CONTROLES AUTOMTICOSAnlisis y Diseo de Sistemas de Control para Plantas SISO con la ayuda del Computador.

ALCANCEEsta asignatura es una introduccin al control automtico. Se presentan principios, conceptos y tcnicas fundamentales para al anlisis y diseo de sistemas de control.Laso sistemas que estudiaremos son lineales e invariantes en el tiempo, descritos por su funcin de transferencia en transformada de Laplace. Nos restringiremos a sistemas de una entrada y una salida (SISO: single-input single output).

OBJETIVOSLos objetivos de la asignatura: Aprender A:Analizar y disear sistema de control para plantas SISO.Usar herramientas de software moderno para analizar y resolver problemas de diseo de control.

PANORAMA DE CLASEInformacin prctica sobre la asignatura.Motivacin a Ingeniera de ControlTipos de Diseo de Sistemas de ControlIntegracin de sistemasEjemplo: control ON-OFF

SOFTWARE A UTILIZARSE Y BIBLOGRAFASoftware: MATLAB + SIMULINK + CONTROL SYSTEMS TOOLBOX.Libros:Goodwin, Graebe & Salgado, Control System Design. Prentice Hall, 2001.Ogata, Ingeniera de Control Moderna, Prentice Hall, 1980.Franklin, Powell & Emami-Naeini, Control de sistemas dinmicos con realimentacin, Addison-Wesley, 1991.

TEMASIntroduccin al control automticoPrincipios de realimentacinModelos, seales y sistemasAnlisis de sistemas realimentadosControl PID clsicoDiseo bsico de controladores SISOConsideraciones prcticas de diseoDiseo avanzado de controladores SISO

INTRODUCCIN AL CONTROL DE PROCESOS.Motivacin a Ingeniera de ControlTipos de diseos de controlIntegracin de sistemasEjemplo: La Lluvia de la Regadera.

Motivacin a Ingeniera de ControlEl control por realimentacin tiene una larga historia que comenz con el deseo primordial de los seres humanos de dominar los materiales y las fuerzas de la naturaleza en su provecho.Los primeros ejemplos de dispositivos de control incluyen los sistemas de regulacin de relojes y los mecanismos para mantener los molinos de viento orientados en la direccin del viento.Las plantas industriales modernas poseen sofisticados sistemas de control que son cruciales para su operacin correcta.

ALGUNOS EJEMPLOS

ALGUNOS EJEMPLOS

ALGUNOS EJEMPLOS

ALGUNOS EJEMPLOS, Diagrama de Bloques del Ejemplo Anterior.

ALGUNOS EJEMPLOS.

IMPACTO DE LA INGENIERA DE CONTROL.La ingeniera de control ha tenido un enorme impacto en nuestra sociedad.strm cita a Wilbur Wright (1901): Sabemos como construir aeroplanos. Sabemos como construir motores. El no saber cmo equilibrar y maniobrar an desafa a los estudiantes del problema de vuelo.Cuando esta nica dificultad sea resuelta, la era del vuelo habr arribado, ya que todas las dems dificultades son de menor importancia.

IMPACTO DE LA INGENIERA DE CONTROL.De hecho, ninguno de los sistemas modernos (aviones, trenes de alta velocidad, reproductores de CD, etc.) podran operar sin la ayuda de sofisticados sistemas de control.Por ejemplo, el regulador centrfugo de Walt tuvo un impacto fundamental durante la revolucin industrial.

Dnde se utiliza Control?Procesos industrialesTransporteAutosTrenesBarcosAvionesNaves espacialesGeneracin de energaTransmisin de energaMecatrnicaInstrumentacinArtefactos electrnicosEconomaMedicina

Un mejor control es la clave tecnolgica para lograr Productos de mayor calidadMinimizacin de desperdiciosProteccin del medio ambienteMayor rendimiento de la capacidad instaladaMayores mrgenes de seguridad

Tipos de diseos de controlEl diseo de sistemas de control tambin toma distintas formas, cada una de las cuales requiere enfoques ligeramente distintos.L@s ingenier@s de control deben resolver problemas en las distintas etapas de la vida de un sistema de control, por ejemplo:Diseo inicial de baseConstruccin y ajusteRefinamiento y actualizacinEstudio forense

Integracin de sistemasEl xito en ingeniera de control se apoya en tener un enfoque global de los problemas. Algunos de los elementos a tener en cuenta:la planta, el proceso a ser controladolos objetivoslos sensoreslos actuadoreslas comunicacionesel cmputola configuracin e interfaceslos algoritmoslas perturbaciones e incertidumbres.

La plantaLa estructura fsica de la planta es una parte intrnseca del de control.Por lo tanto, l@s ingenier@s de control deben estar familiarizados con la fsica del proceso bajo estudio.Esto incluye conocimientos bsicos de balances de energa, balances de masas, y flujo de materiales en el sistema.

Los sensoresLos sensores son los ojos del sistema de control, que le permiten ver qu est pasando. De hecho, algo que suele decirse en control es:

Control, Actuadores y Sensores. Mejores sensores dan mejor visinMejores actuadores dan ms msculosMejor control da ms destreza al combinar sensores y actuadores de forma ms inteligente.

Perturbaciones e incertidumbreUno de los factores que hacen a la ciencia del control interesante es que todos los sistemas reales estn afectados por ruido y perturbaciones externas.Estos factores pueden tener un impacto significativo en el rendimiento del sistema. Como ejemplo simple, los aviones estn sujetos a rfagas de vientos y pozos de aire; los controladores de crucero de los automviles deben adecuarse a diferentes condiciones de la ruta y diferentes cargas del vehculo.

HomogeneidadFinalmente, todos los sistemas interconectados, incluyendo sistemas de control, slo pueden ser tan buenos como el elemento ms dbil.Las consecuencias de este hecho en el diseo de control son que debe tenderse a que todos los componentes (planta, sensores, actuadores, comunicaciones, cmputo, interfaces, algoritmos, etc.) sean de una precisin y calidad aproximada mente comparable.

Anlisis costo-beneficioPara poder avanzar en ingeniera de control (como en muchas otras disciplinas) es importante saber justificar los gastos asociados. Esta justificacin usualmente toma la forma de un anlisis costo-beneficio. Las etapas tpicas incluyen:Evaluacin de un rango de oportunidades de control.Seleccin de una lista corta a examinar en ms detalle.Decidir entre un proyecto de alto impacto econmico o al medio ambiente.Consultar personal adecuado (gerencial, de operacin, de produccin, de mantenimiento, etc.).Identificar los puntos claves de accin.Obtener informacin de desempeo de un caso base para comparacin ulterior.Decidir modificaciones a las especificaciones de operacin.

Los actuadoresUna vez ubicados los sensores para informar el estado de un proceso, sigue determinar la forma de actuar sobre el sistema para hacerlo ir del estado actual al estado deseado.Un problema de control industrial tpicamente involucrar varios actuadores distintos (Ejemplo: tren de laminacin).

Las comunicacionesLa interconexin de sensores y actuadores requieren el uso de sistemas de comunicacin.Una planta tpica va a tener miles de seales diferentes que debern ser transmitidas largas distancias. As, el diseo de sistemas de comunicacin y sus protocolos asociados es un aspecto cada vez ms importante de la ingeniera de control moderna.

El CmputoEn los sistemas de control modernos la interconexin de sensores y actuadores se hace invariablemente a travs de una computadora de algn tipo. Por lo tanto, los aspectos computacionales son necesariamente una parte del diseo general.Los sistemas de control actuales usan una gama de dispositivos de cmputo, que incluyen DCS (sistemas de control distribuido), PLC (controladores lgicos programables), PC (computadoras personales), etc.

Configuracin e interfacesLa cuestin de qu se conecta con qu no es trivial en el diseo de un sistema de control. Podra pensarse que lo mejor siempre sera llevar todas las seales a un punto central, de manera que cada accin de control est basada en informacin completa (el denominado control centralizado).Sin embargo, esta raramente es la mejor solucin en la prctica. De hecho, hay muy buenas razones por las que no conviene llevar todas las seales a un punto comn. Algunas obvias son complejidad, costos, limitaciones en tiempo de cmputo, mantenimiento, confiabilidad, etc.

