Jorge Luis Hernández NapaIca, 13 de Agosto 2015

Escuela Académico Profesional de Economía

Departamento Académico de Economía

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Departamento Académico de Economía

A.- EL MODELO POTENCIAL:1.Relación entre dos variables: no lineal.2.Logaritmos3.Definición y especificación.4.Hipótesis5.Solución del modelo potencial.6.Tabulación y gráficos.7.Solución por E-Views

B.- EL MODELO EXPONENCIAL:1.Definición2.Especificación matemática del modelo potencial3.Especificación de hipótesis del modelo4.Solución del modelo5.Tabulación de las variables6.Aplicación práctica: La función consumo keynesiana.

BIBLIOGRAFIAGUJARATI, Damodar N. : “Econometría”. Edit. McGRAW-HILL/Interamericana Editores, S.A. México 2010. Pág 15-107ROSALES; Ramón, y BONILLA, Jorge: “Introducción a la Econometría”. Edit. CEDES. Colombia 2006. Pág. 29 – 40CASAS TRAGODARA, Carlos: “Econometría Moderna” Edit. Universidad del Pacífico. Perú 2000.

RELACIÓN ENTRE DOS O MÁS VARIABLES

Correlación y regresión

ENTRE DOS VARIABLES : Y = ƒ (X) (Modelo Lineal Simple – MLS)

ENTRE MAS DE DOS VARIABLES : Y = ƒ (X2, X3, X4, ……Xk) (Modelo Lineal General – MLG)

LINEAL

NO LINEAL

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LOGARITMOSLos logaritmos fueron inventados en 1614 por el matemático escocés John Napier (1550-1617) y fueron llevados a la práctica por Henry Briggs (15561631), profesor en Oxford. Los logaritmos tuvieron un éxito inmediato ya que son una herramienta muy útil para efectuar abreviadamente diversas operaciones aritméticas; sobre todo, fueron utilizados para realizar cálculos aritméticos complejos y tediosos, como los llevados a cabo en Astronomía. Actualmente, con el surgimiento de las calculadoras electrónicas, el uso de los logaritmos con propósitos computacionales ha sido relegado a un papel menor. Aun así, los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, etcétera. La palabra logaritmo viene del griego: logos que si lea razonar o calcular, y arithmos que quiere decir número. Por tanto, logaritmo significa número para calcular.

DEFINICIÓN DE LOGARITMO La logaritmación es una operación que consiste en, dada una base y el resultado de una elevación a potencia, hallar el exponente. Por ejemplo, ¿a qué potencia hay que elevar la base 8 para obtener el número 64? Como para obtener el número 64 hay que elevar 8 al cuadrado, se dice que 2 es el logaritmo de 64 en la base 8, y se escribe de la siguiente forma: Log 8 64 =2

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A.- EL MODELO POTENCIALA.- EL MODELO POTENCIAL4.1. DEFINICION:  Es el modelo econométrico que contiene solo y únicamente dos variables: una endógena Yt (primer miembro), y una predeterminada Xt (segundo miembro), que tiene como potencia un parámetro (b). Es un modelo uniecuacional, porque contiene una sola ecuación, que representa un solo sector de la actividad económica (consumidores, inversionistas, importadores, exportadores, gobierno, sector monetario, sector trabajo, etc.). Gráficamente el modelo tiene forma no lineal: la variable endógena (Yt), depende o está en relación no lineal con la variable predeterminada (Xt) -exógena o endógena con retardo-, y una perturbación aleatoria no observable (μ t). El modelo se puede linealizar, aplicando logaritmo neperiano al modelo. A este último modelo suele denominarse doble logarítmico.

4.2. ESPECIFICACION MATEMÁTICA DEL MODELO: 1)FORMA NO LINEAL Modelo Poblacional : Yt = a Xt b μt (comportamiento de la población) Modelo Muestral : Yt = Xt e t (comportamiento de una muestra) Modelo Estimado : Ŷ t = Xt (para obtener la línea estimada Ŷt) 

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 2). FORMA LINEAL (aplicando logaritmos) Modelo Poblacional : Ln Yt = Ln a + b Ln Xt + Ln μt (comportamiento de población) Modelo Muestral : Ln Yt = Ln + Ln Xt + Ln e t (comportamiento de muestra) Modelo Estimado : Ln Ŷ t = Ln + Ln Xt (para obtener línea estimadŶt)  Donde: Yt = variable endógena a, b = parám. Poblac;, = parám. muestrales Xt = variable predeterminada t = variable aleatoria poblacional Ŷt = variable estimada e t = error muestral

Ln = logaritmo neperiano t = tiempo (histórico pasado) 4.3. ESPECIFICACIÓN DE HIPÓTESIS DEL MODELO A.HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS PERTURBACIONES 1. Toda perturbación aleatoria tiene media cero E (μ t ) = 0 ; ν t = 1, 2, 3, ......, n

2. Todas las perturbaciones aleatorias tienen las mismas variancias (σμ2 ) ; o sea tienen

variancia finita y constante Var (μ t ) = E (μ t

2) = σμ2

Es conocido como el postulado o hipótesis de Homocedasticidad, su abandono implica reemplazarlo, por la hipótesis de Heterocedasticidad (cuando la variancia es finita y variable). Se detecta y se corrige. 3. La variable aleatoria no está autocorrelacionada, implica la independencia de los valores sucesivos de (u t); el abandono de este supuesto da lugar a la introducción de la hipótesis de Autocorrelación. Cov (μ t μ j ) = E (μ t μ j ) = 0 ; ν t ≠ j

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  4. La variable aleatoria u t es independiente de todas las variables exógenas, .

E (μ t X t ) = E (μ t ) E (X t ) = 0 E (μ j X j ) = E (μ j ) E (X j ) = 0 Si la variable aleatoria, no es independiente de las variables exógenas, entonces los

EMC, son sesgados y no consistentes: Es decir el sesgo no se corrige, con el aumento del tamaño de la muestra 5. La variable aleatoria u t , se distribuye normalmente con media cero y variancia σu

2, es decir. 1 Σ μ t

2 μ t ~ N ( 0, σμ

2 ) → ƒ (μ t ) = ------___- e 2 σμ2

σμ √ 2 π Que es la fórmula, de la función de densidad de una u t en el muestreo. A partir de esta formula se pueden obtener estimadores de Máxima Verosimilitud. B. HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS VARIABLES 6. La variable predeterminada X no es aleatoria; o sea es una variable fija en el muestreo 7. La variable endógena Yt , es evidentemente una variable aleatoria, cuyos parámetros (en virtud de la Ho. 1, 2, y 6) son:

Media: E (Y t) = E ( a + b X t + μ t ) = a + b X t + E (μ t ) E (Y t) = a + b X t  

Variancia: σY2 = E [ Y t – E (Y t) ] 2

σY2 = E [a + b X t + μ t – a – b X t ] 2

σY2 = E [ μ t 2 ]

σY2 = σμ

2

8. La variables X t ^ Y t , se obtienen sin errores de observación, o sea no hay errores de medida, el abandono de esta hipótesis, crea el problema de Errores en las Variables.

X t ^ Y t = son sin errores de observación

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9. La matriz de coeficientes de variables endógenas X, tiene rango K, donde K < N R [X] = K < N k = Rango de matriz X ; N = número de var. endógenas Garantiza (X’X) –1 . El abandono de esta hipótesis, genera un problema en la econometría, denominado Multicolienalidad. C.HIPÓTESIS RELATIVAS A LOS PARAMETROS 10. Los parámetros estructurales son constantes, para todas las unidades de la muestra. Sobre ellos no se emite a priori ninguna restricción. 

