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1. Historia

Muchos conceptos en Matemática tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez hasta la formalización de los mismos. Esto se debe al carácter formal de esta ciencia. Una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y al olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.

Los números complejos aparecieron muy temprano en las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar.

Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, la ecuación: x 2 + x + 5 = 0 no posee soluciones reales. Si empleamos la fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raíz cuadrada de −19. Los matemáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban este tipo de problemas irresolubles.

Es incorrecto decir que la aparición de los números complejos se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real de entenderlos, viene de las ecuaciones cúbicas. Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la falta de un equivalente dentro de la geometría. Para ellos, todo número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto, retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos.

Con el surgimiento del Álgebra durante la Edad Media, el concepto de número se amplía, para poder manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serán el semillero de las grandes ideas que darán impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarán libres de sus equivalentes geométricos.

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La palabra Álgebra deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar. ¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como por ejemplo 2x + 3 = 5 entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan, también los doctores lo hacen. En la medicina antigua el término álgebra se usaba para designar las operaciones de los huesos. Así pues, un algebrista era un matemático o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en su sitio. Álgebra es el arte de restituir a su lugar los huesos dislocados, según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española.

¿Quiénes descubrieron el Álgebra? Se puede considerar al matemático árabe Al-Khwarizmi como el padre de esta disciplina. Él fue el autor de un libro, llamado al-jabr, publicado en el año 830 d.c., es el primer libro de Álgebra de gran influencia en toda Europa, donde se recogían todas las técnicas conocidas hasta entonces sobre la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado. Dichas técnicas habían sido expuestas con anterioridad, en una obra del matemático hindú Brahmagupta en el 628 d.c. Como se sabe, los matemáticos árabes se encargaron de difundir las matemáticas de los griegos, mesopotamios e hindúes en toda Europa, a través de España.

Ya desde el siglo I antes de Cristo, algunos matemáticos griegos, como ser Herón de Alejandría, comenzaron a esbozar el concepto de número complejo, ante dificultades para construir una pirámide. Sin embargo, recién en el siglo XVI empezaron a ocupar un lugar importante para la ciencia; en ese momento, un grupo de personas buscaba fórmulas para obtener las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3. Fue en Italia, durante el período del Renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se dedican a investigar seriamente estos números. Los complejos aparecen inicialmente en el libro “Ars magna” de Girolamo Cardano, publicado en 1545. En 1572, Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números complejos. Los antiguos algebristas operaron con

expresiones en las que aparecía 1 . Gottfried Leibnitz, en el siglo XVII, todavía decía

que 1era “una especie de anfibio entre el ser y la nada”. En 1777, Leonhard Euler le

dio al “monstruo” 1el nombre de i (por imaginario). En 1811, Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano Complejo o Plano de Argand. En 1831, Carl F. Gauss, científico alemán, publica un trabajo donde expone las propiedades de los números de la forma a+bi, ahora llamados los Números de Gauss, y la representación geométrica de ellos. Gracias a la autoridad indiscutible que tenía Gauss, los números complejos obtuvieron un reconocimiento y lugar importante en el Álgebra. Desde ese momento se desarrolla sostenidamente la teoría de las funciones complejas de la mano de Hamilton y Cayley, quienes crearon los sistemas hipercomplejos. Siguió Cauchy, quien sienta las bases del cálculo diferencial e integral de las funciones complejas y luego el alemán B. Riemann, quién demostró el poder de los números complejos en el estudio de la geometría y amplió los horizontes de la matemática, creando una nueva ciencia, la Topología.

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2. Aplicaciones

En la actualidad la notación i se usa casi universalmente, excepto en ingeniería eléctrica, donde se utiliza j en lugar de i, ya que esta letra se usa para la intensidad de la corriente.

Cuando se desarrolló la teoría de los números complejos, la electricidad era una materia de interés sólo de laboratorio. Pero antes de finales del siglo XIX, los descubrimientos sobre electricidad y electromagnetismo transformaron el mundo, y en este proceso los números complejos fueron una herramienta que simplificó el cálculo con las corrientes alternas. Esto prueba que un conocimiento que es matemática pura para una generación se convierte en aplicado para la siguiente.

Hoy los números complejos se utilizan por doquier en matemática, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería , especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

También se necesitan en hidráulica, aerodinámica, flujo de fluidos, conducción del calor, elasticidad o potencial electrostático.

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1

2 2 2 2

a ba,b ,

a b a b

3. El Número Complejo

3.a) Definición y Notación Cartesiana

Para todo par de reales a y b se denomina número complejo al par ordenado (a,b).

C = { z : z = (a,b), a R, b R}

A a se le denomina componente real: a = Re(z) y a b se le denomina componente

imaginaria: Im(z).

Igualdad de números complejos:

Dos números complejos son iguales si son iguales las componentes reales y las

componentes imaginarias: (a,b) = (a´, b´) a=a´ y b=b´.

Adición de números complejos: (a,b) + (a´, b´)= (a+a´, b+b´)

Ej: z= (2,3), z´=(-1, 2) , z+z´= (1,5)

Multiplicación de números complejos: (a,b) . (a´, b´) = (aa´-bb´, ab´+ba´)

Ej: (1,2). (-2,4) = (1 x (-2) – 2 x 4 , 1 x 4 + (-2) x 2)= (-10, 0)

(C, +, .) es Cuerpo Conmutativo:

El conjunto de los números complejos junto con la adición y la multiplicación, (C, +, .) ,

forma una estructura de Cuerpo Conmutativo:

Adición: - es operación binaria interna

- propiedad asociativa

- propiedad conmutativa

- existencia de neutro: (0,0)

- existencia de simétrico: -(a,b)= (-a,-b). Se llama opuesto.

Multiplicación: - es operación binaria interna

- propiedad asociativa

- propiedad conmutativa

- existencia de neutro: (1,0)

- existencia de simétrico: . Se llama inverso.

Distributiva del producto respecto de la adición.

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Ejercicio 1

Sean z1 = (-1,2) , z2 = (4,0) , z3=(1/2 , -2/3)

Realizar las siguientes operaciones:

i) z1 - z3+ z2

ii) z1. z2

iii) z1: z2

iv) (- z2. z3 ) + (z1: z2)

Ejercicio 2

i) Deducir y verificar que (0,0) es neutro de la adición.

ii) Deducir y verificar que (1,0) es neutro de la multiplicación.

Ejercicio 3

Sean: z=(x,y), u=(2, 1) , v(-1,2) , w=(3,4)

Resolver en C, la siguiente ecuación: u.z + v =w

Ejercicio 4

Sean los complejos de componente imaginaria nula: z1 = (a,0) y z2 = (b,0).

i) Realizar las siguientes operaciones: z1 + z2 , z1. z2.

ii) Considerando el subconjunto de C formado por todos los complejos cuya componente

imaginaria es nula, y observando los resultados obtenidos en la parte i), indicar con qué

conjunto de números que ya conoces, tiene un comportamiento análogo.

Isomorfismo entre dos conjuntos

Si entre dos conjuntos A y B se puede determinar una función biyectiva f : A→B que

cumpla:

f(x+y) = f(x) + f(y)

f(x.y) = f(x) . f(y)

entonces se dice que existe un isomorfismo entre A y B.

Si consideramos a R el conjunto de los reales y a C0 el conjunto de los complejos con

componente imaginaria nula, se puede establecer una función biyectiva entre ambos

conjuntos, por lo que entonces decimos que existe un isomorfismo entre R y C0. Esa

función es: f : R → C0 , y a cada real x le corresponde un complejo de la forma (x,0).

Ejercicio 5

Si : x → f(x) = (x,0) , probar que f cumple las dos condiciones anteriores.

y → f(y) = (y,0)

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Observaciones:

Al real a lo podemos expresar como (a,0).

Llamamos complejo imaginario puro a todo complejo de la forma (0,b).

Llamamos complejo imaginario a todo complejo que no sea real: (a,b), b 0.

El conjunto de los complejos C es la unión del conjunto de los reales R con el

conjunto de los Imaginarios.

Unidad imaginaria

Se llama unidad imaginaria al número complejo puro: i = (0,1) .

Ejercicio 6

Calcular : i1 , i2 , i3 , i4 , i5 ,i6, i7, i8,… ¿Qué sugieren estos cálculos?

Ejercicio 7

Demostrar que los complejos de la forma: z = (a,o) multiplicados por i dan como

resultado un complejo imaginario puro de la forma (0,a).

3.b) Notación Binómica

z = (a,b) = (a,0)+ (0,b)= (a,0) +(b,0).(0,1) (Aplicamos la propiedad el Ejercicio 7.)

Por lo tanto z= a + bi . Esta notación se llama binómica.

Podemos entonces definir el conjunto de los números complejos de la siguiente manera:

C= { z = a+bi , a R , b R}

La notación binómica de los complejos permite utilizar las reglas operatorias de los

reales, exceptuando las potencias de i.

Ejercicio 8

Escribir en notación binómica los complejos del Ejercicio 1 y calcular i), ii) utilizando esa

notación.

Ejercicio 9

Calcular:

a) (5 + 2i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2 i )

b) (5 + 2 i) · (2 − 3 i)

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Ejercicio 10

Resolver la siguiente ecuación: Z + ( 1 +i) = 18 + 6i

Potencia de base compleja y exponente natural

Definición:

Son válidas las siguientes propiedades:

m n m n

m n m.n

m m n

a) z .z z

b) (z ) z

c) (a.z) a .z , a R, z C

Ejercicio 11

a) Utilizando la definición de potencia anterior y sabiendo que i2 = -1, calcular: i0, i1 , i2 ,

i3, i4 , i5 ,i6, i7

b) Obtener un patrón para determinar las potencias de exponente natural de i.

c) Calcular : i234.

Ejercicio 12

Calcular:

a) (3 + 2i)2 - (4 + 2i)

b) (3 + 2i)3

c) (7i)2

d) (1+i)2, (1+i)4, (1+i)6

Complejos conjugados

Dos complejos son conjugados si y sólo si tienen igual componente real y componentes

imaginarios opuestos.

z y z son conjugados z a bi , z a bi

0

n n 1

z 1z C:

z z . z , n N, n 0

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Ejercicio 13

z a bi y z a bi Si , investigar qué tipo de número es la suma y el producto de dos

complejos conjugados. Obtener una fórmula para cada resultado.

Propiedades de los complejos conjugados

Ejercicio 14

z a bi y w c di Siendo , demostrar la primera propiedad.

División en notación binómica

Se puede demostrar utilizando notación cartesiana, considerando que dividir es

1

2 2 2 2

a b(a,b) ,

a b a b

multiplicar por el inverso y que , que dividir dos complejos

z=(a,b) entre w=(c,d) , con w 2 2 2 2

z ac bd bc ad,

w c d c d

(0,0), tiene esta fórmula: .

Por lo tanto2 2 2 2

z ac bd bc adi

w c d c d

, en notación binómica: .

Ejercicio 15

z

wProbar que se puede obtener multiplicando numerador y denominador por el

conjugado del denominador. z a bi (a bi).(c di)

....w c di (c di)(c di)

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Ejercicio 16

Considerando el Ejercicio 15 como regla para calcular divisiones, resolver: 3 4i

3 7i

.

Otra definición de la unidad imaginaria

También puede definirse i 1 . Se cumple también que i2 = -1.

Observemos que:

Ejercicio 17

Verifica las siguientes igualdades:

1 ii

2

a)

b) 3 1i ( 3 i)

2

Ejercicio 18 n n na.b a. bRecordando la propiedad: , con n N, expresar los siguientes números en

notación binómica:

4

6

4

a) 9

b) 144

c) 625

d) 64

e) 7 81

Ejercicio 19

La ecuación: x2+1=0 no tiene solución en R. Encontrar sus soluciones en C.

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3.c) Polinomios

Teorema 3.c.1- Teorema fundamental del Álgebra (Gauss, 1799):

Todo polinomio de variable compleja y coeficientes complejos, de grado mayor que cero,

admite al menos una raíz.

Teorema 3.c.2

Todo polinomio de variable compleja y grado n mayor que cero, tiene n raíces.

Observación:

La descomposición factorial de un polinomio P de grado n>0 es:

P(z)= an(z-1) (z-2)… (z-n), siendo an su coeficiente principal y 1, 2,… n sus raíces.

