1. INTRODUCCIÓN -...

1

1. INTRODUCCIÓN

La seguridad de brindar mejor calidad en los productos y servicios

constituye una de las principales preocupaciones de las empresas no

importando el ramo al que pertenezcan. No obstante, aunque se ha presentado

una evolución considerable en las técnicas de mejoramiento de la calidad tal

como el diseño experimental, la complejidad de los sistemas reales en muchas

ocasiones no ha sido considerada con la importancia adecuada.

Particular énfasis se debe dar a la relación entre la experimentación, el

tiempo y los costos que ésto origina. Es decir, al momento de llevar a cabo un

diseño experimental es común dejarlo sin terminar por no ver resultados

inmediatos o deseados. Dentro del contexto de esta relación, se ha demostrado

que un diseño experimental bien planeado permite inducir cambios en uno o

más factores para establecer las condiciones de operación que producen los

mejores efectos en la respuesta.

Por otro lado, una alternativa al uso de la experimentación real es el uso

de la experimentación simulada como lo explican Law y Kelton (1991), una de

las mayores ventajas de usar la simulación es adquirir conocimientos relativos

a la predicción del futuro. La simulación es, esencialmente, una técnica que

enseña a construir el modelo de una situación real aunada a la realización de

experimentos con el modelo. Por tanto, el desarrollo de esta investigación

involucra el estudio de casos por medio de la simulación de un paquete de

procesos con el propósito de comparar las metodologías de Taguchi y de

Superficie de Respuesta como herramientas para alcanzar la optimización de

procesos industriales.

2

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este capítulo se plantea y define el problema, así como los objetivos,

justificación, se formulan las hipótesis del proyecto y se plantean las preguntas

de investigación.

2.1 Definición del Problema

Al momento de seleccionar herramientas estadísticas para mejorar los

procesos industriales siempre se elige la opción que por experiencia haya

funcionado, también aquella que tenga las mejores recomendaciones de

nuestros superiores o en la mayoría de los casos las herramientas más

novedosas para estar a la par de nuestros competidores. La falta de estudios

en el comportamiento de los procesos y el usar las herramientas inadecuadas

son características que repercuten en la variabilidad de los procesos.

De acuerdo a la literatura revisada sigue existiendo la discrepancia

suficiente acerca de que la metodología Taguchi sea confiable. Muchos

analistas incluso han afirmado que la metodología ha quedado obsoleta con el

paso de los años. Actualmente, la metodología Taguchi sigue siendo

fuertemente criticada debido a ciertas restricciones que se le atribuyen. Por otro

lado el éxito respalda a la metodología, ya que al paso de años ha sido aplicada

en algunas áreas industriales como son la del plástico y la automotriz.

Considerando estos antecedentes, el presente trabajo trata de enfocarse

a casos donde se analizan los métodos del Dr. Taguchi y la metodología de

Superficie de Respuesta (MSR) con el fin de visualizar las deficiencias, ventajas

3

y aplicación de cada una de las metodologías. Para dicho desarrollo se empleó

el simulador de procesos Logicon® y se aplicaron las dos metodologías

respectivamente a cuatro de los procesos que se pueden simular con el

paquete Logicon®. El número de factores va de dos a cuatro factores con dos

niveles y se buscaron los niveles de los factores que proporcionaran una mejor

respuesta.

2.2 Preguntas de Investigación

1. ¿Cuál de las dos metodologías da la mejor solución al buscar los niveles

de los factores que optimizan el proceso?

2. ¿Cuál de las dos metodologías usa menos corridas experimentales?

3. ¿Cuál metodología es la más sencilla de aplicar?

2.3 Hipótesis

A continuación se presentan las hipótesis que se plantearon para el

experimento, en donde se evaluarán los efectos de las dos metodologías que

se involucraron en la experimentación. Las hipótesis son las siguientes:

1. La MSR nos dará una mejor solución para buscar los niveles de los

factores que optimizan la respuesta que la metodología Taguchi.

2. La MSR utiliza menos corridas experimentales que la Metodología

Taguchi.

3. La Metodología Taguchi es más fácil de aplicar que la MSR.

4

2.4 Objetivos

El objetivo principal de este proyecto es proponer el uso de las

metodologías de Taguchi y de Superficie de Respuesta con las que se pretende

mover la región experimental cerca del punto óptimo. Para alcanzar este

objetivo es necesario utilizar herramientas tales como, arreglos ortogonales,

gráficas lineales, análisis de varianza y análisis de regresión con los que se

pretende alcanzar los siguientes objetivos específicos:

Identificar los factores que son significativos y encontrar sus niveles

óptimos.

Identificar los factores que no son significativos

Desarrollar modelos dentro de una región relativamente pequeña

alrededor del punto óptimo.

Determinar los ajustes óptimos para los parámetros de los procesos que

maximicen o minimicen la función objetivo.

2.5 Justificación

Actualmente las empresas buscan afanosamente la mejora continua,

para poder enfrentarse a la competencia mundial sin temor a ser desplazadas.

Uno de los aspectos que siempre buscan mejorar son los procesos de

producción haciéndolos más baratos y eficaces. Para ello se utilizan todo tipo

de herramientas estadísticas y tecnológicas que estén a su alcance. El

propósito de este trabajo es proponer el uso dos herramientas estadísticas

experimentales: la metodología Taguchi y la de Superficie de Respuesta,

aplicadas a un estudio de casos simulados. Es importante recalcar, que los

métodos de diseño experimental que se usaron en esta investigación tienen

5

aplicaciones en diversas disciplinas y son utilizados para mejorar el desempeño

y confiabilidad de los productos. Así también como mejorar los costos de

producción, en tiempos más cortos para el diseño y desarrollo del producto. En

general, para obtener los beneficios de la experimentación es necesario llevar a

cabo varias pruebas experimentales que pueden resultar costosas o difíciles de

experimentar en una situación real. Es por ello, que en esta investigación

algunas situaciones han sido simuladas con el propósito de probarse los

efectos de una decisión en un modelo de simulación antes de que la decisión

se lleve a cabo en la realidad. Es decir, el uso del paquete Logicon® ayudó a

predecir la conducta de los diversos casos. A su vez, los resultados de ambas

metodologías nos muestra los beneficios que se pueden llegar a obtener con el

uso de la metodología de Superficie de Respuesta al disminuir las corridas

experimentales y alcanzar los niveles óptimos de operación. Por otro lado, la

metodología Taguchi es una herramienta simple ya que se puede aplicar sin

necesidad de tener conocimientos previos en el área estadística.

6

3. REVISIÓN DE LITERATURA

En este capítulo se describen las fases de la metodología Taguchi y de

Superficie de Respuesta, el concepto y diferencias de ambas corrientes del

diseño de experimentos, así como sus ventajas, métodos y aplicaciones.

3.1 El Movimiento de la Calidad

El patrón a seguir en las empresas de clase mundial para asegurar la

calidad de sus productos y procesos ha sido hasta hoy en día el uso de

pruebas e inspección constante. La confianza hacia los métodos de calidad fue

introducida por destacados líderes en Japón entre los años 40 y 50. Mientras

ésto pasaba, Estados Unidos hacia esfuerzos paralelos a Japón por mejorar

sus productos. Según Ishikawa (1985) citado por Osborne y Armacost (1996),

“la calidad debe ser construida en cada diseño en cada proceso”.

El ingrediente principal en el ciclo de vida de un producto siempre

dependerá de la optimización de las características de calidad en el momento

en que se desarrolla el producto. Para lograr la calidad de un producto tenemos

que identificar cuales serán las características que nos llevaran a alcanzar

dicha calidad. Hay muchas técnicas que conducen a mejoras significativas de

dichas características pero este trabajo se enfocara a dos técnicas que

conducen a la optimización: la metodología Taguchi y la metodología de

Superficie de Respuesta.

7

3.2 Metodología Taguchi

Los fundamentos del diseño de experimentos fueron desarrollados por Sir

R.A. Fisher en los años veinte, treinta años antes de que la Ingeniería de

Calidad fuera desarrollada por el Dr Taguchi. El diseño experimental se define

como el método para diseñar eficientemente experimentos y analizar los

resultados (Wu y Wu 1996). Es decir, el diseño de experimentos es una técnica

estadística que permite identificar factores que afectan el comportamiento de un

proceso y obtener mejoras a través del análisis detallado de los datos. Por

estas razones, la metodología Taguchi se derivó del diseño experimental

clásico porque entendía la importancia del mismo.

Ealey (1988) describe que Genichi Taguchi nació en Tokamichi Japón en

1924; se graduó del Colegio Tecnológico de Kyruo en Ingeniería textil, fue

nombrado ministro de salud pública y de los años 1948 a 1950 colaboró como

Ministro de Educación. Para 1950, después de la segunda guerra mundial, el

sistema de telefonía japonés era malo y disfuncional. El Dr. Taguchi se dedicó a

mejorarlo y la mayor parte de su investigación incluía el uso de una nueva

técnica de DOE mejorada y previamente probada. En esa época en la que la

mayoría de las compañías americanas pensaba que el concepto de calidad

correspondía sólo a producción, la metodología Taguchi se aplicó a dos áreas

principales:

1. Fuera de línea: Aplicada al desarrollo e investigación del producto

2. En línea: Aplicada durante la producción

Por otro lado, Pérez (1989), explica que el trabajo de Taguchi tuvo un

impacto significativo que aumentó el interés en el uso de experimentos

diseñados. Con la elaboración del diseño robusto Taguchi propuso hacer

procesos insensibles a los factores ambientales o difíciles de controlar.

Además de proponer diseños factoriales fraccionados y el uso de arreglos

8

ortogonales. La controversia generada de la metodología del Dr. Taguchi

surgió porque en el Occidente la metodología solamente era defendida por los

empresarios que habían obtenido beneficios con el método.

Para 1980 se hizo una revisión y los resultados indicaron que existían

problemas sustanciales con su estrategia experimental y con sus métodos para

el análisis de datos. De esta controversia surgieron algunos resultados

positivos. Por ejemplo, se generalizó el uso del diseño de experimentos en

industrias de piezas discretas y se creó el interés por el uso eficaz del diseño

de experimentos.

3.2.1 Beneficios del Método de Taguchi en la Industria

Taguchi introdujo su metodología con un gran número de conceptos

estadísticos y una excelente filosofía para el control de calidad en las industrias

manufactureras entre otras. Un ejemplo es la compañía de motores Ford, los

ingenieros fueron entrenados con la metodología Taguchi y utilizaron los

principios adquiridos para resolver los problemas de calidad con magníficos

resultados. De la misma manera Roy (1990), menciona que compañías como

Toyota, Nipon Denso, Xerox y Fuji Film aprendieron de las lecciones del Dr.

Taguchi y adoptaron sus principios. Por otro lado, según algunos autores como

Antony et al (2001), los métodos de Taguchi siguen funcionando de manera

exitosa como lo muestra la tabla 3.1.

Tal como dice Kolarik (1995), citado por Antony et al. (2001) esta filosofía es

más relevante en términos de que se busca trabajar de acuerdo a los objetivos

de desempeño del producto y proceso, mejorando radicalmente la actitud de

los empleados.

9

Tabla 3.1 Beneficios de la Metodología Taguchi en la Industria

Industria Plástico Automotriz Metal Electrónica y

Semiconductores

Tipo de proceso Moldeo Velocidad del

sensor para

sistema

antiderrame

Soldadura Cableado

Naturaleza del

problema

Alto

promedio de

rechazo del

producto

Excesiva

variabilidad

Baja

resistencia

del moldeo

Insatisfacción del

cliente

Escala del

experimento

8 corridas 8 corridas 16 corridas 16 corridas

Beneficios/Costos Reducción

sustancial de

rechazos con

ahorros de

$14,800

mensuales

Incremento de

estabilidad y

capacidad del

proceso(Cpk) y

ahorros de

$148,000

mensuales

Capacidad

del proceso

y ahorros de

$29,600

mensuales

La resistencia de los

cables incremento

30%, reducción

sustancial de

rechazos y ahorro de

$44,400 mensuales

3.3 Ingeniería de Calidad

No se puede hablar de la metodología Taguchi sin mencionar el término

Ingeniería de Calidad, ya que entre el conjunto de conocimientos contenidos en

los trabajos del Dr Taguchi se encuentra este término el cual podemos definir

de la siguiente forma:

Ingeniería de calidad es una serie de planteamientos para predecir y prevenir problemas al momento que un producto se vende y es usado por el cliente bajo diferentes condiciones ambientales durante el periodo de vida que es diseñado (Taguchi 1991).

10

Peace (1992), establece que en la ingeniería de calidad se consideran tres

etapas del diseño: diseño del sistema, diseño de parámetros y diseño de

tolerancias. El enfoque en la primera etapa del diseño de sistemas consiste en

determinar los niveles apropiados de los factores de diseño. El diseño de

sistemas es la etapa de innovación donde las ideas revolucionarias son

concebidas para la creación de nuevos productos. El diseño de parámetros

constituye la herramienta más sofisticada y poderosa que se ha desarrollado en

Japón para el diseño uniforme y robusto de productos a bajo costo. El diseño

de parámetros se utiliza para seleccionar la mejor combinación de niveles de

los factores de control, y para que los productos y procesos sean diseñados

con robustez ante las fuentes de variabilidad externa. Para entender mejor el

diseño de parámetros es necesario identificar los tipos de factores que existen:

1. Factores de control: el factor puede cambiar en el propio diseño del

sistema de factores y no afectará la variabilidad del proceso.

2. Factor de ruido: las fuentes de variabilidad externa o factores de ruido

son aquellos que afectan la función del producto. La causa de la

variación se denomina ruido.

3. Factor señal: es el factor que se utiliza para cambiar la salida

El diseño de tolerancias determina los rangos permitidos por el proceso de

producción. Es, por lo tanto, la aplicación del diseño de experimentos para

hacer cambios sistemáticos en las tolerancias con el fin de determinar que

factores son los que más contribuyen a la variación de la variable de respuesta.

En el análisis se encuentran los casos donde el grado de las tolerancias debe

restringirse y en que casos debe ampliarse.

11

3.3.1 Control de Calidad en Línea

Peace (1992), afirma que la metodología Taguchi se aplica a dos áreas

principales: fuera de línea y en línea. El control de calidad en línea envuelve

tanto a los ciclos de producción como al producto.

Las técnicas que sirven para monitorear la producción proveen al

experimentador los problemas potenciales para hacer las acciones correctivas

pertinentes. También, se obtiene retroalimentación para analizar posibles

variaciones. Los resultados deberán ser comparados con objetivos deseados,

se debe tener en cuenta de que el control de calidad en línea incluye

mantenimiento preventivo, dispositivos de calibración e inspección.

3.3.2 Control de Calidad Fuera de Línea

El propósito principal del control de calidad fuera de línea es optimizar el

diseño del producto y del proceso para soportar los resultados obtenidos en el

control de calidad en línea. La experimentación involucra dos funciones

específicas:

1.-Identificar la variación y 2.- determinar el diseño del proceso y optimización.

3.3.3 Características de Calidad

Es muy importante que el equipo de calidad defina cuales serán los

objetivos que se pretenden alcanzar. Al momento de seleccionar la

característica de calidad apropiada se debe de tener en cuenta si esta

característica es clara y medible. Entre las características de calidad hay cinco

principales:

Atributos clasificados. La respuesta es clasificada en categorías y éstas

presentan un orden de preferencia.

12

Características dinámicas. El objetivo es el control eficiente de la

intensidad de la variable de respuesta a través de un factor señal.

Nominal es mejor. Es el tipo de parámetro donde existe un punto

objetivo o valor nominal que conseguir sus objetivos consisten en

minimizar la variabilidad en torno a la media.

Menor es mejor. Las respuestas de salida del tipo menor es mejor

aparecen cuando lo deseable es minimizar el resultado, y el valor

objetivo es cero.

Mayor es mejor. Las respuestas de salida del tipo mayor es mejor

aparecen cuando se desea maximizar el resultado, y el valor objetivo es

infinito

Antes de terminar la fase de planeación de cualquier experimento, es

necesario identificar las variables y niveles involucrados en el estudio; después

de esto es necesario seleccionar el arreglo ortogonal que servirá para hacer la

corrida experimental.

3.3.4 Arreglos Ortogonales

Al diseñar el experimento el concepto de ortogonalidad frecuentemente

da lugar a confusión, es importante mencionar que ortogonal significa separable

según Peace (1992). En un arreglo ortogonal esto es importante porque

significa que una columna es separable la una de la otra. Cambiando el nivel de

un factor no hay efecto en el nivel de otro factor. El seleccionar el arreglo

ortogonal se lleva a cabo mediante los grados de libertad; estos se determinan

a partir del número de factores, número de niveles de cada factor y las

interacciones que se desea investigar (Taguchi y Konishi 1991 ). Una definición

general de grados de libertad es el número de comparaciones que necesitan

ser hechas entre el factor o niveles de interacción para determinar que nivel es

mejor. Los grados de libertad se establecen considerando los estimadores que

13

se ven involucrados. Una ventaja de la ortogonalidad es que los arreglos

ortogonales ayudan a reducir el costo de la experimentación. El autor, Pérez

(1989) da un ejemplo simple: un experimento de 15 factores a dos niveles cada

uno, se puede hacer sólo con 16 combinaciones en lugar de 32,768. En

algunas industrias no se requieren tantos factores, sin embargo hay ahorros

significativos. Los arreglos ortogonales han sido utilizados durante muchos

años, pero la aplicación del Dr. Taguchi tiene un enfoque diferente, ya que su

objetivo principal es la optimización de diseño de procesos de productos para

una mínima susceptibilidad al ruido.

3.3.5 Factores, Niveles e Interacciones

Peace (1992), describe que un parámetro consiste en la asignación de

un factor y su nivel. Un factor es una variable experimental controlable que se

piensa influye sobre la respuesta, es una variable experimental que está siendo

investigada para determinar su efecto sobre una respuesta. Un factor se

considera controlable por el experimentador. Un nivel es el valor específico de

un factor, puede ser cuantitativo o cualitativo. Para evitar experimentos muy

grandes el Dr.Taguchi recomienda trabajar con tres factores cuando mucho.

En las interacciones, el impacto de un factor sobre una característica de calidad

cambia dependiendo el nivel del otro factor. Si ésto sucede se dice que los

factores interactúan entre si.

3.3.6 Gráficas Lineales

El paso que sigue al seleccionar el arreglo ortogonal, consiste en

elaborar la gráfica lineal que más le convenga al experimentador. Es decir, la

gráfica lineal que permita acomodar los factores de interés sin ser perjudicial

respecto a cambios y costos.

14

Las gráficas lineales se conectan mediante puntos. Cada punto

representa un factor, la conexión representa una interacción. Como se observa

en la figura 3.1. Lo que se puede mencionar respecto a los arreglos ortogonales

y la gráficas lineales es que con estas herramientas se puede facilitar el diseño

de factoriales fraccionarios, reduciendo así costos de experimentación.

1 3 2

Fig 3.1 Gráficas Lineales para el Arreglo L4(23)

3.4 Metodología de Superficie de Respuesta

Un catalizador importante en la era industrial de principios de los ’30 fue

el desarrollo de la metodología de Superficie de Respuesta por parte de Box y

Wilson (1951). Estos autores explotaron dos características importantes en

aquel tiempo:

1) La variable de respuesta puede observarse casi de inmediato,

2) El experimentador puede obtener información de las corridas que le servirá

para hacer la planeación de su próximo experimento.

Estas dos características son llamadas por Box como inmediatéz y

secuencialidad. Figueroa (2003) define, la metodología de Superficie de

Respuesta como un conjunto de técnicas utilizadas en el estudio de la relación

entre una o más respuestas y un conjunto de factores o variables

independientes donde el objetivo es optimizar la respuesta. Dicha metodología

se realiza mediante la aproximación a la región de interés y se realiza de forma

iteractiva utilizando diseños cada vez más complejos que dependen de la

15

información que se obtiene en cada etapa. La metodología de Superficie de

Respuesta, permite al investigador inspeccionar una respuesta, que se puede

mostrar como una superficie en forma de red. Ejemplo de ésto puede ser

estudiar cómo los valores de temperatura y presión afectan la tasa de una

reacción química y tratar de encontrar los valores que optimicen esta

respuesta, la figura 3.2 muestra de forma gráfica la relación entre la cantidad

de producto (y) en un proceso químico y las dos variables independientes

tiempo de reacción ( 1 ) y temperatura ( 2 ).

Ésto es, se trata de encontrar los valores óptimos para las variables

independientes que maximizan, minimizan o cumplen ciertas restricciones en

la variable respuesta. Una técnica utilizada para ayudar a visualizar la forma

que puede tener una superficie de respuesta tridimensional consiste en

representar la gráfica de contornos de la superficie, en la que se trazan las

denominadas líneas de contorno, que son curvas correspondientes a los

valores constantes de la respuesta sobre el plano X1X

2. Un ejemplo de gráfica

de contornos se muestra en la figura 3.3.

1

y

20

0

40

60

Temperatura-10 -1

1Tiempo

Surface Plot of y vs x2; x1

Fig. 3.2 Superficie de Respuesta

16

En este ejemplo, dado que hay dos factores de influencia, la Superficie

de Respuesta se visualiza en un espacio tridimensional en el que la tercera

dimensión representa el volumen de producción esperada de la sustancia

química sobre el plano bidimensional definido por las combinaciones de los

niveles de los dos factores. Es claro que las superficies de respuesta y las

gráficas de contornos pueden tener, aparte de un máximo, representaciones

de un mínimo, o una silla de montar. Para generar la gráfica de contornos

correspondiente se secciona la superficie de respuesta usando planos paralelos

al x1x

2 en ciertos valores de respuesta considerados.

x1

x2

60

50

40

30

20

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

Contour Plot of y vs x2; x1

Fig. 3.3 Gráfica de Contornos

3.4.1 Modelos de Superficie de Respuesta

Kuehl (2003), recomienda seleccionar los factores que se usarán en el

experimento y subsecuentemente transformar las variables naturales a

codificadas donde éstas tendrán una media cero y una varianza constante, ya

que éstas facilitan considerablemente los cálculos que deben llevarse a cabo

para obtener el modelo de aproximación e incrementan el ajuste en la

estimación de los coeficientes. La siguiente es la forma más común de

codificar:

17

2/)(

2

)(

supinf

supinf

ii

iii

ixx

xxx

x

ki .....,2,1

donde:

sup

ix Es el nivel más alto del factor i

inf

ix Es el nivel más bajo del factor i

Por tanto, una vez que se trabaje con las variables codificadas, las

conclusiones que se obtengan se pueden convertir a las variables reales. En la

fase inicial del estudio de una superficie de respuesta se trata de identificar la

región de respuesta óptima y para ello se utilizan experimentos factoriales

completos o fraccionarios, con el fin de estimar las respuestas medias para un

modelo lineal o de primer orden.

La representación matemática de los modelos de MSR puede ser de

diversas maneras: un modelo de primer orden lineal con o sin interacciones, y

un modelo cuadrático o de segundo orden. Aplicar el modelo de primer órden

se usa cuando el experimentador está interesado en aproximar la superficie de

respuesta sobre una región relativamente pequeña donde hay poca curvatura

en la gráfica de la función, es decir cuando no se tiene suficiente información

acerca de la forma que presenta la Superficie de Respuesta, el primer intento

de ajuste se hace, generalmente, aproximando a través de un modelo de primer

órden. Pero cuando la curvatura de la Superficie de Respuesta es tan fuerte el

modelo de primer órden no es adecuado. En estas situaciones se requiere de

un modelo de segundo órden (Myers y Montgomery 1995). El modelo lineal de

primer órden con interacción para el caso de dos factores x1 y x2 se representa

de la siguiente manera, donde las s' son coeficientes:

211222110)( xxxxyE

18

Mientras que el modelo cuadrático o de segundo órden se representa mediante

la siguiente expresión:

2112

2

222

2

11122110)( xxxxxxyE

El modelo de segundo orden es ampliamente usado en MSR en

comparación al de primer órden porque se tienen las siguientes ventajas:

1. Flexibilidad. El modelo de segundo órden puede tomar un sin fin de

formas que se aproximaran mas a la respuesta verdadera.

2. Es fácil estimar los parámetros. Para estimar se usa el método de

mínimos cuadrados.

3. Existe suficiente evidencia. Actualmente hay suficiente experiencia

práctica que indica que los modelos de segundo sirven para resolver

problemas de superficie de respuesta.

3.5 Ascenso Más Pronunciado

En ocasiones las condiciones iniciales están muy alejadas del óptimo.

Kuehl (2003), define el ascenso más pronunciado como un procedimiento

desarrollado para llevar la región experimental de la respuesta variable en una

dirección de cambio máximo hacia el óptimo. Una pregunta frecuente para el

experimentador es ¿hasta cuándo se dejará de conducir experimentos? a lo

que Montgomery (2006) deja claro que cuando se deja de observar un

incremento en la respuesta se debe proseguir a ajustar un nuevo modelo de

primer orden y el procedimiento continuará hasta que llegue a la vecindad del

óptimo, la falta de ajuste indicara que existe una curvatura grande en la

vecindad del óptimo. Cuando el experimentador esté cerca del óptimo deberá

incorporar un modelo de segundo órden.

19

Una vez que el modelo de segundo órden es ajustado se localiza el lugar

en el que la pendiente de la superficie ajustada es cero, es decir las

coordenadas del punto estacionario, que es el punto que proporciona el valor

óptimo de la variable respuesta y, si se detecta que éste se encuentra dentro de

los límites de la región experimental se determina si es máximo, mínimo o

punto de silla. Si, por el contrario, el punto estacionario no se halla dentro de la

región experimental, se deberá realizar una nueva experimentación en la

dirección en la que éste se encuentra o revisar si el modelo que se ajustó es el

adecuado.

3.6 Diseños Centrales Compuestos

Box y Wilson (1951) propusieron los diseños centrales compuestos (DCC),

para estimar las ecuaciones de la superficie de respuesta cuadrática. Los DCC

se usan para aprovechar la experimentación secuencial, es decir:

1. Parte factorial: un diseño factorial completo o fraccional, en el que los

niveles están codificados en la forma habitual como ±1.

2. Parte axial: combinaciones adicionales a lo largo de los ejes coordinados

de los niveles de factor codificados. Sus coordenadas son

),....,0,0,0(),.....,0,...,0,,0(),0,....,0,0,( . Los puntos axiales

contribuyen a la estimación de los términos cuadráticos.

3. Puntos centrales: Además de que contribuyen a la estimación de los

términos cuadráticos proporcionan una estimación del error puro. Se

agregan n réplicas al centro del diseño en las coordenadas )0,....,0,0,0( .

20

3.7 Localización del Punto Estacionario

Una vez obtenida la aproximación cuadrática de la respuesta, se ha de

analizar si la región en que se ha aproximado contiene las condiciones óptimas

de la respuesta. Para ello, las estimaciones de las coordenadas del punto

estacionario en la superficie de respuesta proporcionarán una definición más

específica de la superficie de respuesta. Por estos motivos, explica Kuehl

(2003), se deberán utilizar las coordenadas del punto estacionario que

optimizan la respuesta predicha para describir la forma de la superficie a través

de las gráficas de contornos y de superficie de respuesta en la región

experimental. Ya que estas coordenadas, se refieren al punto que proporciona

dicho valor óptimo de la variable respuesta y, si éste se encuentra dentro de

los límites de la región experimental, se prosigue a determinar su naturaleza

geométrica. Es decir, si es una respuesta máxima, mínima o punto de silla.

Para determinar las coordenadas del punto estacionario representamos la

ecuación descrita por Myers y Montgomery (1995) en notación matricial:

kx

x

x

X2

1

kb

b

b

b2

1

kk

k

k

bsimétrica

bb

bbb

B

2

22

ˆ 222

11211

Es decir, b es un vector de los coeficientes de regresión de primer orden

y

B es una matriz simétrica, donde los elementos de la diagonal son los

coeficientes cuadráticos y los elementos fuera de la diagonal son la mitad de

los coeficientes de los términos de las interacciones.

Para obtener el punto estacionario, las derivadas parciales se igualan a cero:

21

0ˆ2ˆ

XBb

xy

Al igualar a cero esta derivada, se puede obtener skss xxx ,,2,1 ,...., , que es llamado

punto estacionario. El punto estacionario es la solución de la ecuación

resultante, es decir:

2

1

bBXs

Para encontrar la respuesta estimada en el punto estacionario se

sustituyen las skss xxx ,,2,1 ,...., en la ecuación de la respuesta estimada

y .

3.7.1 Análisis Canónico para Determinar la Naturaleza del Punto

Estacionario

La forma canónica de una ecuación cuadrática es útil para visualizar la

superficie. Según Myers y Montgomery (1995), la naturaleza del punto

estacionario es determinada a partir de los signos de los eigenvalores ( i )de la

matriz B̂ . Es decir, el signo de todos los i , señalan el tipo de superficie de

respuesta que se estimó. Así, cuando todos los eigenvalores i son negativos la

superficie es máxima, si los eigenvalores i son positivos la superficie es

mínima. Y si tienen signos mixtos, la superficie es mínimax o con forma de

silla.

22

4. MÉTODOS

En general, la presente investigación se llevó a cabo con el apoyo de la

metodología Taguchi y la de Superficie de Respuesta. Para ello se empleó el

simulador de procesos Logicon® y se aplicaron las dos metodologías

respectivamente a cuatro de los procesos que se pueden simular con el

paquete Logicon®. Los procesos simulados fueron:

1. Proceso de producción de una reacción química

2. Análisis de sangre

3. Impresora de Alta Velocidad

4. Soldadura de punto

Este capítulo comprende dos partes importantes: la metodología Taguchi

y la metodología de Superficie de Respuesta. La metodología Taguchi es usada

para la determinación de los factores que afectan a una característica particular

de calidad en cada uno de los casos seleccionados, y para la selección de los

niveles óptimos de tales factores. La segunda parte consiste en la aplicación de

la metodología de Superficie de Respuesta, necesaria para la estimación de la

relación existente entre la respuesta y los factores de diseño en la región de las

condiciones óptimas. Para ello se usaron la trayectoria de máxima pendiente en

ascenso y diseños centrales compuestos (DCC). Cabe destacar que ambas

metodologías se desarrollan bajo el supuesto de normalidad. Para la

consecución de tales objetivos, en este capítulo se presenta la aplicación de

las técnicas anteriormente citadas.

23

El simulador de procesos Logicon® se empleó para realizar las corridas

experimentales, y el paquete estadístico Minitab y Math-Cad para llevar a

cabo la optimización de cada uno de los casos.

4.1 Diseño y Análisis del Rendimiento de una Reacción Química

Montgomery y Runger (1996), describen un artículo publicado por

Rubber Age en 1961, en el que el rendimiento de determinado proceso químico

se puede medir en términos de la cantidad de material residual eliminado

durante la reacción. Resultando así una medida de la pureza del producto final,

y que ésta depende de la temperatura y el tiempo de reacción, entre otros

factores. El proceso opera actualmente en un rango de porcentaje de pureza

entre el 55% y el 75%. En este primer caso, Logicon® presenta un experimento

similar al descrito por Montgomery y Runger sobre la fabricación de un producto

para relacionar la producción de una reacción química con la temperatura y el

tiempo de reacción.

La respuesta de salida al igual que en el proceso real son las

condiciones de operación que maximizan el rendimiento del proceso en función

del volumen de las cantidades medidas en (seg/ C ) de la temperatura y tiempo

de reacción que utiliza. Por lo tanto, se seleccionó la característica de calidad lo

mayor es lo mejor de la metodología Taguchi, con dos factores de control y se

realizaron 4 corridas experimentales con ocho réplicas de acuerdo al arreglo

ortogonal )2( 3

4L . La tabla 4.1 muestra los factores del análisis.

Tabla 4.1 Factores y Niveles para el Caso 1

Factores Descripción Nivel I (Bajo) Nivel II (Alto)

A Tiempo de reacción 200 250

B Temperatura de reacción 425 475

24

4.1.1 Aplicación de la Metodología Taguchi para el Caso 1

El uso del diseño de parámetros del método Taguchi para optimizar el

proceso de producción de la reacción química incluyó los siguientes pasos:

1. Se identificó el objetivo del experimento.

2. Se identificó la característica de calidad.

3. Se identificaron los factores que podrían influir en la característica de

calidad, sus niveles y las posibles interacciones.

4. Se seleccionó el arreglo ortogonal apropiado y se asignaron los

factores y sus niveles al arreglo ortogonal, además de conducir los

experimentos basados en el orden del arreglo ortogonal.

5. Se analizaron los resultados experimentales usando el análisis de

medias y el análisis de varianza (ANOVA) para ver que factores eran

estadísticamente significantes y para encontrar los niveles óptimos de

los factores.

6. Finalmente, se realizó la verificación de diseño óptimo del proceso a

través de las corridas de confirmación.

Las siguientes secciones describen como cada uno de estos pasos relevantes

fueron aplicados en el presente estudio experimental.

4.1.1.1 Resultados de las Corridas Experimentales del Proceso de Rendimiento de una Reacción Química

Se realizaron 4 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por

cada corrida. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L4, se muestran en la

tabla 4.2. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es el

rendimiento del proceso ya que se necesita saber las condiciones de operación

que maximizan el rendimiento del proceso.

25

4.1.1.2 Análisis de Medias

Para calcular el efecto para cada factor, se calculó primero la respuesta

promedio para cada corrida experimental, esto se observa en la tabla 4.3.

Luego, se estimó el efecto principal de cada factor.

Tabla 4.2. Corridas Experimentales para el Proceso de Rendimiento de una Reacción Química

Basándose en la respuesta promedio calculada para cada nivel de cada

factor, se analizaron las diferencias, como se aprecia en la tabla 4.4, en la cual

se ve claramente los efectos de los factores. Para estimar la media de cada

nivel de cada factor, se promediaron las medias de las corridas experimentales

donde se usó el nivel correspondiente. Por ejemplo, las medias de los dos

niveles del factor A (tiempo de reacción), se calcularon de la siguiente manera:

388.262/)271.43505.9(1

A

399.492/)662.66136.32(2

A

Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo mayor

respuesta fueron los siguientes: A2 (Tiempo de reacción en su mayor nivel) y B2

(Temperatura de reacción en su mayor nivel) para la característica de calidad lo

mayor es lo mejor como muestra la figura. 4.1

No de Exp A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

1 1 1 10.54 9.32 9.42 9.97 9.47 10.46 7.95 8.91

2 1 2 44.3 43.11 43.19 43.71 43.22 44.23 41.71 42.7

3 2 1 33.1 32.04 32.05 32.53 32.05 33.2 30.51 31.61

4 2 2 67.62 66.59 66.58 67.04 66.55 67.73 65.03 66.16

26

Tabla 4.3. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Proceso de Rendimiento de una Reacción Química

Tabla 4.4 Respuesta de los Efectos Principales

Nivel Factor A Factor B

1 26.388 20.593

2 49.399 54.966

Diferencias 23.011 34.373

Me

an

of

Me

an

s

21

60

50

40

30

20

21

A B

Main Effects Plot (data means) for Means

Fig. 4.1 Gráfica de Respuesta de las Medias para Caso 1

No de

Exp

A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio

1 1 1 10.54 9.32 9.42 9.97 9.47 10.46 7.95 8.91 9.505

2 1 2 44.3 43.11 43.19 43.71 43.22 44.23 41.71 42.7 43.271

3 2 1 33.1 32.04 32.05 32.53 32.05 33.2 30.51 31.61 32.136

4 2 2 67.62 66.59 66.58 67.04 66.55 67.73 65.03 66.16 66.662

Promedio

Total

37.89

27

4.1.1.3 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal

Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.5, se obtuvo el

valor F crítico de 4.18. Con el estadístico F se probaron las hipótesis nula y

alternativa siguientes:

:0H El factor correspondiente no tiene un efecto significante

:1H El factor correspondiente sí tiene un efecto significante

Es decir, si el estadístico F es mayor que el valor critico Fc se rechaza la

hipótesis nula. Dado que el estadístico F, tanto de A como de B, resultó mayor

que el Fc, se rechaza 0H . Como se puede observar en la tabla 4.5, tanto el

tiempo de reacción como la temperatura tienen una influencia considerable en

el experimento.

Tabla 4.5 Análisis de ANOVA para el Proceso de Rendimiento de la Reacción Química

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F

A 4236.14 1 4236.14 5729.9

B 9327.73 1 9327.73 12616.9

Error 21.44 29 .7393

4.1.1.4 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos

Con el objeto de confirmar que los resultados pueden reproducirse, se

generó una estimación de la respuesta promedio utilizando los niveles de los

factores seleccionados. Ésto se comparó con los resultados del experimento

28

confirmatorio. En todos los casos se hicieron estimaciones para la media del

proceso ya que los factores eran de control, cabe señalar que para este estudio

sólo se consideran los factores significantes. Ésto se hace debido a que el error

experimental se confunde dentro de cada uno de los promedios tendiendo a dar

una sobreestimación. En base al análisis que se hizo, los niveles seleccionados

para el caso 1 son: A2, B2. El promedio total ( )

T es 37.89, con lo cual la

estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es:

)()( 22

TBTAT

TBA 22

89.3797.5440.49

48.66

4.1.1.5 Corrida Confirmatoria

La corrida confirmatoria para el caso de la producción de la sustancia química

se obtuvo simulando tres réplicas con los niveles de los factores seleccionados

y se obtuvo un promedio de 67.15 lo cual es muy aproximado al valor estimado

de 48.66

.

4.1.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para la Reacción Química

Buscando obtener una mejor solución que la que se obtuvo con la

metodología Taguchi, se aplicó la MSR para optimizar el proceso de producción

de una reacción química. El procedimiento de la metodología de superficie de

respuesta que se siguió fue el siguiente:

29

1. Se identificaron los factores significantes de la variable de

respuesta a ser optimizada. Además, se realizó un diseño

experimental con puntos centrales y la experimentación

comenzó con un modelo de primer orden.

2. Los datos fueron analizados usando el análisis de regresión.

3. Se uso el método del ascenso/descenso más pronunciado

para moverse secuencialmente por la trayectoria de ascenso

rápido, o sea, en la dirección del máximo incremento de la

respuesta.

4. El diseño fue aumentado a un modelo de segundo órden y se

uso un diseño central compuesto (DCC).

5. Se obtuvo la superficie de respuesta y la gráfica de contornos,

para mostrar de forma grafica el problema a tratar, así mismo

los factores óptimos fueron identificados.

6. Se realizó el análisis de varianza para ver que modelo se

ajustaba mejor a los datos, y el análisis canónico para realizar

un estudio geométrico de la relación existente entre la

respuesta y los factores en la región óptima.

Las siguientes secciones describen a más detalle como cada uno de

estos pasos de MSR fueron aplicados en el presente estudio

experimental.

4.1.2.1 Ajustando el Modelo de Regresión

En el método del ascenso más pronunciado, el primer modelo lineal se

ajustó usando un diseño experimental factorial 22 donde los factores usados

fueron la temperatura a 425 y 475 C (-1 y +1 en valores codificados) y el

tiempo a 200 y 250 segundos. Se realizaron cinco réplicas en el centro de la

30

zona experimental a una temperatura de 450 C y con un tiempo de 225

segundos para proporcionar una estimación de la varianza del error

experimental y ver si el modelo lineal era el adecuado. Este diseño factorial 22

aumentado con cinco puntos centrales se muestra en la tabla 4.7 Para realizar

el análisis se transformaron las variables naturales a variables codificadas. La

relación entre las variables naturales y las variables codificadas

correspondientes se encuentra en la tabla 4.6.

Tabla 4.6 Niveles de los Factores Codificados y Naturales

Tabla 4.7 Datos del Proceso para Ajustar el Modelo de Primer Orden

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

Tiempo

( 1 )

Temperatura

( 2 ) 1x 2x Rendimiento

( y )

200 425 -1 -1 10.54

200 475 -1 1 43.11

250 425 1 -1 32.05

250 475 1 1 67.04

225 450 0 0 37.86

225 450 0 0 36.14

225 450 0 0 36.72

225 450 0 0 38.94

225 450 0 0 39.26

La tabla 4.7 muestra las combinaciones de los tratamientos, los factores

codificados y el porcentaje de rendimiento de la reacción química obtenido con

el simulador Logicon®. Se asumió en un inicio que las condiciones óptimas no

-1 0 1

Tiempo (seg) 200 225 250

Temperatura (oC) 425 450 475

31

tenían por qué estar próximas y que, por lo tanto, la superficie de respuesta se

podría aproximar mediante un modelo de primer órden. Usando Minitab para

analizar la respuesta de este diseño experimental, se obtienen los resultados

mostrados en la figura 4.2. Es decir, del reporte de resultados de Minitab se

observa que el modelo ajustado de primer orden es 21 36.1189.1696.37ˆ xxy .

Las pruebas de hipótesis individuales sobre los coeficientes de regresión

tiene un valor p = 0. Ésto significa que tanto la temperatura como el tiempo

tienen efecto sobre el porcentaje de rendimiento. Con respecto a la prueba de

falta de ajuste (lack of fit), se observa un valor p = 0.423. Esto significa que no

se puede rechazar la hipótesis de que el modelo lineal tiene un buen ajuste.

Además, se observa que no hay curvatura con un valor p de .671. Las gráficas

de contornos y de superficie de respuesta para la ecuación de respuesta lineal

estimada de la figura 4.3 y 4.4 muestran que los valores de los contornos para

el porcentaje de rendimiento ascienden conforme aumentan los niveles de

tiempo y temperatura.

Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)

Term Effect Coef SE Coef T P

Constant 37,96 0,4122 92,09 0,000

x1 33,78 16,89 0,6184 27,31 0,000

x2 22,72 11,36 0,6184 18,37 0,000

S = 1,23673 R-Sq = 99,45% R-Sq(adj) = 99,27%

Analysis of Variance for y (coded units)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P

Main Effects 2 1657,29 1657,29 828,643 541,78 0,000

Residual Error 6 9,18 9,18 1,529

Curvature 1 0,36 0,36 0,357 0,20 0,671

Lack of Fit 1 1,46 1,46 1,464 0,80 0,423

Pure Error 4 7,36 7,36 1,839

Total 8 1666,46

Fig. 4.2 .Resultados para el Proceso de la Reacción Química

32

Lo que significa que si se eleva la temperatura o se aumenta el tiempo,

se produce un incremento significativo en el rendimiento del proceso. En la

figura 4.3, se muestra la flecha perpendicular a las líneas de contorno de la

superficie ajustada, ésta apunta hacia arriba y hacia la derecha, lo que indica

que los valores más altos de la respuesta se espera que se consigan

aumentando los valores de x1

y x2

por encima de 1. Ésta acción correspondería

a aumentar la temperatura por encima de 450º C y el tiempo de reacción por

encima de 225 segundos. Ésto último llevó a la segunda etapa en el proceso

secuencial de experimentación, que es determinar qué estrategia seguir que

permita movernos en la dirección que indicaba la flecha de la figura 4.3. Para

ello se recurrió al método de máxima pendiente en ascenso.

x1

x2

60

50

40

30

20

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0


Fig. 4.3. Gráfica de Contornos para Caso1

Fig. 4.4 Gráfica de Superficie de Respuesta para Caso1

1

y

20

0

40

x2

60

-10 -1

1x1


33

4.1.2.2 Trayectoria de la Mayor Pendiente Hacia una Respuesta Óptima

Con base a la ecuación lineal que se estimó, la trayectoria de mayor

pendiente, perpendicular a las curvas de igual respuesta traslada en 16.89

unidades en x1 y 11.36 unidades en x2. En la tabla 4.8 se muestran, los niveles

de temperatura y tiempo a partir del centro del diseño

(Tiempo,Temperatura)=(225,450). El objetivo es moverse a lo largo de la

trayectoria de mayor pendiente hasta que se observe una respuesta máxima.

Por lo tanto, la trayectoria del ascenso más pronunciado pasa por el punto

)0,0( 21 xx y tiene una pendiente 67.89.16

36.11 .

Los cambios en las variables del diseño se eligieron en 1 unidad en x1 y

de .67 en x2. Por tanto, se calcularon puntos sobre esta trayectoria. Luego, se

observaron los rendimientos en los mismos simulados con Logicon® hasta que

se notó un decremento en la respuesta. Para convertir los tamaños de los

pasos codificados 11 x y 67.2 x a las unidades naturales de tiempo y

temperatura, se usó la siguiente relación:

Cx

segx

75.16)25(67.)25(

25)25(1)25(

22

11

Tabla 4.8 Experimento del Ascenso Más Pronunciado

1x 2x

1 2 y

Origen 0 0 225 450 37,95

1 .67 25 16,75

Origen + 1 .67 250 467 63,56

Origen + 2 2 1.34 276 484 78,94

Origen + 3 3 2.01 300 500 77,28

Conforme se avanza por la trayectoria de mayor pendiente, el aumento

en la respuesta es menor hasta que se observa una disminución real en ella, lo

que indicó que la región de respuesta máxima está en la proximidad de esas

34

condiciones de temperatura y tiempo. En este punto del proceso se diseñó un

nuevo experimento para estimar una nueva ecuación polinomial lineal que

aproxime la superficie de respuesta. En el tercer paso se observa un

decremento en rendimiento del proceso. Por lo que, se ajustó un modelo de

primer órden en el punto (276,484), como muestra la tabla 4.9.

Las nuevas variables codificadas son:

24

27611

x 10

48422

x

El segundo modelo de primer orden obtenido del análisis de Minitab

mostrado en la figura 4.5 es 21 517.10243.3391.77ˆ xxy . Estos resultados

mostraron un valor p de .004 de curvatura y un valor p de .646 en falta de

ajuste. Lo que significa que, aunque hay un buen ajuste, también existe

evidencia de curvatura. Esto es evidencia de cercanía de la región óptima.

Tabla 4.9 Datos para el Segundo Modelo de Primer Orden

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

1 2 1x 2x y

252 474 -1 -1 68,41

252 494 -1 1 61,34

300 474 1 -1 88,86

300 494 1 1 82,96

276 484 0 0 78,78

276 484 0 0 80,55

276 484 0 0 77,34

276 484 0 0 78,73

276 484 0 0 79,55

Una vez que se detectó la cercanía de la región óptima, y debido a que se

estaba cerca de los límites de la región de operación que se pueden simular, se

35

pasó a la utilización de un modelo de segundo orden. La tabla 4.10 muestra las

variables codificadas, las variables naturales, el diseño central compuesto y la

respuesta que se simuló en Logicon® para ajustar el modelo cuadrático. La

codificación de las variables naturales tiempo )( 1 y temperatura )( 2 se realizó

con las siguientes expresiones:

24

27611

x 10

48422

x



Constant 77,391 0,8014 96,57 0,000

x1 -6,485 -3,243 1,2021 -2,70 0,036

x2 21,035 10,517 1,2021 8,75 0,000

S = 2,40429 R-Sq = 93,32% R-Sq(adj) = 91,09%



Main Effects 2 484,526 484,526 242,263 41,91 0,000

Residual Error 6 34,684 34,684 5,781

Curvature 1 28,760 28,760 28,760 24,28 0,004

Lack of Fit 1 0,342 0,342 0,342 0,25 0,646

Pure Error 4 5,581 5,581 1,395

Total 8 519,210

Fig. 4.5 Resultados Obtenidos con Minitab para el Segundo Modelo de Primer Orden para el Caso 1

Después de usar Minitab, el modelo ajustado de segundo orden con las

variables de diseño codificadas es:

21

2

2

2

121 2925.061.29575.07561.32843.399.78ˆ xxxxxxy

36

En las figuras 4.6, es notoria la curvatura existente en la gráfica de superficie de

respuesta. En la gráfica de contornos se observa que el punto que maximiza el

rendimiento está en la parte superior derecha de la región experimental. Para

encontrar este punto óptimo, se procedió a utilizar el paquete matemático Math-

Cad.

4.1.3 Análisis de la Superficie de Respuesta con Math-Cad para el Caso 1

Mediante la generación de gráficas de contornos y de superficie de

respuesta para el análisis de MSR, se usó el software Math-Cad con el fin de

caracterizar la forma de la superficie y localizar el óptimo con mayor precisión.

A partir del modelo ya ajustado de segundo orden:

21

2

2

2

121 2925.061.29575.07561.32843.399.78ˆ xxxxxxy

el siguiente paso consistió, entonces, en determinar las coordenadas del punto

estacionario.

Fig. 4.6 Gráficas de Contornos y de Superficie de Respuesta para el

Caso 1

x1

x2

80

75

70

65

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0


1

y

65

0

70

75

x2

80

-1 -101x1


37

Tabla 4.10 Datos para el Modelo de Segundo Órden

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

1 2 1x 2x y

252 474 -1 -1 68,41

252 494 -1 1 61,34

300 474 1 -1 88,86

300 494 1 1 82,96

242 484 -1.414 0 63,23

310 484 1.414 0 90,98

276 470 0 -1.414 78,05

276 498 0 1.414 69,55

276 484 0 0 78,78

276 484 0 0 80,55

276 484 0 0 77,34

276 484 0 0 78,73

276 484 0 0 79,55

4.1.3.1 Localización del Punto Estacionario

Montgomery (2006), señala que el punto estacionario sirve para

encontrar los niveles de x1 y x2 que optimizan la respuesta predicha. Es posible

obtener una solución matemática para la localización del punto estacionario.

Este punto estacionario se calcula con la expresión ya explicada en la sección

3.7 del marco teórico. El punto estacionario es la solución de la ecuación:

2

1bBxs

De acuerdo a la sección 3.7, b es un vector de los coeficientes de

regresión de primer orden y B es una matriz simétrica, donde los elementos de

la diagonal son los coeficientes cuadráticos y los elementos fuera de la diagonal

son la mitad de los coeficientes de las interacciones. Es decir:

38

B.9575

.14625

.14625

2.61

b3.2843

3.7561

B

1 1.053

0.059

0.059

0.386

Xs .5 B1

b Xs1.841

0.823

B.9575

.14625

.14625

2.61

b3.2843

3.7561

B

1 1.053

0.059

0.059

0.386

Xs .5 B1

b Xs1.841

0.823

Con lo cual, el punto estacionario se obtuvo de la siguiente manera:

823.0

841.1

2

1

2

1 bB

x

xx

s

s

s

Es decir, las coordenadas del punto estacionario de la respuesta máxima son

841.11, sx y 823.02, sx . En forma natural, el punto estacionario es:

24

276841.1 1

10

484823.0 2

de donde se obtuvo C3201 y 4922 segundos de tiempo de reacción. La

respuesta estimada en el punto estacionario se encontró al sustituir 841.11, sx

y 823.02, sx en el modelo ajustado:

)823.0)(841.1(2925.0

)823.0(61.2)841.1(9575.0)823.0(7561.3)841.1(2843.399.78ˆ 22

y

Por tanto, la respuesta estimada en el punto estacionario es 6.83

sy .

4.1.3.2 Caracterización de la Superficie de Respuesta

Una vez que se encontró el punto estacionario, fue necesario

caracterizar la superficie de respuesta en la vecindad más inmediata. Es decir,

se necesitaba determinar si el punto estacionario era un punto de respuesta

máximo, punto de respuesta mínimo o un punto de silla. La forma más directa

39

de hacer esto es examinando la gráfica de contornos del modelo ajustado. Sin

embargo, un análisis canónico es más preciso que un análisis visual. Para

obtener la forma canónica, Math-Cad calcula los eigenvalores i con la función

eigenvals de la siguiente manera:

Signos

negativos,

POR LO

TANTO Xs

es un punto

maximo

e eigenvals B( ) e0.945

2.623

Debido a que las i tienen signos negativos, sx es un punto máximo.

4.1.3.3 Corridas de Confirmación

La tabla 4.11, muestra el resultado de las corridas de confirmación

realizadas en el punto óptimo obtenido. La media de estas 16 corridas fue

72.88

y , que fue mejor a la respuesta predicha 6.83

y .Por lo que se

recomiendan los niveles obtenidos ya que éstos satisfacen las condiciones

óptimas. Además, al inicio de la descripción del caso se mencionó que el

proceso actualmente opera en un rango de porcentaje de pureza entre el 55% y

el 75%, lo que señala que hay un mejoramiento en el porcentaje de

rendimiento con ambas metodologías (con la metodología Taguchi se obtuvo

un rendimiento máximo de 67.15%).

4.2 Diseño de un Análisis de Sangre

Conocer la composición del cuerpo humano resulta de gran utilidad a la

hora del diagnóstico de las diferentes enfermedades, para ello es necesario

hacer un análisis de sangre. En el análisis de sangre simulado por Logicon®, la

sangre se trata eliminando glóbulos rojos y queda el plasma. La relación entre

las concentraciones de los anticuerpos y reactivo son medidos en (ml). Este

40

caso tiene como respuesta la separación de mezclas y tiene como objetivo

maximizar la sensibilidad del método.

Tabla 4.11. Corridas Confirmatorias Para los Factores Obtenidos con la Respuesta Estimada

Tiempo Temperatura Rendimiento Tiempo Temperatura Rendimiento

320 492 90,24 320 492 88,64

320 492 88,15 320 492 88,76

320 492 88,21 320 492 89,58

320 492 88,57 320 492 89,41

320 492 88,13 320 492 90,77

320 492 89,87 320 492 88,1

320 492 86,78 320 492 90,16

320 492 88 320 492 89,7

320 492 88,43 320 492 89,07

320 492 88,56 320 492 88,54

320 492 87,91 320 492 87,85

320 492 88,39 320 492 88,64

320 492 89 320 492 87,83

320 492 89,6 320 492 89,38

320 492 87,93 320 492 88,33

320 492 88,16 320 492 88,39

72.88

y

Se seleccionó la característica de calidad lo mayor es lo mejor de la

metodología Taguchi, usando el arreglo ortogonal )2( 3

4L con dos factores de

control: cantidad de anticuerpos y cantidad de reactivo. La tabla 4.12 muestra

los factores del análisis y sus niveles seleccionados.



A Anticuerpo 23 27

B Reactivo 33 37

41


El uso del diseño de parámetros del método Taguchi para optimizar el

proceso de análisis de sangre incluyó los pasos descritos en el caso 1. Además

de que se realizaron 4 corridas experimentales y se obtuvieron 8 réplicas por


tabla 4.13. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la

separación ya que se necesita saber las condiciones de operación que

maximizan la sensibilidad del proceso.

Tabla 4.13.Corridas Experimentales para el Análisis de Sangre

4.2.1.1 Análisis de Medias



Luego, se estimó el efecto principal de cada factor. Basándose en la respuesta

promedio calculada para cada nivel de cada factor, se analizaron las

diferencias, como se aprecia en la tabla 4.15, en la cual se ve claramente los

efectos de los niveles. Para estimar la media de cada nivel de cada factor, se

promediaron las medias de las corridas experimentales donde se usó el nivel

correspondiente.

No de

Exp

A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

1 1 1 365 365 365 365 365 365 365 365

2 1 2 411 411 411 411 411 411 411 411

3 2 1 407 407 407 407 407 407 407 407

4 2 2 454 454 454 454 454 454 454 454

42

Por ejemplo, las medias de los dos niveles del factor A (anticuerpos), se

calcularon de la siguiente manera:

3882/)411365(1

A

5.4302/)454407(2

A

5.42)3885.430( A

Tabla 4.14. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Análisis de Sangre

Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo mayor

respuesta fueron los siguientes: A2 (Anticuerpo en su mayor nivel) y B2

(Reactivo en su mayor nivel) para la característica de calidad lo mayor es lo

mejor como muestra la figura 4.7

Tabla 4.15 Respuesta de los Efectos Principales para Caso 2

Nivel Factor A Factor B

1 388 386

2 430.5 432.5

Diferencia 42.5 46.5

No de Exp A B R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Total

1 1 1 365 365 365 365 365 365 365 365 365

2 1 2 411 411 411 411 411 411 411 411 411

3 2 1 407 407 407 407 407 407 407 407 407

4 2 2 454 454 454 454 454 454 454 454 454

Promedio

Total

409.25

43

4.2.1.2 Análisis de Varianza para el Arreglo Ortogonal para el Caso 2

Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.16, se obtuvo el

valor F crítico de 4.18. Con el estadístico F se probaron las hipótesis nula y

alternativa siguientes:

:0H El factor correspondiente no tiene un efecto significante

:1H El factor correspondiente si tiene un efecto significante

Fig. 4.7 Gráfica de Respuesta de las Medias para el Caso 2

Es decir, si el estadístico F es mayor que el valor critico Fc se rechaza la

hipótesis nula. Dado que: Fc= 4.18 < A y B por lo tanto, se rechaza 0H . Como

podemos observar en la tabla 4.16, tanto el anticuerpo como el reactivo tienen

una influencia considerable en el experimento.

Me

an

of

Me

an

s

21

430

420

410

400

390

380

21

A B


44

Tabla 4.16 Análisis de ANOVA para el Caso 2 Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F

A 14,450 1 14,450 212500

B 17,298 1 17,298 254382

Error 2 29 .068

Total 31,750 31

4.2.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para el Caso 2

En base al análisis que se hizo, los niveles seleccionados para el caso 2

son: A2, B2. El promedio total ( )

T es 409.25, con lo cual la estimación de la

respuesta promedio en los niveles seleccionados es:

)()( 22

TBTAT

TBA 22

25.4095.4325.430

75.453

4.2.1.4 Corrida de Confirmación

La corrida confirmatoria para el caso de la análisis de sangre dio un resultado

de 454 en las replicas 1,2 y 3 respectivamente. Como este resultado es similar

que la media de proceso estimada 75.453

, se tiene una alta probabilidad de

reproducir resultados.

45

4.2.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para el Análisis de Sangre

Buscando obtener una mejor solución que la que se obtuvo con la

metodología Taguchi, al igual que en el primer caso se aplicó la MSR para

optimizar el proceso de análisis de sangre. El procedimiento de la metodología

de Superficie de Respuesta que se siguió fue el mismo que en el primer caso.

Las siguientes secciones describen en más detalle como cada uno de estos

pasos de MSR fueron aplicados en el presente estudio experimental.

4.2.2.1 Ajustando el Modelo de Regresión para el Caso 2

En el método del ascenso más pronunciado, el primer modelo lineal se

ajustó usando un diseño experimental factorial 22 donde los factores usados

fueron cantidad de anticuerpos a 20 y 30 (-1 y +1 en valores codificados) y

cantidad de reactivo a 30 y 40. Se realizaron cinco réplicas en el centro de la

zona experimental a 25 y con 35 para proporcionar una estimación de la

varianza del error experimental y ver si el modelo lineal era el adecuado. Este

diseño factorial 22 aumentado con cinco puntos centrales se muestra en la tabla

4.18 Para realizar el análisis se transformaron las variables naturales a

variables codificadas. La relación entre las variables naturales y las variables

codificadas correspondientes se encuentra en la tabla 4.17.

Tabla 4.17 Niveles de los Factores Codificados y Naturales para el Caso 2

-1 0 1

Anticuerpo 20 25 30

Reactivo 30 35 40

46

La tabla 4.18 muestra las combinaciones de los tratamientos, los factores

codificados y el porcentaje de rendimiento de la reacción química obtenido con

el simulador. Puesto que no se sabe si las condiciones óptimas de operación,

se encuentran cercanas o alejadas del verdadero óptimo. En tal circunstancia el

objetivo es moverse rápidamente a la vecindad del óptimo verdadero. En estas

condiciones se utilizó un modelo de primer orden. Usando Minitab para analizar

la respuesta de este diseño experimental, se obtienen los resultados mostrados

en la figura 4.8. Es decir, del reporte de resultados de Minitab se observa que

el modelo ajustado de primer orden es 21 2850.2644.416ˆ xxy .

Tabla 4.18 Datos del Análisis de Sangre para Ajustar el modelo de Primer Orden

Las pruebas de hipótesis individuales sobre los coeficientes de regresión

tienen un valor p = 0 para el término constante y un valor p de .04 para los

términos lineales x1 y x2. Esto significa que tanto el anticuerpo como el reactivo

tienen efecto sobre la separación. Con respecto a la prueba de falta de ajuste

(lack of fit), no se observa un valor p debido a que el simulador no generó error

aleatorio. Sin embargo, puesto que la curvatura es significativa se aplicó el

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

Anticuerpo( 1 ) ( 2 )Reactivo 1x 2x y

20 30 -1 -1 343

30 30 1 -1 395

20 40 -1 1 398

30 40 1 1 452

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

47

modelo central compuesto para obtener un modelo de segundo orden. Ya que

estamos cercanos al óptimo no hay necesidad de ajustar otro modelo lineal.



Main Effects 2 5945,00 5945,00 2972,50 6,55 0,031

Residual Error 6 2723,22 2723,22 453,87

Curvature 1 2722,22 2722,22 2722,22 13611,11 0,000

Lack of Fit 1 1,00 1,00 1,00

Pure Error 4 0,00 0,00 0,00

Total 8 8668,22

Fig. 4.8 Resultados Obtenidos con Minitab para el Caso 2

Debido a la curvatura presente en la superficie de respuesta se diseño

un DCC para ajustar el modelo. La tabla 4.19 muestra las variables codificadas,

las variables naturales, el diseño central compuesto y la respuesta que se

simuló en Logicon® para ajustar el modelo cuadrático. La codificación de las

variables naturales anticuerpo )( 1 y reactivo )( 2 se realizó con las siguientes

expresiones:

5

2511

x 5

3522

x

Después de usar Minitab, el modelo ajustado de segundo órden con las

variables de diseño codificadas es:

21

2

2

2

121 500.125.5625.29556.29685.26432ˆ xxxxxxy

48

Tabla 4.19 Datos para el Modelo de Segundo Orden del Caso 2

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

1 2 1x 2x y

20 30 -1 -1 343

30 30 1 -1 395

20 40 -1 1 398

30 40 1 1 452

18 35 -1.414 0 335

32 35 1.414 0 411

25 28 0 -1.414 378

25 42 0 1.414 466

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

25 35 0 0 432

En las figuras 4.9, es notoria la curvatura existente en la gráfica de

superficie de respuesta. En la gráfica de contornos se observa que el punto que

maximiza el rendimiento está en la parte superior derecha de la región

experimental. Para encontrar este punto óptimo, se procedió a utilizar el

paquete matemático Math-Cad.

Fig. 4.9 Gráficas de Contorno y de Superficie de Respuesta para el Caso 2

1

y

300

0

350

400

x2

450

-1 -101x1


x1

x2

450

425

400

375

375

350

325

1,00,50,0-0,5-1,0

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0


49


Mediante la generación de gráficas de contornos y de superficie de

respuesta para el análisis de MSR, se usó el software Math-Cad con el fin de

caracterizar la forma de la superficie y localizar el óptimo con mayor precisión.

A partir del modelo ya ajustado de segundo orden:

21

2

2

2

121 500.125.5625.29556.29685.26432ˆ xxxxxxy

el siguiente paso consistió, entonces, en determinar las coordenadas del punto

estacionario.

4.2.3.1 Localización del Punto Estacionario para el Caso 2

Este punto estacionario se calcula con la expresión ya explicada en la

sección 3.7 del marco teórico. En este caso 2, las coordenadas del punto

estacionario de la respuesta máxima son 475.01, sx y 907.22, sx . En

términos de las variables naturales el punto estacionario es:

5

25475.0 1

5

35907.2 2

De donde se obtuvo 271 y 5.492 . La respuesta estimada en el

punto estacionario es 29.481

sy .

4.2.3.2 Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 2

El análisis canónico fue usado para caracterizar la superficie de

respuesta, por medio de la identificación de los eigenvalores i obtenidos con

50

Math-Cad. Los eigenvalores i con la función eigenvals se obtuvo de la

siguiente manera :

e eigenvals B( ) e29.628

5.122

Como los eigenvalores son negativos se concluye que se trata de un punto

estacionario máximo.

4.2.3.3 Corridas de Confirmación para el Caso 2

Como en el caso anterior las mediciones para las corridas de

confirmación se realizaron por triplicado. El resultado de las corridas de

confirmación realizadas en el punto óptimo obtenido fue 481

y , lo que resultó

muy cercano a la respuesta predicha de 481

y .29. Mientras que con la

metodología Taguchi se obtuvo un valor esperado de 453.75 . Estos resultados

se discutirán en el capítulo 5 con más detalle.

4.3 Diseño y Análisis de una Impresora

Box y Draper (1987), describen un experimento acerca de una impresora

de alta velocidad requerida para etiquetar medicamentos. Un caso similar es

presentado por Logicon®, los datos que presenta el simulador son una variación

del experimento original debido a que los datos que son presentados por

Logicon® están codificados. Cabe señalar que este diseño ha servido como

referencia a diferentes autores para ilustrar los resultados que se obtienen al

aplicar el método que proponen en la optimización de la media y la desviación

estándar.

51

Al igual que en el caso original, el propósito del experimento fue estudiar

los efectos de los factores que se muestran en la tabla 4.20, y la respuesta (y)

consiste en medir el espesor del chorro de tinta. Aquí se usará el mismo

ejemplo para aplicar la metodología Taguchi y la MSR ya que se considera que

los tres factores tienen efecto importante en la respuesta medida en la tinta. La

respuesta medida es del tipo lo nominal es lo mejor de la metodología Taguchi

con un valor objetivo de 500 puntos por pulgada (dpi), usando el arreglo

ortogonal )2( 3

4L con tres factores de control.



A Velocidad -.02 .02 B Presión -.02 .02 C Distancia -.05 .05




tabla 4.21. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la

capacidad de impresión de la impresora ya que se necesita mantener el valor

de entintado promedio en 500 dpi.

4.3.1.1 Análisis de Medias para el Caso 3



52

También se analizaron las diferencias, como se aprecia en la tabla 4.23, en la

cual se ve claramente los efectos de los niveles.

Tabla 4.21.Corridas Experimentales para una Impresora de Alta Velocidad

Tabla 4.22. Corrida Experimental con Análisis de Medias para el Caso 3

Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo una

respuesta más cercana al valor nominal de 500 dpi fueron los siguientes: A2 ,B2

y C2 para la característica de calidad lo nominal es lo mejor como muestra

gráficamente la figura. 4.10.

Tabla 4.23 Respuesta de los Efectos Principales para Caso 3

Nivel Factor A Factor B Factor C

1 319.81 322.56 320.31

2 333.75 331 333.25

Diferencias 13.94 8.44 12.94

No de

Exp

A B C R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8

1 1 1 1 276 343 295 275 316 335 328 305

2 1 2 2 293 369 314 292 338 360 352 326

3 2 1 2 299 374 320 298 344 365 357 331

4 2 2 1 296 368 316 295 339 359 352 327

No de Exp A B C R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio

1 1 1 1 276 343 295 275 316 335 328 305 309.125

2 1 2 2 293 369 314 292 338 360 352 326 330.5

3 2 1 2 299 374 320 298 344 365 357 331 336

4 2 2 1 296 368 316 295 339 359 352 327 331.5

Promedio Total 326.78

53

De la tabla 4.23 de respuesta de medias se observó que el factor A tiene

el efecto más grande con 13.94, éste es seguido por C con 12.94. El factor B

es el siguiente factor con 8.44 , estos tres factores se consideraron para llevar a

cabo la predicción de la respuesta en los niveles óptimos.


Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.24, se observa

que los factores A, B y C tuvieron un efecto no significativo en la respuesta, ya

que el estadístico F, resultó menor que el Fc. Por lo tanto no se rechazó 0H .

Tabla 4.24 Análisis de ANOVA para una Impresora de Alta Velocidad Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F

A 1554.03 1 1554.03 1.97

B 569.53 1 569.53 .723

C 1,339.03 1 1339.03 1.70

Error 22,052.879 28 787.60

Total 25,515.469 31

4.3.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para el Caso 3

Una vez que se realizó el análisis de varianza de la tabla 4.24, ocurrió

que ningún factor resultó significativo. Por tanto, la selección de los niveles

óptimos del proceso fueron seleccionados mediante la observación de las

gráficas de la respuesta de medias de la figura 4.10, el paso final fue predecir y

verificar el mejoramiento del desempeño del valor del entintado usando los

parámetros que se consideraron óptimos según las observaciones de las

gráficas. Los niveles seleccionados para el caso 3 son A2, B2, C2, con lo cual la

estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es 5.355

.

El resultado de las corridas confirmatorias para el caso de la impresora de alta

54

velocidad que se obtuvo fue de 356.1, lo cual es un valor muy aproximado al

valor estimado.

4.3.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para la

Impresora

El primer modelo lineal se ajustó usando un diseño experimental factorial

23 donde los factores y sus correspondientes niveles usados fueron la velocidad

a -.02 y .02 pulgadas/minuto, presión a -.02 y .02 unidades/minuto y la

distancia a -.05 y .05 pulgadas/minuto (en valores codificados). Se realizaron

cinco réplicas en el centro de la zona experimental (0,0,0) para proporcionar

una estimación de la varianza del error experimental y ver si el modelo lineal

era el adecuado.

Me

an

of

Me

an

s

21

335

330

325

320

21

21

335

330

325

320

A B

C



55

Este diseño factorial 23 aumentado con cinco puntos centrales se

muestra en la tabla 4.26. Para realizar el análisis, el simulador proporciona las

variables codificadas. La relación entre las variables codificadas y las variables

que se usaron en el experimento se encuentra en la tabla 4.25.

Tabla 4.25 Niveles de los Factores Codificados

y Naturales del Caso 3

La tabla 4.26 muestra los factores codificados, la respuesta obtenida con

el simulador Logicon® y la diferencia entre el valor nominal y la respuesta. Cabe

aclarar que la columna agregada tiene como fin el minimizar la diferencia al

aplicar el método del descenso más pronunciado. Minimizar el valor absoluto de

la diferencia con respecto al valor nominal es una alternativa para encontrar el

óptimo ya que al disminuir la diferencia nos estaremos acercando al valor

nominal.

Puesto que estamos en los comienzos de la experimentación, se asumió

un modelo de primer orden. Usando Minitab para analizar la respuesta de este

diseño experimental, se obtuvieron los resultados mostrados en la figura 4.11.

El modelo ajustado de primer orden es 321 25.19700.915.161ˆ xxxy .

Con respecto a la curvatura se observó un valor p de .086 lo cual indicó no ser

significativa y en la prueba de falta de ajuste se observó un valor p de .463, por

lo que el modelo lineal tiene buen ajuste. En este caso la metodología del

descenso más pronunciado se volvió necesaria ya que se trató de minimizar la

diferencia con respecto al valor objetivo de 500 en la respuesta.

-1 0 1

Velocidad -.02 0 .02

Presión -.02 0 .02

Distancia -.05 0 .05

56

4.3.2.1 Trayectoria del Ascenso Más Pronunciado Hacia una Respuesta Óptima

Debido a que se trató de minimizar el valor objetivo se eligió nuevamente

el método del descenso más pronunciado. Por consiguiente, con base a la

ecuación lineal que se estimó 321 25.197915.161ˆ xxxy , se eligió la

variable que tenia el mayor valor absoluto 25.19 unidades en x3. El tamaño

del paso fue de .10 en valor natural. En la tabla 4.27 se muestran, los niveles

de velocidad, presión y distancia a partir del centro del diseño (velocidad,

presión, distancia)=(0,0,0). A su vez, se observó un incremento en el tercer

paso.

Tabla 4.26 Datos del Proceso para Ajustar el Modelo de Primer Orden del

Caso 3

Variables Naturales Variables Codificadas Respuesta

1 2 3 X1 x2 x3 y 500y

-.02 -.02 -.05 -1 -1 -1 281 219

.02 -.02 -.05 1 -1 -1 357 143

-.02 .02 -.05 -1 1 -1 304 196

.02 .02 -.05 1 1 -1 290 210

-.02 -.02 .05 -1 -1 1 335 165

.02 -.02 .05 1 -1 1 364 136

-.02 .02 .05 -1 1 1 353 147

.02 .02 .05 1 1 1 334 166

0 0 0 0 0 0 372 128

0 0 0 0 0 0 385 115

0 0 0 0 0 0 359 141

0 0 0 0 0 0 356 144

0 0 0 0 0 0 315 185

57



Constant 161,15 8,594 18,75 0,000

x1 -18,00 -9,00 10,955 -0,82 0,433

x2 14,00 7,00 10,955 0,64 0,539

x3 -38,50 -19,25 10,955 -1,76 0,113

S = 30,9860 R-Sq = 31,67% R-Sq(adj) = 8,89%



Main Effects 3 4005 4005 1334,8 1,39 0,308

Residual Error 9 8641 8641 960,1

Curvature 1 2797 2797 2797,0 3,83 0,086

Lack of Fit 4 3067 3067 766,7 1,10 0,463

Pure Error 4 2777 2777 694,3

Total 12 12646


Por lo que, se ajustó un nuevo modelo de primer órden en el punto

(.04, -.04,.20), como muestra la tabla 4.28. El segundo modelo de primer orden

obtenido del análisis de Minitab mostrado en la figura 4.12 es

321 25.2181015.131ˆ xxxy . Estos resultados mostraron un valor p de .089

indicando que no hay curvatura. Por lo que se continuó hacia abajo por la

trayectoria del máximo descenso.

Después de aplicar el método del descenso en tres ocasiones, se

consideró que estábamos suficientemente cerca del óptimo como para usar

finalmente el modelo de segundo orden para buscar el punto óptimo. Además,

en estos tres modelos lineales, el valor p para la prueba de hipótesis de

curvatura se mantuvo por debajo de 10%, lo cual indica que existe suficiente

curvatura para usar el modelo de segundo orden

58

Tabla 4.27 Experimento del Ascenso Más Pronunciado

para el Caso 3

1x

2x

3x

1

2

3

y

500y

Origen 0 0 0 0 0 0 291 209

.935 -.7272 2

Origen + .935 -.7272 2 .02 -.02 .10 302 198

Origen +2 1.87 -1.4544 4 .04 -.04 .20 398 102

Origen + 3 2.805 -2.1816 6 .06 -.06 .30 348 152

Origen +4 3.74 -2.9088 8 .08 -.06 .40 332 168

Tabla 4.28 Datos del Proceso para Ajustar el Segundo Modelo de Primer

Orden del Caso 3


1 2 3 X1 x2 x3 Y 500y

.02 -.06 .15 -1 -1 -1 302 198

.06 -.06 .15 1 -1 -1 391 109

.02 -.02 .15 -1 1 -1 330 170

.06 -.02 .15 1 1 -1 313 187

.02 -.06 .25 -1 -1 1 364 136

.06 -.06 .25 1 -1 1 396 104

.02 -.02 .25 -1 1 1 385 115

.06 -.02 .25 1 1 1 361 139

.04 -.04 .20 0 0 0 408 92

.04 -.04 .20 0 0 0 423 77

.04 -.04 .20 0 0 0 393 107

.04 -.04 .20 0 0 0 389 111

.04 -.04 .20 0 0 0 340 160

59



Constant 131,15 10,14 12,93 0,000

x1 -20,00 -10,00 12,93 -0,77 0,459

x2 16,00 8,00 12,93 0,62 0,551

x3 -42,50 -21,25 12,93 -1,64 0,135

S = 36,5653 R-Sq = 29,04% R-Sq(adj) = 5,39%



Main Effects 3 4925 4925 1641,5 1,23 0,355

Residual Error 9 12033 12033 1337,0

Curvature 1 3845 3845 3845,0 3,76 0,089

Lack of Fit 4 4267 4267 1066,7 1,09 0,468

Pure Error 4 3921 3921 980,3

Total 12 16958

Fig 4.12 Resultados Obtenidos para el Caso 3

En la tercera repetición del método del descenso más pronunciado, la

diferencia más pequeña con respecto al valor nominal se obtuvo en el punto

(.12,-.12,.60). Por lo que a partir de este punto se aplicó un modelo de segundo

orden. Los experimentos a realizar por medio del diseño central compuesto

tomando el nuevo punto central en (.12,-.12,.60) y agregando puntos axiales en

1.682 se muestra en la tabla 4.29.

Del modelo de regresión cuadrático se obtuvieron con Minitab las

gráficas de contorno y de superficie de respuesta de la figura 4.13 donde el

valor de x3 se fijó en el valor central de 0. También, se puede observar que el

punto estacionario es un punto de silla. Para comprobarlo, se usó el paquete

Math-Cad, ya que además se requería encontrar las coordenadas del punto

óptimo.

60

Fig 4.13 Graficas de Contornos y de Superficie de Respuesta para el Caso 3

Tabla 4.29 Modelo Cuadrático para el Caso 3

1 2 3 x1 x2 x3 y 500y

.10 -.14 .55 -1 -1 -1 336 164

.14 -.14 .55 1 -1 -1 458 42

.10 -.10 .55 -1 1 -1 373 127

.14 -.10 .55 1 1 -1 348 152

.10 -.14 .65 -1 -1 1 415 85

.14 -.14 .65 1 -1 1 458 42

.10 -.10 .65 -1 1 1 443 57

.14 -.10 .65 1 1 1 409 91

.08 -.12 .60 -1,68179 0 0 469 31

.16 -.12 .60 1,68179 0 0 510 10

.12 -.16 .60 0 -1,68179 0 393 107

.12 -.08 .60 0 1,68179 0 487 13

.12 -.12 .50 0 0 -1,68179 426 74

.12 -.12 .70 0 0 1,68179 402 98

.12 -.12 .60 0 0 0 479 21

.12 -.12 .60 0 0 0 500 0

.12 -.12 .60 0 0 0 457 43

.12 -.12 .60 0 0 0 452 48

.12 -.12 .60 0 0 0 384 116

x1

x2

160

120

80

80

40

40

0

1,51,00,50,0-0,5-1,0-1,5

1,5

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5

Hold Values

x3 0


10

y

0

50

100

x2

150

-2 -1-1 0 -21x1

Hold Values

x3 0


61

4.3.3. Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 3

Para el caso de la impresora a color, las coordenadas del punto estacionario de

la respuesta son 026.1, sx , 478.22, sx y 101.33, sx . Como en los casos

anteriores el análisis canónico fue usado para caracterizar la superficie de

respuesta, por medio de la identificación de los eigenvalores obtenidos con

Math-Cad. Los eigenvalores i con la función eigenvals se obtuvieron de la

siguiente manera:

)(: Beigenvals

476.10

821.23

038.22

De acuerdo a estos eigenvalores i , el punto estacionario es un punto

de silla. Esto significa que no se encuentra un punto óptimo máximo ni mínimo.

Mediante el paquete Math-Cad se optimizó numéricamente con la función

minimize restringiendo la búsqueda del punto mínimo a la región experimental y

a valores mayores o iguales a cero de la diferencia, dado que la respuesta es la

diferencia con respecto al valor nominal. Se definieron los valores iniciales de

las variables, de la siguiente manera:

0:1 x 0:2 x 0:3 x

Se restringieron las variables a la región de experimentación y la

diferencia a valores mayores que cero, mediante:

Given

62

682.11 x 682.12 x 682.12 x 682.12 x 682.13 x 682.13 x

0),( 321 xxxf

Después, se usó la función Minimize para encontrar los niveles óptimos

de las variables, que minimizan respuesta:

),,,(:min 321 xxxfMinimize

055.0

761.0

682.1

:min

Una vez encontrados los niveles óptimos, Math-Cad evalúo la función en los

puntos encontrados para obtener la respuesta mínima:

00004306.)min,min,(min 210 f

En forma codificada, las coordenadas de los puntos óptimos son, 682.11 x ,

761.2 x , 055.3 x . Por tanto, la diferencia estimada en el punto óptimo

obtenido fue prácticamente cero ( 000043.0

sy ) . En forma natural, las

coordenadas de los puntos óptimos son, 16.1 , 14.2 , 6.3 .

4.3.3.1 Corridas Confirmatorias para el Caso 3

En la tabla 4.30 se muestra el resultado de las corridas de confirmación

realizadas en el punto óptimo obtenido. La media en estas 32 corridas de la

63

diferencia con respecto al valor nominal de 500 fue 420

y , que quedó algo

lejos de la respuesta predicha 9.499

y ya que se trataba de minimizar la

respuesta. Mientras que el valor estimado de la respuesta original con la

metodología Taguchi fue de 356, la media real obtenida con la metodología de

superficie de respuesta fue de 420. Es importante resaltar que el simulador

Logicon® en este caso generó los valores de la respuesta con un error aleatorio

relativamente grande.

Así mismo, las dos metodologías no llegaron muy cerca del valor objetivo

de 500 dpi, aun así es evidente que la metodología de Superficie de Respuesta

superó por mucho a la metodología Taguchi. Vale la pena señalar que los datos

experimentales reportados en el caso de la impresora a color en cada corrida el

valor objetivo está lejos de 500 dpi y los que se observaron próximos, la

desviación estándar es grande. Esta situación provocó a su vez un varianza

grande para el proceso de 2,375.10, en la práctica se tendría que profundizar

en el estudio de esa varianza para tratar de identificar el factor que pueda estar

afectando.

4.4 Diseño y Análisis del Proceso de Soldadura de Punto

La soldadura de resistencia o también conocida como soldadura de

punto es comúnmente usada en la manufactura de partes médicas. En la

soldadura de punto las dos piezas de metal que van a unirse son presionadas

por los electrodos de la máquina soldadora de manera que hagan un buen

contacto eléctrico. El término de resistencia viene de la propiedad eléctrica de

la resistencia del metal a ser soldado la que causa el calor que se generará

cuando la corriente fluye a través de él. Este caso usa una respuesta que esta

relacionada con la resistencia a la ruptura y tiene un valor nominal de 50 libras

por pulgada cuadrada (psi).

64

Tabla 4.30. Corridas Confirmatorias Para los Factores Obtenidos con la Respuesta Estimada del Caso 3

Numero de

Corrida

Velocidad Presión Distancia Respuesta Nominal-y

1 0,16 -0,14 0,6 351 149

2 0,16 -0,14 0,6 470 30

3 0,16 -0,14 0,6 385 115

4 0,16 -0,14 0,6 350 150

5 0,16 -0,14 0,6 423 77

6 0,16 -0,14 0,6 456 44

7 0,16 -0,14 0,6 444 56

8 0,16 -0,14 0,6 403 97

9 0,16 -0,14 0,6 485 15

10 0,16 -0,14 0,6 506 6

11 0,16 -0,14 0,6 463 37

12 0,16 -0,14 0,6 458 42

13 0,16 -0,14 0,6 390 110

14 0,16 -0,14 0,6 383 117

15 0,16 -0,14 0,6 447 53

16 0,16 -0,14 0,6 393 107

21 0,16 -0,14 0,6 445 55

22 0,16 -0,14 0,6 399 101

23 0,16 -0,14 0,6 495 5

24 0,16 -0,14 0,6 370 130

30 0,16 -0,14 0,6 341 159

31 0,16 -0,14 0,6 431 69

32 0,16 -0,14 0,6 432 68

El propósito del experimento fue estudiar los efectos de los factores del

proceso de soldadura de punto que se muestran en la tabla 4.31. En este caso

se aplicó la metodología Taguchi y la MSR ya que se considera que los

factores podrían tener un efecto importante en la respuesta. Se aplicó un

diseño de Superficie de Respuesta con 4 factores y 3 puntos centrales y se

seleccionó la característica de calidad lo nominal es lo mejor de la metodología

Taguchi con un valor nominal de 50 psi, usando el arreglo ortogonal )2( 7

8L con

cuatro factores de control.

65


Factores Descripción Nivel (Bajo) Nivel II (Alto)

A Presión -.3 .3

B Pulso -.3 .3

C Electrodo 1 -.3 .3

D Electrodo 2 -.3 .3



cada corrida. Como se mencionó anteriormente, la respuesta obtenida es la

resistencia al corte o ruptura y se necesita mantener el valor nominal de la

respuesta en 50 psi.

4.4.1.1 Análisis de Medias para el Caso 4

Para calcular el efecto para cada factor se analizaron las diferencias,

como se aprecia en la tabla 4.32, en la cual se ve claramente los efectos de los

niveles. Los niveles de los factores significativos, en los que se obtuvo una

respuesta más cercana al valor nominal fueron los siguientes: A1 ,B1 , C2 y

D2.Para la característica de calidad lo nominal es lo mejor como muestra

gráficamente la figura. 4.14. De la tabla 4.32, de la respuesta de medias se

observó que el factor B tiene el efecto más grande con 11.96, este es seguido

por D con 8.72. Las respuestas obtenidas bajo el diseño L8 así como la

respuesta promedio para cada corrida experimental se muestran en la tabla

4.33.

Tabla 4.32 Respuesta de los Efectos Principales para el Caso 4

Nivel Factor A Factor B Factor C Factor D

1 27.93 33.69 27.55 23.35

2 27.49 21.73 27.88 32.07

Diferencias .44 11.96 0.33 8.72

66

Tabla 4.33.Corridas Experimentales y Respuesta Promedio para Proceso de Soldadura de Punto No. A B C D R R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 Promedio

1 1 1 1 1 38,60 26,66 28,77 33,28 29,95 34,72 19,93 24,66 29.57

2 1 1 2 2 49,30 35,87 38,24 43,32 39,57 44,93 28,29 33,61 39.14

3 1 2 1 2 34,90 21,70 24,02 29,02 25,33 30,61 14,25 19,48 24.91

4 1 2 2 1 25,60 15,71 17,45 21,19 18,43 22,38 10,13 14,05 18.11

5 2 1 1 2 49,82 34,22 36,97 42,87 38,51 44,74 25,41 31,59 38.01

6 2 1 2 1 37,77 24,91 27,18 32,04 28,45 33,59 17,65 22,75 28.04

7 2 2 1 1 25,21 15,27 17,02 20,78 18,01 21,97 9,66 13,60 17.69

8 2 2 2 2 36,08 23,04 25,34 30,27 26,63 31,84 15,68 20,85 26.21


Al realizar el análisis de varianza (ANOVA) en la tabla 4.34, se observa

que los factores A, y C tuvieron un efecto no significativo en la respuesta, ya

que el estadístico F, resultó menor que el Fc. Por lo tanto, no se rechazó 0H .

Me

an

of

Me

an

s

21

35

30

25

20

21

21

35

30

25

20

21

A B

C D



67

Tabla 4.34 Análisis de ANOVA para el Proceso de Soldadura de Punto

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad M. Cuadrados Estadístico F

A 3.163 1 3.163 .0828

B 2,288.06 1 2,288.06 59.961

C 1.758 1 1.758 .0460

D 1,215.65 1 1,215.65 31.857

Error 2,251.429 59 38.159

Total 5760.06 63

4.4.1.3 Predicción de la Respuesta Promedio en los Niveles Óptimos para

el Caso 4

Como se mencionó anteriormente los resultados de la tabla 4.34,

muestran el análisis de varianza (ANOVA). El estadístico F fue usado para

probar las hipótesis análogas a los casos anteriores. El nivel de significancia

fue del 5%. Los resultados mostraron que los factores de pulso (B), y electrodo

2 (D) tienen un efecto estadísticamente significativo en la resistencia al corte,

pero la presión y el electrodo 1 no tienen significancia. La determinación de la

condición óptima nos llevo a encontrar los parámetros óptimos que nos dieran

el mejor desempeño basados en los datos obtenidos de las gráficas de medias

y el ANOVA.

Una vez identificados los factores significantes, éstos se usaron para

calcular la predicción de la respuesta promedio en los niveles óptimos. La

estimación de la respuesta promedio en los niveles seleccionados es 05.38

.

El resultado de las corridas confirmatorias para el caso del proceso de

soldadura de punto resultó 40.61 lo cual es un valor muy aproximado al valor

estimado. Sin embargo, estos resultados se encuentran alejados del valor

nominal.

68

4.4.2. Aplicación de la Metodología de Superficie de Respuesta para el

Proceso de Soldadura de Punto

Para aplicar el método del descenso más pronunciado, inicialmente se

adoptó un diseño experimental factorial, en el cual las variables independientes

son: presión (x1), pulso (x2), electrodo 1(x3) y electrodo 2 (x4) con dos niveles y

tres corridas centrales. La relación entre las variables codificadas

correspondientes es:

3.

0Pr1

esionx

3.

02

Pulsox

3.

013

ELx

3.

024

ELx

Es importante recalcar que aunque los diseños elaborados con la

metodología Taguchi ayudaron a identificar los factores que afectaban a la

respuesta, se decidió aplicar un modelo lineal con todos los factores con el fin

de no descartar ninguna variable. La tabla 4.35 muestra los factores

codificados, la respuesta obtenida con el simulador Logicon® y la diferencia

entre el valor nominal y la respuesta.

Los resultados coincidieron con los obtenidos con la metodología

Taguchi ya que en el presente modelo lineal la respuesta se vio influida

significativamente tanto por el pulso como por el electrodo 2. Sin embargo, los

factores x1 y x3 no resultaron ser significativos. Observándose un valor p mayor

a .10 como se muestra en la figura 4.15. De la figura 4.15 también se pudo

observar que el modelo tiene buen ajuste y no hubo indicios de curvatura, a su

vez el R- cuadrado es del 80.91% lo que mostró que es necesario aplicar el

método del descenso más pronunciado con el fin de acercarnos a la región

optima. Debido que los factores A y C no resultaron significativos se decidió

trabajar con las variables de mayor influencia sobre la respuesta y se obtuvo

nuevamente un modelo lineal con el diseño experimental que se muestra en la

tabla 4.36.

69



Constant 20,435 1,032 19,81 0,000

x1 -0,986 -0,493 1,124 -0,44 0,668

x2 15,446 7,723 1,124 6,87 0,000

x3 1,886 0,943 1,124 0,84 0,416

x4 -7,541 -3,771 1,124 -3,35 0,005

S = 4,49741 R-Sq = 80,91% R-Sq(adj) = 75,45%



Main Effects 4 1199,95 1199,95 299,99 14,83 0,000

Residual Error 14 283,17 283,17 20,23

Curvature 1 50,77 50,77 50,77 2,84 0,116

Lack of Fit 11 188,87 188,87 17,17 0,79 0,680

Pure Error 2 43,53 43,53 21,76

Total 18 1483,13


Del reporte de resultados de Minitab de la figura 4.16 se observa que el

modelo ajustado de primer orden es: 42 278.2308.6877.20ˆ xxy . Los

resultados obtenidos en el presente estudio evidenciaron en el ANOVA que el

modelo lineal tenía buen ajuste y falta de curvatura. En el análisis de la

varianza se pudo observar que el R-cuadrado es 43.43%.

4.4.2.1 Trayectoria de la Mayor Pendiente Hacia una Respuesta Óptima Para el Caso 4

En la tabla 4.37 se muestran, los niveles de pulso y electrodo 2 a partir

del centro del diseño. Se notó inmediatamente un incremento en la respuesta

en el segundo paso. Utilizando el mismo procedimiento se ajustó nuevamente

un modelo lineal en el punto (-.3, .10) y una vez más se llevó a cabo el

descenso de máxima pendiente que se muestra en la tabla 4.38. Se consideró

que se encontraba suficientemente cerca del óptimo ya que la respuesta está

70

muy próxima al valor nominal de 50. En base a la cercanía del óptimo se

procedió a realizar un modelo de segundo orden.

Tabla 4.35 Datos para el Modelo de Primer Orden del Caso 4


1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Y 50y

-.3 -.3 -.3 -.3 -1 -1 -1 -1 11,11 38,89

.3 -.3 -.3 -.3 1 -1 -1 -1 24,49 25,51

-.3 .3 -.3 -.3 -1 1 -1 -1 30,01 19,99

.3 .3 -.3 -.3 1 1 -1 -1 26,06 23,94

-.3 -.3 .3 -.3 -1 -1 1 -1 19,9 30,1

.3 -.3 .3 -.3 1 -1 1 -1 15,68 34,32

-.3 .3 .3 -.3 -1 1 1 -1 38,01 11,99

.3 .3 .3 -.3 1 1 1 -1 34,05 15,95

-.3 -.3 -.3 .3 -1 -1 -1 1 10,11 39,89

.3 -.3 -.3 .3 1 -1 -1 1 8,52 41,48

-.3 .3 -.3 .3 -1 1 -1 1 25,35 24,65

.3 .3 -.3 .3 1 1 -1 1 25,95 24,05

-.3 -.3 .3 .3 -1 -1 1 1 11,91 38,09

.3 -.3 .3 .3 1 -1 1 1 5,64 44,36

-.3 .3 .3 .3 -1 1 1 1 26,69 23,31

.3 .3 .3 .3 1 1 1 1 24,81 25,19

0 0 0 0 0 0 0 0 21,82 28,18

0 0 0 0 0 0 0 0 15,42 34,58

0 0 0 0 0 0 0 0 12,74 37,26

71

Tabla 4.36 Datos para el Modelo de Primer Orden para los Factores Significativos



Constant 20,877 2,893 7,22 0,002

x2 12,615 6,308 3,827 1,65 0,175

x4 -4,555 -2,278 3,827 -0,60 0,584

S = 7,65414 R-Sq = 43,43% R-Sq(adj) = 15,14%



Main Effects 2 179,89 179,89 89,94 1,54 0,320

Residual Error 4 234,34 234,34 58,59

Curvature 1 21,70 21,70 21,70 0,31 0,619

Lack of Fit 1 67,32 67,32 67,32 0,93 0,437

Pure Error 2 145,33 145,33 72,66

Total 6 414,23

Fig. 4.16 Resultados Obtenidos para los Factores Significativos del Caso 4

Variables

Naturales

Variables

Codificadas

Respuesta

2 4 2x 4x y 50y

-.3 -.3 -1 -1 38,78 11,22

.3 -3 1 -1 17,96 32,04

-.3 .3 -1 1 35,13 14,87

.3 .3 1 1 30,72 19,28

0 0 0 0 29,07 20,93

0 0 0 0 34,45 15,55

0 0 0 0 17,75 32,25

72

Tabla 4.37 Experimento del Ascenso Más Pronunciado para el Caso 4

2x 4x

2 4 y 50y

Origen 0 0 0 0 38.83 11.17

-1 .3611

Origen + -1 .3611 -.3 .10 44.28 5.72

Origen + 2 -2 .7222 -.6 .20 34.85 15.15

Origen + 3 -3 1.08 -.9 .30 40.68 9.32

La tabla 4.39 muestra las respuestas obtenidas con el diseño central

compuesto, donde se incluyen los puntos factoriales, centrales y los puntos

axiales. El modelo ajustado de segundo orden para los factores B y D es el

siguiente:

42

2

4

2

242 185.4186.4026.1820.3323.3627.13ˆ xxxxxxy

Tabla 4.38 Segundo Descenso Más Pronunciado para el Caso 4

2x 4x

2 4 Y 50y

Origen 0 0 -.3 .10 44.28 5.72

-1 .5530

Origen + -1 .5530 -.6 .3 49.35 .65

Origen + 2 -2 1.106 -.9 .4 40.03 9.97


.

En este caso 4, las coordenadas del punto estacionario de la respuesta

mínima para los factores sugeridos por la metodología Taguchi son:

545.

048.,DBXs

73

Tabla 4.39 Datos para el Modelo de Segundo Orden del Caso 4

2 4 2x 4x y 50y

-.9 0 -1 -1 45,31 4,69

-.3 0 1 -1 29,3 20,7

-.9 .6 -1 1 44,66 5,34

-.3 .6 1 1 44,35 5,65

-1 .3 -1,41421 0 42,22 7,78

-.2 .3 1,41421 0 41,09 8,91

-.6 -.10 0 -1,41421 24,3 25,7

-.6 .7 0 1,41421 38,42 11,58

-.6 .3 0 0 43,25 6,75

-.6 .3 0 0 44,31 5,69

-.6 .3 0 0 37,77 12,23

Por tanto, la respuesta estimada de la diferencia en el punto estacionario es

105.7,

DBsy , y la respuesta estimada en el punto estacionario es de 42.895.

4.4.3.1 Caracterización de la Superficie de Respuesta para el Caso 4

Los eigenvalores mostraron que el punto estacionario es un punto de

silla ya que dichos valores fueron de diferentes signos. Debido a esto se realizó

seguidamente la optimización con métodos numéricos, restringiendo la

búsqueda a la región experimental mediante el paquete Math-Cad. Este

análisis permitió estimar la respuesta óptima y los niveles de los factores

considerados para lograr esa respuesta. Después de usar la función Minimize

los niveles óptimos de las variables, que minimizan respuesta son:

153.0

414.1:min

74

Una vez encontrados los niveles óptimos, Math-Cad evalúo la función en los

puntos encontrados para obtener la respuesta mínima:

881.2)min,min,(min 210 f

En forma natural, las coordenadas de los puntos óptimos son, 12 ,

3.4 y la respuesta estimada es de 47.119.

4.4.3.2 Corridas de Confirmación para el Caso 4

El resultado de las corridas de confirmación realizadas en los puntos

óptimos obtenidos con la MSR fue de 43.38. Mientras que el valor estimado

con la metodología Taguchi fue de 38.05. Nuevamente es necesario resaltar

que el simulador Logicon® en este caso generó los valores de la respuesta con

un error aleatorio relativamente grande. Por lo tanto, las dos metodologías no

llegaron cerca del valor objetivo de 50, aun así es evidente que la metodología

de Superficie de Respuesta ayudo la metodología Taguchi.

75

5. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Después de una serie de experimentos, se logró llegar a los resultados

obtenidos de la formulación adecuada de los casos de la sustancia química,

análisis de sangre, impresora de alta velocidad y soldadura de punto utilizando

inicialmente la metodología Taguchi (MT) y posteriormente la de Superficie de

Respuesta (MSR). En general, en esta sección se presenta el análisis y

discusión de las técnicas de diseño experimental, las variables independientes

en las condiciones óptimas finales dadas por cada técnica aplicada y las

variables dependientes generando las respuestas óptimas para cada caso por

medio de cada técnica experimental.

5.1 Resultados en Ambas Metodologías

Tanto los métodos de Taguchi como la metodología de Superficie de

Respuesta sirven para optimizar procesos que en algunos casos tienen

entradas controlables y salidas medibles. Ambas metodologías manejan

múltiples entradas que afectan a una salida en particular. Su diferencia

fundamental radica en la forma en que cada método comprende el proceso.

Mientras que la metodología Taguchi se interesa en encontrar la combinación

óptima de factores, con la metodología de Superficie de Respuesta se trabaja

con un enfoque de exploración de la región experimental, incremento del

diseño, usando el modelo que mejor se ajuste y se maneja el filtrado de

variables de interés. Es por ello, que después de haber obtenido los parámetros

de optimización requeridos, se demuestra la efectividad de los enfoques

propuestos.

76

5.1.1 Caso 1. Rendimiento de un Proceso Químico

Los resultados obtenidos con la metodología Taguchi evidenciaron en el

análisis de la varianza que, tanto el tiempo como la temperatura; influyeron

significativamente en el proceso, observándose un pequeño incremento en el

porcentaje de pureza de la reacción. Después de una serie de ensayos con la

metodología de superficie de respuesta, se logró obtener la formulación de la

reacción química para maximizar el rendimiento o pureza de la reacción.

Las condiciones de tiempo y temperatura más adecuadas que se

obtuvieron con MT y MSR, fueron definidos con los valores de las variables

dependientes que se presentan en la tabla 5.1. Al presentarse los resultados

obtenidos, se puede observar que la diferencia entre los métodos respecto al

número de corridas es relativamente baja con un 9.375%. Si bien es cierto que

MT usó menos corridas experimentales con MSR se observar una diferencia

significativa del 32% en cuanto a la respuesta óptima. Este porcentaje

representa la diferencia que hay entre las metodologías respecto al alcance del

óptimo.

Tabla 5.1. Resultados para el Caso 1

5.1.2 Caso 2. Análisis de Sangre

La tabla 5.2 muestra los resultados óptimos obtenidos para factores de

control, los niveles, el porcentaje de la diferencia de la respuesta óptima, y el

porcentaje de la diferencia del número de corridas para el caso del análisis de

Técnica

Número Total de Corridas

Experimentales

Diferencia en el

Número de Corridas

Punto Óptimo

y Óptima

Diferencia

de la Respuesta

Óptima 1x 2x

MT 32 9.375%

250 475 67.15 32.122% MSR 35 320 492 88.72

77

sangre. De acuerdo con los resultados obtenidos, la diferencia de la respuesta

óptima de 5.947% no representa un porcentaje alto pero no se puede decir lo

mismo en cuanto a el porcentaje del número de corridas siendo éste de 45.4%

a favor de MSR. Si se observan los resultados de forma individual ambos

métodos maximizan la respuesta pero MSR lo hace reduciendo el número de

corridas.

Tabla 5.2 Resultados para el Caso 2

5.1.3 Caso 3. Impresora de Alta Velocidad

Mediante la experimentación realizada en el presente trabajo, el

modelado de este caso fue restringido por un valor nominal. En la tabla 5.3 se

observa la reducción del número de experimentos que se obtuvo con la

metodología Taguchi. Dicha reducción facilitó la exploración de factores y

contribuyó en un ahorro de tiempo sustancial.

Por otro lado en MSR, es interesante observar que aunque se

emplearon diseños centrales compuestos para reducir el número de ensayos a

realizar, el número de puntos factoriales crece conforme aumenta el número de

factores que en este caso aumentó al doble en comparación de los casos

anteriores. Sin embargo, aun así los efectos cuadráticos fueron medidos con

mayor eficiencia. Por ejemplo, la ecuación cuadrática que representa la

capacidad de entintado a color en función de la velocidad, presión y distancia,

presentó un coeficiente de determinación R2=66.36. En cuanto al valor óptimo

Técnica


Experimentales

Diferencia en el

Número de Corridas

Punto Óptimo

y Óptima

Diferencia

de la Respuesta

Óptima 1x 2x

MT 32 45.4%

27 37 454 5.947% MSR 22 27 49.5 481

78

de la respuesta hay una diferencia considerable del 40.42% y al observar los

resultados individuales MSR está prácticamente en el valor nominal con 499.9

mientras que MT se aleja con 356.


5.1.4 Caso 4. Soldadura de Punto

Para el análisis e interpretación de resultados del caso 4 se observa en

la tabla 5.4 el porcentaje del óptimo, el cual resultó ser de 16.02%. Esta

diferencia es baja pero significativa para el logro de nuestro objetivo que es

alcanzar el valor nominal de 50. Una vez más, se puede observar que MSR se

acercó más al valor nominal que MT. Respecto al porcentaje de la diferencia en

el número de corridas fue de 100%, lo que indica que la diferencia es alta entre

las metodologías. Considerando que MT dobló en el número de corridas a

MSR.

5.2 Resultados Generales

De manera general se puede asegurar que ambas metodologías

permiten optimizar y formular procesos. Sin embargo, con los resultados

obtenidos de las comparaciones se demostró que MSR supera por mucho a

MT en cuanto a la disminución del número de corridas y en cuanto a alcanzar el

Técnica


Experimentales

Diferencia en el

Número de Corridas

Punto Óptimo

Y Óptima

Diferencia de la

Respuesta Óptima 1x 2x 3x

MT 32 118%

.02 .02 .05 356 40.42% MSR 70 .16 -.14 .6 499.9

79

óptimo con mayor precisión como se observa en la tabla 5.5. Sin embargo,

cabe aclarar que en la metodología Taguchi se usaron ocho réplicas lo que la

puso en desventaja en el número de corridas. Generalmente en la práctica,

cuando se trabaja con la metodología Taguchi se usan pocas réplicas y no se

tiene esta desventaja. Aun así, resultó que una de las mayores ventajas de la

metodología Taguchi es que ésta es más simple en cuestión de aprendizaje.


Tabla 5.5 Resultados Generales por Caso y Metodología

Técnica

Número Total de

Corridas

Experimentales

Diferencia en

el Número de

Corridas

Punto Óptimo

y

Óptima

Diferencia

de la

Respuesta

Óptima 1x 2x 3x 4x

MT 32

9.375%

250 475 67.15

32.122% MSR 35 320 492 88.72

MT 32

45.4%

27 37 454

5.947% MSR 22 27 49.5 481

MT 32

118%

.02 .02 .05 356

40.42% MSR 70 .16 -.14 .6 499.9

MT 64

100%

-.3 .3 40.61

16.02%

MSR 32 -1 .3

47.119

Técnica

Número Total

de Corridas Experimentales

Diferencia en el

Número de Corridas

Punto Óptimo

y Óptima

Diferencia

de la Respuesta

Óptima

2x 4x

MT 64 100%

-.3 .3 40.61 16.02% MSR 32 -1 .3 47.119

80

5.3 Verificación de las Hipótesis

Una vez que se obtuvieron los resultados de los casos fue necesario revisar

las suposiciones que se plantearon al inicio del estudio las cuales señalaban lo

siguiente:

1. La MSR nos dará una mejor solución para buscar los niveles de los

factores que optimizan la respuesta que la metodología Taguchi. Esta

hipótesis es cierta ya que en todos los casos la MSR dio mejor solución

al obtener los factores que optimizan la respuesta de los procesos.

2. La MSR utiliza menos corridas experimentales que la Metodología

Taguchi. Esta hipótesis es cierta ya que una vez que se está cerca de la

región del óptimo el número de corridas se reduce.

3. La Metodología Taguchi es más fácil de aplicar que la MSR. Esta

hipótesis es cierta ya que para términos prácticos la metodología

Taguchi es más fácil de aplicar que la metodología de Superficie de

Respuesta.

Cabe aclarar que las hipótesis que se plantearon en este estudio son

descriptivas ya que la forma de probar este tipo de hipótesis se obtuvo

mediante la observación directa de los resultados obtenidos en el presente

estudio.

81

6. CONCLUSIONES

Diversos autores han explicado que tanto la metodología Taguchi como

MSR han demostrado ser técnicas utilizadas en los diferentes campos de la

investigación. En el presente trabajo se demuestra que para los casos

estudiados MSR es mejor para predecir las variables de respuestas. Este

argumento es además sostenido por Osborne y Armacost (1996), quienes

afirman que ambas metodologías son adecuadas para predecir las variables de

respuesta. Además, se tiene la ventaja que el número de corridas necesarias

durante la experimentación fue más pequeño en MSR debido a que se ha

demostrado que una vez que se a localizado la región óptima de

experimentación el número de corridas se reduce.

Sin embargo, la metodología Taguchi, resultó útil ya que se identificaron

de una manera acertada los factores que tenían mayor influencia en la

respuesta, además de acercarse a los puntos óptimos. En casos tan simples

como los propuestos para el análisis de la reacción química y el análisis de

sangre, los diseños factoriales de Taguchi son iguales de eficientes que los

DCC de la metodología de superficie de respuesta para estimar los efectos

lineales. De acuerdo con los resultados obtenidos se puede establecer, que con

los DCC es más eficiente estimar los efectos cuadráticos. Además de que con

la metodología de superficie de respuesta se obtuvo un mejor valor en la

respuesta del rendimiento de la sustancia química, la separación del plasma

para el análisis de sangre, el espesor del chorro de tinta en el caso de la

impresora a color y la resistencia a la ruptura. Es interesante analizar que al

momento de realizar el caso de la impresora por el método de Superficie de

Respuesta, se notó un leve crecimiento en el número de corridas

experimentales. Así mismo, el crecimiento de los factores hubiera sido mayor

82

en el caso de soldadura de punto si los cuatro factores hubieran resultado

significativos. A diferencia de la Metodología de Superficie de Respuesta, la

Metodología Taguchi permitió en el caso de la impresora reducir las corridas

experimentales.

Al usar el software Logicon® para simular los cuatro procesos de esta

investigación, se supuso que no se tenía un conocimiento práctico y profundo

de los procesos. En consecuencia, al aplicar la Metodología Taguchi, los

niveles de los factores se seleccionaron alrededor del centro de la región de

operabilidad de dichos factores. Mientras que al aplicar la MSR se tuvo la

ventaja de que con el método del ascenso más pronunciado se pudo explorar la

región de operabilidad y avanzar secuencialmente en la dirección del óptimo y

encontrar una mejor solución que al aplicar la Metodología Taguchi.

83

7. REFERENCIAS

Antony J. et al. (2001). Process Optimisation using Taguchi Methods of Experimental Design. University Press. Vol 50,

No. 2, 51-57. Box, G.E.P. y Draper, N.R. (1987). Empirical Model Building and

Response Surfaces. John Wiley and Sons. New York Box G. E. P. y Wilson K. B. (1951). On the Experimental

Attainment of Optimum Conditions, Journal of the Royal Statistical Society. B, 13, 1-45.

Ealey L.A. (1988). Quality by Design:Taguchi Methods and U.S. industry. Second Edition. Irwin Profesional Publishing. USA

Figueroa P.G. (2003). Optimización de una Superficie de

Respuesta Utilizando JMP IN, Mosaicos Matemáticos. Dic. No. 11,1-7.

Ishikawa K. (1985). What is Total Qualitv Control?, Prentice-Hall.

USA. en Osborne D. M. y Armacost R. L.(1996). Review of Techniques for Optimizing Multiple Characteristics in Product Development. Elsevier Science . Vol 31, No 1/2.107-110.

Kolarik, W.J. (1995). Creating Quality: Concepts, Systems, Strategies and Tools, McGraw-Hill,Maidenhead. en Antony J. et al. (2001). Process Optimisation using Taguchi Methods of Experimental Design. University Press. Vol 50, No. 2, 51-57.

Kuehl R.O. (2003). Diseños de Experimentos. Segunda Edición.

Thomson Learning. México. Law A.M y Kelton W.D. (1991). Simulation Modeling and

Analysis.Third Edition, McGraw-Hill, USA.

84

Montgomery D.C. y Runger G.C. (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. McGraw-Hill. México, D.F.

Montgomery D. C. (2006). Diseño y Análisis de Experimentos.

Segunda Edición. Limusa Wiley, México. Myers R. H. y Montgomery D. C. (1995). Response Surface

Metodology, Process and Product Optimization Using Designed Experiments. Wiley Series in Probability and Statistics. USA.

Peace S.G. (1992). Taguchi Methods, A Hands-on Approach.

Third Printing. Addison-Wesley Publishing Company. Massachusetts, USA.

Pérez J.M. (1989). Evaluación del Rendimiento y Calidad del Algodonero Sometido al Efecto de Ocho Factores en el Valle de Juárez, Chih, Utilizando un Arreglo Ortogonal L16. Tesis de Maestría en Ciencias en Ingeniería Industrial del ITCJ.

Roy R. K. (1990). Design of Experiments Using The Taguchi

Approach. Wiley & Sons, USA. Taguchi G. y Konishi . (1991). Quality Engineering Series,

Japanese Standars Association. American Supplier Institute Press.

Wu Y. y Wu A. (1996). Diseño Robusto Utilizando los Métodos

Taguchi. Díaz de Santos. Madrid.

1. INTRODUCCIÓN -...

Documents

Transcript of 1. INTRODUCCIÓN -...