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Para solucionar el modelo potencial, se parte del modelo muestral, y se aplica el Método de los Mínimos Cuadrados:  Log et )2

= min., y las condiciones de mínimo  Partimos del modelo muestral: Ln Yt = Ln + Ln Xt + Ln e t

Ln e t = Ln Yt – Ln – Ln Xt

(Ln e t )2 = ( Ln Yt – Ln – Ln Xt )2

 Condiciones de mínimo:a.Primera derivada se igualen a cerob.Segunda derivada sea positiva Aplicando la primera condición:Ln (Ln e t )2 ] = 0 (Ln e t )2 ] = 0 Derivando:Ln (Ln e t )2 ] = 2 Ln Yt – Ln – Ln Xt) (-1) = 0 (Ln e t )2 ] = 2 Ln Yt – Ln – Ln Xt) (- LnX t ) = 0 Igualando a cero: Ln Yt – Ln – Ln Xt) (-1) = 0 Ln Yt – Ln – Ln Xt) (- LnX t ) = 0

J.Hdez.Napa 15

 obteniéndose:a. Las ecuaciones normales: LnYt = N Ln + Ln X t ( 1 ) Ln X t LnYt = Ln Ln X t + Ln X t )2 ( 2 )

 b. Los parámetros: A partir de las ecuaciones normales hallamos los parámetros Ln ^ :  LnYt (LnX t)2

– LnX t Ln Xt LnYt Ln = --------------------------------------------------------- N (LnX t )

2 – ( LnX t ) 2   N Ln X t Ln Yt

– Ln X t Ln Yt

= ------------------------------------------------- N LnX t )

2 – ( LnX t ) 2

 c. La Media de los parámetros:  Después de demostrar la linealidad Ln = ( 1/N – Wt Ln Xt ) Ln Yt = Wt Ln Yt

  Donde Wt , tiene las siguientes propiedades: Wt = 0; Wt Ln X t = 1; Wt

2 = 1 / LnX t – LnẌ )2 ; Wt2 = 1 / x t

2

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 Se muestra la media o insesgabilidadE ( Ln ) = Ln aE ( ) = b d. La Varianza y desviación standard de los parámetros: SLn ^ S

De la definición: V ( Ln ) = SLn

2 = E ( Ln Lna

V ( ) = S = E ( b )2

  Se obtienen la variancia y desviación estándar de los parámetros.  N S 2 Para obtener la desviación estandar S

2 = -------------------------------------- ( S), se extrae raíz cuadrada a S2

N (Ln X t ) 2 – ( Ln X t ) 2

  S 2 ( Ln X t )

2 Para obtener la desviación estandar SLn

2 = -------------------------------------- (S), se extrae raiz cuadrada a S 2

N (Ln X t ) 2 – ( Ln X t ) 2

 e. Varianza y desviación standard del modelo: S 2 ^ S Se define S 2, como la relación entre la variancia no explicada (V no E), y el grado de libertad ( gl ):  V no E Log et )2

( Ln Yt – Ln – Ln X t ) 2

S 2 = --------- = -------------- = --------------------------------------- gl N – 2 N – 2 

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  Al numerador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común:  (Ln Yt)2 – Ln Ln Yt – Ln X t Ln Yt Para obtener la desviación S 2 = ---------------------------------------------------------- standard (S), se extrae raiz N – 2 cuadrada a S 2

 f. Coeficiente de correlación del modelo: R2 ^R  Se define R2 , como relación entre variancia explicada (VE), y variancia total (VT): V E (LnŶ t – LnΫ ) 2 ( Ln + Ln X t – LnΫ ) 2 R2 = ----- = ------------------------- = -------------------------------------- V T (Ln Yt

– LnΫ ) 2 ( Ln Yt – LnΫ ) 2

  Coeficiente de correlación libre del intercepto: 

Al numerador y denominador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común:  Ln Ln Yt + Ln X t Ln Yt - 1/N ( Ln Yt

) 2

R2 = ------------------------------------------------------------------- Ln Yt )2 - 1/N ( Ln Yt

) 2  

Coeficiente de correlación sin corregir: Ln Ln Yt + Ln X t Ln Yt

R*2 = ------------------------------------------ Ln Yt )2

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  Coeficiente de correlación libre del intercepto y del grado de libertad N – 1 Ř2 = 1 – --------- ( 1 – R2 ) ↑ = 1 N – K  Relación que debe cumplirse:  R*2 > R2 > Ř2

 g. Relaciones a cumplirse en la solución de los modelos:  Variancia total = Variancia explicada + Variancia no explicada  ( LnYt

- LnΫ ) 2 = (LnŶ t - LnΫ ) 2 + (Ln et )2  h. Tabulación para solucionar el MLS: Pasos a seguir: 1) Se apertura columnas: para las observaciones, numero de años.2) Se apertura columnas: para la variable endógena y pre-determinada, se suman.3) Se eleva al cuadrado las dos variables y se suman. 4) Se multiplican ambas variables, y se suman5) Se obtienen el valor estimado LnŶ t . y se suman6) Se obtienen las desviaciones Ln e t, la suma es igual a cero.7) Se elevan al cuadrado las desviaciones (Ln e t)2 , y se suman.  

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  OBS

 AÑOS

 Yt

 X t

 Ln Yt

 Ln X t

 (Ln Yt )2

 (Ln X t)2

 LnX t LnYt

 Ln Ŷ t

 123...........N

 1,9501,9511,952

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.2,013

      

  

  

  

  

  

  Sumatorias

  Yt

 

  X t

  LnYt

(=)

  LnX t

 Ln Yt )2

 Ln Xt )2

 LnX t LnYt )

  LnŶ t

(=)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

  OBS

 AÑOS

 

Lne t

 

(Lnet )2

 Ln Yt - Ln Yt

 Ln X t - Ln Yt

 (Ln Yt - Ln Yt)2

 (Ln X t - Ln Yt)2

 123...........N

 1,9501,9511,952

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.2,013

  

  

  

  

   

  Sumas

 Ln et

= 0

 

Ln e t )2

Variancia No

Explicada

  (Ln Yt - Ln Yt ) =

0

  (Ln X t - Ln Yt) = 0

  (Ln Yt - Ln Yt)2

Variancia

Total

  (Ln X t - Ln Yt)2

Variancia

Explicada

(11) (12) (13) (14) (15) (16)

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1.- Suma de VE real = Suma de VE estimada Yt = Ŷ t

2.- Suma de errores muestrales = 0 e t = 0

3.- La línea estimada Ŷ t pasa por el punto medio y central de las observaciones (media de X ^ Y)

4.- La suma de los errores es igual a cero Para el valor real : ( Yt

- Ϋ ) = 0 Para el valor estimado : ( Ŷ t - Ϋ) = 0 Para la diferencia : (Yt

- Ŷ t ) = e t = 0

5.- La suma de los errores al cuadrado nos da la variancia Variancia total : ( Yt

- Ϋ ) 2 (Para el valor real)

Variancia explicada : (Ŷ t - Ϋ ) 2 (Para el valor estimado)

Variancia no explicada : e t2 (Para la diferencia)

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Co

nsu

mo

Pri

vad

o (

Yt)

Producto Bruto Interno (Xt)

linea estimada

Ŷ t = + X t

( Ẍ, Ϋ )

Linea de 45º grados

¤VRO

A

B

C

D

Yt Ŷ t

e t

Yt = Ŷ t

e t = 0

Valores: real, estimadoAD = Yt = valor realBD = Ŷt = valor estimadoAB = e t = error

erroresƩ (Yt - Ϋ ) = 0Ʃ (Ŷ t - Ϋ ) = 0Ʃ (Yt - Ŷ t ) = 0

varianciaƩ (Yt - Ϋ )2 = VTƩ (Ŷ t - Ϋ )2 = VE

Ʃ (Yt - Ŷ t )2 = et2 = VnoE

Ẍ

Ϋ

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B.- EL MODELO EXPONENCIALB.- EL MODELO EXPONENCIAL

1.- DEFINICION:  Es el modelo econométrico que contiene solo y únicamente dos variables: una endógena Yt (primer miembro), y una predeterminada Xt (segundo miembro), que tiene como potencia la variable predeterminada (Xt). Es un modelo uniecuacional, porque contiene una sola ecuación, que representa un solo sector de la actividad económica (consumidores, inversionistas, importadores, exportadores, gobierno, sector monetario, sector trabajo, etc.). Gráficamente el modelo tiene forma no lineal: la variable endógena (Yt), depende o está en relación no lineal con la variable predeterminada (Xt) -exógena o endógena con retardo-, y una perturbación aleatoria no observable (μ t). El modelo se puede linealizar, aplicando logaritmo neperiano al modelo. A este último modelo suele denominarse semi logarítmico.

2.- ESPECIFICACION MATEMÁTICA DEL MODELO:  a. Forma No Lineal Modelo Poblacional : Yt = a bXt μt (comportamiento de la población) Modelo Muestral : Yt = Xt e t (comportamiento de una muestra) Modelo Estimado : Ŷ t = Xt (conociendo parámetros , , se obtiene la línea estimada Ŷ t)

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b. Forma Lineal (aplicando logaritmos) Modelo Poblacional : Ln Yt = Ln a + Lnb (Xt) + Ln μt (comportamiento de población) Modelo Muestral : Ln Yt = Ln + LnXt ) + Ln e t (comportamiento de muestra) Modelo Estimado : Ln Ŷ t = Ln + LnXt ) (conociendo , , se obtiene la línea estimada Ŷ t) Donde: Yt = variable endógena , = parám. muestrales Xt = variable predeterminada t = variable aleatoria poblacional Ŷt = variable estimada e t = error muestral

a, b = parám. poblacionales t = tiempo (histórico pasado) Ln = logaritmo neperiano 3. ESPECIFICACIÓN DE HIPÓTESIS DEL MODELO A.HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS PERTURBACIONES1. Toda perturbación aleatoria tiene media ceroE (μ t ) = 0 ; ν t = 1, 2, 3, ......, n

2. Todas las perturbaciones aleatorias tienen las mismas variancias (σμ2 ) ; o sea tienen variancia

finita y constanteVar (μ t ) = E (μ t

2) = σμ2

Es conocido como el postulado o hipótesis de Homocedasticidad, su abandono implica reemplazarlo, por la hipótesis de Heterocedasticidad (cuando la variancia es finita y variable). Se detecta y se corrige.3. La variable aleatoria no está autocorrelacionada, implica la independencia de los valores sucesivos de (u t); el abandono de este supuesto da lugar a la introducción de la hipótesis de Autocorrelación.Cov (μ t μ j ) = E (μ t μ j ) = 0 ; ν t ≠ j

J.Hdez.Napa 25

4. La variable aleatoria u t es independiente de todas las variables exógenas, . E (μ t X t ) = E (μ t ) E (X t ) = 0 E (μ j X j ) = E (μ j ) E (X j ) = 0 Si la variable aleatoria, no es independiente de las variables exógenas, entonces los EMC, son sesgados y no consistentes: Es decir el sesgo no se corrige, con el aumento del tamaño de la muestra5. La variable aleatoria u t , se distribuye normalmente con media cero y variancia σu

2

1 Σ μ t2

μ t ~ N ( 0, σμ2 ) → ƒ (μ t ) = -----___- e 2 σμ

2

σμ √ 2 π Que es la fórmula, de la función de densidad de una u t en el muestreo. A partir de esta formula se pueden obtener estimadores de Máxima Verosimilitud.B. HIPÓTESIS RELATIVAS A LAS VARIABLES6. La variable predeterminada X no es aleatoria; o sea es una variable fija en el muestreo7. La variable endógena Yt , es evidentemente una variable aleatoria, cuyos parámetros (en virtud de la Ho. 1, 2, y 6) son: Media: E (Y t) = E ( a + b X t + μ t ) = a + b X t + E (μ t ) E (Y t) = a + b X t   Variancia: σY

2 = E [ Y t – E (Y t) ] 2

σY2 = E [a + b X t + μ t – a – b X t ] 2

σY2 = E [ μ t 2 ]

σY2 = σμ

2

8. La variables X t ^ Y t , se obtienen sin errores de observación, o sea no hay errores de medida, el abandono de esta hipótesis, crea el problema de Errores en las Variables. X t ^ Y t = son sin errores de observación

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9. La matriz de coeficientes de variables endógenas X, tiene rango K, donde K < N R [X] = K < N k = Rango de matriz X ; N = número de var. endógenas Garantiza (X’X) –1 . El abandono de esta hipótesis, genera un problema en la econometría, denominado Multicolienalidad.  C. HIPÓTESIS RELATIVAS A LOS PARAMETROS 10. Los parámetros estructurales son constantes, para todas las unidades de la muestra.

Sobre ellos no se emite a priori ninguna restricción. 4. SOLUCIÓN DEL MODELO Ln Yt = Ln + Ln (Xt ) + Ln μt (SLn SLn) [tLn] [tLn ___ Donde: R^2, R2, R ̃2 Ln Ÿt SS^ t , t = D.Std. ^ “t”

Student S2, S SLnYt F = Prueba de Fisher- Snedecor (Ln et)2 IC Dw = Prueba de Durbin- Watson log likelihood (ℓ) SC SC = Schwarz criterion Dw F AIC = Akaike information criterion

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Para solucionar el modelo potencial, se parte del modelo muestral, y se aplica el Método de los Mínimos Cuadrados:  Log et )2

= min., y las condiciones de mínimo  Partimos del modelo muestral: Ln Yt = Ln + LnXt ) + Ln e t

Ln e t = Ln Yt – Ln – LnXt ) (Ln e t )2 = [ Ln Yt – Ln – LnXt ) ]2

 Condiciones de mínimo:a.Primera derivada se igualen a cerob.Segunda derivada sea positiva Aplicando la primera condición:Ln (Ln e t )2 ] = 0 (Ln e t )2 ] = 0 Derivando:Ln (Ln e t )2 ] = 2 Ln Yt – Ln – LnXt )] (-1) = 0 (Ln e t )2 ] = 2 Ln Yt – Ln – LnXt )] (- X t ) = 0 Igualando a cero: Ln Yt – Ln – LnXt )] (-1) = 0 Ln Yt – Ln – LnXt )] (- X t ) = 0

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obteniéndose:a. Las ecuaciones normales: LnYt = N Ln + LnXt ( 1 ) X t LnYt = Ln X t + X t2 ( 2 )

 b. Los parámetros: A partir de las ecuaciones normales hallamos los parámetros Ln ^ Ln :  LnYt Xt

2 – X t Xt LnYt

Ln = -------------------------------------------- N Xt

2 – ( Xt ) 2   N X t Ln Yt

– X t Ln Yt

Ln = ------------------------------------------- N Xt

2 – ( Xt ) 2

 a.La Media de los parámetros:  Después de demostrar la linealidad Ln = ( 1/N – Wt Xt ) Ln Yt Ln = Wt Ln Yt

  Donde Wt , tiene las siguientes propiedades: Wt = 0; Wt Ln X t = 1; Wt

2 = 1 / LnX t – LnẌ )2 ; Wt2 = 1 / x t

2

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Se muestra la media o insesgabilidad E ( Ln ) = Ln a E ( Ln ) = Ln b d. La Varianza y desviación standard de los parámetros: SLn ^ SLn

De la definición: V ( Ln ) = SLn

2 = E ( Ln Lna

V ( Ln ) = SLn = E ( Ln Ln b )2

  Se obtienen la variancia y desviación estándar de los parámetros.  N S 2 Para obtener la desviación estandar SLn

2 = ----------------------------- ( S), se extrae raíz cuadrada a S2

N Xt 2 – ( Xt ) 2

S 2 X t 2 Para obtener la desviación estandar

SLn2 = ----------------------------- (S), se extrae raiz cuadrada a S 2

N Xt 2 – ( Xt ) 2

 e. Varianza y desviación standard del modelo: S 2 ^ S Se define S 2, como la relación entre la variancia no explicada (V no E), y el grado de

libertad ( gl ):  V no E Log et )2

[ Ln Yt – Ln – Ln X t ) ] 2

S 2 = --------- = -------------- = ------------------------------------------- gl N – 2 N – 2

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Al numerador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común:  (Ln Yt)2 – Ln Ln Yt – Ln X t Ln Yt Para obtener la desviación S 2 = ---------------------------------------------------------- standard (S), se extrae raiz N – 2 cuadrada a S 2

 f. Coeficiente de correlación del modelo: R2 ^R  Se define R2 , como relación entre variancia explicada (VE), y variancia total (VT): V E (LnŶ t – LnΫ ) 2 [ Ln + Ln (X t) – LnΫ ] 2 R2 = ----- = ------------------------- = --------------------------------------- V T (Ln Yt

– LnΫ ) 2 ( Ln Yt – LnΫ ) 2

  1) Coeficiente de correlación libre del intercepto:  Al numerador y denominador, se eleva al cuadrado, se aplica sumatoria, se agrupa por factor común:  Ln Ln Yt + X t Ln Yt - 1/N ( Ln Yt

) 2

R2 = ------------------------------------------------------------------- Ln Yt )2 - 1/N ( Ln Yt

) 2   2) Coeficiente de correlación sin corregir: Ln Ln Yt + X t Ln Yt

R*2 = ------------------------------------------ Ln Yt )2

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3) Coeficiente de correlación libre del intercepto y del grado de libertad N – 1 Ř2 = 1 – --------- ( 1 – R2 ) ↑ = 1 N – K  4) Relación que debe cumplirse:  R*2 > R2 > Ř2

 g. Relaciones a cumplirse en la solución de los modelos:  Variancia total = Variancia explicada + Variancia no explicada  ( LnYt

- LnΫ ) 2 = (LnŶ t - LnΫ ) 2 + (Ln et )2  h. Tabulación para solucionar el MLS: Pasos a seguir: 1)Se apertura columnas: para las observaciones, numero de años.2)Se apertura columnas: para la variable endógena y pre-determinada, se suman.3)Se eleva al cuadrado las dos variables y se suman.4)Se multiplican ambas variables, y se suman5)Se obtienen el valor estimado LnŶ t . y se suman6)Se obtienen las desviaciones Ln e t, la suma es igual a cero.7)Se elevan al cuadrado las desviaciones (Ln e t)2 , y se suman.

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(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

OBS

AÑOS

Yt

X t

Ln Yt

(Ln Yt )

2

X t2

X t LnYt

Ln Ŷ t

1 2 3 . . . . . . N

1,950 1,951 1,952

.

.

.

.

.

. 2,013

Sumatorias

Yt

X t

LnYt

(=)

Ln Yt )

2

Xt 2

X t LnYt )

LnŶ t

(=)

TABULACIÓN DEL MODELO EXPONENCIALTABULACIÓN DEL MODELO EXPONENCIAL

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(10) (11) (12) (13) (14) (15)

OBS AÑOS

Lne t

(Lnet )2

Ln Yt - Ln Yt

Ln X t - Ln Yt

(Ln Yt - Ln Yt)

2

(Ln X t - Ln Yt)2

1 2 3 . . . . . . N

1,950 1,951 1,952

.

.

.

.

.

. 2,013

Sumas

Ln et =

0

Ln e t )

2

VnoE

(Ln Yt - Ln Yt )

= 0

(Ln X t - Ln Yt)

= 0

(Ln Yt - Ln Yt)

2

VT

(Ln X t - Ln Yt)

2

VE

TABULACIÓN DEL MODELO EXPONENCIALTABULACIÓN DEL MODELO EXPONENCIAL

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GRACIAS

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