10. ANÁLISIS COMBINATORIO
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Dr. Félix Aucallanchi V.
Análisis Combinatorio
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Análisis Combinatorio
• El análisis combinatorio es un área de la matemática cuyo estudio comprende la elaboración de reglas para agrupar u ordenar, en diversas formas, los elementos de un conjunto.
• Los tres principales tipos de agrupaciones u ordenaciones se llaman:– Permutaciones– Variaciones– Combinaciones
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Permutaciones
• Se denominan permutaciones de h elementos, los diferentes grupos que se pueden construir, tomándolos todos cada vez.
• Las permutaciones implican orden.
• Cada conjunto ordenado de h elementos se denominará una permutación de los n elementos diferentes.
• La formula es Pn = n!, donde Pn corresponde al número
de permutaciones posibles.
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Ejemplo-1:Permutaciones
• Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.
• P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Representémoslas:
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Permutaciones con Repetición
• Las permutaciones con repetición r, son un caso particular de las variaciones y no existe una ley sencilla para su formación.
• Dado lo complicado del sistema, sólo, se presenta la fórmula que logra el número de esta clase de permutaciones.
• La formula será:
1 21 2
!: ,! !nnP r r r
r r
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Ejemplo-2: Permutaciones con Repetición
• Sean los elementos aa - bbb - cc - d, para permutar con repetición, tendremos 8 elementos repartidos así: dos del primero, tres del segundo, dos del tercero y uno del cuarto, entonces las permutaciones se presentarán así:
y la fórmula respectiva será: 1,2,3,2:8rP
88! 8 7 6 5 4 3 2 1:2,3,2,1
2!3!2! 2 1 3 2 1 2 1P r
16801,2,3,2:8
rP
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Ejemplo-3: Permutaciones con Repetición
• ¿De cuántas maneras distribuiríamos 3 monedas de S/.5 y 4 monedas de S/. 10 en una misma línea?
La fórmula respectiva será:
77! 7 6 5 4 3 2 1:3,43!4! 3 2 1 4 3 2 1
P r
354,3:7
rP
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Variaciones
• Las variaciones corresponden a aquellas permutaciones donde los elementos no se toman en su totalidad.
• Dado un conjunto de n elementos diferentes, se denominará permutación parcial o variaciones, de subconjunto de r elementos (r<n) pertenecientes al conjunto dado.
!
!nr
nV
n r
La formula será:
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Ejemplo-3: Variaciones
• Determine el número de variaciones posibles de las letras A, B, C, D; donde las cuatro letras o elementos (n) vamos a permutar de cada 2 (r).
La fórmula respectiva será:
42
4! 4 3 2 112
4 2 ! 2 1V
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Ejemplo-4: Variaciones
• ¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?
La fórmula respectiva será:
104
10!
10 4 !V
104
10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15040
10 4 ! 6 5 4 3 2 1V
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Combinaciones
• Son aquellas agrupaciones en las que no interesa el orden de la aparición de elementos del conjunto.
• Será lo mismo AB que BA. Cuando se toma la totalidad de elementos, solamente se puede hacer una combinación.
La fórmula será:
Se lee de la siguiente manera, la combinación de n elementos tomados de r en r.
!
! !nr
n nCr n rr
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Ejemplo 5: Combinaciones
• La combinación de estas 4 letras tomadas de 2 en 2 será:
!
! !nr
n nCr n rr
42
4 4! 62! 4 2 !2
C