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419� MATEMÁTICAS 1.° ESO � MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. �

Números naturales

CONTENIDOS: hechos, conceptos y sistemas conceptuales

NÚMEROS: Números naturales

• Sucesión de los números naturales. Conjunto N.

• Valor cardinal del número y valor posicional de las cifras en el sistema de numeración decimal. Expresión polinómica del número natural.

• Operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación cuadrada.

– Significado de las operaciones.

– Nomenclatura de los elementos que intervienen en cada operación.

– Relación entre los términos de la división: D = d · c + r.– Propiedades de la suma y de la multiplicación.

SUGERENCIAS Y PREGUNTAS SOBRE LAS PRUEBAS Y SU CORRECCIÓN

PRUEBA INICIAL

• Esta unidad es una revisión de los contenidos traba-jados en 5.º y 6.º de Primaria y sirve de nexo con losconocimientos que han sido ya adquiridos por losalumnos. La prueba inicial nos puede servir para de-tectar posibles carencias de los alumnos respecto ala lectura y la escritura de números y, en consecuen-cia, respecto al concepto básico de número y su me-dida. También nos puede servir para hacer ejercicioscon las operaciones básicas, incluyendo el conceptode potencia. Dado que la mayoría de conceptos yprocedimientos se irán revisando a lo largo de la uni-dad, es importante comprobar que los alumnos hanasumido el concepto de número y su posición (lostres primeros ejercicios pueden servir para esa finali-dad), así como algunas operaciones básicas: sumas,restas, multiplicaciones y divisiones. Los alumnosque no hayan entendido estos conceptos básicos,tendrán que reforzarlos. La última pregunta revisalos cuadrados y cubos de los diez primeros númerosnaturales.

• Los ejercicios 4 y 5 revisan tanto el concepto como latécnica de la división por una y dos cifras. Aquellosalumnos que presenten dificultad, tendrán que reali-zar alguna ficha de divisiones para comprender me-jor estos conceptos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• En este nivel, las pruebas de elección múltiple nodeberían tener más de tres opciones de respuestas.Si se hace una prueba solo con este tipo de pregun-tas, tendría que haber un mínimo de diez.

• Los tres últimos ejercicios son problemas. Un error enestos ejercicios nos puede mostrar deficiencias en elplanteamiento de las operaciones. Suele ser relativa-mente frecuente la confusión en la operación quehay que realizar en cada caso, y si existen muchascarencias, convendrá trabajar algún tipo de ficha derefuerzo sobre estos aspectos.

1INTRODUCCIÓN

En esta unidad se trabajan los números naturales yaestudiados en la etapa anterior y que permiten unrepaso de estos aspectos: sistemas de numeración,lectura e interpretación de números naturales y, sobretodo, cálculo con operaciones básicas (suma, resta,multiplicación, división exacta y entera, y potencias yraíces cuadradas). Es, por tanto, una unidad que sirvede nexo entre las dos etapas y que tiene una granimportancia para el estudio de las siguientes unidades.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

• Interpretación y uso de los símbolos, expresiones y reglas del lenguaje aritmético: – Lectura y escritura de números de hasta nueve

cifras. – Reconocimiento y lectura del valor posicional

de las cifras dentro de un número.

• Cálculo por escrito de las operaciones con númerosnaturales: – Suma, resta, multiplicación y división. – Comparación de números.

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EVALUACIÓN INICIAL

Escribe en cifras y letras.

a) Un número que sea diez mil unidades mayor que 1.208.734.

b) Un número que sea un millón de unidades menor que 30.560.311.

Encuentra el valor posicional de la cifra 3.

4 3 0 2 3 7 3 0

Completa la siguiente tabla.

Realiza las operaciones.

a) 34 + 406 + 50.321 + 9.976 =

b) 7.603 − 419 =

c) 33 − 21 + 168 − 97 =

d) 8 ⋅ 932 =

e) 20.928 : 32 =

Completa la tabla con los valores correspondientes.

Calcula el cuadrado y el cubo de los 10 primeros números naturales. ¿Hay algún número que sea cuadrado de un número y cubo de otro?

6

5

4

3

2

1

FFF

CM DM M C D U

6.073

93.305

790.004

203.030

6 0 7 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuadrado

Cubo

Dividendo Divisor Cociente Resto

División 78 : 9

División 112 : 9

División 207 : 7

78 9 8 6

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EVALUACIÓN INICIAL: SOLUCIONES

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Escribe en cifras y letras.

a) Un número que sea diez mil unidades mayor que 1.208.734.

1.218.734; un millón doscientos dieciocho mil setecientos treinta y cuatro.

b) Un número que sea un millón de unidades menor que 30.560.311.

29.560.311; veintinueve millones quinientos sesenta mil trescientos once.

Encuentra el valor posicional de la cifra 3.

4 3 0 2 3 7 3 0


Realiza las operaciones.

a) 34 + 406 + 50.321 + 9.976 = 60.737

b) 7.603 − 419 = 7.184

c) 33 − 21 + 168 − 97 = 83

d) 8 ⋅ 932 = 7.456

e) 20.928 : 32 = 654

Completa la tabla con los valores correspondientes.

Calcula el cuadrado y el cubo de los 10 primeros números naturales. ¿Hay algún número que sea cuadrado de un número y cubo de otro?

El número 64 es a la vez cuadrado de 8 y cubo de 4.

6

5

4

3

2

1

FFF 3 decenas = 30

3 unidades de millar = 3.0003 unidades de millón = 3.000.000

CM DM M C D U

6.073

93.305

790.004

203.030

6 0 7 3

9 3 3 0 5

7 9 0 0 0 4

2 0 3 0 3 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cuadrado

Cubo

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

1 8 27 64 125 216 343 256 729 1.000

Dividendo Divisor Cociente Resto

División 78 : 9

División 112 : 9

División 207 : 7

78 9 8 6

112 9 12 4

207 7 29 4

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EVALUACIÓN DE LA UNIDADcontenidos

Calcula mentalmente las siguientes operaciones y anota el resultado.

a) 207 + 897 = e) 25 ⋅ 8 + 40 ⋅ 5 =

b) 512 − 276 = f) + 32 =

c) 7 ⋅ 98 = g)

d) 657 : 9 =

Completa con los números correspondientes.

a) 8.765 + = 19.806

b) − 3.870 = 8.702

c) 99 ⋅ = 1.881

d) 1.001 : = 11

e) : 23 = 1.794

Efectúa la división 135 : 11 y señala el dividendo, el divisor, el cociente y el resto. ¿Qué operaciones tendrás que hacer para saber si has hecho bien la división? Escribe una igualdad con el dividendo, el divisor, el cociente y el resto de esta división.

De las siguientes divisiones, señala las que son exactas y anota el cociente y el resto. Haz primero la división en papel y utiliza después la calculadora.

4

3

2

16 9+ =

49

1Realización mental de operaciones con números

naturales: suma, resta, multiplicación, división,

potenciación y radicación cuadrada.

Realización por escrito de las operaciones

anteriores y combinacionesde las mismas.

Diferenciación de la divisiónexacta y la división entera,

y establecimiento de larelación entre sus términos.

Utilización de la propiedadfundamental de la división

exacta y de la división entera.

División Exacta Cociente Resto Igualdad

732 : 15 No 48 12 732 = 48 ⋅ 15 + 12

7.021 : 37

4.004 : 26

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 3, 4, 7, 8

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 5

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ...........................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 1, 2, 4, 9, 10

CAPACIDADES PREFERENTES PRUEBAS

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Haz mentalmente las operaciones. Indica en cada caso en qué orden se tienen que hacer.

a) 3 + 3 ⋅ (3 − 3) : 3 =

b) 12 + (5 − 3) ⋅ (6 : 2) − 8 =

c) − (3 + 2) : 5 =

d) 42 + (12 − 4) : (5 − 3)2 =

Efectúa los cálculos anteriores con la ayuda de la calculadora.

Una potencia del tipo ab, donde b es mayor que 2, consiste en:

a) Un producto de la forma: a ⋅ a ⋅ a ⋅ b... ⋅ a.

b) Un producto de la forma: b ⋅ b ⋅ b ⋅ a... ⋅ b.

c) El producto de a por b.

La raíz cuadrada de 16 es:

a) 8, porque 8 ⋅ 2 es 16.

b) 4, porque 4 ⋅ 4 es 16.

c) 32, porque 16 ⋅ 2 es 32.

María ha decidido repartir su colección de cromos en sobres. Si tiene 437 cromos y 30 sobres, ¿cuántos cromos tendrá que poner en cada sobre?

En un grupo de seis amigos cada uno pone 5 € para merendar y les devuelven 6 €. Calcula cuánto cuesta la merienda de cada amigo.

10

9

8

7

6

49

5Interpretación y utilización de los paréntesis en

operaciones combinadas y en el cálculo de potencias

y de raíces cuadradas.

Utilización de la calculadoraen la realización

de operaciones combinadasy en el cálculo de potencias

y de raíces cuadradas.

Interpretación de la notaciónde potencias de base y exponente natural.

Búsqueda de la raíz cuadrada exacta o entera

de números menores o iguales que 100.

Resolución de problemas que respondan

a expresiones numéricassencillas.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 3, 4

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 6

• Combinar, componer datos y resumir, etc. .............................................................................................................

• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. .........................................................................................................


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NÚMEROS NATURALES

EVALUACIÓN DE LA UNIDAD: SOLUCIONES

Cálculo mental:

a) 207 + 897 = 1.104 e) 25 ⋅ 8 + 40 ⋅ 5 = 400

b) 512 − 276 = 236 f) + 32 = 16

c) 7 ⋅ 98 = 686 g) 7

d) 657 : 9 = 73

Operaciones:

a) 8.765 + = 19.806

b) − 3.870 = 8.702

c) 99 ⋅ = 1.881

d) 1.001 : = 11

e) : 23 = 1.794

División:

Dividendo Divisor Dividendo = Divisor ⋅ Cociente + Resto135 11 135 = 11 ⋅ 12 + 325 12 Cociente

Resto 3

Propiedad fundamental de la división:

y Cálculo mental y con la calculadora:

a) 3 + 3 ⋅ (3 − 3) : 3 = 3 + 3 ⋅ 0(1)

: 3 = 3 + 0(2)

: 3 = 3 + 0(3)

= 3

b) 12 + (5 − 3) ⋅ (6 : 2) − 8 = 12 + 2(1)

⋅ 3(2)

− 8 = 12 + 6(3)

− 8 = 18(4)

− 8 = 10

c) − (3 + 2) : 5 = 7(2)

− 5(1)

: 5 = 7 − 1(3)

= 6

d) 42 + (12 − 4) : (5 − 3)2 = 16(3)

+ 8(2)

: 4(1)

= 16 + 2(4)

= 18

La respuesta correcta es a).

La respuesta correcta es b).

Problema: María y sus cromos: 437 dividido entre 30 da 14 sobres con 30 cromos y quedan 17.

Problema: Les han devuelto 6 € a los seis amigos, es decir, 1 € para cada uno.

Por tanto, la merienda de cada amigo cuesta 5 − 1 = 4 €.

10

9

8

7

49

65

4

3

41.262

91

19

12.572

11.041

2

16 9+ =

49

1

División Exacta Cociente Resto Igualdad

732 : 15 No 48 12 732 = 48 ⋅ 15 + 12

7.021 : 37 No 189 28 7.021 = 37 ⋅ 189 + 28

4.004 : 26 Sí 154 0 4.004 = 26 ⋅ 154

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Divisibilidad


NÚMEROS: Números naturales. Divisibilidad

• Divisibilidad.

– Revisión de los conceptos de múltiplo y divisor. Número natural como producto de factores primos.– Revisión del concepto de número primo. Conjunto de divisores de un número. Conjunto de múltiplos

de un número. – Obtención del m.c.d. y el m.c.m. de dos o más números. Números primos entre sí. – Criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 10n .


2INTRODUCCIÓN

Como continuación de la unidad precedente, y siguiendocon un repaso de los conceptos ya trabajados en la anterior etapa, en esta unidad se consolidanaspectos sobre la divisibilidad de números naturales:conceptos de múltiplo y divisor, criterios de divisibilidad,número primo y compuesto, y obtención de m.c.d y m.c.m. Este cálculo se tendría que hacer a partir de la descomposición en factores primos y con diferentes actividades referidas a situacionesconcretas.


• Cálculo por escrito de las operaciones con númerosnaturales: – Multiplicaciones de números naturales

(de dos y tres factores).– Divisiones exactas y divisiones enteras.

• Obtención del factor desconocido en unamultiplicación.

• Reconocimiento de los diferentes términos que intervienen en una división entera y exacta, y comprobación de la igualdad que las relaciona.

• Realización de una tabla de divisiones exactasdonde falta un término.

• Búsqueda de números mediante relaciones de multiplicaciones y divisiones.

• Problemas de divisibilidad.

PRUEBA INICIAL

• La prueba inicial sirve para detectar posibles caren-cias por parte de los alumnos. Así, los tres primerosejercicios de multiplicaciones indicarán si algúnalumno tiene dificultades en el concepto de multipli-cación o en su técnica. En el primer caso, tendre-mos que repasar los ejercicios para asimilar esteconcepto, y, en el segundo caso, se repasarán lastablas y se harán las multiplicaciones.

• Los restantes ejercicios son relativos a divisiones,tanto al concepto como a la técnica de la división poruna y por dos cifras. Los alumnos que aún tengan di-ficultades deberían realizar alguna ficha de divisio-nes para entender estos conceptos. Los errores en elejercicio 8 pueden mostrar algunas deficiencias en el

planteamiento de las operaciones. Además, suele serfrecuente confundir la operación que se tiene quehacer en cada caso. Si existen muchas carencias, setendrá que trabajar algún tipo de ficha de refuerzocon preguntas similares.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• El punto más importante de esta unidad es el cálculodel m.c.d. de dos números, una vez que hayan sidoasumidos los anteriores conceptos de múltiplo, divi-sor y números primos (los nueve primeros ejerciciostrabajan estos aspectos). El ejercicio 11 sirve paraevaluar en los alumnos el procedimiento de cálculodel m.c.d. mediante la descomposición factorial.

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EVALUACIÓN INICIAL

Haz la siguiente multiplicación.

4 8

× 2 9

Calcula el producto de factores: 8 ⋅ 9 ⋅ 11 = .

Indica el número que falta en la multiplicación: 12 ⋅ = 228.

Completa.

67 : 6 → Cociente: Resto: 616 : 27 → Cociente: Resto:

Respecto a una división:

a) ¿Cómo se llaman los términos que intervienen?

D d

r c

D → d → c → r →

b) Si la división es exacta, ¿cuánto vale r?

Completa las divisiones con los términos que faltan.

7 32 56 9 77 9

4 8 2 5 6 5

Haz la siguiente división.

8.496 72

En un almacén se hace una oferta de bolsas de naranjas, cuyo precio varía según el tipo de bolsa. Calcula en qué tipo de bolsa sale más económico el kilo de naranjas.

a) Una bolsa de 2 kg vale 4 €.

b) Una bolsa de 4 kg vale 8 €.

c) Una bolsa de 25 kg vale 25 €.

8

7

6

5

4

3

2

1

DIVISIBILIDAD2826464 _ 0425-0430.qxd 12/2/07 10:18 Página 426



Haz la siguiente multiplicación.

4 8

× 2 9

Calcula el producto de factores: 8 ⋅ 9 ⋅ 11 = .

Indica el número que falta en la multiplicación: 12 ⋅ = 228.

Completa.

67 : 6 → Cociente: Resto: 616 : 27 → Cociente: Resto:

Respecto a una división:

a) ¿Cómo se llaman los términos que intervienen?

D d

r c

D → d → c → r →

b) Si la división es exacta, ¿cuánto vale r? r = 0

Completa las divisiones con los términos que faltan.

60 7 32 6 56 9 77 9

4 8 2 5 2 6 5 8

Haz la siguiente división.

8.496 72

129 118

576

0

En un almacén se hace una oferta de bolsas de naranjas, cuyo precio varía según el tipo de bolsa. Calcula en qué tipo de bolsa sale más económico el kilo de naranjas.

a) Una bolsa de 2 kg vale 4 €. 4 : 2 = 2 €

b) Una bolsa de 4 kg vale 8 €. 8 : 4 = 2 €

c) Una bolsa de 25 kg vale 25 €. 25 : 25 = 1 €

Por tanto, la opción c) es la más económica.

8

7

6

RestoCocienteDivisorDividendo

5

2222111

4

193

7922

1

4 3

9 6

2

3 9 21

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Indica los números divisibles por 2, 3 y 5 y explica por qué.

Un número es divisible por 3 cuando:

a) Su última cifra es 3.

b) Su última cifra es 3, 6 o 9.

c) La suma de sus cifras es múltiplo de 3.

Observa los números y responde cuáles son divisibles por 4, 6, 9 o 10 y explica por qué.

18.024 → 50.550 → 12.348 →

Se quiere hacer un campeonato de Trivial por equipos. En nuestra clase somos más de 20 y menos de 30 alumnos, y si hacemos equipos de dos, tres o cuatro personas nos sobra una. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?

Un número es primo cuando:

a) Solo es divisible por 2. c) Es impar.

b) Solo es divisible por sí mismo y por 1.

Comprueba, mediante divisiones, cuáles de los números: 21, 37, 63, 83, 101,121 y 343 son primos. Explica en cada caso qué divisiones haces.

Haz la descomposición en factores primos de los números:

84 =

1.001 =

Descompón el número 60 como un producto de dos factores de todas las maneras posibles: 60 = 1 ⋅ 60 = ⋅ =

8

7

6

5

4

3

2

1Reconocimiento de si un número es múltiplo

o divisor de otro.

Conocimiento de los criteriosde divisibilidad por 2, 3 y 5.

Interpretación y conocimiento de los

criterios de divisibilidad por 4, 6, 8, 9 y 10.

Aplicación de los criterios dedivisibilidad por 2, 3, 5 y 9

a la resolución de problemas.

Distinción de si un número es primo o compuesto.

Comprobación de si unnúmero es primo mediante

divisiones sucesivas.

Descomposición de un número natural

en sus factores primos.

Descomposición de un número natural

en producto de dos factoresen todas las maneras

posibles.

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... 12

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................... 2, 3, 10

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................. 14

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ......................................................................................... 1, 3, 4, 9

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ......................................................................................... 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15


DIVISIBILIDAD

N

1.232

11.135

12.390

2.222.202

2 3 5 Criterios

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Calcula todos los divisores de los números 24 y 98.

D(24) =

D(98) =

El m.c.d. de dos números es:

a) El menor de sus divisores comunes.

b) El mayor de sus múltiplos comunes.

c) El mayor de sus divisores comunes.

Descompón los números 84 y 120 en factores primos, y escribe los divisores comunes. ¿Cuál es el máximo común divisor?

84 120

• Divisores comunes de 84 y 120 →

• Máximo común divisor →

Calcula los múltiplos comunes de los números 12 y 18.

M(12) =

M(18) =

¿Cuál es el m.c.m. de los números 12, 18 y 21?

¿Cuáles de las siguientes parejas son números primos entre sí?

a) 42 y 35 b) 132 y 65 c) 680 y 429

Tres hermanos van a ver a su abuela. El mayor acude cada 5 días, el segundocada 6 días y el menor cada 10 días.

¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela?

15

14

13

12

11

10

9Cálculo de todos losdivisores de un número.

Explicación e interpretación de los conceptos de m.c.d. y m.c.m. de dos números.

Búsqueda del m.c.d. de dos números mediante

su descomposición.

Obtención de múltiplos comunes de dos o más

números naturales.

Obtención del m.c.d. de dos o más números.

Distinción de si dos númerosson primos entre sí.

Resolución de problemas de la vida real en los que

aparecen conceptos dedivisibilidad.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5, 6, 8, 14

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. .................................................................................................................




M(12, 18) =

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DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 3 cuando:

18.024 → Es múltiplo de 4 (las dos últimas cifras lo son) y de 6 (es múltiplo de 2 y 3). 50.550 → Es múltiplo de 6 (es múltiplo de 2 y 3) y acaba en 0. 12.348 → Es múltiplo de 4, 6 y 9 (la suma de sus cifras es 18, que es múltiplo de 9).

Será un número del tipo 3 + 1 y, también, 4 + 1; es decir, ha de ser múltiplo de 12 + 1 y estar comprendido entre 20 y 30. Por tanto, solo puede ser 25.

Un número es primo cuando:

Descomponer los números: 84 = 22 ⋅ 3 ⋅ 7 1.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13

Dos factores con el número 60: 60 = 1 ⋅ 60 = 2 ⋅ 30 = 3 ⋅ 20 = 4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 = 6 ⋅ 10

Cálculo de divisores: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(98) = {1, 2, 7, 14, 49, 98}

El m.c.d. de dos números es:

84 2 120 242 2 60 221 3 30 2 • Divisores comunes de 84 y 120 → {1, 2, 3, 4, 6, 12}7 7 15 3 • Máximo común divisor → m.c.d. (84, 120) = 121 5 5

1

M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, ...}

M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, 108, ...}

Cálculo del m.c.m.: 12 = 22 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 21 = 3 ⋅ 7 → m.c.m. (12, 18, 21) = 22 ⋅ 32 ⋅ 7 = 252

Números primos entre sí: a) No (factor común 7) b) Sí c) Sí

Problema: Cada nieto irá un día que sea múltiplo de 5, 6 o 10; es decir, coincidirán un día que sea múltiplo de los tres números. Por tanto, coincidirán cada 30 días, que es el m.c.m. de los números 5, 6 y 10.

15

14

13

12

11

c)10

9

8

7

6

b)5

4

3

c)2

1

1.232

11.135

12.390

2.222.202

2

Sí

No

Sí

Sí

3

No

No

Sí

Sí

5

No

Sí

Sí

No

Criterios

Acaba en 2 y sus cifras suman 8



Acaba en par y sus cifras suman 12

} M(12, 18) = {36, 72, 108, ...}

21 = 3 ⋅ 7 37 primo 63 = 32 ⋅ 7 83 primo 101 primo 121 = 112 343 = 73


2826464 _ 0425-0430.qxd 12/2/07 10:18 Página 430


Fracciones


NÚMEROS: Números racionales

• Concepto de fracción positiva: como parte de la unidad (caso de las fracciones propias), como parte de un total y como razón (cociente de números naturales, operador, porcentaje y medida).

• Orden en las fracciones positivas.

• Noción de equivalencia en las fracciones positivas. Criterios de equivalencia.

• Adición de fracciones positivas: concepto como operación y algoritmos de la operación si tienendenominadores iguales o diferentes.

• Sustracción de fracciones positivas. Algoritmo usual.

• Producto de fracciones positivas. Concepto y algoritmo del producto de dos fracciones: como área de un rectángulo incluido en otro rectángulo unidad, o como operador de composición.

• Cociente de fracciones positivas. Concepto y algoritmo del cociente de fracciones como operacióninversa del producto. Identificación del cociente de dos fracciones con el producto de la primera fracción por la inversa de la segunda.


PRUEBA INICIAL

• En la prueba inicial se plantean unos ejercicios (com-paración de fracciones, fracciones equivalentes, re-presentación gráfica de fracciones, etc.) que se tra-bajarán a lo largo de la unidad. Será necesario incidiren aspectos complementarios, como la reducción acomún denominador, las representaciones gráficas yla comprensión de los problemas, y trabajar estos as-pectos en el caso de que sea necesario.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• El objetivo fundamental de la unidad es la operacióncon fracciones. Hay que tener en cuenta que, en es-te curso, no se trabajará con paréntesis y no se ope-rará con más de tres fracciones ni con operacionescompuestas. Los ejercicios 6 a 11 siguen esta línea,y en los ejercicios finales se presentan problemascon fracciones. Es muy interesante que los alumnosvean, planteen y resuelvan este tipo de ejercicios.

3INTRODUCCIÓN

En esta unidad se trabajan los conceptos de fracción y las operaciones entre fracciones con númerospositivos. El concepto de número racional se introducirá en el curso siguiente. Es necesarioefectuar ejercicios sobre la interpretación de una fracción, tanto numérica como gráficamente,como parte de un total, como cociente, etc.

Es importante que los alumnos hayan asimilado el concepto de m.c.m. de la unidad anterior para reducir fracciones a común denominador y comparar, sumar y restar fracciones.


Los conocimientos previos para esta unidad son los de la unidad anterior más los que se han trabajadoen la Unidad 2 sobre divisibilidad. Por otra parte, ya han sido tratados en la etapa anterior; y convendrácomprobar qué conocimientos recuerdan los alumnos.Por tanto, los conocimientos previos que deben tenerlos alumnos son:

• Cálculo por escrito de operaciones con númerosfraccionarios.

– Comparación de fracciones. – Transformación de números fraccionarios

en mixtos. – Resolución de sumas y restas de fracciones. – Resolución de problemas en los que aparezcan

fracciones.

PR

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AC

IÓN

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EVALUACIÓN INICIAL

Encuentra una fracción mayor y menor que , y que ambas sean menores que la unidad.

Halla dos fracciones equivalentes a que tengan un denominador menor que 18 y otras dos que tengan un denominador mayor.

¿Qué fracción representa la parte sombreada respecto al total?

Nuestro sistema horario suele utilizar las fracciones para representar, en un círculo entero, partes de una hora (60 minutos) y partes de un día (12 horas). Representa, en cada caso, la fracción correspondiente.

Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones.

Escribe las fracciones en forma de número mixto.

Reduce a común denominador las fracciones.

Efectúa estas operaciones con fracciones.

a)

b)

Paula ha comido un cuarto de pizza y su hermana tres quintos. ¿Qué parte de pizza ha quedado sin comer?

9

12

14

3

10− =

3

5

4

3+ =

8

3

10

5

6

4

15, ,7

16

3

15

4

38

7

19

5, , ,6

5

3

15

14

8

7

19

12, , ,5

4

3

618

2

59

1

FRACCIONES

de hora1

4de hora

1

3de hora

3

43 horas 5 horas 8 horas

3826464 _ 0431-0436.qxd 12/2/07 10:21 Página 432



Encuentra una fracción mayor y menor que , y que ambas sean menores que la unidad.

Fracciones menores: . Fracciones mayores: .

Halla dos fracciones equivalentes a que tengan un denominador menor que 18 y otras dos que tengan un denominador mayor.

¿Qué fracción representa la parte sombreada respecto al total?

Es la fracción . Por tanto, reduciendo será .

Nuestro sistema horario suele utilizar las fracciones para representar, en un círculo entero, partes de una hora (60 minutos) y partes de un día (12 horas). Representa, en cada caso, la fracción correspondiente.

Ordena, de menor a mayor, las siguientes fracciones. < <

Escribe las fracciones en forma de número mixto.

Reduce a común denominador las fracciones. → → →

Efectúa estas operaciones con fracciones.

a) b)

Paula ha comido un cuarto de pizza y su hermana tres quintos. ¿Qué parte de pizza ha quedado sin comer?

. Por tanto, el trozo de pizza que queda es la unidad

menos esa parte, es decir: .11720

320

− =

14

35

5 1220

1720

+ =+

=

9

12

14

3

10− =

−=

60 2170

3970

3

5

4

3+ =

+=

9 2015

2915

8

830

415

2530

56

930

310

7

163

513

154

334

387

537

195

345

= = = =

6

1912

87

1514

5

4

13

26

3

39

,26

,13

y1236

,1854

,2472

618

2

69

79

89

56

57

58

, , o , ,29

,39

,49

o5

10,

511

,5

12

59

1

de hora1

4de hora

1

3de hora

3

43 horas 5 horas 8 horas

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433

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Representa, mediante una fracción, las siguientes expresiones.

a) Tres cuartos de una hora →

b) De los 30 alumnos de una clase, 12 son niños →

Señala las fracciones propias e impropias, y expresa estas últimas en forma de número mixto.

a) → b) → c) → d) →

Representa las fracciones en la recta.

Determina qué fracciones corresponden a los puntos E, F y G en el gráfico.

La mayoría de los envases de bebida son fracciones de un litro. Si el siguienterectángulo representa un litro, marca en cada caso la fracción correspondiente

Completa de manera que sean fracciones equivalentes.

a)

b)

Calcula la fracción irreducible de las siguientes:7

180

360 180 120

45

60

15= = = = = =

2

8

16

2 6

8 4= =

6

5

4

710

32

125

, ,3

17

27

17

3

9

5

5

9

2

1Conocimiento y utilizaciónde las diferentes

interpretaciones de unafracción.

Reconocimiento de lasfracciones positivas mayoresy menores que la unidad, y

conversión de fraccionesimpropias en números

mixtos, y viceversa.

Representación defracciones y números mixtos

con denominadoressencillos en la recta

numérica.

Determinación de fraccionescorrespondientes a un punto

dado en la recta numérica.

Obtención de la fracción de una parte de una figurageométrica plana o de un

sólido geométrico.

Distinción de si dosfracciones son equivalentes.

Cálculo de fraccionesequivalentes a una fracción

dada (amplificación ysimplificación), y obtención

de la fracción irreducible deuna fracción dada mediante

sucesivas divisiones.

Cálculo de la fracciónirreducible de una fracción

dada mediante la división deambos términos entre

el m.c.d.

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................... 1

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc.............................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .................................................. 1, 2, 3, 4, 5, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .........................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. .......................................................................................... 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14


FRACCIONES

0 1 2

6

E F G

7 8

litro1

2de litro

1

4de litro

1

3

90

60

m.c.d. (90, 60) = 84

105

m.c.d. (84, 105) =

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Averigua, en cada caso, cuál es la mayor fracción.

a) b)

¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor y cuál es la menor?

Completa las tablas.

Efectúa las siguientes divisiones entre fracciones.

a) b)

De los estudiantes de una clase, 4/9 son chicos y el resto chicas. De las chicas,1/3 llevan gafas y de los chicos solo la mitad. Con estos datos, completa la siguiente tabla.

Efectúa las operaciones entre fracciones y da el resultado lo más simplificado posible.

a) = b) = c) =

Juan, Ana y Pedro reciben un terreno como herencia de un familiar, y se lo reparten en función de sus edades. Si a Ana le corresponden los 4/7 del terrenoy a Juan 1/3, ¿cuál es la parte que le toca a Pedro?

14

5

27

9

20

15

28⋅ :

5

6

15

14

9

10+ −

3

5

2

7

5

4+ +

13

12

2

7

3

8: =

11

3

3

5: =

11

10

15

13

15

14

16

13

16

14

9

2

22

7

39y

3

8y

5

12

8Reducción de fracciones a común denominador y comparación de dos

fracciones.

Ordenación de un conjuntode fracciones.

Suma y resta de fraccionescon igual y diferente

denominador, ymultiplicación de fracciones.

División de fracciones.

Planteamiento y cálculo de expresiones numéricas

sobre problemas concretosen los que aparecen

fracciones. Reconocimientode la presencia y la utilidad

de las fracciones en contextos diferentes.

Cálculo y simplificación deexpresiones numéricas con

números naturales y fracciones positivas

que contengan operacionessin paréntesis.

Resolución de problemas enlos que aparezcan diferentestipos de fracciones positivas.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 2, 9, 11





+

Con gafas Sin gafas Total

Chicos

Chicas

Total

15

44

42

3012

15

14

30

⋅11

7

12

511

5

7

35

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FRACCIONES

Representación: a) 3/4 b) 12/30

Fracciones propias e impropias: a) (propia) b) c) d) (propia)

Representación gráfica:

Determinación de puntos en la recta: E → F → G →

Fracciones en una figura geométrica:

Fracciones equivalentes:

a) b)

Fracciones irreducibles:

Comparación de fracciones: a) b)

Comparación: Mayor y menor .

Tablas con operaciones:

Divisiones: a) b)

a) b) c)

Problema: Sumamos las partes de Ana y Juan, ; por tanto, a Pedro le corresponden

del terreno.11921

221

− =

47

13

1921

+ =14

5

27

9

20

15

28⋅ =:

745

5

6

15

14

9

10+ − =

211210

3

5

2

7

5

4+ + =

299140

13

12

2

7

3

8: =

1621

11

3

3

5: =

559

11

10

1514

1613

9

222

739

<38

512

<8

7

180

360 180 120

45

60

15

2= = = = = =

90 6090

3030

18

16

2 6

8 4= =

43

6

5

7110

6710

5910

4

3

1727

173

523

→95

145

→59

2

1

litro1

2de litro

1

4de litro

1

3

90

60

32

m.c.d. (90, 60 ) = 30 84

105

45

m.c.d. (84, 105) = 21

+

753660

3315

15

44

42

30

533660

12

1514

30

2815

⋅

12135

13225

11

7

12

5

1135

11

57

35

1225

Con gafas Sin gafas Total

Chicos 1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9 1/2 de 4/9 = 4/18 = 2/9 4/9

Chicas 1/3 de 5/9 = 5/27 2/3 de 5/9 = 10/27 5/9

Total 11/27 16/27 1

0 1 2710

125

32


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Números decimales


NÚMEROS: Números racionales expresados en forma decimal

• Números expresados en forma decimal exacta.

– Noción de número decimal como prolongación del sistema de numeración. Valor posicional. Expresión polinómica.

– Orden de los números expresados en forma decimal. • Números racionales expresados en forma decimal. Tipos de decimales: exactos y periódicos.

Reglas de conversión de números racionales en decimales, y viceversa.

• Operaciones con números decimales: suma, resta, multiplicación y división.

• Aproximaciones decimales: redondeo.


PRUEBA INICIAL

• Se trata de una revisión de aquellos conceptos bási-cos de la unidad. Se revisan la lectura, escritura y ex-presión de números decimales y se efectúan opera-ciones con estos números. Mediante la corrección sepueden detectar problemas con operaciones básicasque los alumnos tendrían que repasar, como las ta-blas de multiplicar, el tratamiento de los decimalessegún su número de cifras decimales o la división denúmeros decimales.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Los primeros ejercicios tratan sobre la relación entrenúmeros decimales y fracciones: transformación dedecimales en fracciones, de fracciones en decimalesy, tanto en un caso como en el otro, de su expresiónpolinómica. Asimismo, tienen importancia la compa-ración, el orden y representación en la recta. Poste-riormente se proponen actividades relativas a lasoperaciones con decimales y dos actividades relati-vas a procedimientos de estimación de operacionesy comprobación de los resultados. Conviene desarro-llar al máximo estos aspectos, tanto mentalmente co-mo mediante la calculadora.

4INTRODUCCIÓN

Se comienza la unidad trabajando la relación entre los números decimales y las fracciones, así como el cambio de fracciones a números decimales y viceversa en casos sencillos. En esta unidad se trabajan los redondeos de números decimales, que se verá ampliamente en el próximo curso, dado que tiene numerosas aplicaciones en la vidacotidiana: estimaciones de determinadas operaciones y sus correspondientes comprobaciones. Por tanto, es recomendable que los alumnos asimilen correctamente estos conceptos.


Los contenidos de esta unidad han sido tratadosdurante la etapa anterior. Convendrá, por tanto,efectuar la revisión de algunos de los conocimientosnecesarios para estudiar los contenidos de la unidad.

• Lectura, escritura y representación de númerosdecimales.

• Operaciones sencillas con números decimales.

• Aproximaciones con números decimales.

• Resolución de problemas con números decimales.

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Di entre qué dos números enteros se encuentra cada uno de estos números decimales y señala de cuál está más cerca.

Escribe dos números comprendidos entre 6 y 7 que estén más cerca de 6 y otros dos que estén más cerca de 7.

Calcula en cada caso el número que falta.

2,3 + 3,08 =

5,73 − = 1,04

12,5 ⋅ 2,03 =

23,5 : 1,25 =

0,16 : = 0,4

Resuelve la división y aproxima el cociente hasta dos cifras decimales.

17 : 3 =

876 : 23 =

803 : 782 =

Si 1 € equivale a 1,27 dólares, ¿a cuántos dólares equivalen 600 €? ¿Y a cuántos euros equivalen 700 dólares?

6

5

4

3

2

1


EVALUACIÓN INICIAL

NÚMEROS DECIMALES

Fracción decimal Número decimal Descomposición Lectura

67,104

Treinta y cuatro unidades cincuenta y tres milésimas

Se encuentra entre Está más cerca de

7,54 7 y 8 8

16,043

203,507

23,32

54,9001

705

100

21

100

7

10 000+ +

.

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Di entre qué dos números enteros se encuentra cada uno de estos números decimales y señala de cuál está más cerca.

Escribe dos números comprendidos entre 6 y 7 que estén más cerca de 6 y otros dos que estén más cerca de 7.

Por ejemplo: 6,1 (más cerca de 6) y 6,7 (más cerca de 7).

Calcula en cada caso el número que falta.

2,3 + 3,08 = 5,38

5,73 − 4,69 = 1,04

12,5 ⋅ 2,03 =

23,5 : 1,25 = 18,8

0,16 : 0,4 = 0,4

Resuelve la división y aproxima el cociente hasta dos cifras decimales.

17 : 3 = 876 : 23 = 803 : 782 =

Si 1 € equivale a 1,27 dólares, ¿a cuántos dólares equivalen 600 €? ¿Y a cuántos euros equivalen 700 dólares?

Primero, tendremos que multiplicar 600 por 1,27 y obtenemos: 762 dólares.Segundo, tendremos que dividir 700 entre 1,27 y obtenemos: 551,18 €.

6

1,0338,08 → 38,095,66 → 5,67

5

25,375

4

3

2

1



Se encuentra entre Está más cerca de

7,54 7 y 8 8

16,043 16 y 17 16

203,507 203 y 204 204

23,32 23 y 24 23

54,9001 54 y 55 55

Fracción decimal Número decimal Descomposición Lectura

7,05

67,104

2,0107

34,053

Siete unidades y cinco centésimas

Sesenta y siete unidadesciento cuatro milésimas

Dos unidades ciento siete diez milésimas

Treinta y cuatro unidadescincuenta y tres milésimas

705

100

67 1041 000

..

20 10710 000

.

.

34 0531 000

..

21

100

7

10 000+ +

.

3 10 45

1003

1 000⋅ + + +

.

75

100+

6 10 71

104

1 000⋅ + + +

.

PR

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Ordena los números de menor a mayor.2,01 20,01 2,101 0,2001 0,0201 20,1

Convierte los números fraccionarios en números decimales, y represéntalos en la recta.

a) → b) → c) → d) →

Calcula la expresión decimal de las fracciones, y señala el tipo de decimal del que se trata.

Fracción Exp. decimal Tipo de decimal

→ →

→ →

→ →

Efectúa las operaciones con números decimales.

123,05 406,53

+ 306,112 − 251,273

5

7

300

18

25

7

3

4

11

10

8

25

1

5

3

4

3

2

1



Escritura de la expresiónpolinómica de un número

decimal exacto y cálculo de su fracción decimal

asociada.

Comprobación y ordenaciónde números decimales.

Obtención de la expresióndecimal exacta o periódica

de una fracción.

Suma y resta de decimales de la manera usual

y expresándolos comofracciones decimales.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ..............................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2, 3, 4




NÚMEROS DECIMALES

Fracción decimal Expresión decimal Expresión polinómica

7 603

100

.

71

100

2

10 000+ +

.

20,0306

0

0,1 0,5

1

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Calcula el cociente de la división, redondeando el resultado hasta las milésimas.

12,4587 32,45

Nueve amigos han obtenido un premio de 102.342 €. Efectúa dos estimacionesdel dinero que le corresponde a cada uno.

Vamos a comprar 2,65 kg de un producto que cuesta 1,08 €/kg. ¿Cuál de los precios es el más correcto: 2 €, 2,50 € o 3 €?

Con una cinta métrica medimos la longitud de la circunferencia de una lata de refresco (21,24 cm). Calcula cuánto medirá el lado de un cuadrado que tenga el mismo perímetro.

El cocinero de un colegio sabe que necesita 0,25 litros de agua por cada alumno para elaborar sopa. Si almorzasen 132 alumnos, ¿qué cantidad de agua necesitaría para hacer la sopa?

10

9

8

7

6Multiplicación y división de números decimales.

Estimación del resultado de operaciones connúmeros decimales

mediante el cálculo mental y redondeándolo

con diferentes niveles de aproximación.

Comprobación, medianteuna estimación,

de que el resultado de una operación

con decimales es correcto o no.

Reconocimiento de lapresencia de los decimales

en contextos reales y aplicación en la resolución

de problemas.






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NÚMEROS DECIMALES

Tabla:

Orden de decimales: < < < < <

Números fraccionarios → Números decimales. Representación gráfica: a) 0,75 b) 0,2 c) 0,32 d) 1,1

Expresión racional de las fracciones: Fracción Exp. decimal Tipo de decimal

→ → D. periódico puro

→ → D. exacto

→ → D. periódico mixto

Sumas y restas: 123,05 406,53

+ 306,112 − 251,273

429,162 155,257

División con redondeo: 12,4587 32,45 → c = 0,3839... redondeo c = 0,384

Problema de estimación:

• Primera aproximación: dividimos mentalmente 100.000 (la potencia de 10 más cercana) entre 10 (el número), siendo el resultado 10.000 €.

• Segunda aproximación: dividimos 110.000 entre 10 y resulta 11.000 €, que es un resultado más preciso que el caso anterior.

Problema: La respuesta correcta es 3 €.

Problema: Dividimos 21,24 entre 4 y obtenemos 5,31 centímetros.

Problema: Multiplicamos 132 por 0,25 y obtenemos 33 litros. 10

9

8

7

6

5

0,023�7

300

0,7218

25

2,3�7

3

4

3

20,120,012,1012,010,20010,02012

1

0b) c) a) d)

0,1 0,5

1

Fracción decimal Expresión decimal Expresión polinómica

7 603

100

.

200.30610.000

70.10210.000

71

100

2

10 000+ +

.

2 103

1006

10 000⋅ + +

.20,0306

76,03

7,0102

7 10 63

100⋅ + +


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Números enteros


NÚMEROS: Números enteros

• Introducción al concepto de número entero.

• Orden de los números enteros: revisión del concepto de cero, orden de los números naturales y de los enteros negativos. Comparación. Valor absoluto de un número entero.

• Adición de números enteros: como operación entre cantidades y como desplazamiento en la rectanumérica. Propiedades.

• Resta de números enteros: como operación inversa de la suma, como desplazamiento en la rectanumérica y como suma con el número opuesto. Propiedades de la resta. Sumas y restas combinadas.

• Producto de números enteros: ampliación del concepto de producto de números naturales y la regla de los signos. División de números enteros y comprobación de la no existencia, en general, de cocienteentero en la división de dos números enteros. Aplicaciones de los números enteros.


PRUEBA INICIAL

• La prueba consiste en la interpretación de los núme-ros enteros, mediante una serie de ejemplos senci-llos (temperaturas, plantas de un edificio, etc.). En elcaso de que surgieran problemas con esas interpre-taciones se pueden proponer ejemplos con estas ca-racterísticas, aunque volverán a repasarse a lo largode la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• La prueba consiste en una serie de actividades pro-cedimentales basadas, sobre todo, en las operacio-nes con números enteros: sumas, restas, multiplica-ciones y divisiones con y sin paréntesis. Hay quetener cuidado con este aspecto y repasar la jerarquíade las operaciones, así como las reglas de los signos.

5INTRODUCCIÓN

Esta es una unidad básicamente procedimental. Los números enteros aparecen en numerosasocasiones en la vida cotidiana y, en consecuencia, su concepto no debería suponer dificultad alguna para los alumnos. Su manipulación resulta, en cambio,bastante compleja, por lo que hay que explicarla con detenimiento, puesto que los errores suelen ser frecuentes. Se resolverán ejercicios para asegurar el manejo de los números enteros, pues será básico a lo largo de los siguientes cursos. Se deberá trabajaradecuadamente también la regla de los signos, ya que los alumnos suelen aplicarla incorrectamente.


Durante la etapa anterior los alumnos se introdujeronen el estudio de los números enteros, sobre todo en aspectos como la lectura e interpretación de este tipo de números. Así pues, la prueba inicial se dirigirá a repasar los conceptos básicos de los números enteros:

• Lectura e interpretación de números enteros. • Reconocimiento de números enteros. • Resolución de problemas sencillos con números

enteros.

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EVALUACIÓN INICIAL

Estas son las temperaturas registradas un día de enero en diferentes ciudades europeas.

Barcelona 11º CParís 1º CBerlín −2º CLisboa 13º CLondres 3º CMoscú −8º CRoma 4º CEstocolmo −15º C

a) ¿En qué ciudad hace más frío?

b) ¿En cuál tienen la temperatura más alta?

c) ¿Qué diferencia de temperatura hay entre Barcelona y Londres?

d) ¿Y entre París y Moscú?

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8.848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11.510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra.

Tres amigos trabajan en varias plantas de un edificio: Juan en la planta 4, Pedro en la planta 1 y Aurelio en la planta −2. Cada mañana desayunan juntos en la planta 2. Di cuántas plantas sube o baja cada amigo.

Escribe tres números enteros impares mayores que −3 y menores que 5.

5−3

4

3

2

1

NÚMEROS ENTEROS5826464 _ 0443-0448.qxd 12/2/07 10:25 Página 444



Estas son las temperaturas registradas un día de enero en diferentes ciudades europeas.

Barcelona 11º CParís 1º CBerlín −2º CLisboa 13º CLondres 3º CMoscú −8º CRoma 4º CEstocolmo −15º C

a) ¿En qué ciudad hace más frío?

En Estocolmo.

b) ¿En cuál tienen la temperatura más alta?

En Lisboa.

c) ¿Qué diferencia de temperatura hay entre Barcelona y Londres?

11 − 3 = 8º de diferencia.

d) ¿Y entre París y Moscú?

1 − (−8) = 9º de diferencia.

El punto más alto de la Tierra es el Everest, que tiene una altura de 8.848 metros sobre el nivel del mar, y el punto más «bajo» es la Fosa de las Marianas, que tiene una profundidad de 11.510 m. Calcula la diferencia de nivel entre estos dos puntos de la Tierra.

8.848 − (−11.510) = 20.358 m de diferencia.

Tres amigos trabajan en varias plantas de un edificio: Juan en la planta 4, Pedro en la planta 1 y Aurelio en la planta −2. Cada mañana desayunan juntos en la planta 2. Di cuántas plantas sube o baja cada amigo.

Juan: Planta 4 → Planta 2 → Baja 2 plantas.

Pedro: Planta 1 → Planta 2 → Sube 1 planta.

Aurelio: Planta −2 → Planta 2 → Sube 3 plantas.

Escribe tres números enteros impares mayores que −3 y menores que 5.

531−1−3

4

3

2

1

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Escribe los datos numéricos con el signo adecuado.

a) La profundidad del Mar Muerto es 790 m por debajo del nivel del mar.

b) La temperatura de ebullición del agua es 100° C sobre cero.

c) La temperatura de fusión del alcohol es 90° C bajo cero.

d) La altura del Everest es de 8.848 metros sobre el nivel del mar.

a) b) c) d)

Representa en la recta los números enteros.

A → −2 B → +4 C → −3 D → +5

Escribe el símbolo < o >, según corresponda.

a) −5 +4 c) +3 −4

b) +3 +5 d) −5 −4

Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros.

a) −3= c) +5=

b) −2= d) 0=

Haz estas operaciones.

a) (+3) + (+6) = d) (−3) + (+5) + (−2) =

b) (+2) + (−4) = e) (−5) + (−4) + (−6) =

c) (−3) + (−5) = f) (+4) + (−2) + (+4) =

Efectúa los siguientes cálculos.

a) (+3) − (+5) = c) (−3) − (+4) =

b) (+2) − (−7) = d) (−2) − (−6) =

6

5

4

3

2

1Reconocimiento de la presencia y la utilidad

de los números enteros en diferentes contextos

reales.

Representación y comparación

de números enteros.

Búsqueda del valor absolutode un número entero.

Cálculo de sumas de números enteros

del mismo y de diferentesigno.

Realización de restas de números enteros.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 4


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 2, 3, 4


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 5, 6, 7, 8, 9, 10


NÚMEROS ENTEROS

0 +1

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a) (−2) − (−4) + (−5) − (−1) − (+2) =

b) (+2) − (−3) − (−5) + (+2) + (−3) =

c) (−5) + (+5) + (−2) − (−4) + (−5) =

Haz estas operaciones.

a) (−2 + 4) − (−4 − 3 + 5) + (4 − 5) =

b) (2 − 3) − (−5 + 2) + (1 − 3 − 4) =

Calcula los siguientes productos.

a) (−3) ⋅ (−2) =

b) (+3) ⋅ (+4) ⋅ (−2) =

c) (+2) ⋅ (−3) ⋅ (−4) =

d) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) =

Haz estas divisiones de números enteros.

a) (−3) : (+3) =

b) (+12) : (−4) =

c) (−24) : (−8) =

d) (+21) : (+7) =

10

9

8

7Resolución de operacionescombinadas de sumas y restas sin paréntesis.

Resolución de operacionescombinadas de sumas

y restas con paréntesis.

Búsqueda del producto de dos números enteros

dados.

Cálculo de divisionesexactas de números enteros.

• Clasificar y discriminar según criterios ...................................................................................................................





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NÚMEROS ENTEROS

Datos con signo:

a) b) c) d)

Representación de números:

Mayor o menor:

a) −5 +4 b) +3 +5 c) +3 −4 d) −5 −4

Valor absoluto:

a) −3= b) −2= c) +5= d) 0=

Sumas:

a) +9 b) −2 c) −8 d) 0 e) −15 f) +6

Restas:

a) −2 b) +9 c) −7 d) −8

Cálculos combinados:

a) −4 b) +9 c) −3

Paréntesis:

a) +3 b) −4

Productos:

a) +6 b) −24 c) +24 d) +16

Divisiones:

a) −1 b) −34 c) +34 d) −3

10

9

8

7

6

5

0+5+2+3

4

<><<

3

2

+8.848−90+100−790

1

−3

C A B D

−2 +4 +5


0 +1

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Iniciación al Álgebra


ECUACIONES

• Conceptos y expresiones básicos. Concepto de igualdad. Expresión algebraica. Monomios y polinomios.Operaciones.

• Ecuaciones.

– Concepto de ecuación. – Elementos del lenguaje algebraico: miembros, términos, coeficientes, grado, incógnitas y soluciones. – Diferentes tipos de ecuaciones según su grado, tipos de números que intervienen,

número de incógnitas, número de soluciones y operaciones. – Equivalencia de ecuaciones. – Ecuaciones de primer grado (o lineales) con una incógnita. Procedimientos de resolución.


PRUEBA INICIAL

• En los tres primeros ejercicios se trabajan las expre-siones numéricas y, en los otros, las expresiones lite-rales. El ejercicio 5, con la aplicación de la fórmuladel área de un triángulo, resulta especialmente inte-resante porque, normalmente, los alumnos trabajanmediante fórmulas las expresiones algebraicas.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Las cinco primeras cuestiones se refieren a expresio-nes algebraicas. No se hace referencia a monomiosy polinomios, que se estudiarán en el curso siguien-te. En este curso se pretende que los alumnos com-prendan y efectúen cambios del lenguaje usual al al-

gebraico. Hay una cuestión sobre la diferencia entreecuaciones e identidades (ejercicio 4) donde ningunade las expresiones es una ecuación. Se puede pedir alos alumnos que piensen en más ejemplos. La segundaparte de las pruebas está formada por ecuaciones sen-cillas con distinto grado de complejidad (ejercicio 8),desde una transposición hasta la última actividad, confracciones y problemas sencillos, pero que los alumnosdeberían calcular utilizando expresiones algebraicas.Entre todos los «tipos de problemas» se han incluidodos problemas «clásicos»: averiguar un número conunas características definidas y averiguar un númerogeométrico.

6INTRODUCCIÓN

La utilización del lenguaje algebraico para expresarrelaciones entre cantidades constituye un procedimientonuevo para los alumnos y supone el paso a un nivelsuperior de abstracción. El profesor deberá tener en cuenta que, a veces, la comprensión de lasMatemáticas requiere un proceso de trabajo continuo.El aprendizaje del lenguaje algebraico representa un punto de inflexión fundamental en la comprensiónde las Matemáticas. La manipulación de las ecuaciones que se presentanen la unidad, en cambio, no tiene por qué suponerexcesivas dificultades para los alumnos, dado que se trata de procesos mecánicos que ya han sidorealizados con números.


Es básico que los alumnos hayan aprendido a trabajarcon las expresiones numéricas antes de utilizar lasexpresiones algebraicas. Así pues, resulta fundamentalel trabajo con expresiones numéricas: cómo sesimplifican, en qué orden hay que efectuar las operaciones, etc. • Planteamiento y cálculo de expresiones numéricas

en problemas concretos. • Cálculo con números naturales y enteros, utilizando

las operaciones aritméticas, los paréntesis y laspropiedades.

• Cálculo de números racionales con expresionesnuméricas, expresados en forma decimal,fraccionaria o como porcentaje.

• Obtención de valores numéricos en expresionespolinómicas sencillas.

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EVALUACIÓN INICIAL

Pedro compra 4 cuadernos de 2,50 € cada uno, 3 bolígrafos de 1,20 €, 2 lápices de 0,70 € y 2 gomasde borrar de 0,30 €. Si paga con 20 €, ¿cuánto le tienen que devolver?


a) 5 ⋅ (7 − 3) + 4 ⋅ [(5 − 2) − (3 − 5 − 8)] − [6 + (4 + 7)] =

b)

El recibo de teléfono es bimensual y está formado por los siguientes conceptos: una cuota fija de 12 €mensuales, otra por el alquiler del aparato de 3 € mensuales y otra que marca los pasos realizados a 0,03 € cada uno. ¿A cuánto asciende la factura si he realizado 253 pasos?

Escribe de forma algebraica y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3.

b) La mitad de 20 más el doble de 30.

c) El triple de la diferencia entre 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3.

d) La tercera parte de la suma de 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble de 6, 7 y 5.

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Completa la tabla en función de las diferentes bases y alturas de los triángulos.

5

4

3

2

35 2

1

3

2

7

2

5

3

10

5

6⋅ − + − ⋅ + −

( ) −− ⋅ −

=

2

5

3

2

2

4

2

1

INICIACIÓN AL ÁLGEBRA

Triángulo Área Triángulo Área

h = 3

b = 8

h = 9

b = 4

h = 6

b = 5

h = 4

b = 9

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Pedro compra 4 cuadernos de 2,50 € cada uno, 3 bolígrafos de 1,20 €, 2 lápices de 0,70 € y 2 gomasde borrar de 0,30 €. Si paga con 20 €, ¿cuánto le tienen que devolver?

20 − (4 ⋅ 2,50 + 3 ⋅ 1,20 + 2 ⋅ 0,70 + 2 ⋅ 0,30) = 20 − 15,60 = 4,40 €


a) 5 ⋅ (7 − 3) + 4 ⋅ [(5 − 2) − (3 − 5 − 8)] − [6 + (4 + 7)] =

b)

El recibo de teléfono es bimensual y está formado por los siguientes conceptos: una cuota fija de 12 €mensuales, otra por el alquiler del aparato de 3 € mensuales y otra que marca los pasos realizados a 0,03 € cada uno. ¿A cuánto asciende la factura si he realizado 253 pasos?

[(12 + 3) ⋅ 2 + 253 ⋅ 0,03] = 33,59 €

Escribe de forma algebraica y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3. 2 ⋅ 15 − 3 = 30 − 3 = 27

b) La mitad de 20 más el doble de 30. ⋅ 20 + 2 ⋅ 30 = 10 + 60 = 70

c) El triple de la diferencia entre 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3.3 ⋅ (8 − 5) − 3 ⋅ (4 + 3) = 9 − 21 = −12

d) La tercera parte de la suma de 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble de 6, 7 y 5.

⋅ (5 + 4) + ⋅ 2 ⋅ (6 + 7 + 5) = 3 + ⋅ 24 = 3 + 6 = 9

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. Completa la tabla en función de las diferentes bases y alturas de los triángulos.

5

14

14

13

12

4

3

207105

2

35 2

1

3

2

7

2

5

3

10

5

6⋅ − + − ⋅ + −

( ) −− ⋅ −

=

2

5

3

2

2

4

55

2

1

Triángulo Área Triángulo Área

h = 3

b = 8

h = 9

b = 4

h = 6

b = 5

h = 4

b = 9

A = ⋅ =8 32

12 A = ⋅ =4 92

18

A = ⋅ =6 52

15 A = ⋅ =9 42

18

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Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico en función de dos números, a y b.

a) A la mitad del número a le restamos la cuarta parte de b.

b) El cuadrado del número a más el doble del número b.

c) El producto del triple del número a por el doble del cubo del número b.

d) La mitad del número a más la tercera parte de b es 100.

Si la edad de mi amigo Pablo es x años, expresa en lenguaje algebraico.

a) La edad que tenía hace 5 años.

b) La edad que tendrá dentro de 7 años.

c) Los años que le faltan para jubilarse a los 65 años.

d) Los años que tendrá cuando hayan pasado el doble de los años que componensu edad actual.

Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x.

a) e(x) = 4x + 3, si x = 3 → e (3) =

b) e(x) = −3x + 3x2, si x = 2 → e (2) =

c) e(x) = (x 2 − 4)2, si x = −2 → e (−2) =

Comprueba si las dos expresiones son o no una identidad.

a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10

b) 4(x + 1) + 3(2 − x) = x + 1

Expresa el área y el perímetro de las siguientes figuras.5

4

3

2

1Expresión en lenguajealgebraico de enunciadosdados en lenguaje usual,

y viceversa.

Búsqueda del valornumérico de una expresión

algebraica.

Distinción de identidades y ecuaciones.

Expresión de relacionesgeométricas empleando

el lenguaje algebraico.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 6




• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3, 5, 6, 7, 9, 10



x

y

x

x

3x

x x

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En las ecuaciones, identifica la incógnita y resuélvelas mentalmente o por el método de ensayo y error.

a) x + 4 = 7 →

b) y − 3 = 5 →

c) 2x = 8 →

d) = 2 →

e) 8 − z = 6 →

f) 3z − 2 = 10 →

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x − 5 = −3 →

b) 2x + 4 = 3x − 8 →

c) 3(3x + 4) = 5(x −1) →

d) →

La suma de las edades de Pedro y de Julia es 38 años. Pedro tiene el doble de la edad de Julia más dos años. Por tanto, las edades de Pedro y Julia son:

a) Julia tiene 16 años y Pedro 22 años.

b) Julia tiene 14 años y Pedro 24 años.

c) Julia tiene 12 años y Pedro 26 años.

d) Julia tiene 10 años y Pedro 28 años.

Determina un número sabiendo que si al doble de este número le sumamos 7

da .

Calcula las dimensiones de una parcela de forma rectangular, si su perímetro es de 400 metros y es el triple de larga que de ancha.

10

272

9

8

x x x−=

−−

−1

2

2

3

3

4

7

y

5

6Identificación de la incógnitaen una ecuación.

Resolución de ecuacionesde primer grado

por el método de ensayo y error.

Resolución de ecuacionesde primer grado por el

método general.

Comprobación de si un determinado valor es o no

solución de una ecuación.

Resolución de problemassencillos empleandotécnicas algebraicas.






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Transformaciones de enunciados:

a) b) a2 + 2b c) 3a · 2b3 d)

Lenguaje algebraico:

a) x − 5 b) x + 7 c) 65 − x d) 3x

Valor numérico de expresiones:

a) e(x) = 4x + 3, si x = 3 → e(3) = 15

b) e(x) = −3x + 3x2, si x = 2 → e(2) = 6

c) e(x) = (x2 − 4)2, si x = −2 → e(−2) = 0

Identidades o ecuaciones:

a) 3(x + 2) + 4 = 3x + 10 → Identidad b) 4(x + 1) + 3(2 − x) = x + 1 → Identidad

Expresiones algebraicas:

Resolución de ecuaciones (método de ensayo-error):

a) x + 4 = 7 → x = 3 c) 2x = 8 → x = 4 e) 8 − z = 6 → z = 2

b) y − 3 = 5 → y = 8 d) = 2 → y = 10 f) 3z − 2 = 10 → z = 4

Resolución de ecuaciones:

a) x − 5 = −3 → x = −3 + 5 = 2

b) 2x + 4 = 3x − 8 → 4 + 8 = 3x − 2x → x = 12

c) 3(3x + 4) = 5(x − 1) → 9x + 12 = 5x −5 → 4x = −17 → x =

d) 6x − 6 = 4x − 8 − 9 + 3x → x = 11

La respuesta correcta es la c).

Averiguar un número:

2x + 7 = → 4x = 27 − 14 = 13 → x =

Dimensiones de una parcela:

Las dimensiones son: x y 3x, y el perímetro: P = 2(x + 3x) = 8x = 400 → x = 50. Por tanto, la parcela tiene 50 metros de ancho y 150 metros de largo.

10

134

272

9

8

6 612

4 812

9 312

x x x−=

−−

− →x x x−=

−−

−1

2

2

3

3

4→

−174

7

y

5

6

5

4

3

2

a b2 3

100− =a b2 4

−

1

3x

xx x

y

x

xP = 2(x + 3x) = 8xP = 4x + 2π

x2

A = x2 + πx2

2

A = 3x2A = xy + x2

P = x + y + 2x + x + x ++ (y − x) = 4x + 2y


6826464 _ 0449-0454.qxd 12/2/07 15:55 Página 454


Proporcionalidad numérica


NÚMEROS

• Proporcionalidad entre números.

• Razón de proporcionalidad.

– Proporción. Propiedades de las proporciones. – Series de razones. Cuarto y medio proporcional.

• Magnitudes directamente proporcionales.

• Magnitudes inversamente proporcionales.

• Porcentajes.


PRUEBA INICIAL

• La prueba contiene una serie de actividades en tornoa aspectos de la divisibilidad y las fracciones, que serefieren sobre todo a las operaciones de multiplicar ydividir. Además de la aplicación elemental de la pro-porción, que se verá más adelante en el ejercicio 4,numerosos conceptos científicos se basan en la ca-pacidad de manejar proporciones. En consecuencia,tendremos que repasar los conceptos con aquellosalumnos que no hayan realizado correctamente es-tos ejercicios.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Conviene intentar que los alumnos descubran y for-mulen por sí mismos el concepto de proporcionali-dad directa.

• Se deberá vencer, al principio, la dificultad inicialque supone la comprensión de conceptos y motivar

• al alumnado con ejemplos extraídos de la vida real,que en este caso son muy abundantes. Convendríaimplicar a los alumnos en el aprendizaje del tema, yproponerles problemas que ellos mismos hayan po-dido plantearse en alguna ocasión, por ejemplo:¿Cuánto ahorrarás en 5 semanas si en 1 semanaahorras 3 €? De esta manera se conseguirá que elconcepto de proporcionalidad se convierta en algonatural para los alumnos. Los cinco primeros ejerci-cios se dirigen en esta línea.

• La parte de la unidad relativa a los porcentajes (ejer-cicios 10 y 11) es menos importante en cuanto acontenido abstracto, pero de gran aplicación prácti-ca. Para desarrollarla será útil implicar a los alumnosy combinarla con otras asignaturas.

INTRODUCCIÓN

La proporcionalidad es una de las áreas más utilizadasen Matemáticas, y que quizá más difícil resulta a los alumnos.

Uno de los motivos de la importancia de la razón y la proporción es su empleo en técnicas de resoluciónde problemas, ya que numerosos conceptosmatemáticos están basados en la proporcionalidadnumérica, algebraica o geométrica. La trigonometría,por ejemplo, tiene su punto de partida en el estudio de las razones iguales.


• Los conocimientos previos que se necesitan en estaunidad son los distintos aspectos de la divisibilidad y de las fracciones. Por consiguiente, efectuaremosuna revisión de los conceptos básicos sobre el producto y la división de fracciones con el fin de dar una visión global de la unidad: – Reconocimiento y trabajo con los múltiplos

y los divisores.– Cálculo del m.c.d. y el m.c.m. de varios números.– Multiplicación y división de fracciones

con diferentes denominadores.– Concepto de división como reparto mediante

fracciones.

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EVALUACIÓN INICIAL

¿Cuánto tiene que valer m para que el número 5m5 sea múltiplo de 3?

Dados los números 18 y 24, encuentra el m.c.d. y el m.c.m. Comprueba que se cumple la siguiente relación.

m.c.d. (18, 24) ⋅ m.c.m. (18, 24) = 18 ⋅ 24

Tres hermanos se turnan para visitar a su abuela. El mayor va cada 6 días, el segundo cada 8 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela?

¿Qué números faltan para completar estas proporciones?

En una avenida que tiene km de longitud queremos plantar un árbol cada km.

¿Cuántos árboles tendremos que plantar a partir del primero?

En el primer curso de un centro escolar hay de chicas, y se prevé que aprueben el curso

los de los alumnos. Si hay dos grupos de 30 alumnos cada uno, ¿cuántas chicas aprobarán? 6

10

46

6

430

86

5

8

16

2 6

8 4= =

4

3

2

1

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA7826464 _ 0455-0460.qxd 12/2/07 10:28 Página 456



¿Cuánto tiene que valer m para que el número 5m5 sea múltiplo de 3?

Como la suma de las cifras tiene que ser múltiplo de 3, entonces m tiene que valer 2, 5 u 8.

Dados los números 18 y 24, encuentra el m.c.d. y el m.c.m. Comprueba que se cumple la siguiente relación.

m.c.d. (18, 24) ⋅ m.c.m. (18, 24) = 18 ⋅ 24

m.c.d. (18, 24) = 6m.c.m. (18, 24) = 72

→ 18 ⋅ 24 = 432 6 ⋅ 72 = 432

Tres hermanos se turnan para visitar a su abuela. El mayor va cada 6 días, el segundo cada 8 días y el menor cada 10 días. ¿Cada cuántos días coincidirán los tres hermanos en casa de su abuela?

Cada hermano irá un día que sea múltiplo de 6, 8 o 10. Por tanto, coincidirán un día que sea múltiplo de los tres números. Es decir, cada 120 días, que es el m.c.m. de 6, 8 y 10.

¿Qué números faltan para completar estas proporciones?

En una avenida que tiene km de longitud queremos plantar un árbol cada km.

¿Cuántos árboles tendremos que plantar a partir del primero?

Se halla cuántas veces la fracción contiene a para conocer el total de árboles;

así, dividimos 10 árboles.

En el primer curso de un centro escolar hay de chicas, y se prevé que aprueben el curso

los de los alumnos. Si hay dos grupos de 30 alumnos cada uno, ¿cuántas chicas aprobarán?

Se trata de calcular los de las chicas que hay, que son los del total de alumnos.

24 chicas610

46

2 306 4 60

60⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

46

610

610

46

6

86

430

24024

: = =

430

86

430

86

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8

16

2 6

8 4= =

43

4

3

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Juan y Pedro discuten sobre quién posee el coche más económico respecto al gasto de gasolina. Juan dice que su coche gasta 4,7 litros de gasolina cada 100 km, mientras que Pedro afirma que con un depósito de 52 litros puede recorrer 1.100 km. ¿Cuál de los amigos tiene el coche más económico?

Averigua si las razones y forman proporción.

Esta tabla que relaciona directamente el peso en kilogramos de los melocotonesy su precio en euros. Determina los valores que faltan.

Averigua qué números faltan para completar estas proporciones:

a) Medio proporcional:

b) Cuarto proporcional:

Determina si las siguientes magnitudes son o no proporcionales. Razónalo.

a) La edad de una persona y su peso.

b) El precio y la cantidad de carne comprada.

c) El número de hojas de un libro y su peso.

d) El lado de un cuadrado y su perímetro.

e) El lado de un cuadrado y su área.

Si un décimo de la lotería de Navidad cuesta 20 € y el premio es de 2 millonesde euros, ¿qué cantidad nos tocará si tenemos una participación de 1 €y hemos ganado el Gordo?

Si 25 bolsas de caramelos valen 15 €, ¿cuánto cuestan 13 bolsas? ¿Y 20 bolsas?

7

6

5

3

12=

8

16

2 6

8 4= =

4

3

3596

38

2

1Utilización de las razonesentre cantidades

en contextos reales para resolver problemas.

Comprobación de que dosrazones forman proporción.

Elaboración de tablas de proporcionalidad y series

de razones iguales.

Búsqueda del cuarto y el medio proporcional.

Determinación de que dos magnitudes dependen

entre sí y de que sondirectamente proporcionales.

Resolución de problemas de la vida cotidiana

en los que aparecenmagnitudes directamente

proporcionales.

• Enumerar e identificar elementos ............................................................................................................ 5

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .................................................................. 3, 4

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ......................................................... 1, 2, 8, 9

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................ 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11


PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

Peso 1,5 2,8 12

Precio 3 4,20

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Expresa la fracción en tanto por ciento.

Hemos efectuado una encuesta sobre los 30 alumnos de una clase y los resultados han sido los siguientes: 18 chicas (10 morenas y 8 rubias) y 12 chicos (8 morenos y 4 rubios).

a) ¿Qué porcentaje del total son chicas morenas?

b) ¿Y qué porcentaje son chicos?

En una bicicleta que valía 150 € me hacen un 12% de descuento. ¿Qué cantidad me han rebajado? ¿Y qué cantidad tendré que pagar?

En la etiqueta de un electrodoméstico se indica que vale 125 €. Si me hacen un 10% de descuento y luego me cargan un 16% de impuestos,¿cuánto tendré que pagar?

11

10

9

38

8Utilización de los tantos por ciento en diferentes

situaciones de la vida real.

Cálculo del tanto por cientode una cantidad.

Resolución de problemascotidianos en los queaparezcan aumentos

y disminucionesporcentuales.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5





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PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

Gasto del coche de Juan: 4,7 litros cada 100 km.

Gasto del coche de Pedro: = 4,727 litros cada 100 km.

El coche más económico es el de Juan.

y no forman proporción, ya que 3 ⋅ 96 � 8 ⋅ 35.

Cuadro con magnitudes y cantidades proporcionales:

Medio y cuarto proporcional:

a) Medio proporcional: b) Cuarto proporcional:

Magnitudes proporcionales:

a) La edad de una persona y su peso. No.

b) El precio y la cantidad de carne comprada. Sí.

c) El número de hojas de un libro y su peso. Sí.

d) El lado de un cuadrado y su perímetro. Sí.

e) El lado de un cuadrado y su área. No: a doble lado le corresponderá un área cuatro veces mayor.

El décimo de lotería:

20 € (lotería) → 2.000.000 € (premio)

1 € (lotería) → x (premio)→ 2.000.000 : 20 = 100.000 € se ganan por 1 €.

Las bolsas de caramelos:

25 bolsas → 15 € 13 bolsas: 13 ⋅ 0,60 = 7,80 €

1 bolsa → x €→ 15 : 25 = 0,60 €

20 bolsas: 20 ⋅ 0,60 = 12 €

dividimos 0,375 ⋅ 100 37,5 %

Porcentajes: a) Chicas morenas: 10 + 8 = 18 de 30 → 60 % b) Chicos: 12 de 30 → 40 %

Descuento: 150 ⋅ = 18 € → Precio: 150 − 18 = 132 €

Descuento: 125 ⋅ = 12,50 € → Precio: 112,50 impuestos: ⋅ 112,50 = 18

130,50 €1610010

10011

12100

10

9

38

8

{ } 7

}6

5

3

1266

=8

16

2 6

8 4= =

43

4

3

3596

38

2

5211

1

Peso 1,5 2,8 2,1 12

Precio 3 5,60 4,20 2,40


4

3

6

6

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Sistema Métrico Decimal


MAGNITUDES Y MEDIDAS

• Medidas de longitud. Unidades. Múltiplos y submúltiplos. Expresiones complejas e incomplejas.Relaciones. Reglas de cambio.

• Medidas de masa. Unidades. Múltiplos y submúltiplos. Expresiones complejas e incomplejas.Relaciones. Reglas de cambio.

• Medidas de superficie. Unidades. Múltiplos y submúltiplos. Expresiones complejas e incomplejas. Relaciones. Reglas de cambio.

• Medidas de capacidad. Unidades. Múltiplos y submúltiplos. Expresiones complejas e incomplejas. Relaciones. Reglas de cambio.

• Medidas de volumen. Unidades. Múltiplos y submúltiplos. Expresiones complejas e incomplejas. Relaciones. Reglas de cambio.

– Relación entre las unidades de volumen y capacidad.– Relación entre las unidades de volumen y masa.– Algoritmos para el cálculo del volumen de un cubo y de un ortoedro.

• Precisión de las mediciones: error en la medida y redondeo.


PRUEBA INICIAL

• En esta prueba se plantean actividades basadas enlos cambios de unidades con medidas de longitud,masa y capacidad. Aunque se seguirán trabajando alo largo de la unidad, se tendrán que comprobar lasconversiones: multiplicaciones, divisiones y opera-ciones con números decimales. El primer ejercicioconsistirá en completar un cuadro con las unidades,lo cual servirá, en relación con las unidades de capa-cidad y masa, para realizar actividades con aquellosalumnos que no hayan asimilado correctamente es-tos procedimientos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Las primeras cuestiones se refieren a la distinciónpor parte de los alumnos de las unidades y de lasmagnitudes. Las restantes cuestiones estudian uni-dades de superficie y volumen y su relación con lasde capacidad y masa mediante la densidad. No hayninguna cuestión sobre unidades de longitud, ya quese han trabajado en la etapa anterior.

8INTRODUCCIÓN

La mayoría de las unidades de medida que se presentanson conocidas por los alumnos, pero convendrá realizar un estudio sistemático, que incluya la memorización de todas las unidades que se estudien y las relacionesentre ellas.

Convendrá vigilar los errores que se cometen al escoger unidades para expresar magnitudes(longitudes expresadas en kilogramos, áreas y volúmenes expresados en metros, etc.). Desde un punto de vista procedimental, hay que asegurarsede que los alumnos aprendan a hacer las conversionesentre las diferentes unidades de una misma magnitud.Asimismo, conviene demorarse en las relaciones entre las unidades de superficie y volumen.


En la etapa anterior se han trabajado los conceptos de medida y alguna de las unidades de medida de longitud, capacidad y masa. En consecuencia, será necesario que los alumnos posean conocimientosprevios sobre lo siguiente.

• Realización de cambios de unidades de medida.

• Utilización de la unidad de medida más adecuada para cada situación.

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EVALUACIÓN INICIAL

Utilizando el cuadro de unidades, expresa estas cantidades en las unidades que se indican.

a) 312 dm en m

b) 1,435 km en cm

c) 17.893 mm en dm

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica.

a) En metros: 7 dm 6 mm

b) En centilitros: 7 hl 5 ¬

c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml

d) En gramos: 8 kg 6 hg 4 g 3 dg

e) En hectogramos: 7 g 4 dg

Completa para que se cumplan las igualdades.

8 dag 5 g dg = 8.530 cg

9 dam 5 dm cm 6 mm = 90.546 mm

7 kl dal 2 ¬ = 70,32 hl

Ordena, de menor a mayor, las longitudes, transformándolas en la misma unidad.

43.526 mm 435 dm 43 m 43,52 dam 0,4 hm 4,35 km

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

< < < < <

Un coche gasta aproximadamente 5 litros y medio de gasolina cada 100 km. Si tiene un depósito de 7 dal y se llena, averigua si podrá recorrer 1.300 km..

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4

3

2

1

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

km hm dam m dm cm mm

7,85 hm 7 8 5 → 785.000 mm

312 dm → m

1,435 km → cm

17.893 mm → dm

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Utilizando el cuadro de unidades, expresa estas cantidades en las unidades que se indican.

a) 312 dm en m

b) 1,435 km en cm

c) 17.893 mm en dm

Expresa las siguientes cantidades en la unidad que se indica.

a) En metros: 7 dm 6 mm 70,06 m

b) En centilitros: 7 hl 5 ¬ 70.500 cl

c) En litros: 8 dl 7 cl 5 ml 0,875 ¬d) En gramos: 8 kg 6 hg 4 g 3 dg 8.604,3 g

e) En hectogramos: 7 g 4 dg 0,074 hg

Completa para que se cumplan las igualdades.

8 dag 5 g dg = 8.530 cg

9 dam 5 dm cm 6 mm = 90.546 mm

7 kl dal 2 ¬ = 70,32 hl

Ordena, de menor a mayor, las longitudes, transformándolas en la misma unidad.

43.526 mm 435 dm 43 m 43,52 dam 0,4 hm 4,35 km

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

43.526 mm 43.500 mm 43.000 mm 435.200 mm 40.000 mm 4.350.000 mm

0,4 hm < 43 m < 435 dm < 43.526 mm < 43,52 dam < 4,35 km

Un coche gasta aproximadamente 5 litros y medio de gasolina cada 100 km. Si tiene un depósito de 7 dal y se llena, averigua si podrá recorrer 1.300 km.

Para recorrer 1.300 km se necesitarán: ⋅ 5,5 = 71,5 ¬; en consecuencia, no habrá suficiente

gasolina, puesto que el coche tiene un depósito de 70 litros.

1 300100.

5

4

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4

3

3

2

1

km hm dam m dm cm mm

7,85 hm 7 8 5 → 785.000 mm

312 dm 3 1 2 → 31,2 m

1,435 km 1 4 3 5 → 143.500 cm

17.893 mm 1 7 8 9 3 → 178,93 dm

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La principal unidad de capacidad es:

a) Gramo. b) Litro. c) Metro. d) Metro cúbico.

Para conocer la cantidad de lluvia caída por metro cuadrado se utilizan las unidades de:

a) Superficie. b) Capacidad. c) Longitud. d) Masa.

La principal unidad de volumen es:

a) Metro. b) Metro cuadrado. c) Metro cúbico. d) Litro.

Para conocer la distancia que hay entre la Tierra y el Sol se utilizan las unidades de:

a) Longitud. b) Superficie. c) Volumen. d) Capacidad.

La principal unidad de masa es:

a) Litro. b) Metro. c) Gramo. d) Kilogramo.

Para envolver un paquete necesitamos 180 cm2 de papel y 2,5 m de cuerda, y disponemos de estas cantidades de papel. ¿Cuál de ellas nos servirá para envolverlo?

a) 20 cm2 b) 2 dm2 c) 0,002 m2 d) 0,00002 dam2

Tenemos 4 rollos con las siguientes cantidades de cordel. ¿Qué rollo nos servirá para atar el paquete anterior?

a) 0,03 km b) 0,03 dam c) 30 cm d) 300 mm

¿Cuántas botellas de 500 cm3 necesitamos para vaciar un depósito de 2 m3 5 dm3?8

7

6

5

4

3

2

1Distinción entre medida y unidad de medida.

Reconocimiento y representación

de las unidades de longitud,capacidad, superficie,

masa y volumen.

Utilización de la unidad de medida más adecuada

a cada contexto.

Expresión del volumen de un cuerpo como las veces

que contiene a otro cuerpo,tomando este como unidad.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 3, 5

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 6, 7


• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 8, 9



SISTEMA MÉTRICO DECIMAL8826464 _ 0461-0466.qxd 12/2/07 15:59 Página 464


Calcula el volumen del siguiente cuerpo tomando el cubo U como unidad.

Una finca de 8 ha, 40 a y 25 ca se divide en dos partes. Si una de ellas tiene 30.000 m2, ¿cuánto mide la otra parte?

En una fábrica producen dos tipos de latas: de medio kilo y de 2 hg 5 dag. Si hay 5.000 latas de cada clase, ¿cuántas toneladas pesan en total?

Transforma 3 km2 4 hm2 5 m2 7 dm2 en cm2.

Tenemos un depósito de 3 m3 de agua mineral. ¿Cuántas botellas de litro y medio podemos llenar?

Una botella de 3 dm3 de agua de colonia se distribuye en frascos de 50 ml.¿Cuántos frascos se llenarán?

14

13

12

11

10

9Obtención de volúmenesmediante diferentes

procedimientos, contandodirectamente,

indirectamente o de forma experimental.

Paso de unas unidades en forma compleja a forma

incompleja, o viceversa, en cualquiera de las

magnitudes del SistemaMétrico Decimal.

Relación de las unidades de volumen

y las de capacidad.






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SISTEMA MÉTRICO DECIMAL



La respuesta correcta es c).


La respuesta correcta es c).



El depósito: Primero transformamos el volumen del depósito en cm3:

2 m3 5 dm3 → 2 ⋅ 1.000.000 + 5 ⋅ 1.000 = 2.005.000 cm3, y después dividimos esta cantidad entre 500, obteniendo: 4.010 botellas.

Volumen: Si consideramos la primera fila tenemos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 cubos; en la segunda fila:

1 + 2 + 3 = 6 cubos; en la tercera fila: 1 + 2 = 3 cubos, y en la última: 1 cubo. Por tanto, 10 + 6 + 3 + 1 = 20 cubos.

La finca: 8 ha 40 a 25 ca = 8 ⋅ 10.000 + 40 ⋅ 100 + 25 = 84.025 ca = 84.025 m2. La segunda parte medirá: 84.025 − 30.000 = 54.025 m2.

Las latas: Las latas de medio kilo: 100.000 ⋅ 0,5 = 50.000 kg. Las latas de 2 hg 5 dag: 0,25 kg: 100.000 ⋅ 0,25 = 25.000 kg. La suma total es 75.000 kg, que, dividido entre 1.000, son 75 toneladas.

Transformación:

3 km2 4 hm2 5 m2 7 dm2 = 7 ⋅ 100 + 5 ⋅ 10.000 + 4 ⋅ 100.000.000 + 3 ⋅ 10.000.000.000 = = 30.400.050.700 cm2

Otro depósito:

Utilizaremos factores de conversión:

3 m3 ⋅

Los frascos de colonia:

3 dm3 ⋅ 11 dm

1.000 ml1

1 frasco50 ml

60 frasc3

¬¬

⋅ ⋅ = oos

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1 000.1 m

1 botella1,5

2.000 botellas3

¬¬

⋅ =

13

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Ángulos y rectas


MAGNITUDES Y MEDIDAS

• Medida de la amplitud de ángulos. Noción de amplitud. Sistema sexagesimal. Unidades: grado, minuto y segundo. Relaciones entre ellos.

• Medida del tiempo. Noción de tiempo. Unidades. Relaciones. Expresión decimal y compleja de una medida de ángulos o de tiempo. Reglas de cambio.

ELEMENTOS Y ORGANIZACIÓN DEL PLANO

• Ángulo formado por dos semirrectas con origen común. Amplitud de un ángulo. Operaciones con ángulos: adición, sustracción, producto de un ángulo por un número y bisección.


PRUEBA INICIAL

• La prueba se compone de una serie de preguntas re-lativas a los ángulos, que fueron trabajadas en la eta-pa anterior. Además del tratamiento gráfico con laregla y el compás, se tendrán en cuenta aspectos denomenclatura, como, por ejemplo, los tipos de ángu-los: agudo, recto, obtuso, complementario y suple-mentario, así como las operaciones con los ángulos,principalmente la división.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• La prueba incluye al principio una serie de cuestio-nes teóricas (que se podrían ampliar) que se refieren

• a los distintos tipos de ángulos y su relación. Conti-núa con un par de cuestiones gráficas (de uso de re-gla y compás). Conviene que los alumnos hagan losejercicios y que también los razonen. El núcleo cen-tral de la prueba son las transformaciones de ángu-los y tiempo y las operaciones con ángulos.

• Conviene plantear problemas que sean próximos alalumno, como, por ejemplo, los ejercicios 10, 12 y 14.

9INTRODUCCIÓN

Por una parte, esta unidad continúa con el estudio de las medidas; y por la otra, trabaja elementos de la organización del plano, rectas y ángulos, que son básicos en Geometría.

Los alumnos tendrían que utilizar correctamente el vocabulario relativo a los ángulos.

El sistema sexagesimal puede suponer una dificultadimportante, ya que se trata de un sistema de numeración mixto. Su aplicación en el mundo realhace necesario su conocimiento. Por tanto, seráconveniente efectuar numerosos ejercicios con el finde asegurar su comprensión.


El concepto de ángulo ya es conocido por los alumnoscomo amplitud. Por tanto, las operaciones gráficas con ángulos no tendrían por qué suponer problema,dado su carácter manual. Los conocimientos que conviene revisar antes de comenzar el estudio de la unidad son:

• Operaciones gráficas con ángulos.

• Transformaciones sencillas de unidades de medidade ángulos.

• Trabajo de los ángulos con el transportador.

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EVALUACIÓN INICIAL

Dibuja un ángulo agudo, uno recto y otro obtuso.

Dibuja, mediante la regla y el transportador, dos ángulos de 30° y 110°. Ayudándote del compás, traza la bisectriz de los dos ángulos. Luego dibuja el ángulo suma y el ángulo diferencia.

Calcula el valor de los ángulos que se indican en las figuras.

Los dos ángulos son: Los dos ángulos son: Los dos ángulos son:

complementarios complementarios complementarios

suplementarios suplementarios suplementarios

Si cada radio de la rueda de tu bicicleta estuviera separado por un ángulo de 10°, ¿cuántos radios tendría la rueda?

Completa las frases.

a) El complementario de un ángulo de 30° vale _________________

b) Dos ángulos de 55° y 125° son _________________________

c) El suplementario de un ángulo de 110° vale __________________

d) Si trazamos la bisectriz de un ángulo de 30°, cada ángulo resultante vale ___________________

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ÁNGULOS Y RECTAS

45º

120º

30º

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Dibuja un ángulo agudo, uno recto y otro obtuso.

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso

Dibuja, mediante la regla y el transportador, dos ángulos de 30° y 110°. Ayudándote del compás, traza la bisectriz de los dos ángulos. Luego dibuja el ángulo suma y el ángulo diferencia.

Ángulo suma: 30º + 110º = 140º Ángulo diferencia: 110º − 30º = 80º

Calcula el valor de los ángulos que se indican en las figuras.

90º − 45º = 45º 180º − 120º = 60º 180º − 30º = 150º

Los dos ángulos son: Los dos ángulos son: Los dos ángulos son:

complementarios complementarios complementarios

suplementarios suplementarios suplementarios

Si cada radio de la rueda de tu bicicleta estuviera separado por un ángulo de 10°, ¿cuántos radios tendría la rueda?

Como la circunferencia tiene 360º, habrá = 36 radios.

