Trigonometría. Funciones. La recta. La parábola

1. Utiliza las identidades trigonométricas para calcular el coseno y la tangente del ángulo sabiendo que

sen 0,35 y que el ángulo se encuentra en el tercer cuadrante. (1 punto)

2. En la acera de una calle hay una escalera de 8 metros de longitud, cuyo extremo superior está apoyado en lafachada de una casa a una altura de 6 metros del suelo. Haya la distancia del pie de la escalera a la fachada y elángulo que forma la escalera con el suelo. (Realiza un dibujo representando la situación). (2 puntos)

3. Halla el lado y los ángulos que faltan del siguiente triángulo: (2 puntos)

4. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, estudiar cada uno de los siguientes aspectos de las mismas:dominio, imagen, continuidad, intervalos de crecimiento y decrecimiento; y extremos relativos. (2 puntos; 1punto por apartado)

5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 2, 3A y 5, 2B (1 punto)

6. Dada la función parabólica 2 3( )

4f x x x , hallar:

a) Vértice. (1 punto)

b) Puntos de corte con los ejes. (1 punto)

c) Tabla de valores y representación gráfica. (1 punto)

1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6

Gráfica 2 Gráfica 1

6,5 cm

25º

c

10,2 cm

34502

Soluciones:

1. Como 22 2 2 2sen cos 1 0,35 cos 1 0,1225 cos 1 .

2cos 0,8775 cos 0,9367 (se toma la solución negativa porque se encuentra en el tercer

cuadrante).

Por otro lado: sen 0,35

tg 0,37365cos 0,9367

.

2. Llamemos x a la distancia del pie de la escalera a la fachada y alángulo que forma la escalera con el suelo. Entonces:

6sen 0,75 48,59º

8

cos 48,59º 8cos 48,59º 5,298

xx m.

3. Por el teorema del coseno:

22 6,5 10,2 2 6,5 10,2 cos25º 42,25 104,04 120,176c c

2 26,1136 5,11c c cm.

Por el teorema del seno:

6,5 5,11 6,5sen 25ºsen sen 0,5376 32,52º

sen sen 25º 5,11

Finalmente: 180º 25º 32,52º 122,48º .

4. Gráfica 1:

Dominio: 6, 1 2, 5 .

Imagen: 5, 1 2, 6 .

La función es continua en su dominio: 6, 1 2, 5 .

La función es creciente en 6, 4 3, 1 y decreciente en 4, 3 2, 5 .

La función tiene dos máximos: los puntos 4,5 y 2,1 , y tres mínimos: los puntos 6,2 , 3,3 y

5, 5 .

Gráfica 2:

Dominio: 6, 6 1 .

Imagen: 5, 2 3, 5 .

La función es continua en todo 6, 6 , salvo en 1x y 2x .

La función es creciente en 6, 1 3, 5 y decreciente en 1, 2 2, 3 5, 6 .

La función tiene tres mínimos: los puntos 6, 5 , 3,3 y 6,3 , y dos máximos: los puntos 2,5 y

5,4 .

8 m 6 m

x

34502

5. La ecuación de la recta es y mx n . Como esta recta pasa por los puntos 2, 3 y 5, 2 , podemos

plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

3 2

2

m n

m n

. Restando ambas ecuaciones se obtiene

55

7m m

. Sustituyendo en la 1ª

ecuación:

5 10 10 21 3 11

3 2 3 37 7 7 7 7 7

n n n n n

.

Por tanto la ecuación de la recta es 5 11

7y x .

6. a)

12

2 2 1/ 4

bx

a

; 21 3 3 1

(2) 2 2 1 24 4 4 4

f . Por tanto el vértice es el punto 1

2,4

V

b) Punto de corte con el eje Y: 3

0,4

. Para hallar los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación

210

4x x :

2

24 4 4 1 31 3 4 16 12

0 4 3 04 4 2 1 2

x x x x x

1

2

34 4 4 2

12

x

x

. f corta al eje X en los puntos 3, 0 y 1, 0 .

c) Tabla de valores y representación gráfica:

x 2 0 3 1 4 5 –1

y –1/4 3/4 0 0 3/4 2 2

Representación gráfica:

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