Teorema 3.c.3

Todo polinomio de variable compleja y coeficientes reales, si tiene una raíz compleja,

admite como raíz a su conjugada también.

Observaciones: En C todas las ecuaciones polinómicas tienen solución. Las ecuaciones de segundo grado si tienen soluciones complejas imaginarias,

estas son conjugadas.

Ejercicio 20 4 3 2P(z) z 9z 29z 41z 20 Sea , zC. Hallar las cuatro raíces de P sabiendo que (2-i)

es raíz de P. Realizar la descomposición factorial de P. (Sugerencia: utilizar el esquema de Ruffini)

Ejercicio 21

Resolver en C:

a) x2+9=0

b) x2-2x+5=0 c) x2-4x+13=0 d) x3-8=0 e) x4-16=0 f) (x2+1)2=25 (Sugerencia: utilizar (A-B)(A+B)= A2-B2.) g) x4+5x2-36=0

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Ejercicio 22

Descomponer factorialmente en C, el polinomio P(z)=4z2-(4+8i)z-12+4i.

Ejercicio 23

Hallar m y n complejos, sabiendo que P(X)= x3+(2-3i)x2+mx+n tiene raíz (2i) y P(0)= -6-6i.

(Sugerencia: expresar m en forma binómica: m=a+bi.)

3.d) Interpretación geométrica de los Números Complejos

Actividad 3.d.1: En el libro “Análisis matemático para ingeniería” (M.Molero, A. Salvador, T. Menarguez, L. Garmendia), link: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis%20matematico/Temas/C01_Los_Numeros_Complejos.pdf , leer del capítulo 1- Número Complejo, desde: 1.2- Representación Geométrica- Diagrama de Argand, página 25 del libro, (o página 9 del PDF) hasta el título Ejercicios de página 29 del libro, (o página 13 del PDF). Actividad 3.d.2: Resolver los siguientes ejercicios de la página 29 del libro:

Ejercicio 1.8: Representar todos los números en el mismo par de ejes.

Ejercicio 1.9: Representar los conjugados en el par de ejes del ejercicio anterior.

Ejercicio 1.10: Cada suma debe representarse en un par de ejes diferente.

Ejercicio 1.11: Cada complejo y su producto correspondiente deben representarse en el mismo par de ejes.

Ejercicio 24

Completa las observaciones siguientes:

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Observaciones: El punto del plano P(a,b), con a y b números reales, se asocia al complejo z. En

notación cartesiana: z=(…. , .…). En notación binómica: z= …………… Se dice que existe una función biyectiva que hace corresponder a cada complejo z

un único punto P. El punto P se llama afijo de z. Cada punto del plano P determina un vector de origen O y extremo P. Podemos

identificar al vector OP por sus coordenadas: OP [a,b] .

Ejemplo: El complejo z=(-1,2), tiene afijo: …..……. Y podemos identificarlo con el vector: …………….

El eje Real es el eje: ……. Y el eje Imaginario es el eje: …… El plano determinado por estos ejes se llama Plano Complejo.

Los puntos del plano que pertenecen al eje real son de la forma P(…. , ….). Se denominan complejos ……… Son afijos del complejo de la forma: z=(….. , ..…).

Los puntos del plano que pertenecen al eje imaginario son de la forma P(…. , ….). Se denominan complejos …………………… Son afijos del complejo de la forma: z = (.... , ….).

Para sumar complejos utilizamos la regla ………………………….. Los afijos de complejos conjugados son …………………………………………………

Definición de transpuesto Llamamos transpuesto de un número complejo z=a+bi, al número complejo z* /z*= b+ai.

Ejercicio 25

Sean:

a) Escribir los transpuestos de cada uno de los complejos. b) Representar todos los números y sus transpuestos en el mismo par de ejes. c) ¿Qué propiedad cumplen los afijos de un número y su transpuesto?

Ejercicio 26

a) Sea z= 2+3i. Realizar las siguientes operaciones, utilizando la notación binómica:

1

2

3

4

z 2 3i

z 5 5i

z 4 i

z 2 3i

2

3

4

z.i

z.i

z.i

z.i

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b) Ubicar en el plano complejo a todos los afijos y vectores correspondientes a z y todos los productos obtenidos en la parte anterior. c) ¿Puedes realizar una conjetura que relacione la multiplicación de un complejo con potencias de i y los afijos correspondientes?