AlgoritmosFinalmente, llegamos al corazn de la ingeniera de control: los algoritmos que conectan sensores y actuadores. Es muy fcil subestimar este aspecto final del problema.Como ejemplo simple de nuestra experiencia diaria, consideremos el problema de jugar tenis a primer nivel internacional. Claramente, se necesita buena visin (sensores) y fuerza muscular (actuadores) para jugar tenis en este nivel, pero estos atributos no son suficientes. De hecho, la coordinacin entre ojos y brazo es tambin crucial para el xito.En resumen:Los sensores proveen los ojos, y los actuadores los msculos; la teora de control provee la destreza.

ResumenLa Ingeniera de Control est presente en virtualmente todos los sistemas modernos de ingeniera.El control es una tecnologa a menudo invisible, ya que el xito mismo de su aplicacin la vuelve indetectable.El control es la clave tecnolgica para lograrproductos de mayor calidadminimizacin de desperdiciosproteccin del medio ambientemayor rendimiento de la capacidad instaladamayores mrgenes de seguridadEl control es multidisciplinario (incluye sensores, actuadores, comunicaciones, cmputo, algoritmos, etc.)El diseo de control tiene como meta lograr un nivel de rendimiento deseado frente a perturbaciones e incertidumbre.

Principios de Realimentacin.La realimentacin es la herramienta clave que usan l@s ingenier@s en control para modificar el comportamiento de un sistema y as satisfacer las especificaciones de diseo deseadas.

Un ejemplo industrial: proceso de coladacontinuaPresentamos un ejemplo de un problema de control industrial que, aunque simplificado, es esencialmente un problema real autntico.Este ejemplo, de un proceso de colada continua, pertenece a la industria siderrgica. Sin embargo, como veremos, los principales elementos en la especificacin de un comportamiento deseado, el modelado, y la necesidad de dar soluciones de compromiso, son comunes a los problemas de control en general.

Un ejemplo industrial: proceso de coladacontinuaPor ejemplo, los planchones producidos en SIDERAR son de 176/180 mm de espesor (t), 560/1525 mm de ancho (w), y 5780 mm de longitud mxima (1).

Especificaciones de desempeoLas metas principales de diseo para este problema son:Seguridad: Claramente, el nivel del molde nunca debe correr riesgo de derramarse o vaciarse, ya que cualquiera de las dos situaciones implicara derramamiento de metal fundido, con consecuencias desastrosas.Rentabilidad: Los aspectos relevantes incluyen:Calidad del productoMantenimientoRendimiento

ModeladoPara seguir adelante con el diseo del sistema de control se necesita en primer lugar entender el proceso. Tpicamente, el conocimiento del proceso se cristaliza en la forma de un modelo matemtico.

Realimentacin y prediccinVeremos ms adelante que la idea central en control es la de inversin. Por otra parte, convenientemente, la inversin puede lograrse a travs de dos mecanismos bsicos: realimentacin y prediccin.Estrategia de control sugerida:

Una primera indicacin de compromisos dediseoSimulando la operacin del control propuesto para nuestro modelo simplificado de la colada continua para valores de K = 1 y K =5, vemos que cuanto ms pequea es la ganancia de control (K = 1), ms lenta resulta la respuesta del sistema a un cambio en el valor de set-point.Por otro lado, cuanto mayor es la ganancia de control (K = 5) ms rpida es la respuesta obtenida, pero tambin son mayores los efectos del ruido de medicin evidente en oscilaciones mayores en la respuesta permanente y los movimientos ms agresivos de la vlvula de control.

PreguntaSer este compromiso inevitable o podr mejorarse la situacin, por ejemplo conun mejor modelado, oun ms sofisticado diseo de control?Este ser un tema central en el resto de nuestra discusin.

Definicin del problema de controlEl problema central en control es encontrar una forma tcnicamente realizable de actuar sobre un determinado proceso de manera que ste tenga un comportamiento que se aproxime a cierto comportamiento deseado tanto como sea posible.Adems, este comportamiento aproximado deber lograrse an teniendo incertidumbres en el proceso, y ante la presencia de perturbaciones externas, incontrolables, actuando sobre el mismo.

Solucin prototipo del problema de control vainversinUna forma particularmente simple, aunque al mismo tiempo profunda, de pensar problemas de control es va la idea de inversin.Supongamos que sabemos qu efecto produce en la salida del sistema una accin en la entrada...Supongamos adems que tenemos un comportamiento deseado para la salida del sistema...Entonces, simplemente necesitamos invertir la relacin entre entrada y salida para determinar que la accin es necesaria en la entrada para obtener el comportamiento de salida deseado.

Solucin prototipo del problema de control vainversinLa idea de control conceptual por inversin se representa en el diagrama de bloques.En general, podra decirse que todos los controladores generan implcitamente una inversa del proceso, tanto como sea posible (es decir, una inversa aproximada).Los detalles en los que los controladores difieren son esencialmente los mecanismos usados para generar la inversa aproximada necesaria.

Realimentacin con ganancia elevada einversinUna propiedad bastante curiosa de la realimentacin es que puede aproximar la inversa implcita de transformaciones dinmicas.

Realimentacin con ganancia elevada einversinEn conclusin: Puede generarse una inversa aproximada de la planta si colocamos un modelo de la misma en un lazo de realimentacin de ganancia elevada.

Realimentacin con ganancia elevada einversiny que se necesita una ley de control para asegurar que y(t) siga seales de referencia de variacin lenta.Una forma de resolver este problema es construir una inversa del modelo vlida dentro de un rango de bajas frecuencias (seales lentas).Usando la configuracin de control (a lazo abierto)

Realimentacin con ganancia elevada einversinobtenemos una inversa aproximada si h(o) tiene ganancia elevada en el rango de bajas frecuencias.Una solucin simple es elegir h(o) como un integrador.La figura muestra la referencia r(t) (sinusoidal) y la correspondiente salida de la planta y(t) con este control.

De lazo abierto a lazo cerradoDesafortunadamente, la configuracin de control que hemos presentado no dar un solucin satisfactoria general del problema de control, a menos queel modelo en el que se basa el diseo de control sea una muy buena representacin de la planta,este modelo y su inversa sean estables, ylas perturbaciones y condiciones iniciales sean despreciables.Esto nos motiva a buscar una solucin alternativa del problema de control reteniendo la esencia bsica de la solucin propuesta, pero sin sus limitaciones.

De lazo abierto a lazo cerrado

Control a lazo abierto versus control a lazo cerrado.Si el modelo representa a la planta exactamente, y todas la seales son acotadas (o sea, el lazo es estable), entonces ambas configuraciones son equivalentes con respecto a la relacin entre r(t) e y(t). Las diferencias principales se deben a perturbaciones y condiciones iniciales.En la configuracin a lazo abierto, el controlador incorpora realimentacin internamente, o sea, se realimenta de A.En la configuracin a lazo cerrado, la seal realimentada depende directamente de lo que est pasando con la planta, ya que se realimenta la salida real de la planta de A.

Control a lazo abierto versus control a lazo cerrado.La configuracin a lazo cerrado tiene muchas ventajas, que incluyeninsensibilidad a perturbaciones en la planta (no reflejadasinsensibilidad a errores de modelado; el modelo).

Compromisos en la eleccin de la ganancia derealimentacinDe nuestra discusin hasta ahora, podra pensarse que todo lo que se necesita para resolver el problema de control es cerrar un lazo de ganancia elevada alrededor de la planta. Esto es estrictamente cierto, segn lo que discutimos. Sin embargo, nada en la vida viene sin un costo, lo que tambin se aplica al empleo de una ganancia elevada de realimentacin.Por ejemplo, si alguna perturbacin afecta a la planta y produce, un error e(t) distinto de cero, entonces la ganancia elevada producira una seal de control u(t) muy elevada tambin. Tal seal puede exceder el rango permitido de los actuadores e invalidar la solucin.

Compromisos en la eleccin de la ganancia derealimentacinOtro problema potencial con el empleo de ganancia elevada es que a menudo va acompaada de un riesgo muy considerable de inestabilidad. La inestabilidad se caracteriza por la presencia de oscilaciones sostenidas (o crecientes).Por ejemplo, una manifestacin de inestabilidad resultante de la excesiva ganancia de realimentacin es el silbido de alta frecuencia que se escucha cuando un parlante se coloca demasiado cerca de un micrfono.

Compromisos en la eleccin de la ganancia derealimentacinUna manifestacin trgica de inestabilidad fue el desastre de Chernobyl.Otra potencial desventaja del uso de elevada ganancia de lazo fue sugerida en el ejemplo de colada continua. All vimos que al incrementar la ganancia del controlador incrementbamos la sensibilidad a ruido de medicin lo que resulta ser cierto en general.

Compromisos en la eleccin de la ganancia derealimentacinEn resumen, la elevada ganancia de lazo es deseable desde muchos aspectos, pero es tambin indeseable desde otras perspectivas. En consecuencia, cuando se elige la ganancia de realimentacin debe arribarse a una solucin de compromiso en forma racional, teniendo en cuenta todos los factores en juego.

MedicionesFinalmente pasamos a discutir las mediciones, es decir, lo que usamos para generar una seal de realimentacin.La figura siguiente muestra una descripcin ms adecuada del lazo de realimentacin incluyendo sensores:

Mediciones

Propiedades deseables de los sensores.Confiabilidad. Deben operar dentro de rangos adecuados.Precisin. Para una variable de valor constante, la medicin debe estabilizarse en el valor correcto.Sensibilidad. La medicin debe seguir los cambios de la variable medida. Una medicin demasiado lenta puede no slo afectar la calidad del control sino tambin inestabilizar el lazo, an cuando el lazo fuera diseado para ser estable asumiendo medicin exacta de la variable del proceso.Inmunidad al ruido. El sistema de medicin, incluyendo los transmisores, no deben ser significativamente afectados por seales espreas como ruido de medicin.Linealidad. Si el sensor es no lineal, al menos la alinealidad debe ser conocida para que pueda ser compensada.No intrusividad. El dispositivo de medicin no debe afectar en forma significativa el comportamiento de la planta.

Propiedades deseables de los sensores.En resumen, un lazo de realimentacin tpico, considerando sensores, presenta la configuracin de la figura

Propiedades deseables de los sensores.

ResumenEl control se ocupa de encontrar medios tecnolgica, ambiental, y comercialmente realizables de actuar sobre un sistema tecnolgico para controlar sus salidas a valores deseados manteniendo un nivel deseado de rendimiento.Concepto fundamental en ingeniera de control: inversin. Puede lograrse inversin en forma aproximada mediante una configuracin en realimentacin.Los objetivos de un sistema de control usualmente incluyenmaximizacin de rendimiento, velocidad, seguridad, etc.minimizacin de consumo de energa, produccin de desechos, emisiones, etc.reduccin del impacto de perturbaciones, ruido de medicin, incertidumbres, etc.

ResumenHemos presentado una primer indicacin de que los objetivos de diseo deseados usualmente estn en conflicto entre s, por lo que es necesario tomar soluciones de compromiso.El diseo de un sistema de control es el proceso mediante el cualentendemos los compromisos de diseo inherentes al problema,tomamos decisiones deliberadas consistentes con estos compromisos de diseo, ysomos capaces de traducir sistemticamente el objetivo de diseo deseado en un controlador.

ResumenEl proceso de realimentacin refiere al ciclo iterativo:cuantificacin del comportamiento deseado,medicin de los valores actuales de variables relevantes del sistema mediante sensores,inferencia del estado presente del sistema a partir de las mediciones,comparacin del estado inferido con el estado deseado,clculo de la accin correctora para llevar el sistema al estado deseado,aplicacin de la accin correctora al sistema por medio de actuadores, y finalmente,repetir los pasos anteriores.

Estudiemos por ejemplo un proceso Trmico.Supongamos que en un tiempo t=0 se conecta la fuente de tensin al calentador C. Supongamos adems que instantneamente el fluido que pasa por el punto de calentamiento toma la temperatura T.Es obvio que el sensor no va a detectar inmediatamente el cambio de temperatura sino que lo har luego de un cierto tiempo, que depender de la longitud L y de la velocidad del fluido. Ese tiempo ser el tiempo muerto (no consideramos la velocidad de propagacin del calor).

Estudiemos por ejemplo un proceso Trmico.

Modelos, seales y sistemas.Modelos en controlEl por qu de los modelos matemticosComplejidad de modelosConstruccin de modelosLinealizacin y escalamientoTipos de modelosFunciones transferencia y diagramas de bloquesEstabilidadlgebra de bloques

Modelos en controlEl diseo de un sistema de control tpicamente requiere un delicado balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso. Para poder lograr este balance, es necesario tener una comprensin cabal del proceso en cuestin.Esta comprensin usualmente se captura en un modelo matemtico. Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseos posibles sin comprometer al sistema real.

Modelos en controlEn particular, revisaremos algunas propiedades bsicas de las funciones transferencias y los diagramas de bloques, dos modelos matemticos muy comnmente usados en ingeniera de control.discutiremos en detalle cmo obtener modelos matemticos en forma analtica. La derivacin de modelos matemticos es una disciplina compleja en s misma, elementos de la cual se estudian, por ejemplo, en Procesos y Mquinas Industriales.

El por qu de los modelos matemticos en controlRecordando el ejemplo de la colada continua, el control del nivel en este proceso slo tiene tres formas de manipular la vlvula: abrirla, cerrarla, o dejarla como est.Sin embargo, hemos visto tambin que el modo preciso en que estas acciones se llevan a cabo involucran compromisos delicados entre objetivos de diseo contrapuestos, tales como la velocidad de respuesta y la sensibilidad a ruido de medicin.Para muchos problemas es posible encontrar un controlador adecuado simplemente mediante prueba y error. Sin embargo, en muchos casos el enfoque de prueba y error no es factible, debido a complejidad, eficiencia, costo, o an seguridad.

El por qu de los modelos matemticos en controlEn particular, es imposible mediante prueba y error responder a cuestiones como las siguientes antes de hacer pruebas:Dada una planta y un objetivo deseado de operacin, qu controlador puede alcanzarlo? Se puede alcanzar el objetivo propuesto con algn controlador?Dados un controlador y una planta, cmo operarn en lazo cerrado?Por qu un lazo dado opera de la forma que lo hace? Puede mejorarse? Con qu controlador?Cmo cambiara la operacin si se cambiaran los parmetros del sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, o si fallara algn sensor?Para responder sistemticamente a estas cuestiones necesitamos modelos matemticos.

El por qu de los modelos matemticos en controlLos modelos matemticos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto de ecuaciones matemticas.La importancia de los modelos matemticos radica en que pueden sersimulados en situaciones hipotticas,ensayados en estados que seran peligrosos en el sistema real, yusados como base para sintetizar controladores.

Complejidad de modelosAl construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo, por lo que cualquier intento de construir una descripcin exacta de la planta es usualmente una meta imposible de alcanzar.Afortunadamente, la realimentacin usualmente nos permite tener xito an con modelos muy simples, siempre y cuando stos capturen las caractersticas esenciales del problema.Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren de los utilizados, por ejemplo, para diseo del proceso.

Complejidad de modelosLos sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos, por lo que todo modelo deber ser necesariamente una descripcin aproximada del proceso. Introducimos tres definiciones para clarificar este enunciado.Modelo nominal. Es una descripcin aproximada de la planta que se usa para el diseo de control.Modelo de calibracin. Es una descripcin ms exhaustiva de la planta. Incluye caractersticas no usadas en el diseo de control pero que tienen directa influencia en el desempeo alcanzado.Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibracin. Los detalles de este error podran ser desco4iocidos, pero podran disponerse de cotas aproximadas.

Construccin de modelosDos enfoques diferenciados para la construccin de modelos:

Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra. En este enfoque se postula una determinada estructura de modelo, a la que se varan los parmetros, bien va prueba y error, o bien va algn algoritmo, hasta que la el comportamiento dinmico del modelo se ajusta al observado en la planta mediante ensayos.Analtico. Se basa en el uso de leyes fsicas (conservacin de masa, energa y momento). El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenolgicas bsicas que determinan las relaciones entre todas las seales del sistema.

En la prctica es comn combinar ambos enfoques.

Construccin de modelos

Construccin de modelosLos modelos relevantes en control son a menudo bastante simples en comparacin al proceso verdadero, y usualmente combinan razonamiento fsico con datos experimentales.Otra consideracin de relevancia prctica es la inclusin del actuador en el proceso de modelado. Los actuadores son, en general, bastante alinales, y usualmente tienen su propia dinmica que, a veces, puede hasta dominar otras caractersticas del proceso (como suele pasar con vlvulas, actuadores hidrulicos, rectificadores controlados)As, de aqu en ms, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que este modelo tambin incluye los actuadores, cuando sea necesario.

LinealizacinAunque casi todo sistema real tiene caractersticas no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de operacin.Como normalmente un sistema de control opera en las cercanas de un equilibrio, se hace una linealizacin alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho ms simple, pero adecuado para el diseo de control.Para un mismo sistema no lineal, la linealizacin alrededor de distintos puntos de equilibrio dar, en general, distintos modelos linealizados.

Linealizacin

Linealizacin

Linealizacin

LinealizacinEjemplo: levitador magntico. La figura muestra el esquema de un sistema de suspensin magntica, en el que una bola de material ferromagntico de masa ni se levita mediante un electroimn controlado por fuente de corriente.

Linealizacin

Linealizacin

Escalamiento.Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena seleccin de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo.Un buen escalamiento har los clculos ms simples y ms precisos y disminuir enormemente los problemas de simulacin en computador.

EscalamientoEjemplo. Volvamos al ejemplo anterior para ilustrar el procedimiento en concreto. Las ecuaciones del sistema incremental lineal obtenido pueden escribirse de la forma

Escalamiento

Escalamiento

Tipos de modelos

Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuoLos sistemas que vamos a considerar estn descriptos por modelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. stos pueden siempre representarse por una ecuacin diferencial ordinaria de la forma

Transformada de Laplace

Funciones transferencia

Funciones transferenciaAlgunas definiciones pertinentes a funciones transferencia:Ceros del sistema: son las races de N(s) = 0. Polos del sistema: son las races de D(s) = 0.Grado relativo: es la diferencia en grados n m entre numerador y denominador.Funcin transferencia propia: s m n.Funcin transferencia estrictamente propia: si ni < n.Funcin transferencia bipropia: si m = n.Funcin transferencia impropia: si m > n.

Funcin transferencia y ecuaciones de estado.

Funcin de transferencia de sistemas conretardo.En general, vamos a considerar funciones transferencia racionales y propias, que corresponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimensin finita (orden finito).Una excepcin de gran importancia en la prctica es el caso de sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamente, estos sistemas tienen dimensin infinita. Sin embargo, su representacin mediante funcin transferencia es an tratable, aunque deja de ser racional.La funcin transferencia de un retardo de T segundos es de la forma

Funcin de transferencia de sistemas conretardo.Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo simple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor de la figura.

Estabilidad de funciones transferenciaEstabilidad entrada-salida. Decimos que un sistema es estable entrada-salida, o BIBO estable, si toda entrada acotada produce una salida acotada.Teorema. [Estabilidad entrada-salida] Un sistema lineal, estacionario y de tiempo continuo es estable entrada-salida si todos los polos de su funcin transferencia tienen parte real negativa.

Estabilidad de funciones transferenciaDesafo: Asumiendo una funcin transferencia racional y propia, demostrar el Teorema. Ayuda: