez. Venga! Ha pensado la cifra?... Triplquela. Lo que haya resultado vulvalo a triplicar. Ahora, smele al nmero obtenido la cifra que haya pensado. Lo ha hecho?... Adale 5 a lo obtenido. Tache en la suma resultante todas las cifras, menos la ltima. Las ha tachado? ... Smele 7 a lo que quede. Rstele 3 y adale 6. Quiere que le diga qu nmero tiene ahora en su imaginacin? El 15. He acertado? Si no he acertado, la culpa es de usted. Por lo visto, se ha equivocado en alguna de las operaciones. Si quiere que probemos por tercera vez, yo no tengo inconveniente. Ha pensado la cifra? ... Duplquela. Lo que haya obtenido, vuelva a duplicarlo. Duplique otra vez el nuevo resultado. Aada la cifra pensada. Vuelva a aadir la cifra pensada. Smele 8. Tache todas las cifras, menos la ltima. Al nmero que queda rstele 3. Despus, smele 7. Ahora tendr usted 12. Yo podra acertar cuntas veces fuera necesario, sin equivocarme nunca. Cmo lo hago? Debe pensar usted que todo lo que est aqu impreso lo escrib yo varios meses antes de que este libro viese la luz y, por lo tanto, mucho antes de que usted pensara sus nmeros. Esto demuestra que el nmero que yo acierto no depende en nada del que usted piensa. Pero, cul es el secreto? Solucin

31. Adivinar un nmero de tres cifras Piense un nmero de tres cifras. Sin ensermelo, duplique su primera cifra; de las dems cifras prescinda por ahora. A lo que haya resultado, smele 5. Lo obtenido multiplquelo por 5, adale la segunda cifra del nmero que pens y multiplique por 10 el resultado. A1 nmero recin obtenido smele la tercera cifra del nmero pensado y dgame lo que ha obtenido. Inmediatamente le dir qu nmero pens usted. Pondr un ejemplo. Supongamos que pens usted el nmero 387. Haga con l las operaciones siguientes: Duplique la primera cifra: 3 * 2 = 6. Smele 5. 6 + 5 = 11. Multiplique por 5. 11 * 5 = 55. Aada la segunda cifra: 55 + 8 = 63. Multiplique por 10. 63 * 10 = 630. Sume la tercera cifra: 630 + 7 = 637. Usted me dice que ha obtenido el nmero 637, y yo le digo el nmero que usted pens. Cmo lo adivino? Solucin

32. Truco numrico Piense un nmero. Smele 1. Multiplique por 3. Vuelva a sumarle 1. Aada el nmero pensado. Dgame el resultado que ha obtenido. Cuando usted me diga el resultado final de todas estas operaciones, yo le restar 4, dividir el resto por 4 y obtendr el nmero que usted haba pensado. Por ejemplo, usted piensa el nmero 12. Le aade 1, y obtiene 13. Lo multiplica por 3, y resultan 39. Le suma 1, y tendr 40. Le aade el nmero pensado: 40 + 12 = 52. Cuando usted me dice que ha obtenido el nmero 52, yo le resto 4, y la diferencia, 48, la divido por 4. Obtengo 12, que es el nmero que usted haba pensado. Por qu se acierta siempre de este modo? Solucin

33. Cmo adivinar la cifra tachada? Pdale a un compaero que piense un nmero cualquiera de varias cifras y que haga lo siguiente: que escriba el nmero pensado, que cambie como quiera el orden de sus cifras, que reste el nmero menor del mayor, que tache una de las cifras del resto (que no sea cero), y que le diga las dems cifras en un orden cualquiera. En respuesta, usted le dice cul es la cifra tachada. Ejemplo. Su compaero piensa el nmero 3857. Despus hace lo siguiente: 3857, 8735, 8735 - 3857 = 4878. Despus de tachar la cifra 7, l le dice a usted las dems cifras en el orden, por ejemplo, siguiente: 8, 4, 8. Por estas cifras puede usted hallar la tachada. Qu debe hacer para esto? Solucin

34. Cmo adivinar el da y el mes de nacimiento? Propngale a un compaero que escriba en una hoja de papel el da del mes en que naci y que haga las operaciones siguientes: que duplique el nmero escrito, que multiplique por 90 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que, al total., le aada el nmero de orden del mes en que naci. El le dice a usted el resultado final de todas las operaciones y usted le dice a l la fecha en que naci. Ejemplo. Su compaero naci el 17 de agosto, es decir, el da 17 del mes 8. El hace lo siguiente:

17 * 2 = 34. 34 * 10 = 340 340 + 73 = 413, 413 * 5 = 2065 2065 + 8 = 2073.

Su compaero le dice a usted el nmero 2073 y usted le dice a l la fecha en que naci. Cmo puede usted hacer esto? Solucin

35. Cmo se adivina la edad del interlocutor:? Usted puede adivinar la edad que tiene su interlocutor, si le pide que haga lo siguiente:

que escriba, una detrs de otra, dos cifras que se diferencien entre s en msde 1; que escriba entre ellas una tercera cifra cualquiera;

que invierta el orden de las cifras del nmero as obtenido;

que reste el nmero menor del mayor;

que ponga las cifras del resto en orden inverso;

que le sume este nuevo nmero al resto anterior;

que le aada a esta suma la edad que tiene.

Su interlocutor le dice a usted el resultado final de todas las operaciones, y usted le dice la edad que l tiene. Ejemplo. Su interlocutor tiene 23 aos. Hace lo siguiente:

25,

275,

572,

572 - 275 = 297,

297 + 792 = 1089,

1089 + 23 = 1112.

Su interlocutor le dice a usted el nmero 1112,, y usted, partiendo de esto, halla la edad que l tiene. Cmo puede usted hacerlo? Solucin

36. Cmo adivinar el nmero de hermanos y hermanas? Usted puede adivinar cuntos hermanos y hermanas tiene un camarada suyo, si le pide que haga lo siguiente:

que aada 3 al nmero de hermanos;

que multiplique por 5 el nmero obtenido;

que a este producto le sume 20;

que multiplique la suma por 2;

que al resultado le aada el nmero de hermanas y que a esta suma le agregue 5.

Su camarada le dice a usted el resultado final de estas operaciones, y usted le dice cuntos hermanos y hermanas tiene l. Ejemplo. Su compaero tiene cuatro hermanos y siete hermanas. El hace lo siguiente:

4 + 3 = 7,

7 x 5 = 35,

35 + 20 = 55,

55 x 2 = 110,

117 + 5 = 122.

Su camarada le dice a usted que ha obtenido el nmero 122, y usted le dice cuntos hermanos y hermanas tiene l. Cmo puede usted hacer esto? Solucin

37. Truco con la gua de telfonos Este truco no es menos sorprendente y se hace como sigue. Propngale a un compaero suyo que escriba cualquier nmero de tres cifras diferentes. Supongamos que escribe el nmero 648. Dgale que ponga las cifras del nmero elegido en orden inverso y que del nmero mayor reste el menor (Si el resto tiene slo dos cifras (99), se escribe con un cero delante (099).). El escribir lo siguiente:

846

-648

198

Pdale ahora que ponga tambin en orden inverso las cifras de esta diferencia y que sume los dos nmeros. Su compaero escribir:

198

+891

1089

Estas operaciones las har sin que usted las vea, de manera que pensar que usted no sabe el resultado total. Entonces, usted le da una gua de telfonos, y le dice que la abra por la pgina cuyo nmero coincide con las tres primeras cifras del resultado final. Su camarada la abrir por la pgina 108 y quedar en espera de lo que usted diga. Usted le pide que, en esta pgina, cuente de arriba abajo (o de abajo arriba) tantos apellidos de abonados como indica la ltima cifra del nmero total (es decir, del nmero 1089). El busca al abonado que hace nueve, y usted le dice cmo se llama este abonado y cul es el nmero de su telfono. Su sabidura, como es natural, asombrar a su compaero, ya que l eligi el primer nmero que se le ocurri, y usted acert sin titubear el apellido del abonado y el nmero de su telfono. En qu consiste el secreto de este truco? Solucin

38. Cmo adivinar una ficha de domin? Este es un truco aritmtico basado en el clculo. Supongamos que un compaero suyo se guarda en el bolsillo una ficha cualquiera de domin. Usted puede adivinar qu ficha es sta, si l hace, sin equivocarse, unas operaciones fciles. Figrese, por ejemplo, que la ficha que ocult es la 6 - 3. Pdale a su compaero que duplique uno de estos nmeros (por ejemplo, el 6):

6 * 2 = 12.

Al nmero duplicado, que le sume 7; 12 + 7 = 19.

Despus, que multiplique por 5 el nmero obtenido: 19 * 5 = 95.

A este producto, que le sume el otro nmero de la ficha de domin (es decir, el3): 95 + 3 = 98.

Su compaero le dice a usted este resultado final, y usted le resta mentalmente 35 y conoce la ficha que l guard: 98 - 35 = 63, es decir, la ficha 6 - 3. Por qu resulta as y por qu hay que restar siempre 35? Solucin

39. Una memoria sorprendente Algunos ilusionistas llaman la atencin con su extraordinaria memoria: recuerdan largas series de palabras, nmeros, etc. Cualquiera de ustedes puede tambin admirar a sus camaradas con un truco semejante. He aqu como hay que hacerlo. Prepare 50 tarjetas de papel y escriba en ellas los nmeros y las letras que se indican en la tabla siguiente.

40. En cada tarjeta habr escrito, de este modo, un nmero de bastantes cifras y, en el ngulo superior izquierdo, un smbolo constituido por una letra latina o una letra y una cifra. Estas tarjetas reprtalas en sus compaeros y dgales que usted se acuerda perfectamente del nmero que hay escrito en cada una de las tarjetas. Que le digan a usted solamente el smbolo de la tarjeta, y usted dir en el acto el nmero que hay escrito en ella. A usted le dicen, por ejemplo, E4, y usted responde inmediatamente: -El nmero 10 928 224. Como los nmeros son de muchas cifras y suman, en total medio ciento, su arte debe, naturalmente, admirar a los presentes. No obstante, usted no se ha aprendido de memoria los 50 largos nmeros. E1 problema se resuelve de un modo mucho ms fcil. Cul es el secreto de este truco? Solucin

41. Una memoria extraordinaria Despus de escribir en une hoja de papel una larga fila de cifras -20-25 cifras- declara usted que puede repetirla, sin equivocarse, cifra a cifra. Y en efecto, lo hace usted, a pesar de que en la sucesin de cifras no se nota ninguna regularidad. Cmo puede usted hacer estor Solucin

42. Unos dados mgicos Haga varios cubos de papel (por ejemplo, cuatro) y marque sus caras con cifras situadas como muestra la fig. 279. Con estos cubos podr usted hacerle a sus amigos un truco aritmtico interesante.

Figura 279 43.

Pdales a sus compaeros que, en ausencia de usted, pongan los cubos uno encima de otro, formando columna, en las posiciones que quieran. Despus de esto, usted entra en la habitacin, echa una ojeada a la columna de cubos y halla inmediatamente a qu es igual la suma de todas las cifras que hay en las caras tapadas de los cuatro cubos. Por ejemplo, en el caso que representa la figura, usted dice 23. Es fcil convencerse de que esto es cierto. Solucin

44. Un truco con tarjetas Haga siete tarjetas como las que se ven en la fig. 280. Escriba en ellas los nmeros y hgales los cortes rectangulares tal como estn en las muestras indicadas. Una de las tarjetas se deja en blanco, pero en ella tambin se hacen cortes.

Figura 280 45. Al copiar los nmeros en las tarjetas hay que prestar mucha atencin para no equivocarse. Cuando haya hecho esto, entrguele las seis tarjetas con nmeros a un compaero suyo y pdale que piense en uno cualquiera de los nmeros escrito en ellas. Despus, dgale que le devuelva a usted todas aquellas tarjetas en que figure el nmero pensado. Una vez recibidas las tarjetas, las coloca usted cuidadosamente unas encima de otras, las cubre con la tarjeta en blanco y suma mentalmente los nmeros que se ven a travs de las ventanillas. El nmero que ` resulta es el pensado. Lo ms probable es que ni usted mismo pueda descubrir el secreto del truco. Este se basa en un modo especial de elegir los nmeros que figuran en las tarjetas. El fundamento de esta eleccin es bastante complicado y no voy a detenerme en l. En otro libro mo (Problemas recreativos), dedicado a lectores con mejor preparacin matemtica, puede usted hallar una explicacin detallada de este nuevo truco y de sus variantes ms curiosas. Cmo adivinar la suma de unos nmeros que no se han escrito? Usted se compromete a predecir la suma de tres nmeros, de los cuales slo se ha escrito uno. Este truco se hace as. Se le dice a un compaero que escriba un nmero con tantas cifras como quiera: ste ser el primer sumando. Supongamos que l escribe el nmero 84 706. En este caso, dejando sitio libre para los sumandos segundo y tercero, se escribe a priori la suma de los tres nmeros:

1 er sumando 84706

2 sumando 3 er sumando Suma 184705

46.

Despus de esto su camarada escribe el segundo sumando (que debe tener tantas cifras como el primero), y usted escribe el tercer sumando:

1 er sumando 84706

2 sumando 30485

3 er sumando 69514

Suma 184705

47. Es fcil convencerse de que la suma se predijo bien. En qu consiste el secreto de este truco? Solucin

48. Prediccin de la suma Las supersticiones numricas, lo mismo que los prejuicios de otros tipos, eran muy frecuentes en la Rusia de antes de la revolucin. Como ejemplo de las consecuencias absurdas a que puede conducir la propensin a estas supersticiones, citaremos el caso de Ili Teglev, hroe de la narracin de Turguniev Pon ... pon ..., que basndose en una coincidencia casual de nmeros, cree ser un Napolen no reconocido. Este personaje se suicida, y en uno de sus bolsillos se descubre una hoja de papel con los clculos siguientes:

Napolen naci el 15 de agosto de 1769 Ili Teglev naci el 7 de enero de 1811 Ao 1769

Ao 1811

Da 15

Da 7

Mes (Agosto es el mes 8) 8

Mes (Enero es el mes 1) 1

Total 1792

Total 1819

1 1 7 8 9 1 2 9 Total 19 Total 19 Napolen muri el 5 de mayo de 1825 Ili Teglev muri el 21 de julio de 1834 Ao 1825

Ao 1834

Da 5

Da 21

Mes (mayo es el mes 5) 5

Mes (julio es el mes 7) 7

Total 1835

Total 1862

1

1

8

8

3

6

5

2

Total 17

Total 17

49.

Adivinaciones numricas semejantes se pusieron en boga a comienzos de la primera guerra mundial. Entonces, por medio de ellas se pretenda predecir cmo terminara. En 1916 los peridicos suizos descubrieron a sus lectores el siguiente misterio acerca (le la suerte de los emperadores de Alemania y Austria-Hungara:

Guillermo II Francisco Jos Ao de nacimiento 1859 1830 Ao de la coronacin 1888 1848 Edad 57 86 Aos en el trono 28 68 Total 3832 3832 50. Como puede ver, las sumas son iguales y cada una de ellas es el doble del ao 1916. De esto se deduce que este ao, fatal para ambos emperadores, predeca una derrota. En este caso nos encontramos no con una coincidencia casual, sino, simplemente, con una majadera. La gente, cegada por la supersticin, no se dio cuenta de que con slo modificar ligeramente el orden de los renglones en los clculos desapareca por completo su carcter misterioso. Ponga los renglones en este orden:

ao de nacimiento,

edad,

ao de la coronacin,

aos en el trono.

Y ahora piense: qu ao debe obtenerse si al de nacimiento de una persona se le aade su edad? Est claro que resultar el ao en que se hace el clculo. El mismo ao debe obtenerse si al ao de la coronacin de un emperador se le suman los aos que lleva en el trono. Por esto, es fcil comprender por qu la suma de estos cuatro nmeros daba, para ambos emperadores, el mismo total, es decir, el doble del ao 1916. Otra cosa no se poda esperar. Lo que acabamos de decir puede utilizarse para hacer un interesante truco numrico. Dgale a un compaero suyo, que no conozca este sencillo secreto, que escriba en un papel, sin que usted lo vea, los cuatro nmeros siguientes:

el ao en que naci,

el ao en que empez a trabajar en la fbrica, (o que ingres en la escuela,etc),

su edad, y

el nmero de aos que lleva trabajando en la fbrica (o estudiando en laescuela, etc).

Aunque usted no conozca ninguno de los cuatro nmeros escritos, no le costar trabajo adivinar su suma: lo nico que tendr que hacer es duplicar el ao en que se hace el truco. Si repite el truco, su secreto puede ser fcilmente descubierto. Para dificultar esto, introduzca entre los cuatro sumandos varios ms, que usted conozca; si opera con discrecin, la suma resultar distinta cada vez y descubrir el secreto ser ms difcil.

Solucin

Captulo 23 SOLUCIONES El domin 1. Una cadena de 28 fichas Para simplificar los problemas prescindamos por ahora de las siete fichas dobles, es decir, de las 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, etc. Quedan 21 fichas, en las cuales cada nmero de puntos se repite seis veces. Por ejemplo, 4 puntos (en un campo) figuran en las seis fichas siguientes:

4 - 0; 4 - l; 4 - 2; 4 - 3; 4 - 5; 4 - 6.

Como puede verse, cada nmero de puntos se repite un nmero par de veces. Est claro que las fichas de este juego se pueden poner una al lado de otra, de modo que estn juntos los campos de igual nmero de puntos, hasta que se acaben todas las fichas. Y cuando ya se ha hecho esto, es decir, cuando nuestras 21 ficha estn dispuestas formando una cadena continua, entre las juntas

0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, etc.

colocamos las siete fichas dobles que habamos apartado. Despus de esto las 28 fichas del domin resultan puestas en cadena, cumpliendo las reglas del juego. Volver 2. El principio y el fin de la cadena Es fcil demostrar que la cadena formada con las 28 fichas del domin debe terminar con el mismo nmero de puntos que comienza. En efecto, si no ocurriera as, los nmeros de puntos que resultaran estar en los extremos de la cadena se repetiran un nmero impar de veces (puesto que dentro de la cadena los puntos forman parejas). Pero, como sabemos, en el juego completo de fichas de domin cada nmero de puntos se repite ocho veces, es decir, un nmero de veces par. Por consiguiente, la suposicin que hemos hecho, de que los nmeros de puntos que hay en los extremos sean distintos, es incorrecta: estos nmeros de puntos deben ser iguales. (Los razonamientos de este tipo reciben en matemticas el nombre de demostraciones por reduccin al absurdo). De la propiedad que acabamos de demostrar de la cadena de fichas se deduce la consecuencia siguiente: una cadena de 28 fichas siempre puede cerrarse y obtener un anillo. Es decir, el juego completo de fichas de domin puede colocarse, cumpliendo las reglas del juego, no slo formando una cadena con los extremos libres, sino tambin formando un anillo cerrado. Los lectores pueden preguntarse: por cuntos procedimientos diferentes puede hacerse esta cadena o anillo? Sin entrar en los pesados pormenores del clculo, diremos que el nmero de procedimientos distintos de formar la cadena (o el anillo) con las 28 fichas es enorme: superior a 7 billones. El nmero exacto es:

7 959 229 931 520

(ste es el resultado de multiplicar los factores siguientes: 213 * 38 * 5 * 7 * 4231). Volver 3. Un truco con el domin La solucin de este acertijo se desprende de lo dicho anteriormente. Como ya sabemos, las 28 fichas del domin siempre pueden colocarse de manera que formen un anillo cerrado; por lo tanto, si de este anillo se quita una ficha tendremos que: 1) las 27 fichas restantes formarn una cadena continua, cuyos extremos no se cierran; 2) los nmeros de puntos de los extremos de esta cadena son precisamente los que hay en la ficha que se quit. Por esto, si escondemos una ficha del domin, podemos predecir los nmeros de puntos que habr en los extremos de la cadena que se forme con las dems fichas. Volver 4. El cuadrado La suma de los puntos de todos los lados del cuadrado que se busca debe ser igual a 44 * 4 = 176, es decir, 8 ms que la suma total de los puntos que tiene el juego completo de fichas de domin (168).

Figura 281 5. Ocurre esto, claro est, porque los nmeros de puntos que ocupan los vrtices del cuadrado se suman dos veces. Esto determina cul debe ser la suma de los puntos que haya en los vrtices del cuadrado: 8. As se simplifica un poco la bsqueda del orden en que hay que colocar las fichas, aunque el encontrarlo, a pesar de todo, es bastante difcil. La solucin se da en la fig. 281. Volver 6. Los siete cuadrados Damos dos de las muchas soluciones posibles de este problema.

Figura 282 7. En la primera solucin (fig. 282 arriba) tenemos:

1 cuadrado con la suma 3 2 cuadrados con la suma 9 1 cuadrado con la suma 6 1 cuadrado con la suma 10 1 cuadrado con la suma 8 1 cuadrado con la suma 16 8. En la segunda solucin (fig. 282, abajo):

2 cuadrados con la suma 2 4 cuadrados con la suma 10 1 cuadrado con la suma 8 2 cuadrados con la suma 12 9. Volver 10. Cuadrados mgicos hechos con el domin En la fig. 283 se da una muestra de cuadrado mgico en la cual la suma de los puntos en cada fila, columna o diagonal es 18.

Figura 283 11. Volver

12. Una progresin de fichas de domin Como ejemplo citamos dos progresiones en las cuales la diferencia es 2: a) 0-0; 0-2; 0-4; 0-6; 4--4 ( 3-5); 5-5 ( 4-6). b) 0-1; 0-3 ( 1-2); 0-5 ( 2-3); 1-6 ( 3-4); 3-6 ( 4-5); 5-6. Progresiones de seis fichas se pueden hacer en total 23. Sus fichas iniciales son las siguientes: a) para las progresiones con diferencia 1: 0-0, 1-1, 2-1, 2-2, 3-2 0-1, 2-0, 3-0, 3-1, 2-4 1-0, 0-3, 0-4, 1-4, 3-5 0-2, 1-2, 1-3, 2-3, 3-4 b) para las progresiones con diferencia 2: 0-0, 0-2,0-1. Volver 13. El juego de las 15 o taquin Primer problema La colocacin dada por el problema puede obtenerse, partiendo de la posicin inicial, por medio de los 44 pasos siguientes:

14 11 12 8 7 6 10 12 8 7 4 3 6 4 7 14 11 15 13 9 12 8 4 10 8 4 14 11 15 13 9 12 4 8 5 4 8 9 13 14 10 6 2 1 14. Segundo problema La colocacin dada por el problema se obtiene dando los siguientes 39 pasos:

14 15 10 6 7 11 15 10 13 9 5 1 2 3 4 8 12 15 10 13 9 5 1 2 3 4 8 12 15 14 13 9 5 1 2 3 4 8 12 15. Tercer problema El cuadrado mgico con suma 30 se obtiene despus de dar la serie de pasos siguientes:

12 8 4 3 2 6 10 9 13 15 14 12 8 4 7 10 9 14 12 8 4 7 10 9 6 2 3 10 9 6 5 1 2 3 6 5 3 2 1 13 14 3 2 1 13 14 3 12 15 3 16. Volver 17. El juego de las 11 Si usted es mano, debe coger dos cerillas; quedan nueve. Cualquiera que sea el nmero de cerillas que coja el segundo jugador, usted deber dejar en la mesa, despus de su segunda jugada, slo cinco cerillas; se comprende fcilmente que esto siempre es posible. Y cuando su adversario haya cogido las cerillas que quiera de esas cinco, usted le deja una y gana. Si a usted no le toca hacer la primera jugada, slo podr ganar si su adversario desconoce el secreto de cmo hay que jugar para ganar siempre. Volver 18. El juego de las 15 Si se quiere ganar con seguridad hay que empezar con la cifra 5. En qu casilla hay que escribirla? Veamos, uno a continuacin de otro, los tres casos posibles. 1. E1 cinco se escribe en la casilla de en medio.

19. Cualquiera que sea la casilla que elija su compaero de juego, usted podr escribir en la casilla que quede libre en la misma fila. 15 - 5 - x (donde x es la cifra escrita por su adversario). El nmero 15 - 5 - x, o sea, 10 - x, es, claro est, menor que 9. 2. El cinco se escribe en una de las casillas de los ngulos.

20. Su compaero elige la casilla x o la casilla y. Si l escribe la cifra x, usted deber escribir y = 10 - x; si escribe y, usted responder con la cifra x = 10 - y. En ambos casos ganar usted. 3. El cinco se escribe en la casilla de en medio de la columna extrema.

21. Su compaero podr ocupar una de las cuatro casillas x, y, z, t. A la cifra x responder usted con y = 10 - z; a la y, con x = 10 - y; a la z, con t = 10 - z, y a la t, con z = 15 - t. En todos los casos ganar. Volver 22. El juego de las 32 E1 simple secret que hay que saber para no perder nunca en este juego, se descubre con bastante facilidad si se intenta jugar una partida al revs, es decir, empezando por el final. No es difcil darse cuenta de que si en su penltima jugada le deja a su adversario cinco cerillas en la mesa, ganar usted con toda seguridad, porque l no puede coger ms de cuatro cerillas y, por consiguiente, usted puede coger despus todas las dems. Pero, qu hay que hacer para estar seguro de que en la penltima jugada podrn dejarse cinco cerillas? Para esto en la jugada precedente hay que dejarle al adversario 10 cerillas exactamente: entonces, por muchas que l coja siempre quedarn seis por lo menos, y usted despus siempre podr dejarle cinco. Y, qu hay que hacer para lograr que al compaero le queden 10 cerillas para coger? En la jugada anterior hay que dejar en la mesa 15 cerillas. As, restando cada vez cinco cerillas, nos enteramos de que antes hay que dejar en la mesa 20, y con anterioridad, 25, y, finalmente, la primera vez, 30 cerillas, es decir, al comenzar el juego hay que coger dos cerillas. Por lo tanto, el secreto para ganar siempre es: la primera vez hay que coger dos cerillas; luego, despus que su compaero haya cogido varias, se cogen las cerillas necesarias para que en la mesa queden 25; la vez siguiente se dejan en la mesa 20 cerillas, luego 10, y finalmente cinco. La ltima cerilla ser siempre para usted. Volver 23. Lo mismo, pero al contrario Si la condicin del juego es la inversa, o sea, que el que coja la ltima cerilla pierde, en la penltima jugada deber dejar en la mesa seis cerillas. Entonces, cualquiera que sea la cantidad que coja su compaero, no podr dejarle a usted menos de dos ni ms de cinco, es decir, en cualquier caso, podr usted dejarle a l en la jugada siguiente la ltima cerilla. Para esto, en la jugada precedente hay que dejar en la mesa 11 cerillas, y en las jugadas anteriores a sta, 16, 21, 26, y 31 cerillas respectivamente. As, pues, usted empieza cogiendo una sola cerilla, y en las siguientes jugadas le va dejando a su adversario 26, 21, 16, 11 y 6 cerillas; la ltima cerilla le tocar a l inevitablemente. Volver 24. El juego de las 27 Aqu es ms difcil hallar el procedimiento de ganar siempre que en el juego de las 32. Hay que partir de los dos razonamientos siguientes: 1. Si al final de la partida tiene usted un nmero impar de cerillas, deber dejarle a su adversario cinco cerillas, con lo que estar seguro de ganar el juego. En efecto, en la siguiente jugada su compaero le dejar a usted cuatro, tres, dos o una cerilla; si le deja cuatro, usted coge tres y gana; si le deja tres, coger las tres y ganar; y si le deja dos, coger una y tambin ganar. 2. Si cuando la partida est prxima a terminar usted tiene un. nmero par de cerillas, deber dejarle a su adversario seis o siete. Efectivamente, veamos como transcurre despus la partida. Si su adversario le deja seis cerillas, en la jugada siguiente coge usted una y, teniendo ya un numero de cerillas impar, puede dejarle tranquilamente cinco cerillas a su compaero, con las cuales l perder la partida inevitablemente. Si l le deja a usted no seis cerillas, sino cinco, usted coge cuatro y gana. Si le deja cuatro, usted coge todas y gana. Si le deja tres, usted coge dos y gana. Y, finalmente, si le deja dos, tambin gana usted. Menos de dos no le puede dejar. Ahora ya no es difcil hallar el procedimiento para ganar siempre. Este procedimiento consiste en que, si usted tiene un nmero impar de cerillas, debe dejarle sobre la mesa a su adversario un nmero de ellas que sea igual a un mltiplo de 6 menos una unidad, a saber, 5, 11, 17 23; y si tiene usted un nmero par de cerillas, deber dejarle a su adversario un nmero de cerillas que sea mltiplo de 6 mayor que l en una unidad, es decir, 6 7, 12 13, 18 19, 24 25. El cero puede considerarse como nmero par; por esto, al empezar la partida deber usted coger dos o tres de las 27 cerillas, y despus proceder de acuerdo con lo antedicho. Llevando la partida de este modo, ganar usted con toda seguridad. Pero procure que su adversario no coja el hilo del juego. Volver 25. De otra forma Si la condicin del juego es la inversa y se considera ganador el que tenga un nmero impar de cerillas, deber usted proceder del modo siguiente: si tiene usted un nmero par de cerillas, djele a su adversario un nmero de ellas que sea menor que un mltiplo de 6 en una unidad; y si tiene un nmero impar, djele a l un nmero de cerillas que sea mltiplo de 6 mayor que l en una unidad. Esto debe conducir inevitablemente a que gane usted. Al empezar el juego tiene usted cero cerillas (es decir, un nmero que se considera par); por lo tanto, en la primera jugada coja cuatro cerillas y djele a su adversario 23. Volver 26. Viaje matemtico Se explica en el mismo texto Volver 27. Piense un nmero Caso N 1. Si el nmero pensado es a, las operaciones que se hacen al principio son:

(3a + 2) * 3 + a = 10a + 6.

Se obtiene un resultado de dos cifras, la primera de las cuales es el nmero pensado, y la segunda es 6. Tachando la primera cifra se excluye el nmero pensado. Lo dems se comprende sin dificultad. Los casos de adivinacin N2, N3, N5 y N8 son diversas variantes del caso que acabamos de analizar. En los casos N4, N6, N7 y N9 se utiliza otro procedimiento para eliminar el nmero pensado. Por ejemplo, en el N9 las operaciones que se hacen al principio son:

170 - (a + 20) - 6 + a = 114.

Lo dems no es difcil de comprender. Para adivinar el N10 se emplea un procedimiento especial. Escribir a la derecha de un nmero de tres cifras el mismo nmero, equivale a multiplicar dicho nmero por 1001 (por ejemplo, 356 * 1001 = 356 356). Pero 1001 = 7 * 11 * 13. Por esto, si el nmero pensado es a, las operaciones que se hacen al principio son:

El resto es comprensible. Como puede ver, la adivinacin se basa en todos los casos en excluir el nmero pensado al hacer las operaciones. Sabiendo esto, procure usted mismo idear varios ejemplos nuevos de adivinanza. Volver 28. Vamos a adivinar Para comprender en qu consiste la adivinacin en estos casos, fjese en las operaciones que yo le digo que haga con las cifras pensadas. En el primer ejemplo usted empez multiplicando por 5 la cifra; despus multiplic por 2 lo obtenido. Es decir, multiplic usted la cifra por 2 * 5, o sea, por 10, y todo nmero multiplicado por 10 da un resultado que termina en cero. Sabiendo esto, yo le pido que le aada 7; ahora ya s que el nmero que tiene en su mente es de dos cifras: la primera la desconozco, pero la segunda s que es 7. La cifra que desconozco le pido que la tache. Qu nmero tiene ahora en su pensamiento? El 7, claro est. Yo podra decirle ya este nmero, pero como soy astuto, para que pierda usted la pista le pido que sume y reste a este siete diversos nmeros, cosa que yo tambin hago mentalmente. Y por fin, le digo que ha obtenido usted 17. Este nmero tiene que resultarle a usted cualquiera que sea la cifra que piense. La segunda vez sigo ya otro camino al hacer la adivinacin, de lo contrario descubrira usted demasiado pronto en qu consiste el secreto. Yo hago que empiece usted por triplicar la cifra pensada, luego le pido que vuelva a triplicar el resultado y que al nmero obtenido le aada la cifra que pens. Qu debe resultarle a usted en fin de cuentas? Es fcil de comprender, porque todo lo hecho equivale a multiplicar la cifra pensada por 3 * 3 + 1, es decir, por 10. Y otra vez s que resulta un nmero de dos cifras, cuya segunda cifra es cero. Y despus hago lo mismo que antes: digo que le sume a este nmero cualquier cifra y que tache a continuacin la primera, que para m es desconocida; queda la cifra que conozco, con la cual se hacen varias operaciones para borrar las huellas. Tercer caso. Aqu tambin se hace lo mismo, pero de otra forma. Yo le digo que duplique la cifra pensada, que lo obtenido vuelva a duplicarlo, que duplique tambin este segundo resultado y que a lo que salga le sume dos veces la cifra que pens. Qu da todo estoy Da la cifra pensada multiplicada por 2 * 2 * 2 + 1 + 1, es decir, por 10. Lo dems se comprende fcilmente. Incluso si el nmero que usted pens es 1 0, el truco no falla. Ahora ya puede hacer usted, tan bien como yo, estos experimentos con aquellos amigos suyos que no hayan ledo este libro. Tambin podr usted idear sus propios procedimientos para adivinar. Esto no es difcil. Volver 29. Adivinar un nmero de tres cifras Fijmonos otra vez en las operaciones que se hicieron con cada cifra. La primera cifra se multiplic primero por 2, luego por 5 y despus por 10, es decir, en total por 2 * 5 * 10 = 100. La segunda cifra se multiplic por 10. La tercera se aadi sin variacin alguna. Adems, a todo esto se le sum 5 * 5 * 10, o sea, 250. Por lo tanto, si al nmero obtenido se le resta 250, quedar: la primera cifra multiplicada por 100, ms la segunda multiplicada por diez, ms la tercera. En resumen, queda precisamente el nmero pensado. De esto se deduce claramente lo que hay que hacer para adivinar el nmero pensado: al resultado de todas las operaciones hay que restarle 250. Lo que queda es el nmero de que se trata. Volver 30. Truco numrico Fijndose atentamente en las operaciones hechas, es fcil advertir que el adivinador debe obtener el nmero pensado multiplicado por 4, ms 4. Por lo tanto, si se restan estos 4 y se divide lo dems por 4, se obtiene el nmero pensado. Volver 31. Cmo adivinar la cifra tachada? El que sabe cmo se deduce la condicin de divisibilidad por 9, conoce que la suma de las cifras de cualquier nmero da, cuando se divide por 9, el mismo resto que el propio nmero. Dos nmeros formados con las mismas cifras, pero colocadas en otro orden, deben, por esta razn, dar los mismos restos si se dividen por 9. Por consiguiente, si de uno de estos nmeros se resta el otro, la diferencia ser divisible por 9 (porque la diferencia de los restos iguales es nula). Sobre la base de lo expuesto puede usted saber que su compaero obtuvo, como resultado de la resta, un nmero cuyas cifras dan una suma mltiplo de 9. Como las cifras que l le dijo a usted son 8, 4, 8 y dan la suma 20, la cifra tachada tiene que ser, evidentemente, 7, que sumada a 20 da un nmero divisible por 9. Volver 32. Cmo adivinar el da y el mes de nacimiento? Para saber la fecha que se busca hay que restarle 365 al resultado final; en este caso, las dos ltimas cifras de la diferencia indicarn el nmero de orden del mes, y las que estn delante de ellas, el del da. En nuestro ejemplo

2073 - 365 = 1708.

Por el nmero 17-08 deducimos la fecha: 17/VIII. La razn de por qu esto es as se comprende si el nmero de orden del mes se designa por K, y el del da, por N, y se hacen con ellos las operaciones que se requieren. Obtenemos (2K * 10 + 73) * 5 + N = 100K + N + 365. Est claro que al restar 365 debemos obtener un nmero que contenga K centenas y N unidades. Volver 33. Cmo se adivina la edad del interlocutor? Haciendo varias veces las operaciones, se nota fcilmente que a la edad hay que aadirle siempre un mismo nmero, a saber, 1089. Por esto, si del nmero total que le dicen a usted se resta 1089, debe obtenerse la edad buscada. Si el truco se hace varias veces, para evitar que el secreto sea descubierto se puede variar la ltima operacin proponiendo, por ejemplo, dividir por 9 el nmero 1089 y sumar la edad al cociente. Volver 34. Cmo adivinar el nmero de hermanos y hermanas? Para saber el nmero de hermanos y hermanas hay que restar 75 del resultado final. En nuestro ejemplo

122 - 75 = 47.

La primera cifra de la diferencia es el nmero de hermanos, la segunda, el de hermanas. En efecto, si el nmero de hermanos es a y el de hermanas es b, las operaciones conducen a la expresin

[(a + 3) * (5 + 20)] * 2 + b + 5 = 10a + b + 75,

y en el resto deber obtenerse un nmero de dos cifras a y b unidades. Este truco puede hacerse si se tiene la seguridad de que el nmero de hermanas no es mayor que nueve. Volver 35. Truco con la gua de telfonos El secreto de este truco consiste sencillamente en que usted saba de antemano el resultado final de las operaciones hechas por su compaero: cualquiera que sea el nmero de tres cifras con que se hagan las operaciones enumeradas, el resultado que se obtenga ser siempre el mismo: 1089. De esto es fcil convencerse haciendo la prueba. Mirar previamente la gua de telfonos y aprenderse el nombre y el apellido del abonado que figura en el rengln noveno (por abajo o por arriba) de la pgina 108, ya no es cosa difcil. Volver 36. Cmo adivinar una ficha de domin? Veamos lo que se hizo con el primer nmero. Primero lo multiplicamos por 2, despus por 5, y en total por 10. Adems, le sumamos el nmero 7, que despus multiplicamos por 2; es decir, le aadimos 7 * 5 = 35. Por lo tanto, si al resultado le restamos 35, quedarn tantas decenas como puntos hay en una de las mitades de la ficha. La suma de los puntos de la otra mitad da la segunda cifra del resultado. Ahora est claro por qu las cifras del resultado dan de una sola vez los dos nmeros de puntos. Volver 37. Una memoria sorprendente El secreto de este truco consiste en que el smbolo de la tarjeta -la letra y la cifra le indica a usted el nmero que hay escrito en ella. Ante todo debe recordar usted que la letra A significa 20; la B, 30; la C, 40; la D, 50 y la E, 60. Por esto, la letra junto con la cifra que lleva al lado significa cierto nmero. Por ejemplo, A1 significa 21; C3, 43; E5, 65. Conociendo este nmero y siguiendo la regla que veremos a continuacin, puede usted formar el nmero de muchas cifras que figura en la tarjeta. Pondremos un ejemplo para demostrar como se hace esto. Supongamos que el smbolo nombrado es E4, es decir, 64. Con este nmero hace usted lo siguiente: Primero, suma sus cifras: 6 + 4 = 10. Segundo, lo duplica:

64 * 2 = 128.

Tercero, de la cifra mayor resta la menor:

6 - 4 = 2.

Cuarto, multiplica entre s las dos cifras:

6 * 4 = 24.

Y los resultados obtenidos los escribe unos a continuacin de otros:

10 128 224.

Este es el nmero que hay escrito en la tarjeta. Las operaciones que hay que hacer se pueden representar as

+ 2 - *

es decir, suma, duplicacin, resta y multiplicacin. Otros ejemplos. El smbolo de la tarjeta es D3. Qu nmero hay escrito en ella?

D3 = 53, 5 + 3 = 8, 53 * 2 = 106, 5 - 3 = 2 5 * 3 = 15

El nmero es el 8 106 215. El smbolo de la tarjeta es B8. Qu nmero hay escrito en ella?

B8 = 38 3 + 8 = 11 38 * 2 = 76, 8 - 3 = 5, 8 * 3 = 24.

El nmero es 1 176 524. Para no cansar la memoria, puede usted ir diciendo las cifras a medida que las obtiene o irlas escribiendo despacio en el encerado. Como descubrir el ardid que usted utiliza no es fcil, este truco suele desconcertar bastante al pblico. Volver 38. Una memoria extraordinaria El secreto es simple hasta ms no poder: usted escribe sucesivamente los nmeros de los telfonos de varios amigos suyos. Volver 39. Unos dados mgicos Todo consiste en el orden en que estn dispuestos los nmeros en las caras de cada dado. Los nmeros estn colocados de manera que la suma de los que hay en las caras opuestas de cada dado es igual siempre a siete (comprubelo en la fig. 279). Por esto la suma de los nmeros que hay en las caras superiores e inferiores de los cuatro dados que forman la columna es igual a 7 * 4 = 28. Restndole a 28 el nmero que hay escrito en la cara superior del dado que hay en lo alto, se puede hallar sin temor a equivocacin la suma de los nmeros que hay en las siete caras que no se ven de los dados de la columna. Volver 40. Un truco con tarjetas Se explica en el texto Volver 41. Cmo adivinar la suma de unos nmeros que no se han escrito? Si a un nmero de cinco cifras se le suman 99 999, es decir, 100 000 - 1 , delante del nmero aparece un uno y la ltima cifra disminuye en una unidad. En esto se funda el truco. Sumndole mentalmente 99 999 al primer sumando

84 706 +99 999

escribe usted la suma futura de los tres sumandos: 184 705. Lo nico que tiene que hacer ahora es procurar que el segundo y el tercer sumandos juntos sumen 99 999. Para esto, al escribir el tercer sumando, restar usted mentalmente de nueve cada una de las cifras del segundo sumando. En nuestro ejemplo el segundo sumando es 30 485; por lo que usted escribir 69 514. Y como

30 485 +69 594 ------- 99 999

el resultado escrito a priori tiene que ser exacto inevitablemente. Volver www.geocities.com/

Cmo multiplicar por 11 un nmero de dos cifras Por ejemplo, 52 11. Imagina el primer nmero con un hueco entre medias: 5 _ 2. Entonces suma los dos dgitos (5+2 = 7) y pon el resultado en el hueco central: 572. Listo! Si los dos nmeros suman ms de diez, entonces aade 1 al primer dgito y deja en el centro el dgito de la derecha (ej: 9911: 9_(9+9)_9; (9+1)_8_9 = 1089).

Trucos de adivinacion www.redescolar.ilce.edu.mx/Los nmeros tienen propiedades que nunca cambian. A partir de estas propiedades se pueden hacer trucos de matemticas que siempre funcionan, a menos que el participante o t se equivoquen en alguna operacin. Por eso es importante hacer las operaciones con cuidado. En este caso vamos a hacer trucos a partir de una propiedad del nmero 9. Quizs, adems de divertirte, quieras averiguar cul es la propiedad que estamos usando.

Truco 1Este truco consiste en pedirle a una persona que haga una serie de operaciones para que adivines el nmero que l o ella haya tachado.

1Comienza pidiendo a la persona que piense en un nmero. Sugirele que sea de una sola cifra, entre1 y 9, para que no se le compliquen demasiado las operaciones. (En realidad, esta restriccin es para que no se te complique te complique mucho el truco.)Tambin pdele que haga las cuentas con cuidado porque si se equivoca, el truco no va a salir.

2Ahora pdele que multiplique ese nmero por 10 .

3Luego, pdele que a lo que le qued le sume 6 .

4Despus que a lo que le qued le sume 3 .

5Para terminar, pdele que a lo que le qued le quite el nmero que pens originalmente.

6Es casi seguro que al final de todas estas cuentas le haya quedado un nmero de dos cifras. Pdele que tache una de esas cifras y que te diga la otra. Para poder adivinar el dgito tachado, simplemente tienes que restarle al nmero 9 , el nmero que tu participante te diga. El resultado de esa resta es el nmero tachado.

Nmero tachado = 9 - nmero que el participante te diga

Vamos a ver un ejemplo concreto:

1Vamos a suponer que la persona piensa en el nmero 4 .

2El 4 se multiplica por 10 y queda 40 .

3Al 40 se le suman 6 y queda 46 .

4Al 46 se le suman 3 y nos queda 49 .

5A 49 se le quita el nmero que pens originalmente, es decir, se le quita 4; y esto nos da como resultado 45 .

6En este paso, el participante del truco tacha uno de los nmeros de su resultado y te dice el que no tach.

7Veamos los dos casos.

Si te dice 4, al hacer la resta 9 - 4 te da un 5 , que es la otra cifra del nmero que qued al final.

Si te dice 5 , haces la resta 9 - 5 para saber que el nmero tachado es un 4.

Por qu funciona el trucoTruco 2 Al final de este truco podrs adivinar el pas, el animal y la fruta en los que tu participante est pensando.

1Pdele que piense en nmero. Sugirele que no sea muy grande para que no se le compliquen las operaciones que va a hacer.

2Pdele que multiplique este nmero por 9.

3Luego pdele que sume todas las cifras del resultado hasta que le quede una sola cifra.(Por ejemplo, si le qued 279 , se hace la suma 2+7+9 que da 18 , y luego se hace la suma 1+8 para que finalmente quede un 9.)

4A lo que le qued tiene que restarle 5 .

5Para continuar el truco, tiene que asignarle una letra a los posibles resultados de esta resta. Si le qued 1 , tiene que pensar en la letra A ; si le qued un 2 , tiene que pensar en la letra B ;si le qued un 3 , en la letra C ; si fue un 4 , en la letra D ;y as sucesivamente... que no te diga en qu letra est pensando, el truco an no termina.

6Una vez que sepa en qu letra le toca pensar, pdele que piense en un pas con esa letra.(Por ejemplo, si le qued un 5, tiene que pensar en un pas con E. Digamos que es Espaa .)

7Ahora que piense en un animal que se escriba con la segunda letra del pas en el que pens.(Como el pas que supusimos es Espaa , el nombre del animal tiene que empezar con la letra S . Pensemos en una Salamandra .)

8Luego pdele que piense en una fruta que se escriba con la tercera letra del animal en el que pens. (En nuestro caso hipottico, tendra que pensar en una fruta con la letra L . Por ejemplo, podramos pensar en Limn .)

9Despus de estos pasos, y si no se equivocaron en ningn paso, ests en listo para adivinar lo que pens. Si siguen los pasos al pie de la letra, casi todos terminan por pensar en Dinamarca, Iguana y Uva .

Por qu funciona el trucoTruco 3Con este truco puedes adivinar la edad de una persona.

1Pdele que escriba su edad en una hoja de papel. (Supongamos que la persona tiene 11 aos.)

2Dile que 94 es tu nmero de la suerte y pdele que sume 94 a su edad. (Entonces la persona tiene que sumar 11+ 94 y le quedan 105.)

3Comntale que tiene que quedar un nmero de tres cifras. Pdele que escoja el dgito de la izquierda y se lo sume a los dos dgitos restantes.

(En nuestro ejemplo, tenemos 105 , as que la suma que tendra que hacerse es 1 + 05 , que da como resultado 6. Si, por ejemplo, en lugar de tener 105, tuviramos 134, la suma que tendra que hacer es la siguiente. )

4Para que el final sea ms interesante, hazle ver que le qued un nmero que nada tiene que ver con su edad, y pdele que te lo diga.

5Para adivinar su edad slo tienes que sumar 5 al nmero que tu espectador te haya dicho.(En nuestro caso, hay que hacer la suma 6 + 5 y obtenemos el 11 que supusimos originalmente.)

Edad = nmero que el participante te diga + 5

Por qu funciona el trucoPor qu funcionan los trucos

.Ahora s, veamos qu pasa en los trucos uno por uno.

Truco 1Recapitulemos lo que hay que hacer con el nmero que se piensa:

1Multiplicarlo por 102Sumar 63Sumar 34Quitar el nmero que se pens originalmenteAl final de todas las operaciones, t obligaste al participante en el truco a obtener un nmero que es un mltiplo de 9. Y como todos los nmeros mltiplos de 9 tienen la propiedad de que la suma de los dgitos es 9, para conocer cul es la cifra tachada, suma los nmeros que te digan en voz alta y el resultado se lo quitas a 9.

Y por qu qued un nmero que es mltiplo de 9?Primero vamos a considerar que multiplicar un nmero por 10 es lo mismo que sumar el mismo nmero 10 veces. Por ejemplo, cuando hacemos la multiplicacin 5 x 10 obtenemos el mismo resultado que cuando hacemos la suma 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5. En ambos casos, el resultado es 50.

Vamos a los siguientes dos pasos a lo que te queda se le suma 6 y luego se le suma 3. En realidad, este paso es como una trampa para despistar al participante. Lo que en realidad estamos haciendo es que el participante sume 9 (primero 6y luego 3) al resultado de su multiplicacin.

Cuando le pedimos que reste el nmero que pens originalmente, estamos hacindole otra trampilla. Recuerda que al principio le pedimos que multiplicara por 10, que es lo mismo que pedirle que sume el nmero que pens 10 veces. Cuando le pedimos que reste el nmero que pens originalmente, es como hacer que no sume su nmero 10 veces, sino que lo haga 9 veces. Durante el primero y el ltimo pasos estamos obligando a nuestro participante a que sume el nmero que pens 9 veces.

Vemoslo con nuestro ejemplo concreto:

1El nmero que pensamos es 4. 2Cuando multiplicamos por 10, hacemos la suma: 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4 = 403Luego sumamos 6: 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+6 = 464Luego sumamos 3: 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+6+3 = 495Luego restamos el nmero que pensamos originalmente, es decir,4: 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+6+3 4 = 45Recuerda que la suma tiene una propiedad que se llama conmutativa, es decir, que no importa el orden en el que sumes distintos nmeros, el resultado es el mismo. Por ejemplo, cuando sumas 1+2+3 obtienes el mismo resultado que cuando sumas 1+3+2, 3+2+1 o 2+3+1.

La suma tambin tiene otra propiedad muy conveniente para hacer trucos como ste: la propiedad asociativa. Si queremos hacer la suma 1+2+3, obtenemos el mismo resultado si primero sumamos 1+2 y a lo que nos queda le sumamos 3, que si primero sumamos 2+3 y a lo que nos queda luego le sumamos 1. Esta propiedad a veces se seala con parntesis:

(1+2)+3 = 1+(2+3)Una vez hecho este recordatorio, podemos seguir adelante con la explicacin del truco. sta es una manera de representar todas las operaciones que hacemos:

4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+6+34 = 45Si ponemos algunos parntesis, la suma nos queda as:

(4+4+4+4+4+4+4+4+4+4)+(6+3)+(4) = 45Recordemos que restar es lo mismo que sumar un nmero negativo. Como la suma es conmutativa, podemos reacomodar los sumandos de la siguiente manera:

(4+4+4+4+4+4+4+4+4+4)+(4) +(6+3) = 45(4+4+4+4+4+4+4+4+4)+(6+3) = 45Sumar nueve veces el 4 es lo mismo que multiplicar 9 x 4:

(9x4)+9 = 45Que en los dos sumandos aparezca el nmero 9 quiere decir que el resultado de esta suma es un mltiplo de 9. Fjate que el proceso no depende realmente del nmero que escogimos originalmente, no importa cul sea el nmero con el que empecemos.

Aunque ste es slo un ejemplo con un nmero concreto, con la notacin algebraica se escribe en muchos menos renglones:

1Pensar en un nmerox2Multiplicarlo por 1010x 3Sumar 610x+64Sumar 310x+6+3 = 10x+9 5Quitar el nmero que se pens originalmente10x+9x = 9x9 =9(x1)Truco 2Este truco es suficientemente espectacular as como se present en esta ocasin, pero se puede hacer mucho ms impresionante. En lugar de pedir inmediatamente que multipliquen el nmero pensado por 9, se pueden hacer una serie de operaciones que tambin resulten en un nmero mltiplo de 9 (como las que se manejan en el truco 1 ). La ventaja de complicar ms el truco, es que logramos confundir y sorprender mucho ms a nuestro interlocutor.

Empezamos por pedir que multipliquen el nmero pensado por 9, es decir, estamos hacindolos que obtengan como resultado un mltiplo de 9. Su resultado, como todos los mltiplos del 9, est compuesto por dgitos que suman 9. Por eso sabemos cuando terminen de sumar los dgitos hasta que les quede una sola cifra, les va a quedar un 9. Les pedimos que resten 5 al resultado de esta suma, pero nosotros sabemos que les va a quedar un 4 y, por lo tanto, tienen que escoger la letra D.

En la siguiente parte del truco estamos confiando en la probabilidad. El participante tiene que pensar en un pas que comience con la letra D. Hay tres pases que cumplen esta propiedad: Dinamarca, Djibouti y Dominica. Lo ms probable es que piensen en Dinamarca.

Suponiendo que as lo hagan, tendrn que pensar en el nombre de un animal que comience con la letra i. Ah tambin hay tres opciones: iguana, impala e ibis. Aqu tambin es muy probable que piensen en la iguana y no en los otros dos. (El impala es un animal que parece como un venado que vive en frica y el ibis es un ave que vive casi en cualquier parte del mundo menos en las zonas muy fras.)

Como habrn escogido a la iguana, les toca pensar en una fruta con la letra u y la nica que se conoce es la uva (si alguno de ustedes conoce alguna otra, por favor hganoslo saber).

Truco 3En este truco el nmero 9 aparece un poco ms escondido; de hecho, aparece uno de sus mltiplos, el nmero 99.

Lo primero que pedimos al participante en nuestro truco es que escriba en una hoja de papel su edad, en general y para que este truco funcione, se trata de un nmero de dos cifras. Luego pedimos que sume nuestro nmero de la suerte a su edad. En ese momento el participante suma 94 al nmero que escribi originalmente. Ya para este momento le ha quedado un nmero que es mayor que 100 (esto va a pasar con todos los participantes que tienen por lo menos 6 aos porque 94 ms cualquier nmero de 6 en adelante es mayor que 100). De esta manera, sabemos que el resultado despus de esta suma es un nmero de tres cifras (por eso es importante que nuestro participante tenga una edad que es un nmero de dos cifras, si no, no nos va a quedar un nmero de tres cifras en este paso). Tambin sabemos que este nmero de tres cifras forzosamente empieza con el nmero 1 porque para que empezara con un 2, nuestro visitante tendra que tener, por lo menos, 106 aos (106 + 94 = 200).

Cuando pedimos que a los dos nmeros de derecha le sume el nmero que est ms a la izquierda, sabemos que a estos dos nmeros les suma, forzosamente un 1. Como el resultado de esta suma es un nmero que verdaderamente no tiene nada que ver con la edad que tiene, nuestro visitante no tiene manera de saber cmo vamos a adivinar su edad. Estos pasos nos han servido muy bien para confundirlo.

Ahora s, viene lo bueno... Vamos a ver qu ha hecho realmente nuestro participante en el truco. Primero sumo 94 a su edad. Esto hace que quede un nmero mayor que 100, es decir, un nmero de tres cifras cuya primera cifra es un 1. Cuando quitamos ese 1, en realidad estamos quitndole 100 al resultado de la suma. Por ejemplo, si a 167 le quitamos el 1, tenemos 67 porque 167 100 = 67. Luego, al resultado le suma 1 porque es el nmero que est en el extremo de la izquierda. Quitar 100 y luego sumar 1 es, en realidad, quitar 99, pero de una manera rebuscada para confundir a nuestro participante.

Esto quiere decir que nuestro participante primero sum a su edad 94 y luego quit 99. 94 para 99 nos da 5, que es el nmero que tenemos que sumar al resultado que el participante en el truco nos dice en voz alta para adivinar su edad.

La conveniencia del nmero 9

.

.

6 de primaria en adelante .

.Todos trucos funcnan gracias a una propiedad del nmero 9: todos los mltiplos de 9 tienen la propiedad de que sus dgitos suman 9 o un mltiplo de 9. Qu quiere decir esto? Veamos cmo se comporta la tablLa conveniencia del nmero 9stos son slo alg Todos estos trucos funcionan gracias a una propiedad del nmero 9: todos los mltiplos de 9 tienen la propiedad de que sus dgitos suman 9 o un mltiplo de 9. Qu quiere decir esto? Veamos cmo se comporta la tabla del 9.

Tabla del 9Suma de los dgitos del resultado9 x 1 = 999 x 2 = 181 + 8 =99 x 3 = 272 + 7 = 99 x 4 = 363 + 6 = 99 x 5 = 454 + 5 = 99 x 6 = 545 + 4 = 99 x 7 = 636 + 3 = 99 x 8 = 727 + 2 = 99 x 9 = 818 + 1 = 99 x 10 = 909 + 0 = 99 x 11 = 999 + 9 = 18 (18 es un mltiplo de 9 y cuando sumamos 1 + 8 volvemos a tener 9)

9 x 12 = 1081 + 0 + 8 = 99 x 13 = 1171 + 1 + 7 = 99 x 14 = 1261 + 2 + 6 = 99 x 15 = 1351 + 3 + 5 = 99 x 16 = 1441 + 4 + 4 = 9stos son slo algunos ejemplos. Toma cualquier nmero que se te ocurra y multiplcalo por 9, vers que la suma de los dgitos del resultado es 9 o un mltiplo de 9.

unos ejemplos. Toma cualquier nmero que se te ocurra y multiplcalo por 9, vers que la suma de los dgitos del resultado es 9 o un mltiplo de 9.

Nmeros

El siguiente juego es muy sorprendente, lo puedes jugar solo o con algn amigo.

Sobre una mesa coloca 20 objetos (lpices , crayolas, frijoles, fichas etc.).

Piensa en un nmero del 1 al 10 y quita esa cantidad de objetos de la mesa.

Aqu vamos a retirar 7

Cuenta los objetos que quedaron sobre la mesa y suma los nmeros de la cifra obtenida por ejemplo

Nos quedaron 13 lpices, ahora sumamos 1+3 = 4

En nuestro ejemplo quitaremos 4

Cuntos quedaron?

Vuelve a jugar colocando otra vez 20 objetos sobre la mesa y quitando, esta vez una cantidad distinta. Recuerda que la cantidad que quites siempre debe ser un nmero entre 1 y 10. Sigue los pasos anteriores.

Cuntos objetos quedan al final de cada juego?

Qu est pasando?

Para analizar lo que pasa llena la siguiente tabla

Objetos en total

Quito

Me quedan

Sumo

Vuelvo a quitar

Me quedan

20

7

13

1+3=4

4

9

20

5

15

1+5=6

6

9

Qu pasara si tuviramos ms de 20 objetos?

OJO En este caso, el resultado de la suma podra ser un nmero de dos cifras, si eso pasa, vulvelas a sumar.

Por ejemplo, si pongo 35 lpices sobre la mesa y quito 6 quedan 29. Cuando se suma 2 + 9 el resultado es 11, entonces hay que sumar 1 + 1 = 2 y quitar 2 objetos ms.Para analizar lo que pasa llena la tabla.

Objetos en total

Quito

Me quedan

Sumo

Vuelvo a quitar

Me quedan

35

6

29

2+9=111+1=2

2

27

...

Si pongo ms de 20 objetos sobre la mesa, el resultado ya no es 9, pero qu caracterstica tienen los nmeros que quedan?Un truco matemtico

Los nmeros tienen propiedades tan interesantes que con ellos podemos hacer trucos tan divertidos como este:

Qu debemos saber?Slo necesitas saber sumar, restar y conocer muy bien la tabla de multiplicar del 9

Pide a un compaero que escriba un nmero, el que sea y tan grande como quiera.

Pdele que lo multiplique por 10

Ahora pdele que al resultado que le dio le reste el nmero que pens

El nmero que quedo tiene varios dgitos, pdele que tache uno de ellos y que te diga los otros. T VAS A ADIVINAR QUE NMERO TACH.Hagamos un ejemplo:

Tu compaero escribi el siguiente nmero6372309

Lo multiplic por 10 y le qued6372309 x 10------------63723090

A este resultado le rest el nmero que escribi al principio63723090- 6372309------------57350781

El nmero que le qued es57350781

Supongamos que tach el 8573507X1

Entonces, los nmeros que le quedaron son:5, 7, 3, 5, 0, 7, y 1

Para que tu puedas adivinar qu nmero tach, tendrs que sumar esos nmeros

5+7+3+5+0+7+1=28

cul es mltiplo de 9 que est ms prximo a 28 y que sea mayor que 28 ?En este caso es el 36. Pero 28 para 36 son 8 y justamente es 8 el nmero que tach.36-28=8Podras averiguar qu est pasando?

LOS JUEGOS Y JUGUETES COMO HERRAMIENTA EDUCATIVA

Nstor Daniel Snchez Londoo

A MANERA DE INTRODUCCIN

Esta es una reflexin que he venido haciendo hace algn tiempo; como Recreacionista que soy, pues creo que frente al papel que los juegos y los juguetes puedan cumplir en los espacios y momentos educativos no se ha dicho mucho y no solo no se ha dicho mucho, si no que adems, lo que se ha dicho, no ha sido valorado de manera suficiente. Es por ello que me atrevo a retomar el tema de los juguetes y los juegos como herramienta educativa.

JUEGOS Y JUGUETES

UNA DISTINCIN IMPORTANTE:

Cada da es ms comn escuchar a padres e hijos, comentar sobre la adquisicin de juegos y no de juguetes; aqu parece importante hacer la distincin entre juegos y juguetes, ya que los juegos son las acciones desarrolladas por los humanos para "x" motivo y los juguetes son elementos, claro est, indispensables para el desarrollo de la accin.[1]

Los personas no adquirimos juegos, compramos o construimos juguetes que sirven para la accin de jugar. Ej. Las cartas no son un juego si no un juguete y sirven para realizar distintos juegos, al igual que el domino o el parqus, tan conocido en nuestro medio.

Para la realizacin de juegos, no siempre es necesario adquirir juguetes en el mercado, pues los que fabrican los mismos usuarios, terminan siendo ms apetecidos por stos; ms adelante volveremos sobre este punto.

Los juguetes tienen la caracterstica de ser inanimados y su vitalidad la da siempre un jugador, incluso cundo hablamos de los ms modernos, que tambin hablaremos de ellos ms adelante, son juguetes que necesitan de un jugador para poder "ser", por ejemplo, la mueca que dice pap y mam, termina siendo una mueca repetitiva en sus palabras y cansando a la duea aunque sta no lo manifieste, olvidndola y cambindola por otra que le dir todos lo que ella desea escuchar[2], en resumidas cuentas, esa mueca no es pieza de un juego, si la flamante propietaria no oprime un botn para hacerla participe de alguna aventura infantil.

HABLEMOS DE LOS JUGUETES:

Los juguetes existen hace millones de aos y son producto de las circunstancias culturales y sociales de los pueblos; no vamos a adentrarnos en la historia de stos, aunque valdra la pena, si no que vamos a recoger aqu, slo las caractersticas de dos juguetes; uno que hace referencia a los "viejitos" y otro a los juguetes modernos.

Empecemos por la reina de los juguetes[3]: la mueca, la que no habla y que no tiene movimiento, aquella relegada a ser comprada por los ms pobres; a nuestro juicio, es un excelente juguete, precisamente por el hecho de no hablar, no tener movimiento propio, se convierte en un elemento verstil, tanto como la duea; sta entra profundamente en el mundo de la jovencita que asume jugar con el objeto. Basta con observar a un grupo de nios y nias jugando a representar una escena de la cotidianidad familiar de alguno de los protagonistas y las muecas se convierten en enfermeras, cocineras, doctoras, amas de casa y la lista sera tan larga como la experiencia de los participantes; es decir, la versatilidad del juguete consiste en la apropiacin que el dueo y en este caso la duea pueda hacer de ella.

Estos juguetes posibilitan la creatividad infantil de manera amplia, permitindoles mayores condiciones para la vivencia de sus espacios afectivos, sociales y squicos.[4]

El juguete es un posibilitador si se quiere de los sueos de los infantes, siempre que stos puedan convertir a sus juguetes en protagonistas de sus ms profundos deseos.

Ahora nos referimos a los juguetes ms modernos: pensemos en la pista de carros, en la que stos se chocan y su dueo o dueos pueden corregir manualmente para volver a enfrentarlos a la velocidad de la pista y de la potencia de las bateras que se pueden adquirir. Ante esta propuesta ldica - consumista, nos surgen interrogantes como:

Qu otro juego puede desprenderse de esta propuesta?

Qu creatividad permite este tipo de juguetes a los nios?

Como podemos nos encontramos ante un juguete que obligara a los nios a ponerlo al centro de los juegos ejercitados, un juguete repetitivo, poco verstil y no posibilitador de los deseos de los nios. La relacin jugador juguete, en una relacin simple donde el jugador no tiene muchas posibilidades de crear de hacer del juguete eso, su juguete.

Para terminar, quisiramos plantear como alternativa, el uso de juguetes menos sofisticados cada da ya que los modernos terminan por fastidiar a los adultos y guardados en la habitacin de los nios para no ser destruidos por stos, gracias al precio que pap y mam pagaron en el supermercado; qu sentido tiene comprar juguetes que los nios y nias no pueden utilizar por prohibicin expresa de las mismas personas que se los compraron.

UNA PALABRITA SOBRE LOS JUEGOS:

Para no detenernos aqu, slo basta con decirles que con los juegos pasa algo similar a los juguetes; existen hoy un conjunto de juegos que posibilitan a l@s ni@s el encuentro con los otros y por ello facilitan la vida social de stos, al igual que su vida afectiva y por otro lado, han surgido en el mercado un conjunto de juguetes modernos que facilitan el juego de personas solas y que pueden en un momento determinado dificultar el acceso de los pequeos en el concierto social, contrario a juguetes y juegos que lo facilita.

LO EDUCATIVO:

Esta parte del artculo, es realmente lo que nos convoca; lo anterior era importante para hacer ver, hacia dnde podremos llevar los juegos desde una perspectiva educativa.

De entrada, podremos decir que los sistemas educativos, se han caracterizado por su rigidez, por transmitir el conocimiento desde la ptica de lo serio, como una herencia quizs del c