Parâmetros:

Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma característica da população =(, 2 , p).

Identificada uma v.a. X sus parâmetros podem ser a média e variância

Estatísticas: Uma estatística T é uma função

de X1, X2 ..., Xn

Parâmetros e Estatísticas

nXXXfT ,,, 21 1

Parâmetros e Estatísticas

)p̂,ˆ,ˆ(ˆ 2

Parâmetros: =(, 2 , p)

Estimativas:

nxpsX ˆˆˆ 22

2

)(X nXiX

)(2 XVar )1/()( 22 nXxS i

Denominação População Amostra

N de elementos N n

Média

Variância

Proporção p p̂

Símbolos mais comuns a seguir

3

Amostras

Distribuição amostral da estatística T

4

População com media

Uma amostra aleatóriasimples de n elementos é selecionada a partir

da população

Os dados da amostrafornecem um valorpara a média da

amostra X

O valor de é usado para fazer inferências

sobre o valor de

X

O valor esperado de iguala-se a a partir da qual a amostra é extraída.

X

5

Teorema Central do Limite

Dado que :

• A variável aleatória X tem distribuição (que pode ser

normal, ou não), com média e desvio padrão .

• Amostra  de  tamanho    “n”    são  extraídas  aleatoriamente  

dessa população.

6

Teorema Central do LimiteConclusões:

• Na medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende para uma distribuição normal.

• A média das médias amostrais será a média populacional.

• O desvio padrão das médias amostrais será x

nx

7

Teorema Central do LimiteRegras Práticas de Uso Comum:

• Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das médias

amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente por uma

distribuição normal.

• Se a própria distribuição original tem distribuição normal,

então as médias amostrais terão distribuição normal para

qualquer tamanho amostral n.X

8

Intervalo de Confiança IC

Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.

=(,2 , p)

)()( xUxL

9

Intervalo de Confiança IC

A partir de uma amostra de uma distribuição f(x,), que depende de um parâmetro desconhecido, desejamos encontrar um intervalo aleatório que contenha com alta probabilidade

é chamado de intervalo de confiança (1-) se

)()( xUxL

1)()(Pr xUxL

10

Estimação:

Um estimador é uma estatística amostral utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro populacional.

)p̂,ˆ,ˆ(ˆ 2 Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.

nxpsX ˆ,ˆ,ˆ 22

11

Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras

Coeficiente de confiança é a probabilidade ( 1- ) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional.

Coeficiente de Confiança(1- )

/2 /2

12

Coeficiente de Confiança(1- )

/2 /2

z/2- z/2A distribuição normal

padronizada o valor z/2 é o valor crítico

O grau de confiança é também chamado de nível de confiança ou coeficiente de confiança.

Estimativa de uma Média Populacional: Grandes Amostras

13

Valores críticos mais comuns:

1 - 0,80 0,85 0,90 0,95 0,99z/2 1,28 1,44 1,645 1,96 2,58

/2 /2 1 -

0 z/2- z/2

Normal(0,1)

14

A margem de erro, denotado por E é a diferença máximaprovável (com probabilidade 1- ) entre a média amostralobservada e a verdadeira média populacional .X

A margem de erro pode ser obtida multiplicando-se o valorcrítico pelo desvio padrão das médias amostrais,

n.zE

2

Margem de Erro

15

Áreas de uma distribuição amostral de usada parafazer declarações de probabilidade sobre o erro deamostragem

/2 /2

Distribuição amostral da X

(1- )%

X

n

z 2/

16

Tamanho da Amostra para estimar

Pode-se aplicar a fórmula E também para determinar o

tamanho da amostra que é necessário para atingir um grau de

precisão desejado .

Resolvendo a equação do erro em n obtemos,

2

2

Ez

n

n.zE

2

17

Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a grandes amostras: n > 30)

EXEX Onde n.zE

2

nzX;

nzX

22

Outras formas equivalentes de escrever:

• com variância conhecida o intervalo de confiança 100(1-)% para

Intervalo de Confiança (IC) para

• com variância desconhecida, usa-se a distribuição normal com o estimador s2 de 2 .

18

Intervalo de Confiança (IC) para

Exemplo 1: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de umavariável aleatória que tem distribuição Normal com médiadesconhecida e variância = 410. Se encontre umintervalo de confiança 95% para ..

1428X

Olhando a tabela da Distribuição Normal, temos que o ponto crítico,

tal que

Se = 0,05, temos que z0,025 = 1,96.

2/2/ zZP

19

Intervalo de Confiança (IC) para

Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025

- 1,96

Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95

1,96

O IC de 95% de confiança para a é [1300,85 ; 1555,15]

20

Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a pequenas amostras: n < 30)

Variáveis aleatórias independentes, então:

• com variância desconhecida

Intervalo de Confiança (IC) para

Pode-se mostrar que:

e 21n

2~S)1n(

)1,0(Normal~Xn

1nt~

SXn

21

Intervalo de Confiança para a média populacional (com base a pequenas amostras: n < 30)

nstX

nstX nn 11 ;

• com variância desconhecida

Intervalo de Confiança (IC) para

O intervalo de confiança 100(1-)% para

Onde t é o percentil (1 - /2) da distribuição de Student com n -1 graus de liberdade.

22

Intervalo de Confiança (IC) para

nstX

nstX nn 11 ;

/2 /2

tn-1- tn-1

Pr[ t > tn-1] = /2

Ex. Se n = 10 e = 0,05, temos Pr[ t < 2,262] = 0,975

23

Intervalo de Confiança (IC) para

Exemplo 2: Sejam X1, X2, ... X40 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que

e s= 496, encontre um intervalo de confiança 95% para .

1428X

Se n > 30, então usa-se a distribuição normal com

estimador s2 de 2.

24

Intervalo de Confiança (IC) para

Pr[Z > 1,96 ] = 0,025Pr[Z < - 1,96]= 0,025

- 1,96

Pr[-1,96 < Z < 1,96] = 0,95

1,96

O IC de 95% de confiança para a é [1274,18 ; 1581,82]

25

Intervalo de Confiança (IC) para

Exemplo 3: Sejam X1, X2, ... X25 uma amostra aleatória de uma variável aleatória que tem distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Dado que e s2 = 36, encontre um intervalo de confiança 95% para .

15X

Olhando a tabela da Distribuição t de Student, temos que o ponto

crítico t24,0,025=2,064 então

Pr[t24 > 2,064] = 0,025.

26

Intervalo de Confiança (IC) para

Pr[t > 2,064 ] = 0,025Pr[t < - 2,064]= 0,025

- 2,064

Pr[-2,064 < t < 2,064] = 0,95

2,064

O IC de 95% de confiança para a é [ 12,523 ; 17,477]

27

Lembrando que quando p populacional é conhecida, tem distribuição assintotica

.

pp zpzp ˆ0ˆ022

ˆ;ˆ

Logo, temos que o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) :

Intervalo de Confiança (IC) para proporções

nxp ˆ

npqpNp ,ˆ

Para construir o IC para p desconhecida, determinarmos na amostra e consideremos

0p̂

nqp

p00

ˆˆˆ

28

Exemplo: Retiramos de uma população uma amostra de 100elementos e encontramos 20 sucessos. Ao nível de 1%, construir umIC para a proporção real de sucessos na população.

Intervalo de Confiança (IC) para proporções

29

O IC de 99% de confiança para p é [ 0,0972; 0,3028]

Aumentando o tamanho da amostra para melhorar a precisão.

•Uma maneira de melhorar a precisão do intervalo de confiança semdiminuir o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra.

Obtendo o tamanho mínimo da amostra para estimar p

Dado um nível de confiança (1-) e um erro máximo de estimativa E, omínimo tamanho necessário da amostra para estimar p é

Essa formula supõe que haja uma estimativa preliminar para e .

Caso não seja assim, use e30

22/ˆˆ

Ezqpn

p̂ q̂

5,0ˆ p 5,0ˆ q

Determinando um tamanho mínimo para a amostra.

•Você é auxiliar em uma campanha política e deseja estimar, com 95% de confiança, a proporção de eleitores registrados que votarão em seu candidato.

•Qual é o mínimo tamanho necessário da amostra para estimar a proporção populacional com precisão dentro de 3%?

Solução: Uma vez que não temos estimativas preliminares usaremos

e . Usando e E=0,03 temos que

Pelo menos 1.068 eleitores registrados devem ser incluídos na amostra.

Exemplo

5,0ˆ p

31

5,0ˆ q 96,12/ z

11,106703,096,1)5,0)(5,0(ˆˆ

222/

Ezqpn

População Normal com média desconhecida.

111

21

22

22

2 snsnP

Logo, o IC para a proporção populacional ao nível de significância (1-) :

Intervalo de Confiança (IC) para a variância

21

2

1

2

n

n

ii xx

Demostra-se que tem distribuição relacionada com com (n-1) graus de liberdade, isto é,

n

ii xx

1

2 2

Como temos 22

11

xxns i 2

1

2 1 snxxn

ii

221

2 1 snn

32

111

21

22

22

2 snsnP

O IC para a variância populacional ao nível de significância (1-) :

Intervalo de Confiança (IC) para a variância

Onde: e 2)%2/(,1

21 n

2)%2/1(,1

22 n

33

Exemplo: Sabe-se que o tempo de vida de certo tipo de válvula tem distribuição aproximadamente normal. Uma amostra de 25 válvulas forneceu média amostral de 500 h e s=50 h. Construir um IC para 2, ao nível de 2%.

Intervalo de Confiança (IC) para a variância

Se n = 25, s2=2500 856,102%1,24

21 980,422

%99,2422

111

21

22

22

2 snsnP

34

O IC de 98% de confiança para 2 é [ 1395,9; 5526,9]