Completa las frases.

a) El complementario de un ángulo de 30° vale 90° − 30° = 60º.

b) Dos ángulos de 55° y 125° son suplementarios.

c) El suplementario de un ángulo de 110° vale 180° − 110° = 70º.

d) Si trazamos la bisectriz de un ángulo de 30°, cada ángulo resultante vale 30° : 2 = 15º.

5

36010

4

XX

X

3

2

1

45º

120º

30º

30º

110º30º

110º

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Un ángulo de 135° es un ángulo:

a) Agudo b) Recto. c) Obtuso. d) Plano.

Un ángulo de 210° es un ángulo:

a) Cóncavo. b) Plano. c) Obtuso. d) Convexo.

El suplementario de un ángulo de 35° es un ángulo de:

a) 55º b) 65º c) 145º d) 165º

El complementario de un ángulo de 85° es un ángulo de:

a) 115º b) 95º c) 15º d) 5º

Un ángulo recto es el que mide:

a) 90º b) 180º c) 270º d) 360º

Dibuja un ángulo de 120° y otro de 30° y calcula de forma gráfica la suma y la resta de estos dos ángulos.

Dado el punto P exterior a una recta r, traza la perpendicular de P a r y explicacómo lo has hecho.

7

6

5

4

3

2

1Distinción de los diferentestipos de ángulos

y reconocimiento de las relaciones entre ellos.

Suma, resta, multiplicaciónpor un número y trazado

de la bisectriz de un ángulode forma gráfica.

Trazado de la perpendiculara una recta por un punto.

• Enumerar e identificar elementos .............................................................................................................. 1, 2, 5

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .....................................................................

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ............................................................ 3, 4, 13

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ..................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ................................................................................................... 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14


ÁNGULOS Y RECTAS

r

P

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En el triángulo ABC de la figura traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la bisectriz del ángulo A.

Expresa en segundos.

a) 2 h 32 min 14 s b) 14º 23’ 45” c) 27,654º

Un tren de viajeros realiza el recorrido de la ciudad A a la ciudad B. Si sale de la ciudad A a las 7 h 23 min 45 s y llega a la ciudad B a las 12 h 32 min,¿qué tiempo ha tardado?

Si tenemos un ángulo A� = 108º 13’ 40’’ y trazamos su bisectriz, ¿cuánto valecada uno de los ángulos en los que queda dividido el ángulo A�? ¿Cuánto medirá el ángulo triple de A� ?

Pablo hace un trabajo en 2 h 45 min y su hermana lo hace en 2/5 partes de este tiempo. ¿En cuánto tiempo hace el trabajo su hermana?

En la siguiente figura, el ángulo A� vale41º 30’. Calcula el valor del resto de ángulos.

El ganador de la vuelta ciclista ha empleado un tiempo de 105 h 43 min 12 s,mientras que el último clasificado ha empleado un tiempo de 107 h 12 min 7 s.¿Cuánto tiempo más ha empleado este finalista respecto del primero?

14

13

12

11

10

9

8Utilización de la regla, el compás y el transportador

de ángulos para realizardiferentes construcciones

geométricas.

Expresión, en el sistemasexagesimal, de amplitudes

de ángulos y de tiempo, así como sus

transformaciones.

Suma y resta de amplitudesde ángulos y tiempos

en el sistema sexagesimal.

Multiplicación y división de amplitudes de ángulos y tiempos por un número.

Resolución de problemas de la vida real

que impliquen operar con ángulos y tiempos.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 7, 8, 13





C

BA

ACB

D

EGF

HP

RO

PU

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A

C

B

E

F

r

s


ÁNGULOS Y RECTAS

La respuesta correcta es c). La respuesta correcta es c). La respuesta correcta es a).

La respuesta correcta es a). La respuesta correcta es d).

Suma y resta de ángulos:

Ángulo de 120º Ángulo de 30º Suma: 120º + 30º =150º Diferencia: 120º −30º = 90º

Perpendicular, mediante regla o cartabón y escuadra:

Mediatriz y bisectriz:

Mediatriz: con el compás trazamos dos arcos del mismo radio con centro en A y B. Uniendo los puntos de corte obtenemos la recta r.

Bisectriz: desde dos puntos, E y F (a igual distancia de A), trazamos dos arcos del mismo radio. Uniendo A con los puntos de corte obtenemos s.

Transformaciones: a) 2 h 32 min 14 s = 9.134 s b) 14º 23’ 45” = 51.825” c) 27,654º = 99.554,4”

Resta de tiempos: 12 h 32 min −7 h 23 min 45 s = 5 h 8 min 15 s

Producto y cociente de ángulos:

Dividimos entre 2: = 54º 6’ 50” Multiplicamos por 3: 3 ⋅ 108º 13’ 40” = 324º 41’

Pablo y su hermana: Tendremos que calcular las dos quintas partes del tiempo:

⋅ 2 h 45 min → = 1 h 6 min

Valor de los ángulos:

A� = 41º 30’ B� = 138º 30’ C� = 41º 30’ D� = 138º 30’ E� = 41º 30’ F� = 138º 30’ G� = 41º 30’ H� = 138º 30’

Los ángulos B� y D� son adyacentes; el ángulo C�, opuesto al vértice; el ángulo E�, correspondiente, y el ángulo H�, conjugado externo.

La vuelta: 107 h 12 min 7 s − 105 h 43 min 12 s = 1 h 28 min 55 s14

13

2 2 h 45 min 5 h 30 min⋅ =5 5

25

12

108º 13’ 40”2

11

10

9

8

7

6

42

531

120º

30º

150º

120º30º

120º

90º

30º

r

P


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Polígonos y circunferencia


GEOMETRÍA: Polígonos y circunferencia

– Elementos de un triángulo: lados, ángulos interiores y exteriores, vértices, alturas, mediatrices, bisectrices y medianas.

– Tipos de triángulos según sus lados y sus ángulos. – Propiedades elementales de los triángulos. – Baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro de un triángulo.

• Cuadriláteros. Elementos: lados, ángulos exteriores e interiores, vértices, alturas y diagonales. Tipos:paralelogramo, rectángulo, cuadrado, rombo y romboide. Propiedades: suma de los ángulos interiores.

• La circunferencia y el círculo.

• Tipos de polígonos según el número de lados. Polígonos regulares.

• Polígonos circunscritos e inscritos.

10INTRODUCCIÓN

Los polígonos están presentes en la vida cotidiana de los alumnos. Por tanto, este puede ser un punto de referencia a lo largo de la unidad. Reconocerlos,identificarlos y clasificarlos según los diferentescriterios constituye una actividad que realizarán con frecuencia, siendo este el mejor ejercicio paraponer en práctica los contenidos de la unidad.

Los contenidos conceptuales son conceptosgeométricos básicos (tipos de triángulos, teorema de Pitágoras) y relativos (posiciones relativas,perpendicularidad...). Todos ellos son fundamentales y no resultan sencillos, por lo que deberán trabajarsede la manera más conveniente. Los dibujosconstituirán la herramienta básica para su aprendizaje.

Una parte de la unidad se destina al estudio de las posiciones de dos circunferencias, puesto que el tratamiento de las construcciones geométricasse realiza a base de regla y compás.


En la etapa anterior se estudiaron las figuras planas:clasificación, medida de ángulos en polígonos,posiciones relativas de rectas y circunferencias,etcétera. La mayoría de los conceptos se vuelven a revisar y completar. Por ello convendría llevar a cabo una revisión de algunos aspectos básicos, como los siguientes.

• Clasificación de figuras, triángulos, polígonos…,según diferentes criterios.

• Identificación de figuras circulares.

• Estudio de los elementos característicos de lospolígonos o de otros cuerpos geométricos.


PRUEBA INICIAL

• Se ha optado por realizar una prueba sencilla, pues-to que se revisan cuestiones ya aprendidas. Asípues, se incide en la parte de vocabulario y en laidentificación de figuras.

• La prueba consiste en una serie de figuras que elalumno tiene que reconocer por su nombre segúnvarios criterios: tipos de ángulos y lados en un trián-gulo y polígonos. Se puede ampliar con otras pre-guntas referidas a perímetros, clasificación de otrospolígonos…, pero estas cuestiones se vuelven a revi-

• sar en la siguiente unidad, por lo que se ha optadopor otro tipo de preguntas más elementales.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• La prueba consta de una serie de preguntas sobre elvocabulario básico de la unidad. Es importante quelos alumnos expliquen, de manera escrita o verbal, loque hacen y cómo lo hacen. Esto rompe con la ideamecánica que suelen tener del proceso, ya que lesobligará a realizar un considerable esfuerzo mental.

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EVALUACIÓN INICIAL

Nombra estos polígonos y determina su número de vértices.

Escribe el nombre de cada triángulo según sus lados.

Dibuja estos triángulos.

a) Un triángulo isósceles y obtusángulo.

b) Un triángulo escaleno y rectángulo.

c) Un triángulo escaleno y obtusángulo.

Completa las siguientes frases.

a) Un cuadrilátero cuyos lados son paralelos se llama _____________________

b) Un cuadrilátero con los lados iguales se denomina _____________________

c) Un cuadrilátero con los ángulos iguales se llama _____________________

d) Un cuadrilátero con los lados y los ángulos iguales se denomina _____________________

e) Un polígono con ocho lados es un _____________________

Responde a estas cuestiones referidas a una circunferencia de radio 1 cm.

a) ¿Cuánto mide el diámetro?

b) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

5

4

3

2

1

POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

Nombre:Número de vértices:




Nombre: Nombre: Nombre:

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Nombra estos polígonos y determina su número de vértices.

Escribe el nombre de cada triángulo según sus lados.

Dibuja estos triángulos.

a) Un triángulo isósceles y obtusángulo.

b) Un triángulo escaleno y rectángulo.

c) Un triángulo escaleno y obtusángulo.

Completa las siguientes frases.

a) Un cuadrilátero cuyos lados son paralelos se llama paralelogramo.

b) Un cuadrilátero con los lados iguales se denomina rombo.

c) Un cuadrilátero con los ángulos iguales se llama rectángulo.

d) Un cuadrilátero con los lados y los ángulos iguales se denomina cuadrado.

e) Un polígono con ocho lados es un octógono.

Responde a estas cuestiones referidas a una circunferencia de radio 1 cm.

a) ¿Cuánto mide el diámetro? El diámetro es el doble del radio: 2 cm.

b) ¿Cuál es la longitud de la circunferencia? L = 2 ⋅ π ⋅ r = 6,28 cm

5

4

3

2

1

Nombre: Cuadrilátero.Número de vértices: 4.

Nombre: Pentágono.Número de vértices: 5.

Nombre: Triángulo.Número de vértices: 3.

Nombre: Hexágono.Número de vértices: 6.

Nombre: Equilátero. Nombre: Isósceles. Nombre: Escaleno.

Isósceles y obtusángulo Escaleno y rectángulo Escaleno y obtusángulo

a)a) b) c)

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Señala cuáles de las figuras son un polígono y, en los casos en que lo sean, indica el tipo de polígono en función del número de lados.

Un triángulo con los tres lados diferentes se denomina:

a) Equilátero. c) Isósceles.

b) Equiángulo. d) Escaleno.

Un triángulo con dos ángulos de 20° es un triángulo:

a) Equiángulo. c) Acutángulo.

b) Rectángulo. d) Obtusángulo.

Dos triángulos que poseen los mismos ángulos, ¿son siempre iguales? Razona tu respuesta.

En el triángulo ABC traza, mediante la regla y el compás, la mediatriz del lado AB y la altura trazada desde el vértice C.

Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de la figura.6

5

4

3

2

1Reconocimiento de los tipos de polígonos y clasificación

de un polígono según distintos criterios.

Clasificación de los triángulos e identificación de si son

o no iguales.

Trazado de la mediatriz de un segmento,

la bisectriz de un ángulo y la perpendicular a una

recta por un punto dado.

Construcción de la circunferencia inscrita

y de la circunscrita a un triángulo dado.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 1, 2, 9


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .....................................................................





a) b) c) d) e) f)

C

BA

C

BA

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Tenemos una caja rectangular plana de 1,1 m de largo y 0,8 m de ancho, y un bastón que tiene una longitud de 1 m y 40 cm. ¿Es posible introducir el bastón en la caja?

Razona cuáles de las afirmaciones son ciertas. En caso de que sean falsas, escribe la verdadera.

a) Un cuadrilátero con los cuatro lados iguales se llama rombo.

b) Un cuadrilátero que tiene los lados paralelos, dos a dos, es un trapezoide.

c) Un rectángulo no es un paralelogramo.

d) Un trapecio rectángulo tiene dos ángulos rectos.

Una circunferencia y una recta que se cortan en un punto son:

a) Secantes.

b) Tangentes.

c) Interiores.

d) Exteriores.

Los radios de dos circunferencias tangentes interiores miden 4 cm y 2 cm. Haz un dibujo y calcula la distancia a la que se encuentran sus centros.

Dibuja un pentágono regular y calcula el valor de:

a) Un ángulo central.

b) Un ángulo interior.

11

10

9

8

7Aplicación del teorema de Pitágoras en la resolución

de problemas geométricos y de la vida real.

Clasificación de un cuadrilátero

cualquiera.

Reconocimiento de las diferentes posiciones

que pueden tomar una rectay una circunferencia.

Diferenciación de las posiciones

que pueden adoptar dos circunferencias.

Determinación de si un polígono es regular,distinción de sus elementos

y cálculo del valor de su ángulo central

y de cada ángulo interior.


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 3, 6


• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 4, 7, 11


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Clasificación de polígonos por su número de lados:

La respuesta correcta es d).

La respuesta correcta es d).

Criterios de igualdad de los triángulos: Son parecidos pero no tienen por qué ser iguales.

Mediatriz y altura:

Mediatriz: trazamos con el compás dos arcos del mismo radio,con centro en A y en B. Uniendo los puntos de corte obtenemos la recta r.

Altura: se puede trazar con la regla y la escuadra, y como es paralela a la anterior, se puede trazar también con la regla y la escuadra o el cartabón, una vez se haya realizado la mediatriz.

Circunferencia circunscrita a un triángulo:Se trazan las mediatrices tal como se ha hecho en el ejercicio 8. El punto de corte será el circuncentro, y el radio, la distancia entre este punto y un vértice cualquiera.

La caja y el bastón: d = = 1,3601 m; por tanto, dado que el bastón es mayor, no es posible introducirlo en la caja.

Verdadero o falso: a) Verdadero. b) Falso. Es un paralelogramo.c) Falso. Sí lo es, ya que sus lados son paralelos. d) Verdadero.


Circunferencias tangentes interiores: La distancia entre los centros será de 2 cm.

El pentágono y sus ángulos:

El ángulo O� = 360º/5 = 72º y el ángulo C� = 540º/5 = 108º.

11

10

9

8

1 1 0 82 2, ,+7

6

5

4

3

2

1

a) b) c) d) e) f)

No polígono Pentágono Decágono Hexágono Cuadrilátero No polígono

A

C

B

r

s

C

BA H

d0,8 m

1,1 m

d

C C’

2 cm 4 cm

A

B

CD

Ed

O


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Perímetros y áreas


MEDIDA DE LONGITUD

• Algoritmos para el cálculo de longitudes: del perímetro de polígonos, de la longitud de la circunferencia y de la longitud de un arco de circunferencia.

MEDIDA DE SUPERFICIES

• Algoritmos para el cálculo de superficie: de un rectángulo, de un cuadrado, de un paralelogramo, de un triángulo, de un rombo en función de las diagonales, de un polígono regular y de un círculo, y de figuras circulares.


PRUEBA INICIAL

• La prueba plantea una serie de cuestiones básicas:clasificar ángulos, enumerar elementos de determi-nadas figuras geométricas, construir figuras geomé-tricas…, que se pueden considerar básicas para eldesarrollo de esta unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• La mayoría de las cuestiones tratan de la aplicaciónde fórmulas geométricas. Se pretende que, en algu-nos casos, se trabaje de forma inversa (ejercicio 4);en otros, se pide hallar en primer lugar los datos dela correspondiente fórmula (ejercicios 6, 8 y 10) o realizar primero algún cálculo o descomposición(ejercicios 3 y 12).

11INTRODUCCIÓN

Esta unidad presenta numerosos contenidosconceptuales y finaliza el estudio de la Geometría del plano en este curso.

En las fórmulas generales explicadas se deberá prestaratención al desarrollo de la intuición geométrica de los alumnos, y ajustar el nivel de las explicaciones de manera individualizada.

Las fórmulas de los perímetros y las áreas de las figuras planas geométricas deben ser conocidaspor cualquier adulto. No obstante, se puedenmemorizar o aprender los mecanismos necesariospara deducirlas. Es recomendable que los alumnosconsigan realizar ambas acciones, si bien resultadifícil. Por ello, hay que asegurarse de que tenganrecursos suficientes para utilizarlas en cualquiermomento de su vida.


Esta unidad finaliza el estudio de la Geometría plana y supone el máximo grado de abstracción para los alumnos. La importancia de la unidad recaeen los conceptos: fórmulas que los alumnos debenaprender y aplicar. Por otra parte, existe un vocabulario básico, tanto analítico como gráfico,que se ha ido desarrollando desde la Unidad 9 sobreelementos del plano y que los alumnos tienen que conocer perfectamente. En este sentido, podemos resumir dichos conocimientos previos en:

• Distinción y operación con diferentes tipos de ángulos.

• Enumeración y descripción de los elementos de las figuras geométricas.

• Construcción de figuras planas con el materialadecuado.

• Reconocimiento de polígonos regulares.• Conocimiento de la diferencia y la relación entre

circunferencia y círculo.

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EVALUACIÓN INICIAL

Dibuja los siguientes ángulos y clasifícalos según su valor. Calcula el ángulo suplementario.

El perímetro de un campo de fútbol tiene las siguientes medidas: 78 m de largo y 32 m de ancho. ¿Qué tipo de figura es? Halla su perímetro.

Dibuja un cuadrado de 2,4 cm de perímetro. ¿Cuánto mide su lado?

Dibuja un romboide, un trapecio rectángulo y un triángulo rectángulo. Señala las características de cada figura.

Romboide Trapecio rectángulo Triángulo rectángulo

Dibuja dos circunferencias de radio 3 cm y señala una semicircunferencia y un semicírculo, respectivamente.

5

4

3

2

1

PERÍMETROS Y ÁREAS

Ángulo de 30ºTipo: Ángulo suplementario:



Características: Características: Características:

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Dibuja los siguientes ángulos y clasifícalos según su valor. Calcula el ángulo suplementario.

El perímetro de un campo de fútbol tiene las siguientes medidas: 78 m de largo y 32 m de ancho. ¿Qué tipo de figura es? Halla su perímetro.

Dibuja un cuadrado de 2,4 cm de perímetro. ¿Cuánto mide su lado?

El valor del lado será la cuarta parte del perímetro, es decir: = 0,6 cm.

Dibuja un romboide, un trapecio rectángulo y un triángulo rectángulo. Señala las características de cada figura.

Dibuja dos circunferencias de radio 3 cm y señala una semicircunferencia y un semicírculo, respectivamente.

5

4

2 44,

3

2

1

Ángulo de 30ºTipo: Ángulo agudo.Ángulo suplementario: 150º.

Ángulo de 90ºTipo: Ángulo recto.Ángulo suplementario: 90º.

Ángulo de 135ºTipo: Ángulo obtuso.Ángulo suplementario: 45º.

Características: Cuadrilátero con lados paralelos e iguales dos a dos.

Características: Cuadriláterocon dos lados paralelos y dos ángulos rectos.

Características: Polígono de tres lados con un ángulo recto.

Romboide Trapecio rectángulo Triángulo rectángulo

32 m

78 m

P = 2 ⋅ (32 + 78) = 220 m

Semicircunferencia Semicírculo

30º90º 135º

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Dibuja dos circunferencias de 2 cm y 4 cm de radio y calcula sus longitudes. Si el radio de la segunda circunferencia es el doble que el de la primera, ¿cómo son entre sí las longitudes de ambas circunferencias?

¿Cuál es la longitud de un arco de 36° correspondiente a una circunferencia de 10 cm de radio?

Calcula la longitud de la curva.

La longitud del arco de una circunferencia de 10 cm de radio es 40 cm. ¿Cuál es la amplitud del arco?

Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 3 dam y 6 m.

Una parcela de forma rectangular está vallada mediante un alambre de 600 m de longitud. Si la parcela mide el doble de largo que de ancho, ¿cuál es su área?

Calcula el área de un rombo si sus diagonales miden 4 cm y 5 cm.7

6

5

4

3

2

1Cálculo de la longitud de una circunferencia.

Búsqueda de la longitud de un arco de circunferencia

expresada en grados.

Determinación del área de una figura según

la unidad de superficieutilizada.

Cálculo del área de un paralelogramo.

• Enumerar e identificar elementos ..................................................................................................................

• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. ........................................................................ 5, 6

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ...............................................................

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes .....................................................................................................

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ...................................................................................................... 1, 2, 3, 4, 9, 10, 12



3 cm

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La hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles mide 8 m. Calcula su área.

Una habitación tiene forma de trapecio rectángulo y sus medidas son las de la figura. Calcula su área.

Halla el área de un octógono regular si su lado mide 2 m y su apotema 2,41 m.

Calcula el área de la parte sombreada de la siguiente figura.

Obtén el área de la figura a partir de sus longitudes.12

11

10

9

8Búsqueda del área de un triángulo

y de un trapecio.

Cálculo del área de un polígono regular.

Determinación del área de un círculo.

Cálculo del área de un polígono irregular

mediante sudescomposición en otras

figuras más sencillas.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 1, 6, 7, 8, 11



• Deducir, formular hipótesis, generalizar, etc. ......................................................................................................... 3, 5


9 m

8 m

10,5 m

4 m

5 cm

6 cm3 cm

3 cm3,5 cm

3 cmP

RO

PU

ES

TAS

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EVA

LUA

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Dos circunferencias:

Arcos de circunferencia: L1 = · 10 = 6,28 cm L2 = 3 · 10 = 30 cm

Arcos de circunferencia:

Son 3 semicircunferencias de radio 0,5 cm. Por tanto, la longitud será: L = 3 · π · r = 3 · 3,14 · 0,5 = 4,71 cm

Al revés: L = 40 = · n → n = = 229,3º = 229º 17’ 58’’

Área de un cuadrado: El lado será del perímetro: = 9 m, y el área del cuadrado, A = 81 m2.

Área de un rectángulo:

P = 2(x + 2x) = 6x = 600 → x = 100 m → A = 100 · 200 = 20.000 m2

Área de un rombo: = 10 cm2

Área de un triángulo: x2 + x2 = 64 → x2 = 32 → x = 5,65 cm

16 cm2

Área de la habitación: Se calcula el área del trapecio: · 8 = 78 m2.

Área de un polígono regular: Se aplica la fórmula: 19,28 m2.

Área del recinto sombreado: Se restan las áreas de ambos recintos: A = 42 − π · 22 = 3,43 cm2.

Área de un polígono irregular: Aunque se puede hacer de varias maneras, lo más sencillo es calcular el área del rectángulo y restarle luego el área de los triángulos sombreados:

A = (15,5 · 5) − = 64 m23 32

6 32

⋅ + ⋅

12

11

AP a= ⋅ = ⋅ ⋅ =

22 8 2 41

2,

10

AB b

h= + ⋅ = +2

10 5 92

,9

Ax x= ⋅ =2

8

AD d= ⋅ = ⋅

24 5

27

6

3 dam 6 m4

=364

14

5

40 36020 3 14

⋅⋅ ,

2 10360⋅ ⋅π

4

3

2 36360

⋅ ⋅π2

1

r = 2 cm R = 4 cm

C C’

L = 2πr = 2 · 3,14 · 2 = 12,56 cm

L’ = 2πR = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm → L’ = 2 L

2x

x

5 cm

6 cm3 cm

3 cm3,5 cm

3 cm

8

x

x


11826464 _ 0479-0484.qxd 12/2/07 16:09 Página 484


Poliedrosycuerposderevolución


GEOMETRÍA: Elementos y organización del espacio

• Posiciones relativas entre rectas y planos en el espacio: incidencia y paralelismo.

• Poliedros: elementos, caras, aristas, vértices y ángulos.

– Ortoedros, cubos y prismas.– Pirámides.– Poliedros regulares.

• La esfera, el cilindro y el cono. Elementos de la esfera: centro y radio. Elementos del cilindro: radio, altura y generatriz. Elementos del cono: radio de la base, altura y generatriz.


PRUEBA INICIAL

• Se trata de una prueba práctica en la que se trabajanlos cuerpos geométricos: prismas, pirámides, conos,esferas y cilindros, y algunos de sus elementos, asícomo los planos, con el fin de comprobar hasta quépunto los alumnos tienen asimilados estos conceptosy cómo realizan sus dibujos.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Conviene que esta primera aproximación a la Geo-metría espacial se produzca de forma intuitiva, conel objetivo de que el alumno desarrolle su visión es-pacial. En consecuencia, convendría plantear pre-guntas como el ejercicio 4, un desarrollo de dibujospara obtener alzados, plantas y perfiles de figurascompuestas como son los policubos, y el proceso in-verso (ejercicios 6 y 7). Es preciso insistir en cuestio-nes importantes, como los poliedros o la fórmula deEuler (tres primeras cuestiones).

12INTRODUCCIÓN

En esta unidad los alumnos tienen que desarrollar suintuición geométrica del espacio, que es más complejaque la del plano. El planteamiento debe ser práctico, por lo que la construcción de los principales cuerposgeométricos (de manera coordinada con el área de Plástica) puede ser muy útil.

Respecto a la parte conceptual, es esencial el conocimiento de los diversos tipos de poliedros,prismas y pirámides, así como de sus elementos, la posición relativa de planos y rectas y los elementos de cuerpos redondos.

En la parte procedimental se estudiarán los desarrollosplanos de cuerpos.


Durante el último curso se habían introducidocontenidos relativos a los cuerpos geométricos. Será oportuno revisar los conocimientos de los alumnossobre el tema. Así pues, esos conocimientos previos,básicamente procedimentales y de construcción, son los siguientes.

• Reconocimiento y construcción de figuras en el espacio a partir de su desarrollo.

• Dibujo de cuerpos geométricos a partir de suspropiedades.

• Clasificación de figuras en el espacio a partir de sus elementos.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 485

Dibuja los siguientes cuerpos geométricos.

a) Posee dos bases y es circular: c) Dispone de cuatro caras triangulares:

b) Presenta nueve aristas y seis vértices: d) No es posible su desarrollo en el plano:

Escribe el nombre de cada figura y señala el elemento indicado.

Nombre: Nombre:

Base Cara superior

Nombre: Nombre:

Radio Aristas laterales

Indica a qué figuras corresponden los siguientes desarrollos y dibújalas.

Figura: Dibujo: Figura: Dibujo:

3

2

1


EVALUACIÓN INICIAL

POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN12826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 486



Dibuja los siguientes cuerpos geométricos.

a) Posee dos bases y es circular: Cilindro. c) Dispone de cuatro caras triangulares: Tetraedro o pirámide triangular.

b) Presenta nueve aristas y seis vértices: d) No es posible su desarrollo en el plano: Esfera.Prisma triangular.

Escribe el nombre de cada figura y señala el elemento indicado.

Nombre: Pirámide pentagonal. Nombre: Cubo.

Base Cara superior

Nombre: Esfera. Nombre: Prisma oblicuo.

Radio Aristas laterales

Indica a qué figuras corresponden los siguientes desarrollos y dibújalas.

Figura: Prisma hexagonal. Dibujo: Figura: Cono. Dibujo:

3

2

1

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

487

FFF

FF

826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 487



Completa las siguientes definiciones.

a) Un poliedro es un sólido limitado por caras en forma de ___________

b) Las aristas de un poliedro son los lados comunes de dos ___________

c) Los vértices son los puntos en que se unen más de _______ caras.

d) Los poliedros regulares tienen todas sus ________ iguales.

Cuenta el número de caras, aristas y vértices de los poliedros y completa la tabla.

Si el número de aristas de un poliedro es 24 y posee 12 caras, ¿cuántos vértices tiene?

3

2

1Reconocimiento de los elementos de

un poliedro y distinción de los poliedros regulares.

Aplicación de la relación de Euler para resolver

problemas.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 1, 4, 5, 6

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 4

• Extrapolar, deducir e inferir reglas o leyes ........................................................................................................... 2, 3

• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 2, 3


POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN

(1)

(2)

(3)

Poliedros (1) (2) (3)

Caras

Aristas

Vértices

12826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 488


Dibuja un cubo y considera sus caras como si fuesen planos y sus aristas como rectas ilimitadas.

a) Dibuja dos rectas que sean paralelas.

b) Traza dos rectas que se crucen.

c) Dibuja un plano y una recta contenida en este plano.

d) Traza dos planos paralelos.

Observa el prisma, clasifícalo según su base y la relación entre las aristas laterales y las aristas básicas. Después, señala los elementos siguientes: la base superior y la cara anterior.

Dibuja un cono y señala su vértice, su generatriz y su altura.6

5

4Diferenciación de las posiciones

de dos rectas, dos planos y una recta y un plano

en el espacio.

Distinción de los elementosde un prisma.

Reconocimiento de los diferentes tipos

de prismas y pirámides y de sus elementos

principales.

Distinción de los cuerposredondos y sus elementos.

• Clasificar y discriminar según criterios ................................................................................................................... 5





Tipo de prisma (según la base):

Tipo de prisma (según la posición de las aristas):

Base superior:

Cara anterior:

A B C

H

IJ

F

E D

G

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

489

826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 489


POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Conceptos:

a) Un poliedro es un sólido limitado por caras en forma de polígonos.

b) Las aristas de un poliedro son los lados comunes de dos caras.

c) Los vértices son los puntos en que se unen más de dos caras.

d) Los poliedros regulares tienen todas sus caras iguales.

La fórmula de Euler:

Los vértices de un poliedro: C + V = A + 2 → V = A + 2 − C = 24 + 2 − 12 = 14

Posiciones de rectas y planos:

Tipo de prisma (según la base): Pentagonal.Tipo de prisma (según la posición de las aristas): Recto.

Base superior: ABCDE.

Cara anterior: EDIJ.

El cono: 6

5

4

3

2

1

a) b) c) d)

h

(altura)

V (vértice)

g (generatriz)

(1) (2)

(3)


Poliedros (1) (2) (3)

Caras 8 8 12

Aristas 18 12 20

Vértices 12 6 10

12

F

826464 _ 0485-0490.qxd 12/2/07 16:11 Página 490


Funciones y gráficas


FUNCIONES: Dependencia entre variables

• Coordenadas cartesianas. Características: ejes perpendiculares. Unidades de medida. Coordenadas.Simetrías respecto de los ejes de coordenadas o respecto a puntos (origen).

• Funciones: dependencia y conceptos asociados. Concepto de variable y de dependencia. Relacionesentre los valores de dos variables. Diferentes maneras de expresar la dependencia funcional: fórmulas,tablas de valores, frases, etc. Representación gráfica de una función en coordenadas cartesianas. Tablas de valores.


PRUEBA INICIAL

• Esta prueba consiste en la realización de cuestionessobre coordenadas y simetrías en el plano, expresio-nes numéricas y algebraicas y proporcionalidad. Todos estos puntos son básicos para entender los con-ceptos de las funciones en esta primera aproximación.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• No hay ninguna cuestión sobre las coordenadas po-lares, pues no son del nivel de este curso. No obs-

• tante, se pueden trabajar en el ejercicio 2, hallandolas coordenadas de algunos puntos. La parte másimportante de la unidad corresponde a las cuestio-nes 4 y 7, donde aparece un gráfico de proporciona-lidad directa. Aunque este ejercicio se podría efec-tuar también mediante gráficos de proporcionalidadinversa, siempre resultan más difíciles para los alum-nos. Lo mismo sucede con la cuestión 6, que permi-te comparar dos gráficas.

13INTRODUCCIÓN

Esta unidad constituye una introducción a larepresentación gráfica de funciones. No se pretendehacer un tratamiento exhaustivo, sino más bien unaaproximación de tipo intuitivo. Se trata, básicamente,de que los alumnos se familiaricen con los sistemas decoordenadas y la interpretación de gráficos.

Realizar una interpretación correcta de gráficos es muyimportante, y para ello se pueden utilizar algunosgráficos extraídos de los periódicos. Los alumnosdeberían dominar la «traducción» del lenguaje usual al algebraico y también al gráfico, según lascaracterísticas del problema. La confección de gráficossencillos se tendría que manejar sobre todo en el casode las funciones de proporcionalidad directa.


Hay una serie de cuestiones que conviene repasarantes de comenzar el estudio de la unidad: por un lado, las coordenadas en el plano; y por el otro,los conceptos de proporcionalidad directa e inversa, y la traducción del lenguaje cotidiano o algebraico al gráfico:

• Localizar puntos y representar puntos en unos ejesde coordenadas.

• Determinar si dos magnitudes dependen entre sí y si son directa o inversamente proporcionales.

• Expresar relaciones aritméticas o geométricasempleando el lenguaje algebraico.

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 491


EVALUACIÓN INICIAL

Escribe las coordenadas del pentágono de la figura.

Sobre unos ejes de coordenadas dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A(2, 3), B(5, −1)y C(1, −5) y sus ejes simétricos respecto del eje Y.

Escribe en lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3.

b) El triple de la de entre 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3.

c) La tercera parte de la suma de 5 y 4, más la cuarta parte del doble de la suma de 6, 7 y 5.

Escribe una expresión algebraica que represente los siguientes enunciados.

a) El precio de la camisa A es el triple del de la camisa B.

b) Juan tiene tres años más que Enrique.

c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura.

Indica si existe o no proporcionalidad entre los siguientes pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su área.

b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios construidos.

c) La edad de una persona y la de su padre.

Esta tabla relaciona directamente el peso (en kilogramos) de melocotones y su precio (en euros). Determina los valores que faltan.

6

5

4

3

2

1

FUNCIONES Y GRÁFICAS

Peso 1,5 2,8 12

Precio 3 4,20

Y

X

E

D

CB

A

13826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 492



Escribe las coordenadas del pentágono de la figura.

Sobre unos ejes de coordenadas, dibuja un hexágono cuyos vértices sean los puntos A(2, 3), B(5, −1) y C(1, −5) y sus ejes simétricos respecto del eje Y.

Escribe en lenguaje algebraico las afirmaciones y calcula su valor.

a) El doble de 15 menos 3. 2 ⋅ 15 − 3 = 30 − 3 = 27

b) El triple de la diferencia de 8 y 5, menos el triple de la suma de 4 y 3.3(8 − 5) − 3(4 + 3) = 9 − 21 = −12

c) La tercera parte de la suma de 5 y 4, más la cuarta parte del doble de la suma de 6, 7 y 5.

⋅ (5 + 4) + ⋅ 2 ⋅ (6 + 7 + 5) = 3 + ⋅ 2 ⋅ 18 = 3 + 9 = 12

Escribe una expresión algebraica que represente los siguientes enunciados.

a) El precio de la camisa A es el triple del de la camisa B. y = 3x, donde y es el precio de la camisa Ay x el de la camisa B.

b) Juan tiene tres años más que Enrique. y = x + 3, donde y es la edad de Juan y x la de Enrique.

c) El área del triángulo es la mitad de la base por la altura. A =

Indica si existe o no proporcionalidad entre los pares de magnitudes. En caso afirmativo, señala si son directa o inversamente proporcionales.

a) El lado de un cuadrado y su área. No son proporcionales.

b) El número de obreros de una empresa de construcción y el número de edificios construidos. No son proporcionales.

c) La edad de una persona y la de su padre. No son proporcionales.

Esta tabla relaciona directamente el peso (en kilogramos) de melocotones y su precio (en euros). Determina los valores que faltan.

6

5

B h⋅2

4

14

14

13

3

2

1

Peso 1,5 2,8 2,1 12

Precio 3 5,60 4,20 24

Y

X

Y

X

A

BC

D

A (3, 0)

B (2, 4)

C (−3, 3)

D (−5, −2)

E (2, −4)

A (2, 3) → A’ (−2, 3)

B (5, −1) → B’ (−5, 1)

C (1, −4) → C’ (−1, −4)

E

A

B

C

A’

B’

C’

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

493

826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 493



Dibuja un plano con coordenadas y representa los puntos A(4, 0), B(3, 3), C (0, 5), D(−3, 3), E (−4, 0), F (−4, −4) y G(4, −4 ). Únelos entre sí en ese orden. ¿Qué figura se obtiene?

Escribe las coordenadas de los puntos del gráfico y responde.

a) ¿Qué punto hay en el cuarto cuadrante? b) ¿Cuál es el punto simétrico de A respecto del eje X?c) ¿Y el punto simétrico de C respecto del origen?d) ¿Y el punto simétrico de D respecto del eje Y?

En el gráfico se representan los perímetros y las áreas de las siguientes figuras.

(1) Un cuadrado de 1 cm de lado.(2) Un círculo de 1 cm de radio.(3) Un triángulo equilátero de 1 cm de lado.(4) Un rombo de 2 cm y 1 cm de diagonales.(5) Un hexágono de 1 cm de lado.

Señala en cada caso a cuál corresponde cada punto.

3

2

1Localización de puntos y representación en el plano

utilizando las coordenadascartesianas.

Búsqueda de lascoordenadas de los puntos

simétricos de un punto dadorespecto de los ejes

y respecto del origen.

Interpretación de gráficos de puntos y líneas,

analizando la informaciónque contienen.

• Enumerar e identificar elementos ........................................................................................................................ 3


• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. ..................................................................... 1, 2, 3


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 3



Y

X

Área

Perímetro

0

1

2

3

Y

1 2 3 4 5 6

X

(1) →

(2) →

(3) →

(4) →

(5) →

a)

b)

c)

d) D’( , )

C ’( , )

A’( , )

A

BC

D

E

A

B

C

D

E

13826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 494


En una estación meteorológica se registran las diferentes temperaturas a lo largode un día. El siguiente gráfico es el registro de la temperatura de un día de invierno.

a) ¿Cuántas horas ha estado la temperatura bajo 0 °C?

b) ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál es esta temperatura?

c) ¿En qué tramo decrece la temperatura?

Disponemos de 60 cm de alambre y queremos construir un rectángulo de diferentes dimensiones. Sabemos que si es muy largo tendrá que ser muy estrecho, y viceversa. Haz una tabla con tres columnas en las que se recojan labase, la altura y el perímetro en cada caso y representa estos datos en un gráfico.

En la tabla se reproduce la temperatura de una persona enferma durante la mañana de dos días consecutivos.

a) Haz un gráfico que recoja las temperaturas de ambos días.

b) ¿Cuál es la temperatura máxima de cada día? →

c) ¿En qué momentos tiene la misma temperatura? →

6

5

4

Trabajo con la expresiónalgebraica, la tabla

y el gráfico de una función, y paso de unas a otras.

Comparación de gráficosrepresentados sobre

los mismos ejes y contrastede su información.

• Clasificar y discriminar según criterios ...................................................................................................................

• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 4, 5

• Combinar, componer datos y resumir, etc. ............................................................................................................. 6



Hora 6 7 8 9 10 11 12

Día 1 37,6 37,8 38,5 38,8 38,9 39,5 38,4

Día 2 37,5 37,8 38,6 38,4 38,3 38 37,6

�4 °C

3

Temperatura

96

A

�2 °C

2 °C

4 °C

6 °C

12 15 18 21 24

Hora

PR

OP

UE

STA

S D

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VALU

AC

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495

826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 495



El plano y la figura: Se trata de un heptágono.

Coordenadas de un gráfico: a) B(1, −3) b) A(3, 2) → A’ (3, −2) c) C (−4, −2) → C’(4, 2) d) D(−2, 4) → D’(2, 4)

Gráfico de perímetros y áreas: (1) → D (2) → A (3) → E (4) → C (5) → B

El registro de las temperaturas: a) De 0 a 2 horas y de 22 a 24 horas hay un total de 4 horas. b) Máxima: a las 13 horas, cuando la temperatura era de 6 °C. c) La temperatura decrece desde las 13 hasta las 24 horas.

Alambre:

Comparación de gráficos:

a)

b) Temperatura máxima del 1.er día → ; máxima del 2.o día → .

c) Igual temperatura → a las 7 h y a las 8 h 15 min (aprox.)

38,6°39,5°

6

5

4

3

2

1

Base (x)

1

2

3

5

10

15

20

25

28

Altura (y)

29

28

27

25

20

15

10

5

2

Perímetro

60

60

60

60

60

60

60

60

60

Y

X

30

25

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

Y

X

39,5

39

38,5

38

37,5

6 7 8 9 10 11 12

Día 1 Día 2Máximo

día 1

Máximo día 2


A

BC

D

E

F G

Y

X

13826464 _ 0491-0496.qxd 12/2/07 16:12 Página 496


Probabilidad


PROBABILIDAD

• Experimentos aleatorios. Concepto. Experimentos aleatorios y sucesos.

• Probabilidad. Conceptos y leyes básicas. Concepto de probabilidad de un suceso elemental.Introducción a la regla de Laplace.


PRUEBA INICIAL

• La prueba inicial consiste en una serie de preguntasque introducen a los alumnos en el estudio de la es-tadística descriptiva y la probabilidad. Estos ejerci-cios pretenden acercar al alumno a cuestiones muyintuitivas que puedan servir de nexo de la unidad.

PRUEBA DE LA UNIDAD

• Se comienza distinguiendo entre situaciones aleato-rias y deterministas. La parte de probabilidad se ba-sa sobre todo en la asignación de probabilidadesmediante la aplicación de la regla de Laplace. Los úl-timos ejercicios pueden resultar más complicados,puesto que los alumnos tienen que construir diagra-mas de árbol.

14INTRODUCCIÓN

Esta unidad no está estructurada en el resto de contenidos del libro, por eso se puede trabajar a conveniencia del profesor y en función de la clase.

La estadística y la probabilidad son dos de las ramasmás aplicadas del ámbito de las Matemáticas. Los periódicos utilizan numerosas encuestas, datos y gráficos estadísticos, y la probabilidad se aplicatambién en juegos. Debe potenciarse este aspecto,dado que esos factores motivarán a los alumnos y les permitirán la experimentación directa a un nivelsencillo.

En este curso se hace una breve introducción a la probabilidad. Es recomendable mostrar a los alumnos de qué manera las frecuencias relativasse acercan a la probabilidad cuando se lleva a cabo un número elevado de experimentos.


Esta unidad ya se trabajó en la etapa anterior. Los conocimientos previos que los alumnos debentener, respecto a porcentajes y probabilidad, son los siguientes.

• Cálculo de porcentajes en diferentes situaciones.

• Reconocimiento de sucesos seguros, posibles e imposibles.

• Aplicación del cálculo de probabilidades en problemas sencillos.

PR

OP

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STA

S D

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EVALUACIÓN INICIAL

Una jugadora de baloncesto consigue los siguientes puntos durante las dos fases de un torneo de seis partidos:

• 1.ª fase de clasificación (cuatro partidos): 10, 12, 8 y 15 puntos.

• 2.ª fase (semifinal y final): 20 y 16 puntos.

a) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en la final respecto de la segunda fase?

b) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en el último partido respecto de los demás partidos jugados?

El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos han obtenido han sido: 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 8, 9, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 6 y 8.

Completa una tabla con las calificaciones y sus frecuencias.

Indica si estos sucesos son un suceso seguro, posible o imposible.

a) Al lanzar una moneda sale un tres.

b) Al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 sale un número menor que 7.

c) Al extraer una carta de una baraja española salen espadas.

d) Al lanzar un palillo hacia arriba cae de punta.

e) Al extraer una carta de una baraja de póquer sale el nueve de copas.

f) Al salir a la calle, la primera persona que vemos es una chica.

Juan y Laura juegan a adivinar el número que saldrá en un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Juan apuesta a que saldrá el 2 o el 4, y Laura a que saldrá el 6. ¿Quién crees que tiene más posibilidades de ganar?

4

3

2

1

PROBABILIDAD14826464 _ 0497-0504.qxd 12/2/07 16:17 Página 498



Una jugadora de baloncesto consigue los siguientes puntos durante las dos fases de un torneo de seis partidos:

• 1.ª fase de clasificación (cuatro partidos): 10, 12, 8 y 15 puntos.

• 2.ª fase (semifinal y final): 20 y 16 puntos.

a) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en la final respecto de la segunda fase?

b) ¿Qué porcentaje de puntos ha obtenido en el último partido respecto de los demás partidos jugados?

El total de puntos ha sido 81: 45 en la primera fase y 36 en la segunda.

a) ⋅ 100 → 44,44 %

b) ⋅ 100 → 19,75 %

El profesor de Matemáticas ha puesto una prueba a sus alumnos y las calificaciones que estos han obtenido han sido: 5, 6, 7, 6, 4, 5, 7, 8, 9, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 5, 4, 5, 5, 4, 4, 6 y 8.

Completa una tabla con las calificaciones y sus frecuencias.

Indica si estos sucesos son un suceso seguro, posible o imposible.

a) Al lanzar una moneda sale un tres. Posible.

b) Al lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 sale un número menor que 7. Seguro.

c) Al extraer una carta de una baraja española salen espadas. Posible.

d) Al lanzar un palillo hacia arriba cae de punta. Imposible.

e) Al extraer una carta de una baraja de póquer sale el nueve de copas. Imposible.

f) Al salir a la calle, la primera persona que vemos es una chica. Posible.

Juan y Laura juegan a adivinar el número que saldrá en un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Juan apuesta a que saldrá el 2 o el 4, y Laura a que saldrá el 6. ¿Quién crees que tiene más posibilidades de ganar?

En el caso de Juan, la probabilidad de obtener un 2 o un 4 es de , mientras que la probabilidad

de Laura es de . Por tanto, Juan tiene más posibilidades de ganar.16

26

4

3

2

1681

1636

1

Calificaciones 2 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia 1 0 5 6 4 4 3 2

PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

499

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Señala los experimentos aleatorios o deterministas y escribe todos los resultadosposibles.

a) En un partido de fútbol, observar el resultado del lanzamiento de un penalti:

Resultados posibles →

b) Sacar dos bolas de una bolsa donde hay bolas blancas, amarillas y negras:


c) Tirar una piedra desde una altura de 1 m y observar el tiempo que tarda

en caer:


d) Lanzar al aire dos monedas y observar el resultado:


Considera el experimento de lanzar un dado y responde.

a) El experimento, ¿es determinista o aleatorio?

b) ¿En qué consiste el suceso «Obtener un número par»?

En una bolsa tenemos 3 bolas azules, 2 bolas amarillas y 4 bolas negras.

a) Determina la probabilidad de obtener 1 bola negra.

b) Calcula la posibilidad de obtener 2 bolas negras seguidas.

En una bolsa tenemos 4 bolas blancas, 7 azules y 6 negras. Calcula la probabilidad de sacar una bola.

Blanca → Azul → Negra →

4

3

2

1Reconocimiento de situaciones de

incertidumbre y experimentos aleatorios.

Cálculo de probabilidades de acontecimientos sencillos

aplicando la regla de Laplace.


• Definir, completar y seleccionar propiedades, relaciones, etc. .............................................................................. 2

• Transformar, distinguir, asociar e interpretar datos, relaciones, etc. .....................................................................


• Aplicar, demostrar, estimar, resolver, etc. ............................................................................................................ 4, 5, 6, 7


PROBABILIDAD14826464 _ 0497-0504.qxd 12/2/07 16:17 Página 500


En una baraja española (de 40 cartas), calcula la probabilidad de sacar.

El 3 de copas →

Espadas →

Un as →

En una caja tenemos 5 calcetines de color blanco y 8 negros. Sacamos dos calcetines seguidos. Calcula la probabilidad de que:

a) Los dos sean blancos.

b) El primero sea blanco y el segundo negro.

c) Ambos sean de color diferente.

Lanzamos al aire dos dados. Halla la probabilidad de que salgan:

a) Dos números 5.

b) Dos números diferentes.

c) Dos números pares.

7

6

5

Utilización del diagrama de árbol para contar casos

favorables y casos posibles.


• Contrastar operaciones, relaciones, etc. ................................................................................................................. 3, 5, 6, 7




PR

OP

UE

STA

S D

E E

VALU

AC

IÓN

501

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PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios:

a) Aleatorio: Gol-No gol.

b) Aleatorio: B-B, B-A, B-N, A-B, A-A, A-N, N-B, N-A, N-N.

c) Determinista. En las mismas condiciones el tiempo es el mismo.

d) Aleatorio: CC, CX, XC y XX.

Lanzamiento de un dado:

a) Es aleatorio.

b) Es un suceso compuesto por los sucesos: {2, 4, 6}.

La bolsa:

a) P (negra) = es la probabilidad de obtener 1 bola negra.

b) P (negra) = es la posibilidad de obtener 2 bolas negras seguidas.

Sacar una bola de una bolsa: Blanca → Azul → Negra →

La baraja española: P(3 copas) = P(espadas) = P(as) =

Sacar calcetines:

a) P (B, B) =

b) P (B, N) =

c) P (diferente color) = P (B, N) + P (N, B) =

Probabilidad: La probabilidad de obtener un número cualquiera es .

a) P (5, 5) =

b) P (diferentes números) =

c) P (par, par) = 12

12

14

⋅ =

156

56

⋅ =

16

16

136

⋅ =

16

7

513

812

813

512

80156

2039

⋅ + ⋅ = =

513

812

40156

⋅ =

513

412

20156

⋅ =

6

110

14

140

5

617

717

417

4

49

38

16

⋅ =

49

3

2

1

B4/12

5/13

8/13

7/12

5/12

8/12

BN

B

N

N


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Queda prohibida, salvo excepción prevista en la ley, cualquier forma de reproduc-ción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contarcon la autorización de los titulares de la propiedad intelectual. La infracción de losderechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad inte-lectual (artículos 270 y siguientes del Código Penal).

© 2007 by Santillana Educación, S. L.Torrelaguna, 60. 28043 MadridPRINTED IN SPAINImpreso en España por

ISBN: 978-84-294-0716-7CP: 826464Depósito legal:

Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico:Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTAInteriores: Rosa María Barriga

Ilustración: José María Valera

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Ángel García Encinar

Coordinación técnica: Félix RotellaConfección y montaje: Pedro Valencia, Luis González, Marisa Valbuena

Corrección: Marta Rubio, Ángeles San Román, Gerardo Z. GarcíaDocumentación y selección fotográfica: Nieves Marinas

Fotografías: D. López; GARCÍA-PELAYO/Juancho; GOYENECHEA; I. Rovira; J. C. Muñoz/'InstitutoGeológico y Minero de España'; J. Jaime; J. L. G. Grande; J. Lucas; J. V. Resino; KAIBIDE DE CARLOSFOTÓGRAFOS; Krauel/COLECCIÓN DEL MUSEO CAPITOLINO; Michele di Piccione; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK;COVER/SYGMA/Patrick Bordes; DIGITALVISION; EFE; EFE/SIPA-PRESS/Mohammed El Dakhakhany;HIGHRES PRESS STOCK/AbleStock.com; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; LOBO PRODUCCIONES/C. Sanz; MUSEUM ICONOGRAFÍA/J. Martin; PHOTODISC; ROGER-VIOLLET; BIBLIOTECA NACIONAL,MADRID/Laboratorio Biblioteca Nacional; FUNDACIÓN MUSEO DE LAS FERIAS, MEDINA DEL CAMPO;INSTITUTO FRANCÉS; J. E. Casariego; MATTON-BILD; MUSEO DE LA CENTRAL ELÉCTRICAMONTEMARTINI; MUSEO DE MALLORCA; Nokia Corporation; PALACIO DEL SENADO, ROMA;Samsung; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; THE METROPOLITAN MUSEUM OF ART, NEW YORK;USIS; ARCHIVO SANTILLANA

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