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Problemas de Optimizacin Problemas de Optimizacin ConvexaConvexa

(*) Basado en Boyd y Vandenberghe. Convex Optimizationhttp://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

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Forma estndar de un problema de Forma estndar de un problema de optimizacin convexaoptimizacin convexa

Diferencias con respecto al problema general Funcin objetivo debe ser convexa Las restricciones con desigualdad deben ser

convexas Las restricciones con igualdad deben ser afines

Sean f0,..,fm funciones convexas

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Conjunto factibleConjunto factible El conjunto factible de un problema convexo es

la interseccin de (m+1) dominios convexos

y p hiperplanos; por lo tanto es convexo.

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Problema de maximizacin concavoProblema de maximizacin concavoEl problema

es equivalente al problema de minimizacin de -f0 cuando f0 es concava.Todos los resultados sobre el problema de minimizacin convexo de f0 se extienden a este problema.

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Mnimo local = Mnimo globalMnimo local = Mnimo globalPor la convexidad de f0 se obtiene adems

lo cual contradice el que x sea un mnimo local.Por lo tanto,

En un problema convexo, todo mnimo local es un mnimo global.

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Criterio de optimalidadCriterio de optimalidadSupongamos f0 de un problema de optimizacin convexo diferenciable, entonces

Si X es el conjunto factible, entonces x es ptima si y solo si xX, y para todo yX se cumple

Si f0(x)0 entonces el vector -f0(x) define un hiperplano de soporte en el punto x.

(*)

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Problemas sin restriccionesProblemas sin restriccionesSi el problema no tiene restricciones, la condicin (*) se reduce aesto porque siendo X abierto, existe una esfera B(x,R) centrada en x, tal que para todo yB(x,R), 'y' es factible. Tmese por ejemplo

entonces al reemplazar en (*)

y esto solo es mayor o igual a cero si f0(x)=0

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El problema de optimizacinEl problema de optimizacincuadrtico sin restriccionescuadrtico sin restricciones

El problema de minimizar la funcin

cuando PSn+, es convexo y la condicin

necesaria y suficiente para su optimalidad es

para cuya solucin se pueden dar varios casos...

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Problemas con restricciones de Problemas con restricciones de igualdadigualdad

En el caso de tener un problema de la forma

La condicin de optimalidad para un x factible (Ax=b)

y debe cumplirse para todo y tal que Ay=b. En otras palabras y=x+v para un vN(A).

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Restricciones de igualdad - 2Restricciones de igualdad - 2La condicin de optimalidad se puede expresar

adems, si una una funcin lineal es no negativa en un subespacio, entonces debe ser cero

usando el hecho quese llega aes decir, existe vp tal queque es la condicin de optimalidad de Lagrange.

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Minimizacin sobre el Minimizacin sobre el octante no-negativooctante no-negativo

Dado un problema de la forma

la condicin de optimalidad es

sin embargo el trmino no est acotado inferiormente a menos que

en cuyo caso su valor mnimo es cero.

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octante no-negativo - 2octante no-negativo - 2En este caso la condicin de optimalidad se reduce a

pero por lo que la solucin debe cumplir

o expandiendo el producto:

es decir, las componentes no nulas de f0(x) y x son complementarias.

Complementary Slackness

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Optimizacin Cuasi-convexaOptimizacin Cuasi-convexaUn problema de optimizacin de la forma

es cuasi-convexo cuando las restricciones de desigualdad f1,..,fm son convexas y la funcin objetivo f0 es quasi-convexa.Estos problemas pueden tener ptimos locales.La condicin de optimalidad (*) no es aplicable.

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Optimizacin Cuasi-convexaOptimizacin Cuasi-convexaEn su lugar se tiene la siguiente condicin: Para xX (el conjunto factible)

Es solo condicin suficiente Requiere desigualdad estricta

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Problemas de optimizacin linealProblemas de optimizacin linealUn problema de optimizacin lineal (LP) tiene la forma

con

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Interpretacin geomtrica de Interpretacin geomtrica de problemas LPproblemas LP

Las restricciones de desigualdad corresponden a semi-espacios en n.

Las restricciones de igualdad son hiper-planos. El espacio factible es la interseccin, y por

tanto es convexo. La funcin objetivo es una funcin afn y es

convexa.

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Interpretacin geomtrica de Interpretacin geomtrica de problemas LP - 2problemas LP - 2

Los contornos de valor constante de la funcin objetivo son hiper-planos. El vector c es normal a todos estos hiperplanos.

(cTx) = c, es decir el vector c es apunta en la direccin de mximo crecimiento y -c en la direccin de ms rpido decrecimiento.

El punto ptimo es el punto x* perteneciente a la regin factible ms lejano en la direccin -c.

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Forma estndar para LPsForma estndar para LPsSe dice que un problema LP est en forma estndar si las nicas restricciones de desigualdad son la no-negatividad de las componentes

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Forma general Forma general forma estndar forma estndarSe puede transformar un problema LP genrico a la forma estndar mediante 2 pasos Toda desigualdad se puede transformar en

igualdad aadiendo una variable nueva: "Slack variables".

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Forma general Forma general forma estndar forma estndar Las variables que no tienen restricciones de no-

negatividad, se pueden expresar como diferencias de 2 variables positivas:

quedando el problema

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EjemploEjemplo Llevar a forma estndar el siguiente problema: