1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV...

“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico

Simulacion y graduacion de tablas demortalidad por medio de copulas

Dr. Arturo Erdely 1

1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN – U.N.A.M.

XXV Congreso Nacional deActuarios 2011

Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad

“Leyes” de mortalidadLeyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas

Funciones CopulaConcepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion

Ejemplo practicoGraduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital

Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas

¿Que es una ley cientıfica?

Henri Poincare (1858-1912):

Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.

¿Que es una ley cientıfica?

Henri Poincare (1858-1912):

Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.

Determinismo versus Probabilidad

Dado el antecedente, bajo una. . .

Ley determinista: el consecuente queda

determinado de forma unica.

Ley probabilıstica: el consecuente NO

queda determinado de forma unica (varios

resultados posibles) pero la incertidumbre es

medible de forma unica.

Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos

2g t 2

d = distancia

t = tiempo

g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2

2g t 2

d = distancia

t = tiempo

2g t 2

d = distancia

t = tiempo

Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros

Sean X1,X2, . . . variables aleatorias

independientes e identicamente distribuıdas,

y sea X n := 1n

∑nj = 1 Xj . Entonces

limn→∞

X n = µ)

para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .

Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros

Sean X1,X2, . . . variables aleatorias

independientes e identicamente distribuıdas,

y sea X n := 1n

∑nj = 1 Xj . Entonces

limn→∞

X n = µ)

para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .

¿Existen leyes de mortalidad?

Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:

“. . . utilizando argumentos biologicos,

algunos autores han sugerido que la

supervivencia humana puede ser explicada

por una ley simple como las de la fısica.”

“El interes en buscar funciones analıticas

simples de supervivencia ha declinado en

anos recientes. Muchos piensan que la

creencia en leyes universales de mortalidad es

ingenua...”

“El interes en buscar funciones analıticas

simples de supervivencia ha declinado en

anos recientes. Muchos piensan que la

creencia en leyes universales de mortalidad es

ingenua...”

Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:

“En el pasado se han hecho esfuerzos para

deducir expresiones analıticas universales para

la funcion de supervivencia a partir de ciertos

postulados basicos, en analogıa con las leyes

de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto

de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos

y rodeados de cierto misticismo.”

Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:

“En el pasado se han hecho esfuerzos para

deducir expresiones analıticas universales para

la funcion de supervivencia a partir de ciertos

postulados basicos, en analogıa con las leyes

de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto

de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos

y rodeados de cierto misticismo.”

¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)

EDAD x

¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

EDAD x

Propuestas, no leyes

Gerber (1997): Life Insurance Mathematics

A continuacion, algunos ejemplos de

distribuciones analıticas de supervivencia,

seguida cada una del apellido de su

“ inventor”: De Moivre, Gomperz,

Makeham, Weibull,. . .

Propuestas, no leyes

Gerber (1997): Life Insurance Mathematics

A continuacion, algunos ejemplos de

distribuciones analıticas de supervivencia,

seguida cada una del apellido de su

“ inventor”: De Moivre, Gomperz,

Makeham, Weibull,. . .

Propuesta o invento de Makeham (1860)

qx = 1− exp

{− A − B(c − 1)

log cc x

c > 1 B > 0 A ≥ −B

Propuesta o invento de Makeham (1860)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

SUAVIZAMIENTO DE MAKEHAM

EDAD x

Enfoque probabilıstico

Teugels (2004) Encycl. Act. Science:

“Sorprendentemente, los modelos lineales

generalizados (GLMs), que bien podrıan

utilizarse para graduacion de tablas de

mortalidad, no han atraıdo mucho la

atencion del gremio actuarial.”

Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon

(2005), Neves (2007), . . .

Enfoque probabilıstico

Teugels (2004) Encycl. Act. Science:

“Sorprendentemente, los modelos lineales

generalizados (GLMs), que bien podrıan

utilizarse para graduacion de tablas de

mortalidad, no han atraıdo mucho la

atencion del gremio actuarial.”

Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon

(2005), Neves (2007), . . .

Regresion logıstica

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

qx =exp(α + βx)

1 + exp(α + βx)

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

qx =exp(α + βx)

1 + exp(α + βx)

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

qx =exp(α + βx)

1 + exp(α + βx)

Validacion estadıstica de supuestos

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

EDAD x

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●

●●●●

●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

EDAD x

●●

●●●

●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●●

●●

●●●●●

●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA

EDAD x

●●

●●●

●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●●

●●

●●●●●

●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

EDAD x

Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?

●●

●●●

●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●●

●●

●●●●●

●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

●●●

●●

20 40 60 80 100

EDAD x

H0 : σ21 < σ2

2 p − value = 0.9971

H0 : σ21 = σ2

2 p − value = 0.0059

H0 : σ21 > σ2

2 p − value = 0.0029

H0 : σ21 < σ2

2 p − value = 0.9971

H0 : σ21 = σ2

2 p − value = 0.0059

H0 : σ21 > σ2

2 p − value = 0.0029

H0 : σ21 < σ2

2 p − value = 0.9971

H0 : σ21 = σ2

2 p − value = 0.0059

H0 : σ21 > σ2

2 p − value = 0.0029

Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE

VARIANZA NO CONSTANTE

Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE

VARIANZA NO CONSTANTE

Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?

ANÁLISIS DE RESIDUALES

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

ANÁLISIS DE RESIDUALES

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk

H0 : ε ∼ Normal

p − value = 0.0000006

SE RECHAZA H0

Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk

H0 : ε ∼ Normal

p − value = 0.0000006

SE RECHAZA H0

Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS

Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.

1− qx

)= α + βx + εx

ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)

LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS

Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion

Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula

(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G

H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)

F (x) , G (y))

(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G

H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)

F (x) , G (y))

(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G

H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)

F (x) , G (y))

(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G

H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)

F (x) , G (y))

(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)

Fn(x) =n∑

I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑

I{yk ≤ y}

n∑k = 1

I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}

(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)

Fn(x) =n∑

I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑

I{yk ≤ y}

n∑k = 1

I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}

(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)

Fn(x) =n∑

I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑

I{yk ≤ y}

n∑k = 1

I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}

Pseudo-observaciones empıricas de la copula

Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)

CX ,Y = CF (X ),G (Y )

(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))

Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)

CX ,Y = CF (X ),G (Y )

(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))

Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)

CX ,Y = CF (X ),G (Y )

(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

TASAS OBSERVADAS DE MORTALIDAD

●●●

●●

●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA

●●●

●●

●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●●●

●●

●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

●●

●●●

●●●●

●●●●●●

●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●

20 40 60 80 100

DISTRIBUCIÓN DE EXPUESTOS POR EDAD

●●●

●●

●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Copula C1 (edades 12 - 35)

Despues de probar varias familias

parametricas de copulas, mediante la prueba

de bondad de ajuste de Genest (2009). . .

la ganadora es. . .

Copula Galambos con parametro 2.261762

y p-value = 0.1166383

la ganadora es. . .

y p-value = 0.1166383

la ganadora es. . .

y p-value = 0.1166383

la ganadora es. . .

y p-value = 0.1166383

la ganadora es. . .

Copula Clayton con parametro 22.26483 y

p-value = 0.98967513

la ganadora es. . .

p-value = 0.98967513

la ganadora es. . .

p-value = 0.98967513

la ganadora es. . .

p-value = 0.98967513

●●●

●●

●●●●

●●

●●●

●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●

●●●

●●

●●●

●●●●

●●

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

PSEUDO−OBSERVACIONES

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

SIMULACIÓN

●●●

●●

●●●●●●●●●●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

●●●

●●

●●●

Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital

Graduacion por medio de copulas

(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(

F (x) , G (y))

X = edad Y = qx

X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param

(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(

F (x) , G (y))

X = edad Y = qx

X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param

(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(

F (x) , G (y))

X = edad Y = qx

X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param

(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(

F (x) , G (y))

X = edad Y = qx

X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param

DENSIDAD DE q

0.00 0.05 0.10 0.15

fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

fY |X (y | x) =fXY (x , y)

= g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

fY |X (y | x) =fXY (x , y)

= g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

fY |X (y | x) =fXY (x , y)

= g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012

DENSIDAD DE q(18)

0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024

DENSIDAD DE q(65)

qx = Mediana(Y |X = x)

VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

MAKEHAM

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

CÓPULAS

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

MAKEHAM

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

CÓPULAS

Simulacion por medio de copulas

fY |X (y | x) =fXY (x , y)

= g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

Simulacion por medio de copulas

fY |X (y | x) =fXY (x , y)

= g(y)∂2

∂u∂vC(F (x),G (y))

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

DATOS ORIGINALES

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●

●●●●●●●

●●●

●●

●●●●●●

●●

20 40 60 80 100

SIMULACIÓN

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●

●●●

●●●●●

●●

20 40 60 80 100

DATOS ORIGINALES

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●

●●●●

●●

●●●●

●●

20 40 60 80 100

SIMULACIÓN

2 carteras VIDA temporal a 3 anos

6,600,000 polizas

Edades: 18 – 90 anos

Suma asegurada: $ 1 millon

Tasa de interes tecnica: 5 % anual

6,600,000 polizas

18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

CARTERA 1

18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

CARTERA 2

Valuacion estocastica

VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2

lx = num. polizas edad x

dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )

dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )

dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )

CARTERA 1

64000 65000 66000 67000 68000 69000

CARTERA 2

cy230000 240000 250000 260000 270000 280000

CARTERA 1

64000 65000 66000 67000 68000 69000

CARTERA 2

cy230000 240000 250000 260000 270000 280000

CARTERA 1

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653

A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815

g(X ,Y )]6= g

(E[X ] , E[Y ]

)VaRα

[g(X ,Y )

(VaRα[X ] , VaRα[Y ]

CARTERA 1

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653

A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815

g(X ,Y )]6= g

(E[X ] , E[Y ]

VaRα[

g(X ,Y )]6= g

CARTERA 1

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653

A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815

g(X ,Y )]6= g

(E[X ] , E[Y ]

)VaRα

[g(X ,Y )

)Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad

CARTERA 1

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653

A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815

Utilizar un nivel de confianza 99.5% en la

tabla de mortalidad NO se traduce en un

VaR99.5% de la siniestralidad.Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad

CARTERA 1

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653

A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815

En este caso se requiere un nivel de

confianza 59.6% en la tabla de mortalidad

para obtener el RC = 1, 653Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad

CARTERA 2

BEL VaR99.5% RC

Simulacion 251, 480 270, 393 18, 913

A1x |n 257, 125 499, 998 242, 873

En este caso se requiere un nivel de

confianza 67.2% en la tabla de mortalidad

para obtener el RC = 18, 913Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad

20 40 60 80 100

GRACIAS

[email protected]

1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV...

Documents

Transcript of 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV...