10. Procesos básicos de circulación en...

Oceanografía Dinámica

10. Procesos básicos de circulación en plataforma

10.1 Comparación de dinámicas en océano abierto y plataforma

Los capítulos anteriores se centraron en la dinámica oceánica a nivel de cuenca o mayorescala espacial y desarrollamos teorías para explicar la presencia de los giros oceánicos asícomo de la circulación profunda. Además estudiamos ondas oceánicas importantes para lacirculación de gran escala. En este capítulo y los siguientes enfocaremos en la dinámicaoceánica en la plataforma marina.

El comportamiento del océano en la plataforma es muy diferente al del océano abierto. Ladiferencia mas obvia es la debida a la altura de la columna que tiene un promedio de 3.8 kmen el océano abierto y entre 0-200 m en la plataforma. Esto tiene consecuencias directassobre la influencia relativa de las capas límites en ambos casos. Las capas límites en elocéano abierto ocupan solo una fracción de la columna y además la capa límite de fondo esmuy débil ya que las corrientes y mareas son pequeñas. Entre las capas límites existe unaregión interior donde las condiciones están aisladas de la acción directa del esfuerzo de losvientos y donde el flujo varía poco y está cerca del equilibrio geostrófico. La turbulencia enel océano interior, entre las capas límite, es muy pequeña, del orden de 1x10 -5 m2/s y si bienaumenta cerca de regiones con batimetría irregular sigue siendo relativamente pequeña.

En la plataforma las capas límite de superficie y fondo ocupan una proporción grande de lacolumna y en general son muy energéticas con mucha turbulencia. Las capas límite puedensolaparse y promover la mezcla completa de la columna. Por estas características, la dinámicaen la región de plataforma está dominada por la turbulencia, las mareas y la estratificaciónestacional.

Figura 10.1 – Características de los regímenes de océano abierto y plataforma.

Notas: Prof. Marcelo Barreiro 1


Estos dos regímenes dinámicos diferentes están muy cercanos donde termina la plataforma ycomienza el océano abierto, es decir, están separados por el talud, que es una zonageneralmente de unos 50 km de ancho. La figura 10.1 resume los procesos mas importantesen cada regímen. La figura 10.2 ilustra las diferentes dinámicas que pueden ocurrir en laregión de plataforma dependiendo de la importancia relativa de los procesos.

Figura 10.2 – Regimenes oceánicos en la plataforma.

10.2 Rol de la batimetría – teorema de Taylor-Proudman

La gran pendiente de la batimetría en el talud, en combinación con la rotación terrestreimpone una restricción muy importante sobre las corrientes. Esta restricción sobre el flujo esconsecuencia del teorema de Taylor-Proudman que derivaremos a continuación.

Consideremos que el flujo se encuentra en estado estacionario y en balance geostrófico de talforma que vale

fu=−1

∂ p∂ y

fv=1∂ p∂ x

(10.1)

Si f es constante, la divergencia horizontal de las corrientes geostróficas es nula, por lo que deacuerdo a la ecuación de conservación de masa se obtiene

−(∂u∂ x

+ ∂ v∂ y

)=∂w∂ z

=0 (10.2)

o sea que la velocidad vertical es independiente de la profundidad. Como w=0 en superficie(z=0), vale que w=0 en toda la columna. Esta condicion (w=0) impone que el flujo debe serparalelo a las isóbatas ya que un flujo a través de las isóbatas requeriría una componente de



flujo hacia arriba o abajo. Este resultado puede expresarse como

− u f .∇ h=w f =0 (10.3)

o sea que la corriente u f en el fondo debe ser perpendicular al gradiente de la batimetría h ypor lo tanto es paralelo a las isóbatas.

Además, de acuerdo a la última ecuación en el sistema (3.35), si despreciamos la difusión (enestado estacionario) vale

u∂∂ x

v∂∂ y

w∂∂ z

=0 (10.4)

Como el flujo es geostrófico (y en equilibrio hidrostático) podemos usar la ecuación de vientotérmico para escribir los gradientes de densidad en términos del cortante vertical de velocidad

∂∂ x

=−0 f

g∂ v∂ z

∂∂ y

=0 f

g∂u∂ z

(10.5)

Sustituyendo (10.5) en (10.4) e imponiendo w=0 se obtiene

−u∂ v∂ z

v∂u∂ z

=u∧∂u∂ z

=0 (10.6)

lo cual indica que el cortante vertical de velocidades es paralelo a la velocidad, es decir, ladirección del flujo es la misma en todos los niveles y paralelo a las isóbatas, aunque lamagnitud de la velocidad puede cambiar con la profundidad.

Este resultado, que el flujo está controlado por la batimetría en todos los niveles, constituyeuna restricción fundamental para el flujo geostrófico. Debido a la gran pendiente en el taludeste mecanismo opera fuertemente en esa región, como se muestra en la figura 10.3. Notarque el flujo se acelerará donde las isóbatas estén mas cercanas ya que deberá pasar igualcantidad de agua por unidad de tiempo en una sección mas estrecha.

De acuerdo a lo desarrollado entonces solo puede haber flujo a través de las isóbatas si algunade las hipótesis del teorema de Taylor-Proudman no se cumple y el flujo deja de sergeostrófico. Posibles causas son: (i) flujo no estacionario, (ii) flujo muy intenso que invalidadescartar los términos no lineales (Ro>0.1), (iii) efectos de fricción en superficie o fondo. Unejemplo de este último caso es el transporte de Ekman en la superficie: bajo condicionesfavorables de viento en el márgen de plataforma existirá un flujo off-shore en superficie que,por continuidad, implicará un flujo hacia la plataforma en capas mas profundas, lo cualrepresenta mecanismos de transporte que cruzan isóbatas.



Figura 9.3 – Restricción al flujo segun el teorema de Taylor-Proudman

El efecto de la batimetría se observa claramente en la existencia de corrientes de pendienteque ocurren en muchas plataformas oceánicas y transportan grandes volumenes de agua.Mientras que todas estan restringidas a fluir paralelo a las isóbatas, existen variosmecanismos que las generan.

En los borde oestes de las cuencas la circulación media forzada por el esfuerzo de los vientosestá concentrada en corrientes intensas de borde oeste. Como vimos anteriormente estaintensificación de las corrientes en la frontera es una parte integral de los giros oceánicos. Enestos casos la batimetría de la plataforma y talud atrapa esta corriente pudiendo alterar suintensidad y ancho localmente. En otras palabras, la corriente es fundamentalmente forzadapor procesos de gran escala pero la fuerte pendiente de la batimetría cerca del márgen de laplataforma restringe las corrientes geostróficas de acuerdo al teorema de Taylor-Proudman.Este es el caso para la corriente de Brasil (Figura 10.4), la corriente del Golfo (antes de suseparación en Cabo Hatteras), la corriente de Kuroshio y la del este de Australia.

En las fronteras este de las cuencas la circulación forzada por el viento es mas ancha y masdébil y aparecen otros mecanismos que generan las corrientes de pendiente. En algunos casosestas corrientes aparecen por el ajuste mutuo entre los regimenes del océano abierto y deplataforma a través de un proceso conocido como JEBAR (Joint Effect on Baroclinicity andRelief). En estos casos las corrientes deben ajustarse no solo a la batimetría del talud sinotambien a la existencia de un gradiente meridional de densidad (aumentando hacia regionespolares). A diferencia de lo que sucede en los bordes oeste en donde la batimetría solo“conduce” a la corriente, en estos casos se generan corrientes por este mecanismo en losbordes este.

Otro caso diferente es la corriente de Benguela, cuyo flujo está concentrado en un jet frontaldefinido por el proceso de afloramiento costero y restringido por la batimetría.



Figura 10.4 – Estructura vertical y ubicación de la corriente de Brasil (da Silveira et al 2004).Se observa la corriente de Brasil por encima de los 400 m de profundidad y por debajo la

corriente de borde oeste intermedia que transporta AAIW.



10.3 Mareas

Como vemos en las figuras 10.1 y 10.2 la circulación en la plataforma está fuertementeinfluenciada por las mareas y en muchas regiones es el mayor forzamiento mecánico deloćeano. Las mareas son la elevación y el descenso del nivel del mar causadas por el gradientede la fuerza de atracción gravitatoria de la Luna y el Sol sobre la Tierra. Este forzamiento delos océanos es en general considerado en forma separada del esfuerzo del viento y los flujosde calor y agua ya que gran parte de la circulación general de gran escala de los océanospuede ser comprendida sin tomar en cuenta a las mareas.

Los marinos han conocido la existencia de las mareas por miles de años, y su relación con lasfases de la luna. Deducir la relación exacta, no obstante, llevó el trabajo de grandescientíficos como Galileo, Descartes, Kepler, Newton, Euler, Bernoulli, Kant, Laplace, Airy,Lord Kelvin, Jeffreys, y Munk. A pesar del trabajo constante a lo largo de los años, todavíaexisten preguntas fundamentales: ¿Cual es la amplitud y fase de las mareas en cualquierpunto del océano? ¿Cual es la dirección y velocidad de las corrientes de marea? ¿Donde sedisipa la energía de las mareas? La respuesta a estas preguntas no es simple, y el primer mapaglobal de mareas del océano profundo fue publicado recién en 1994.

Por otro lado, la predicción de mareas a lo largo de las costas y puertos es mucho mas simple.Registros de mareógrafos sumado a la teoría de forzamiento de mareas provee unadescripción precisa de las mareas cerca de los mareógrafos. Es bueno notar que mientras laamplitud de las mareas en alta mar es menor que 1 metro, cerca de las costas la amplitud esgeneralmente mayor y en algunos casos alcanza o sobrepasa los 10 metros (figura 10.5).

Figura 10.5 – Lineas cotidales (unen puntos con igual marea alta simultánea) y amplitud dela marea M2. La amplitud se indica por líneas azules y las lineas rojas son líneas cotidales

que difieren en 1 hora con centro en puntos anfidromicos (cero amplitud de la marea).



Las mareas son importantes por varias razones:– producen fuertes corrientes en muchos lugares del océano. Pueden tener valores

cercanos a los 5 m/s en aguas costeras impidiendo la navegación y, además, mezclanlas aguas costeras.

– Las corrientes de marea generan ondas internas sobre dorsales, en taludes y montesoceańicos, que disipan la energía de las mareas. El rompimiento de las ondas internasy las corrientes asociadas a las mareas son uno de los procesos fundamentales quegeneran turbulencia y conducen la circulación oceánica de gran escala.

– Las corrientes de mareas suspenden sedimentos y pueden traer nutrientes a lasuperficie.

Las mareas también contribuyen a que los efectos de las tormentas se vean acentuados.Cuando los vientos asociados a tormentas soplan sobre la plataforma continental somera, elagua tiende a apilarse contra la costa. Este aumento en el nivel del mar se conoce comomarejada (“storm surge”). Si la marejada coincide con marea alta (pleamar) el nivel del mardurante la tormenta será muy alto y los efectos contra la costa más destructivos.

Laplace calculó las fuerzas que generan las mareas en una forma adecuada para realizar loscálculos. La fuerza generadora de mareas se define como aquella parte de la fuerza atractivade los cuerpos celestes que no afectan el movimiento orbital de la Tierra, o sea, es la fuerzagravitatoria sobre los elementos de fluido en la superficie menos la fuerza gravitatoria en elcentro de masa de la Tierra. El efecto es simétrico con respecto a la línea que une el centro dela Tierra con el objeto de atracción (luna o sol) y tiende a causar que el océano forme unelipsoide con el eje mayor a lo largo de la línea que une los cuerpos. Esta línea se mueverelativo a la Tierra debido a la rotación terrestre y al movimiento relativo de la luna y el sol.No obstante, el oceano no adquiere la forma elipsoidal que la gravedad tiende a generar puessu respuesta está limitada por la velocidad (~200 m/s) a la cual se propagan las ondas degravedad. Estas ondas tomarían cerca de 2 días para dar la vuelta a la Tierra y propagar así lainformación, pero en la práctica su movimiento está restringido por la forma complicada delos océanos. El hecho de que: a) el tiempo para que las ondas viajen alrededor de la tierra escomparable con el período de rotación, y que b) las cuencas oceánicas tienen formacomplicada, son las razones fundamentales por las cuales el estudio de las mareas es muycomplicado.

La mayor parte de la energía de mareas que se disipa en la plataforma no viene del efectodirecto de la fuerza generadora de mareas sobre las aguas de la plataforma sino que viene delocéano profundo en la forma de ondas someras, o sea ondas cuya longitud de onda es muchomayor que la profundidad de la columna. Estas ondas fueron estudiadas en el capítulo 9.También sabemos que el rango de la amplitud de las mareas en el océano abierto es del ordende 1 m, mientras que en la plataforma puede llegar a ser un orden de magnitud mayor, por loque evidentemente las ondas de marea se modifican al llegar a la plataforma.

A continuación veremos primero la teoría de equilibrio de las mareas en el cual se asume unaTierra sin continentes donde el océano adquiere la forma elipsoidal generada por la atracciónde la luna y el sol. Luego se verá la teoría dinámica de las mareas donde se utilizarán lasecuaciones de aguas someras para estudiar la propagación.



10.3.1 Teoría de equilibrio

Para entender cómo aparecen las fuerzas que generan las mareas examinaremos el caso de laLuna. La teoría de equilibrio determina la forma que adquiriría la superficie de una Tierracompletamente cubierta de agua bajo la acción de las mareas, sin inercia ni corrientes (o,habiendo dejado pasar un tiempo suficientemente largo para que el océano se ajuste alforzante).

La fuerza generadora es el gradiente del campo gravitatorio de la luna y el sol y como es unafuerza conservativa tiene un potencial asociado. [Fuerza conservativa es aquella cuyo trabajorealizado entre dos puntos es independiente del camino seguido y vale F=−∇U donde Ues el potencial.] Para calcular el potencial de mareas consideremos la figura 10.6 e ignoremospor el momento la rotación terrestre. La fuerza de atracción de la luna (por unidad de masa)produce un potencial VM sobre un punto de la superficie terrestre dado por

(10.7)

donde M es la masa de la luna y g la constante gravitacional.

Para el triángulo de la figura 10.6 vale

(10.8)

Figura 10.6 – Diagrama de coordenadas para determinar e potencial de mareas.

Sustituyendo en (10.7) se obtiene

(10.9)

Como r/R<<1/60 es posible expresar 10.9 en términos de potencias de r/R usando polinomios



de Legendre

(10.10)

La fuerzas de mareas se calculan como el gradiente espacial del potencial por lo que el primertérmino de 10.01 no produce fuerzas. El segundo término produce una fuerza constanteparalela a OA; esta es la fuerza que mantiene a la Tierra en órbita alrededor del centro demasa Tierra-Luna. El tercer término produce las mareas, asumiendo que los términos demayor orden pueden despreciarse. El potencial de mareas es por lo tanto

(10.11)

La fuerza generadora de mareas puede descomponerse en una componente perpendicular P yotra paralela H a la superficie del océano. Sólo la componente horizontal produce mareas. Lacomponente vertical es balanceada por la presión en el fondo marino, mientras que elcociente entre la fuerza horizontal por unidad de masa y la gravedad debe ser balanceada poruna pendiente opuesta de la superficie así como también por cambios en la velocidad de lascorrientes (Figura 10.7).

Figura 10.7 – Diagrama de fuerzas actuantes en la generación de las mareas.

La componente horizontal es

H=−1r

∂V∂ϕ =

−2 Gr

sin 2ϕ (10.12)

donde

(10.13)

Notar que el potencial de mareas es simétrico con respecto a la línea Tierra-luna y producedeformaciones simétricas a cada lado del eje terrestre (ver figura 10.8).



Figura 10.8 – Deformación resultante de la superficie.

Si permitimos que la Tierra rote, un observador desde el espacio vería que la deformación enla superficie que representa la marea de equilibrio se movería fija relativa al eje Tierra-luna.Para un observador en la Tierra la deformacion de la superficie parece rotar de este a oestealrededor de la Tierra pues la luna parece moverse a alrededor de 1 ciclo por día. La lunaproduce mareas altas cada 12 hs y 25.23 minutos en el ecuador si la luna está sobre elecuador. Como la posición de la luna relativa al acuador cambia la orientación de ladeformación de la superficie no estará centrada en el ecuador sino que formará un ángulo, locual resultará en dos mareas diarias con diferente altura.

Las fuerzas generadoras de mareas debido al sol se calculan de la misma forma mostradaarriba. La importancia relativa de la luna y el sol en generar mareas es:

por lo que la Luna genera fuerzas cercanas al doble de las generadas por el Sol.

Cualquier otro factor que afecte la posición relativa de la Luna y el Sol con respecto a lasuperficie terrestre o la distancia de los dos cuerpos generará variaciones en la fuerzagravitacional resultando en mareas con amplitudes diferentes. Por ejemplo la distancia entrela Luna y la Tierra varía en 25.000 km entre perigeo (mas cercano) y apogeo (mas lejano)generando variaciones del 30% en la componente lunar de la marea semi-diurna. La marea deequilibrio en todo punto de la superficie debe por lo tanto calcularse como la suma de todoslos componentes periódicos. En la práctica la fase y amplitud de cada uno varía sobre lasuperficie pero puede ser calculado a través de un análisis harmónico de registros del niveldel mar. Un espectro esquemático se muestra en la figura 10.9.



Figura 10.9 - Espectro esquemático de constituyentes de la fuerza generadora de mareas.

Las líneas espectrales están concentradas en tres grupos de frecuencias: semi-diurnos (2ciclos por día), diurnos (1 ciclo por día), y de período largo (semi-mensual o semi-anual).Cada frecuencia identificable en el espectro se denomina constituyente de marea y es posibleescribir la fuerza generadora de marea en cualquier punto de la Tierra como una suma de losconstituyentes individuales

V=∑n=1

NAncos (ωn t+αn) (10.14)

donde An y αn son las amplitudes y las fases de los constituyentes. Las frecuencias ωn seconocen precisamente pues dependen de los movimientos orbitales de la luna y el sol.

La respuesta del océano global a este forzante es en principio posible de calcular si se conocela batimetría de los océanos. La predicción de las mareas a partir de primeros principios,originalmente propuesto por Laplace, es no obstante muy complicado y solo ha sido posiblehace unos 10 años a través del uso de modelos numéricos de gran resolución. La alternativa,tambien anticipada por Laplace, es tratar la marea observada como una suma de harmónicoscon las mismas frecuencias que el forzante de mareas pero con aplitudes y fases diferentes

η(t)=∑n=1

NH n cos (ωn t+αn−gn) (10.15)

Esta idea fue desarrollada por Kelvin, Darwin y Doodson, entre otros, y dió lugar al análisisharmónico de las mareas en el cual la mareas es tratada como la suma de constituyentessinusoidales independientes. Las amplitudes Hn y fases gn de los constituyentes sedeterminan a través del análisis de la elevación del mar usando, por ejemplo, mínimoscuadrados. A pesar de que el número de términos N en la expansión teórica de V es grande(cerca de 400) en la práctica las amplitudes de muchos de esos constituyentes son muypequeñas y la marea puede ser representada adecuadamente por solo unos 20 constituyentes.La tabla 10.1 muestra algunos de los constituyentes mas importantes y sus frecuencias. Losconstituyentes se identifican por un símbolo y una letra indicando algo sobre el origen delconstituyente y un subíndice que indica la especie (1=diurno, 2=semidiurno). Por ejemplo, el



constituyente semidiurno mas importante generado por la luna (y generalmente el mayor detodos) es el M2.

Símbolo Nombre Período (horas)

M2 Lunar principal 12.42

S2 Solar principal 12.00

N2 Elíptico lunar mayor 12.66

K2 Declinacional Luni-solar 11.97

K1 Declinacional Luni-solar 23.93

O1 Declinacional lunar mayor 25.82

Mf Lunar quincenal 13.7 días

Tabla 10.1- Constituyentes de marea mas importantes

En la mayor parte de los océanos las mareas semidiurnas tienden a predominar y losconstituyentes diurnos son pequeños. No obstante, existe una tendencia a que las dos mareasdiarias no sean iguales, un efecto que aparece del hecho que la luna se mueve al norte y al surdel ecuador en su ciclo mensual alcanzando una declinación (altura angular sobre el ecuador)de 28.5 grados. Cuando la luna se encuentra “arriba o abajo” del ecuador el eje del elipsoidede deformación se mueve con ella dando lugar a la desigualdad en la amplitud de las 2mareas diarias y aparece, por ejemplo en el constituyente O1. La figura 10.10 muestra laevolución pronosticada para la marea en Montevideo y se observa la predominancia de lasfrecuencias semidiurnas, así como de la diferencia en amplitud entre las 2 mareas diarias.

La interacción de los constituyentes M2 y S2 (los mayores en muchas regiones costeras)produce un ciclo de unos 14.79 días en el cual las mareas alternan entre “mareas vivas” congran amplitud de pleamar y bajamar y “mareas muertas”. Esta modulación se puedenentender en términos de la posición de la luna y el sol relativo a la Tierra. Si la Tierra, la lunay el sol estan alineados (luna llena o luna nueva) entonces los elipsoides generados por laluna y el sol se alinean y se producen mareas grandes. Las “mareas muertas” ocurren cuandoel sol y la luna están en cuadratura (luna en cuarto menguante o cuarto creciente). Ver Figura10.11.



Figura 10.10 – Predicción de mareas para Montevideo (http://www.tide-forecast.com).

Figura 10.11 – Esquema de “mareas vivas y muertas”.

La mayor parte de la energía entregada para mantener las mareas ocurre en el océanoprofundo, pero una gran parte de la energía es disipada en las aguas someras de la plataformadonde las fuerzas de fricción son mucho mayores. La luna entrega energía a la Tierra a unarazón de 3.2 TW (1Tw=1012 W) mientras que el sol entrega unos 0.5 TW. Al día de hoy se


http://www.tide-forecast.com/


cree que cerca del 75% de esta energía entregada se disipa en los mares someros, mientrasque el resto es consumido en el océano profundo en parte a través de la generación de ondas ymareas internas. La figura 10.12 muestra la distribución espacial de la disipación de laenergía de mareas. Se observa que la mayor parte se disipa en regiones de plataformaespecíficas, tales como en el Atlántico sudoccidental.

Figura 10.12 - Distribución espacial de disipación de energía de mareas.

La mayoría de la energía entregada por las mareas a la plataforma proviene del océanoprofundo a través de ondas.

Las mareas observadas difieren de las mareas calculadas por la teoría de equilibrio, queconsideró unicamente factores astronómicos. Dejando de lado cambios en la altura del niveldel mar debido a factores atmosféricos, las diferencias provienen de factores que modifican lapropagación de las ondas de marea alrededor de los océanos. Por ejemplo, la distribución delos continentes, la interacción de las ondas de marea con el fondo oceánico y márgenescosteros, el efecto de la inecia de cuerpos de agua y la fuerza de Coriolis. A continuaciónveremos como se modifican las mareas en las regiones costeras. En el océano abierto lasondas de marea tienen longitudes de onda de ~10.000 km por lo que se pueden considerarondas someras y aplicar la teoría visto en el capitulo 9.

10.3.2 Teoría dinámica

La ecuación de momento con la fuerza generadora de mareas incluída queda de la forma



dudt2∧u=−1

∇ p−g−∇V M (10.16)

Dado que la escala horizontal del forzante de mareas es muy grande comparada con laprofundidad VM varía muy poco con la profundidad oceánica y es posible usar laaproximación de aguas someras. Como las mareas son un fenómeno global pareceríainadecuado usar la aproximación plano-f (f constante) para su estudio. No obstante, lasmareas diurnas y semi-diurnas tienen frecuencias comparables a f (puesto que todas estasfrecuencias están relacionadas con la rotación terrestre) y a estas frecuencias diferencias deescala producen diferencias cuantitativas pero no en el comportamiento fundamental. Por lotanto gran parte de la dinámica de mareas puede ser comprendida en términos de solucionesdel modelo de aguas someras con f constante, y con un forzante adicional de mareas

∂ u∂ t

u∂u∂ x

v∂ u∂ y

− fv =−g∂∂ x

−e

∂v∂ t

u∂ v∂ x

v∂ v∂ y

fu=−g∂∂ y

−e (10.17)

donde e=−V M

ges la marea de equilibrio encontrada en la sección anterior, y representa

la elevación de la superficie oceánica si no existieran efectos dinámicos (u=v=0). La ecuaciónde continuidad en este caso queda de la forma

∂∂ t

∂∂ x

[H u ] ∂∂ y

[H v ]=0 (10.18)

siendo H(x,y) la profundidad del océano. Notemos que estas ecuaciones asumen que lascorrientes son independientes de la profundidad, o sea que las mareas son barotrópicas. En lapráctica también existen mareas baroclínicas generadas por la interacción de las corrientescon el fondo oceánico, por lo que el uso de estas ecuaciones asume que las mareasbarotrópicas no son afectadas por esta interacción. Otro efecto que tiende a generarbaroclinicidad es la fricción con el fondo lo que puede ser importante en el caso de fuertesmareas en mares someros. No obstante, en general se ignoran las variaciones en profundidad,o lo que es equivalente, se consideran los flujos promediados en toda la columna oceánica.Los términos no lineales en las ecuaciones de momento son en general despreciables aún enmares someros donde los efectos no lineales aparecen por fricción y por los términos nolineales de la ecuación de continuidad.

Al calcular las mareas es importante considerar la elasticidad de la corteza terrestre. Estarespuesta es rápida de tal forma que se puede asumir que la corteza está siempre en equilibriocon las fuerzas. La respuesta directa de la corteza al potencial de mareas produce unaelevación de hVM/g donde h es una constate de valor cercano a 0.6. Para tomar este efecto enconsideración es necesario reemplazar -ηe por (1-h)VM/g. Además existe otro efecto que debeser tomado en cuenta debido a la deformación de la corteza terrestre. Este efecto tiene un



valor de kVM, donde k es una constante con un valor aproximado de 0.3. La inclusión deestos efectos no altera la forma de las ecuaciones de momento anteriores si η es consideradacomo la elevación relativa a la corteza terrestre y ηe se redefine como

e=−1k−hV M

g~−0.7

V M

g(10.19)

Por lo tanto el efecto de la respuesta de la corteza terrestre es reducir las mareas en un 30%.Las constantes k y h se denominan números de Love.

Las mareas son muy afectadas por la presencia de fronteras, ya sea en golfos o en las cuencasoceánicas. Por ello destinaremos una sección al efecto de las fronteras sobre la dinámica deun océano barotrópico representado por las ecuaciones del modelo de aguas somerasanteriores.

10.3.2.1 Amplificación y reflexión de la marea

De acuerdo al modelo de aguas someras y como la frecuencia de las mareas es del órden omenor que f, la energía de mareas viaja principalmente en la forma de ondas de Kelvin muylargas (λ~10.000 km). Como vimos en el capitulo 9, para mares someros y regiones costerasel radio de deformación de Rossby R es del orden de 200 km. El decaimiento de la amplitudde la onda al alejarse de la costa se manifiesta claramente en el Canal de la Mancha (figura10.13). La marea del Atlántico norte entra al Canal desde el oeste y viaja hacia el este hacia elMar del Norte. Para ello, la onda “se apoya” sobre Francia ya que en el H.N. debe tener lacosta a la derecha. Esto explica por qué las mareas son mayores en la costa de Francia que enla costa de Inglaterra.

Figura 10.13 - Lineas cotidales (une puntos con igual marea alta simultánea, punteadas) conel tiempo en horas lunares para la marea M2 en el Canal de la Mancha mostrando la

progresión de la marea. Lineas de igual nivel de marea (sólidas, valores en metros) muestranamplitudes mayores a lo largo de la costa de Francia.



Las ondas tienen energía de dos formas: (i) cinética debido al movimiento orbital de lasparcelas de agua y (ii) potencial debido al desplazamiento vertical de las parcelas conrespecto a su posición de equilibrio. Como resultado, para una onda de amplitud A0 la

densidad de energía por unidad de área es Ew=12ρ0 g A0

2, y el flujo de energía está dado

por (Ewc) donde c es la velocidad de propagación de la onda.

Consideremos qué ocurre cuando una onda de Kelvin con amplitud Ad llega desde una regiónprofunda a una región con una plataforma ancha. Para una onda de Kelvin propagándose a lolargo de una costa ubicada en y=0, la solución es (ver capitulo 9)

η=A f e− y /R sin(kx−ω t)

u=gc

A f e− y /R sin(kx−ω t)

Al llegar entrar sobre la plataforma la velocidad de propagación c disminuirá ya que laprofundidad es menor, por lo que para mantener el mismo flujo de energía la amplitud de laonda As debe aumentar. La amplitud As estará relacionada con la amplitud Ad segun

cd12ρ0 g Ad

2=cs12ρ0 g A s

2

A s

Ad

=(hd

hs

)1 /4 (10.20)

Tomando hs=100 m y hd=4000 m la amplitud de la elevación de mareas aumenta en un factorde 2.5 al entrar a la plataforma. La amplitud de la velocidad de la particula de agua es∣u∣=A0 g /c=A0√ g/h por lo que la razón de velocidades plataforma/océano profundo es

us

ud

=(hd

hs

)1 /2 A s

Ad

=(hd

hs

)3/4

(10.21)

lo cual implica un factor de amplificación cercano a 16.

Consideremos ahora lo que le ocurre a una onda de Kelvin cuando entra en un golforectangular de ancho BG alineado en la dirección x con y=0 a lo largo del eje central. Lasondas que entran al canal son también reflejadas y la combinación de ondas incidentes yreflejadas genera una componente estacionaria en la onda. Podemos describir el movimientocombinando dos ondas de Kelvin viajando en direcciones opuestas

η=A f e−y /R sin(kx−wt )+Ab e y/R sin (kx+wt )

u=gc(Af e−y /R sin(kx−wt )−Ab ey /R sin(kx+wt ))

(10.22)

Notemos que si el golfo es estrecho BG << R y el término exponencial tiende a la unidad. Eneste caso la rotación no juega un papel importante.



El resultado de la combinación de dos ondas de Kelvin puede expresarse en términos delineas de igual amplitud (co-rango) y líneas de igual fase (cotidales). Las líneas cotidalesmarcan los puntos para los cuales una fase de la marea (por ej. marea alta) ocurre al mismotiempo. Es posible ubicar las líneas cotidales eligiendo una condición particular para la fasede la marea en la ecuación (10.18). Por ejemplo, para marea alta la amplitud tiene un máximo

por lo que∂η∂ t

=0 . Aplicando esta condición a (10.18) y asumiendo que la amplitud de la

onda reflejada es igual a la de la onda incidente (Ab=Af) da lugar a una relación entre x e ypara los puntos que tienen marea alta a tiempo t=tMA

tg h( y /R)tg kx

=tg(wt MA) (10.23)

La figura 10.14 muestra el patrón de líneas cotidales resultante para el H.N.. Las líneas (aintervalos de 1 hora) confluyen en un punto denominado punto anfidrómico que estánubicados donde las líneas nodales estarían para una onda estacionaria sin rotación.Al igual que para los nodos de las ondas estacionarias, los puntos anfidrómicos estánseparados por λ/2. Notar que el tiempo de marea alta rota en forma antihoraria (horaria) parael H.N. (H.S.).

El rango de la marea en cada punto en el golfo (figura 10.14) también puede encontrarsecalculando el módulo de η

∣η∣=2 Af (cos(h2( y /R))sin kx+sin(h2( y /R))coskx )1/2 (10.24)

Como no existe pérdida de energía en este caso (Ab=Af) el patrón resultante es simétrico conrespecto al centro del canal.



Figura 10.14 – Líneas cotidales (arriba) y co-rango (abajo) para una combinación de dosondas de Kelvin viajando en sentidos opuestos a lo largo de un canal que tiene un ancho igualal radio de deformación de Rossby R. Las líneas cotidales se muestran a intervales de T/12,donde T es el período del constituyente de marea. Las líneas de co-rango tienen magnitud

relativas a 2Af. La onda de Kelvin viaja de izquierda a derecha.

Las corrientes de marea se combinan para mover a las partículas de agua en órbitas elípticas.Para un constituyente particular (sea, M2) la componente tomará la forma de funcionescoseno dependientes del tiempo con diferentes amplitudes (uM2 y vM2) y fase (δu y δv):

u=uM2 cos (wM2 t+δu) ; v=v M2cos(wM2 t+δv ) (10.25)

por lo que los correspondientes desplazamientos de las partículas son

X=uM2

wM2

sin(wM2t+δu); Y=vM2

wM2

sin(wM2 t+δv) (10.26)

La combinación de esos desplazamientos sinusoidales genera una trayectoria que tiene formade elipse. Los valores de las amplitudes y fase de los constituyentes controlan la orientación yforma de la elipse, que puede variar desde un movimiento circular (horario o antihorario)hasta un movimiento oscilatorio a lo largo de una línea recta. La elipcidad de la trayectoria esel cociente del eje menor OB con el eje mayor OA (Figura 10.15) con la convención quemovimiento antihorario/horario corresponde a valores positivos/negativos. La elipse ademas



tambien se puede interpretar como el movimiento descrito por la punta del vector velocidaden el plano u-v.

Figura 10.15 – Elipse de marea para un constituyente mostrando los ejes menor y mayor y laorientación θ.

La figura 10.16 muestra la amplitud, líneas cotidales y puntos anfidrómicos para la marea M2en el Atlántico sudoccidental. Se observa que en nuestras costas la amplitud es del órden de50 cm, mientras que en Bahía Grande al sur de Argentina las mareas tienen amplitudesceranas a los 3.5 m. Hay máximos relativos en el golfo de San Matías, Bahía Blanca y en lacabecera del estuario del Río de la Plata.



Figura 10.16 - Amplitud, líneas cotidales y puntos anfidrómicos para la marea M2 en elAtlántico sudoccidental.

Resultado de simulaciones numéricas para el Río de la Plata dan líneas de amplitud ycotidales para la M2 que se muestran en la figura 10.17 (Simionato et al 2006). Se observaque la amplitud es máxima del lado argentino y cerca de 1/3 de este valor del lado uruguayo.La progresión de la onda hacia el norte con la costa a la izquierda es consistente con ladinámica de ondas de Kelvin. En este caso, tomando un h=10 m el radio de deformación deRossby es cerca de 115 km, que es menor que el ancho del estuario de la mitad hacia afuera.Este hecho, ademas de la fuerte disipación en aguas someras asegura la no existencia depuntos anfidrómicos en el estuario. La figura 10.18 muestra las elipses de marea, junto con elflujo de energía y la disipación de energía.



Figura 10.17 – Amplitud y líneas cotidales de marea M2 en Río de la Plata

Figura 10.18 – Elipses de marea, flujo de energía y disipación por fricción de fondo en W/m2

para marea M2.



