1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD...5 75 125 1 4 18 72 5 7 30 42 2000 4000 60 210 75 125 18...

PRACTICA

Fracc iones y dec imales

1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:

b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones.

a) = ; = ; = =

b)

2 Simplifica:

a) b) c) d) e)

a) = b) = c) =

d) = e) =

3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordénalas.

12

2 0004 000

27

60210

35

75125

14

1872

57

3042

2 0004 000

60210

75125

1872

3042

26

515

13

1521

57

23

1015

1521

26

23

515

13

57

1015

Pág. 1

1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD

Unidad 1. Los números y sus utilidades

1

10—152—3

1—35—152—6

15—215—7

= =

< < <

4 Escribe una fracción equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador.

m.c.m. (5, 6) = 30 = ; =

5 Transforma en decimal estas fracciones:

Efectuamos la división en cada caso:

= 0,)6; = 0,4; = 0,32; = 0,375; = 1,1875; = 0,

)142857;

= 0,)8; = 1,

)6

6 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimalesperiódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división).

Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exac-tos cuando en el denominador solo estén como factores primos el 2 y el 5. Enotro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto:

– Decimales exactos → , , , , .

– Decimales periódicos → , , .

7 Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras:

a) = 0,32 b) = 0,18 c) = 0,681725

950

825

49

76

13

135

2310

58

34

25

49

135

2310

76

58

34

25

13

53

89

17

1916

38

825

410

23

53

89

17

1916

38

825

410

23

3530

76

1230

25

58

12

38

14

58

38

28

14

48

12

Pág. 2



1

a) c)b)

8 Expresa en forma de fracción:

a) 25,8 b) 4,)25 c) 4,25 d) 3,04

)7 e) 0,

)152

a) 25,8 = =

b) 100N = 425,2525…

–N = 4,2525…

99N = 421 → N =

c) 4,25 = =

d)1 000N = 3 047,777…

–100N = 304,777…

900N = 2 743 → N =

e) 1 000N = 152,152152…

–N = 0,152152…

999N = 152 → N =

9 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:

a) 0,6 y 0,8 b) 0,7 y 0,8 c) 0,9 y 1

d)0,99 y 1 e) 2,43 y 2,44 f) 2,436 y 2,437

Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Porejemplo, podemos poner:

a) 0,61; 0,62; 0,63 b) 0,71; 0,72; 0,73

c) 0,91; 0,92; 0,93 d) 0,991; 0,992; 0,993

e) 2,431; 2,432; 2,433 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363

10 Ordena las fracciones , y .

1-a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:

= 0,65 = 0,56 = 0,70

Por tanto: < <

2-a forma: Reducimos a común denominador:

= ; = ; = Por tanto: < < 710

1320

1425

70100

710

56100

1425

65100

1320

710

1320

1425

710

1425

1320

710

1425

1320

152999

2 743900

174

425100

42199

1295

25810

Pág. 3



1

11 Ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4)7; 2,

)4 ; 2,

)47

2,)4 < 2,47 < 2,

)47 < 2,4

)7

12 ¿Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones?

0,25 3,)58 0,00

)1 3,030030003…

Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible.

• 0,25 = =

• 100N = 358,5858…

–N = 3,5858…

99N = 355 → N =

• 1 000N = 1,111…

–100N = 0,111…

900N = 1 → N =

• 3,030030003… no se puede expresar como fracción; no es un número deci-mal exacto ni periódico. Es un número irracional.

Cálcu lo menta l

13 Calcula mentalmente:

a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4) c) 7 – (2 – 4)

d) –7 + 2 – 4 e) 11 + 3 · 5 – 2 f) (7 + 3) · 5 – 2

g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)

a) 7 – 2 + 4 = 9 b) 7 – (2 + 4) = 1 c) 7 – (2 – 4) = 9

d) –7 + 2 – 4 = –9 e) 11 + 3 · 5 – 2 = 24 f ) (7 + 3) · 5 – 2 = 48

g) 11 + 3 · (5 – 2) = 20 h) (7 + 3) · (5 – 2) = 30


a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.

b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.

c) Los cubos de los números del 1 al 5.

d) Las potencias de base 2 hasta 210.

1900

35599

14

25100

2,472,47 = 2,4777…2,

)4 = 2,4444…

2,)47 = 2,4747…

Pág. 4



1

a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente.

c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente.

d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.

15 Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción:

= 0,5; = 0,75; = 0,25; = 0,2; = 0,4; = 0,6


a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23

a) (–2)5 = –32 b) (–2)8 = 256 c) (–1)10 = 1 d) (–1)23 = –1

Página 39


a) 20 · (–350) b) c) 2 · 75 · (–2)

d) 1 640 · 4 e) 2 486 · 50 f) 120 · 25

a) 20 · (–350) = –7 000 b) = 150 c) 2 · 75 · (–2) = –300

d)1 640 · 4 = 6 560 e) 2 486 · 50 = 124 300 f ) 120 · 25 = 3 000


a) de 60 b) de 100 c) de 500

d) La mitad de .

e) La tercera parte de .

f) La mitad de la quinta parte de –6.

a) 40 b) 75 c) 3 d) e) f )


a) Los tres cuartos de un número valen 12. ¿Cuál es el número?

b) Los dos tercios de un número valen 20. ¿De qué número se trata?

c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?

–35

47

13

127

23

3500

34

23

50 · 6020

50 · 6020

35

25

15

14

34

12

35

25

15

14

34

12

Pág. 5



1

a) de x = 12 → x = 16

b) de x = 20 → x = 30

c) de x = 15 → x = 25

20 Calcula y simplifica:

a) · b) 6 · c) 5 :

d) · e) : f) : 4

a) · = b) 6 · = = c) 5 : =

d) · = e) : = = 4 f ) : 4 = =


a) + b) 1 + c) 2 –

d) – e) 1 + f) –

a) + = b) 1 + = c) 2 – =

d) – = e) 1 + = f ) – =

Operaciones con números racionales

22 Calcula:

a) – + b) + +

c) – d) – –

a) – + = – + =

b) + + = + + =

c) – = – =

d) – – = – – = = 740

21120

14120

9120

44120

760

340

1130

190

290

390

145

130

6136

2736

436

3036

34

19

56

1130

630

1030

1530

15

13

12

760

340

1130

145

130

34

19

56

15

13

12

16

13

12

43

13

14

14

12

74

14

32

12

34

14

12

13

12

13

14

12

14

12

14

12

114

228

27

246

23

83

415

45

13

203

34

92

184

34

25

23

35

27

23

83

45

13

34

34

23

35

35

23

34

Pág. 6



1

23 Calcula:

a) 3 – ( + ) b) (2 – ) + (5 – )c) – 2 + d) 5 – ( – 2)a) 3 – ( + ) = – – = – – =

b) (2 – ) + (5 – ) = + = + =

c) – 2 + = – + =

d)5 – ( – 2) = 5 – ( ) = 5 + =

24 Calcula:

a) de 224 b) de 120

a) de 224 = = 5 · 7 = 35

b) de 120 = = 17 · 15 = 255

25 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: = 1 +

a) b) – c) d) – e)

a) = 1 + b) – = –2 – c) = 6 +

d) – = –3 – e) = 2 +

26 El valor medio entre el 0 y el 1 es . Calcula el valor medio comprendido

entre cada pareja de números:

a) y 2 b) y c) –1 y 35

34

23

12

12

310

2310

25

175

37

457

13

73

23

53

2310

175

457

73

53

12

32

17 · 1208

178

5 · 22432

532

178

532

203

53

–53

13

–16

26

126

96

13

32

176

96

86

32

43

72

23

136

46

16

186

23

16

31

23

16

13

13

32

72

23

23

16

Pág. 7



1

a) = =

b) = =

c) = =

27 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).

28 Reduce a una sola fracción las expresiones:

a) – · –

b) ( – + 2) – ( – + 1)c) (1 + ) – ( + ) · ( – )d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ]a) – · – = – – = – – =

b) ( – + 2) – ( – + 1) = ( – + ) – ( – + ) =

= – = = 1

c) (1 + ) – ( + ) · ( – ) = – · = – = – =

d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ] =

= ( + ) – [ – + + – ] =

= – = – = = –13

–515

1915

1415

7660

1415

960

4060

3060

4560

6060

515

915

320

23

12

34

13

35

5948

548

6448

548

43

112

54

43

14

13

12

34

13

2020

2720

4720

2020

820

1520

4020

520

1220

25

34

14

35

1332

232

132

1632

116

132

12

116

18

14

12

320

23

12

34

13

35

14

13

12

34

13

25

34

14

35

116

18

14

12

–15

–2—5

2

3–1 + —5

2

1724

17—12

2

2 3— + —3 4

2

54

5—2

2

1— + 22

2

Pág. 8



1

29 Reduce:

a) · ( – ) – · ( – ) b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – )a) · ( – ) – · ( – ) = · – · = · – · =

= – =

b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – ) = 5 : – 3 : = – = – =

30 Reduce a una fracción:

a) b) c)

a) = = 3 b) = = =

c) = = = 7

31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:

a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + )c) – · [1 – – ( – 1) · ( – 3)]d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1)a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) = · – ( ) = + = = –2

b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + ) = 2 : – 3 : = 3 – 2 = 132

46

12

12

16

–126

16

–136

–16

135

–56

12

13

25

16

13

23

19

23

13

1720

35

38

12

12

16

12

13

25

16

–7—20–1—20

5 12— – —20 2014 15— – —20 20

1 3— – —4 57 3— – —10 4

27

414

4—314—3

53 – —353 + —3

3—21—2

11 + —211 – —2

1 3— – —4 57 3— – —10 4

53 – —353 + —3

11 + —211 – —2

–263

363

103

121

103

14

32

14

12

24

112

112

212

12

16

14

23

36

16

14

23

13

56

16

12

34

23

14

12

24

13

56

16

12

34

23

Pág. 9



1

c) · [1 – – ( – 1 ) · ( – 3)] = · [ – ( ) · ( ) =

= · [ – ] = · [ – ] = 0

d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1) = [ + 13 · ] : ( ) = : =

= 2 : = = –3

32 Calcula las siguientes potencias:

a) (–2)4 b) (–2)3 c) –22

d) –2–3 e) (–2)–2 f) (–2)–3

a) (–2)4 = 16 b) (–2)3 = –8 c) –22 = –4

d)–2–3 = –1/8 e) (–2)–2 = = f ) (–2)–3 = =

33 ¿A qué número entero es igual cada una de estas potencias?

a) 1–37 b) (–1)–7 c) ( )–2

d) (– )–4e) (– )–4

f) ( )0

a) 1–37 = 1 b) (–1)–7 = –1 c) ( )–2= 22 = 4

d) (– )–4= (–2)4 = 16 e) (– )–4

= (–3)4 = 81 f ) ( )0= 1

34 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 3:

a) 128 b) 729 c) d) – e)

a) 128 = 27 b) 729 = 36 c) = = 2–6

d)– = – = –3–3 e) = 3–1

35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 b) mil millones c) 0,00001d) una milésima e) 0,000000001 f) una millonésima

a) 106 b) 109 c) 10–5 d) 10–3 e) 10–9 f ) 10–6

13

133

127

126

164

13

127

164

45

13

12

12

45

13

12

12

–18

1(–2)3

14

1(–2)2

6–2

–23

–23

189

–23

19

59

13

23

19

23

25

25

–38

820

25

–38

–83

–320

25

–38

13

1720

35

–38

Pág. 10



1

36 Expresa como potencia única:

a) ( )2: ( )–1

b) ( )3: ( )5

c)

d) (22 · 2–3)–4 e) f)

a) ( )2: ( )–1

= ( )1= b) ( )3

: ( )5= ( )–2

= 22 = 4

c) = 3–4 = = d) (22 · 2–3)–4 = (2–1)–4 = 24 = 16

e) = = = 2–6 =

f ) = = 2–4 · 34 = = ( )4=

37 Reduce:

a) b) ( )2: ( )3

c) ( )2· ( )4

d) e) ( )3: ( )2

f) [( )3]2

a) = = –1

b) ( )2: ( )3

= ( )–1=

c) ( )2· ( )4

= · = =

d) = = =

e) ( )3: ( )2

= : =

f ) [( )3]2= ( )6

= =

38 Simplifica:

a) b) 2–4 · 42 · 3 · 9–1

2–5 · 8 · 9 · 3223 · (–3)2 · 42

63 · 92

164

126

12

12

1627

116

127

14

13

281

234

3 · 32 · 24

23 · 33 · 343 · (–3)2 · 42

63 · 92

94

32

2234

2422

32–32

23

52

25

25

25

–32

32–32

(–3)2

12

14

13

3 · (–3)2 · 42

63 · 92

–32

23

25

25

–32

(–3)2

8116

32

34

242–5 · 24 · 32

23 · 3–22–5 · 42 · 32

23 · 9–1

164

126

24 · 2–4

2624 · 4–2

82

181

134

35 · 3–7

32

12

12

12

25

25

25

25

2–5 · 42 · 32

23 · 9–124 · 4–2

82

35 · 3–7

3212

12

25

25

Pág. 11



1

a) = = =

b) = = =

39 Calcula:

a) [( – 1)3]2b) [( – )–1]–5

c) ( – )–2· ( – )–1

a) [( – 1)3]2= (– )6

= =

b) [( – )–1]–5= (– )5

= (– )5=

c) ( – )–2· ( – )–1

= ( )–2· ( )–1

= ( )2· ( ) = · = –4

40 Calcula pasando a fracción:

a) 0,)4 + 0,

)3 + 0,

)2 b) 3,0

)7 – 1,6

)7 c) 0,

)7 + 1,

)23 d) 0,3

)6 – 1,

)2

a) 0,)4 + 0,

)3 + 0,

)2 = + + = = 1

b) 3,0)7 – 1,6

)7 = – = = = 1,4

c) 0,)7 – 1,

)23 = + = + = = 2,

)01

d)0,3)6 – 1,

)2 = – = – = = –0,8

)5

41 Calcula:

a) – (0,75 + 0,)6) + b) ( + 0,1

)6) (– ) – (0,

)6 + 0,2 – )

a) – (0,75 + 0,)6) + = – ( + ) + = – ( + ) + =

= – + = = 1

b) ( + 0,1)6) (– ) – (0,

)6 + 0,2 – ) =

= ( + ) · (– ) – ( + – ) = – – ( + ) =

= – – ( + ) = – – · = – – = – – = –173

133

43

6515

43

815

658

43

315

515

658

43

15

13

658

43

13

15

23

658

43

16

56

13

658

43

56

1212

1312

1712

1612

1312

812

912

1612

1312

23

34

43

1312

43

13

658

43

56

1312

43

–7790

11090

3390

119

3390

19999

12299

7799

12299

79

75

12690

15190

27790

99

29

39

49

–94

169

–94

43

–49

34

79

13

34

32

–132

12

36

23

16

164

126

12

12

79

13

34

32

23

16

12

4243

22

352–4 · 24 · 3 · 3–2

2–5 · 23 · 32 · 322–4 · 42 · 3 · 9–1

2–5 · 8 · 9 · 32

16243

24

3523 · 32 · 24

23 · 33 · 3423 · (–3)2 · 42

63 · 92

Pág. 12



1

Raíces

42 Calcula cuando sea posible:

a) b) c)

d) e) f)

a) = = 2 b) = = –2 c) = = 5

d) no existe e) = = f ) = –1

Página 41

43 Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:

a) b) c)

d) e) f)

a) = 8 → racional b) = = 4 → racional

c) = → irracional d) = 10 → racional

e) → irracional f ) = → racional

Calcu ladora

44 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cua-drado para que se verifique la igualdad:

a) 4 �� 5 + 85 �� = 1 �� 13; b) 34 �� × �� 6 = 8 970; c) 425 + 23 × �� = 5 �� 6

a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 × 26 = 8 970 c) 425 + 23 × 7 = 586

45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estasigualdades sean verdaderas:

a) 12 �� 34 �� 9 = 318 b) (25 �� 16) �� 45 �� 5 = 400

a) 12 + 34 × 9 = 318 b) (25 – 16) × 45 – 5 = 400

46 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible.

Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que busca-mos, y nos quedan dos opciones:

El producto mayor es 54 · 63.

53 · 64 = 3 39254 · 63 = 3 402

12

√1/43√100

√1005√265√64

3√263√64√64

√1/43√100√100

5√643√64√64

5√–152

4√54/244√625/16√–8

4√544√6253√(–2)33√–8

6√266√64

5√–14√625/16√–8

4√6253√–8

6√64

Pág. 13



1

47 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que in-dica la flecha:

a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53 b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45

c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19 d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40

a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53 b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45

c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19 d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40

48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos números?

a) 180 b) 108 c) 1 080 d) 104 050

a) 180 = 5 36 b) 108 = 3 36

c) 1 080 = 135 8 d) 104 050 = 25 4 162

49 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación ha-rías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?

• Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:

56 327 – 300 = 56 027

• Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:

56 327 + 2 000 = 58 327

50 ¿Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?

¿Qué aparecerá en pantalla si introduces 80 ?

Si introducimos 80 aparecerá . (Se multiplica 0,5 × 80).

51 ¿Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia?

2

4 096

Pág. 14



1

0.5 200

?

? ?

? ?

0.5 200

52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia:

396 2 530 …

Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y páratecuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la división.

El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla .

Razona el porqué del proceso anterior.

Al introducir la secuencia:

396

2 530

obtenemos 1442443

6 veces

Por tanto, el cociente de la división 2 530 : 396 es 6 y el resto 154.

Cuando introducimos 396

2 530 … , vamos restando 396 (en pri-mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos .

Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 – 6 · 396, y hemos obtenido154; es decir, 2 530 = 6 · 396 + 154.

53 Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero.

a) 9 6 7

b)8 7 9

c) 8 5

d)19 14 5 2 7

a) 8 b) 2 c) 26 d) 0,5

54 Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado.

a) b) 18 – (2 · 16,5 – 30)

c) d) ( ) · 25

a) 30 7 18

4

6

Por tanto: = 22,8

b) 18 3.5 .5

2 16.5 30

Por tanto: 18 – (2 · 16,5 – 30) = –33,50,5

30 · 7 + 1842 – 6

344 – 5 · 43

35 – 14325 – 4,52

4 · 2,5 – 5

3,50,5

30 · 7 + 1842 – 6

Pág. 15



1

c) 25 4.5

4 2.5 5

Por tanto: = 0,95

d) 344 5 4

3

3

5 143

25

Por tanto: ( ) · 25 = 6

Página 42

PIENSA Y RESUELVE

55 EJERCICIO RESUELTO

De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte,quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?

Resolución

→ Sacamos la mitad.

→ Dividimos la otra mitad en 5 partes.

→ Sacamos de la mitad, que es , y nos quedan ,

que son 3 litros.

La capacidad es de = 7,5 litros.

Comprueba la solución.

Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros:

• Sacamos la mitad → 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos → 3,75 litros quedan.

• Después la quinta parte → 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos → 3 litros quedan.

En efecto, quedan 3 litros.

56 En un depósito lleno de agua había 3 000 litros. Un día se gastó 1/6 del de-pósito, y otro, 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?

de 3 000 = = 500 litros se gastaron primero.

1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total.

3 000 – 1 750 = 1 250 litros quedan.

1 250 litros de 3 000 que había representan la fracción:

= del depósito quedan.512

1 2503 000

3 0006

16

304

410

110

15

344 – 5 · 43

35 – 143

25 – 4,52

4 · 2,5 – 5

Pág. 16



1

1—2

1—2

De otra forma:

= del depósito se gastan en segundo lugar.

+ = del depósito se gastan en total.

Por tanto, quedan del depósito.

57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parquepúblico. ¿Cuál era su superficie?

• Se venden → queda

• Después, de = se venden. En total se han vendido:

+ = + = → Queda , que son 3 200 m2

Por tanto, la superficie era de: 3 200 · 9 = 28 800 m2.

58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un díacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fru-ta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?

La fracción del total correspondiente a las naranjas es:

de = · = , que son 89 €.

Por tanto, el total es: = 284,8 €

59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del ca-pital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unosbeneficios de 150 000 €. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

• Al primero le corresponderá de 150 000 = 50 000 €.

• Al segundo, de 150 000 = 60 000 €.

• Y, al tercero, el resto: 150 000 – (50 000 + 60 000) = 40 000 €

25

13

89 · 165

516

56

38

56

38

19

89

29

69

29

23

29

13

23

13

23

512

712

512

16

512

1 2503 000

Pág. 17



1

60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote ante-rior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después decuatro botes?

• Después de 1 bote alcanza de la altura inicial.

• Después de 2 botes alcanza de = ( )2de la altura inicial.

• Después de 3 botes alcanza de ( )2= ( )3

de la altura inicial.

• Después de 4 botes alcanza de ( )3= ( )4

= de la altura inicial.

61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdién-dose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?

• Al deshuesarlas se reduce el peso → quedan de 10 kg = 8 kg.

• Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azúcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se

pierde en la cocción del peso → se obtienen:

de 16 = 12 kg de mermelada

62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas arazón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 delcampo, sale por 140 000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?

del total = 140 000 € → Total = 240 000 €

A 50 €/m2 → 240 000 : 50 = 4 800 m2 tiene el campo en total.

4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.

63 Compro a plazos un equipo de música que vale 500 €. Hago un pago de 60 €,después los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que aún debo.a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?b) ¿Qué parte de la deuda he pagado?c) ¿Cuánto me queda por pagar?

a) 1er pago → 60 € → me quedan por pagar: 500 – 60 = 440 €

2-o pago → de 440 = 293,33 € → me quedan por pagar:

440 – 293,33 = 146,67 €

23

712

34

14

45

15

16625

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

Pág. 18



1

3er pago → de 146,67 = 29,33 € → me quedan por pagar:

146,67 – 29,33 = 117,34 €

La 1-a vez he devuelto 60 €, la 2-a vez 293,33 €, y la 3-a vez, 29,33 €.

b) 1er pago → = del total → me faltan .

2-o pago → de = → en total llevo pagado + = .

Me faltan .

3er pago → de = → en total he pagado + = .

La parte de deuda que he pagado son del total.

c) Me quedan por pagar del total, que son 117,34 €.

64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B.

a) ¿Qué distancia hay entre esas ciudades?

b) Si salió de A a las 10 h, ¿a qué hora llegará a B?

a) En 1,5 horas recorre 24 · 1,5 = 36 km.

Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que:

de x = 36 → x = 60 km hay entre A y B

b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas

Por tanto, si salió de A a las 10 h, llegará a B a las doce y media, es decir, alas 12 h 30 min.

65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué lon-gitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despuésde lavada, 10,5 m2 de tela?

La superficie de tela, después de lavada, es:

0,9x · 0,84 = 10,5 m2

35

88375

287375

287375

22375

5375

22375

2275

15

2275

5375

4475

325

4475

2225

23

2225

325

60500

15

Pág. 19



1

0,90 mDespués

de lavar

1415— de 0,90 = 0,84 m

910— de x = 0,9 x

x

10,5 m2

Hallamos la anchura inicial, x:

0,756x = 10,5 → x = � 13,89 m

66 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una revi-sión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos ope-raciones?

m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000

Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.

67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué ca-pacidad tendrá cada garrafa?

M.C.D. (420, 225) = 15

Cada garrafa ha de tener 15 litros.

68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lomás grandes posible y no se quiere cortar ninguna?

M.C.D. (330, 390) = 30

Las baldosas han de ser de 30 cm × 30 cm.

Página 43

REFLEXIONA SOBRE LA TEOR ÍA

69 Representa cada número en su lugar:

a) 3,045 b) 3,45 c) 3,00045 d) 3,0045

70 Demuestra que 3,6)9 y 3,7 se expresan mediante la misma fracción.

Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números:

N = 3,6)9 → 100N = 369,999…

–10N = 36,999…

90N = 333 → N = = 3710

33390

10,50,756

Pág. 20



1

3,4 3,53,45

3,04 3,05

3,004 3,005

3,0004 3,0005

3,045

3,0045

3,00045

3,6)9 =

3,7 = Se expresan mediante la misma fracción.

71 Demuestra que 0,)3 + 0,

)6 = 1. Busca otros dos decimales periódicos cuya su-

ma sea un decimal exacto.

• Expresamos 0,)3 y 0,

)6 en forma de fracción:

10N = 3,333… 10M = 6,666…

–N = 0,333… –M = 0,666…

9N = 3 → N = = 9M = 6 → M = =

Por tanto: 0,)3 + 0,

)6 = + = = 1

• Otro ejemplo sería: 0,)45 + 0,

)54. Veámoslo:

100N = 45,4545…

–N = 0,4545…

99N = 45 → N = =

100M = 54,5454…

–M = 0,5454…

99M = 54 → M = =

Por tanto: 0,)45 + 0,

)54 = + = = 1

Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves.

72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnúmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:

3 < 8 –5 < 9 –8 < –1

¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo?

Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un númeropositivo, por ejemplo:

3 < 8 →· 2

6 < 16

–5 < 9 →· 3–15 < 27 Siguen siendo ciertas.

