DINMICA Y CONTROL DE PROCESOS

ILM 1

10 ESTUDIO DINMICO DE UN REACTOR

A modo de ejemplo de diferentes aspectos que hemos estudiado hasta el momento

veremos el comportamiento dinmico de un reactor de mezcla completa no isotrmico

en el que ocurre una reaccin de orden uno, A B.

Para construir el modelo se realizarn las siguientes suposiciones:

Mezcla perfecta del fluido Volumen constante Valores constantes para los parmetros Por simplicidad podemos asumir que la temperatura de la camisa (que se

comporta en rgimen de mezcla completa) puede ser manipulada directamente

(y por tanto nos evitamos el correspondiente balance)

Definimos los siguientes parmetros y variables:

A rea para el intercambio de calor

CA Concentracin de A en el reactor

CAin Concentracin de A en la corriente de alimentacin

cp Capacidad calorfica (energa/masatemperatura)

v Flujo volumtrico (volumen/tiempo)

k0 Factor pre-exponencial (tiempo-1

)

R Constante de los gases (energa/moltemperatura)

rA Velocidad de reaccin por unidad de volumen (mol/volumen/tiempo)

t Tiempo

T Temperatura del reactor

Tin Temperatura de la alimentacin

Tc Temperatura de la camisa

Tref Temperatura de referencia

U Coeficiente global de transferencia de calor (energa/(tiemporeatemp.))

V Volumen de reactor

E Enega de activacin (energa/mol)

(-H) Entalpa de reaccin (energa/mol)

Densidad (masa/volumen)

Qrem Tc

Tc

Tcin

vc CAin

T

v

CA

v

CAin

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ILM 2

Planteamos el balance de masa global

=

Como la cantidad de materia dentro del reactor es constante, asumiendo densidad

constante =

= 0

Realizamos tambin el balance del componente A:

=

Y tambin el balance de energa:

= +

Las ecuaciones de estado seran:

1 , =

=

2 , =

=

+

Siguiendo Arrhenius la expresin de velocidad:

=

Las soluciones de estado estacionario sern aquellas que verifiquen

1 , =

= 0 =

2 , =

= 0 =

+

Si damos valores numricos a los parmetros del modelo, por ejemplo

v/V = 1 hr-1

ko = 97033600 hr-1

-H = 5960 kcal/kmol Ea = 11843 kcal/kmol

cp = 500 kcal/(m3C)

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ILM 3

Tin = 25 C

CAin = 10 kmol/m3

UA/V = 150 kcal/(m3C hr)

Tc = 25 C

Podemos resolver el problema trabajando por ejemplo con la funcin fsolve de Scilab, si

previamente definimos las funciones de f1 y f2 de las cuales queremos hallar las races

(ver ejem10.1.sce). Por ejemplo iniciando la iteracin en el punto (9 , 300) (concentracin en kmol/m

3 y temperatura en Kelvin), el clculo converge al punto

(8.5636 , 311.17) que es entonces una de las soluciones del sistema de ecuaciones y

representa uno de los puntos de estado estacionario o puntos de trabajo del reactor.

Partiendo de otros puntos iniciales se puede llegar a otras soluciones, en concreto a

(5.518 , 339.1) y (2.359 , 368.1).

Para modelar las ecuaciones dinmicas es necesario integrar las ecuaciones dinmicas,

esto es, las derivadas de las variables de estado respecto al tiempo. Esto puede realizarse

en Scilab con el comando ode , que requiere la definicin previa de las funciones a

integrar, el valor de las condiciones iniciales de las variables, el valor de tiempo a partir

del cual iniciar la integracin y el vector de tiempo durante el cual se va a realizar la

integracin (ver ejem10.2.sce).

Los resultados se suelen presentar en forma grfica y para ello puede utilizarse el

comando plot2d de Scilab.

Respuesta con condiciones iniciales x0 = [9;300]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 108.5

8.6

8.7

8.8

8.9

9.0

9.1

t (hr)

CA

(km

ol/m

3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10300

302

304

306

308

310

312

t (hr)

T (

K)

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ILM 4

Respuesta con condiciones iniciales x0 = [1;400]

Respuestas con condiciones iniciales x0 = [5;345] (slido) y x0 = [5;340] (punteada).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

t (hr)

CA

(km

ol/m

3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10365

370

375

380

385

390

395

400

t (hr)

T (

K)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102

3

4

5

6

7

8

9

t (hr)

CA

(km

ol/m

3)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10310

320

330

340

350

360

370

380

t (hr)

T (

K)

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ILM 5

Puede observarse que pequeas variaciones en las condiciones iniciales pueden

conducir a distintos puntos de estado estacionario. Por el contrario condiciones iniciales

muy diferentes pueden conducir al mismo punto estacionario.

Linealizacin

La estabilidad de un sistema puede estudiarse recurriendo a una linealizacin del

mismo, esto es, llevndolo al formato

y determinando los valores propios de la matriz A.

Retomemos las ecuaciones dinmicas del reactor:

1 , =

=

+

2 , =

=

+

+

Definimos las variables desviacin respecto al punto de estado estacionario (anotadas

con un subndice s)

x=

=

La componentes de la matriz A son las derivadas de las funciones respecto a las

variables de estado:

11 =11

=1

=

12 =12

=1

=

21 =21

=1

=

22 =22

=2

=

+

donde se han definido los siguientes parmetros:

=

=

=

2

BuAxx

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ILM 6

O sea que la matriz A es

=

+

Para hallar los valores propios de A resolvemos

+ =

Por ejemplo en el punto correspondiente a 8.564 kmol/m3 y 311.2 K los valores propios

resultan ser -0.8957 y -0.5166, ambos negativos, por lo que dicho punto es estable.

Por el contrario, los valores propios correspondientes al punto (5.518 , 339.1) resultan

ser -0.8369 y 0.4942, uno de ellos positivos, por lo tanto el punto no es estable.

Finalmente para el tercer punto estacionario (2.359 , 368.1) los valores propios son

imaginarios con parte real negativa: -0.7657+0.9584i y -0.7657-0.9854i , por lo que el

punto es estable aunque las soluciones son oscilantes.

Tambin podemos realizar el anlisis recurriendo a la funcin de transferencia:

G(s) = C (sI A)-1B

donde

11 =11

=1

= 0

21 =21

=2

=

Sustituyendo los valores de los parmetros para el primer punto se llega a la siguiente

funcin de transferencia que relaciona la temperatura de camisa con la concentracin:

11 =0.0266

2 + 1.4123 + 0.4627=

0.0575

1.1165 + 1 1.9357 + 1

Y a la siguiente que relaciona la temperatura de camisa con la temperatura del reactor:

21 =0.3 + 0.3504

2 + 1.4123 + 0.4627=

0.7573 0.856 + 1

1.1165 + 1 1.9357 + 1

En ambos casos los polos (races del denominador) son negativos lo cual indica que el

punto es estable. Vase ejem10.3.sce.

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ILM 7

Finalmente se puede construir el diagrama de fases, en el que se representan una

variable de estado contra otra en trayectorias a partir de distintos puntos iniciales y

donde el tiempo no aparece en forma explcita (ver ejem10.4.sce).

En el diagrama de fases las trayectorias convergen hacia los puntos de trabajo estables,

que se pueden identificar por la confluencia de varias lneas hacia ellos. Por el contrario,

las trayectorias eluden los puntos no estables que, de no ser marcados explcitamente no

apareceran en el diagrama.

0 5 10 15

250

300

350

400

CA (kmol/m3)

T (

K)