DISEÑO DE EXPERIMENTOS

En muchas industrias el uso efectivo del diseño de experimentos es la clave para

obtener altos rendimientos, reducir la variabilidad, reducir los tiempos de entrega, mejorar los

productos, reducir los tiempos de desarrollo de nuevos productos y tener clientes más

satisfechos.

¿QUÉ ES EL DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)?Un diseño de experimentos es una prueba o serie de pruebas en las cuales se hacen cambios

a propósito en las variables de entrada de un proceso, de tal forma que se puedan observar e

identificar cambios en la respuesta de salida.

Los productos resultantes tienen una o más características de calidad observables o

respuestas (Críticas para la calidad si el cliente reclama por su no cumplimiento – CTQ’s).

Algunas de las variables del proceso X1, X2, X3,……, Xp son controlables o factores de

control, mientras que otras Z1, Z2, Z3, ….., Zq no son controlables (a pesar de que pueden ser

controladas durante el desarrollo de las pruebas), y se denominan factores de ruido.

Los objetivos del diseño de experimentos son:1. Determinar cuáles variables tienen más influencia en la respuesta, y.2. Determinar en donde ajustar las variables de influencia x’s, de tal forma que y se acerque

al requerimiento nominal deseado.

3. Determinar donde ajustar las variables de influencia x’s de tal forma que la variabilidad en

y sea pequeña.

4. Determinar donde ajustar las variables de influencia x’s de tal forma que los efectos de las

variables incontrolables z sean minimizados.

Con la aplicación del DOE durante el desarrollo de los procesos podemos obtener los

beneficios siguientes:

1. Rendimiento mejorado.

2. Variabilidad reducida y comportamiento cercano al valor nominal.

3. Tiempo de desarrollo reducido.

4. Costos totales reducidos.

5. Mejor desempeño y confiabilidad en el campo.

Como ejemplos de aplicaciones del diseño de experimentos tenemos las siguientes:

1. Evaluación y comparación de configuraciones básicas de diseño.

2. Evaluación de alternativas de material.

3. Evaluación de diferentes proveedores.

3. Determinación de parámetros clave de diseño (ej: ángulo, velocidad, método) con impacto en

el desempeño.

GUÍA PARA EL DISEÑO DE EXPERIMENTOSPara tener éxito en el diseño de experimentos, es necesario que todos los involucrados

en el experimento tengan una idea clara del objetivo del experimento, de los factores a ser

estudiados, como se realizará el experimento y al menos una idea cualitativa de cómo se

analizarán los datos. El procedimiento recomendado por Montgomery tiene los pasos

siguientes:

1. Reconocimiento y establecimiento del problema.

2. Selección de factores y niveles.

3. Selección de la variable de respuesta.

4. Selección del diseño experimental.

5. Realización del experimento.

6. Análisis de los datos.

7 Conclusiones y recomendaciones.

EXPERIMENTOS FACTORIALES Los experimentos factoriales se utilizan cuando hay varios factores de interés en un

experimento. En los experimentos factoriales se deben utilizar en cada réplica, todas las

combinaciones de los factores que se están investigando. Si se tienen dos factores A y B con

niveles a y b respectivamente, cada réplica contendrá todas las posibles combinaciones ab.

Definiciones: Factores: Son las variables controlables en el experimento Ej:Temperatura, Presión,

Velocidad; se designan con letras mayúsculas A, B,C.

Niveles: Se refiere a la cantidad de valores que tienen los factores del experimento. Ej:

en un experimento tomamos los siguientes valores de Temperatura: 15°, 20° ; en este

caso tenemos 2 niveles.

Los niveles se designan con números: “1”, “2” o con signos “-, +” que representan los

niveles “bajo” y “alto” en cada caso.

Replica: Es el número de repeticiones del experimento.

Efecto de un factor: es el cambio en la respuesta como resultado de un cambio en el

nivel del factor, se denomina efecto principal ya que se refiere a los factores primarios

del estudio.

Ej. Consideremos el siguiente Experimento:

40 52

20 30A1

A2

B1 B2

FACTOR A

FACTOR B

El calculo de los factores primarios A y B es la diferencia entre la respuesta promedio en el

nivel alto y la respuesta promedio del nivel bajo.

Tratamientos: son todas las combinaciones posibles de los factores que se involucran

en un experimento. Ej: a, b, c, ab, ac, bc.

Interacción: Cuando la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la

misma en todos los niveles de los otros factores.

Respuesta

B2 B2

B1 B1

A1 A2 A1 A2

a) Sin interacción b) Con interacción

En la gráfica de la izquierda observamos que las líneas B1 y B2 son paralelas lo cual indica que

no hay interacción. En la siguiente gráfica al estar cruzadas las líneas B1 y B2 significa que

existe interacción.

El cálculo de la interacción AB es la diferencia entre los promedios del nivel alto de “A” y “B” y

el nivel bajo de los mismos

Principios básicos del diseño de experimentos:Normalidad.- Siempre que se conduce un experimento las muestras son tomadas de

poblaciones “normales”, en el análisis de los experimentos se verifica que se cumpla con este

principio, de lo contrario los resultados obtenidos no serán confiables.

Replicación.- Significa la repetición de un experimento, permitiendo el experimentador la

obtención de un error experimental. El error es la unidad básica de medida para determinar si

las diferencias observadas en los datos son realmente diferentes estadísticamente. La

replicación permite tener una estimación más precisa de los efectos.

Aleatoriedad.- Por aleatoriedad entendemos que la posición del material y el orden en el cual

las corridas se realizan en los experimentos son determinadas aleatoriamente (al azar).

Bloqueo.- Es una técnica usada para incrementar la precisión de un experimento, Un bloque

es una porción del material experimental el cual es más homogeneo que el material restante.

Diseños factoriales en MINITABSupongamos que queremos diseñar un experimento para probar tres factores: temperatura,

presión y tipo de catálisis. Se trata de un diseño factorial completo 2^3, ya que consta de dos

niveles y tres factores, a continuación se muestra el diseño:

FACTOR NIVEL BAJO NIVEL ALTO

Temperatura 20°C 40°C

Presión 1 atmósfera 4 atmósferas

Catálisis A B

Seleccionamos la opción Stat > DOE > Crear Diseños Factoriales.

La ventana muestra los diferentes tipos de diseños factoriales que pueden ser creados y el

número de factores, en este ejemplo seleccionamos en el campo number of factors = 3 y

2-level factorial (default generators) en tipo de diseño.

También tiene diferentes iconos, en el cual encontramos información especifica del diseño.

Solamente están habilitados dos iconos: “Display Available Designs” y “Designs”. En la primera

opción se muestran todos los diseños factoriales que contiene el sistema.

En la segunda opción “diseños”, seleccionamos el diseño factorial completo “full factorial”.

Y se llenan los siguientes campos, que en este ejemplo los valores son los siguientes:

Number of center points = 0

Number of replicates = 2

Number of blocks = 1

AL Presionar OK el diseño es seleccionado y se regresa al la pantalla principal. En esta

pantalla todos los iconos quedan habilitados

Se seleccionan las siguientes opciones:

FactoresEn esta pantalla se escribe el nombre de los factores así como los diferentes niveles “bajo” y

“alto” para cada factor ( estos últimos son dados por default)

Opciones:En la pantalla se escoge la opción: “do not fold” (el sistema la da por default)

La opción “randomize” no debe de estar seleccionada, de lo contrario se cambia el orden de

todo el experimento.La opción “store design in worksheet”: guardar diseño en la hoja de trabajo,

es seleccionada. Presionar OK

Presionar OK en la pantalla principal. El sistema despliega el experimento en la hoja de

trabajo.

En la columna C8 capturamos la respuesta Yield , para cada combinación del experimento.

Para analizar el experimento se selecciona la siguiente opción de la barra de herramientas: STAT > DOE > Analyze Factorial design.La pantalla tiene las siguientes opciones: Responses, Graphs, Terms, Covariates, Results,

Storage.

En el cuadro de Respuestas “Responses” seleccinamos la columna C8, correspondiende a

la variable de respuesta del experimento.

En la opción “Terms” términos, se muestran los factores y sus interacciones, las cuales se

dan por default, en el caso de que se quiera hacer una modificación el sistema permite

realizarla. Ej.: Ignorar interacciones mayores a grado 2. Si se desea eliminar un factor en

esta pantalla también se puede hacer.

En la opción “Graphs”, gráficas, se seleccionan las gráficas de efectos deseadas, así

como las gráficas de residuos, estas nos permiten realizar el análisis del experimento.

Seleccionamos las gráficas de Efectos: Normal y Pareto, el nivel alfa deseado que en este caso

es de 0.05 y en la opción “Residual for Plots” seleccionamos la opción regular que viene por

default. En el caso de que queramos más gráficos podemos seleccionar las que vienen en la

parte de “Residual Plots”. Dar click en OK

En la opción Results (Resultados) se muestra la siguiente ventana:

Seleccionamos la opción por default: coefficients, ANOVA Table, and unusual observations.

En el cuadro Available Terms, se muestran los Factores y las interacciones, estos se

seleccionan y se pasan del lado derecho. Click en OK

En la gráfica de Pareto observamos que los principales efectos son aquellos que pasan la línea

punteada: C, B, y BC. Estos son los que más afectan el experimento.

6543210

C

B

BC

A

AC

ABC

AB

Pareto Chart of the Standardized Effects(response is C8, Alpha = .05)

A: TemperatB: PresiónC: Catalisi

3210-1-2-3-4-5-6

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

Standardized Effect

Nor

mal

Sco

re

C

BC

B

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is C8, Alpha = .05)

A: TemperatB: PresiónC: Catalisi

La gráfica normal de probabilidad muestra los efectos más significativos que en este

caso son los mismos que en la gráfica de pareto: C, B y BC.

En la tabla observamos los coeficientes de los efectos, así como el análisis de varianza.

Fractional Factorial Fit

Estimated Effects and Coefficients for Yield (coded units)

Term Effect Coef StDev T PConstant 74.81 2.561 29.21 0.000Temperat 1.38 0.69 2.561 0.27 0.795Presión 14.13 7.06 2.561 2.76 0.025Catalisis -30.37 -15.19 2.561 -5.93 0.000Temperat*Presión -0.13 -0.06 2.561 -0.02 0.981Temperat*Catalisis -1.13 -0.56 2.561 -0.22 0.832Presión*Catalisi -13.38 -6.69 2.561 -2.61 0.031Temperat*Presión*Catalisi -0.12 -0.06 2.561 -0.02 0.981

Analysis of Variance for Yield (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 3 4496.19 4496.19 1498.73 14.28 0.0012-Way Interactions 3 720.69 720.69 240.23 2.29 0.1553-Way Interactions 1 0.06 0.06 0.06 0.00 0.981Residual Error 8 839.50 839.50 104.94Pure Error 8 839.50 839.50 104.94Total 15 6056.44

Los efectos principales son los menores al nivel de significancia 0.05, P-Values (columna P),

estos están sombreados en la tabla.

Para generar las gráficas que nos permitirán determinar y visualizar cuales son los niveles

óptimos de los efectos (gráfica de efectos principales, gráfica de interacciones y gráfica de cubo

utilizamos la siguiente opción: Stat > DOE > Factorial plots

Seleccionamos la opción Main effects y damos click en Setup.

Se despliega la ventana Factorial Plots-Main, en la cual seleccionamos en el cuadro

Responses C8. Posteriormente seleccionamos los Factores principales. Damos click en OK

Repetimos los pasos anteriores para las gráficas de interacción y cubica. Damos click en OK y

obtenemos las gráficas deseadas.

En está gráfica obtenemos los niveles que maximizan la respuesta.

Temperatura : nivel “alto” = 40°, Presión nivel “alto” = 4, Catálisis nivel “bajo” = A

En la interacción Presión*Catálisis el nivel óptimo es: Presión = 4 “nivel alto” y Catálisis A “nivel

Bajo”

77.5

59.5

105.0

60.0

75.0

59.0

102.5

60.0

20 40

Temperatura

Presión

Catalisis

1

4

A

B

Cube Plot (data means) for Yield

BA41

100

80

60

100

80

60

Temperatura

Presión

Catalisis

4

1

40

20

Interaction Plot (data means) for Yield

En la gráfica de cubo observamos que la mayor respuesta se encuentra en el vértice 102.5. De

está gráfica también podemos saber cuales son los niveles óptimos de cada factor.

Fórmulas de cálculo para diseños factoriales.

Diseño factorial 22

La siguiente figura muestra la diferentes combinaciones de los tratamientos, así como los

factores A y B en los niveles alto y bajo, para un diseño 22

Cálculo de los efectosLos efectos de interés en el diseño son los efectos principales de A y B y los efectos de la

interacción AB, se denominan contrastes siendo calculados como sigue:

Donde n = número de replicas

Las cantidades entre paréntesis se denominan contrastes, aquí los coeficientes siempre son

+1 o –1. También se pueden determinar usando una tabla de signos como sigue:

Efectos factorialesCorrida I A B AB

1 (1) + - - +

2 a + + - -

3 b + - + -

4 ab + + + +

Ejemplo: Para determinar el contraste de A utilizando la tabla de signos obtenemos:

(1) a

b ab

A

B

- +

+

-

Suma de cuadradosPara obtener la suma de cuadrados de A, B, y AB se usa:

DondeSST = Suma Total de CuadradosSSE = Suma de Cuadrados del Error

Grados de libertad (g.l.)

A = 1B = 1AB = 1SSE = 4 (n-1)SST = 4n -1

Cuadrados Medios (M.S.)

La tabla de Análisis de varianza (ANOVA) queda como sigue:

Fuente de Suma de Grados de Cuadrado variación cuadrados libertad medio Fo .

Factor A SSA a -1 MSA Fo = MSA / MSEFactor B SSB b- 1 MSB Fo = MSB / MSEInteracción SSAB (a –1)(b-1) MSAB Fo = MSAB / MSEABError SSE ab(n-1) MSETotal SST abn-1

Valor crítico

Calculamos el Valor de F en la tabla mediante:

Donde: = nivel de significancia.a = número de niveles del factor An = tamaño de muestra del Factor A

De la misma manera se calcula para los demás factores.

Regla de decisión: Si F0 > F, el factor es significativo.

Análisis Residual

Para obtener los residuos se utiliza la ecuación de regresión siguiente:

El valor de la intersección 0 es el promedio del número total de observaciones y cada

coeficiente de regresión es la mitad del efecto estimado del factor correspondiente .

Los valores X1 y X2 representan los efectos A y B. Estos valores se codifican en los niveles alto

y bajo del experimento (-1 y +1)

Este modelo es usado para predecir los valores de y en los cuatro puntos del experimento.

Utilizando la ecuación se buscan todas las combinaciones posibles, que en este tipo de diseño

son cuatro. Al obtener la respuesta óptima, determinamos cuales son los niveles más

favorables para nuestro experimento.

Ej.

El modelo de regresión es:

Realizando las diferentes combinaciones tenemos:

= 29.165

La respuesta óptima es 34.165, por lo cual los níveles más favorables en este experimento son x1 = +1 y x2 = -1.

Para obtener los residuos, se resta el valor observado (en la muestra) del valor predicho ( ecuación de regresión)

Ej:

Tenemos los siguientes valores observados: 28, 25 y 27. utilizando la primera ecuación donde y = 29.165 el calculo de residuos sería:

e1 = 28-25.835 = 2.165e2 = 25-25.835 = -0.835e3 = 27-25.835 = 1.165

Los demás residuos se calculan de la misma manera, utilizando el valor predicho correspondiente (de cada ecuación), existen tantos residuos como número de observaciones.

Posteriormente los residuos se grafican en el papel normal de probabilidad. Para determinar si cumplen con el supuesto de normalidad.

Diseño factorial 2k

El diseño de 3 factores es un cubo con ocho combinaciones factoriales, permite estimar

tres efectos principales (A, B, y C), tres interacciones de dos factores (AB, BC, y AC) y una

interacción de tres factores (ABC). Considerando que las letras minúsculas representan la

suma de las n replicas de cada uno de los ocho experimentos, se tiene:

Las cantidades entre paréntesis se denominan contrastes de las ocho combinaciones de

niveles y factores. También pueden obtenerse de la tabla siguiente:

Tabla de Signos para los efectos en el diseño 23

Propiedades de la tabla:

1. Excepto por la columna identidad I, cada columna tiene un número igual de signos más y

menos.

2. La suma de productos de los signos con cualquier par de columnas es cero, o sea que se

trata de una tabla ortogonal.

3. Al multiplicar cualquier columna por la columna I se obtiene la misma columna, entonces I es

el elemento identidad.

4. El producto de cualquier par de columnas resulta en otra columna en la tabla, AxB = AB,

ABxABC = A2B2C = C dado que una columna multiplicada por si misma da la columna

identidad.

El estimado de cualquier efecto principal o interacción se determina como sigue:

La suma de cuadrados de cualquier efecto es:

Ejemplo Se realizó un experimento para investigar el acabado superficial de una parte de

metal. El experimento es un diseño factorial 23 con los factores Velocidad de ataque (A),

profundidad de corte (B) y ángulo de corte (C), con n = 2 réplicas. En la tabla siguiente se

observan los resultados del acabado superficial.

Los efectos principales se calculan como sigue, por ejemplo para el factor A:

A =(22 + 27 +23 + 30 – 20 – 21 –18 – 16) / 4(2) = 3.375

De la misma forma

B = 1.625

C = 1.375

AB = 1.375

AC = 0.125

BC = -0.625

ABC = 1.125

Calculando la suma de cuadrados como sigue:

gl.SSA = 1

De la misma forma para los demás factores, se tiene:

SSB = 10.5625 todos con gl. = 1

SSC = 3.065

SSAB = 7.5625

SSAC = 0.0625

SSBC = 1.5625

SSABC = 5.5625

SSErr = 19.500 con (16 – 7 ) = 8 gl. MSE = 2.4375

SST = 92.9375 con 15 gl.

Datos del experimento

Factores de Diseño Acabado

Corrida A B C Superficial Total

1 (1) -1 -1 -1 9,7 16

2 a +1 -1 -1 10,12 22

3 b -1 +1 -1 9,11 20

4 ab +1 +1 -1 12,15 27

5 c -1 -1 +1 11,10 21

6 ac +1 -1 +1 10,13 23

7 bc -1 +1 +1 10,8 18

8 abc +1 +1 +1 16,14 30

Formando la tabla ANOVA y calculando los valores de Fc para cada factor se tiene (Fcrítica

(0.1, 1, 8) = 3.45

Fuente Fc

A 18.69

B 4.33

C 1.26

AB 3.1

AC 0.03

BC 0.64

ABC 2.08

Por tanto sólo son significativos los factores A y B por ser Fc > Fcrítica.

Para probar normalidad se puede utilizar la ecuación de regresión anterior para las dos

variables A y B, con sus niveles codificados en (-1, +1), tomando la media general y los

estimados de los efectos de los factores A y B y de su interacción, se tiene:

Con esta ecuación se pueden evaluar los residuos, que se calculan para cada

combinación de las dos variables A y B ya que la C no fue relevante. Por ejemplo para el caso

de

A = -1 y B = -1 se tiene:

Yest = 9.25

Los valores observados para A = -1, B = -1 y

C = -1, corresponden a las respuestas 7 y 9. Obteniendo los residuos contra el valor estimado

de 9.25 se tiene:

r1 = 9 – 9.25 = - 0.25

r2 = 7 – 9.25 = - 2.25

Graficando estos residuos en papel normal no se observan anormalidades mayores.

Como el menor valor se obtiene al tener A y B en nivel bajo, esta es la solución que se

recomienda.

Técnica de confusión en los diseños 2k

Existen muchos problemas en los cuales es imposible desarrollar replicas completas de un diseño factorial en un solo bloque,La confusión es una técnica de diseño que sirve para arreglar un experimento factorial completo en bloques, donde el tamaño del bloque es más pequeño que el número de combinaciones del tratamiento en una réplica. La técnica origina información acerca de ciertos

efectos del tratamiento (usualmente de mayor orden que las interacciones) que son confundidas con los bloques.

Diseños factoriales 2 k en dos bloques.- Supongamos que deseamos dividir en dos bloques un diseño 22 . La figura muestra un posible diseño para este problema. Aquí observamos que las combinaciones de los tratamientos en diagonales opuestas son asignados a los diferentes bloques.

Notamos que el bloque 1 está compuesto por las combinaciones de los tratamientos (1) y ab, el bloque 2 esta compuesto por a y b.

Dado que las dos combinaciones con el signo positivo [ (1) y ab] están en el bloque uno, y las dos combinaciones [ a y b] están en el bloque 2, el efecto de los bloques y la interacción AB son idénticas. Esto significa que AB es confundida con los bloques.

Los signos de las combinaciones mencionadas los encontramos en la columna AB de la tabla. (1) y ab tienen signo positivo, a y b tienen signo negativo.

Corrida I A B AB

1 (1) + - - +

2 a + + - -

3 b + - + -

4 ab + + + +

Este método puede ser usado para confundir cualquier efecto (A, B o AB) en bloques. Por ejemplo, si (1) y b hubieran sido asignados al bloque 1, a y ab al bloque 2, entonces el efecto principal A hubiera sido confundido en bloques.

Método de combinación linealOtro método para construir este tipo de diseños consiste en el uso de la combinación lineal:

A

B

- +

+

-

= corrida en el bloque 1

= corrida en el bloque 2

(1)

ab

a

b

Bloque 1 Bloque 2

donde xi = nivel del factor que aparece en una combinación particular del tratamiento.xi = 0 (nivel bajo) ó 1 nivel alto.

es el exponente del factor en el efecto que es confundido. = 0 ó 1

Las combinaciones del tratamiento que producen el mismo valor de L serán acomodadas en el mismo bloque. Dado que los valores de L pueden ser 0 ó 1 el número de bloques en un diseño 2k son dos.

Ejemplo:

Consideremos un diseño 23 con ABC confundida en bloques.

X1 corresponde a A, X2 corresponde a B, X3 corresponde a C, y

La combinación lineal correspondiente a ABC es:

L = X1+ X2+ X3

Para determinar los valores Xi de la combinación lineal L utilizamos la tabla de signos del diseño 23 , Donde el signo “-“ = 0 y “+” = 1

Para obtener la combinación del tratamiento (1) procedemos de la siguiente manera:Observando el renglón del tratamiento (1) y tomando los signos de los efectos A, B, y C obtenemos los valores de X1, X2, X3. = 000. Por tanto:

L = 1(0)+1(0)+1(0) = 0

De la misma manera la combinación del tratamiento a sería:

L = 1(1) + 1(0) + 1(0) = 1

Calculando las demás combinaciones tenemos:

b: L = 1(0)+1(1)+1(0) = 1 = 1

Combinación del Efectos factoriales Tratamiento I A B AB C AC BC ABC (1) + - - + - + + -

a + + - - - - + +

b + - + - - + - +

ab + + + + - - - -

c + - - + + - - +

ac + + - - + + - -

bc + - + - + - + -

abc + + + + + + + +

ab: L = 1(1)+1(1)+1(0) = 2 = 0 c: L = 1(0)+1(0)+1(1) = 1 = 1ac: L = 1(1)+1(0)+1(1) = 2 = 0 bc: L = 1(0)+1(1)+1(1) = 2 = 0

abc: L = 1(1)+1(1)+1(1) = 3 = 1

Nota cuando el valor de L>1 entonces L= 0, por ejemplo en la combinación ab obtuvimos L = 2, entonces L = 0

Para formar el bloque 1, tomamos todas las combinaciones L = 0, el bloque dos se forma con las combinaciones L = 1, resultando:

(1)abacbc

abc

abc

Bloque 1 Bloque 2