1. MODOS DE PROPAGACIÓN Y PROPIEDADES DE...

Tema 2. Guías de onda y cavidades resonantes

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1. MODOS DE PROPAGACIÓN Y PROPIEDADES DE CORTE

La transmisión de energía electromagnética es lógicamente más eficiente si se utiliza algún procedimiento para confinar los campos. Este confinamiento se realiza en la práctica con una línea de transmisión o guía de onda. Algunos autores discriminan estos términos llamando guía de onda a aquellos sistemas que utilizan tan sólo un conductor, y líneas a aquellos que tienen más de uno. Aquí se utilizarán ambos términos de forma indistinta.

(a) (b) (c) (d)(a) (b) (c) (d)

d

w

d

ww (w>>d)2a

2a

b

a2b

d

w

d

ww (w>>d)

d

ww

d

ww (w>>d)2a

2a2a

b

a

b

a2b2b

Líneas de geometría sencilla: a) línea de láminas planoparalelas, b) guía rectangular, c) línea coaxial d) guía circular.

En este apartado se estudiarán las posibles soluciones a las ecuaciones de Maxwell en una línea de transmisión. Cada una de estas soluciones recibe el nombre genérico de "modo de propagación". Una vez más la dificultad de la resolución de las ecuaciones de Maxwell nos fuerza a realizar algunas hipótesis de partida, entre las cuales incluso se ha de suponer una expresión analítica explícita para los campos,

a) Los campos tienen una dependencia armónica.

b) No existen fuentes de campo en el interior de la línea.

c) El medio en el que se confinan los campos es isótropo, homogéneo, invariante con el tiempo, lineal y no tiene pérdidas.

d) Los modos son ondas que se propagan por una única dirección y en un único sentido. La dirección de propagación se hará coincidir con el eje z, y el sentido de avance del modo será hacia z = +∞.

Estas hipótesis permiten escribir las expresiones generales para los fasores representativos de los campos de la siguiente forma:

ˆ ˆ ˆx yE x E y E z= + + zE ; ( , , ) ( , ) j zi iE x y z e x y e β−= ;

ˆ ˆ ˆx yH x H y H z= + + zH ; ( , , ) ( , ) j zi iH x y z h x y e β−= ; i=x,y,z

donde β es la constante de fase de la onda guiada. No todas las funciones que adopten esta forma van a satisfacer las ecuaciones de Maxwell. De hecho, al imponer estas ecuaciones se llega a un interesante resultado: las componentes de los campos no son independientes entre sí, sino que existen ecuaciones que nos permiten determinar todas las componentes transversales a la dirección de propagación únicamente a partir de las longitudinales. Estas ecuaciones se obtienen sin necesidad de aplicar ninguna condición de contorno. Veamos cómo se obtienen.

Con las hipótesis realizadas, las ecuaciones de Maxwell para los rotacionales vendrán dadas por

x jωμ∇ = −E H x jωε∇ =H E

Desglosando las dos ecuaciones vectoriales en cada componente se obtiene un total de seis ecuaciones escalares. De éstas nos interesan cuatro, que son las siguientes:


2

zy x

E j E j Hy

β ωμ∂+ = −

∂ z

x yE j E j Hx

β ωμ∂+ =

∂

zy x

H j H j Ey

β ωε∂+ =

∂ z

x yH j H j Ex

β ωε∂+ = −

∂

Reagrupando términos,

2z z

xc

j E HHk y x

ωε β⎧ ⎫∂ ∂

= −⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ 2

z zy

c

j E HHk x y

ωε β⎧ ⎫− ∂ ∂

= +⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

2z z

xc

j E HEk x y

β ωμ⎧ ⎫− ∂ ∂

= +⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ 2

z zy

c

j E HEk y x

β ωμ⎧ ⎫∂ ∂

= − +⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

donde

2 2 2ck k β−

siendo k la constante de fase de una onda plana que se propagaría por el medio que confina el campo si este medio fuera infinito,

k ω με

El factor kc recibe el nombre de constante de corte. Estas ecuaciones que nos relacionan unas componentes con otras serán utilizadas a menudo y para recordarlas las llamaremos ecuaciones TPL (Transversales a Partir de Longitudinales).

En líneas como la coaxial o la guía circular es preferible utilizar coordenadas cilíndricas. Las ecuaciones TPL en estas coordenadas son

2z z

c

j E HEkρ

ωμβρ ρ ϕ

⎛ ⎞− ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2z z

c

j E HEkϕ

β ωμρ ϕ ρ

⎛ ⎞− ∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2z z

c

j E HHkρ

ωε βρ ϕ ρ

⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2z z

c

j E HHkϕ

βωερ ρ ϕ

⎛ ⎞− ∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

La constante de corte no siempre va a ser nula, y en consecuencia ni la constante de propagación ni la longitud de onda de los campos confinados van a coincidir necesariamente con las de una onda plana de la misma frecuencia. De hecho, puede darse la circunstancia de que por una misma línea se propague una superposición de modos de igual frecuencia pero distinta longitud de onda.

Es importante recordar que el hecho de que se obtengan en medios infinitos longitudes de onda distintas a las de una línea no implica que la frecuencia en la línea cambie. La frecuencia de una onda está determinada por el generador que la produce, y no por el medio en el que la onda se propaga. Generalmente la frecuencia es un dato que imponemos a las ecuaciones de Maxwell, mientras que la longitud de onda es un resultado que obtenemos cuando especificamos la geometría de la línea a través de las condiciones de contorno, así como los medios constitutivos de la misma.

La constante de corte tiene algunas propiedades de interés que no pueden demostrarse rigurosamente con facilidad, pero que ilustraremos a lo largo de este tema:


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a) Es un número real positivo.

b) Depende únicamente de las propiedades geométricas de la línea y de sus medios constitutivos.

Existen numerosas líneas en las que la constante de corte ni siquiera depende del medio sino únicamente de la geometría, como por ejemplo: las guías rectangulares y circulares, la línea coaxial y la línea de láminas planoparalelas. En guías no homogéneas, como por ejemplo las guías parcialmente llenas de un dieléctrico, la constante de corte depende también de la permitividad de los medios.

Estas características nos permiten definir una serie de términos de interés:

a) Modos evanescentes. Modos que se atenúan a medida que se propagan por la línea. Para que estos modos se atenúen es necesario que la constante de fase sea imaginaria, y por tanto que la constante de corte sea superior a k.

b) Frecuencia de corte. Frecuencia a la cual se anula la constante de fase. Utilizando la propia definición de constante de corte podemos obtener inmediatamente una expresión para esta frecuencia:

2 2 20 cc c

kkβ ω με ωμε

= ⇒ = ⇒ =

Es fácil aclarar el significado físico la frecuencia de corte. Supongamos que la frecuencia con la que el generador alimenta la línea es inferior a la de corte. Entonces k < kc y en consecuencia el modo sería evanescente. Así pues, la frecuencia de corte de un modo es la mínima frecuencia a la cual debe sintonizarse el generador que alimenta la línea para que el modo se propague.

c) Longitud de onda de corte. Se define como

2c

ckπλ

Para que un modo se propague, es necesario que su longitud de onda de corte sea superior a λ,

MODO NO EVANESCENTE 1

c fλ λ

με⇔ > =

Esta condición se puede expresar de otra forma equivalente,

MODO NO EVANESCENTE 2 2

cg

c

λ λλλ λ

⇔ <−

Donde λg es la longitud de onda en la línea o guía, 2

gπλβ

d) Modo fundamental. Modo de propagación que tiene la frecuencia de corte más baja. A partir de esta definición deducimos inmediatamente que si deseamos que por la línea se propague sólo un modo, entonces tendremos que seleccionar una frecuencia que sea superior a la de corte del modo fundamental, e inferior a la de corte del modo inmediatamente superior. En estas condiciones se propagará sólo el modo fundamental. Los modos de orden superior dificultan la utilización práctica de la línea y complican el análisis de los campos. Por tanto, en la práctica es habitual diseñar las líneas con geometrías adecuadas que garanticen la propagación de un único modo.

e) Modos degenerados. Son aquellos que tienen una misma frecuencia de corte.


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f) Modos TE, TM. Los posibles modos en los que pueden propagarse los campos se clasifican habitualmente según el valor que adopten las componentes longitudinales de los campos magnético y eléctrico. Ya conocemos los modos TEM, en los que tanto Ez como Hz son nulos. Por otra parte también existirán soluciones en las que se anule Ez (modos TE) o Hz (modos TM).

g) Impedancia del modo. Los modos se caracterizan no sólo por una constante de propagación sino también por una impedancia, que recibe el nombre de impedancia de la onda o bien impedancia del modo. Esta impedancia se define de distinta forma para cada tipo de modo. Para un modo TEM se definirá como la impedancia intrínseca del medio. En el caso de los modos TE y TM

TEkZ ηβ

TMZkβη

La impedancia del modo es por tanto un número real positivo en una línea constituida por materiales sin pérdidas. En líneas disipativas es habitual extender estas definiciones utilizando la constante de propagación en lugar de la de fase,

TEkZ jηγ

TMZ jkγη−

A continuación describiremos brevemente cómo se calculan los modos y qué propiedades tienen, y justificaremos la utilidad de estas definiciones de impedancia. Las condiciones de contorno que se obtienen a partir de la geometría de la línea se aplican para reducir el número de constantes arbitrarias que aparecen en las soluciones generales de los campos a una sola constante, la cual no puede conocerse de forma unívoca puesto que generalmente no se especifica la potencia con la que se alimenta la línea.

MODOS TEM

Propiedades

La constante de fase coincide con la de una onda plana

Supongamos que las componentes longitudinales de E y H son nulas. Entonces las ecuaciones TPL indican que la única posibilidad que habría de que los campos totales no fueran nulos sería haciendo que se anulase kc. Por tanto, si por la línea se propaga un modo TEM, entonces su constante de corte es nula. Así pues,

0ck kβ= ⇒ =

Con esta propiedad es evidente que si en una línea se propaga un modo TEM, éste será siempre el modo fundamental.

Los campos satisfacen la ecuación de Laplace en el plano perpendicular a la dirección de propagación

Esta propiedad es un resultado directo de la ecuación de ondas. Si se impone esta ecuación a las componentes transversales de los campos,

2 2 0i iE Eβ∇ + = 2 2 0i iH Hβ∇ + = i=x,y

y se asumen soluciones de la forma

( , , ) ( , ) j zi iE x y z e x y e β−= ( , , ) ( , ) j z

i iH x y z h x y e β−=

se obtiene

2 ( , ) 0t x y∇ =e 2 ( , ) 0t x y∇ =h (Ecuación de Laplace)


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donde el subíndice t identifica las dos dimensiones transversales. De esta forma, la obtención de los campos en un modo TEM queda reducida a resolver un problema en 2 dimensiones. El hecho de que el campo eléctrico satisfaga la ecuación de Laplace es especialmente relevante porque gracias a ello va a ser posible utilizar numerosos resultados de las leyes de la Electrostática a campos alternos.

Los campos son conservativos

Hagamos uso del siguiente teorema, ampliamente utilizado en Electrostática:

"Si el rotacional de un campo es nulo, entonces el campo es conservativo y puede obtenerse a partir del gradiente de una función escalar".

Las ecuaciones de Maxwell garantizan que los campos transversales cumplen este requisito,

ˆ( , ) ( , ) 0t zx x y j h x y zωμ∇ = − =e ˆ( , ) ( , ) 0t zx x y j e x y zωε∇ = =h

Así pues,

( , ) ( , )tx y x y= −∇ Φe ( , ) '( , )tx y x y= −∇ Φh

Este resultado tiene una importante consecuencia: en una guía construida con un tubo conductor hueco de sección arbitraria no es posible propagar un modo TEM puesto que el potencial eléctrico en el interior del conductor sería constante y por tanto el campo nulo.

Los potenciales satisfacen la ecuación de Laplace

Si se impone que no hay cargas en el interior de la línea, la divergencia del campo eléctrico es nula y por tanto el potencial también deberá satisfacer la ecuación de Laplace,

2· 0 · 0 · 0 · 0 ( , ) 0t t tmodoTEMx y∇ = ⇒∇ = ⇒ ∇ = ⇒∇ = ⇒∇ Φ =D E E e

El mismo razonamiento se puede aplicar al potencial magnético.

Cálculo de los modos

Una vez conocido el campo eléctrico, el campo magnético se puede obtener a partir de las ecuaciones de Maxwell,

( ) 1ˆ ˆ ˆ( , ) j zt

TEM

j kx j x e x y e z x z x z xZ

β βωμωμ ωμ ωμ

−∇ = − ⇒ = ∇ = = =E H H E E E

1 | |ˆ ;| |TEM

TEM

z x con ZZ

η⇒ = =EH EH

Es interesante observar que en un modo TEM el módulo del campo eléctrico total dividido por el del campo magnético total es independiente del punto donde se mide el campo, e igual a la impedancia del modo. Gracias a ello es posible caracterizar de forma “compacta” el modo en una línea sin pérdidas a partir de un sólo número real positivo: ZTEM.

En resumen, el procedimiento para obtener la configuración de campos en un modo TEM se podría esquematizar en los siguientes pasos: a) determinar la solución general de la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico y aplicar las condiciones de contorno, b) calcular el campo eléctrico a partir del gradiente del potencial y finalmente c) calcular el campo magnético a partir del rotacional del campo eléctrico. En los próximos ejemplos comprobaremos que al imponer las condiciones de contorno se obtienen las constantes de corte.


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MODOS TE

Anulando la componente z del campo eléctrico las ecuaciones TPL se pueden simplificar a las siguientes expresiones:

2z

xc

j HHk xβ ∂

= −∂

2z

yc

j HHk yβ ∂

= −∂

2z

xc

j HEk yωμ− ∂

=∂

2z

yc

j HEk xωμ ∂

=∂

En este caso la constante de propagación no tiene por qué ser nula para obtener una solución distinta a la trivial. Para determinar la componente longitudinal del campo magnético es necesario resolver la ecuación de Helmholtz,

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 20 ( , ) 0z c zk H k h x yx y z x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ⇒ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En principio habría que imponer las correspondientes condiciones de contorno a hz. No obstante, en la práctica suele ser más sencillo encontrar la solución general a las componentes tangenciales del campo eléctrico a partir de su relación con la longitudinal del campo magnético, y aplicar las condiciones de contorno directamente al campo eléctrico. Las condiciones de contorno permitirán obtener las constantes de corte y por tanto las de propagación.

En resumen, el procedimiento para obtener la configuración de campos en un modo TE se podría esquematizar en los siguientes pasos: a) Obtener la solución general a la ecuación de Helmholtz para la componente longitudinal del campo magnético, b) Calcular las componentes transversales del campo eléctrico a partir de las ecuaciones TPL y aplicar las condiciones de contorno. Imponiendo estas condiciones se obtendrá kc y una o más constantes arbitrarias que aparecen en las soluciones generales.

MODOS TM

Los campos de un modo TM se calculan de forma totalmente análoga. Imponiendo que la componente longitudinal del campo magnético es nula en las ecuaciones TPL se obtiene

2z

xc

j EHk yωε ∂

=∂

2z

yc

j EHk xωε− ∂

=∂

2z

xc

j EEk xβ− ∂

=∂

2z

yc

j EEk yβ ∂

= −∂

Al igual que en el caso anterior, la constante de corte no es nula. La componente longitudinal del campo eléctrico se puede obtener de la ecuación de Helmholtz en dos dimensiones,

2 2 2 2 22 2

2 2 2 2 20 ( , ) 0z c zk E k e x yx y z x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ⇒ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En este caso, las condiciones de contorno para ez permitirán obtener las constantes de corte y por tanto las de propagación. Consecuentemente, para determinar los campos de un modo TM deberán realizarse los siguientes pasos: a) Obtener la solución a la ecuación de Helmholtz para la Ez y aplicar las condiciones de contorno. Con estas condiciones se obtendrán los valores de kc. b) calcular todas las componentes de E y H a partir de las ecuaciones TPL.


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2. EVALUACIÓN DE PÉRDIDAS

En el cálculo de la distribución de campos presentada en el apartado anterior se hizo la hipótesis de que las pérdidas en los materiales constitutivos de la línea son despreciables debido a la dificultad de calcular una distribución de campo en una línea de materiales disipativos. Las pérdidas en líneas se estiman habitualmente mediante un método perturbativo, en el que se postula la hipótesis de que éstas no alteran significativamente los campos. Gracias a esta hipótesis es posible determinar la atenuación introducida por las pérdidas asumiendo que los campos obedecen las ecuaciones obtenidas anteriormente, pero con una constante de propagación que tiene una parte real,

jγ α β= +

donde la constante de fase se supone que coincide con las calculadas en el apartado anterior para líneas sin pérdidas. Bajo esta hipótesis, los campos en un línea disipativa se relacionan con los de una línea ideal mediante las siguientes relaciones,

zl ie

α−=E E zl ie

α−=H H

La atenuación del campo puede producirse mediante tres mecanismos distintos: las pérdidas dieléctricas, las pérdidas magnéticas y las pérdidas por conducción. En la práctica las líneas de transmisión no se construyen con materiales que tengan pérdidas magnéticas, y por tanto éstas no serán consideradas. Las pérdidas dieléctricas y las de conducción se producen en materiales distintos y son independientes entre sí. Gracias a ello es posible definir la constante de atenuación como la suma de dos contribuciones diferenciadas que pueden calcularse por separado, . d cα α α= + Por tanto, el campo se puede escribir como

( )d c d cz z z il i i

d c

e e eA A

α α α α− + − −= =EE E E . Asimismo, i

ld cA A

=HH

Ejemplo 1

La figura muestra un sistema de tres secciones de guía terminado en una carga que genera ondas reflejadas. La sección del medio es disipativa y actúa como atenuador, reduciendo el campo eléctrico en un factor A. Suponiendo que las transiciones no generan ninguna onda reflejada, encontrar una relación que permita determinar VSWR’ a partir de VSWR.

Ein' Ein

AVSWR’ VSWR

Ein' Ein

AVSWR’ VSWR


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PÉRDIDAS DIELÉCTRICAS

Las pérdidas dieléctricas se pueden calcular de forma completamente general si se hace la hipótesis de que la tangente de pérdidas del material es mucho menor que la unidad, tal y como ocurre habitualmente en la práctica. Para obtenerlas se considerará la constante de propagación en una línea que sólo tiene pérdidas dieléctricas. Si éstas no son elevadas,

2 2 2 2 2 2 2 2 2'(1 )c c c i i i ij k k k jtg k k jk tg jk tgγ β ω με δ δ β δ≈ = − = − − = − + = − +

en donde el subíndice i se ha utilizado para identificar las constantes de fase en ausencia de pérdidas. Haciendo la hipótesis de que la tangente de pérdidas es mucho menor que la unidad,

0

2 22 20 0

02 2i

ix x i

x k tgx x x jxδ

δδ

δγ ββ>>

+ ≈ + ⇒ ≈ +

Consecuentemente,

2

2i

di

k tgδαβ

=

En el caso particular de un modo TEM la constante de corte es nula y por tanto

, 2i

d TEMk tgδα ≈

Dado que es habitual emplear siempre las constantes de fase ideales, incluso en líneas con pérdidas, el subíndice i no es necesario y por tanto en lo sucesivo será omitido.

PÉRDIDAS POR CONDUCCIÓN

La constante de atenuación debida a las pérdidas por conducción se puede obtener a partir de la distribución de campos. La potencia perdida por unidad de longitud ha de coincidir con la razón a la cual disminuye el flujo de potencia que se propaga a lo largo de la guía,

0

*( ) 1 ˆ( ) Re ( ) •2l S

P zP z x zdsz z

∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∫ E H


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siendo S0 la sección de la línea perpendicular a la dirección de propagación en el punto z. La dependencia de los campos con la dirección de propagación es de tipo exp(-αcz), y por tanto el flujo de potencia ha de tener una dependencia de tipo exp(-2αcz), 2

0( ) C zP z P e α−=

Consecuentemente

( )( ) 2 ( )2 ( )

ll c c

P zP z P zP z

α α= ⇒ =

La potencia perdida por unidad de longitud debe ser una función tal que su integral en z extendida a una porción de línea de longitud unidad coincida con la potencia total disipada en las superficies conductoras existentes en esa porción. Así pues estamos buscando una función Pl(z) tal que

1

1( ) ( ') 'z

cl lzP z P z dz z

+= ∀∫

donde Pcl1 es la potencia total (en W) disipada en la porción de línea de longitud unidad. Esta potencia puede calcularse a partir del método de la resistencia superficial,

1 12 2 21( ) | | | | ( ') ' ( ) | |

2 2 2C C C

z zs s s

cl t t l l tS z l z l

R R RP z ds dl P z dz z P z dl+ +

= = = ∀ ⇒ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫H H H

donde tH es el campo transversal a la superficie conductora, SC es la superficie total de los conductores en una porción de línea unitaria, y lC es la trayectoria definida por la superficie de los conductores en el área transversal de la línea. Consecuentemente,

0

2

*

| |

ˆ2 Re ( ) •C

S tlc

S

R dl

x zdsα =

∫∫

H

E H

En el caso de los modos TEM esta expresión se puede simplificar un poco más. Haciendo uso de la identidad vectorial ˆ ˆ• ( ) ( ) •z x z x=* *E H E H se obtiene

0

2

2

| |

2 Re( ) | |C

S lc

TEM S

R dl

Z dsα =

∫∫H

H

donde se ha considerado que los campos transversales a la dirección de propagación son los totales. Las unidades de la constante de atenuación son rigurosamente m-1. Sin embargo es habitual designar a esta unidad con el alias "Neper/m". Un Neper corresponde a un cociente de potencias de valor e2. Asimismo, también es habitual expresar las constantes de atenuación en dB/m. Para transformar Nepers en dB basta con hacer uso de la relación

21 10log 8.686Np e dB= =


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3. DISTRIBUCIONES DE CAMPOS EN LÍNEAS MÁS COMUNES

LÍNEA DE LÁMINAS PLANOPARALELAS

La línea de láminas planoparalelas consiste en dos conductores planos infinitamente largos y de igual anchura, colocados en parelelo. En la práctica, esta resulta poco útil debido a la dificultad de realizar transiciones ideales a conectores coaxiales y guías rectangulares. No obstante, es interesante estudiarla debido a que su simplicidad en el tratamiento de los campos permite ilustrar algunas propiedades de interés que se manifiestan en otras líneas de mayor utilidad.

d

w

d

ww (w>>d)

d

w

d

ww (w>>d)

d

ww

d

ww (w>>d)

Línea de láminas planoparalelas

Modos TEM

Tal y como se ha visto en el análisis general, es posible determinar los campos de un modo TEM a partir del potencial, el cual a su vez se obtiene resolviendo la ecuación de Laplace,

2 ( , ) 0; 0 ,0t x y x W y d∇ Φ = ≤ ≤ ≤ ≤

para simplificar los cálculos se hará la hipótesis de que los efectos de borde en la línea son despreciables, es decir W>>>d. Las condiciones de contorno se pueden especificar de la forma

( ,0) 0xΦ = ; 0( , )x d VΦ =

Por simetría de la línea el potencial no puede depender de la variable x. Así pues la solución general ha de tener la forma

( )y A ByΦ = +

Imponiendo las condiciones de contorno,

0( ) /y V y dΦ =

Una vez conocido el potencial se obtiene el campo eléctrico

0 0 0ˆ ˆ ˆ( ) ( ) jkz jkzt

V V Ve y y y y z y e y z x ed d dη

− −= −∇ Φ = − ⇒ = − ⇒ =E( , ) H( , )

Modos TM

La distribución de campos en los modos TM se puede obtener a partir de la componente longitudinal del campo eléctrico. Por otra parte, debido a la simetría de la línea el campo no puede variar con la dirección x, y por tanto la ecuación de ondas para ez queda reducida a

22

2 ( ) 0c zk e yy

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠


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La solución general resulta ser

( ) sin cosz c ce y A k y B k y= +

Las condiciones de contorno a imponer deben considerar que la componente tangencial del campo eléctrico ha de anularse en la superficie de los conductores. Esta condición lleva inmediatamente a la conclusión de que la componente longitudinal del campo ha de satisfacer

(0) ( ) 0z ze e d= =

Imponiendo estas condiciones se obtiene

0B = , / 0,1,2...cnk n d nπ= =

donde la solución para n=0 corresponde lógicamente al modo TEM. La constante de propagación en la línea resulta ser

22

nnkdπβ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

El campo eléctrico resultante tiene la forma

( ) sin sin nj zz n z n

n y n ye y A E A ed d

βπ π −= ⇒ =

Una vez conocida esta componente se pueden obtener todas las demás a partir de las ecuaciones TPL

cos nj zx n

cn

j n yH A ek d

βωε π −= cos nj zny n

cn

j n yE A ek d

ββ π −−= 0x yE H= =

Por otra parte, las constantes de propagación permiten calcular las impedancias de los modos

2 2 2 2 2 2( / ) ( / ) ( / )nTM

k n d n d n dZk k

π ω με π ω με πηβ η ηωεω με

− − −= = =

De este resultado se puede comprobar inmediatamente que en esta línea las impedancias de los modos TM están relacionadas con los campos transversales a partir de

yTM

x

EZ

H= −

Así pues, la impedancia de la onda tal y como la hemos definido es también un cociente de componentes de campos transversales, cociente que no depende del punto de la línea donde se determine el campo. En un modo que se propagase en sentido de z decreciente sería necesario cambiar los signos de ambos cocientes para garantizar que la impedancia sea positiva.

La frecuencia de corte se obtiene imponiendo que la constante de fase sea nula,

cnn

dπωμε

=


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Consecuentemente, cada modo comenzará a propagarse a partir de frecuencias que aumentan proporcionalmente con el orden del modo. Asimismo, la longitud de onda de corte puede calcularse como

2 2cn

cn

dk nπλ ≡ =

Al ser la constante de corte inversamente proporcional a la separación entre las láminas, para poder alcanzar el mayor ancho de banda posible en propagación monomodal es necesario minimizar esta separación. Resultados similares pueden encontrarse en el resto de las líneas, en las que generalmente es necesario reducir la sección para maximizar el ancho de banda. Esta reducción va siempre acompañada por una disminución de la potencia máxima utilizable.

Modos TE

El planteamiento y la resolución de las ecuaciones que satisfacen los campos son totalmente análogos al caso anterior. La ecuación para la componente longitudinal del campo magnético es

22

2 ( ) 0c zk h yy

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

La solución general es, nuevamente,

( ) sin cosz c ch y A k y B k y= +

El uso de las condiciones de contorno para el campo magnético requeriría conocer la densidad de corriente que circula por los conductores. Consecuentemente es más sencillo utilizar la componente en x del campo eléctrico, la cual también es tangencial a los conductores en todos los puntos de la línea y por tanto ha de anularse. Utilizando las ecuaciones TPL,

( )cos sin j zx c c

c

jE A k y B k y ek

βωμ −= − −

Las condiciones de contorno a imponer son

(0) 0 0xe z A= ∀ ⇒ = ; ( ) 0 / , 0,1,2...x ce d z k n d nπ= ∀ ⇒ = =

Consecuentemente, las constantes de propagación son las mismas que para los modos TM. La solución final para el campo magnético es

cos nj zz n

n yH B ed

βπ −=

y las componentes transversales resultan ser

sin nj zx n

cn

j n yE B ek d

βωμ π −= sin nj zny n

cn

j n yH B ek d

ββ π −= 0y xE H= =

Las constantes de propagación y frecuencias de corte son las mismas que las de los modos TM. Así pues los modos TE y TM del mismo orden son degenerados.

Las impedancias de los modos TE son


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2 2 2 2( / ) ( / )x

TEn y

k k EZHk n d n d

η ωμηβ π ω με π

= = = =− −

Los modos de constantes de corte inmediatamente superiores a la del fundamental (TEM) son el TM1 y el TE1, para los cuales

1c dπωμε

=

Esta es la frecuencia máxima de operación a la cual puede obtenerse propagación monomodal. Obsérvese que para poder conseguir este tipo de propagación a frecuencias elevadas es necesario utilizar láminas lo más próximas entre sí y con dieléctricos de baja permitividad.

(a) (b) (c)(a) (b) (c)

Vista frontal de la distribución de campos en una línea de láminas planoparalelas. Modo TEM (a), modo TM1 (b), modo TE1 (c). La línea continua corresponde al campo eléctrico, la discontinua al magnético.

GUÍA RECTANGULAR

La guía rectangular es una de las líneas de transmisión más ampliamente utilizadas. De hecho, es posible encontrar numerosos fabricantes que suministran una gran variedad de componentes en bandas de frecuencia localizadas desde 0.3 GHz hasta 325 GHz. Esta guía es especialmente adecuada para transmitir grandes cantidades de potencia, así como para propagar señales de frecuencias elevadas, con longitudes de onda del orden de milímetros.

Al estar constituida por un conductor hueco, la guía rectangular tan sólo soporta modos TE y TM. La dependencia de las componentes de los campos respecto de las coordenadas transversales aparece como el producto de dos funciones oscilatorias (senos y cosenos). Como consecuencia de ello, al imponer las condiciones de contorno se obtiene una serie doblemente infinita de constantes de corte y por tanto cada modo está caracterizado por dos subíndices distintos.

b

a

b

a

b

a

Guía rectangular

La potencia máxima de pico que puede soportar una guía rectangular está determinada por el campo de ruptura del dieléctrico donde se confinan los campos. Sin embargo, la potencia máxima media que puede transportar la guía está más limitada por las pérdidas conductoras y dieléctricas, las cuales pueden elevar considerablemente la temperatura física de la guía.

La potencia máxima de pico disminuye con la frecuencia de operación. Esta potencia podría aumentarse llenando la guía con un dieléctrico en lugar de aire, puesto que el campo de ruptura en los dieléctricos es mayor


14

que el del aire. No obstante, la utilización de dieléctricos puede limitar la potencia máxima media a causa de las pérdidas. La capacidad de potencia también puede incrementarse presurizando la guía con aire o un gas inerte.

Modos TM

La ecuación de ondas para la componente longitudinal del campo eléctrico es

2 22

2 2 ( , ) 0c zk e x yx y

⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Utilizando el método de separación de variables

( , ) ( ) ( )ze x y f x g y=

se obtiene

2 22

2 2

1 1 0cd f d g k

f dx g dy+ + =

por tanto

22

2 0xd f k fdx

+ = , 2

22 0y

d g k gdy

+ = ; 2 2 2x y ck k k+ =

Así pues, la solución general para la componente longitudinal de E es

( , ) ( cos sin )( cos sin )z x x y ye x y A k x B k x C k y D k y= + +

Imponiendo las condiciones de contorno al campo eléctrico,

( ,0) 0 0ze x x C= ∀ ⇒ = ; (0, ) 0 0ze y y A= ∀ ⇒ =

( , ) 0 / , 1,2,....z ye x b x k n b nπ= ∀ ⇒ = =

( , ) 0 / , 1,2,....z xe a y y k m a mπ= ∀ ⇒ = =

En este caso ni m ni n pueden anularse, puesto que se obtendría la solución trivial. Así pues, no existen ni los modos TM0n ni los TMm0 en guías rectangulares. Una vez conocida la constante de corte se puede calcular la constante de propagación,

2 22 2 2

mn cmnm nk k ka bπ πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cuando se evalúan las pérdidas, debe prestarse especial atención al signo correcto de esta raíz cuadrada, el cual se obtiene imponiendo que la constante de atenuación sea positiva. La solución final para la componente longitudinal del campo eléctrico es

sin sin mnj zz mn

m x n yE A ea b

βπ π −=

El resto de las componentes de los campos se obtienen a partir de las relaciones TPL,


