INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DECISIÓN

Las empresas toman muchas decisiones cruciales, por ejemplo la de introducir o no un nuevo producto

o dónde ubicar una nueva planta. El resultado de estas decisiones puede afectar seriamente la

rentabilidad futura de la compañía. El campo del análisis de decisión es el marco necesario para tomar

este tipo de importantes decisiones. Las empresas toman muchas decisiones cruciales, por ejemplo la

de introducir o no un nuevo producto o dónde ubicar una nueva planta. El resultado de estas decisiones

puede afectar seriamente la rentabilidad futura de la compañía. El campo del análisis de decisión es el

marco necesario para tomar este tipo de importantes decisiones.

Una decisión puede definirse como el proceso de elegir la solución para un problema, siempre y

cuando existan al menos dos soluciones alternativas. Es evidente que deben llevarse a cabo varias

acciones antes de tomar una decisión.

Estas actividades pueden resumirse de la siguiente manera (donde T. D.= quien toma las decisiones):

Etapa 1. El T. D. se da cuenta que existe un problema.

Etapa 2. El T. D. recopila datos acerca del problema.

Etapa 3. El T. D. elabora un modelo que describe el problema.

Etapa 4. El T. D. utiliza el modelo para generar soluciones alternativas para el problema.

Etapa 5. El T. D. elige entre las soluciones alternativas. Este proceso de toma de decisiones en 5

etapas puede relacionarse con las primeras 3 etapas del proceso de resolución de problemas de

CA/IO, estas primeras etapas serán:

1- identificación, observación y planteamiento del problema

2.- construcción del modelo

3.- generación de la solución

Las etapas 1 y 2 del proceso de toma de decisiones se relacionan con la etapa 1 del proceso de

resolución de problemas; la etapa 3 del proceso de toma de decisiones se relaciona con la etapa 2 del

proceso de resolución de problemas. Por último, las etapas 4 y 5 del proceso de toma de decisiones

corresponden a la etapa 3 del proceso de resolución de problemas. En esta sección se utilizan enfoques

cuantitativos como cualitativos.

Se empleara el concepto de “satisfaciente” para restringir el número de alternativas y después se

usaran métodos cuantitativos para elegir una de éstas.  

Caso: Ashley Washington fabrica y vende pizzas a estudiantes del State Ohio College. Al mezclar los

principales ingredientes de las pizzas y hornearlas por anticipado, ha podido hacer que el tiempo de

1

espera de sus clientes sea breve en comparación con el de restaurantes de la competencia. Aunque ha

vendido una gran cantidad de pizzas, en ocasiones Ashley se ha visto obligado a tirar un gran número

de pizzas horneadas con anticipación debido a que la demanda fue inferior a lo que había anticipado.

Por esta razón, está buscando una política que pueda utilizar para decidir cuántas pizzas debe hornear

con el objeto de maximizar las utilidades.

Ashley ha reducido sus alternativas a sólo 4 posibilidades: hornear 150, 160, 170 o 180 pizzas. Ha

estudiado los patrones previos de demanda para determinar el número de pizzas que se solicitaron por

día, en los últimos 100 días. Ha encontrado lo siguiente.

Número de pizzas que se solicitan 150 160 170 180

Número de días 20 40 25 15

 

Ashley ha determinado que muy pocas veces ha tenido una demanda inferior a 150 pizzas o mayor a

180; por eso redujo las alternativas por día. Este es un ejemplo del uso de política satisfaciente para

reducir el número de alternativas.

Ashley ha determinado que gana $2 por cada pizza que vende y pierde $1 por cada pizza que no vende.

Con esta información es posible construir una tabla de utilidades para cada una de las políticas de

número de pizzas por hornear y por cada nivel de ventas.

Tabla 1. Tabla de utilidades para la Pizzería Ashley

Demanda de pizzas

Número de pizzas que se hornean con anticipación

150 160 170 180150 300 300 300 300160 290 320 320 320170 280 310 340 340180 270 300 330 360

Para ilustrar los cálculos de la tabla 1, considérese el caso en el que se hornearon previamente 160

pizzas pero se vendieron sólo 150. En esta situación la utilidad bruta sería $2 x 150 = $300, habiendo

perdido $10 por las pizzas que no se vendieron y, por ello, se obtendría una utilidad neta de $290. Es

posible utilizar la tabla 1 para determinar el número de pizzas que deben hornearse previamente para

maximizar las utilidades de la pizzería.

Antes de decidir cuál es la política óptima, Ashley también esta considerando mudar su pizzería a un

nuevo local, existen tres alternativas de entre las que puede escoger: permanecer donde esta, mudarse a

2

Baxter Street, o mudarse a Epps Brige Road, su decisión se verá influenciada por acciones externas

sobre las cuales no tiene control. Estas acciones externas son las decisiones que otras personas tomarán.

Con la ayuda de un asesor financiero, Ashley ha pronosticado el valor actual de cada una de las

decisiones, tomando en cuenta las dos acciones externas (que se consideran mutuamente excluyentes),

junto con la posibilidad de que no ocurra ninguna de las dos acciones. Estos valores se muestran en la

tabla 2.

Tabla 2. Valores presentes de la decisión de ubicación

Acción externa

Decisión Ninguna

Cerrar losantiguos

dormitorios

Construirnuevos

departamentos

No mudarse + $100,000 + $50,000 + $20,000

Baxter St. + $40,000 + $150,000 + $25,000

Epps Bridge Rd - $20,000 + $20,000 + $ 200,000

Puesto que esta decisión sobre ubicación se tomará sólo una vez, no existen datos previos que puedan

utilizarse para auxiliar en la decisión.

Análisis preliminar del caso de la pizzería Ashley  

En este caso, se enfrenta a dos decisiones que Ashley debe tomar con respecto a la operación del

restaurante de pizzas. La primera decisión, que se refiere al número de pizzas que han de hornearse con

anticipación, es del tipo de las que deben tomarse todos los días que la pizzería opera.

En consecuencia, existen datos previos que pueden utilizarse para ayudar a tomar esa decisión sobre

política y emplearse para calcular probabilidades, las cuales se generan a partir de datos existentes y

pueden utilizarse para determinar una decisión sobre política que proporcione el máximo de utilidades.

Recordar que la probabilidad de que ocurra un evento. Si p es la probabilidad de que ocurra un evento,

entonces 0 ≤ p ≤ 1. Conforme más cercana esté p a 1 es más probable que ocurra el evento.

La segunda decisión es del tipo de las que no tienen información previa disponible. Las decisiones

de este tipo, se toman sólo una vez. Deben basarse en los resultados posibles que han de ocurrir y en la

forma en que éstos afectan a quien toma decisiones, el T. D. puede utilizar criterios de toma de

decisiones que no tomen en cuenta las probabilidades. Por otro lado, el T. D. podría utilizar

3

probabilidades subjetivas para determinar una decisión. Las probabilidades subjetivas las genera cada

individuo que toma decisiones, sin el uso de datos previos.

Tipos de decisiones

 En esencia existen tres tipos principales de decisiones.

1. decisiones bajo certidumbre

2. decisiones en las que pueden usarse datos previos para calcular probabilidades que se emplean en

toma de decisiones.

3. decisiones para las cuales existen datos previos que permiten calcular probabilidades.

 Toma de decisiones bajo certidumbre

 En los casos que existe sólo un resultado para una decisión se están tomando decisiones bajo

certidumbre. Ejemplos de eso son la programación lineal y la programación en enteros. En ambos

casos, si se decide que un grupo de variables sea positivo (es decir, si se toma una decisión) no hay

duda con respecto a cuál será la utilidad asociada con esa decisión.

Toma de decisiones utilizando datos previos

 En los casos en los que debe tomarse una decisión en forma repetida y se tienen muchos resultados

posibles, y las circunstancias que rodean a la decisión son siempre iguales, se tiene lo que podría

denominarse decisiones utilizando datos previos. Dado que es posible valerse de la experiencia pasada

para desarrollar probabilidades con respecto a la ocurrencia de cada resultado, en este tipo de toma de

decisiones se utilizan modelos en probabilidades.

Son tres las condiciones necesarias para este tipo de toma de decisiones.

  1.- las decisiones se toman bajo las mismas condiciones

  2.- existe más de un resultado para cada decisión

3.- existe experiencia anterior que puede utilizarse para obtener probabilidades para cada resultado.

Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, entonces no se considera que es una decisión con base

en datos previos. Se contemplará un solo modelo cuantitativo de toma de decisiones para emplearlo en

la toma de decisiones empleando datos previos

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Toma de decisiones sin datos previos

  En los casos en los que una decisión no se toma en forma repetida, o no existe experiencia pasada que

pueda utilizarse para calcular probabilidades, o las circunstancias que rodean la decisión cambian de un

momento a otro, se considera que la decisión se toma sin datos previos. Se le denomina así debido a

que la misma decisión se toma sólo una vez, y como tal, no existe experiencia pasada que ayudó en el

proceso de toma de decisiones.

Decisiones alternativas

Cuando un T. D. enfrenta un problema que requiere una decisión, una de las acciones que debe

emprender antes de llegar a una decisión, es determinar las alternativas sobre las cuales se basará la

decisión final. En el caso de la Pizzería Ashley, Ashley tiene cuatro alternativas relacionadas con el

número de pizzas que debe hornear con anticipación (150, 160, 170 o 180 pizzas). También tiene tres

alternativas con respecto a la ubicación (no mudarse, Baxter Street o Epps Bridge). Este caso ilustra el

hecho de que no hacer cosa alguna es también una alternativa que quien toma las decisiones debe

considerar. Observar también que sólo se consideran alternativas en verdad viables. Está es una forma

de la característica de satisfaciente que se mencionó antes.  

Los estados de la naturaleza

 

Una persona que toma decisiones y que enfrenta una situación de decisión en la que pueden producirse

resultados múltiples a partir de una estrategia determinada, enfrenta estados de la naturaleza múltiples

o acciones externas múltiples. Los estados de la naturaleza son las circunstancias que afectan el

resultado de la decisión pero que están fuera del control del T. D.

En el caso de la Pizzería Ashley, en la cual se va a tomar una decisión con respecto a cuántas pizzas

deben hornearse, los estados de la naturaleza se refieren a los niveles de demanda para las pizzas. Es

decir,

Ashley no puede controlar el número de pizzas que le solicitaran una noche determinada; aun así, este

nivel de demanda tendrá efectos sobre las utilidades que obtenga por cualquier decisión que tome.

Con respecto a la decisión sobre la ubicación, de nuevo Ashley enfrenta tres estados de la naturaleza

sobre los cuales no tiene control. Estos estados de la naturaleza están influidos por las decisiones que

alguna otra persona tomará con respecto a los antiguos dormitorios y los nuevos departamentos. Las

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decisiones tendrán un efecto inevitable sobre el valor presente de las utilidades, y esto sin importar qué

decisión tome Ashley con respecto a la ubicación. De nuevo, y al igual que en la selección de

alternativas, es importante considerar sólo condiciones del medio ambiente que tengan un efecto

significativo sobre los resultados.

Resultados

 Para cada combinación de estrategias y estado de la naturaleza habrá un resultado. Este resultado

puede expresarse en términos de utilidades (en el caso del problema de elegir el número de pizzas que

deben hornearse), puede expresarse en términos de valores presentes (como en el caso de la decisión

sobre la ubicación), o puede expresarse en términos de alguna medida no monetaria.

Para determinar los resultados es necesario considerar todas las posibles combinaciones de

decisiones y de estados de la naturaleza para determinar el resultado que se obtendría sí se utiliza una

alternativa dada y si ocurre un estado especifico de la naturaleza. Por ejemplo, en el problema de la

ubicación de la pizzería, si Ashley decidiera no mudarse y cerraran los antiguos dormitorios, se calculo

que el resultado sería $50,000.

En esa situación, dado que había tres alternativas y tres estados de la naturaleza, existen 3 x 3 = 9

resultados que deben calcularse. En general, si existen k alternativas y n estados de la naturaleza, será

necesario calcular (k x n) resultados. Con bastante frecuencia los resultados también se denominan

pagos y una tabla de resultados se denomina tabla de pagos.

Árboles de decisión

 Una forma clara y sencilla de estructurar el proceso de toma de decisiones es por medio de un árbol de

decisión. Está formado por nodos de acción, nodos de probabilidad y ramas. Un árbol de decisión los

nodos se denotarán con un cuadro ( ) y representarán aquellos lugares del proceso de toma de

decisiones en los que se toma una decisión. Los nodos de probabilidad se denotarán por medio de un

circulo ( ) e indicarán aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algún

estado de la naturaleza. Las ramas se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza.

También pueden anotarse probabilidades sobre las ramas para denotar la probabilidad de que ocurra un

estado determinado de la naturaleza.

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Por último, se colocan los pagos al final de las ramas terminales del estado de la naturaleza para

mostrar el resultado que se obtendría al tomar una decisión particular, y que después ocurra un estado

específico de la naturaleza. Como ejemplo de árbol de decisión, considérese el caso de un profesor

universitario que está tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el día de hoy. La

decisión de llevar el paraguas se muestra como un nodo de acción en la figura 1.

nodo de nodos de

acción probabilidad 

Figura 1. Nodos de acción y de probabilidad

Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de acción habrá un nodo de probabilidades u

otro nodo de acción. Los posibles estados de la naturaleza comenzarán en los nodos de probabilidad.

También se muestran en la figura 2 los posibles estados de la naturaleza para la decisión del profesor.

En este caso, se ha anotado también sobre la rama de probabilidad las probabilidades de que haya lluvia

o esté despejado de acuerdo con la oficina meteorológica local.

Ahora, si se combinan los nodos de acción y los nodos de probabilidad con los pagos para cada

combinación se tiene un árbol de decisión. El profesor ha determinado los diversos pagos asociados

con las cuatro posibles combinaciones de decisiones y de estados de la naturaleza. Estos pagos se

colocan al final de las ramas terminales de probabilidad. El profesor ha decido los siguientes pagos:

Llevar paraguas y que no llueva - 1

Llevar paraguas y que llueva + 20

No llevar paraguas y que no llueva + 5

No llevar paraguas y que llueva - 40

Utilizando estos pagos es posible construir un árbol de decisión. Este árbol se muestra en la figura 3

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Llevar paraguas

No llevar paraguas

Lluvia (0.6)

Despejado (0.4)

Fig. 3 árbol de decisión para la decisión sobre el paraguas.

+ 20

- 1

- 40

+ 5

Empleando la terminología de alternativas, estados de la naturaleza, resultados, y arboles de decisión,

se analizan estos modelos para la toma de decisiones, tanto usando datos previos como sin utilizarlos

TOMA DE DECISIONES SIN DATOS PREVIOS

En esta parte se analiza un conjunto de modelos de decisión que pueden usarse sin datos previos. No es

posible decir que uno de estos modelos es más correcto que cualquier otro. Lo apropiado de cada

modelo depende de la opinión del T. D. y de si éste desea o no utilizar probabilidades subjetivas. Al

analizar cada modelo se describe bajo qué circunstancias sería apropiado, se usara el problema de

ubicación de la Pizzería Ashley como aplicación del modelo.

En los tres primeros modelos no se utilizan probabilidades subjetivas para tomar una decisión, en tanto

que en los últimos si se hace.

Modelo de decisión del pesimista

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Llevar paraguas

No llevar paraguas

Lluvia (0.6)

Despejado (0.4)

Lluvia (0.6)

Despejado (0.4)

La persona que toma decisiones y que es pesimista con respecto a los estados de la naturaleza o

considera, debido a inseguridad económica, que debe evitar pérdidas altas aun a riesgo de posiblemente

perder altas utilidades, se inclinará a utilizar el modelo de decisión que se conoce como modelo de

decisión del pesimista. El principal concepto en el que se basa este modelo es evitar pérdidas elevadas

o inaceptables.

Para implantar este concepto de evitar pérdidas se determina el menor resultado para cada estrategia y

después se elige la que tenga el mayor de estos resultados menores. Dado que se están maximizando

los resultados mínimos, este modelo se conoce también como el del criterio maximín. El

procedimiento puede describirse como sigue:

Paso 1. Determinar el resultado de menor valor para cada alternativa y registrarlo en una lista.

Paso 2. De la lista de resultados elegir el valor máximo. La alternativa asociada con este resultado

máximo es la estrategia que debe utilizarse.

Como ejemplo del uso del modelo de decisión del pesimista, considerar el resultado para la decisión de

ubicación de la Pizzería Ashley (tabla 3).

Estados de la naturaleza

sin cambio (N1)

Se cierran los antiguos dormitorios (N2)

Se construyen nuevos departamentos (N3)

Permanecer en la ubicación actual (A1)

+ $100,000 +$ 50,000 + $ 20,000

Mudarse a Baxter Street (A2)

+ $ 40,000 + $ 150,000 + $ 25,000

Mudarse a Epps Bridge Road (A3)

- $20,000 + $ 20,000 + $ 200,000

Si se aplica ahora el paso 1 del modelo de decisión del pesimista a este problema se pueden listar los

resultados mínimos (pagos) y el estado de la naturaleza asociado con cada uno de esos resultados

mínimos (tabla 4).

Si después se aplica el paso 2 del modelo se maximizan los valores de la tabla 4 y se encuentra que la

alternativa que se elige es la A2 (mudarse a Baxter Street), que da un pago mínimo de $25,000. Es

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Alternativa Pago Mínimo

A1 $20,000 (N3)A2* $25,000 (N3)A3 -$25,000 (N1)

Tabla 4. Pagos mínimos para el problema de ubicación

decir Ashley elige la estrategia de menor pago que podría esperar seria de $25,000. Si eligiera

cualquiera de las otras dos alternativas el pago podría se menor que esto.

Este modelo se denominó modelo de decisión del pesimista. Se supone que sucederá lo peor y

después se busca hacer lo mejor bajo esta consideración. En otras palabras, se considera que el medio

ambiente es hostil y se trabaja sobre esa base.

Otra razón por la que podría decidirse utilizar este modelo es el conjunto de circunstancias que

rodean la decisión. En algunos casos no es posible financiar algunos de los resultados ruidosos. Por

ejemplo, aunque la estrategia de Baxter Street tiene un pago mínimo de $25,000, el pago mínimo de

Epps Bride Road tiene un pago

mínimo de $20,000. Si la Pizzería Ashley no puede permitir perdidas como ésta, sería necesario evitar

esa posibilidad al no elegir esta estrategia.

En la siguiente figura 3, se ha planteado el problema de la pizzería Ashley en un árbol de decisión.

Acción Probabilidad

Figura 3. Árbol de decisión para el problema de Ashley con respecto a mudarse

En este caso existen tres ramas de decisión que corresponden a no mudarse, mudarse a Baxter Street y

mudarse a Epps Bridge Road para cada rama de decisión existen tres ramas de estados de la naturaleza

asociados con un nodo de probabilidad. Esos corresponden a no mudarse, cerrar los dormitorios y

construir nuevos departamentos. Por ultimo, para cada combinación de acción y alternativa existe un

pago que se ha colocado en el extremo final de cada una de las ramas terminales.

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No mudarse

Mudarse a Baxter Street

Mudarse a Epps Bride

Sin cambio

Sin cambio

Cierran los dormitorios

Construyen departamentos

Sin cambio

Cierran los dormitorios

Cierran los dormitorios

Construyen departamentos

Construyen departamentos

$100,000

$50,000

$20,000

$40,000

$150,000

$25,000

-$20,000

$20,000

$200,000

Para elaborar la tabla de pago mínimo para el modelo de decisión del pesimista, todo lo que se

necesita hacer es elegir el pago mínimo asociado con cada rama de decisión.

Modelo de decisión del optimista

El T. D. que considera que el medio ambiente es propicio será optimista con respecto al resultado, en

vez de ser pesimista. Bajo este supuesto, el T. D. determina el mayor pago para cada alternativa y

después elige el máximo de éstos.

El procedimiento par aplicar el modelo de decisión optimista es el mismo que se utilizo para el

modelo de decisión pesimista, pero con una excepción importante. El paso 1 se modificara como sigue:

Paso 1. Para cada alternativa, determinar el resultado con el mayor valor y anotarlo en una lista.

Paso 2. Dé la lista de resultados, elegir el valor máximo; la alternativa asociada con este resultado

máximo es la estrategia que debe seguirse.

Como ejemplo del uso del modelo de decisión del optimista considerar de nuevo el problema de la

Pizzería Ashley acerca de decidir si debe mudarse o no. si se aplica este modelo de decisión a este

problema, el paso 1 produce la lista que se muestra en la tabla 5.

Tabla 5. Pagos máximos

Alternativa

Pago

máximo

A1 + $100,000

A2 +$150,000

A3* +$200,000

Si después se aplica el paso 2 del modelo de decisión del optimista, se maximizan los valores de la

tabla 5 y se encuentra que la alternativa elegida es la A3 (mudarse a Epps bridge Road) con un pago de

$200,000. Es decir, si Ashley elige la alternativa de mudarse a Epps Bridge Road, entonces el pago

máximo que podría esperar es $200,000. Si se selecciona cualquier otra alternativa el pago sería en

definitiva inferior a este valor.

Este modelo de decisión se conoce como modelo del optimista porque T. D. tiene también una

opinión optimista acerca del medio ambiente. Quien toma las decisiones podría también utilizar este

modelo en una situación en la que la cantidad de dinero que puede perderse (pago negativo) es pequeña

en comparación con la utilidad que puede alcanzarse. En estos casos, se supone que quien toma las

decisiones puede permitirse las perdidas que podrían ocurrir si se utiliza el modelo del optimista. Para

el ejemplo, podría haberse elegido la alternativa A3 debido a la magnitud del rendimiento $200,000,

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que era grande en comparación con la perdida que pudiera haber ocurrido por elegir esa alternativa,

$20,000. El T. D. considero que $20,000 no era una pérdida potencial grande al considerar el pago.

Modelos de decisión de minimización del arrepentimiento

Otro modelo de decisión que representa una opinión bastante pesimista del medio ambiente es el de la

minimización del arrepentimiento, también conocido como minimización de las perdidas de

oportunidad.

Para comprender este modelo de decisión es necesario definir una pérdida de oportunidad. Para

un estado de la naturaleza determinado existen siempre una o más alternativas que producen el mayor

pago. Si se elige una estrategia que dé como resultado un pago inferior al máximo para ese estado de la

naturaleza en particular, entonces se incurre en una pérdida de oportunidad que es igual a la diferencia

entre el pago más alto y el pago que se da con la estrategia elegida, y se siente arrepentimiento. En

otras palabras, para un estado determinado de la naturaleza,

Perdida de oportunidad = pago máximo – pago por la alternativa seleccionada (ecuación 1)

Las perdidas de oportunidad son la cantidad que se pierde cuando la alternativa que eligió no era la

mejor. Si la decisión conduce al pago más alto para un estado de la naturaleza particular, no hay

pérdida de oportunidad y no se siente arrepentimiento.

Como ejemplo del modelo de pérdida de oportunidad o de arrepentimiento considérese el primer

estado de la naturaleza (no cambiarse) para el problema de ubicación de la Pizzería Ashley. Esta

columna de la tabla 6.

Tabla 6. Pagos del primer estado de la naturaleza

Alternativa Sin cambio (N1)

A1 +$100,000A2 +$40,000A3 -$20,000

Usando los valores de la tabla 6 se determina que el máximo pago es $100,000 y ocurre para A1 (no

mudarse). Tomando este valor y la ecuación (1) puede calcularse la pérdida de oportunidad para cada

alternativa, ver siguiente tabla.

Tabla 7. Calculo de la perdida de oportunidad para N1

Alternativa Pagomáximo

- Pago de laalternativa

= Perdida de

oportunidad 12

A1 $100,000 $100,000 0A2 $100,000 $40,000 $60,000A3 $100,000 -$20,000 $120,000

Utilizando el mismo procedimiento puede calcularse la pérdida de oportunidad para el segundo y

tercer estados de la naturaleza. Cuando se anotan en una tabla combinada los valores de oportunidad

para todos los estados de la naturaleza se tiene una tabla de arrepentimiento. Una tabla de este tipo

para el problema de la pizzería Ashley se muestra en la tabla 8.

Tabla 8. Tabla de arrepentimiento

Se busca evitar valores

grandes de arrepentimiento puesto que están asociados con pérdidas grandes de oportunidad. Esta clase

de toma de decisiones es similar al modelo de decisión pesimista, excepto que aquí se busca minimizar

las perdidas máximas de oportunidad. Es posible plantear un procedimiento paso a paso para el modelo

de decisión de minimización del arrepentimiento de la siguiente manera:

Paso 1. Para cada estado de la naturaleza:

a.- Determinar el pago más alto.

b.- Calcular las pérdidas de oportunidad para cada alternativa, utilizando la ecuación 1.

c.- Colocar estos valores de pérdida de oportunidad en una tabla de arrepentimientos.

Paso 2. Para cada alternativa de la tabla de arrepentimiento, determinar la pérdida máxima de

oportunidad y colocar este valor en una lista.

Paso 3. Utilizando la lista del paso 2, determinar la mínima de las perdidas máximas de utilidad. La

alternativa correspondiente es que debe elegirse.

Si se utiliza este procedimiento paso a paso para generar la tabla de arrepentimientos de la tabla 8,

se llega a la lista de valores máximos de pérdida de oportunidad que se muestran en la tabla 9.

Tabla 9. Valores del arrepentimiento máximo

Alternativa Máxima perdidade oportunidad

A1 $180,000A2 $175,000A3* $130,000

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Alternativa Sin cambio

(N1)

Cerrar los Antiguos

Dormitorios (N2)

Construir Nuevos

Departamentos (N3)No mudarse (A1) 0 $100,000 $180,000Mudarse a Baxter

Street (A2) $60,000 0 $175,000Mudarse a Epps

Bride Road (A3)

$120,000 $130,000 0

Estado de la naturaleza

Utilizando el paso 3, se elige entonces la alternativa A3 (mudarse a Epps Bridge Road) puesto que es el

menor valor de la lista de pérdidas máximas de oportunidad con un valor de $130,000. Esta alternativa

está marcada con un asterisco en la tabla 9.

En este modelo de decisión quien toma las decisiones busca evitar pérdidas elevadas de oportunidad

a través de un análisis minimax de la tabla de arrepentimientos. Al hacer esto, quien toma las

decisiones minimiza la diferencia máxima que puede ocurrir entre la mejor alternativa para un estado

determinado de la naturaleza y cada uno de los resultados. Al elegir una alternativa quien toma

decisiones se asegura de minimizar el arrepentimiento máximo o pérdida de oportunidad.

Modelo de decisión de maximización del pago promedio

En los casos en los que quien toma las decisiones se enfrenta a alternativas múltiples en las que cada

alternativa tiene a su vez resultados múltiples, es una práctica común encontrar el pago promedio para

cada estrategia y elegir después la alternativa que tenga el mayor pago promedio. En este modelo de

decisión, si existen n resultados para cada alternativa con

Oij = pago para la i-ésima alternativa dado el j – ésimo estado de la naturaleza, y

Vi = pago promedio para la i – ésima alternativa

Entonces

Por ejemplo, en el problema del cambio de ubicación de la Pizzería Ashley el pago promedio para la

primera alternativa está dada por.

V1 = (100,000 + 50,000 + 20,000) /3 = $56,667 (A1)

En tanto que

V2 = (40,000 + 150,000 + 25,000) /3 = $71,667 (A2)

y

V3 = (- 20,000 + 20,000 + 200,000) /3 = $66,667 (A3)

Utilizando estos valores, quien toma las decisiones elabora una lista de valores promedio similar a la

que se realizó en los tres modelos anteriores de decisiones. En este caso, esa lista se muestra en la tabla

10. Cuando se maximizan estos pagos promedio se elige la estrategia A2 (mudarse a Baxter Street).

Esta alternativa aparece señalada con un asterisco en la tabla 10.

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Tabla 10. Pagos promedio

alternativa Pagos promedio

A1 $56,667A2* $71,667A3 $66,667

Se presenta una descripción detallada del modelo de decisión del pago promedio máximo:

Paso 1. Para cada alternativa, calcular el pago promedio para todos los estados de la naturaleza y

colocar estos valores en una lista.

Paso 2. Determinar el mayor valor de la lista de pagos promedio. La alternativa que corresponde a este

pago es la que debe seleccionarse.

Desde un punto de vista intuitivo no parecería que el modelo de decisión del pago promedio

máximo dependa de probabilidades. Sin embargo, al tomar los promedios de los resultados para cada

decisión se está diciendo en forma implícita que los resultados son igualmente probables. En términos

de probabilidades, la probabilidad de que ocurra cada resultado es igual 1/n en donde n es el numero de

resultados. En otras palabras, si pi = probabilidad del i – ésimo resultado, entonces p1 = p2 =. . . = pn =

1/n.

Después pueden utilizarse estas probabilidades para calcular el valor monetario esperado (VME)

para cada decisión. El VME se basa en el concepto de valor esperado de la teoría de la probabilidad. Si

existen, señalemos, n resultados para un experimento en donde cada resultado tiene un rendimiento rj y

una probabilidad de ocurrencia de pj, entonces el valor esperado de ese experimento está dado por:

Donde

Por ejemplo, si se lanza un solo dado con la misma probabilidad de ocurrencia para cada uno de los

seis lados y el rendimiento fuera igual al número que se obtuvo, entonces el valor esperado de ese

experimento sería.

Si el rendimiento está dado en términos de dinero entonces el valor esperado se convierte en el valor

monetario esperado.

15

En el caso de probabilidades igualmente posibles,

Esta misma fórmula dada en la ecuación 2, lo cual demuestra que el modelo de decisión de pago

promedio máximo es lo mismo que utilizar un enfoque de VME máximo con probabilidades iguales.

Modelo de probabilidades subjetivas

Aunque no siempre es posible hacer uso de datos previos para calcular probabilidades para la

ocurrencia de diversos resultados, pueden utilizarse probabilidades subjetivas. Esas probabilidades se

basan en una multitud de experiencias anteriores, que quien toma las decisiones puede emplear para

asignar probabilidades a los resultados. Las probabilidades subjetivas son el concepto básico sobre el

cual se basan las apuestas. Cada apostador asigna una probabilidad diferente a los diversos resultados

de una carrera o de algún otro juego de azar y después avalúa los resultados para decidir cómo debe

apostar. Muchos aspectos intervienen en la forma en que el apostador asigna probabilidades incluyendo

el número de acciones, el peso que el apostador asigna a cada opción y las experiencias pasadas con

respecto al evento.

En los negocios, es frecuente que quien toma decisiones deba asignar probabilidades a la ocurrencia

de diversos resultados con base en un juicio personal respecto a las condiciones del mercado, a las

acciones futuras de un competidor, a la importancia del producto que se considera, etc. En algunas

ocasiones la intuición o una “corazonada” conduce a una persona que toma decisiones a asignar

probabilidades por razones que no puede definir.

Una vez que se asignan las probabilidades subjetivas, quien toma decisiones debe decidir si es

adecuado utilizar valores monetarios para los pagos (tanto positivos como negativos) en el cálculo de

los valores esperados. En otras palabras, ¿existe una relación lineal entre el dinero implicado y la

utilidad que logra quien toma las decisiones con cada resultado? En este caso, la utilidad se refiere a

las consecuencias no monetarias de la ocurrencia de un resultado.

Si se aplica el análisis utilitario esperado a la Pizzería Ashley y a la decisión con respecto a

mudarse se necesitan dos tipos de información. En primer lugar, se debe saber si los dólares que

aparecen en la tabla de pagos (tabla 3) representan en realidad todas las consecuencias de cada

decisión, tanto monetarias como no monetarias. Si no es así, entonces, sería necesario elaborar una

tabla de valores de utilidad para Ashley.

16

En segundo lugar, se debe pedir a Ashley una estimación de la probabilidad de ocurrencia de cada

resultado. Después se pueden utilizar el valor esperado para elegir una alternativa. Suponer que Ashley

está satisfecho con los valores monetarios de la tabla de pagos como representación de las

consecuencias de cada decisión. Estima que existe una probabilidad 0.4 de que no haya acciones

externas (resultado 1), una probabilidad 0.3 de que se cierren los antiguos dormitorios (resultado 2) y

una probabilidad 0.3 de que se construyan los nuevos departamentos (resultado 3). Ahora es posible

calcular los valores utilitarios esperados para cada decisión.

A1: VUE 1 = (0.4) (100,000) + (0.3) (50,000) + (0.3) (20,000) = $ 61,000

A2: VUE 2 = (0.4) (40,000) + (0.3) (150,000) + (0.3) (25,000) = $ 68,500

A3: VUE 3 = (0.4) (- 20,000) + (0.3) (20,000) + (0.3) (200,000) = $ 58,000

Utilizando el método de la probabilidad subjetiva, Ashley elegiría la alternativa A2 (mudarse a Baxter

Street).

Si se usa un árbol de decisión para representar esto el árbol se asemejaría al que aparece en la figura 3,

excepto que ahora se incluyen probabilidades en cada rama de resultados (figura 4). Esas

probabilidades solo se multiplican por el resultado que aparece al final de cada rama y se suman para

todos los resultados de cada una de las ramas de estrategias con el objeto de calcular el valor esperado

(VME o VUE) para cada alternativa.

Acción Probabilidad

(0.3)

(A2)

(0.3)

17

No mudarse (A1)

Mudarse a Baxter Street

Mudarse a Epps Bride (A3)

(N1) Sin cambio (0.4)

(N1) Sin cambio

(0.4)

(N2)Cierran los dormitorios (0.3)

(N3) Construyen departamentos (

(N1) Sin cambio (0.4)

(N2) Cierran los dormitorios (0.3)

(N2) Cierran los dormitorios (0.3)

(N3)Construyen departamentos

(N3) Construyen departamentos (0.3)

$100,000

$50,000

$20,000

$40,000

$150,000

$25,000

-$20,000

$20,000

$200,000

Figura 4. Árbol de decisión para el problema de a mudarse

Como ejemplos de los cálculos de valor esperado utilizando un árbol de decisión considerar la rama A1

(no mudarse). En esta rama si se multiplican los resultados que aparecen al final de cada una de las

ramas de estados de la naturaleza por las probabilidades de la rama, y después se suman, se obtiene.

(0.4) (100,000) + (0.3) (50,000) + (0.3) (20,000) = $ 61,000

Lo cual es el mismo VUE que se calculó antes para A1, sólo que ahora se utilizo el árbol de decisión en

los cálculos.

Observar que VUE sería exactamente el mismo para el método del pago promedio máximo, si se

remplazan las probabilidades subjetivas por probabilidades igualmente posibles, en este caso, la

probabilidad de cada rama sería 0.3333, puesto que existen tres resultados para cada rama de decisión.

Comparación de los análisis bayesiano y clásico para la toma de decisiones utilizando datos

previos

Cuando existen datos previos disponibles para auxiliarse en la toma de decisiones, es posible utilizar

dos tipos de análisis. Se les define en forma amplia como análisis bayesiano y análisis clásico. En el

análisis bayesiano se combinan los datos previos (o probabilidades subjetivas) con datos muéstrales o

de prueba, utilizando la formula desarrollada por Thomas Bayes.

En el análisis clásico se utilizan los datos previos para elaborar una regla de decisión y después se

corre una prueba o se toma una muestra. La decisión se toma con base en el resultado de la prueba o

muestra. Este es el tipo de análisis que por lo general se enseña en la estadística bajo el nombre de

prueba de hipótesis. Por ejemplo, en el caso de la Pizzería Ashley, puede determinarse la demanda

esperada por medio del siguiente cálculo:

Demanda esperada = (0.2) (150) + (0.4) (160) + (0.25) (170) + (0.15) (180) = 163.5

Con base en la demanda esperada, Ashley podría esperar que la demanda excediera, en promedio, las

160 pizzas por noche. Para probar esta expectativa, puede utilizarse el análisis clásico, primero se

plantea la siguiente hipótesis nula, utilizando el valor esperado que se calculo con los datos previos:

H0 = µ ≥ 160

Esta hipótesis nula dice que los datos previos indican que la demanda promedio a largo plazo, o media

µ, será mayor o igual a 160 pizzas. Utilizando los datos previos se plantea una hipótesis alternativa de

que la demanda es menor de 160 pizzas:

H1: µ < 160

18

(o que la demanda media es inferior a 160 pizzas)

Para tomar una decisión se toma una muestra de los valores de la demanda para cierto número de

noches. Con base en esta muestra se podría aceptar la hipótesis nula y asegurar que la demanda media

de Ashley es de 160 o más pizzas por noche. Por otro lado, la muestra podría conducir a rechazar la

hipótesis nula y a afirmar que, después de todo, la demanda promedio en realidad no es de 160 o más

pizzas.

En el análisis bayesiano se elabora una matriz de decisión que contiene las consecuencias monetarias

de diversas decisiones. Con esta matriz de decisión, en el análisis bayesiano se realiza primero un

análisis previo utilizando los datos anteriores. A esto le sigue un segundo análisis o preposterior, en el

cual se determina si resultaría útil llevar a cabo pruebas o muestras adicionales. Si el análisis

preposterior muestra que las pruebas o las muestras serían económicamente útiles, entonces se lleva a

cabo. Si se toma una muestra o se lleva a cabo una prueba, se utilizan los resultados para modificar las

probabilidades previas con el objeto de determinar las probabilidades posteriores o “después” de la

prueba. Estas probabilidades posteriores combinan tanto los datos previos como resultado de la prueba

o muestra.

Al comparar el análisis clásico con el bayesiano, se observa que en el primero siempre se procede a

realizar una prueba o a recolectar una muestra, pero en el análisis bayesiano sólo se hace esto después

de que un análisis preposterior de los datos haya mostrado que pruebas o muestras adicionales serían

económicamente valiosas. Esta decisión de probar o muestrear, o no hacerlo, combinada con la

modificación de las probabilidades con base en las pruebas, es lo que da al análisis bayesiano ventajas

con respecto al análisis clásico, ya que permite una toma de decisiones más económica.

Análisis bayesiano

Para comenzar un análisis bayesiano del caso de la Pizzería Ashley, en primer lugar se necesita una

matriz de decisión que muestre las consecuencias económicas de diversas decisiones. Para hacer esto,

se amplía la tabla de utilidades 1 para convertirla en la tabla de utilidades 13

Tabla 13. Tabla de utilidades

Número de pizzas que se hornean con anticipación

Numero

150

de pizzas

160

que se

170

solicitan

180150 300 300 300 300160 290 320 320 320170 280 310 340 340180 270 300 330 360

19

Fracción de tiempo 0.20 0.40 0.25 0.15

Esta tabla ampliada incluye los pagos para cada estado de la naturaleza y cada alternativa, y la porción

de tiempo en que ocurrió cada estado de la naturaleza. Esta fracción se encuentra dividiendo el número

de días de cada estado de la naturaleza entre el número total de días para todos ellos. Se estudiaron 20 +

40 + 25 + 15 = 100 días; por ello, para el primer estado de la naturaleza, la fracción es 20/100 = 0.20.

Estas fracciones son equivalentes a probabilidades, dado que se suma es igual a uno y reflejan la

proporción de tiempo que ocurrió cada estado de la naturaleza. Considerar que se observará la misma

proporción en el futuro.

Utilizando esta información, si existen n estados de la naturaleza, es posible calcular el VME para

cada alternativa, por medio de la formula que sigue:

Donde O ij = pago utilizando la i – ésima alternativa si ocurre el j – ésimo estado de la naturaleza

Pj = probabilidad de que ocurra el j – ésimo estado de la naturaleza

VMEi = valor monetario esperado para la i – ésima alternativa

Si se aplica este modelo de decisión al problema de la Pizzería Ashley, con respecto a cuántas pizzas

hornear con anticipación, se tienen los siguientes cálculos:

VME 1 = (0.20) (300) + (0.40) (300) + (0.25) (300) + (0.15) (300) = $ 300.00

VME 2 = (0.20) (290) + (0.40) (320) + (0.25) (320) + (0.15) (320) = $ 314.00

VME 3 = (0.20) (280) + (0.40) (310) + (0.25) (340) + (0.15) (360) = $ 316.00

VME 4 = (0.20) (270) + (0.40) (300) + (0.25) (330) + (0.15) (360) = $ 310.50

Después, se anotan estos valores monetarios esperados en una lista a partir de la cual se determina el

máximo (ver tabla 14)

Tabla 14. Valores monetarios esperados

Alternativa VME150 (A1) $300.00160 (A2) 314.00170 (A3) 316.00*180(A4) 310.50

Se encuentra que el VME es $316 y ocurre para una decisión de hornear 170 pizzas. La interpretación

de este valor es que si Ashley horneara 170 pizzas cada noche, entonces su utilidad promedio a largo

plazo sería de $316 por noche. Observar que en ningún momento ocurriría este valor en realidad; es un

20

valor promedio para una gran cantidad de aplicaciones de la alternativa bajo condiciones similares. Esta

alternativa está marcada con un asterisco en la tabla 14.

Se presenta un procedimiento paso a paso para el modelo de decisión VME.

Paso 1. Calcular las probabilidades, p j, para la ocurrencia de cada estado de la naturaleza.

Paso 2. Calcular el VME para todas las alternativas utilizando la ecuación (6) y anotar estos valores en

una lista.

Paso 3. Utilizar la lista de VME´s calculada en el paso 2 para determinar el valor máximo. La

alternativa que corresponde al VME máximo es la decisión que debe tomarse.

Esta es la porción a priori de un análisis bayesiano

Uso de árboles de decisión para problemas con datos previos

Al igual que con los problemas de decisión en los que no existen datos previos disponibles, es posible

(y en muchas ocasiones aconsejable) utilizar árboles de decisión para determinar cuál es la decisión

correcta. En el caso de los problemas en que existen datos previos, se construye un árbol de decisión de

la misma forma en que se hizo para otros tipos de problemas, la única diferencia es que se incluyen las

probabilidades calculadas en las ramas de probabilidad y estas probabilidades se utilizan para calcular

los VME. En el caso de la decisión de la pizzería con respecto a cuántas pizzas hornear con

anticipación, habrá cuatro ramas de decisión que corresponden a hornear 150, 160, 170, o 180 pizzas.

Al final de cada rama de decisión habrá un nodo de probabilidad que tiene cuatro estados que

corresponden a la demanda de 150, 160, 170, y 180 pizzas. En cada rama de estado de la naturaleza

habrá también una probabilidad de que ocurra ese estado y al final de cada una de las ramas de estado

de la naturaleza habrá un resultado o utilidad para cada decisión y estado de la naturaleza. El árbol de

decisión para la pizzería Ashley se muestra en la figura 5

Utilizando los valores de las utilidades y las probabilidades para cada rama de estado de la

naturaleza, se calcula el VME para cada nodo de probabilidad utilizando la ecuación 6. Esto es,

multiplicando cada probabilidad por la utilidad correspondiente y sumando todos estos productos para

cada nodo de probabilidad. Los VME están anotados por debajo de cada nodo de probabilidad y el

VME máximo está anotado bajo el punto de decisión. La decisión a la que corresponde el VME es el

número máximo, a largo plazo, de pizzas que deben hornearse: 170 pizzas, en este caso las que arrojan

utilidades diarias de $ 316.

Este problema se denomina comúnmente problema del vendedor de diarios. El nombre proviene de

la situación de un vendedor de diarios que intenta decidir cuántos debe comprar cada día para vender. 21

El concepto es exactamente el mismo que decidir el número de pizzas que deben hornearse con

anticipación.

22

$300 0

$314 0

$316 0

$310. 50 500

$300

$300

$300

$300

$2900

$320

$320

$320

$280

$310

$340

$340

$270

$300

$330

$360

Figura 5. Árbol de decisión para el horneado previo de pizzas

El valor de la información perfecta

Con frecuencia surge la siguiente pregunta: ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar la persona que toma las

decisiones para obtener información adicional sobre cuáles serán las circunstancias reales? Antes de de

responder esta pregunta se necesita conocer el valor de la información misma. Si la información es

perfecta, es decir, si la información nos dice exactamente qué es lo que va a ocurrir, resulta bastante

sencillo responder la pregunta.

Si se conoce con exactitud cuál estado de la naturaleza ocurrirá, es fácil determinar la alternativa

que debe elegirse. Se elegiría la alternativa que produce el mayor pago para cada estado de la

naturaleza. En el problema de la Pizzería Ashley, para un número determinado de demanda de pizzas,

se elegiría hornear con anticipación el número de pizzas que maximizara las utilidades netas. Por

ejemplo, para la situación en la que se supiera que habría una demanda de 160 pizzas, las utilidades

máximas ocurrieran si se hornearan 160 pizzas, y esa utilidad sería $320. Si se calcula esto para cada

uno de los estados de la naturaleza, se generaría la lista que aparece en la tabla 15.

Tabla 15. Pagos máximos

Pizzas que se solicitan(estados de la naturaleza)

Decisión con Pago máximo

pago

150 150 $300160 160 $320170 170 $340180 180 $360

Puesto que cada estado de la naturaleza ocurre sólo durante una fracción del tiempo, es posible

calcular el valor monetario esperado para el caso de la información perfecta utilizando los pagos

máximos y las probabilidades para cada estado de la naturaleza. En el caso que se muestra en la tabla

15, el valor monetario esperado de la información perfecta (VMEIP) se calcula de la siguiente manera.

VMEIP = (0.20) (300) + (0.4) (320) + (0.25) (340) + (0.15) (360)

VMEIP = $ 327

Por ello, si se conoce con anticipación qué estado de la naturaleza ocurrirá y si se elije cada vez la

decisión que arrojara las máximas utilidades, la utilidad promedio a largo plazo se obtendría $327. En

general, esto se plantea de la siguiente manera.

23

Donde O* ij = la máxima utilidad para cada estado de la naturaleza

pj = la probabilidad de cada estado de la naturaleza

Para calcular el valor de la información perfecta, lo único que se hace es calcular la diferencia entre

el valor monetario esperado para la información perfecta y ese mismo valor monetario esperado sin

información perfecta:

VPI = VME IP – VME *IP 8

Donde VIP = valor de la información perfecta

VMEIP = VME para la información perfecta

VME* = VME máximo sin información perfecta

En el caso de la pizzería, VMEIP = $327 y VME* = $316, por lo que VIP = $327 - $316 = $11. Puede

verse a partir de esto que Ashley estaría dispuesto a pagar hasta $ 11 por día para conocer con

anticipación exactamente cuántas pizzas se requerirán cada día. Si la información no es perfecta, o el

costo de la información es mayor de $11, entonces podría arreglárselas mejor sin conocer la

información en forma anticipada.

El valor de la información de prueba

En términos prácticos, por lo general la información proviene de algún procedimiento imperfecto de

prueba. Con esto quiere hacerse notar que la información dela prueba no siempre pronostica en forma

correcta el estado de la naturaleza que ocurrirá. Por ejemplo, un meteorólogo podría, con base en

alguna prueba, pronosticar lluvia y, aun así, este estado de la naturaleza podría ocurrir sólo el 70% de

las veces que se hace esta predicción.

Debido a esta información en el poder predictivo de las pruebas, el cálculo del valor de la

información de prueba es algo más complejo que para la información perfecta. Para comprender el

procedimiento que se utiliza para realizar estos cálculos, sea

P(N | R) = probabilidad de que ocurra en realidad el evento N, dado que el resultado de la prueba fue R

24

7

Dado que la prueba es imperfecta, P (N | R) < 1. Por ejemplo, si un meteorólogo está en lo correcto el

70% de las veces, entonces P (N | R) = 0.7, donde N = llueve y R = se pronosticó lluvia.

Sin embargo, por lo general se desconocen los valores de P (N | R) (lo cual se lee “probabilidad de

N dado R”) puesto que estos valores sólo se conocen después de haber utilizado la prueba las

suficientes veces para recopilar datos que permitan calcular probabilidades. Por lo general se conoce lo

opuesto, es decir, la probabilidad de que ocurra el resultado de la prueba dado el resultado

correspondiente. Esta probabilidad es P (R | N) y puede calcularse utilizando datos históricos para

determinar la forma en que se hubiera comportado la prueba si se hubiera utilizado.

Por adversidad, la probabilidad P (R | N) no es la probabilidad de prueba P (N | R) que se necesita,

puesto que se calculo después de conocer el resultado. Para calcular P(N | R) se usa un resultado bien

conocido de la probabilidad, denominado ley de Bayes. Este resultado dice que

Por lo general, dos de los valores que aparecen en esta fórmula pueden obtenerse a partir de datos de

prueba, y el tercero calcularse a partir de los otros dos. Resulta fácil calcular a partir de datos previos la

probabilidad de que la prueba sea exacta, dado que se conoce el resultado real, P (R │ N), y la

probabilidad de que ocurra un resultado particular sin importar cuál sea la prueba, P (N). P(N) también

puede ser una probabilidad subjetiva basada en la experiencia que tenga en esas situaciones quien toma

las decisiones. Esta última probabilidad; P (N), se conoce como probabilidad a priori puesto que se

calcula antes de cualquier prueba, mientras que las otras son probabilidades condicionales.

La tercera probabilidad que aparece en la ley de Bayes, P (R), es la probabilidad de que ocurra el

resultado de prueba R. esta probabilidad puede calcularse por medio del siguiente resultado de la teoría

probabilística:

Donde significa “no N” o “negación de N”. Puesto que incluye todos los eventos que no sean N,

y pueden ser sumas de diversos valores. Los valores de

pueden calcularse al mismo tiempo que se obtienen P (R │ N) y P (N).

25

9

Combinando 9 y 10 se llega a una versión modificada de la ley de Bayes:

11

El resultado final, P(N │ R), probabilidad de que ocurra el suceso N dado el resultado de Prueba R, se

conoce como probabilidad a posteriori, puesto que se obtiene después del procedimiento de prueba.

Una vez que se conocen los valores de la probabilidad a posteriori, es posible emplearlos para llevar a

cabo el análisis preposterior con el objeto de determinar si debe llevarse a cabo una prueba o un

muestreo.

Aplicación a la Pizzería Ashley

Considerar ahora el uso de un procedimiento de pronóstico para la Pizzería Ashley. Recordar que

Ashley hornea con anticipación todas las pizzas y necesita conocer cual es la decisión que proporcione

las mayores utilidades

A Ashley, le ha ofrecido sus servicios una profesora de investigación de mercados de negocios,

Carolyn Myers para realizar una prueba experimental para pronosticar el número de pizzas que se

ordenaran cada día. Por este servicio le cobrará a Ashley $5 por día. La cuestión es: ¿debe Ashley

contratar ese servicio de pronósticos?

Si los pronósticos de la profesora tuvieran una exactitud del 100%, se había determinado antes que

su valor sería $11. Sin embargo, se ha encontrado que sus pronósticos no tienen una exactitud del

100%, por lo que su valor será un poco menor a éste. Utilizando los datos de ventas anteriores, la

profesora ha reunido la tabla de probabilidades de prueba que se muestra en la tabla 16.

Tabla 16. Probabilidades de datos

Número de Pizzas que se Solicitaron Número de pizzas

pronosticado (alternativas) 150 160 170 180

150 1/2 1/4 0 0160 1/3 1/2 1/6 1/6170 1/6 1/4 2/3 1/3180 0 0 1/6 1/2

Los estados de la naturaleza que se muestran en la parte superior son el número de pizzas que en

realidad se solicitan; los valores de la primera columna son el número de pizzas que la prueba de la

profesora había pronosticado. Las probabilidades que aparecen en el cuerpo de la tabla son las

probabilidades de que la prueba hubiera pronosticado cada número de pizzas, dado el número que en

26

realidad se solicito. Por ejemplo, en los días en que los en los que se solicitaron en realidad 160 pizzas,

la técnica de predicción habría pronosticado 160 pizzas la mitad de las veces, 150 pizzas una cuarta

parte de las veces, 170 pizzas una cuarta parte de las veces y nunca 180 pizzas. Estas son

probabilidades condicionales que se comentaron antes, es decir P (R | N).

Observar en esta tabla que la suma de las probabilidades de cada columna es igual a 1, mientras que

la suma por renglón no es igual a 1. Esto se debe a que para un número determinado de pizzas

vendidas, tiene que pronosticarse algún número, en tano que no existe relación entre el número

pronosticado y el número vendido.

Con el objeto de convertir las probabilidades P (R | N) de la tabla 16 a probabilidades P(N | R), es

necesario calcular P (R) para cada número de pizzas pronosticado utilizando la ecuación 10:

En la tabla 16, para R = 150, se encuentra que N = 150 y = 160, 170 y 180. Para calcular las

probabilidades de P(N) y P ( ), se utiliza ahora los valores de la experiencia anterior para el número

de pizzas que se solicitaron; es decir, se utiliza la fracción de tiempo que se demandó cada número de

pizzas, a partir de la tabla 13:

P (150 de demanda) = 0.2 = 1/5

P (160 de demanda) = 0.4 = 2/5

P (170 de demanda) = 0.25 = 1 / 4

P (180 de demanda) = 0.15 = 3/20

A partir de esto y de los valores de la tabla 16 se tiene.

P (150 pronosticadas) = P (150 pronosticadas | 150 de demanda) P (150 de demanda)

+ P (150 pronosticadas | 160 de demanda) P (160 de demanda)

+ P (150 pronosticadas | 170 de demanda) P (170 de demanda)

+ P (150 pronosticadas | 180 de demanda) P (180 de demanda)

= (1/2) (1/5) + (1/4) (2/5) + (0) (1/4) + (0) (3/20) = 2/10 = 1/5

De manera similar,27

P (160 pronosticadas) = (1/3) (1/5) + (1/2) (2/5) + (1/6) (1/4) + (1/6) (3/20)

= 1/3

P (170 pronosticadas) = (1/6) (1/5) + (1/4) (2/5) + (2/3) (1/4) + (1/3) (3/20)

= 7/20

P (180 pronosticadas) = (0) (1/5) + (0) (2/5) + (1/6) (1/4) + (1/2) (3/20)

= 7/60

Observar que estos cálculos pueden realizarse trabajando con los valores de cada renglón. Cada valor

de P (R) es simplemente la suma de los productos de las probabilidades de estados de la naturaleza y

las probabilidades correspondientes de cada renglón. También puede observarse que si se suman estas

probabilidades de pronosticar cada número de pizzas, se obtiene:

1/5 + 1/3 + 7/20 + 7/60 = 1

Esto es de esperarse, puesto que debe pronosticarse algún número de pizzas, 150, 160, 170 o 180.

Utilizando cada uno de los elementos de cada una de las sumas que dieron los valores de P(R)

como anotación de una nueva tabla 17.

Tabla 17. Tabla modificada de probabilidades conjuntas

Número de(estados

pizzasde

Quela

se Solicitaronnaturaleza)

Número pronosticado de pizzas

(alternativas) 150 160 170 180 Suma 150 1/10 1/10 0 0 2/10160 1/15 1/5 1/24 1/40 1/3170 1/30 1/10 1/6 1/20 7/20180 0 0 1/24 3/40 7/60

En donde cada entrada o anotación es P(R │N) P(N) o P(R │ ) P ( ). Por ejemplo, la anotación del

tercer renglón y primera columna es igual a

P (170 pronosticadas │ 150 de demanda) P (150 de demanda)

De la ecuación 11. Se sabe que las probabilidades a posteriori se obtienen por medio de:

11

Utilizando los valores de la tabla 17, es fácil encontrar los valores de esta ecuación. El numerador

proviene de los valores de esta tabla y el denominador es la suma para cada renglón. Como dos

ejemplos; considerar P (150 demandadas 150 pronosticadas) y P(150 demandadas │ 160

28

pronosticadas). Para la primera probabilidad, se pasa al primer renglón, primera columna de la tabla 17,

para obtener el numerador, P (150 pronosticadas │ 150 demandadas) P (150 demandadas y se utiliza la

suma del renglón de 150 pronosticadas para el denominador. El resultado es:

P (150 de demanda │ 150 pronosticadas) = 1/10 / 2/10 = 1 / 2

Esto significa que la mitad del tiempo que se pronostican 150 pizzas para la demanda, en realidad se

solicitan 150. De manera similar,

P (160 pronosticada │150 de demanda) P (150 de demanda)

P (150 de demanda │ 160 pronosticada) = =

Suma del renglón

1/15 /1/3 = 1 / 5

Este valor significa que si la prueba pronostica una demanda de 160 pizzas, una quinta parte de las

veces en realidad se solicitarán 150 pizzas.

Si se realizan estos cálculos para cada uno de los valores de la tabla 17, se llega a una tabla de

valores en la que cada valor es P (N pizzas se demandaran │R pizzas se pronosticaron). Estos valores

se proporcionan en la tabla 18,

Tabla 18. Probabilidades a posteriori

número de pizzas(estados

que se de la

SolicitaronNaturaleza)

Número de pizzas Pronosticadas(alternativas 150 160 170 180

150 1 / 2 1 / 2 0 0

160 1 / 5 3 / 5 1 / 8 3 /40170 2 / 21 2 / 7 10 / 21 1 / 7180 0 0 5 / 14 9 / 14

Los valores de la tabla 18, son probabilidades P (N │ R) que se desean y que indicaran qué tan útil será

la prueba de la profesora. Cada renglón de esta tabla es ahora una distribución completa de

probabilidad a posteriori y puede utilizarse para pronosticar los niveles de demanda a través de un

análisis preposterior.

Ahora se procede a calcular el valor monetario esperado de la prueba de la profesora. Esto se hace

eligiendo primero la mejor alternativa para cada uno de los posibles resultados de la prueba, utilizando

el criterio del VME. Esto se hace para cada uno de los resultados.

29

Si la prueba de la profesora pronostica que habrá una demanda de 150 pizzas, se utilizan las

probabilidades del primer renglón de la tabla 18, para calcular los VME de la tabla de pagos. Esto

produce la tabla 19.

Tabla 19. Calculo del VME con un pronóstico de 150 pizzas

Número

(estados

dequede la

Pizzas se

naturaleza)

solicitaron

Pizzas horneadas con anticipación

(alternativas)

150 160 170 180 VME

150 300 300 300 300 $ 300.00160 290 320 320 320 305.00170 280 310 340 340 295.00180 270 300 330 360 285.00

Probabilidad 1 / 2 1 / 2 0 0En la cual puede verse que si se pronostica una demanda de 150 pizzas, la alternativa con el VME más alto es hornear 160 pizzas. Las tablas 20, 21 y 22 muestran estos cálculos para pronósticos de 160, 170 y 180 pizzas.

Tabla 20. Calculo del VME con un pronóstico de 160 pizzas

Número

(estados

dequede la

pizzas se

naturaleza)

solicitaron

Pizzas horneadas con anticipación

(alternativas)

150 160 170 180 VME

150 300 300 300 300 $ 300.00160 290 320 320 320 314.00170 280 310 340 340 310.00180 270 300 330 360 302.25

Probabilidad 1 / 5 3 / 5 1 / 8 3 / 40

Tabla 21. Calculo del VME con un pronóstico de 170 pizzas

Número

(estados

dequede la

pizzas se

naturaleza)

solicitaron

Pizzas horneadas con anticipación

(alternativas)

150 160 170 180 VME

150 300 300 300 300 $ 300.00160 290 320 320 320 317.10170 280 310 340 340 325.70180 270 300 330 360 320.00

Probabilidad 2 / 21 2 / 7 10 / 21 1 / 7

Tabla 22. Calculo del VME con un pronóstico de 180 pizzas

Número

(estados

dequede la

pizzas se

naturaleza)

solicitaron

Pizzas horneadas con anticipación

(alternativas)

150 160 170 180 VME

30

← Alternativa preferida

← Alternativa preferida

← Alternativa preferida

150 300 300 300 300 $ 300.00160 290 320 320 320 320.00170 280 310 340 340 340.00180 270 300 330 360 349.30

Probabilidad 0 0 5 / 14 9 / 14

Utilizando la alternativa preferible para cada uno de los resultados posibles de la prueba y la

probabilidad de que ocurra cada uno de esos resultados (a partir de la tabla18), es posible calcular el

VME utilizando la prueba de la profesora:

VME (de la prueba) = (VME máximo dado un pronóstico de 150) P (150 pronosticadas)

+ (VME máximo dado un pronóstico de 160) P (160 pronosticadas)

+ (VME máximo dado un pronóstico de 170) P (170 pronosticadas)

+ (VME máximo dado un pronóstico de 180) P (180 pronosticadas)

Sustituyendo los valores adecuados, se obtiene

VME (de prueba) = (305.00) (2/10) + (314.00) (1/3) + (325.70) (7/20) + (349.30) (7/60) = $ 320.41

Por ello, el VME que resulta de utilizar la prueba de la profesora es de $320.41. Recordar que el

VME sin la prueba era de $316. Por tanto, el valor neto de la prueba de la profesora es $320.41 -

$316.00 = $ 4.41 por día. Puesto que este valor es inferior a los $5.00 que cobra por utilizar la prueba, a

Ashley le convendría más no utilizar el servicio de pronóstico de la profesora.

A continuación se resume el uso de este análisis:

Paso 1. Elaborar una tabla de probabilidades de prueba, es decir, P (el resultado de la prueba será R │ el

resultado real fue N) y un conjunto de probabilidades previas P(N), para cada estado de la naturaleza.

Paso 2. Para cada renglón de la tabla de probabilidades de prueba, multiplicar cada elemento por la probabilidad

previa correspondiente de estado de la naturaleza, P (R │N) P (N). La suma de estas probabilidades para cada

renglón es ahora P (R).

Paso3. Dividir cada elemento de la matriz de probabilidades modificada entre la suma de su renglón, es decir, P

(R │N) P (N) / P (R), para obtener los elementos de la tabla de pronósticos, P (N │ R).

Paso 4. Utilizando la matriz de pago calcular por separado el VME máximo para cada resultado de prueba,

utilizando las probabilidades del renglón de la matriz de predicción que corresponde a ese resultado de prueba.

Paso 5. Utilizando los VME máximos para cada resultado de prueba, calcular el VME (de la prueba)

multiplicando el VME máximo para cada resultado de prueba por la probabilidad de que ocurra ese resultado, P

(R), sumando todos estos resultados.

Paso 6. Calcular el valor neto de la prueba determinando la diferencia entre el VME de la prueba calculado en el

paso 5 y el VME máximo posible sin la prueba.

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← Alternativa preferida

Uso de arboles de decisión para el análisis bayesiano

Es posible emplear arboles de decisión para representar la decisión de si deben utilizarse o no las

predicciones de la profesora, para la demanda de pizzas. En este caso se da un análisis

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