10. Representación gráfica de funciones

Universidad de Cadiz

Departamento de Matematicas

MATEMATICAS

para estudiantes de primer curso

de facultades y escuelas tecnicas

Tema 10

Representacion grafica de funciones reales de una variable real

Elaborado por la Profesora Doctora Marıa Teresa Gonzalez Montesinos

Indice

1. Introduccion 1

2. Pasos a seguir para la representacion grafica de una funcion 1

2.1. Calculo del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3. Ejemplos 2

3.1. Representacion de la funcion f(x) = x4 − 5x2 + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.1.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2. Representacion de la funcion f(x) =x

x− 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Representacion de la funcion f(x) =3

x2 − 3x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


3.4. Representacion de la funcion f(x) =x3 + 1

x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4.1. Dominio de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4.2. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.3. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.4. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.5. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4.6. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5. Representacion de la funcion f(x) = xex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5.1. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


3.6. Representacion de la funcion f(x) = ln(4 − x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Matematicas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas tecnicas

3.6.1. Simetrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.6.2. Corte con los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.3. Asıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.4. Crecimiento y decrecimiento de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.6.5. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Ejercicios propuestos 16

Tema 10 1

1. Introduccion

Hasta ahora, para representar graficamente una funcion y = f(x) calculabamos el dominio de estay confeccionabamos una tabla de valores o de puntos de la forma (x, f(x)), siendo x ∈ dom(f); dichospuntos se dibujaban en el plano y se iban uniendo mediante lıneas, formandose ası una curva que seaproximaba a la grafica de la funcion f .

En este tema aprovecharemos el estudio que hemos realizado de las funciones en el tema anteriorpara elaborar una representacion grafica mas detallada; ademas, podremos representar funciones que,con el metodo de las tablas de valores, nos hubiera resultado imposible.

2. Pasos a seguir para la representacion grafica de una funcion

Sea y = f(x) una funcion. Para reprensentarla graficamente hay que seguir los pasos siguientes:

2.1. Calculo del dominio

Ya se estudio en el tema 7 que

dom(f) = {x ∈ R : ∃f(x)}

2.2. Simetrıas

Recordemos que

f(−x) = f(x),∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es par

f(−x) = −f(x),∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es impar

2.3. Corte con los ejes coordenados

La grafica de la funcion y = f(x) cortara al eje de abcisas o eje OX en un punto x0 ∈ dom(f) sif(x0) = 0, y cortara al eje de ordenadas o eje OY si 0 ∈ dom(f).

b

bCorte con el eje OYCorte con el eje OX

(0, f(0))

(x0, 0)X

Y

Figura 1: Corte de la curva y = f(x) con los ejes coordenados.


2.4. Asıntotas

Las asıntotas pueden ser de tres tipos:

Verticales.- La recta x = a es una asıntota vertical de f si

lımx→a−

f(x) = ±∞, lımx→a+

f(x) = ±∞

siendo a /∈ dom(f), por lo que la curva jamas cortara a dicha asıntota.

Horizontales.- La recta y = b es una asıntota horizontal de f si

lımx→±∞

f(x) = b

Oblicuas.- La recta y = mx + n es una asıntota oblicua de f si

lımx→±∞

f(x)

x= m, lım

x→±∞[f(x) − mx] = n

Es fundamental tener en cuenta que si f posee asıntotas horizontales entonces no tendra asıntotaoblıcua alguna.

2.5. Crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos

En este paso se trata de averiguar en que puntos del dominio la funcion es creciente o decrecientey de calcular los maximos y mınimos de la funcion. Para ello nos seran de gran utilidad los conceptosestudiados en el tema 9.

2.6. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexion

Aquı hay que hallar la concavidad, convexidad y puntos de inflexion de f haciendo uso de loestudiado en el tema anterior.

3. Ejemplos

3.1. Representacion de la funcion f(x) = x4 − 5x2 + 4

3.1.1. Dominio de f

Como f es un polinomio tendremos que dom(f) = R .

3.1.2. Simetrıas

Al ser

f(−x) = (−x)4 − 5(−x)2 + 4 = x4 − 5x2 + 4 = f(x), ∀x ∈ R,

podemos afirmar que f es una funcion par o simetrica respecto del eje de ordenadas.

Tema 10 3

3.1.3. Corte con los ejes coordenados

Eje OX: Se tiene que

f(x) = 0 ⇐⇒ x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇐⇒ x = ±1, x = ±2,

de modo que los puntos de corte seran

(−2, 0), (−1, 0), (1, 0), (2, 0)

Eje OY : Al ser f(0) = 4, el punto buscado es (0, 4) .

3.1.4. Asıntotas

Verticales.- La funcion f no posee asıntotas verticales pues no tiene puntos de discontinuidad.

Horizontales.- Puede probarse facilmente que

lımx→±∞

f(x) = +∞,

por lo que f tampoco posee asıntotas horizontales.

Oblicuas.- Al igual que en el caso anterior, se demuestra de forma sencilla que

lımx→±∞

x4 − 5x2 + 4

x= ±∞,

de modo que no existen asıntotas oblicuas.

3.1.5. Crecimiento y decrecimiento de f

Calculemos en primer lugar los puntos crıticos de f . Para ello,

f ′(x) = 4x3 − 10x = 0 ⇐⇒ x = 0, x = −√

10

2, x =

√10

2.

Para averiguar si estos puntos son maximos o mınimos, procedamos por el criterio de la segundaderivada. Ası, al ser f ′′(x) = 12x2 − 10, se obtiene:

f ′′

(

−√

10

2

)

= 20 > 0

f ′′(0) = −10 < 0

f ′′

(√10

2

)

= 20 > 0

=⇒x =

−√

10

2es un mınimo relativo

x = 0 es un maximo relativo

x =

√10

2es un mınimo relativo

=⇒

f es decreciente en

(

−∞,−√

10

2

)

f es creciente en

(

−√

10

2, 0

)

f es decreciente en

(

0,

√10

2

)

f es creciente en

(√10

2,+∞

)


Para representar los maximos y mınimos en el plano hay que calcular sus imagenes:

f(0) = 4, f

(

±√

10

2

)

= −9

4.

3.1.6. Concavidad y convexidad

Sabemos que los puntos de inflexion de f son las soluciones de la ecuacion f ′′(x) = 0, ası que

f ′′(x) = 12x2 − 10 = 0 ⇐⇒ x = ±√

30

6.

Ahora debemos estudiar el signo de f ′′ a la izquierda y a la derecha de estos puntos para ver dondees convexa o concava la funcion:

−1 <−√

30

6; f ′′(−1) = 2 > 0

−√

30

6< 0 <

√30

6; f ′′(0) = −10 < 0

1 >

√30

6; f ′′(1) = 2 > 0

=⇒

f ′′(x) > 0, ∀x ∈(

−∞,−√

30

6

)

f ′′(x) < 0, ∀x ∈(

−√

30

6,

√30

6

)

f ′′(x) > 0, ∀x ∈(√

30

6,+∞

)

=⇒

f es convexa en

(

−∞,−√

30

6

)

f es concava en

(

−√

30

6,

√30

6

)

f es convexa en

(√30

6,+∞

)

Solo falta hallar las imagenes por f de los puntos de inflexion para representarlos en la grafica:

f

(

±√

30

6

)

=700

729.

De este modo, la representacion grafica de la funcion queda como

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -2 2 4• •• •

•

• •

• •

Y

X

Tema 10 5

3.2. Representacion de la funcion f(x) =x

x− 4

3.2.1. Dominio de f

f es una funcion racional, de modo que el denominador no debe anularse. Por lo tanto

x ∈ dom(f) ⇐⇒ x − 4 6= 0 ⇐⇒ x 6= 4

=⇒ dom(f) = R − {4}

3.2.2. Simetrıas

Como

f(−x) =−x

−x − 46= f(x) y f(−x) =

−x

−x − 46= −f(x), ∀x ∈ R,

f no es par ni impar.



f(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

con lo que el unico punto de corte sera (0, 0) .

Eje OY : Al ser f(0) = 0, volvemos a obtener el mismo punto anterior.

3.2.4. Asıntotas

Verticales.- La recta x = 4 va a ser una asıntota vertical, pero debemos hallar los lımites lateralespara ver si la funcion se dirige hacia +∞ o −∞. Para ello, elaboramos las correspondientestablas de valores:

x → 4− f(x)

3.9 -393.99 -3993.999 -39993.9999 -39999

......

x → 4+ f(x)

4.1 414.01 4014.001 40014.0001 40001

......

De las tablas anteriores se deduce que

lımx→4−

f(x) = −∞, lımx→4+

f(x) = +∞.

Horizontales.- Tenemos que

lımx→∞

f(x) = 1,

lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las correspondientes tablas de valores:


x → −∞ f(x)

-10 0.714-100 0.96154-1000 0.99602-10000 0.9996001

......

x → +∞ f(x)

10 1.66667100 1.041671000 1.0040210000 1.0004002

......

De este modo, la recta y = 1 es la asıntota horizontal de f .

Oblicuas.- f no posee una asıntotas oblicuas por tener una asıntota horizontal.


La derivada de f viene dada por f ′(x) = − 4

(x − 4)2. Notese que f ′(x) < 0 para cualquier x ∈

dom(f), por lo que podemos afirmar que f es decreciente en todo su dominio.


La derivada segunda de f es la funcion f ′′(x) =8

(x − 4)3. Tenemos que f ′′ no se anula nunca, de

modo que no existen puntos de inflexion; no obstante, sı que cambia de signo:

x < 4 =⇒ f ′′(x) < 0x > 4 =⇒ f ′′(x) > 0

}

=⇒ f es concava en (−∞, 4)f es convexa en (4,+∞)

Consecuentemente, la representacion grafica de la funcion sera

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-10 -5 5 10 15• •

Y

X

Tema 10 7

3.3. Representacion de la funcion f(x) =3

x2 − 3x

3.3.1. Dominio de f

Esta es una funcion racional cuyo denominador debe ser no nulo, ası que

x ∈ dom(f) ⇐⇒ x2 − 3x = x(x − 3) 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0, x 6= 3

=⇒ dom(f) = R − {0, 3}

3.3.2. Simetrıas

Tenemos que

f(−x) =3

(−x)2 − 3(−x)=

3

x2 + 3x6={

f(x),

−f(x),

por lo que f no es par ni impar.


Eje OX: Al ser f(x) 6= 0, para cualquier punto x ∈ dom(f), la curva no cortara al eje de abcisas.

Eje OY : Como 0 /∈ dom(f), la grafica de f tampoco cortara al eje de ordenadas.

3.3.4. Asıntotas

Verticales.- Las rectas x = 0 y x = 3 son las asıntotas verticales de esta funcion. Hallemos loslımites laterales de f en los puntos x = 0 y x = 3 para estudiar el comportamiento de la funcion.Para ello, confeccionemos las tablas de valores para cada uno de los puntos:

x → 0− f(x)

-0.1 9.677419-0.01 99.66778-0.001 999.66678-0.0001 9999.666678

......

x → 0+ f(x)

0.1 -10.344830.01 -100.3344480.001 -1000.333440.0001 -10000.33334

......

x → 3− f(x)

2.9 -10.3448282.99 -100.334452.999 -1000.333442.9999 -10000.33334

......

x → 3+ f(x)

3.1 9.6774193.01 99.6677743.001 999.6667783.0001 9999.6667

......

A partir de estas tablas se llega a que

lımx→0−

f(x) = +∞, lımx→0+

f(x) = −∞,

lımx→3−

f(x) = −∞, lımx→3+

f(x) = +∞.


Horizontales.- Comprobemos que lımx→∞ f(x) = 0. Efectivamente, las siguientes tablas de valoresnos lo confirman:

x → −∞ f(x)

-10 0.023077-100 2,91262 · 10−4

-1000 2,99103 · 10−6

......

x → +∞ f(x)

10 0.042857100 3,09278 · 10−4

1000 3,00903 · 10−6

......

En consecuencia, la recta y = 0 es una asıntota horizontal de f .

Oblicuas.- Esta funcion, al poseer una asıntota horizontal, no tendra asıntotas oblicuas.


La derivada de la funcion f es f ′(x) =−3(2x − 3)

x2(x − 3)2. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento

de esta funcion debemos resolver la ecuacion f ′(x) = 0; de este modo,

−3(2x − 3)

x2(x − 3)2= 0 ⇐⇒ 2x − 3 = 0 ⇐⇒ x =

3

2.

Ahora debemos comprobar si el punto estacionario obtenido como solucion de la ecuacion anteriores un maximo o un mınimo de f . Para ello, haremos uso del criterio de la derivada primera de f .Tenemos que el denominador de f ′ es siempre positivo en el dominio de f , con lo que

f ′(x) < 0 ⇐⇒ −3(2x − 3) < 0 ⇐⇒ 2x − 3 > 0 ⇐⇒ x >3

2,

f ′(x) > 0 ⇐⇒ −3(2x − 3) > 0 ⇐⇒ 2x − 3 < 0 ⇐⇒ x <3

2.

Ahora bien, como los puntos x = 0 y x = 3 no pertenecen a dom(f), tendremos que

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈(

−∞,3

2

)

− {0}

f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈(

3

2,+∞

)

− {3}

=⇒f es creciente en

(

−∞,3

2

)

− {0}

f es decreciente en

(

3

2,+∞

)

− {3}=⇒ 3

2es un maximo local de f

Ademas es f

(

3

2

)

= −4

3.


La derivada segunda de f viene dada por f ′′(x) =18(x2 − 3x + 3)

x3(x − 3)3. Sera f ′′(x) = 0 siempre y

cuando el numerador de f ′′ se anule. Tenemos sin embargo que la ecuacion x2 − 3x + 3 = 0 no posee

Tema 10 9

raıces reales, por lo que x2−3x+3 sera siempre positivo o siempre negativo. Para comprobar esto solotenemos que sustituir un punto cualquiera en la expresion; por ejemplo, si tomamos x = 0 se obtiene

02 − 3 · 0 + 3 = 3 > 0 =⇒ x2 − 3x + 3, ∀x ∈ R.

No obstante, debido a la forma que tiene el denominador de f ′′, esta sı cambiara de signo, y este sera elmismo que el del denominador.

Tenemos en primer lugar que

x3(x − 3)3 < 0 ⇐⇒ [x(x − 3)]3 < 0 ⇐⇒ x(x − 3) < 0

⇐⇒

x < 0, x − 3 > 0

o bien

x > 0, x − 3 < 0

⇐⇒

x < 0, x > 3 (imposible)

o bien

x > 0, x < 3

⇐⇒ x ∈ (0, 3);

por lo tanto,

x3(x − 3)3 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,+∞).

Podemos afirmar pues que

f ′′(x) < 0, ∀x ∈ (0, 3) =⇒ f es concava en (0, 3)f ′′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,+∞) =⇒ f es convexa en (−∞, 0) ∪ (3,+∞)

La representacion grafica de esta funcion sera pues de la forma

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3 4 5• •

•

Y

X

3.4. Representacion de la funcion f(x) =x3 + 1

x2

3.4.1. Dominio de f

Nos encontramos de nuevo ante una funcion racional, cuyo denominador solo se anula para x = 0,con lo que

dom(f) = R − {0}


3.4.2. Simetrıas

Al ser

f(−x) =(−x)3 + 1

(−x)2=

−x3 + 1

x26={

f(x),

−f(x),

f no es ni par ni impar.


Eje OX: Tenemos que

f(x) =x3 + 1

x2= 0 ⇐⇒ x3 + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1,

esto es, el punto de corte con el eje de abcisas es el (−1, 0)

Eje OY : Como 0 /∈ dom(f), la grafica de f no cortara al eje de ordenadas.

3.4.4. Asıntotas

Verticales.- Veamos que la recta x = 0 es la unica asıntota vertical que posee esta funcion elabo-rando la tabla de valores correspondiente para hallar los lımites de f en el punto x = 0:

x → 0− f(x)

-0.1 99.9-0.01 9999.99

......

x → 0+ f(x)

0.1 100.10.01 10000.0

......

En efecto, en virtud de los valores obtenidos en las tablas anteriores podemos afirmar que

lımx→0−

f(x) = +∞, lımx→0+

f(x) = +∞ =⇒ lımx→0

f(x) = +∞.

Horizontales.- Esta funcion no posee asıntotas horizontales pues

lımx→±∞

f(x) = ±∞

Ası es; si observamos las tablas de valores que se exponen a continuacion podemos ver que dichaafirmacion es cierta:

x → −∞ f(x)

-10 -9.999-100 -99.9999-1000 -999.9999

......

x → +∞ f(x)

10 10.01100 100.00011000 1000.000001

......

Al ser infinitos ambos lımites infinitos, f no posee asıntota horizontal alguna.

Oblicuas.- Tenemos en primer lugar que

m = lımx→∞

f(x)

x= lım

x→∞

x3 + 1

x3= 1,

lo cual puede comprobarse perfectamente elaborando las tablas de valores correspondientes:

Tema 10 11

x → −∞ f(x)

x-10 0.999-100 0.999999

......

x → +∞ f(x)

x10 1.001100 1.000001...

...

En segundo lugar, puede comprobarse facilmente que

n = lımx→∞

[f(x) − mx] = lımx→∞

(

x3 + 1

x2− x

)

= lımx→∞

1

x2= 0.

De este modo, la recta y = x , es decir, la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero, es laasıntota oblicua que posee esta funcion.


La derivada de la funcion f es f ′(x) =x3 − 2

x3. Resolvamos la ecuacion f ′(x) = 0:

x3 − 2

x3= 0 ⇐⇒ x3 − 2 = 0 ⇐⇒ x3 = 2 ⇐⇒ x =

3√

2.

Comprobemos ahora si la solucion de la ecuacion anterior es un maximo o un mınimo de f utilizandodel criterio de la derivada segunda de f . Como

f ′′(x) =6

x4> 0, ∀x ∈ dom(f),

en particular,

f ′′

(

3√

2)

> 0 =⇒ x =3√

2 es un mınimo relativo de f

De este modo podemos afirmar que

f es decreciente en(

0, 3√

2)

f es creciente en(

3√

2,+∞)

Pero, ¿que comportamiento tiene la funcion f en el intervalo (−∞, 0)? Para conocerlo, debemos saberque signo posee f ′ en los puntos de dicho intervalo:

f ′(x) =x3 − 2

x3> 0 ⇐⇒

x3 − 2 > 0, x3 > 0

o bien

x3 − 2 < 0, x3 < 0

⇐⇒

x3 > 2, x > 0

o bien

x3 < 2, x < 0

⇐⇒

x > 3√

2, x > 0

o bien

x < 3√

2, x < 0

⇐⇒

x > 3√

2

o bien

x < 0

En consecuencia,

f ′(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 0) =⇒ f es creciente en (−∞, 0)

Finalmente, se tiene que f(

3√

2)

=3

3√

22≃ 1,89.



En virtud de lo visto en el apartado anterior,

f ′′(x) > 0, ∀x ∈ dom(f) =⇒ f es convexa

Esta funcion tendra entonces como grafica la que se expone a continuacion:

-5

0

5

10

-3 -2 -1 1 2 3•

•

Y

X

3.5. Representacion de la funcion f(x) = xex

Esta funcion es el producto de un polinomio de primer grado por la funcion exponencial de basee, por lo que

dom(f) = R .

3.5.1. Simetrıas

Esta funcion no es par ni impar ya que

f(−x) = −xe−x =−x

ex6={

f(x),

−f(x).



f(x) = xex = 0 ⇐⇒ x = 0,

de modo que el punto de corte con el eje de abcisas es el (0, 0)

Eje OY : Como f(0) = 0e0 = 0, volvemos a obtener el origen de coordenadas como punto de inter-seccion con el eje OY .

Tema 10 13

3.5.3. Asıntotas

Verticales.- Como el dominio de f es todo R, la funcion no tendra asıntotas verticales.

Horizontales.- Para hallar las asıntotas horizontales de f , calculemos los lımites infinitos de la fun-cion. Para ello, confeccionemos las tablas de valores pertinentes:

x → −∞ f(x)

-10 -0.000454-100 −3,72 · 10−42

......

x → +∞ f(x)

10 220264.66100 2,69 · 1045

......

A partir de los valores obtenidos se tiene que

lımx→−∞

f(x) = 0, lımx→+∞

f(x) = +∞,

con lo que la recta y = 0 es la asıntota horizontal de la funcion.

Oblicuas.- Como f tiene una asıntota horizontal, no puede poseer asıntotas oblicuas.


La funcion f tiene como derivada la funcion

f ′(x) = ex + xex = ex(x + 1)

Resolvamos la ecuacion f ′(x) = 0, teniendo en cuenta que ex > 0, ∀x ∈ R:

ex(x + 1) = 0 ⇐⇒ x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1.

Veamos si el punto x = −1 es un maximo o un mınimo de f utilizando del criterio de la derivadaprimera de f :

f ′(x) = ex(x + 1) > 0 ⇐⇒ x + 1 > 0 ⇐⇒ x > −1,

f ′(x) = ex(x + 1) < 0 ⇐⇒ x + 1 < 0 ⇐⇒ x < −1.

Entonces

f ′(x) < 0 en (−∞,−1)f ′(x) > 0 en (−1,+∞)

}

=⇒ fes decreciente en (−∞,−1)fes creciente en (−1,+∞)

Consecuentemente,

x = −1 es un mınimo relativo

Mas aun, como podremos comprobar a la hora de representar la funcion, veremos dicho punto es un

mınimo absoluto , con f(−1) = −1

e≃ −0,3679.



En este caso tenemos que f ′′(x) = 2ex + xex = ex(x + 2). Resolvamos la ecuacion f ′′(x) = 0 parahallar los posibles puntos de inflexion:

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ ex(x + 2) = 0 ⇐⇒ x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −2

Estudiemos ahora el signo de la derivada segunda a la izquierda y a la derecha del punto de inflexion.Para ello tomamos puntos arbitrarios:

f ′′(−3) = e−3(−3 + 2) = −e−3 < 0, f ′′(0) = e0(0 + 2) = 2 > 0 =⇒

f ′′(x) < 0 en (−∞,−2)f ′′(x) > 0 en (−2,+∞)

}

=⇒ f es concava en (−∞,−2)f es convexa en (−2,+∞)

Teniendo en cuenta que f(−2) = −2/e2 ≃ 0,271, la representacion grafica de esta funcion es pues

-1

0

1

2

3

4

5

-4 -2 2 4•

••

Y

X

3.6. Representacion de la funcion f(x) = ln(4− x2)

Esta funcion es el logaritmo neperiano de un polinomio de segundo grado, de modo que debe ser

4 − x2 > 0 ⇐⇒ x2 < 4 ⇐⇒ −2 < x < 2,

de donde dom(f) = (−2, 2) , es decir, el dominio de f es un intervalo abierto y finito.

3.6.1. Simetrıas

Esta funcion es par pues

f(−x) = ln(4 − (−x)2) = ln(4 − x2) = f(x), ∀x ∈ (−2, 2).

Tema 10 15



f(x) = ln(4 − x2) = 0 ⇐⇒ 4 − x2 = 1 ⇐⇒ x2 = 3 ⇐⇒ x = ±√

3,

ası que los puntos de corte con el eje de abcisas es el (−√

3, 0), (√

3, 0) .

Eje OY : Como f(0) = ln(4−02) = ln 4 ≃ 1,386, el punto de corte con el eje de ordenadas viene dado

por (0, ln 4) .

3.6.3. Asıntotas

Verticales.- Veamos que las rectas x = −2 y x = 2 son las asıntotas verticales de esta funcion.Notese que, al ser dom(f) = (−2, 2), solo podemos calcular lımx→−2+ f(x) y lımx→2− f(x), pueses imposible hallar las imagenes de puntos que se encuentren a la izquierda de x = −2 y a laderecha de x = 2. Elaboremos pues las tablas de valores correspondientes a ambos lımites:

x → −2+ f(x)

-1.9 -0.9416-1.99 -3.2214-1.999 -5.5217-1.9999 -7.8241-1.99999 -10.1266

......

x → 2− f(x)

1.9 -0.94161.99 -3.22141.999 -5.52171.9999 -7.82411.99999 -10.1266

......

Deducimos de lo anterior que

lımx→−2+

f(x) = lımx→2−

f(x) = −∞.

Horizontales.- Es fundamental observar que no existen asıntotas horizontales, ya que el dominio def es el intervalo (−2, 2) y, por lo tanto, no existen los lımites infinitos de esta funcion.

Oblicuas.- Por la misma razon anterior, f no posee asıntotas oblicuas.


La derivada de la funcion f viene dada por f ′(x) =2x

x2 − 4. La ecuacion f ′(x) = 0 tiene como unica

solucion el punto x = 0. Veamos ahora si dicho punto es un maximo o un mınimo de f utilizando delcriterio de la derivada segunda de f .

Como f ′′(x) =−2(x2 + 4)

(x2 − 4)2< 0, para cualquier x 6= 2, tendremos en particular que

f ′′(0) < 0 =⇒ x = 0 es un maximo relativo de f

Ademas, como se vera a la hora de representar la curva, dicho punto es en realidad un maximo absolutode la funcion. Mas aun, este punto es el de interseccion con el eje de ordenadas.



Ya vimos en el apartado anterior que f ′′(x) < 0 para todo punto x 6= 2, de modo que f es concavaen todo su dominio.

Tenemos entonces que la grafica de f es de la forma

-4

-2

0

2

4

-2 -1 1 2

•

• •

Y

X

4. Ejercicios propuestos

(1) Hallense las asıntotas de las siguientes funciones:

a) f(x) =3x2 + 1

x, g(x) = e

1

x−3 ;

b) f(x) =2x + 2

x− 1, g(x) = ln(x2 − 2x + 1).

(2) Representa graficamente las siguientes funciones, previa determinacion del dominio de definicion,continuidad, intervalos de crecimiento y concavidad, puntos singulares, asıntotas y simetrıas:

a) f(x) = −x2 + 3, g(x) = x3 − 2;

b) f(x) = x4 − 10x2 + 9, g(x) =x + 2

x − 3;

c) f(x) =x

x2 − 1, g(x) =

x

x2 + 1;

d) f(x) =√

1 − x2, g(x) =√

x2 − 1;

e) f(x) = ln(x − 3), g(x) =e2x

ex2.

(3) Dada la funcion y = ax3 + bx2 + cx + d que admite un maximo y = 1 para x = −1 y un mınimoy = −2 para x = 2, se pide:

a) Calcular los coeficientes a, b, c, d.

b) Coordenadas del punto de inflexion de la curva representada por la ecuacion dada. Hallartambien la ecuacion de la tangente en ese punto.

Tema 10 17

c) Representacion grafica de la funcion.

(4) Dada la funcion f(x) =ax + b

cx − 1, calcula a, b y c, sabiendo que f(−3) =

1

4, f

(

4

3

)

= −3 y

f

(

1

4

)

=4

3. Estudia la funcion y representala graficamente.

10. Representación gráfica de funciones

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