Antes de adentrarnos en la geometría renacentista haremos un breve recorrido por la medieval.

1. La Geometría en la Edad Media La Edad Media comienza con la Caída de Roma en el año 476, y culmina en el

año 1453 con la Caída de Constantinopla en manos turcas. Se trata de una demarcación en esencia política, para la historia de las matemáticas o de la ciencia en general otras fechas serían mejores pero la vamos a seguir por motivos didácticos. El grueso de la historia de las matemáticas medievales no fue exclusividad europea, sino que tuvo influencias de las civilizaciones árabe, india, china, bizantina (Imperio Romano de Oriente) y lo que quedaba del Imperio Romano de Occidente, cada una de ellas con diferente lengua.

1.1. Edad Media Europea. Alrededor del siglo XII y siglos previos la sociedad europea fue esencialmente una

colección de pueblos aislados y de poco nivel cultural, con la Iglesia Católica como albacea intelectual. Culturalmente durante todo este período no existió mucha relación con la mayor parte del pensamiento clásico griego, distancia que ya se había establecido desde el mismo Imperio Romano. La enseñanza, el aprendizaje, el conocimiento escaso que se había rescatado de las culturas griega y romana, estuvieron asociados a la Iglesia Católica y, sobre todo, a las necesidades que ella tenía (servicios religiosos, lectura de los libros sagrados,…). El latín fue escogido como idioma oficial de la Iglesia, y la utilizada en la enseñanza y en el intercambio de conocimiento. En toda esta época no había mucha matemática disponible, aunque tuvo cierto énfasis en el currículo educativo para las pocas escuelas existentes. El modelo educativo estaba formado por disciplinas conocidas como el Cuadrivium y el Trivium. El primero estaba constituido por las geometría, aritmética, astronomía y música, mientras que el segundo por retórica, gramática y dialéctica. La razón fundamental del bajo nivel de las matemáticas, y en general la ciencia, era la ausencia de factores que estimularan el desarrollo del conocimiento. Para la Iglesia de aquel tiempo la verdad y las fuentes y criterios de la misma sólo se encontraban en la revelación divina, y los estudios tenían que orientarse hacia la lectura y análisis de los textos sagrados, donde se suponía se encontraba el conocimiento. En ese sentido, los métodos empíricos o experimentales estaban prácticamente excluidos para la investigación del mundo circundante. Los temas principales de reflexión y análisis eran el pecado, el temor al infierno, la salvación o cómo ascender al cielo, por lo que el estudio del mundo físico real no solo se consideraba fuera de los fines de la educación y el conocimiento por parte de la Iglesia, sino que, muchas veces, era considerado algo estéril y hasta herético. En la Edad Media hubo auténticas etapas "oscuras'' cultural y socialmente, y otras con importantes realizaciones espirituales; hubo regiones cultas y otras muy atrasadas. Cohabitaron diferentes sistemas económicos, políticos y sociales, y puede decirse que la época estuvo marcada por importantes contradicciones culturales. A pesar de que fue un contexto poco propicio para las ciencias y las matemáticas, en la Edad Media surgieron las primeras universidades "modernas'', se alcanzaron desarrollos

urbanos novedosos, se produjo el progreso de métodos y técnicas agrícolas, grandes avances en el transporte, etc. Resultaría más apropiado hacer un enfoque que partiese de esta diversidad y que señalase las tendencias más importantes en su devenir social y cultural.

1.1.1. El regreso de la influencia griega. Alrededor del siglo XII los europeos tomaron conciencia de las grandes

contribuciones en ciencias, matemáticas, literatura y arte, realizados en la Grecia Antigua. Gracias al comercio y los viajes tomaron contacto con obras que habían sido conservadas, traducidas e incluso ampliadas por los árabes. Los trabajos de la Antigüedad griega fueron retomados por los intelectuales europeos y religiosos de la época, creando la Escolástica, que en síntesis conectó el pensamiento de Aristóteles (c.384-322 a.C.) con las ideas y doctrinas de la Iglesia Católica. No obstante se enfatizaron más los aspectos metafísicos (la lógica y premisas cosmológicas más en consonancia con los dogmas establecidos) que los naturalistas o más relacionados con la indagación empírica. Por eso los avances en ciencias y en matemáticas no fueron de una gran trascendencia. Esta situación se mantuvo hasta el advenimiento de las transformaciones sociales, culturales y políticas asociadas al Renacimiento y la Revolución Científica. Alrededor de esta época se conocen algunos resultados matemáticos asociados a los nombres de Leonardo de Pisa (c. 1170-1250) y Nicole Oresme (c.1323-1382).

1.2. Los Árabes. Los árabes eran un conjunto de pueblos nómadas que vivían en lo que hoy es la

Península Arábiga. Bajo el liderazgo de un gran dirigente religioso llamado Mahoma constituyeron un extraordinario imperio en el Mediterráneo. En el año 632 d.C. el Imperio Árabe limitaba con la India y España, incluía el norte de África y el sur de Italia, mientras que Europa era apenas un grupo de pueblos esencialmente atrasados y aislados. Los árabes construyeron una extraordinaria civilización que cultivó ciencias, artes e incluso promovieron una atmósfera cultural, social y política bastante flexible y tolerante con relación a las religiones y a los pueblos alrededor del Mediterráneo. Los árabes, por lo menos hasta el siglo XV, constituyeron el principal centro de cultura, educación, y ciencias de toda la región. El fundamento básico de su desarrollo cultural estuvo asociado al conocimiento de la Antigüedad griega, a través directamente de fuentes griegas en versión siria o hebrea. Ellos habían tomado contacto con lo que quedó del mundo griego en Bizancio, lo que se suele llamar el Imperio Romano de Oriente, a la vez que de Egipto y escuelas sirias de Edessa, Damasco y Antioquía; aunque también tuvieron contacto con obras conservadas por los cristianos nestorianos en Edessa.

Al-Khoarizmi

La matemática árabe dio especial la relevancia al álgebra y a la aritmética, a diferencia de los griegos antiguos que las habían geometrizado motivados por los problemas que encontraron con los números irracionales y con algunas paradojas numéricas. Como ya explicamos, las debilidades de la matemática griega hicieron que se restringieran las posibilidades de desarrollo de la misma geometría, aunque los más afectados fueron el álgebra y la aritmética. Los árabes usaron sin problema los números irracionales, al igual que los hindúes. La notación posicional en base 10 y los números negativos fueron introducidos en Europa por el influjo hindú y árabe. Dos insignes matemáticos árabes fueron Mohamed ibn Al-Khoarizmi (c.825 d.C.) y Omar Khayyam (c.1038-1123). La influencia árabe tuvo impacto en el mundo europeo a partir del siglo XII, cuando representó ese extraordinario puente entre los intelectuales europeos y la Antigüedad griega. En muchas ocasiones, las primeras versiones que recibieron los europeos de los textos clásicos de la Antigüedad (tanto en matemáticas, medicina, química y otras áreas del conocimiento y las técnicas) fueron textos y obras traducidos por los islámicos al arábigo.

1.3. Los hindúes. La matemática hindú se remonta a los tiempos de las civilizaciones babilónica y

egipcia, y tuvo contacto con el mundo griego (Pitágoras). El primer texto de matemáticas hindúes conocido data del 476 d. C. (caída del Imperio Romano de Occidente), debido a Aryabhata. El origen de la geometría en la India es muy similar al de Egipto: planificación de templos, medición y construcción de altares. Esta disciplina es conocida como los Sulvasutras o “Reglas de la Cuerda" (“sulva” es una palabra que refiera a las cuerdas utilizadas en las mediciones). Las aportaciones en general son dispersas en el tiempo y difícilmente datables. En la mayoría de los casos muy en conexión con la geometría griega (el valor de π que dieron los hindúes es muy próximo al de Ptolomeo). La obra el Araybhatiya de Aryabhata (499 d.C.) representa para la India el papel análogo a los Elementos de Euclides para Grecia. Ambas son recopilaciones de desarrollos anteriores compilados por un autor único. No obstante, y a diferencia de lo que ocurre en los Elementos, el Aryabhatiya es una breve obra descriptiva sin ninguna relación con la lógica o la metodología deductiva. En la segunda mitad del Aryabhatiya

aparece el sistema de numeración decimal posicional o en base diez (año 662 d.C.). Este sistema triunfó ante los anteriores por la creación de una nueva cifra: el 0 (año 876). Si un número consta de 3 unidades y 2 centenas, colocamos un 0 en la posición de las decenas y resulta 203. El uso del cero para representar una posición vacía en los sistemas de numeración posicionales aparece, al parecer, independientemente en el mundo occidental (antes de la época de Colón) y en el oriente asiático. La matemática hindú fue mucho más intuitiva y alejada del racionalismo griego. Estuvo más interesada por las cuestiones numéricas, aritméticas y algebraicas, incluyendo la resolución de ecuaciones. Brahmagupta (628 d. C.) dio soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces, incluso las negativas, introduciendo una aritmética sistematizada de los números negativos y del cero. Para los hindúes no había impedimento en aceptar los números irracionales, pensemos que sólo en el siglo XIX se fundamentó el sistema de los números reales sobre una base sólida. El matemático hindú más importante del siglo XII fue Bhaskara (1114-1185), quien completó la obra de Brahmagupta. Entre otras cosas, se enfrentó con el problema de la división por cero, y por tanto, con la idea del infinito en matemáticas. Decía del infinito que “…en esta cantidad no hay alteración posible por mucho que se añada o se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable".

2. El Renacimiento Frecuentemente se asegura que el significado más importante de la caída de

Constantinopla en 1453, para la historia de las matemáticas, es que Italia y el resto de Europa se beneficiaron con las traducciones de los manuscritos de los tratados griegos. Añadamos a esto la gran influencia del descubrimiento de la imprenta, que permitió un soporte más práctico para los escritos que dejaba atrás los antiguos papiros y facilitaba la difusión del conocimiento. Los primeros libros impresos de Europa del oeste datan de 1447, aunque pocas de estas fueron matemáticas. Al principio, la geometría griega clásica fue menos significativa que las ediciones de las traducciones latinas medievales de los tratados algebraicos y aritméticos árabes. Los estudios medievales latinos en geometría elemental y en teoría de proporciones, así como las contribuciones arábigas a las operaciones aritméticas y métodos algebraicos, no presentaron dificultades comparables a las asociadas con los trabajos de Arquímedes y Apolonio, por ejemplo. Nicholas de Cusa (1401-1464) tuvo acceso a algunos trabajos de Arquímedes. Fue un matemático algo errático, aunque llegó a argumentar que cualquier cosa medible puede representarse por una línea. Fue uno de los primeros europeos en hacer un intento serio aunque fallido de resolución del problema de la cuadratura del círculo, promediando polígonos inscritos y circunscritos al mismo.

2.1. La trigonometría: de Regiomontano a Copérnico. Johann Müller, de Königsberg, llamado Regiomontano (1436-1476), fue probablemente el matemático de mayor influencia del siglo XV. Puntualizó el error del razonamiento de Cusa en el problema de la cuadratura del círculo. Regiomontano estudió en las universidades de Leipzig y Viena, donde desarrolló su gusto por las matemáticas y la astronomía. En Roma adquirió un gran conocimiento del griego, siendo el enlace entre el conocimiento clásico preservado en Constantinopla y el

movimiento renacentista. Al regresar a Alemania estableció una imprenta y un observatorio en Nuremberg, comenzando a imprimir traducciones de los trabajos de Arquímedes, Apolonio, Heron, Ptolomeo y otros. Su temprana muerte (probablemente envenenado) dejó su obra incompleta. La lista de libros que planeaba imprimir se conserva, lo que indica que el desarrollo de las matemáticas se habría acelerado si hubiera sobrevivido. La principal contribución de Regiomontano en astronomía fue completar una nueva versión latina del Almagesto de Ptolomeo. Su Epítome del Almagesto de Ptolomeo es notable por su énfasis en las partes matemáticas que habían sido omitidas en astronomía descriptiva elemental. El trabajo sistemático de los métodos para resolver triángulos de Regiomontano: De triangulis omnimodis, es de gran significado para las matemáticas, ya que marcó el renacimiento de la trigonometría tradicionalmente vinculado a la astronomía. Los avances en trigonometría protagonizados por indúes y árabes eran ya conocidos por Regiomontano. Éste, sin embargo, contribuyó decisivamente para este campo ganase prominencia en Europa independizándolo de la astronomía. El primer libro de De triangulis, escrito alrededor de 1464, inicia con nociones fundamentales, derivadas de Euclides, sobre magnitudes y razones; tiene más de cincuenta proposiciones sobre la solución de triángulos, usando propiedades de ángulos rectos. El libro II inicia con el establecimiento y prueba de la ley de los senos, incluyendo problemas para determinar lados, ángulos y áreas de triángulos planos, dando determinadas condiciones. El libro III contiene teoremas encontrados en los textos griegos sobre esferas, antes del uso de la trigonometría. El libro IV es sobre trigonometría esférica e incluye leyes de los senos esféricas. Entre lo novedoso está el uso de fórmulas de área; pero no incluyó la función tangente. La función tangente fue considerada en otro tratado de trigonometría de Regiomontano: Tabulae directionum. En su tabla de tangentes en Tabulae directionum (también las había para senos y cosenos) no llamó a la función “tangente”, sino que utilizó solo la palabra números para las entradas de tangentes y grados para los grados, en una tabulación con el encabezado “Tabula fecunda”. Cien años después de la caída de Constantinopla, ciudades europeas como Viena, Cracovia, Praga y Nuremberg fueron líderes en astronomía y matemáticas gracias a la obra de Regiomontano, en la mayoría de los casos publicada póstumamente. Durante la vida de Regiomontano, Polonia había logrado un gran nivel en la enseñanza y la Universidad de Cracovia, donde Copérnico se inscribió en 1491, alcanzó gran prestigio en matemáticas y astronomía. Nicolás Copérnico (1473-1543) fue el astrónomo que acabó con la visión de que la Tierra era el centro del sistema solar, y al contrario anunció que ésta se movía alrededor del Sol. Los conocimientos de astronomía de Copérnico eran paralelos a los de trigonometría. Copérnico se formó en Italia, aunque sus trabajos fueron realizados tras su vuelta a Polonia. Su tratado De revolutionibus orbium coelestium, publicado en 1543 (año en que murió), contiene partes substanciales en trigonometría, las cuales habían sido publicadas por separado años antes bajo el título De lateribus et angulis triangulorum, muy relacionado con De triangulis de Regiomontano. Es probable que la trigonometría de Copérnico estuviera relacionada con la de Regiomontano a través del matemático prusiano Georg Joachim Rheticus (1514-1476), de Wittenberg, un estudiante de Copérnico que tuvo acceso a la obra de Regiomontano. Rheticus combinó las ideas de Regiomontano y de Copérnico con las suyas propias en el tratado Opus palatinum de triangulis donde dejó de considerar las funciones con respecto al arco de un círculo y

se concretó a las líneas en un triángulo recto. Les dio uso a las seis funciones trigonométricas y calculó tablas para ellas.

2.2. El Renacimiento del Álgebra El renacimiento se caracterizó en matemáticas, principalmente por el surgimiento

del álgebra y fue una continuación de la tradición medieval, ya que Regiomontano reconoció la importancia del álgebra arábiga y latina, puesto que conoció el trabajo de Al-Khowarizmi y de Fibonacci. En Francia, Nicolas Chuquet (1445?-1500) elaboró el manuscrito Triparty en la science des nombres, el cual al igual que el Liber abaci (1202) de Fibonacci no fue editado hasta el siglo XIX. En el trata con simbología indoarábiga las operaciones aritméticas elementales (incluyendo las raíces), y estableciendo propiedades ariméticas básicas de los números. En su Regle des premiers, es decir de la incógnita, trata lo que nosotros llamaríamos álgebra resolviendo algunas ecuaciones lineales, cuadráticas y cúbicas. Una de las novedades es que expresó, por primera vez, un número negativo aislado en una ecuación algebraica. La mejor álgebra conocida de ese período se publicó diez años mas tarde (1494) en Italia: la Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita de Luca Paccioli, también conocido como Luca di Borgo (1445-1514). La Summa se terminó de escribir en 1487. Es una compilación de material en cuatro campos: aritmética, álgebra, geometría euclidiana elemental y contabilidad. Pacioli publicó en 1509 una edición de Euclides y un trabajo titulado De divina proportione que trata sobre polígonos y sólidos regulares y la razón posteriormente conocida como la sección dorada o número áureo. Las ilustraciones en De divina proportione se atribuyen a Leonardo da Vinci (1452-1519), quien realizó un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza (el hombre de Vitrubio).

Es en esta época cuando se asentaron los símbolos aritméticos modernos. En la publicación de 1492 Compendio de lo abaco de Francesco Pellos (1450-1500) se hace uso del punto para denotar la división de un entero por una potencia de diez. Los símbolos alemanes para la adición y sustracción +, -, desplazaron a la p y m italianas. Surgen los símbolos de potencia o exponente y radicales, se desarrolla la combinatoria y por ejemplo aparecen ilustraciones del triángulo (infinito) de Pascal, un siglo antes del nacimiento del propio Blaise Pascal. A partir de 1545, con la publicación de Ars Magna de Jerónimo Cardano (1501-1576), se hizo común la solución de la ecuación cúbica y de la ecuación cuártica. Las ideas para resolver estas ecuaciones no eran de Cardano sino que provenían de Tartaglia (Niccolo Fontana 1500-1557) para la cúbica y de Ludovico Ferrari (1522-1565) para la cuártica. No obstante, el auténtico descubridor de estos algoritmos parece que fue Scipione del Ferro (1465-1526) tiempo antes. Se considera que la solución de las ecuaciones cúbica y cuártica son la mayor contribución al álgebra desde los babilonios. No ha habido otros descubrimientos que hayan estimulado el desarrollo del álgebra y la teoría de números como lo hizo Ars Magna. Así, con posterioridad Rafael Bombelli (1526-1573), llegó a apreciar que los radicales deben estar relacionados de la misma manera como están relacionados los radicandos. Es decir, que son imaginarios conjugados que producen números reales, anticipando el papel que los conjugados jugarían en el futuro. El símbolo para la igualdad apareció en Inglaterra en 1557 en el Whetstone of Witte de Robert Recorde (1510-1558), pero tuvo que pasar más de un siglo antes de que tal símbolo se impusiera sobre otras notaciones. Recorde fue el fundador de la escuela matemática inglesa, y aparte de sus trabajos sobre algebra y aritmética, en el Pathewaie to knowledge compendió Los Elementos de Euclides. Esta obra es conocida como la primera geometría que apareció en inglés.

2.3. La Geometría en el Renacimiento temprano. La geometría del siglo XVI estuvo protagonizada por Johannes Werner (1468-

1522) y Albrecht Dürer (1471-1528) en Alemania, y Leonardo da Vinci (1452-1519), Francesco Maurolico (1494-1575) y Paccioli en Italia. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. La geometría también se benefició del trabajo de los geógrafos, ya que la navegación estuvo estrechamente relacionada con la obtención de mapas para la Tierra interpretada como una esfera. De aquella época datan los primeros Mapamundi, cruciales en las empresas de Magallanes y Elcano. Werner transmitió la trigonometría de Regiomontano; pero fueron más significativos sus trabajos sobre cónicas, impresos en Nuremberg en 1522. Derivó ecuaciones para la parábola y la hipérbola a partir del cono e incorporó un método propio para construir puntos sobre una parábola con regla y compás, partiendo de un conjunto de círculos tangentes en un mismo punto. Un hecho importante en que difiere el arte renacentista del arte de la edad media, es en el uso de la perspectiva en la representación plana de objetos tridimensionales. El arquitecto florentino Filippo Brunelleschi (1377-1446), abordó este problema, pero el primer intento serio lo dio Leon Battista Alberti (1404-1472) en el tratado Della pictura de 1435 e impreso en 1511. También contribuyó Piero della Francesca (1410-1492) en De prospectiva pingendi (1478). Escribió también De corporibus regularibus,

donde apreció que las diagonales de un pentágono se cortan siguiendo la “divine proportione”. También trató el volumen común que determinan dos cilindros circulares rectos iguales cuyos ejes se cortan en ángulo recto. Leonardo conectó también el arte con la geometría. En sus notas se encuentran cuadraturas, construcciones de polígonos regulares y razonamientos sobre centros de gravedad y sobre curvas de doble curvatura; pero se distinguió más por su aplicación de las matemáticas a la ciencia y la teoría de la perspectiva. En su Trattato della pittura inicia con la advertencia: “quien no sea un matemático no lea mi trabajo”. En el trabajo de Dürer se aprecia claramente la influencia de Paccioli. Así, en Melancolía, de 1514, aparece un cuadrado mágico similar a los que Paccioli estudiaba en su manuscrito De viribus quantitati. Dürer tuvo más interés en la geometría, generó epicicloides pero no las estudió analíticamente, ya que no contaba con la herramienta algebraica necesaria. La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia directriz (es un tipo de ruleta cicloidal).

Aunque dio construcciones ingeniosas para polígonos y otras curvas planas (obtenidas al proyectar curvas en el espacio sobre un plano), al no tener los fundamentos matemáticos, no distinguía fácilmente entre resultados exactos y aproximaciones. En este tiempo no llegó a apreciarse en su justa medida la importancia de las transformaciones geométricas. No obstante, las proyecciones resultaron esenciales para los cartógrafos debido a las necesarias exploraciones geográficas. Los ocho libros en el tratado Geografía de Ptolomeo (autor del Almagesto), fueron cruciales para los geógrafos de la época. En ellos se introdujo el sistema de latitudes y longitudes tal y como se utiliza actualmente, y describían métodos de proyección cartográfica en general no muy precisos. Ptolomeo fijaba el tamaño de la tierra en 180,000 estadios siguiendo a Posidonius (profesor de Pompeyo y Cicerón), en lugar de los más aproximados 252,000 estadios de Eratóstenes. Esto dio como resultado que el mundo Eurasiano conocido abarcara una fracción mayor de la esfera terrestre que lo que realmente le correspondía. De este error la creencia de los navegantes de que el viaje de Europa a la India, navegando hacia el oeste, no resultaría tan largo.

Ptolomeo describió dos tipos de proyección de mapas: la proyección ortográfica, que la explicó en Analemma, la cual es una transformación de una esfera a un plano, donde los puntos de la superficie de la esfera se proyectan ortogonalmente sobre tres planos mutuamente perpendiculares, y la proyección estereográfica, descrita en Planisphaerium, en la cual los puntos en la esfera se proyectan por líneas desde un polo sobre un plano (en el caso de Ptolomeo desde el polo sur al plano del ecuador). En el mapa realizado por Ptolomeo se sintetizaron los conocimientos de su tiempo y sentó las bases de la concepción del mundo hasta finales de la Edad Media. Uno de los primeros innovadores fue el matemático alemán Peter Apian (1495-1552). En 1520 publicó el primer mapa del Viejo y el Nuevo Mundo en el que se usó el nombre “América”. De la escuela flamenca de cartografía se puede destacar la contribución hecha por Gerard Mercator (1512-1594). En esta época lo común era dibujar mapas basándose en una red rectangular de dos conjuntos de líneas paralelas equidistantes, uno para las latitudes (Norte-Sur) y otro para las longitudes (Este-Oeste). Sin embargo la distancia entre grados de longitud varía con el paralelo de la latitud a lo largo de la cual se mide. Esto provoca distorsión de las figuras y errores de dirección. Mercator introdujo la proyección de Mercator, la cual, con posteriores modificaciones, resultó básica en cartografía.

Esta proyección (que no es conforme, no preserva ángulos) parte de considerar a la Tierra como una esfera inscrita en un cilindro circular recto que la toca a lo largo del ecuador y, desde el centro de la Tierra, se proyectan los puntos en su superficie sobre el cilindro. Al cortar el cilindro a lo largo de una generatriz y extenderlo luego sobre un plano, los meridianos y paralelos en la Tierra se transforman en una red rectangular de líneas. Las distancias entre líneas meridianas sucesivas serán iguales, pero las distancias entre líneas de latitud sucesivas no serán iguales. Estas últimas se incrementan rápidamente conforme se aleja uno del ecuador de manera que ocurren distorsiones en las figuras y en las direcciones. Mercator encontró que por medio de una modificación de estas distancias, determinada empíricamente, era posible preservar las direcciones y las figuras. En 1599, Edward Wright (1558-1615), en Cambridge, desarrolló las bases teóricas de la proyección de Mercator calculando la relación funcional entre la distancia D desde el ecuador y la latitud Lº (un ángulo)

D = a ln tan(L/2 + 45°).

En el renacimiento las matemáticas se aplicaron en muchos campos (mecánica, arte, cartografía, y óptica…). Maurolico revivió el interés por lo más avanzado de la geometría clásica, fundamentalmente, Arquímedes, Apolonio y Pappus. De los trabajos de estos autores clásicos se hicieron diversas traducciones, especialmente al latín, algunas de ellas protagonizadas por Maurolico. Maurolico tuvo acceso a la geometría antigua disponible, ya que leía griego y latín, y reconstruyó algunos de los tratados clásicos perdidos. Estas fuentes fueron uno de los principales estímulos para la geometría precartesiana. La Geometría tuvo que esperar desde la muerte de Maurolico en 1575 hasta la publicación de La géométrie de René Descartes (1596-1650) en 1637, para que el avance del álgebra y la teoría de números alcanzaran el nivel necesario que hiciera posible la geometría analítica.

2.4. La Geometría Proyectiva: Desargues y Pascal La Geometría Proyectiva es toda la geometría. (A. Cayley) En el lugar de las matemáticas hay muchas moradas, y de entre ellas, la más elegante es la Geometría Proyectiva. (M. Kline) La Geometría Proyectiva tiene sus orígenes en la pintura del Renacimiento. Luego, en el siglo XVII se recuperarán ideas de los matemáticos griegos (las secciones cónicas, por ejemplo), pero son sin duda los pintores renacentistas los que fundamentan esta rama de las Matemáticas al conseguir plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales tal como son, a diferencia de sus antecesores de la Edad Media. Por eso no es extraño que en sus orígenes esté vinculada a nombres como Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio o Alberto Durero. En muchas de las grandes obras de estos maestros están encerrados pequeños tratados de geometría proyectiva, por ejemplo, en la última cena de Leonardo, o en el Descendimiento de Van der Weiden:

En el Renacimiento se investiga la visión que nuestro ojo tiene de una figura cuando la vemos en distintas pantallas colocadas entre ella y nosotros. Así nacen la perspectiva y el estudio de las proyecciones y las secciones. Son significativas las preguntas de Leone Battista Alberti en 1435: ¿Qué relación hay entre dos secciones de la misma figura?, ¿cuáles son las propiedades comunes a dos secciones cualesquiera? En el contexto de los trabajos de perspectiva del Renacimiento y ante la aparición de nuevos problemas en la ciencia aplicada, surgen en el siglo XVII varias figuras clave en la recuperación de los conocimientos geométricos griegos y en los nuevos enfoques que dieron lugar al nacimiento de la Geometría Proyectiva. Además de Kepler, que se orientó más hacia la Óptica y la Astronomía, tres son los nombres que se destacan: Gerard Desargues (1591-1661), Blaise Pascal (1623-1662) y Philippe de la Hire (1640-1718). El espacio proyectivo es una extensión de la geometría afín, que incluye los puntos impropios o del infinito. De esta forma cualesquiera dos rectas se cortan en un punto, que será impropio si son paralelas.

Desde el punto de vista proyectivo, todas las cónicas se unifican en una sola, de manera que la geometría proyectiva ofrece un lenguaje universal y unificador de todo lo conocido por la geometría anterior.

La geometría proyectiva lleva implícito un principio de simetría o dualidad que permite la comprensión de enunciados paralelos intercambiando los papeles de los puntos y las rectas:

Por dos puntos pasa una sola recta ßà Dos rectas se cortan en un solo punto El matemático e ingeniero francés Gérard Desargues (1591-1661) es considerado como padre fundador de la Geometría proyectiva (de los pocos privilegiados que ha dado nombre a un cráter en la cartografía de la Luna). Desargues, que trabajó en la corte del cardenal Richelieu, vivió en la época dorada de la matemática francesa siendo contemporáneo de Pascal (padre e hijo), Descartes, Philippe de la Hire y Mankington Stike. Muchos de sus trabajos originales se perdieron o fueron atribuidos erróneamente a otros. Sin embargo, parte de su trabajo original fue recuperado en 1864 por Michael Mcgregor en su tumba en las afueras de París. Sus trabajos han sido recogidos en la obra de René Tatón L'oeuvre mathématique de Desarques. Desargues investigó las secciones cónicas y los puntos del infinito, la invarianza de la razón doble y las cuaternas armónicas, y la teoría de polares. Uno de sus resultados más celebrado es el Teorema que lleva su nombre: Teorema de Desargues: Si proyectamos un triángulo de vértices A,B,C desde un punto O obtenemos otro triángulo de vértices A',B',C', y decimos que los dos triángulos son perspectivos. Entonces, dos triángulos son perspectivos si y sólo si los lados correspondientes se cortan en puntos alineados.

La razón doble surgió de la pregunta de Alberti: ¿qué se conserva por proyección, si no lo hacen ni la longitud ni los ángulos? Cabe estudiar cuándo varios puntos en una recta se transforman (por proyecciones sucesivas) en otros tantos de otra. Si se tienen tres puntos, esto siempre es posible aunque para cuatro puntos no. El invariante geométrico que responde a esta cuestión es la razón doble, que se define dados A,B,C,D alineados como la razón (CA/CB):(DA/DB). Desargues probó que: Cuatro puntos alineados son el resultado de aplicar sucesivas proyecciones a otros cuatro si la razón doble de los primeros es la misma que la de los segundos. Blaise Pascal (1623-1662) fue filósofo, físico y matemático francés. Fue un genio precoz a quien su padre inició muy pronto en la geometría e introdujo en el círculo de Mersenne, la Academia, a la que él mismo pertenecía. Allí Pascal se familiarizó con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactó su Essai pour les coniques) que contenía lo que hoy se conoce como teorema del hexágono de Pascal, uno de los más bellos y sugestivos de la matemática. El teorema de Pappus puede considerarse como el caso no regular del Teorema de Pascal. Teorema de Pascal: Si se inscribe un hexágono en una cónica, los puntos de intersección de los pares de lados opuestos están alineados.

En 1653, Pascal publicó el Traité du triangle arithmétique en el que describe las propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético o triángulo de Pascal, manera de presentar coeficientes binomiales (aunque los matemáticos chinos conocían el triángulo desde siglos atrás).

En 1654 mantiene correspondencia con Pierre de Fermat y envía una primera aproximación al cálculo de probabilidades e introduciendo el concepto de valor esperado o esperanza matemática. Años más tarde, Pascal formuló la hoy llamada Apuesta de Pascal, una reflexión filosófica sobre la creencia en Dios, basada en consideraciones probabilísticas. El trabajo desarrollado por Fermat y Pascal en el cálculo de probabilidades permitió crear el marco a partir del cual Leibniz construiría el cálculo infinitesimal. La principal contribución de Pascal a la filosofía de la matemática tuvo lugar a través de su obra De l'Esprit géométrique. En ella trata el tema del descubrimiento de la verdad, argumentando la necesidad de un método que fundamente nuestros postulados en verdades ya establecidas. Al mismo tiempo, sin embargo, señalaba que esto era imposible, puesto que dichas verdades requerían también para su demostración de la existencia de otras verdades sobre las que fundamentarse y que los principios iniciales eran, por tanto, imposibles de alcanzar. Basado en este pensamiento, Pascal argumentaba que el procedimiento utilizado en geometría es tan perfecto como es posible, asumiendo ciertos principios a partir de los cuales se desarrollaban el resto de postulados, si bien era imposible demostrar que esos principios iniciales fuesen ciertos. Pascal también desarrolló en esa obra una teoría de la definición. Distinguió entre definiciones que son etiquetas convencionales hechas por el escritor y definiciones que se comprenden en el lenguaje, y que son admitidas y comprendidas de forma universal porque designan de forma natural el objeto que definen. El segundo tipo serían características de la filosofía del esencialismo. Pascal defendía que sólo las definiciones del primer tipo eran importantes para la ciencia y las matemáticas, argumentando que esos campos debían adoptar la filosofía del formalismo formulada por Descartes. En su obra titulada De l'Art de persuader, Pascal profundizó en el método axiomático, y en especial sobre la cuestión de cómo se puede convencer a la gente de la aceptación de los axiomas sobre los que se basan las conclusiones finales. Pascal coincidía con Montaigne en que era imposible conseguir la certeza absoluta sobre esos axiomas y conclusiones mediante los métodos disponibles, y que tan sólo se podía llegar a esos principios a través de la intuición, lo cual subrayaba la necesidad de la sumisión a Dios para la búsqueda de la verdad. Desgraciadamente, el siglo XVII no era adecuado para la geometría pura. Los problemas científicos del momento requerían métodos algebraicos más efectivos para los cálculos que la tecnología necesitaba. Por esto, la Geometría Proyectiva fue abandonada en favor de la Geometría Analítica, el Álgebra y el Cálculo Infinitesimal. Los resultados de Desargues, Pascal y de la Hire se olvidaron hasta principios del siglo XIX, cuando se produjo su resurgimiento de la mano de Monge y Poncelet.