15

2 cos sin mnj zmnx mn

cmn

j m m x n yE A ek a a b

ββ π π π −= − 2 sin cos mnj zmny mn

cmn

j n m x n yE A ek b a b

ββ π π π −= −

2 sin cos mnj zx mn

cmn

j n m x n yH A ek b a b

βωε π π π −= 2 cos sin mnj zy mn

cmn

j m m x n yH A ek a a b

βωε π π π −= −

Una vez conocidas las constantes de corte se puede calcular la impedancia de cada modo,

mn mnTMZ

kβ βη

ωε=

Puede verificarse una vez más que estas impedancias se pueden expresar como cocientes de campos transversales,

yxTM

y x

EEZH H

= = −

Las frecuencias de corte se pueden obtener nuevamente imponiendo que la constante de propagación sea nula,

2 21cmn

m na bπ πω

με⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Las longitudes de onda de corte correspondientes son

2 2

2 2cmn

cmnk m na b

πλ ≡ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Modos TE

La ecuación de ondas para la componente longitudinal del campo magnético es

2 22

2 2 ( , ) 0c zk h x yx y

⎛ ⎞∂ ∂+ + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Utilizando el método de separación de variables

( , ) ( ) ( )zh x y f x g y=

se obtiene

2 22

2 2

1 1 0cd f d g k

f dx g dy+ + =

por tanto

22

2 0xd f k fdx

+ = , 2

22 0y

d g k gdy

+ = ; 2 2 2x y ck k k+ =


16

Así pues, la solución general para la componente longitudinal de H es

( , ) ( cos sin )( cos sin )z x x y yh x y A k x B k x C k y D k y= + +

Al igual que en el caso de las placas planoparalelas, las condiciones de contorno se pueden aplicar con más facilidad si se imponen al campo eléctrico, el cual se obtiene a partir de las relaciones TPL,

2 ( cos sin )( sin cos )x y x x y yc

je k A k x B k x C k y D k ykωμ

= − + − +

2 ( sin cos )( cos sin )y x x x y yc

je k A k x B k x C k y D k ykωμ

= − − + +

Imponiendo las condiciones de contorno,

( ,0) 0 0xe x x D= ∀ ⇒ = ; (0, ) 0 0ye y y B= ∀ ⇒ =

( , ) 0 / , 1,2,....x ye x b x k n b nπ= ∀ ⇒ = =

( , ) 0 / , 1,2,....y xe a y y k m a mπ= ∀ ⇒ = =

Una vez conocida la constante de corte se puede calcular la constante de propagación,

2 22 2 2

mn cmnm nk k ka bπ πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La solución final para la componente longitudinal del campo magnético es

cos cos mnj zz mn

m x n yH A ea b

βπ π −=

donde Amn es el producto de las constantes A y C para cada uno de los modos. Una vez conocida la componente longitudinal del campo magnético pueden calcularse todas las transversales a partir de las relaciones TPL,

2 cos sin mnj zx mn

cmn

j n m x n yE A ek b a b

βωμ π π π −= 2 sin cos mnj zy mn

cmn

j m m x n yE A ek a a b

βωμ π π π −−=

2 sin cos mnj zmnx mn

cmn

j m m x n yH A ek a a b

ββ π π π −= 2 cos sin mnj zmny mn

cmn

j n m x n yH A ek b a b

ββ π π π −=

La impedancia de cada modo es

y xTE

mn mn x y

Ek EZH H

ωμηβ β

= = − =

Las frecuencias de corte se pueden obtener una vez más imponiendo que la constante de propagación sea nula,


17

2 21cmn

m na bπ πω

με⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Las longitudes de onda de corte correspondientes son

2 2

2 2cmn

cmnk m na b

πλ ≡ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si la guía fuera cuadrada no existiría propagación monomodo a ninguna frecuencia, puesto que la frecuencia de corte más baja correspondería a dos modos distintos: TE10 y TE01. En la práctica las guías de onda rectangulares más comúnmente empleadas se diseñan de forma que a=2b. Estas guías rectangulares reciben el nombre de normalizadas, y su banda de operación monomodal está delimitada por las frecuencias de corte de los modos TE10 (el fundamental) y el TE20.

Ejemplo 2

Obtener la densidad de corriente superficial inducida en las paredes de una guía rectangular hueca y normalizada (a=2b) por la que se propaga el modo fundamental. Justificar por qué puede practicarse una ranura longitudinal en la parte central de la cara ancha de la guía sin perturbar de forma apreciable la distribución de campos.


18

Ejemplo 3

Por una guía rectangular vacía de sección 1 x 2,5 cm se propaga una señal de 10 GHz. Determinar qué longitud ha de tener la guía para que la señal se detecte al final de la guía con un retardo de 1 μs con respecto a una onda plana de la misma frecuencia que se propaga por el vacío.

LÍNEA COAXIAL

Modos TEM

Tal y como hemos indicado previamente, los campos de un modo TEM se pueden obtener a partir del potencial. La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas es

2

2 2

1 ( , ) 1 ( , ) 0ρ ϕ ρ ϕρρ ρ ρ ρ ϕ

⎧ ⎫∂ ∂Φ ∂ Φ+ =⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

Si se llaman "a" y "b" los radios interno y externo de los conductores, respectivamente, las condiciones de contorno estarán dadas por

0( , )a VϕΦ = ( , ) 0b ϕΦ =

2a

2b

2a

2b2b

Línea coaxial


19

Utilizando el método de la separación de variables, se supondrá que la solución tiene la forma

( , ) ( ) ( )f gρ ϕ ρ ϕΦ =

sustituyendo esta solución resulta

2

2

1 0d df d gf d d g dρ ρ

ρ ρ ϕ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

En consecuencia ambos términos de la ecuación son constantes,

2d df kf d d ρρ ρ

ρ ρ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

22

1 d g kg d ϕϕ

= −

Para mantener la coherencia con la ecuación original la suma de ambas constantes debe anularse,

2 2 0k kϕ ρ+ =

La solución general a la ecuación en ϕ es

( ) cos( ) sin( )g A k B kϕ ϕϕ ϕ ϕ= +

De la geometría de la línea se deduce que el potencial no puede depender del ángulo, y por tanto la constante kϕ ha de ser cero. Debido a ello kρ también será cero. Como consecuencia, la solución general para f es

ln ' ln 'f C D C Dρ ρ= + ⇒ Φ = +

Aplicando las condiciones de contorno se obtienen finalmente las constantes C' y D':

0 ln( , )

ln

bV

ba

ρρ ϕΦ =

Una vez conocido el potencial se puede determinar el campo, el cual al propagarse en un modo TEM sólo tendrá componentes transversales,

0 0ˆ ˆ ˆˆ( , ) ( , )ln / ln /

jkzt

V Ve eb a b a

ϕ ρ ρρ ϕ ρ ϕ ρρ ρ ϕ ρ ρ

−∂Φ ∂Φ= −∇ Φ = − − = ⇒ =

∂ ∂E

0 0ˆ ˆ1 ˆ( , ) ( , )ln / ln /

jkzV Vh z x e eb a b aϕ ϕρ ϕ ρ ϕ

η ηρ ηρ−= = ⇒ =H

Modos TE

Los modos TE se pueden obtener a partir de la componente longitudinal del campo magnético,

2 22

2 2 2

1 1 ( , ) 0c zk h ρ ϕρ ρ ρ ρ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠


20

Esta ecuación se puede resolver utilizando el método de separación de variables. Suponiendo que la solución es de la forma

( ) ( )zh f gρ ϕ=

y sustituyendo en la ecuación diferencial en derivadas parciales se obtiene,

2 22

2 2 2

1 1 1 0cd f df d g k

f d f d g dρ ρ ρ ρ ϕ+ + + =

o bien

2 2 22 2

2 2

1c

d f df d gkf d f d g dρ ρ ρ

ρ ρ ϕ−

+ + =

Así pues, cada término de esta ecuación debe ser igual a una constante. Considerando el término de la derecha,

2 22 2

2 2

1 0d g d gk gkg d dϕ ϕϕ ϕ−

= ⇒ + =

La solución general para la ecuación en g viene dada por

( ) sin cosg A k B kϕ ϕϕ ϕ ϕ= +

dado que ϕ es un ángulo la constante kϕ debe ser un entero:

( ) ( 2 )g g m k nϕϕ ϕ π= ± ⇒ =

Asimismo, la solución general para f puede expresarse como

22 2 2 2

2 ( ) 0cd f df k n fd d

ρ ρ ρρ ρ

+ + − =

Esta ecuación diferencial es una ecuación de Bessel, y sus soluciones vienen dadas por una combinación lineal de las funciones de Bessel de primera y segunda especie,

( ) ( ) ( )n c n cf CJ k DY kρ ρ ρ= +

Las condiciones de contorno en la línea vienen dadas por

( , ) ( , ) 0E a E bϕ ϕϕ ϕ ϕ= = ∀

y se pueden aplicar utilizando las relaciones TPL,

( )( )' '2 2 sin( ) cos( ) ( ) ( ) j zz z

n c n cc c

j E H jE A n B n CJ k DY k ek k

βϕ

β ωμωμ ϕ ϕ ρ ρρ ϕ ρ

−⎛ ⎞− ∂ ∂= − = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

donde J' e Y' denotan las derivadas de las funciones de Bessel con respecto a kcρ. Para que este campo sea nulo es necesario que uno de los dos paréntesis se anule en las paredes de la línea. Si se hace nulo el primero se


21

anularía hz y se obtendrían los modos TEM. Haciendo nulo el segundo se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales,

' '( ) ( ) 0n c n cCJ k a DY k a+ = ' '( ) ( ) 0n c n cCJ k b DY k b+ =

Para que este sistema tenga una solución distinta de la trivial es preciso que el determinante sea nulo, y por tanto

' ' ' '( ) ( ) ( ) ( )n c n c n c n cJ k a Y k b J k b Y k a=

Esta ecuación en kc tiene infinitas soluciones y debe resolverse de forma numérica para cada valor de n. Así pues, existe un número doblemente infinito de constantes de corte kcnm, las cuales una vez conocidas también darán lugar a un conjunto infinito de constantes Cnm y Dnm. Por nomenclatura los ceros se asignan a partir del subíndice m=1, y por tanto no existen modos TEn0. Así pues, la constante de corte más baja es la correspondiente al modo TE11. Esta constante se suele aproximar mediante la expresión

112

cka b

≈+

Una vez conocidas la constantes de corte, se puede resolver el sistema lineal de ecuaciones para C y D resultando

'

'

( )( sin cos ) ( ) ( )( )

nmj zn cnmz nm nm n cnm n cnm

n cnm

J k bH A n B n J k Y k eY k b

βϕ ϕ ρ ρ −⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Las ecuaciones TPL permiten obtener finalmente todas las demás componentes. En el apéndice se muestran las expresiones finales. A pesar de la aparente existencia de dos constantes distintas a determinar, estas dos constantes pueden reducirse a una seleccionando apropiadamente el origen de coordenadas para que se anule una de las dos. Por ejemplo, si se especifican las coordenadas de modo que se anule la constante B' en hz, se puede comprobar que todas las constantes Bnm se hacen cero.

Modos TM

La distribución de campo y las constantes de corte de los modos TM pueden obtenerse de una forma totalmente análoga. No existe ningún modo TM con una constante de corte inferior a la del modo TE11. Dado que el modo fundamental de propagación es el TEM, el ancho de banda en propagación monomodal vendrá dado por la propia frecuencia de corte del modo TE11. Consecuentemente, el ancho de banda para propagación monomodal será

11

1( )CTEBW fa bπ με

= =+

Ejemplo 4

Se desea diseñar una línea coaxial capaz de transmitir señales de hasta 35 GHz de frecuencia con las siguientes especificaciones

a) Máximas pérdidas: 2 dB/m b) Dieléctrico: εr=2,08-j0,0004 c) Metalización: aluminio d) Radio interno: 250 μm e) Propagación monomodal

Estudiar la viabilidad del diseño, considerando que la constante de atenuación por pérdidas conductoras es

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

η=α

baabRs

c11

)/ln(2


22

NOTA: Despreciar la variación de la permitividad con la frecuencia.

GUÍA CIRCULAR

Modos TE

Las ecuaciones de los campos y la separación de variables es la misma que la realizada en el caso del cable coaxial, dando lugar a la misma expresión para la solución general

( , ) ( 'sin 'cos )( ( ) ( ))z n c n ch A n B n CJ k DY kρ ϕ ϕ ϕ ρ ρ= + +

Sin embargo, esta vez D ha de ser cero pues de lo contrario el campo se haría infinito en el centro de la guía. Gracias a ello se puede incorporar la constante C a A' y B', resultando un conjunto de infinitas soluciones de la forma

( , ) ( sin cos ) ( )z n ch A n B n J kρ ϕ ϕ ϕ ρ= +

Haciendo uso de las relaciones TPL en cilíndricas se obtiene


23

( ) 'sin cos ( ) j zn c

c

jE A n B n J k ek

βϕ

ωμ ϕ ϕ ρ −= +

Las condiciones de contorno se pueden imponer con más facilidad utilizando la componente del campo eléctrico tangencial a la superficie de los conductores. Llamemos ‘a’ al radio. Entonces

( , ) 0E aϕ ϕ =

Imponiendo esta condición se obtiene

( ) 0n cJ k a ='

Cada derivada de orden n de la función de Bessel J tiene infinitas raíces, y por tanto las constantes de corte vienen dadas por

nmcnm

pka

='

; n=0,1,2...; m=1,2....

Las raíces de las funciones de Bessel están tabuladas en numerosas referencias. En el apéndice se muestran las raíces de orden más bajo, y las soluciones finales. Al igual que en el caso anterior, es posible seleccionar apropiadamente el sistema de coordenadas para conseguir que las constantes B se anulen.

Las frecuencias de corte son

nmcnm

pa

ωμε

='

De donde puede deducirse que el modo TE que se propaga a frecuencias más bajas es el TE11.

Modos TM

La solución general para ez tiene la misma forma que la correspondiente a hz en un modo TE,

( sin cos ) ( )z n ce A n B n J kϕ ϕ ρ= +

Esta vez se pueden aplicar las condiciones de contorno directamente, resultando

( ) 0 / ; 0,1,2,... 1,2,...n c cnm nmJ k a k p a n m= ⇒ = = =

Las frecuencias de corte son

nmcnm

pa

ωμε

=

De donde puede deducirse que el modo TM que se propaga a frecuencias más bajas es el TM01. Así pues, el ancho de banda en propagación monomodal es

01 11

01 11' 9 ( )2CTM CTEp pBW f f a en cm

a aπ με με−

= − = ≈

Las guías circulares presentan un ancho de banda menor que las coaxiales a igualdad de radios externos, pero permiten transmitir mayor potencia y son más fáciles de mecanizar.


24

Ejemplo 5

Determinar la constante de atenuación por pérdidas de conducción correspondiente a los modos TE de una guía circular. Una guía circular de radio a=0,5 cm está rellena de un dieléctrico sin pérdidas de permitividad 2,25 y su cara interna tiene un bañado de plata. Si la guía se alimenta con un generador de 13 GHz, calcular la atenuación de potencia en una sección de 50 cm. Ayuda: Utilizar la igualdad

222

0

22

2 )](][)[(21)]([)]([ '''

'

nmnnm

p

nn pJnpdxxJx

nxJxnm

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+∫


25

Ejemplo 6

Una señal de 10 GHz se transmite por el interior de una guía circular hueca. Determinar el diámetro interior que ha de tener la guía para que la frecuencia de corte más baja sea un 20% menor que la de la señal. Si esta guía tuviera que operar a 15 GHz, qué modos se transmitirían?


26

4. CAVIDADES RESONANTES

Los resonadores tienen un buen número de aplicaciones en Electrodinámica, entre las cuales debemos mencionar el diseño de aceleradores de partículas, así como el diseño de distintos componentes para la generación, detección y modificación controlada de campos: osciladores, amplificadores de banda estrecha y medidores de frecuencia para sistemas de guías rectangulares y circulares. También juegan un destacado papel en los sistemas de medida de permitividades dieléctricas y permeabilidades magnéticas en materiales de bajas pérdidas, en resonancia magnética nuclear y en distintos sistemas de análisis químico.

Los resonadores se caracterizan fundamentalmente por su factor de calidad, que se define a partir de la siguiente expresión

m eu

lt

W WQP

ω +

donde Plt es la potencia total disipada en el resonador. Este parámetro recibe el nombre de factor de calidad en ausencia de carga, puesto que no tiene en cuenta la influencia de la carga que se conecta al resonador para extraer o aplicar campos al mismo. Si la carga tiene una parte resistiva no nula entonces degradará el factor de calidad del resonador. Si además tiene una parte reactiva no nula, se alterará también la frecuencia de resonancia. Para tener en cuenta la degradación del factor de calidad se define el factor de calidad en carga de una forma análoga a la anterior, pero esta vez considerando que la propia impedancia eléctrica de la carga forma parte del resonador.

En general el factor de calidad dependerá de la frecuencia. En la práctica, este parámetro es útil a frecuencias próximas a la de resonancia, que es donde habitualmente trabajará el resonador. En condiciones de resonancia el resonador presenta una impedancia puramente resistiva. Asimismo, en estas condiciones la energía magnética coincide con la eléctrica y por tanto el factor de calidad se puede expresar como

0 02 2m e

ult lt

W WQP P

ω ω= =

siendo ω0 la frecuencia de resonancia.

Puede verificarse fácilmente que cuando el resonador dispone de unas paredes conductoras ideales el factor de calidad en ausencia de carga es independiente de la geometría del resonador. Veamos cómo hacerlo. Si aplicamos la expresión general para Qu,

02 e

ud

WQP

ω=

donde Pd es la potencia disipada por pérdidas dieléctricas. Por otra parte,

2

2

' | | '4'' ''| |

2

e V

u

d V

W dvQ

P dv

εε

ωε ε

⎫= ⎪⎪⇒ =⎬⎪=⎪⎭

∫

∫

E

E


27

MODELIZACIÓN CIRCUITAL

Resonador serie

Un resonador puede modelizarse a nivel circuital mediante una red RLC en serie o en paralelo. Según la teoría de circuitos, la energía almacenada en un condensador puede expresarse como

2 22

1 1 1| | | |4 4e cW V C I

Cω= =

siendo Vc el voltaje en el condensador. Por otra parte la potencia disipada ha de ser 21 | |2ltP R I= .

Consecuentemente

0

0

1u

LQR RC

ωω

= =

El factor de calidad está íntimamente relacionado con la impedancia de entrada del resonador. Si el resonador es serie la impedancia de entrada puede escribirse como

20

2 20

2 21/

11inLC

Z R j L R j LLC ω

ω ωω ωω ω=

⎛ ⎞−⎛ ⎞= + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por otra parte, a frecuencias próximas a la de resonancia

0

2 20 0 0( )( ) (2 ) 2 2inZ R j L

ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

Δ = −− = − + = Δ − Δ ≈ Δ ⇒ ≈ + Δ

Así pues

0

22 uin

RQZ R j L R j ωωωΔ

= + Δ = +

La resonancia se puede visualizar claramente en términos de la variación del módulo de impedancia con respecto a la frecuencia. Esta función presenta un mínimo a la frecuencia de resonancia, tal y como se muestra en la Figura.

0.5 1.0 1.5 2.0104

105

106

107

|Z(ω

)|

ω /ω 0


28

La frecuencia a la cual |Zin| aumenta en un factor 2 difiere de ω0 en un valor igual a 2/Qu:

2

0

0

2| | 1 | | 22

uin in

u

QZ R Z RQ

ω ωωω

⎛ ⎞Δ= + ⇒ = ⇔ Δ = ±⎜ ⎟

⎝ ⎠

Así pues el factor de calidad proporciona el ancho de banda del resonador, defínido éste en términos de la variación del módulo de la impedancia con respecto a la frecuencia.

1/ uBW Q=

Resonador paralelo

Siguiendo el mismo razonamiento, se pueden obtener resultados análogos para un resonador modelizado como una red RLC paralelo. En este caso el factor de calidad viene dado por

0 0 00

2 2e mu

lt lt

W W RQ RCP P L

ω ω ωω

= = = = ,

y la impedancia de entrada vendrá dada por

20 0

0

11

01; ;0 01 1

1

1 1 1 1 /1 2 /

u

inuLCx

x Q RC

RZ j C j CR j L R j L jQω ω ω

ω

ω ωω ωω ω ω ω

−−

Δ << =≈ −

+ =

⎛ ⎞⎛ ⎞ − Δ= + + ≈ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ + Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

La curva |Zin|(ω) presenta un máximo a la frecuencia de resonancia. La frecuencia a la cual |Zin| disminuye en un factor 2 difiere de ω0 en un valor igual a 2/Qu:

0| | 1/22in u

u

RZ BW QQωω= ⇔ Δ = ± ⇒ =

CAVIDADES EN GUÍAS

Los resonadores en guías rectangulares y circulares consisten esencialmente en secciones de guía cortocircuitadas en ambos extremos. Es teóricamente posible diseñar resonadores mediante circuitos abiertos, pero estos serían poco útiles debido a que las pérdidas por radiación son generalmente superiores a las pérdidas por conducción en un buen metal. Calcularemos las frecuencias de resonancia y los factores de calidad de resonadores en guías rectangulares y cilíndricas.

Guías rectangulares

Para obtener las frecuencias de resonancia basta con utilizar las soluciones para los campos obtenidas en el apartado anterior, pero esta vez considerando la existencia de una onda reflejada. En estas condiciones el desarrollo es completamente análogo al realizado en el estudio de reflexiones en medios infinitos. El campo eléctrico transversal a la dirección de propagación vendrá dado por

( , )[ ]mn mnj z j ztE e x y E e E eβ β−+ −= +

donde las constantes de propagación para los modos TE y TM son


29

2 22

mnm nka bπ πβ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Si se toma como origen de coordenadas uno de los cortocircuitos, entonces para que el campo transversal sea nulo en z=0 para cualquier x,y es necesario que E+=-E-. Por otra parte si suponemos que la longitud del resonador es d, la condición de contorno para E en z=-d se puede expresar como

( ) 2 ( , )sin 0t mnE z d jE e x y dβ+= − = =

Así pues, existirá una distribución de campo no nula que satisfaga todas las condiciones de contorno cuando se verifique la siguiente relación,

; 0,1,2,... / 2mn mnd l l d lβ π λ= = ⇒ =

Para los modos TE, el campo eléctrico total coincide con el transversal, y por tanto el valor de l=0 da lugar a la solución trivial. En cambio, en los modos TM existe un campo eléctrico longitudinal y l=0 da lugar a una distribución de campo no nula. Sustituyendo en esta condición el valor de βmn se obtienen finalmente las frecuencias de resonancia,

2 2 2 2 2 2 22 2mn mnl

l l m n l m nk cd d a b d a bπ π π π π π πβ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = + + ⇒ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De esta forma, para identificar los modos de resonancia de una cavidad se utilizan 3 subíndices, los dos primeros corresponden al modo en la guía y el tercero corresponde al valor de l. En esta expresión se puede apreciar que cuando b<a<d la frecuencia de resonancia más baja es la correspondiente al modo TE101.

El factor de calidad en ausencia de carga se puede calcular directamente a partir de los campos. Para los modos TE10l los campos vendrán dados por

sin [ ] 2 sin sinj z j zy

x x l zE E e e jEa a d

β βπ π π+ − += − = −

2sin [ ] sin cosj z j zx

TE TE

E x E x l zH e eZ a Z a d

β βπ π π+ +− −

= − + =

2cos [ ] cos sinj z j zz

j E x E x l zH e ek a a k a a d

β βπ π π π πη η

+ +−= − =

Sustituyendo en la expresión general para la energía media almacenada se obtiene

2 2 2max0 0 0

' ' '| | | |4 4 16

d b a

e yV

abdW dv E dxdydz Eε ε ε= = =∫ ∫ ∫ ∫E

donde Emax es el valor máximo del módulo del campo,

max 2 | |E E +=

Puede comprobarse fácilmente que para estos valores de los campos la energía magnética almacenada es igual a la eléctrica,


30

2' | |4m eV

W dv Wμ= =∫ H

Por otra parte la potencia disipada por pérdidas en las paredes conductoras pueden obtenerse mediante el método perturbativo,

(

)

2 2 2

0 0 0 0

2 2 2 22 2 max

2 2 20 0

| | 2 | ( 0) | 2 | ( 0) |2 2

2 (| ( 0) | | ( 0) | )8 2 2

C

b a d bs s

c t x zS

d as

x z

R RP ds H z dxdy H x dydz

R E l ab bd l a dH y H y dxdzd a d a

λη

= = = + = +

⎛ ⎞+ = + = = + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

H

Consecuentemente, el factor de calidad en ausencia de carga vendrá dado por

1

02 1 1eu u

c d uc ud

WQ QP P Q Qω

−⎛ ⎞

= ⇒ = +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

donde

( )3

0 02 3 2 3 2 3

2 ( ) 2 '''2 (2 ) 2

e euc ud

c ds

W kad b WQ QP PR b a d l a d l a bω η ω ε

επ= = = =

+ + +

En esta expresión se puede apreciar que las pérdidas por conducción hacen que el factor de calidad del modo fundamental sea el más elevado de todos los TE10.

Ejemplo 7

Se desea construir una cavidad rectangular que presente resonancia en el modo TE102 a 2.45 GHz, a partir de la guía estándar WR340 (109 x 55 mm). Calcular la longitud de la cavidad y las frecuencias de resonancia de los modos inferior y superior más próximos.


31

Guías circulares

El procedimiento a seguir es completamente análogo al descrito anteriormente. Una vez más se puede expresar el campo eléctrico transversal como

( , )[ ]nm nmj z j ztE e E e E eβ βρ ϕ −+ −= +

Las condiciones de contorno son también las mismas que en el caso anterior. Si suponemos que la cavidad tiene una longitud d,

( ) 2 ( , )sin 0t nmE z d jE e dρ ϕ β+= − = =

Las frecuencias de resonancia se obtienen nuevamente imponiendo la condición

; 0,1,2,... / 2nm nmd l l d lβ π λ= = ⇒ =

En este caso los modos TE y TM tienen expresiones distintas para las frecuencias de resonancia debido a sus diferencias en las constantes de propagación. En el caso de los modos TE

222 2 2

2nm

nm cpk k

c aωβ

⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

'

;

2 2nm

nml TE

p lca d

πω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

'

para los modos TM

222 2 2

2nm

nm cpk k

c aωβ ⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2 2nm

nml TM

p lca d

πω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los factores de calidad para los modos TE vienen dados por1

2 201

2 20 01 2

uc

s

p laa d

Qp a la d d

πμμ πδ

⎡ ⎤′ ⎞⎛ ⎞⎛+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝⎝ ⎠⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=

⎡ ⎤′ ⎞⎛ ⎞⎛+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝⎝ ⎠⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

La expresión para Quc nos permite comprobar que esta vez los modos de frecuencias de resonancia más bajas no son los que ofrecen mayores factores de calidad. El modo TE111 es el que presenta una frecuencia de resonancia más baja, pero su factor de calidad puede llegar a ser de dos a tres veces menor que la del modo TE011, dependiendo de las dimensiones de la cavidad.

1 El procedimiento es análogo al del cálculo en guías rectangulares. Véase por ejemplo R.E. Collin, “Foundations for Microwave Engineering”, IEEE Press, 2001.


32

Ejemplo 8

Demostrar que para los modos TE01p en una cavidad cilíndrica vacía el factor de calidad es máximo si el diámetro y la longitud son iguales.


33

5. APÉNDICE. DISTRIBUCIONES DE CAMPO EN LÍNAS MÁS COMUNES

GEOMETRÍA RECTANGULAR

d

w

d

ww (w>>d)

d

w

d

ww (w>>d)

d

ww

d

ww (w>>d)

b

a

TEM TEn TMn TEmn TMmn

ex 0 sinn cncn

j B k ykωμ 0

2 cos sinmncmn

j n m x n yAk b a bωμ π π π

2 cos sinmnmn

cmn

j m m x n yAk a a bβ π π π

−

ey 0 j zV ed

β∞−− 0 cosnn cn

cn

j A k ykβ−

2 sin cosmncmn

j m m x n yAk a a bωμ π π π−

2 sin cosmnmn

cmn

j n m x n yAk b a bβ π π π

−

ez 0 0 sinn cnA k y 0 sin sinmnm x n yA

a bπ π

hx 0 j zV ed

β

η∞− 0 cosn cn

cn

j A k ykωε

2 sin cosmnmn

cmn

j m m x n yAk a a bβ π π π

2 sin cosmncmn

j n m x n yAk b a bωε π π π

hy 0 sinnn cn

cn

j B k ykβ 0

2 cos sinmn

mncmn

j n m x n yAk b a bβ π π π

2 cos sinmncmn

j m m x n yAk a a bωε π π π

−

hz 0 cosn cnB k y 0 cos cosmnm x n yA

a bπ π 0

kcn 0 /n dπ /n dπ 2 2m n

a bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2m na bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


34

GEOMETRÍA CILÍNDRICA

2a

2b 2a2a

sin cosnm nmAB A n B nϕ ϕ+ ≡ +

cos sinnm nmAB A n B nϕ ϕ− ≡ −

a( ) (función de Bessel de 1 especie)n cnmJ J k ρ≡

a( ) (función de Bessel de 2 especie)n cnmY Y k ρ≡

( )cnm

dJJd k ρ

≡' ( )cnm

dYYd k ρ

≡'

a

a

JCY ρ=

≡ aa

JCY

ρ=

≡'

''

TEM TEnm n = 0,1,... m = 1,2,...

TMnm n = 0,1,... m = 1,2,...

TEnm n = 0,1,2,... m = 1,2,...

TMnm n = 0,1,2,... m = 1,2,...

eρ 0

ln /V

b aρ

2 acnm

j n AB J C Ykωμρ

−− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦' nm

acnm

j AB J C Ykβ +− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

' '2cnm

j n AB Jkωμρ

−− ⎡ ⎤⎣ ⎦nm

cnm

j AB Jkβ +− ⎡ ⎤⎣ ⎦

'

eϕ 0 acnm

j AB J C Ykωμ + ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

' ' ' 2

nma

cnm

j n AB J C Ykβρ

−− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎣ ⎦cnm

j AB Jkωμ +⎡ ⎤⎣ ⎦

' 2

nm

cnm

j n AB Jkβρ

−− ⎡ ⎤⎣ ⎦

ez 0 0 aAB J C Y+⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 AB J+⎡ ⎤⎣ ⎦

hρ 0 nma

cnm

j AB J C Ykβ +− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

' ' ' 2 acnm

j n AB J C Ykωερ

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ nm

cnm

j AB Jkβ +− ⎡ ⎤⎣ ⎦

'2cnm

j n AB Jkωε

ρ−⎡ ⎤⎣ ⎦

hϕ 0

ln /V

b aηρ

2nm

acnm

j n AB J C Ykβρ

−− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦'

acnm

j AB J C Ykωε +− ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

' '2

nm

cnm

j n AB Jkβρ

−− ⎡ ⎤⎣ ⎦cnm

j AB Jkωε +− ⎡ ⎤⎣ ⎦

'

hz 0 aAB J C Y+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦' 0 AB J+⎡ ⎤⎣ ⎦ 0

kcmn 0 Raíces de a bC C=' ' Raíces de

a bC C= nmpa

' nmpa

n m

1 2 3 1 2 3

0 3.83 7.02 10.17 2.41 5.52 8.65

1 1.84 5.33 8.54 3.83 7.02 10.17

2 3.05 6.71 9.97 5.14 8.42 11.62

(raíces de )nmp J ′' (raíces de )nmp J


35

MODOS FUNDAMENTALES

LÁMINAS PLANOPARALELAS, TEM

RECTANGULAR, TE10

COAXIAL, TEM

CILÍNDRICA, TE11

1. MODOS DE PROPAGACIÓN Y PROPIEDADES DE...

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