1Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

1 Límites

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Límite de una función en un punto

2Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

• Explica con sus palabras e ilustrar mediante gráficas, el concepto de límite de una función en un punto y el concepto de límite infinito en un punto.

• Explica la utilidad de los límites laterales para analizar el comportamiento límite de algunas funciones.

• Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en cuanto a valores límites y, viceversa, expresar mediante enunciados de límites el comportamiento de una función dada por su gráfica.

• Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar gráficamente los casos que se pueden presentar.

Habilidades

3Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

r

Problema

Problema:El volumen de un cilindro es r2h. ¿Cómo podría obtenerse, a partir de aquí, el volumen de un cono?

Solución: i = 1

i = 2

i = 3

i = n - 1

h

4Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Recta Tangente ¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva ; que pasa por el punto P(1;1)? 3f x x

x

y

5Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

0xa

L

0xa

L

0xa

L

(a) (b)

(c)

Advierta la frase “pero x = a” para la existencia del límite/

6Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero no igual a a.

Definición de límite

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Escribimos: Lxfax

)(lim

y decimos“el límite de f(x) cuando x tiende hacia a, es igual a L”

x

f(x)

xf(x)

a

L

Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de a (no necesariamente en a).

x

y

7Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Ejemplo

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Analizar el comportamiento de la función:

232)( 2

xxxxf

cuando x tiende hacia 1 y cuando x tiende hacia 2 f(0,9) = - 10

f(0,95) = - 20f(0,99) = - 100

f(0,999) = - 1000

f(1,1) = 10f(1,05) = 20f(1,01) = 100

f(1,001) = 1000f(1,9) = 1,111…

f(1,95) = 1,0526f(1,99) = 1,0101

f(1,999) = 1,0010

f(2,1) = 0,9090…f(2,05) = 0,9524f(2,01) = 0,9901

f(2,001) = 0,9990

8Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero mayores que a.

Límite lateral derecho

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Escribimos:Lxf

ax

)(lim

y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la derecha, es igual a L”

Sea f definida en (a, c).

x

f(x)

a

L

x

y

9Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

a

L

x

y

si podemos aproximar arbitrariamente los valores de f(x) a L para todas las x suficientemente cerca de a, pero menores que a.

Límite lateral izquierdo

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Escribimos:Lxf

ax

)(lim

y decimos “el límite de f(x) cuando x tiende hacia a desde la izquierda, es igual a L”

Sea f definida en (c, a).

x

f(x)

10Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

A continuación se muestra la gráfica de una función g. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:

Ejemplo

)(lim2

xgx

)(lim2

xgx

)(lim2

xgx

)(lim3

xgx

)(lim3

xgx

)(lim3

xgx

11Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Unicidad del límite

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Si el límite de f(x) cuando x tiende hacia a existe, entonces es único.

a

L

x

y

a x

y

Lxfax

)(lim si y solo si

LxfLxf

ax

ax)(lim)(lim

Lxfax

)(lim )(lim xfax

no existe

12Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

a x

y

Límite infinito

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

)(lim xfax

Los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos los x lo suficientemente cerca de a, pero distintos de a.

x

f(x)

x

f(x)Similarmente

)(lim xf

ax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

13Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Asíntotas verticales

Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Cuando uno ó ambos límites laterales de f(x) es ∞ ó -∞ para x tendiendo hacia a, se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x).

x

f(x)

2-1

Asíntota vertical.

x = -1x = 2

Asíntota vertical.

14Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Bibliografía

“Cálculo de una variable”Sexta ediciónJames Stewart

Secciones 2.1 y 2.2Páginas: 83 - 99