–8 < –1 →·1/2

–4 < – 12

1111

611

511

611

5499

511

4599

33

23

13

23

69

13

39

3710

3710

Pág. 21



1

Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Porejemplo:

3 < 8 →· (–1)

–3 > –8

–5 < 9 →· (–2)10 > –18 Cambia la desigualdad.

–8 < –1 →· (–1/2)

4 >

73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:

a) ¿Qué condición debe cumplir n para que n/11 sea periódico?

b) ¿Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número?

a) n no debe ser múltiplo de 11.

b) El máximo número de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividirentre 11, si la división no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.

74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:

y y y

> ; < ; <

75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión:

+ + + …

b) Escribe el resultado en forma de fracción.

a) + + + … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,)3

b) 0,)3 =

76 Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Quépuede ocurrir cuando dividimos por 3?

¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 3, 31 3, 32 3?

La parte decimal del cociente a : 3 es

¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?

13

31 000

3100

310

31 000

3100

310

bc

ba

ac

ab

bc

ac

bc

ba

ac

ab

bc

ac

12

Pág. 22



1

• = 0,)3 = 0,

)6 = 1

= 1,)3 = 1,

)6 = 2

= 2,)3 = 2,

)6 = 3

• 30 3 = 10 → Exacto (pues 30 es múltiplo de 3)

31 3 → Periódico de periodo 3 ( = 10 + = 10,)3)

32 3 → Periódico de periodo 6 ( = 10 + = 10,)6)

• (a + 1) : 3 será una división exacta.

La parte decimal de (a + 2) : 3 será periódica de periodo 3.

77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales ma-yores y menores que 0,5. ¿Qué característica deben tener las fracciones quedan decimales mayores que 0,5? ¿Y las que dan decimales menores que 0,5?

Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darándecimales mayores que 0,5.

Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, da-rán decimales menores que 0,5.

PROFUNDIZA

78 Divide por 7 los números del 1 al 10 y anota los resultados.

¿Cuántos decimales distintos pueden salir?

¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7?

¿Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7?

¿Cuál será el número a si a : 7 = 10,285714?

= 0,)142857 = 0,

)285714 = 0,

)428571

= 0,)571428 = 0,

)714285 = 0,

)857142

= 1 = 1,)142857 = 1,

)285714 = 1,

)42857110

797

87

77

67

57

47

37

27

17

23

323

13

313

93

83

73

63

53

43

33

23

13

Pág. 23



1

Hay tres posibilidades:

– Decimal periódico de periodo 3.

– Decimal periódico de periodo 6.

– Decimal exacto.

Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la división no esexacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

= 3 + = 3,)857142

= 6 + = 6,)428571

= 10,)285714 = 10 + 0,

)285714 = 10 + = → a = 72

79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Después de dividir por 17 los números 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya elperiodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Compruébalo usando lacalculadora hasta donde te sea necesario.

a) ¿Podrías escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifrasdecimales?

b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veintecifras decimales.

= 0,0588235294117647 = 0,1176470588235294

= 0,1764705882352941 = 0,2352941176470588

= 0,2941176470588235

a) = 2 + = 2,1176470588235294

Con veinte cifras decimales sería: 2,11764705882352941176

b) = 9,325581395348837209302

Con veinte cifras decimales sería: 9,32558139534883720930

80 Investiga en qué cifra termina el número 355. Observa antes en qué cifra ter-minan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber laúltima cifra de cualquier potencia de base 3.

¿En qué número termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7?

Potencias de 3

31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81

35 = 243 36 = 729 37 = 2 187 38 = 6 561

40143

217

3617

517

417

317

217

117

727

27

a7

37

457

67

277

Pág. 24



1

Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es:

0 → la potencia acaba en 1




Como 55 44 → el resto es 3, entonces 355 acaba en 7.

15 13

3(Potencias de 2

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16

25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256

…

Como 100 44 → Resto = 0 → 2100 acaba en 6

20 25

0(Potencias de 3

Por lo dicho anteriormente, 3100 acaba en 1.

Potencias de 4

4100 acaba en 6.

Potencias de 7

71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401

75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 823 543 78 = 5 764 801

…

7100 acaba en 1

Exponente impar → acaba en 4Exponente par → acaba en 6

42 = 1644 = 256

41 = 443 = 64

Pág. 25



1

1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD...5 75 125 1 4 18 72 5 7 30 42 2000 4000 60 210 75 125 18...

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