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1-1

Un panorama de conceptos probabilísticos

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNODefinir lo que es probabilidad.

DOS Describir los enfoques clásico, relativo y subjetivo para la probabilidad.

TRESEntender los conceptos: experimento, evento, resultado, permutaciones y combinaciones.

CUATRODefinir los conceptos: probabilidad condicional y probabilidad conjunta.

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1-1

Capítulo cinco continuación

Un panorama de conceptos probabilísticos

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

CINCO Calcular probabilidades aplicando las reglas de adición y multiplicación.

SEISUtilizar un diagrama de árbol para organizar y calcular probabilidades.

SIETE Determine el número de permutaciones y el número de combinaciones.

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Definiciones

• Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

• por lo que podemos decir 0 P ( Ei ) 1

• Experimento: proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones posibles.

• Resultado: lo que resulta en particular de un experimento.

• Evento: conjunto de uno o + resultados de un experimento.

• El lanzar un una moneda es un experimento y su resultado bien definido es que salga cara (C) o cruz (X)

5-3

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Definiciones

• El conjunto de todos los resultados posibles para un experimento es denominado espacio muestral (SS)

El espacio muestral SS = ( cara, cruz ) o ( C,X )

• P( Ei ) = 1 1/2+1/2=1

• Otro experimento es el lanzar un un dado y su resultado bien definido es un numero de 1 a 6

SS = (1,2,3,4,5,6,)

• P ( Ei ) = 1 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6 = 1

5-3

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Ejemplo

• Ej. Suponga que un experimento consiste en seleccionar tres partes fabricadas en un proceso de producción y en observar si son aceptables o defectuosas.

• A) Construir un árbol de probabilidades • B) Determinar el espacio muestral SS • C) Resultado del evento “Exatamente dos

partes Aceptables” • E) Por lo menos dos partes defectuozas

5-3

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5-3

D

A

D

A

D

A

D

A

D

A

D

A

D

A

Tercera pieza seleccionada Segunda pieza

seleccionadaPrimera pieza seleccionada

Posibles resultados

Inicio del

Experimento

( AAA )

( ADD )

( ADA )

( DAD )

( DAA )

( AAD )

( DDD )

( DDA )

1.00 1.001.00

Si A es aceptable y D es defectuosa

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Enfoques de la probabilidad

• Probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Modelo clásico P ( E ) = Nº de formas en las que puede ocurrir un evento Nº total de posibles resultados

Ej.. En el lanzamiento de una moneda una sola vez ( C, X ) solo podrá salir una de ellas

La probabilidad de obtener una cara P ( E c ) estaria definida

P (cara ) = 1 / 2 Una forma de que puede ocurrir / existe 2 posibles resultados

Ej.. La probabilidad de sacar 3 con un dado de seis caras en un intento.

P (3 ) = 1 / 6 Existe una sola forma en que puede ocurir / y seis posibles resultados

5-4

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Enfoques de la probabilidad

•La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a priori (antes de)

• Antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas se puede determinar que la probabilidad de sacar un As es

• P ( As ) = 4 / 52 Existen 4 posibilidades de ocurrencia ( 4 Ases)

• 52 posibles resultados

5-4

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Ejemplos adicionales

Ej..Las ventas semanales del año pasado en una empresa han sido

• “bajas” durante 16 semanas ,“ considerables “ durante 27 semanas ,”altas”el resto de las semanas .

• Cual es la probabilidad de que las ventas de esta semana sean : ( 52 semanas )a) Considerables

• P ( c ) = 27 / 52

• b) bajas • P ( b ) = 16 / 52

• c) altas • P ( a ) = 9 / 52 ( 52 - 27 -16 = 9 )•

d) por lo menos considerable • P ( no< 27) = 36 /52 ( 27 + 9 = 36 )

5-4

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Ejemplos adicionales5-4• La siguiente tabla muestra el Nº de computadoras vendidas diariamente por una tienda ___________________________________________________ Nº de computadoras Nº de días P ( Ei ) vendidas___________________________________________________________

• 0 12 (12/118) = 0.10 1 43 (43/118) = 0.36 2 18 (18/118) = 0.15 3 20 = 0.17 4 25 = 0.21

____________________________________________________________ 118 1.00

• Determine la probabilidad de que el Nº de computadoras que se vende hoy sea: a) 2

• P (2 ) = 0.1b) menos de 3

• P (-de 3) = 0.61 ( 0.15+0.36+0.10 = 0.61 )· c) mas de 1

• P (+de 1) = 0.53 ( 0.15+0.17+0.21 = 0.53 )· d) por lo menos 1

• P (<1 ) = 0.46 ( 0.36+0.10 = 0.46)

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Concepto de frecuencias relativas

• Registra la frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento ocurra nuevamente con base a estos datos históricos.

• Supongamos que el año pasado hubo 50 nacimientos en un hospital,de los cuales 32 de los recién nacidos eran niñas . ¿Cual es la probabilidad de que el siguiente nacimiento sea niña?

• P ( niñas )= 32 /50 = 0.64 o 64%

5-8

nesobservacio de totalNumero

pasado elen ocurrido ha que vecesde Numero ) E ( P

Relativa

Frecuencia

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EJEMPLO 2

• Otro Ej. Un comerciante recibe cajas de tres artículos. Las ultimas 100 cajas indicaron el numero de artículos dañados que habían en cada caja .________________________________________________________________________________________

Resultados ( Ei ) Numero de P ( Ei )Nºde defectuosos Cajas_____________________________________________________________________ 0 40 (40/100) = 0.40 1 27 (27/100) = 0.27 2 21 = 0.21 3 12 = 0.12 100 1.00_____________________________________________________________________

• ¿ Cual es la probabilidad de que tres artículos estuvieran dañados? El modelo de frecuencia relativa nos rebela esto.

• P (3 dañados ) = 12/100 = 0.12 P (Ei ) = 1

5-9

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EJEMPLO 2

• A lo largo de su carrera, la profesora Jones ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?

• Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es

• 186 /1200 = 0.155

5-9

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Probabilidad subjetiva

• Probabilidad subjetiva: la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.

• Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que el próximo presidente del PERU sea una mujer.

• Estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Ángeles este año.

5-10

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Formas como se relacionan los eventos:

• 1.- Eventos mutuamente excluyentes:• Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la

ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro

• * En el lanzamiento de una moneda una vez ( C o X ) es cara o cruz

• * Seleccionar una unidad de producción y encontrarla defectuosa o no defectuosa

• * Sacar una carta de una baraja bien sea una reina o un as

• Sin embargo, sacar una reina y un corazón no lo son debido a

que se presentarían ambos si se sacara la reina de corazones

5-6

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Formas como se relacionan los eventos:

2.- Colectivamente exhaustivos: constan de todos los posibles resultados de un experimento y constituyen su espacio muestral

* Al lanzar un dado los eventos colectivamente exhaustivo son 1,2,3,4,5,6,y su probabilidad combinada es = 1

P ( 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 ) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

5-7

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Formas como se relacionan los eventos:

Ejemplo• De los 500 empleados de una empresa X 170 son

del personal administrativo ,290 auxiliares y 40de ventas

• Los eventos colectivamente exhaustivos son A ,Au ,y V y su probabilidad combinada es = 1

• Si un empleado se selecciona aleatoriamente

• P ( A ) = 170 / 500 = 0.34 P ( Au ) = 290 / 500 = 0.58 P ( V ) = 40 / 500 = 0.08

1.00 P ( A o Au o V ) = 0.34 + 0.58 + 0.08 = 1.00

5-7

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Formas como se relacionan los eventos:

•3.- EVENTOS INDEPENDIENTES

• Son eventos en los que la ocurrencia de uno no tiene nada que ver con la ocurrencia del otro.

• El lanzamiento de una moneda y el de un dado. El resultado del lanzamiento de una moneda no afecta en nada al lanzamiento del dado.

• Dos lanzamientos de una moneda también son eventos independientes.

5-7

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Formas como se relacionan los eventos:

•4.- EVENTOS DEPENDIENTES

• Son eventos en los que la ocurrencia de uno afecta la probabilidad del segundo.

• -Los resultados de sacar dos cartas de una baraja. Son dependientes si afecta el resultado de la segunda.

• -Sea el primer evento sacar una reina y el segundo un As.

P (Q) = 4 P(A) = 4 P(A) = 4

52 51 52

5-7

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Formas como se relacionan los eventos:

•Son independientes si y sólo si se realiza el reemplazo es decir si se regresa la carta para el 2º evento.

• Son dependientes si el primer elemento no se reemplaza antes de sacar el segundo.

• Ej.: Si se selecciona a dos trabajadores de una empresa x.

P(A) = 170 P(A) = 170

Con reemplazo 500 Sin reemplazo 500

• P(Au) = 290 P(Au) = 290 • 500

499

• EVENTO INDEPENDIENTE EVENTO DEPENDIENTE

5-7

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Formas como se relacionan los eventos:

5-7

• 5.- EVENTOS COMPLEMENTARIOS

• Son los eventos en los que si un evento no ocurre el otro debe ocurrir.

• Si un evento A es lanzar un dado y obtener un número par (2, 4 y 6) y el complemento es lanzar un dado y obtener un número impar (1, 3 y 5). Si no se obtiene un número par se obtiene un número impar

El complemento de A se escribe como Ā y se le no A.

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Formas como se relacionan los eventos:

5-7

• Los eventos complementarios son también colectivamente exhaustivos porque si A no ocurre Ā debe ocurrir

• P(A) + P(Ā) = 1

• P(A) = 1 – P(Ā)

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5-7

TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDADES

• Con el ejemplo de la empresa X la tabla de contingencia para todos los empleados aparece así:

CLASIFICACIÓN DE LOS EMPLEADOS Género Administrativo Auxiliar Ventas Total

Hombres 120 150 30 300

Mujeres 50 140 10 200

Total 170 290 40 500

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5-7

TABLAS DE CONTINGENCIA Y TABLAS DE PROBABILIDADES

•Una tabla de probabilidades puede crearse dividiendo cada una de las entradas por el total (500 trabajadores)

CLASIFICACIÓN DE LOS EMPLEADOS Género Administrativo (A) Auxiliar (Au) Ventas (V) Total

Hombres (M) 120/500 = 0.24 0.30 0.06 0.60Mujeres (F) 50/500 = 0.10 0.28 0.02 0.40

Total 170/500 = 0.34 0.58 0.08 1.00

Los valores de las márgenes de la tabla se llaman probabilidades marginales por ejemplo: -La probabilidad de seleccionar un trabajador auxiliar es P (Au) = 0.58-La probabilidad de seleccionar un trabajador hombre es P (M) = 0.60

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Reglas básicas de probabilidad

• La probabilidad conjunta es la intersección de dos eventos.

• • -La probabilidad de seleccionar un miembro del

personal administrativo hombre P (M A) ó P(A M) = 0.24

• -La probabilidad Marginal se encuentra como la suma de las probabilidades conjuntas correspondientes.

• La probabilidad de seleccionar un miembro del personal que sea masculino

P (M) = P (M A) + P (M Au) + P (M V)• = 0.24 + 0.30 + 0.06

= 0.60

5-11

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Reglas básicas de probabilidad

• PROBABILIDAD CONDICIONAL• Cuando se desea encontrar la probabilidad de

algún evento dado que otro evento ya haya ocurrido.

• P (A \ B) “Probabilidad de A dado B”

• Es la probabilidad de que el evento A ocurra, dado que ó a condición de que el evento B ya haya ocurrido.

5-11

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Reglas básicas de probabilidad

• FORMULA GENERAL DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL

• Probabilidad condicional, P (A \ B) = P (A B) De A dado B P (B)

= P (A) P (B \ A) P (B)

5-11

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• Retomando el ejemplo de los trabajadores de la empresa X se puede observar que la probabilidad de que un trabajador

• Sea hombre es P (M) = 0.60. Sin embargo si se desea calcular la probabilidad de que el trabajador sea hombre dado

• que es un miembro del personal administrativo P (M \ A).

• P (M \ A) = P (M A) = Probabilidad Conjunta = 0.24 = 0.71

• P (A) Probabilidad A 0.34

• P (M \ A) = P (M) P (A \ M) = (0.60) (0.24 / 0.60) = 0.24 = 0.71

• P (A) 0.34 0.34

• OJO P (A \ M) = P (A M) = 0.24 • P (M) 0.60 • • La probabilidad condicional se obtiene dividiendo la

probabilidad conjunta de los dos eventos P (A \ M) / P (M).

5-12

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• REGLAS DE LA MULTIPLICACION Y REGLAS DE LA ADICION

• La regla de la Multiplicación se utiliza para determinar la probabilidad “A y B” – P (A B).

• La regla de la Adición se utiliza para calcular la probabilidad de A ó B - P (A B).

• A .- Regla de la Multiplicación• Para encontrar la probabilidad de A y B se

multiplican sus respectivas probabilidades pero dependerá

• si A y B son dependientes o independientes.

• Probabilidad de P ( A B ) = P ( A ) x P ( B )Eventos Independientes

5-12

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Ejemplo: Probabilidad de dos eventos independientes: de sacar un tres con un dado y una cara ( C ) con una moneda.

P ( 3 C ) = P ( 3 ) x P ( C ) = ( 1 / 6 ) ( 1 / 2 ) = 1 / 12

Ejemplo: La probabilidad de sacar una carta de las trece cartas de corazones de una baraja de 52 cartas y de sacar un número par con un dado.

P ( H E ) = P ( H ) x P ( E ) = ( 13 / 52 ) ( 3 / 6) = 39 / 312

5-12

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Ejemplo: Para atraer a sus clientes Jorge a modernizado las instalaciones de su hotel. Observa que el 20% de todos los autos que pasan por allí, se detienen para alquilar un cuarto. Cuál es la probabilidad de que dos carros se detengan asumiendo que son independientes?

P ( S 1 S 2 ) = P ( S 1 ) x P ( S 2 ) = 0.20 x 0.20 = 0.04

La probabilidad de que los próximos dos autos alquilen un cuarto es del 20% . Cuál es la probabilidad de que el primer auto pare y el segundo no lo haga.

P ( S 1 S 2 ) = P ( S 1 ) x P ( S 2 ) = 0.20 x 0.80 = 0.16

5-12

Jorge Tejada Bernal

Probabilidad de eventos P ( A B ) = P ( A ) x P ( B \ A ) Dependientes

Se necesita del principio de la probabilidad condicional.

Con el ejemplo del trabajador de la empresa X se observa que la probabilidad marginal de la primera fila.

P ( M ) = 0.60, sin considerar si el trabajador es administrativo o auxiliar. Sin embargo, la probabilidad conjunta de que sea hombre y administrativo se define como:

P ( M A ) = 0.24

También se puede calcular esta probabilidad con la forma de probabilidad de eventos dependientes:. P ( M A ) = P ( M ) x P ( A \ M )

Este último término es la probabilidad condicional P ( A \ M ) = P ( A M ) = 0.24 = 0.40 P ( M ) 0.60

P ( M A ) = P ( M ) x P ( A \ M ) = 0.60 x 0.40 = 0.24

5-12

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Ejemplo: El gerente de crédito de una entidad financiera recolecta datos

de 100 clientes de los 60 hombres, 40 tienen tarjeta de crédito ( C ) , de las 40 mujeres, 30 tienen tarjeta de crédito ( C ), 10 de los hombres tienen saldo vencido ( B ), mientras que 15 de las mujeres tienen saldo vencido ( B ). El gerente de crédito desea determinar la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar o aleatoriamente sea:

a). Una mujer con tarjeta de créditob). Una mujer con un saldoc). Un hombre sin saldod). Un hombre con un saldo.

5-12

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a). Una mujer con tarjeta de crédito

Solución:El uso de la formula de probabilidades condicionales nos será muy util. P ( W )

es la probabilidad de que sea mujer

a). P ( W C ) = P ( W ) x P ( C \ W )

P ( W ) = 40 / 100 = 0.40 P ( C \ W ) = P ( C W ) = 30 / 100 = 0.30 P ( W ) 40 / 100

0.40

Que es la probabilidad de que el cliente sea mujer y que tenga tarjeta de crédito

P ( W C ) = P ( W ) x P ( C \ W ) = 40 x 30 = 0.30 100 40

5-12

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b). Una mujer con un saldo

b). P ( W B ) = P ( W ) x P ( B \ W )

P ( W ) = 40 / 100 = 0.40 P ( B \ W ) = P ( B W ) = 15 / 100 = 0.15 P ( W ) 40 / 100 0.40

Que es la probabilidad de que el cliente sea mujer y que tenga saldo.

P ( W B ) = P ( W ) x P ( B \ W ) = 40 x 15 = 0.15

100 40

5-12

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c). Un hombre sin saldo

c). P ( M B ) = P ( M ) x P ( B \ M )

P ( M ) = 60 / 100 = 0.60 P ( B \ M ) = P ( B M ) = 50 / 100 = 0.50

P ( M ) 60 / 100 0.60

Que es la probabilidad de que el cliente sea hombre y no tenga saldo. P ( M B ) = P ( M ) x P ( B \ M )

= 60 x 0.50 = 0.50 De los 60 Hombres, 100 0.60 10 tienen saldo

5-12

Jorge Tejada Bernal

d). Un hombre con un saldo.

d). P ( M B ) = P ( M ) x P ( B \ M )

P ( M ) = 60 / 100 = 0.60 P ( B \ M ) = P ( B M ) = 10 / 100 = 0.10

P ( M ) 60 / 100 0.60

P ( M B ) = P ( M ) x P ( B \ M )

= 60 x 0.10 = 0.10 100 0.60

5-12

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B.- REGLA DE LA ADICION Hay dos posibilidades que se utilizan para determinar:

1.- Probabilidades de A ó B, P ( A B )

La probab. del evento A ó B P ( A B ) = P (A) + P ( B ) - P ( A B )

Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes

Los eventos pueden ocurrir al mismo tiempo. En este caso la

fórmula requiere que se reste la probabilidad del evento conjunto A y B.

5-12

Jorge Tejada Bernal

• Ej. : La probabilidad de sacar un As o una de las trece cartas de corazones de una baraja.

• P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B ) Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes debido a que ambos ocurren si se sacan un As de corazones

• P (A) + P ( B ) - P ( A B ) =• 4 / 52 + 13 / 52 - 1 / 52 =

16 / 52• La razón de restar la probabilidad conjunta es

evitar el doble conteo

5-12

Jorge Tejada Bernal

• Ej.: Con el ejemplo de la empresa X la probabilidad de que un empleado sea un trabajador hombre o un trabajador administrativo es: P ( M A ) = P ( M ) + P ( A ) - P ( M A )

• = 0.60 + 0.34 - 0.24 = 0.70

De nuevo se resta la probabilidad conjunta P ( M A ) debido a que se incluyen trabajadores administrativos al contar todos los hombres y se incluyeron hombres al contar todos los trabajadores administrativos, por lo tanto los trabajadores administrativos se contaron dos veces.

5-12

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• Ej.: La mayoría de las estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina, corriente, super y premium.

• Con frecuencia alguna de cada tipo enriquecida con Etanol. La siguiente tabla de contingencia ilustra los porcentajes del cliente que prefiere cada tipo:

5-12

CORRIENTE( R )

SUPER( S )

PREMIUM( Pr )

TOTAL

ETANOL (E) 0.05 0.10 0.05 0.20

SIN ETANOL (E) 0.15 0.40 0.25 0.80

TOTAL 0.20 0.50 0.30 1.00

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Determine la probabilidad de que el siguiente cliente prefiera:A. Corriente con Etanol: P ( R E ) B. Super sin Etanol: P ( S E )C. Premium con Etanol: P ( P E )D. Premium sin Etanol P ( P E )

Solución: A. P ( R E ) = P ( R ) + P ( E ) - P ( R E ) = 0.20 + 0.20 - 0.05 = 0.35

B. P ( S E ) = P ( S ) + P ( E ) - P ( S E ) = 0.50 + 0.80 - 0.40 = 0.90

C. P ( P E ) = P ( P ) + P ( E ) - P ( P E ) = 0.30 + 0.20 - 0.05 = 0.45

D. P ( P E ) = P ( P ) + P ( E ) - P ( P E ) = 0.30 + 0.80 - 0.25 = 0.85

5-12

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2.- Si A y B son mutuamente excluyentes la P ( A B ) = 0 ya que por definición no puede ocurrir simultáneamente

Probabilidad del evento A ó B P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) cuando son mutuamente excluyentes

• La probab. de que un cliente prefiera corriente o super (eventos mutuamente excluyentes) no se puede preferir ambas.

• P ( R S ) = P ( R ) + P ( S ) = 0.20 + 0.50 = 0.70

5-12

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En algunos casos puede ser necesario el uso tanto de la regla de la multiplicación como la de la adición.

Ej. : Se supone que e lanza una moneda tres veces y se desea determinar la probabilidad de que obtengan dos caras ( C ) es cara y ( X ) es cruz ( son eventos independientes ), y nos debemos de preguntar en cuantas formas se pueden dar los eventos.

Sólo el tercer lanzamiento es ( X ) P ( C1, C2 y X ) = 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 8Solo si el segundo lanzamiento es ( X )P ( C1, X y C2 ) = 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 8Solo si el primer lanzamiento es ( X ) P ( X, C1 y C2 ) = 1 / 2 x 1 / 2 x 1 / 2 = 1 / 8

3 / 8Debido a que el evento puede suceder de la primera, segunda y tercer forma se deben de sumar sus respectivas probabilidades. Por lo tanto, la probabilidad de que los tres lanzamientos de la l moneda produzcan dos caras es de 3/8.

5-12

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Ej.: De los 10 Chips de un computador, 4 está defectuosos. Cuál es la probabilidad de seleccionar 3 sin que haya reemplazo de los cuales 1 es defectuoso.

Sólo el primero es defectuoso P ( D1 D2 D3 ) = 4 / 10 x 6 / 9 x 5 / 8 = 120 / 720

Sólo el segundo es defectuoso P ( D1 D2 D3 ) = 6 / 10 x 4 / 9 x 5 / 8 = 120 / 720

Sólo el tercero es defectuoso P ( D1 D2 D3 ) = 6 / 10 x 5 / 9 x 4 / 8 = 120 / 720 360 / 720

Debido a que el evento “Sólo uno defectuoso” puede suceder de la primera, segunda y tercer forma, se adicionan las tres probabilidades de acuerdo con la regla de la adición.

P ( sólo uno D ) = 120 / 750 + 120 / 750 + 120 / 750 = 360 /720 = 0.50

5-12

Jorge Tejada Bernal

• Técnicas de Conteo• Al seleccionar los elementos en los subconjuntos,

la distinción entre permutaciones y combinaciones dependen de si el orden de las elecciones hace la diferencia.

• - Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto se trata de permutaciones.

• - Si dos subconjuntos se consideran iguales debido• a que simplemente se han ordenado los mismos

elementos entonces se involucra las combinaciones.

5-12

Jorge Tejada Bernal

• Técnicas de Conteo• Al seleccionar los elementos en los subconjuntos,

la distinción entre permutaciones y combinaciones dependen de si el orden de las elecciones hace la diferencia.

• - Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto se trata de permutaciones.

• - Si dos subconjuntos se consideran iguales debido• a que simplemente se han ordenado los mismos

elementos entonces se involucra las combinaciones.

5-12

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- Así de la lista de las primeras cinco letras del alfabeto A, B, C y D

- ¿Cuántos subconjuntos diferentes se pueden obtener?

Dos posibilidades son {A B C } {A C B} ambos tienen los mismos

elementos y difieren sólo en el orden en el cual se seleccionan los elementos.

Si consideramos que estos subconjuntos son diferentes porque el

orden es diferente se considera como PERMUTACIONES

Si consideramos que dos subconjuntos son idénticos por que ambos

tienen los mismos elementos sin considerar el orden son

denominados COMBINACIONES

5-12

Jorge Tejada Bernal

El Nº de Permutaciones de

n elementos tomados r a la vez

5-12

nn

n rP

!

( )r

Donde n ! Se lee “n factorial” y significa el producto de todos los números de 1 a n 4 ! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 por definición 0 ! = 1

r es el número de elementos que se toma a la vez

n Nºde elementos

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Ejemplo: De las ventas de una oficina que consta de 10 productos

¿Cuántos subconjuntos de 3 productos se puede ofrecer a los clientes ?

Cuántos empaques de 3 productos de un total de 10 de productos.

Considerando que el orden en el cual se empacan los 3 productos afectaríana las ventas (es decir que el orden hace que sean diferentes porque el orden es diferente), se debería determinar el número de permutaciones de los 10 elementos tomados 3 a la vez

n P r = n !_____ 10 P 3 = 10 !_____ = 3628800 = 720

( n - r ) ! ( 10 - 3 ) ! 540

5-12

Jorge Tejada Bernal

Con el mismo ejemplo si consideramos que el orden en el cual se ofrecen los 3 productos no

influirá en el cliente, es decir el orden no hará diferencia alguna porque tienen los mismos

elementos. Se hallará el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 3 a la vez.

n C r = n !______10 C 3 = 10 !______ = 120

r ! ( n - r ) ! 3 ! ( 10 - 3 ) !

Hay 120 paquetes de 3 artículos que se pueden ofrecer a los clientes.

Se puede observar que n P r > n C r debido a que se pueden

obtener otras permutaciones tan solo combinando el orden.

5-12

Jorge Tejada Bernal

EJEMPLO

• El entrenador Thompson tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar? 12C5 = (12!)/[5!(12-5)!] =792

• Suponga que el entrenador Thompson debe clasificarlos en orden: 12P5 = (12!)/(12-5)! = 95,040.

5-40