3.e) Notación Polar

3.e.1- Sistema de coordenadas polares

Dados un punto O, llamado polo y una semirrecta [Ox), llamada eje polar, podemos

hacer corresponder a todo punto P del plano, un par ordenado (r, ) que llamamos

coordenadas polares. Llamamos módulo a r y es la longitud del segmento [OP].

Llamamos argumento a y es la amplitud del ángulo orientado POX. (Sentido

antihorario respecto Ox.)

Todo par de coordenadas polares (r, ) determina un único punto P del plano. Pero cada

punto P puede ser representado por coordenadas polares equivalentes de la forma:

(r, +2k).

(Recuerda que 1800 = radianes, o sea 3600= 2 radianes. Cada 3600 se vuelve al mismo

punto P.)

3.e.2- Números Complejos en notación polar

El número complejo z=(a,b), de afijo P y vector OP, tiene coordenadas polares (r, ).

Para que estas sean únicas se tomará el argumento principal, o sea cumple:

0   2 .

z(a,b) de afijo P(r, ) se notará r   .

( puede estar expresado en radianes o

grados sexagesimales.)

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Ejemplo:

z (2,2) 2 2i 8 45   84

Notación cartesiana Notación binómica Notación polar

Otras notaciones: módulo de z:|z|. argumento principal de z: arg(z)= .

Ejercicio 27

a) Ubicar los afijos de los siguientes complejos en el gráfico:

1

2

3

4

z 23 / 4

z 3 / 2

z 5 7 / 4

z 19 / 8

b) Encontrar el argumento principal y luego representar los afijos de cada complejo:

5

6

z 48 / 4

z 217 / 2

Ejercicio 28

za) Obtener una fórmula para calcular , el módulo de z/ z= a+bi.

b) Utilizando Trigonometría justificar que:

i) a z .cos

ii) b z .sen

iii) arctg(b/a)

z.z zc) Prueba que:

(Escribe z en notación binaria: z=a+bi)

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Ejercicio 29

Las fórmulas del ejercicio 28 a) y b) se utilizan para pasar complejos de una notación a

otra.

a) Pasar a notación cartesiana y binómica:

1

2

3

4

z 23 / 4

z 3 / 2

z 5 7 / 4

z 19 / 8

b) Completar la tabla de pasaje de notación polar a cartesiana y binómica:

Notación polar Notación cartesiana Notación binómica

r   o z  

c) Pasar a notación polar:

1

2

3

4

5

z 2 3i

z 2 2i

z i

z 3

z 3 4i

d) Completar la tabla de notación cartesiana y binómica a polar:

Notación cartesiana Notación binómica Notación polar

(a,b)

Observaciones:

Igualdad de complejos en notación polar:

r r

´r   r  ´ 2k

Propiedades de los argumentos:

a)arg(z.w) arg(z) arg(w)

zb)arg arg(z) arg(w), w 0

w

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Propiedades de los módulos:

nn

1

a) z z

b) z . w z.w

c) z z

d) z z

zze) ,w 0

w w

f) z . z 1

g) z w z w

3.f) Notación Trigonométrica

El complejo z= r   en notación binómica es z= r.cos+ (r.sen )i.

Factorizando obtenemos: z = r. (cos+ i. sen ). Esta expresión se llama notación

trigonométrica.

Multiplicación en notación trigonométrica y polar

Sean los complejos: y .

Operando y utilizando propiedades trigonométricas se prueba que:

z.z r. r [cos( ) i.sen( )]

En notación polar:

División en notación trigonométrica y polar

Sean los complejos: y .

Operando y utilizando propiedades trigonométricas se prueba que:00

z r

[cos( ´) i.sen( ´)]z r

En notación polar:

z.z r.r ´

z r´

z r

z r   z r  

z r   z r  

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Ejercicio 30

Sean: z = 2.(cos 95o + i sen 95o) y w = 3.(cos 26o + i sen 26o). Calcular: a) z.w b) z/w

Potenciación en notación trigonométrica

Aplicando el producto de complejos en notación trigonométrica a n factores se tiene:

1 2 n 1 2 n 1 21 2 n nz.z ....z r.r ....r [co ... ) is .sen( ...( )] .

Calculemos zn:

nz z.z....z r.r....r[co ... ) i.sen( ... )]s(

n veces n veces n veces

n n )z r i.sen(n )][cos(n Fórmula de De Moivre.

En notación polar: n nz nr .

Breve reseña de Abraham De Moivre (1667-1754):

Protestante de origen francés que debió emigrar a Londres. Allí trabajó como profesor

particular de matemática a domicilio. También enseñaba matemática en Cafés.

Destacó en la Teoría de la Probabilidad y en Geometría Analítica. Fue miembro de la Real

Society, quien lo designó como árbitro en la disputa entre Leibnitz y Newton por la

creación del Cálculo Diferencial.

A pesar de ser una eminencia científica, murió en la pobreza y nunca pudieron sus

amigos J. Bernoulli, Leibnitz, Newton o Halley, conseguirle un cargo de profesor en alguna

universidad.

Ejercicio 31

Sea z = 2(cos30o + i sen30o). Calcular la potencia de orden cinco de z, o sea z5.

Ejercicio 32

z 2 3i Sea . Escribir z en notación polar, calcular z4 y expresarlo en notación

trigonométrica.

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3.g) Radicación en Complejos

Esta operación es más compleja de realizar, por eso la vamos a estudiar aparte.

3.g.1. Radicación en complejos con notación polar

Si z es un número complejo tal que para algún n entero positivo se tiene que z = wn, donde w es otro número complejo, entonces se dice que w es una raíz enésima de z.

O sea: nw z .

En los números reales, todo número posee una raíz de orden impar y dos raíces de orden par. Ejemplos:

Ej.1: 2 es el único número real que cumple: 38 2 .

Ej.2: 2 y -2 son los reales que cumplen : 416 ( 2) .

En los complejos hay una mayor abundancia de raíces. Concretamente, se tiene la siguiente propiedad:

“Todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas”.

Por ejemplo, calculemos las raíces cuartas de 1. Sabemos que el índice indica cuántas

raíces tiene ese complejo 1, tendrá 4 raíces.

4

4

4

4

4

1 , ya que cumple:1 1

i , " " i 11

1 , " " ( 1) 1

i , " " ( i) 1

Existe un teorema que nos permite calcular todas las raíces enésimas de un complejo:

3.g.1.1. Teorema

Todo número complejo no nulo z r r(cos isen ) , tiene n raíces complejas y

diferentes que cumplen:

Los módulos son iguales a la raíz enésima del número real r.

Los argumentos son de la forma: 2k

, k N, 0 k n 1n n

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Ejemplo:

Hallar las raíces cúbicas de z = 8(cos30o + isen30o).

Aplicando el teorema: 3 3 30 2k 30 2kz 8 cos i.sen

n n

,

con 0k2, o sea k= 0, k=1 y k=2.

Cuando k=0 :

1 1

30 30w 2 cos i.sen w 2 cos 10 i.sen 10

3 3

Cuando k=1

2

30 360 30 360w 2 cos i.sen 2 cos 130 i.sen 130

3 3

Cuando k=2

3

30 720 30 720w 2 cos i.sen 2 cos 250 i.sen 250

3 3

1 2 3S w,w ,w

Si representamos gráficamente estas tres raíces, veremos que se hallan sobre una circunferencia con centro en el Origen y radio 2 . Sus afijos son los vértices de un triángulo equilátero:

n n 2k 2kz r cos i.sen

n n

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Ejercicio 33

a) Hallar las raíces cuartas de z 16120

b) Representar gráficamente las soluciones obtenidas. Clasificar el polígono que determinan sus afijos.

c) Considerando el ejemplo anterior y este ejercicio, ¿puedes realizar una conjetura?

d) Verifica si las raíces cuartas de 1 cumplen tu conjetura.

3.g.2. Raíz cuadrada en notación binómica

Puede deducirse una manera de calcular las raíces cuadradas de un complejo en notación binómica sin pasar por la notación polar:

Sea z= a+bi, las raíces cuadradas de z serán w1 = c + di y w2 =c´+d´i.

Para calcular c y d se utilizan estas fórmulas:

2 2a b ac

2

,

2 2a b ad

2

De las cuatro opciones que se obtienen se debe elegir las dos que cumplen: sg(c.d) sg(b)

Ejemplo: Hallar las raíces cuadradas de z= 3-4i. Aplicamos las fórmulas:

2 2

2 2

3 ( 4) 3c 4 2

2

3 ( 4) 3d 1 1

2

Como b= - 4, entonces c.d tiene que tener signo negativo. Por lo tanto: c = 2 y d = - 1 o c = - 2 y d = 1. Las soluciones son: w1= 2-1i y w2=-2+1i.

Ejercicio 34

Hallar las raíces cuadradas de z = -35+12i.

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Observación:

Cuando resolvemos ecuaciones de segundo grado en C y estamos trabajando en notación

binaria, a veces el discriminante (b2-4ac) que obtenemos es un complejo imaginario (o

sea de la forma (a+bi), con a y b no nulos). Para hallar las raíces cuadradas de este

número y así terminar de hallar las raíces de la ecuación, debemos calcular primero las

raíces cuadradas utilizando las fórmulas anteriores.

Ejercicio 35

Resolver en C: z2-3z+ (11-3i)=0

4. Algunos datos más

4.a) Fórmula de Euler:

Una de las constantes más usadas en matemática es el número e o Número de Euler,

cuyo valor aproximado de 11 cifras decimales es:

e 2;71828182846

Esta constante aparece en conexión con los números complejos, mediante la relación:

Fórmula de Euler (1740)

Esta igualdad y la de De Moivre se aplican para probar muchas de las propiedades que utilizamos en Trigonometría.

Con ella podemos escribir un complejo en forma exponencial:

i

i

z r. cos i. sen                      ( )

e z r

z z

.

.e

4b) Teorema Fundamental del Álgebra

Ya vimos que este teorema establece que todo polinomio con coeficientes complejos posee una raíz compleja. Se llama así porque a los matemáticos les llevó varios siglos demostrar esta conjetura.

ie cos isen

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Hoy en día tenemos resultados en Álgebra, quizás mucho más importantes y fundamentales que este. El estudio de los polinomios es apenas una pequeña parte del Álgebra. El nombre más acertado para el teorema debería ser “Teorema Fundamental de los Números Complejos". 4c) Regiones en el Plano Complejo

Intenta resolver estas inecuaciones en el plano complejo:

Ej.1: z

Re

 3

1(z)

Ej.2:

Im(z2

) 4

4d) Calculadora que opera con complejos

En este link puedes encontrar una calculadora que opera con la notación binómica:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos-calculadora.html

4e) Ejercicios resueltos

En los siguientes links puedes encontrar diferentes tipos de ejercicios ya resueltos, un resumen del tema y cuestionarios interactivos:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers

prof. Giselle Palmieri 23

5. Bibliografía:

Departamento de Matemática Aplicada- Universidad de Valladolid- Número Complejo:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.ht

m

Disfruta las matemáticas: calculadora:

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos-

calculadora.html

Fernández Val, Walter (2009), Matemática de Bachillerato - 2º año: Núcleo Común

Khanacademy- Número Imaginario, Número Complejo:

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary-and-complex-numbers

Molero, M.; Salvador, A.; Menarguez, T.; Garmendia, L., Análisis matemático para

ingeniería-cap. 1: Los números complejos - extraído de:

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisi

s%20matematico/Temas/C01_Los_Numeros_Complejos.pdf

Números Complejos- extraído de: http://numeroscomplejos.net/ejercicios-

resueltos-de-numeros-complejos

Porto, J.; Gardey, A. (2009)- Definición de número complejo- extraído de:

https://definicion.de/numeros-complejos/

Rivero Mendoza (2001), Una Introducción a los números complejos - Universidad

de los Andes- extraído de:

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/complejos.pdf

Vitutor: Número complejo- extraído de:

http://www.vitutor.com/di/c/numeros_complejos.html

Wikipedia- Número complejo-: https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo