1. Introducción a los sistemas complejos

Madrid, Octubre 2012

Autómatas celularesEl discreto encanto de la Naturaleza

En el siglo XX asistimos a tres grandes revoluciones científicas: la teoría cuántica, la genética y las ciencias de la computación. Las tres se distinguen por algo en común: su visión discreta de la realidad con el cuanto, el gen y el bit como unidades indisolubles

El matemático John von Neumann (1903-1957) tuvo una participación decisiva en las tres revoluciones. En los años 50 del siglo pasado, abrió todo un campo de investigación al utilizar los autómatas celulares (AC) para determinar bajo qué condiciones un sistema es capaz de reproducirse a sí mismo. Sus resultados proféticamente coincidirían, en lo esencial, con el misterio de misterios que se estaba desentrañando en esos momentos: el código genético.

En la década de los 80 del siglo pasado, el científico de la computación Christopher Langton propuso los AC como modelos abstractos para el estudio de una nueva disciplina: La vida artificial.

La existencia de vida y su capacidad autoreproductiva responden a esta cuestión: es posible y la prueba somos nosotros mismos. Pero, de entrada, nos parece que la construcción física de tal maquina es impracticable por su complejidad. Muchos contemporáneos de von Neumann estaban interesados en este problema y pretendían acercarse ingenuamente a su solución mediante autómatas mecánicos. Era la época dorada de la cibernéticaEjemplos fueron:

¿Es posible una máquina que se manofacture a sí misma o semejante proceso envuelve alguna contradicción lógica?

Shannon and his famous electromechanical mouse Theseus (named after Theseus from Greek mythology) which he tried to have solve the maze in one of the first experiments in artificial intelligence.

“La tortuga” de W. Grey Walter.

Neumann decidió abordar el problema de forma teórica. Por aquel entonces, otro matemático, Stanislaw M. Ulam inventó unos juegos de patrones para computadoras con unas reglas fijas. Los llamaba “objetos geométricos recursivamente definidos”. Y le sugirió a Neumann que construyera “su máquina reproductora en un universo abstracto”. Así Neumann se embarcó en el diseño de un autómata celular autoreproducible demostrando que no existían contradicciones lógicas; ergo las máquinas autoreproducibles son posibles en nuestro mundo. Otro cantar era construir una físicamente. El logro de Neumann fue considerable: demostró con su máquina abstracta que la autoreproducción es posible lógica y físicamente. A partir de entonces, no sería necesaria una fuerza vital ad hoc. La hazaña de Neumann quedó históricamente ensombrecida: poco después, en 1951, se descubría el ADN. Un golpe definitivo al vitalismo.

¿Es posible una máquina que se manofacture a sí misma o semejante proceso envuelve alguna contradicción lógica?

Un AC es un conjunto de celdas (autómatas) conectados entre sí. Piensa en un autómata como si fuera una bombilla: puede encontrarse en tiempo t encendido o apagado. El estado en tiempo t+1 de un autómata particular depende de su estado y del estado de los autómatas en tiempo t conectados con él.

Una posible regla de transición de un AC lineal con dos estados (encendido-blanco-1/apagado-negro-0) donde cada autómata está conectado con sus primeros vecinos. La fila de arriba representa las ocho posibles configuraciones en el tiempo t. El autómata del centro adoptará en el tiempo t+1 el estado señalado por la flecha.

Autómatas celulares (Cellular Automata - AC)

Evolución espacio-temporal de un AC: Un autómata en estado 0 se representa en negro y en estado 1 en blanco. Cada línea horizontal representa los estados de N autómatas en un instante determinado t. Una línea inmediatamente inferior representa los estados en t+1 (el tiempo corre de arriba hacia abajo). Fijada para los N autómatas la misma regla de las 256 posibles obtendremos un patrón dinámico característico. Todos pueden asociarse a uno de los cuatro comportamientos recogidos en la figura y que son característicos de muchos otros sistemas dinámicos.

Acaba congelado en un estado global constante.

Oscila en un ciclo periódico.

Exhibe un comportamiento complejo.

Muestra desorden.

La clasificación de Wolfram

Nada mejor que ir a: “Elementary Cellular Automaton” en Wolfram Mathworld una extraordinaria enciclopedia de matemáticas http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html

Fue C. Langton quien consiguió una primera parametrización. Logró asignar un sencillo parámetro a cada regla posible y comprobó que, aumentando el valor del parámetro paulatinamente, los sistemas recorrían de la siguiente manera las clases de Wolfram: clase I clase II clase III clase IV. Es decir: homogeneidad periodicidad complejidad desorden.

Así, los AC exhiben una transición de fase entre el orden y el desorden. Existe un valor crítico del parámetro de control , alrededor del cual los AC muestran comportamiento complejo, la dinámica de clase III. Lo maravilloso es que ese comportamiento complejo surge de manera espontánea en el punto de transición. Como se demostró posteriormente, en él aparecen las condiciones para la transmisión, modificación y almacenamiento de información: computación emergente.

Los AC se han utilizado con éxito para modelar sistemas tan variopintos como el tráfico rodado, fluidos y gases, manadas de animales, movimientos de grupos humanos en situaciones de pánico, epidemias, etc… Una de sus aplicaciones más populares da cuenta de los patrones en conchas marinas.

Atrévete a explorar el mundo de los AC en el CelLab de Rudy Rucker y John Walker. La fascinación que producen los AC proviene de cómo, a partir de la sencillez de sus reglas locales, generan patrones globales emergentes complejos. Hoy los AC constituyen una herramienta básica de simulación. Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales puede ser representado como un AC. Y gracias a su forma discreta se adapta perfectamente al discurso de un ordenador. Accede a la página: http://www.fourmilab.ch/cellab/ donde encontrarás explicaciones, software y guía para simular un montón de sistemas físicos.

Critical Point Phenomena

Ising Model: The importance of Interactions

Universality

The model is a general framework for explaining other physical phenomena (f.ex: fluids, social behavior, galaxies)

Simplicity

Consider the simplest model that reproduces the essential features

Ising Model

Complexity and Criticality

T < Tc T = Tc T > Tc

Fractals, 1/f Noise, Scaling

Why Macroscopic Complexity? Because the Microscopic Local Interactions

Se podría decir que un físico es alguien que no considera evidente que el agua deba hervir o congelarse cuando se eleva o disminuye su temperatura.

D. Ruelle, Azar y caos

Critical Point Phenomena

FerromagnetismMagnetization & Temperature

Local Interactions Order

Thermal Noise Disorder

Phase Transition

T = Tc

Road Traffic

Acceleration: if (v < gap) { v = (vmax, v+1) }

Avoid Collisions: if (v > gap) { v = gap }

Randomization: if (random() < 0.5) { v = max(v-1, 0) }

Movement: x = x + v

Nagel-Schreckenberg Model (1992)

Road Traffic

Maximum Efficiency at the Critical Point

Flow us Vehicle Density

Maximum flow at critical point

Free Phase

Congested Phase

“Traffic Management wants to keep a freeway in the regime of maximum flow”

Road Traffic

Complexity & Criticality (Again)

Traffic Jams Emerge as Fractal, Branching Waves

Space

Tim

eThey might originate simply from one car slowing down

These Structures Cannot Be Understood in Terms of

Properties of the Vehicles

System at Critical Density

Road Traffic

Efficiency and Unpredictability Connected by Phase Transition

Management Measures May Even Have Consecuences Opposite to Their Intention !

Algún día tendremos una matemática hecha y derecha, con teoremas y demostraciones, que aclarará, por ejemplo, cuándo la adición de nuevas reglas simplemente complica el cuadro sin añadir nada esencial.

M. Gell-Mann, Pléctica

Universalidad

Self Organized Criticality and Edge of Chaos

Sandpile Model (Per Bak et al, 1987)

Simplicity: “Grains interact and may cause each other to topple”

A Dynamical Theory for Complexity

Complexity

Non-linear interaction among multiple components

Complicated versus complex systems

Irreducible

Local and distributed

Non-deterministic / unpredictable

Emergence / self-organization

• Deterministic• Reductionist principle

• Dynamic / stochastic• Holistic

El juego de la Vida (LIFE)

Creado en 1970 por el matemático John Horton Conway.

LIFE saltó a la fama en una serie de artículos escritos por Martin Gardner en Scientific American.

Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Martin Gardner Ed. Labor 1985.

Conway presentó por primera vez LIFE en un libro: “Winning Ways for Your Mathematical Plays”.

El libro está estructurado en tres grandes partes:

juegos bipersonales, juegos unipersonales y juegos nulipersonales.

LIFE pertenece a esta última clase. Jugar con LIFE es como ver televisión (esta última cae dentro de la categoría anulipersonal), una especie de video-arte. Se introducen las condiciones iniciales en el ordenador y uno se sienta cómodamente en su sillón a observar que ocurre. Es una ventana a un universo alternativo.

The game of Life o simplemente LIFE, se juega sobre un tablero cuadriculado supuestamente infinito. Cada celda que a partir de ahora llamaremos autómatas o células de Vida, puede estar en dos estados: viva (1) o muerta (0). Conway buscó reglas locales sencillas, el estado de una célula dependería de sus vecinas inmediatas, capaces de generar, sin embargo, una dinámica de población de células vivas que fuera, a la vez rica en patrones e impredecible en el tiempo. De hecho, exigió a su juego tres condiciones: (a) que conseguir un crecimiento ilimitado de células no fuera trivial, (b) que existieran configuraciones iniciales que aparentemente crecieran sin límite y (c) que existieran condiciones iniciales sencillas con transitorios considerables antes de acabar en extinción total, patrones congelados o configuraciones cíclicas. Brevemente, se deseaba que el comportamiento de la población, a pesar de la sencillez de las reglas, fuera interesante e impredecible.

(1) Fallecimiento por aislamiento: cada célula viva con una o ninguna vecina viva, muere.

t → t + 1

(2) Fallecimiento por estrés: cada célula viva con 4 o más vecinas vivas, muere.

(3) Nacimiento: si la celda está vacía con exactamente 3 vecinos vivos a su alrededor, nace en su seno un nuevo habitante.

(4) Supervivencia: cada célula viva con 2 o 3 vecinas vivas, sigue viva.

“Sólo 3 para nacer y 2 o 3 para sobrevivir”.

Cuando Conway creó el juego de la vida pensaba en una metáfora del Universo:

¿Si conociéramos al detalle las reglas que rigen el Universo en todos sus detalles podría seguir pareciéndonos misterioso?

En el juego de la vida, una configuración unicelular o bi-celular desaparece al primer paso de tiempo.

The two 4-cell still lifes (naturalezas muertas) are the block (bloque) and tub (tina):

The unique 5-cell still life is the boat(bote):

The five 6-cell still lifes are the snake (serpiente), ship (barco), aircraft carrier (a.k.a carrier), beehive (colmena), and barge (barcaza).

The four 7-cell still lifes are the python, long boat (bote largo), fishhook (anzuelo) (sometimes called the eater – el comedor-), and loaf (hogaza).

Puntos fijos

Blinker (Intermitente)

A period 2 oscillator, both of whose generations have 3 cells.

Traffic Light (Semáforo)

A period 2 oscillator consisting of 4 blinkers. It is one of the familiar fours.

A period 15 oscillator found in 1970 by J. H. Conway.

Pentadecathlon

Órbitas periódicas

Hertz Oscillator

A period 8 oscillator found by J. H. Conway's group.

Cauldron Negentropy

Reduccionismo cartesiano

Reductionist science: Reduce the apparent complexity of the world to an underlying simplicity.

Physics has for centuries epitomized the success of this approach.

Sea una vaca redonda y sin rozamiento.

Linealidad vs. no linealidad

+

+

+

=

Todo = suma de Partes

A 5-cell methuselah which runs 1103 steps before settling down into 6 gliders, 8 blocks, 4 blinkers, 4 beehives, 1 boat, 1 ship, and 1 loaf. This is by far the most active polyomino with less than six cells; all the others stabilize in at most 10 generations.

R-Pentomino (matusalenes)

A 7-cell life configuration also known as the blasting cap and house. After 173 generations, it forms 5 blinkers, 6 blocks, and 2 ponds.

Pi-Heptomino (Matusalenes)

Hsensibilidada las c. i.

Mecanicismo-determinismo-predicción

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)

Demonio

Mecánica cuánticaIndeterminación

Átomos/EntropíaProbabilidadMecánica estadística

¿Predicción? Sí

Caos determinista

¿Predicción? No

Una causa muy pequeña, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos prever, y entonces decimos que dicho efecto se debe al azar.

H. Poincaré, Ciencia y método (1908)

Sensibilidad a las condiciones iniciales (Efecto mariposa). Azar a partir de ecuaciones simples. Orden en el azar. Azar local vs. estabilidad global.

Determinismo no es igual a predicción.

Ecuación logística: lo simple puede generar complejidad

    

   

Vídeo-retroalimentación

B-Heptomino

A methuselah heptomino (7-cell) Life form that stabilizes after 148 generations into three blocks, two gliders, and a ship. Generation 20 of the B-heptomino gives a sideways Herschel plus a block.

Glider (deslizador) The glider was found by J. H. Conway's group in 1970 while attempting to track the evolution of the R-pentomino. The name is due in part to the fact that it is glide symmetric.

Velocidad dela luz c.

An oscillator in which gliders or spaceships travel in a loop. The simplest example is the period 60 one using two pentadecathlons illustrated above. Pulling the pentadecathlons further apart allows any period of the form 60+120n to be achieved. This is the simplest proof of the existence of oscillators of arbitrarily large period.

Relay

Eater

A methuselah that stabilizes at generation 184 into four beehives, four blocks, eight blinkers, and 12 gliders. In early references, this form is usually shown in a larger form whose generation 1 is generation 8 of the form shown here.

A spaceship also known as the big fish which travels at c/2, where c is the speed of light, in the direction (2,0). The form therefore repeats with period 4. It was found by J. H. Conway in 1970.

Flotilla an overweight spaceship escorted by two heavyweight spaceships. The resulting flotilla travels orthogonally at speed c/2, where c is the speed of light, with direction vector (-2,0).

Any Life pattern that moves like a spaceship but leaves behind a trail of debris. Puffers are also called puffer trains. The first puffer, illustrated above, was discovered by Bill Gosper in 1971. The moving portion travels orthogonally at speed, where c is the speed of light, with period 128.

Puffer trains

Gosper Gun

Conway conjeturó que ningún patrón podría crecer ilimitadamente. Ofreció 50 $ por probar o refutar la conjetura antes de 1970. El premio fue ganado en noviembre de 1970 por un equipo del MIT, cuyo cabecilla era R. William Gosper Jr. Se descubrió el cañón lanza-deslizadores. La configuración de la figura crece hasta convertirse en un cañón, que dispara su primer deslizador a t = 40, y repite lanzamientos con periodos de 30 latidos. De esta forma sobre un tablero infinito la población crecería de forma ilimitada.

Double-Barrelled Gun (B-52 bomber)A gun emitting two streams of spaceships (or rakes). The above diagram shows a double-barrelled period 104 glider gun found by Noam Elkies in March 1996.

Suave vs. fractal

Costa de Inglaterra (B. Mandelbrot)AutosimilaridadAtractores extrañosFenómenos críticos

¡Que difícil es acercarse a la naturaleza con ingenuidad!

Cézanne

Angle 16

Axiom ++++F

F=FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]

...referirse a la cuestión que nos ocupa a algunos como 'complejidad' me parece que distorsiona la naturaleza de lo que hacemos, porque la simplicidad de las leyes subyacentes es un rasgo distintivo esencial de la totalidad de la empresa.M. Gell-Mann, Pléctica

Patrones

Patrones en la Naturaleza

Mismos patrones operando en una gran variedad de escalas espaciales y temporales. P. ej. estructuras ramificadas.

Computación al borde del caos

“El flujo turbulento o el crecimiento de una planta, consta de componentes simples , cuya conducta conjunta es tan compleja que su mejor descripción es ella misma. Esta irreductibilidad podría ser consecuencia de su capacidad para transmitir, manipular y almacenar información: el cálculo.”

Stephen Wolfram

En 1969, Conway descubrió el deslizador. Fue la primera pieza de un rompecabezas. Inicialmente nadie cayó en la cuenta de que los deslizadores proporcionaban un medio de comunicación en analogía con los impulsos eléctricos.

El grupo del MIT realizó otros extraordinarios descubrimientos como una configuración de trece deslizadores que chocan y acaban formando un cañón.

El siguiente paso vino de mano de Michael D. Beeler, a quien le resultaba grata la analogía Vida-física de partículas.

Como físico de partículas, acostumbrado a hacer impactar entre sí todo lo que veía a su alrededor, comenzó a hacer chocar haces de deslizadores bajo distintos angulos. Una de las observaciones fue que dos deslizadores podían chocar y aniquilarse mutuamente. Las piezas básicas para la construcción de puertas lógicas virtuales estaban a disposición.

Explicaremos con detalle la puerta NO. Estos operadores lógicos transforman una señal digital de entrada de 0 a 1 y de 1 a 0.

¿Cómo construirlas en Vida?

Necesitamos un chorro incidente de deslizadores equiespaciados que hará las veces de señal de entrada. Un deslizador se interpreta como bit 1, la ausencia de deslizador en el chorro se interpreta como bit 0.

Formando ángulo recto con el chorro incidente, un cañón nos proporciona un chorro continuo perpendicular de deslizadores. La colisión de dos deslizadores los destruye: el bit 1 de entrada se transforma en bit 0 de salida.

Si el chorro incidente porta un bit 0, carece de deslizador en ese punto, el deslizador del chorro continuo pasa sin problemas: el bit 0 se transforma a la salida en bit 1. Ingenioso.

Ejemplo: La puerta NO

Las puertas lógicas disyuntiva OR y conjunción AND son mas complejas, pero su construcción también se basa en la colisión de haces de deslizadores. Con la combinación de estas tres puertas podemos construir cualquier operador lógico y por ende un ordenador.

Llegados a este punto, la frase de Wolfram, aplicada a Vida comienza a tener sentido concreto. Somos capaces de transmitir y manipular información. ¿Cómo almacenarla?

Agar

Recordemos las naturalezas muertas llamadas bloques que estaban formadas por cuatro células. Con estas configuraciones podemos construir la memoria y registros. La posición de un bloque codifica un único bit. El bloque puede desplazarse adelante o atrás por equipos de deslizadores. Bastan dos deslizadores impactando adecuadamente para desplazar un bloque tres espacios en una dirección. Diez deslizadores pueden hacer retornar al bloque a su lugar anterior. Toda la impresionante construcción de este ordenador virtual puede hallarse en “Winning Ways for Your Mathematical Plays”.

This is a Turing Machine implemented in Conway's Game of Life.

http://rendell-attic.org/gol/tm.htm

Ever since its publication, Conway's Game of Life has attracted much interest, because of the surprising ways in which the patterns can evolve. Life provides an example of

emergence and self-organization.

It is interesting for computer scientists, physicists, biologists, biochemists, economists, mathematicians, philosophers, generative scientists and others to observe the way that

complex patterns can emerge from the implementation of very simple rules.

The game can also serve as a didactic analogy, used to convey the somewhat counter-intuitive notion that "design" and "organization" can spontaneously emerge in the absence of a designer.

Statistical Physics and emergence of collective behavior

Social force:”Crystallization” in a pool

Collective motion

Patterns of motion of similar, interacting organisms

Humans

Cells Flocks, herds, etc

Muchas unidades similares (en este caso bacterias)

El comportamiento de las unidades es similar, pero muy diferente si están solos o en compañía.

Group motion of humans (observations)

Pedestrian crossing

Swarms, flocks and herds

Swarms, flocks and herds

• Model: The particles

- maintain a given velocity

- follow their neighbours

- motion is perturbed by

fluctuations

• Result: ordering is due to motion