Se observa que las mayores velocidades ocurren en los extremos de la Bahía deSanborombon, Punta Piedras y Punta Rasa. El flujo de energía proviene del este y entra alestuario desde la porción sudoccidental concentrándose a lo largo de la costa argentina. Lamáxima disipación ocurre en los extremos de la Bahía de Sanborombon.

10.3.3 Resonancia

El efecto de la rotación es transformar cada nodo de una onda estacionaria en el caso sinrotación en un punto anfidrómico. Estos puntos anfidrómicos están separados por intervalosde λ/2 a lo largo del eje del golfo y el número de puntos está determinado por su longitud yprofundidad (recordemos que la profundidad determina la velocidad de las ondas de marea ypor lo tanto su longitud de onda). En la boca del golfo la amplitud de la onda estacionariadebe ser igual a la de la marea en el océano abierto. Podemos ilustrar esto en el caso de ungolfo angosto donde la rotación no juega un papel importante.

En ausencia de rotación la solución de ecuación de onda unidimiensional de aguas somerastiene la forma (ver práctico 5)

η=A0 sin(kx±wt ) (10.27)

y la velocidad de las parcelas está dada por

uf=gc

A0 sin(kx−ω t)

ug=−gc

A0sin (kx+ω t)(10.28)

donde uf (ug) es la velocidad para una onda moviendose en el sentido de x positiva (negativa).

Por lo tanto la solución general para ondas propagándose en la dirección x a lo largo de uncanal de profundidad uniforme es una combinación de las dos ondas de la ecuacion anterior:

u=u f+ug=gc(A f sin (kx−ωt )−Agsin (kx+ω t)) (10.29)

Si el canal termina en una barrera vertical en x=0 la velocidad en ese lugar debe ser nula. Porlo tanto, imponiendo u=0 en x=0 en (10.25) requiere Af=-Ag y las expresiones para laelevación y velocidad pueden escribirse como

η=A f (sin(kx−ω t)−sin(kx+ω t ))=−2 A f coskx sinωt

u=A fgc(sin (kx−ω t)+sin(kx+ωt ))=2 A f

gc

sinkx cosω t(10.30)

Por lo tanto, aparece una onda reflejada que interacciona con la incidente. Las dos ondasprogresivas interaccionan para generar una onda estacionaria con una amplitud el doble de laincidente y nodos de elevación para cos kx=0 (λ/4, 3λ/4 ...). Los nodos de velocidad ocurren



en los máximos de η (figura 10.19).

Figura 10.19

Consideremos ahora qué ocurre cuando una onda que viene del océano profundo interaccionacon la onda estacionaria del canal. La figura 10.20 muestra la sección a lo largo del eje de ungolfo estrecho que es suficientemente largo como para contener un nodo de ondaestacionaria. Si la marea en el océano se puede representar por un seno de amplitud A0, en laboca del golfo debe valer

A0 sinω t=A sw coskL sinω t (10.31)

de tal forma que la amplitud de la onda estacionaria en el golfo es

A sw=A0

coskL=

A0

cos2π L/ λ(10.32)

De acuerdo a esa solución si la longitud del golfo es tal que L= λ/4, la amplitud Asw tendería ainfinito. Este es el fenómeno de resonancia y sugiere que podríamos esperar un rango muygrande de amplitud de mareas y velocidades en el golfo.

Figura 10.20 – Si el nodo está a una distancia menor a L, entonces la marea en el gofo esrelativamente pequeña (líneas grises). Si el nodo se encuentra en L= λ/4 existe resonancia y la

amplitud de marea en el golfo es muy grande (líneas negras).



En la realidad los movimientos resonantes estarán limitados por la fricción. Además, si ungolfo estuviera cerca de resonancia probablemente experimentaría un transporte desedimentos muy grande que modificaría la batimetría y lo movería lejos de condiciones deresonancia. No obstante, hay varios lugares en el mundo que se encuentran cerca de laresonacia. El ejemplo mas claro es la bahía de Fundy (figura 10.21) donde el largo del golfoes cerca de λ/4 para el constituyente M2 y la marea alcanza los 16 m de amplitud, siendo elmayor observado.

Figura 10.21 – Amplitud mareas en la Bahia de Fundy.

Resumiendo, las mareas en regiones de plataforma pueden ser mucho mayores que en elocéano abierto debido a la amplificación resultante de los siguientes procesos:

1) el gran aumento en altura de la onda y en las corrientes asociadas cuando la mareaentra a mares someros (y debe conservar el flujo de energía), los cuales aumentan enfactores de ~2.5 y ~16, respectivamente;

2) la posibilidad de resonancia, que dependerá de la geometría del golfo o bahía.

Bibliografía principal

- Introduction to geophysical fluid dynamics, B. Cushman-Roisin- Introduction to the physical and biological oceanography of the shelf seas, J. Simpson and J.Sharples.- Recent advances in the knowledge of the Río de la Plata estuary circulation, forcings andvariability. Simionato et al, Proceedings of 8 ICSHMO, Foz de Iguazu, Brasil, 2006.


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